EQUIPO DOCENTE Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)

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MATEMÁTICA BÁSICA

-2da Parte-

2018

EQUIPO DOCENTE

Susana Marcipar Claudia Zanabria

Marta Nardoni

Gabriela Roldán

Cecilia Municoy

Cristina Rogiano

Gustavo Cabaña

Verónica Valetti

Mariel Lovatto

Agustina Huespe

Juan Ignacio Suppo

(Ayudante alumno)

Lógica

Proposicional

Material Elaborado por:

Susana Marcipar Katz,

Cecilia Municoy

Marta Nardoni

Claudia Zanabria

¿Sabías que..?

Las ciencias se expresan en

lenguaje matemático

para

comunicar sus teorías

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Lógica : proposiciones y razonamientos / Susana Marcipar Katz, Maria Cecilia Municoy, Marta Nardoni ….[et.al.]. - 1a ed. -

Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2015. E-Book.

ISBN 978-987-692-055-1

1. Lógica. I. Marcipar Katz, Susana CDD 160

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INTRODUCCIÓN GENERAL

La cátedra de Matemática Básica de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del Litoral, ha elaborado una colección de textos que abordan los temas correspondientes a su programa de estudio y están contextualizados al primer año de las tres carreras de grado: Contador Público Nacional, Licenciatura en Administración y Licenciatura en Economía. Ellos son:

1- Lógica Proposicional

2- Álgebra Lineal y Aplicaciones 3- Funciones y Modelos Económicos 4- Programación Lineal

5- Argumentación y Problemas en Contextos: Actividades Resueltas 6- Material autorizado para utilizar en situación de examen

Los conceptos temáticos incluidos con sus correspondientes enfoques han sido intencionalmente seleccionados con el objetivo de promover su comprensión y por lo tanto su transferencia a la resolución de problemas inherentes a las carreras mencionadas y a la toma de decisiones.

Considerando que la comunicación es un acto esencial en la sociedad pues a través de ella es posible manifestar tanto sentimientos, como ideas o información y por lo tanto es imprescindible en el proceso de enseñanza y aprendizaje, en este primer tomo se aborda el tema “Lógica” para que a partir de él sea posible incorporar un lenguaje que posibilite una comunicación clara, precisa y sin ambigüedades. De esta manera se aprenderá tanto a identificar distintos tipos de enunciados para poder interpretarlos, identificar otros equivalentes a él, negarlos o simplificarlos como así también a analizar la validez de distintos tipos de razonamientos o extraer una conclusión de aquellos que no la poseen.

Las competencias logradas a partir del aprendizaje de los conceptos trabajados en este material posibilitaran el análisis e interpretación de cualquier tipo de texto o discurso ya sea de contextos científicos como de la vida cotidiana.

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Conceptos Centrales

Para favorece su estudio el material se organiza de la siguiente manera:

1- Actividades Introductorias que dan cuenta de la necesidad de aprender los temas de Lógica.

2- Desarrollo conceptual con actividades resueltas a través de ejemplos y actividades para que realices.

3- Actividades de Integración de todos los conceptos.

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Actividad Introductoria

Como ya se mencionó, un uso muy importante del lenguaje es aquel referido a la comunicación de información, lo cual se realiza mediante la formulación y la afirmación o la negación de proposiciones o mostrando razonamientos.

Para poder interpretar una información o analizar un discurso es fundamental la objetividad, dicha objetividad se logra formalizando el lenguaje, es decir otorgando al lenguaje una estructura de cálculo.

A continuación te proponemos distintas situaciones comunicativas que debes interpretar y responder antes y después de conocer los conceptos aportados por la lógica. Compara tus respuestas en cada uno de estos momentos.

Situación 1:

Después de siete años de relación, y visto que él no se decidía, Elena se armó de valor y le preguntó a Evaristo si deseaba contraer matrimonio con ella.

Evaristo, profesor de literatura en el instituto y conocido entre sus alumnos por sus explicaciones enrevesadas, le respondió muy serio: "No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no asegurarte que es imposible negarte que creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos".

¿Qué le respondió realmente Evaristo a Elena?

Situación 2:

En un juicio el diálogo entre el fiscal y el abogado es:

fiscal: Si el acusado es culpable entonces tiene un cómplice

abogado: Ese enunciado es FALSO

Determina porque el dicho del abogado hizo que declaren culpable a su defendido

Situación 3:

a) Determinar si los enunciados E1 y E2 son equivalente

E1: Si el beneficio es positivo entonces el ingreso es mayor que el costo

E2: El beneficio no es positivo o el ingreso es mayor que el costo

b) Determinar si uno de los enunciados es la negación del otro

E1: Ningún candidato a presidente es confiable

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Situación 4: LÓGICA Y ECONOMÍA

1- Lee el siguiente texto extraído de “Métodos Fundamentales de economía matemática” de A. Chiang. Equilibrio parcial de mercado.

“…Puesto que sólo se considera una única mercancía, sólo es necesario incluir tres variables en el modelo: La cantidad demandada de la mercancía, la cantidad ofrecida de la mercancía y su precio. La cantidad se mide en kilos por semana y e l precio en dólares. Habiendo elegido las variables, nuestro próximo paso es hacer ciertas hipótesis a la vista de cómo se comporta el mercado. Primero, debemos especificar una condición de equilibrio-algo indispensable en un modelo de equilibrio-. La hipótesis normal es que se alcanza el equilibrio en el mercado si y solamente si la demanda excedente es cero, esto es si y solo si el mercado esta vacío. Pero esto inmediatamente da lugar a la cuestión de cómo se determinan mercancía demandada y la mercancía ofrecida. Para responder a esto supongamos que la mercancía demandada es una función de p lineal decreciente (cuando el precio aumenta, la cantidad demandada disminuye). Por otro lado, la cantidad ofrecida se postula como una función de precio lineal creciente (cuando el precio aumenta, la cantidad ofrecida también), con la condición provisional de que no se oferta ninguna cantidad amenos de que el precio exceda de un determinado nivel positivo. Entonces, en total el modelo contendrá una condición de equilibrio mas dos ecuaciones de comportamiento que rigen, respectivamente, los lados del mercado de la demanda y de la oferta”.

2- Te invitamos a que trabajes las próximas páginas de este material para que puedas realizar las siguientes actividades:

a-Destaca en el texto palabras que identifiquen conectivos lógicos o cuantificadores.

b-Identifica proposiciones simples y compuestas y luego: b1) Escribe dos ejemplos de proposiciones compuestas.

b2) Propone dos ejemplos de condicionamientos entre las proposiciones

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1. LÓGICA Y CONJUNTOS

Introducción

En la vida cotidiana pocas veces nos detenemos a reflexionar sobre el lenguaje que utilizamos y la manera que argumentamos en las discusiones que entablamos.

A veces se producen malos entendidos, sencillamente por efecto de la ambigüedad del lenguaje.

En cambio, el lenguaje que utiliza la ciencia (técnico o científico), está formalizado con códigos ya establecidos; sería imposible pensar en el avance de los conocimientos sin un lenguaje común, claro y sin ambigüedades.

Es necesario entonces, que acordemos con respecto a la precisión del lenguaje a utilizar y a la simbología a emplear para simplificar enunciados y esquemas de razonamiento; a esto apunta este primer módulo denominado “Lógica y Conjuntos”.

¿Qué es la Lógica?, ¿Cuál es su significado etimológico?

La Lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».

La Lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura, (estructura lógica), independientemente del contenido específico del discurso y de la lengua utilizada en su expresión . Esto es exactamente lo que quiere decir que la lógica es una ciencia «formal».

Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la filosofía pero en su desarrollo histórico, a partir del final del siglo XIX, su formalización simbólica ha mostrado su íntima relación con las matemáticas; de tal forma que algunos la consideran como Lógica matemática.

La Lógica tiene un lenguaje exacto. Para poder utilizar correctamente este lenguaje preciso, es necesario conocer un conjunto de reglas que son perfectamente claras, definidas y están libres de las ambigüedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente.

Al estudiar la lógica simbólica se puede agudizar la percepción personal de validez, la aptitud de reconocer falacias y la facultad de evaluar argumentos o razonamientos.

1.1 Proposición

En el lenguaje coloquial nos expresamos con diferentes tipos de oraciones como las siguientes:

a) ¡qué calor! ; ¡cómo llueve! ; ¡qué lindo día! ; ¡qué caro es este producto! Estas frases son ejemplos de oraciones llamadas "exclamativas".

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c) Además nos expresamos con oraciones llamadas "imperativas" como por ejemplo: Despiérteme a las ocho; Termina la tarea; Paga los impuestos; Declárate culpable; No compres más este producto; Responde a la demanda; Llévame los libros; Conduzca más despacio; No me llames más, etc.

d) También expresamos oraciones en las cuales damos una opinión personal sobre un tema, un hecho, una persona, etc. Por ejemplo: Ese vestido es precioso, la casa que construyó el arquitecto es muy bella, el clima no estuvo lindo, etc.

e) Otro tipo de oraciones que utilizamos son las llamadas "declarativas", como ejemplos mencionamos:

La Luna es satélite de la Tierra.

En el hemisferio sur el verano comienza el 21 de septiembre. San Martín murió en Francia.

Rosario es la capital de la provincia de Santa Fe. Los números positivos son mayores que cero.

El voto en Argentina no es obligatorio para los ciudadanos mayores de 70 años.

Las proposiciones son oraciones "declarativas o enunciativas” a las que se le pueden asignar un valor de verdad, en ellas se afirma o se niega algo y se puede establecer si son verdaderas o falsas justificando dichos valores por medio de un argumento dado desde una ciencia.

En los ejemplos anteriores del ítem e), la primera oración declarativa es verdadera, la segunda es falsa, la tercera es verdadera, la cuarta es falsa y las dos últimas son verdaderas.

En cambio no podemos decir si son verdaderas o falsas las oraciones exclamativas, interrogativas, imperativas ni aquellas en las cuales manifestamos una opinión personal. Por lo tanto, no siempre es posible establecer el valor de verdad de una oración. En aquellos casos en que podemos establecer si una oración es verdadera o falsa, a estas oraciones las denominaremos proposición.

Por ello entendemos que:

Una Proposición es una oración declarativa cuyo valor de verdad puede ser o verdadero o falso.

Decir que una proposición es verdadera equivale a indicar que su valor de verdad es VERDADERO, y esto se indica abreviadamente con V.

Análogamente, si la proposición es falsa equivale a que su valor de verdad es FALSO, lo que se anota abreviadamente con F.

Trabajaremos con proposiciones que tengan como valor de verdad uno y sólo uno de los valores: o V o F. O sea, ninguna proposición puede tener simultáneamente ambos valores de verdad.

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b) 8 es un número par (V)

c) Los gastos de la empresa EPE son iguales que sus ingresos en el ejercicio del año 2000. (Para indicar su valor de verdad miramos el balance y determinamos si la proposición es V o F)

d) Estocolmo es capital de Suecia (V)

e) Jorge Luis Borges recibió el premio Nobel en Literatura (F) f) El 25 de mayo de 1810, en Buenos Aires fue un día de pleno sol (F)

Ejemplos de oraciones que no son proposiciones a) 3 + x = 7

No podemos determinar su valor de verdad porque no conocemos el valor de la incógnita x, si “x” toma el valor 4 la igualdad es verdadera pero si “x” tiene otro valor la igualdad es falsa, por ello dicha expresión no es una proposición.

b) y es un número par.

No podemos determinar su valor de verdad pues dependerá del valor que asuma “y”, es decir que la expresión no es una proposición.

c) La melodía que ha interpretado la cantante es muy bella y reconforta el espíritu. Esta oración declarativa no es una proposición pues en ella se formula una opinión personal; para ciertas personas puede resultar una bella melodía y para otras puede que no sea de su agrado y no sea bella.

Notación

Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas: p, q, r, s, t, etc. que llamaremos variables proposicionales.

Una variable proposicional “p”, caracteriza a cualquier proposición pero en un determinado párrafo, una vez que asignamos esa variable a una proposición determinada, en ese párrafo esa proposición será siempre simbolizada por la misma variable y viceversa.

Actividad N1

1. Identifica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones e indica cuál es su valor de verdad.

a) 7 es número par b) Un rectángulo es un cuadrado

c) 6 = 5+3 d) Viernes 11 de febrero

e) Los caballos vuelan f) 7 < 9

g) Los números enteros h) El sol gira alrededor de la Tierra i) El cero no es i) El cero es un número racional j) El cuadrado es una figura plana

k) El profesor está sentado l) El cuadrado es un rectángulo

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1.2 Funciones proposicionales

En matemática es muy común utilizar expresiones tales como: 3 + x = 7; y es un número par; 9 es mayor que z; etc.

Hemos dicho que tales expresiones no son proposiciones puesto que no se le puede asignar un valor de verdad.

Observamos que en todas ellas aparece una variable “x”, “y”, “z”, es decir símbolos que se pueden sustituir por cualquier elemento del conjunto al cual pertenecen.

Por ejemplo, en el caso de la expresión 3 + x = 7, la variable “x” se puede sustituir por cualquier número real, teniendo en cuenta que siempre se considera como conjunto Universal al más amplio posible (si no se aclara lo contrario).

Si sustituimos la variable “x” por el valor 3/4 resulta: 3+ 3/4 = 7 y puedes observar que la expresión se transformó en una proposición FALSA. Si se sustituye la variable “x” por el valor 4, la expresión se la trasforma 3 + 4 = 7, que es una proposición VERDADERA

Definimos función proposicional de la siguiente manera:

Una función proposicional en una variable es una expresión que contiene una variable y que se convierte en una proposición cuando se sustituye esta variable por un elemento del conjunto al cual pertenece.

Observación: Si en la función proposicional la variable interviene más de una vez, se debe sustituir por el mismo elemento del conjunto universal, tantas veces como intervenga.

Ejemplos:

1. Sea la función proposicional: 3x + 2 + x2 = 0

Si sustituimos la variable x por el elemento “-1” resulta:

3(-1) + 2 + (-1)2 = 0 entonces -3 + 3 = 0 Proposición Verdadera Si sustituimos x por “0” resulta:

3.0 + 2 + 02 = 0 entonces 2 = 0 Proposición Falsa

El conjunto Universal depende de la

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2. Sea la función proposicional: x es científico.

Considerando como conjunto Universal a todos los habitantes de la Tierra, podemos elegir a Diego Maradona y sustituir el sujeto variable "x" por este elemento del Universal, resultando la proposición: "Diego Maradona es científico", proposición Falsa. En cambio si sustituimos al sujeto variable “x” por “Hugo Maccioni”, “Hugo Luan”, “Miguel Basombrío” y “Ana Belén Elgoyhen” (científicos argentinos), las proposiciones:

 Hugo Maccioni es científico  Hugo Luan es científico

 Miguel Basombrío es científico  Ana Belén Elgoyhen es científico resultan verdaderas.

3. Si consideramos la función proposicional: z es cantante de rock nacional, y como conjunto Universal a todos los cantantes de cualquier género, vemos que, si reemplazamos z en la función proposicional por León Gieco, Soledad Pastorutti, Charly García y Laura Pausini, obtenemos las siguientes proposiciones:

 León Gieco es cantante de rock nacional  Soledad Pastorutti es cantante de rock nacional  Charly García es cantante de rock nacional  Laura Pausini es cantante de rock nacional

cuyos valores de verdad son respectivamente V, F, V y F.

Notación

Representaremos las funciones proposicionales por símbolos tales como Px, Ry, en los que el subíndice indica la variable y las mayúsculas P; R; etc. señalan la propiedad o condición que se le atribuye a la variable.

La expresión Px se lee: “la variable x satisface (o cumple) la propiedad (o condición) P”.

Ejemplos:

Px : x es número par Ex : 3x + 5 = -2

Cz : z es cantante de rock nacional

Nota

Simplificaremos nuestro estudio considerando sólo funciones proposicionales de una variable, aunque se presentan frecuentemente de varias variables. Por ejemplo:

x es mayor que y ; 2x + 4 1

y = 7xy ; etc.

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Actividad N2

1. Para las siguientes Funciones Proposicionales, considera como conjunto Universal al conjunto de números Enteros.

Encuentra para cada una, el conjunto de elementos que las transforman en proposición verdadera.

a) Px: x + 5 = -3 b) Qx: x > 2 c) Rx: 2x + 1 = x

d) Sx: 2x + 3 > 6 e) Tx: x210 f) Ux: x(x – 1)(x + 2) = 0

1.3 Funciones proposicionales y conjuntos

En los conjuntos definidos por comprensión se da la propiedad que caracteriza a sus elementos, en este tipo de definición se utilizan funciones proposicionales.

Por ejemplo: B = {x / x es vocal}; A = {x / x es menor que 0}

Los conjuntos B y A están dados por comprensión y en ellos se utilizan, respectivamente, las funciones proposicionales “x es vocal” y “x es menor que 0”; las que podemos simbolizar:

Vx: x es vocal y Mx: x es menor que 0

Para el conjunto B se considera como conjunto Universal al formado por todas las letras de nuestro alfabeto, es decir que la variable “x” puede ser cualquiera de dichas letras, pero solamente serán elementos del conjunto B las que transformen a la función proposicional en una proposición verdadera.

El conjunto Universal del conjunto A es el conjunto de los reales, los elementos del conjunto A son los números reales que verifican Mx, por lo tanto los números reales negativos son los elementos que pertenecen al conjunto A.

Para saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado por comprensión, se sustituye la variable (en la función proposicional) por dicho elemento y se analiza el valor de verdad de la proposición obtenida, si es verdadera entonces ese elemento pertenece al conjunto y si es falsa no pertenece al conjunto.

Así en el conjunto: B = {x / x es vocal} para saber si “r” pertenece a B, lo cual se indica: r  B, se sustituye la variable “x” por la constante “r” en la función proposicional Vx resultando:

“r es vocal”

una proposición falsa; luego, r no pertenece al conjunto B y se simboliza: r  B

¿”i” es elemento de B? Para responder correctamente reemplazamos la variable “x” por la vocal “i” en Vx resultando:

“i es vocal” una proposición verdadera, por lo tanto i  B.

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Los conjuntos dados por comprensión quedan caracterizados mediante una función proposicional. Por otra parte dada una función proporcional Px queda determinado un conjunto A = {x / Px} formado por los elementos que satisfacen o cumplen con la propiedad o condición enunciada en la función proposicional.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {x / x es un número entero}

Los elementos que pertenecen al conjunto A son los que cumplen la condición de ser números enteros, por otro lado si se parte de la función proposicional Px : x es número entero, es posible formar un conjunto con todos los valores de x que la transforman en proposición verdadera y dicho conjunto será igual al conjunto A de nuestro ejemplo.

Nota

Los siguientes conceptos referidos a conjuntos podrás aplicarlos para resolver la actividad 3.

 Un conjunto se expresa por extensión cuando se nombran todos y cada uno de los elementos que pertenecen a él.

 Diremos que el conjunto A está incluido en el conjunto B (A  B) si y solo si todo elemento que pertenece a A también pertenece a B. También decimos que el conjunto A es subconjunto de B.

 Todo conjunto está incluido en sí mismo.

 Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A  B y B  A si y sólo si todos sus elementos son iguales.

 Todo conjunto es igual a si mismo.

En símbolos: A = B se lee: A es igual a B.

Además: A  B se lee: A es distinto de B.  Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

Actividad N3

1. Expresa por extensión los siguientes conjuntos, considerando como conjunto Universal el conjunto de números Enteros.

A = {x / x + 5 = -3} B = {x / x >2} C = {x / 2x + 1 = x}

2. Expresa por extensión a los siguientes conjuntos, considerando como conjunto Universal, el conjunto de números Naturales.

A = {x / x + 5 = -3} B = {x / x > 2} C = {x / 2x + 1 = x}

3. Observa los resultados obtenidos en los items 1 y 2 e identifica la causa que provoca los distintos resultados y expresa una conclusión.

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A = {2, 3, 4....} B = {1, 2, 3, 4} C = {3, 6, 9} En los ítems 5 y 6 elige la opción correcta:

5. El conjunto A = {x / x es vocal}, es igual a:

a) {a, e, i} b) {a, e, i, o, u, c, t} c) {x} d) Ninguna de las anteriores 6. El conjunto A = {x / x es vocal}, es un conjunto incluido en:

a) {a, e, i} b) {a, e, i, o, u, c, t} c) {x} d)Ninguno de las anteriores

7. Dado A = {1, 2, 3}, expresa todos los subconjuntos de A. 8. Completa con  o  según corresponda

a) (2, 5) ………… [2, 7] b) R+ ………… (-1 , +) c) R- …… (- , -1) d) R+ – {3} ………R+ e) R – {-5} …… R – {1} f) [-1 , 3) … R – {2} g) R–{3,-2}…R–{0, 1/2} h) (-, 3) …..(-, 2,9) i) [-1, 1] …..R–{–1, 1} 9. En los ítems de la actividad 8 donde completaste con “”, restringe el conjunto del lado izquierdo para que se dé la inclusión.

Nota:

Cuando se restringe un conjunto se elige, dentro de la restricción, el más amplio posible.

Ejemplo: R – {4}  R – {-2}

Para que el conjunto R – {4} esté incluido en el conjunto R – {-2} se debe cumplir que todos los elementos de R – {4} pertenezcan al conjunto R – {-2}, lo cual no ocurre pues –2  R – {4} y -2 R – {-2}. Entonces sacamos del conjunto R – {4} el elemento –2 y así se da la inclusión:

R – {-2 , 4} R – {-2}

Luego, del conjunto R – {4} la restricción más amplia es R – {-2 , 4} para que esté incluido en el conjunto R – {-2}.

En los ítems 10 y 11 elige la opción correcta. 10. El conjunto (-4 , +) – {0} está incluido en:

a) R+ b) [-4 , +) c) (-4 , +) – {3} d) N. A. 11. Para que el conjunto A = R – {6} sea un subconjunto de B = R – {-3 , 7} , el conjunto A restringido debe ser:

a) R – {-3 , 7} b) R – {-3 , 6} c) R – {-3 , 6 , 7} d) N. A. 12. Expresa tres subconjuntos del conjunto A = (-2 , 7) – {0}

1.4 Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones simples no pueden descomponerse o subdividirse en partes más simples, algunos de los ejemplos citados son proposiciones simples, por ejemplo:

p: 7 es número par q: Un rectángulo es un cuadrado r: 6 = 5+3 s: Un ángulo es una región del plano

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Sin embargo, muchos de los enunciados que se utilizan normalmente son proposiciones compuestas que están formados por proposiciones simples unidas por conectivos o nexos.

Veamos algunos ejemplos que ilustran cómo se conforman las proposiciones compuestas.

Consideremos las siguientes proposiciones simples:

p: 4 es par q: 7 es mayor que 10 (p es V y q es F)

Algunos de los Conectivos que vamos a considerar son: “y” ; “o” ; “si ... entonces”

Según el conectivo que se utilice resultan las Proposiciones compuestas: 4 es par y 7 es mayor que 10

4 es par o 7 es mayor que 10

Si 4 es par entonces 7 es mayor que 10

El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples y del conectivo que las vincula.

Según el conectivo que se utiliza, la proposición compuesta recibe un nombre determinado y a continuación enumeramos los conectivos que estudiaremos en el presente curso.

Conectivo Símbolo Nombre de la proposición compuesta

y  conjunción

o  disyunción si ... entonces  condicional

si y solo si  doble condicional

El símbolo  (o también ) escrito delante de una proposición niega el valor de verdad de esta. La negación no es un conectivo, pues no es un nexo entre dos proposiciones simples, pero se la considera como conectivo monádico, es decir, afecta a una proposición y su análisis resulta importante ya que tiene su vinculación con una operación de conjuntos (el complemento), como veremos oportunamente.

Cuando se combinan variables proposicionales y conectivos decimos que se obtiene una forma proposicional.

Ejemplo:

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Actividad N4

1. Identifica el nombre de las siguientes proposiciones compuestas a) Un triángulo es rectángulo si y sólo si tiene un ángulo recto. b) Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, se llama obtusángulo. c) Tres no es un número par.

d) Rindo Matemática y Contabilidad.

e) Con $10 compro un cuaderno o una cartuchera.

f) No es cierto que, hoy estudie Matemática y Contabilidad.

g) Si 8 es un número par entonces es múltiplo de 2 y divisible por 2.

Observación

En las proposiciones compuestas pueden aparecer más de dos proposiciones simples unidas por varios conectivos. El orden de precedencia de los conectivos está dado por los símbolos de separación en la oración.

1.5 Conectivos lógicos y tablas de verdad

Hemos visto que al utilizar conectivos con proposiciones se obtienen proposiciones compuestas, también se dice que estamos “operando” con proposiciones.

El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples y del conectivo que las vincula.

Una proposición simple puede ser V o F.

Si hay dos proposiciones “p” y “q”, puede ocurrir que ambas sean verdaderas; o bien la primera verdadera y la segunda falsa; o la primera falsa y verdadera la segunda o ambas falsas, es decir:

p q

V V

V F

F V

F F

Esta tabla muestra todos los posibles valores de verdad que pueden tener dos proposiciones cualesquiera.

Si son dos proposiciones las que se vinculan, hay 4 posibilidades y la tabla tiene 4 renglones o filas; si son tres las proposiciones, son 8 las posibilidades distintas que se deben considerar y la tabla tiene 8 filas; en general si se vinculan “n” proposiciones habrá 2n posibilidades distintas y por lo tanto la tabla tendrá 2n filas.

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Actividad N5

1. Presenta las 8 posibilidades para vincular las proposiciones simples p, q, r.

A continuación se tratan algunas proposiciones compuestas y se analizan sus Tablas de Valor o Tablas de Verdad.

En una Tabla de valor o Tabla de verdad se expresa, fila a fila todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de cada una de las proposiciones que intervienen y en una última columna se observa (fila a fila) el correspondiente valor de la proposición compuesta.

Nota: El comportamiento de una función proposicional Px es análogo al de las proposiciones, por cuanto la forma en que se llega de una función proposicional a una proposición es especificando “x” por un determinado valor.

En lo que sigue se utiliza con frecuencia esta idea de modo tal que, si bien las operaciones se definen con proposiciones, muchas veces aparecen ejemplificadas con funciones proposicionales.

1.5.1 Negación

Dada una proposición p, por ejemplo, p: La tierra gira alrededor del sol, es posible

formar su negación, la que simbolizamos con ~ p, o p o también p y se lee “no p” Luego, ~ p: No es cierto que la tierra gira alrededor del sol.

También podemos expresar ~ p: La tierra no gira alrededor del sol

Evidentemente de la verdad de p se deduce que ~ p es falso; asimismo la falsedad de p significa que ~ p es verdadero.

La tabla de valor de la negación es:

p ~p V F F V

Como veremos más adelante, el proceso de negación de proposiciones compuestas requiere de mucho cuidado; por el momento consideramos sólo el caso en que “p” es una proposición simple y que su negación requiere colocar la palabra “no” en el lugar adecuado.

Ejemplos:

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1.5.2 Vinculación entre la negación y el complemento de un conjunto

Consideremos como conjunto Universal el conjunto de los números Enteros, y determinemos un conjunto A incluido en dicho Universal como ser A = {x / x es par}, o bien si consideramos la función proposicional que Px: “x es par”, resulta: A = {x / Px} Gráficamente:

Observemos que los elementos que no pertenecen al conjunto A se encuentran en la zona sombreada en el siguiente gráfico:

A

Dichos elementos forman otro conjunto, también incluido en el Universal, es el denominado complemento de A.

Al complemento de A lo simbolizaremos: A

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que NO pertenecen al conjunto A.

En nuestro ejemplo resulta: A = {x / x no es par} = {x / ~ Px}

Se puede observar la vinculación entre la operación “negación” y “complemento”, dicha relación nos permite expresar a la definición del complemento de un conjunto A en términos de una negación:

Sea A  U

El complemento de A respecto de U es:

A = {x / x  A} o bien A = {x / ~ Px} o bien A = {x / ~ (x  A)}

Actividad N6

1. Construye la tabla de la doble negación ~ (~p)

2. Verifica con Diagramas de Venn la siguiente igualdad: A = A 3. a) ¿A qué es igual el complemento del conjunto Universal? b) ¿A qué es igual el complemento del conjunto vacío?

U

A

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1.5.3 Conjunción

Dos proposiciones simples unidas por el conectivo “y” constituyen una proposición compuesta llamada conjunción.

Ejemplo: Dadas las proposiciones:

p: “París es la capital de Francia”

q: “El francés es el idioma oficial de Francia” La conjunción es:

“París es la capital de Francia y el francés es el idioma oficial de Francia” Se utiliza como símbolo del conectivo “y” a: 

La conjunción queda expresada simbólicamente: p  q

Intuitivamente, la verdad de una conjunción ocurre cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, como en el ejemplo anterior. Del mismo modo, se supone intuitivamente que una conjunción es falsa si lo es alguna de las proposiciones simples que la componen.

En la siguiente tabla de verdad o tabla de valor, se expresa formalmente fila a fila todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de cada una de las proposiciones que intervienen y el correspondiente valor de la proposición compuesta.

Tabla de valor de la conjunción p q p  q

V V V

V F F

F V F

F F F

Observa que una proposición tiene asignado un valor de verdad, pero una forma proposicional tiene asociada una tabla de verdad.

Cuando se conoce el valor de verdad de cada una de las proposiciones que intervienen en la forma proposicional entonces se identifica la fila correspondiente de su tabla y en ese caso se puede decir si la forma proposicional es verdadera o falsa.

Ejemplos:

1. Sea la conjunción: 4 es impar y 2 es par.

Si llamamos p: 4 es impar y q: 2 es par, obtenemos la Forma proposicional: p  q Valor de verdad de cada proposición: p es F y q es V

Valor de la conjunción: F

2. Sea la conjunción: La Facultad de Ciencias Económicas depende de la UNL y se encuentra ubicada en la ciudad de Santa Fe.

(20)

p: La Facultad de Ciencias Económicas depende de la UNL y q: La Facultad de Ciencias Económicas se encuentra ubicada en la ciudad de Santa Fe obtenemos la forma proposicional: p  q

Valor de verdad de cada proposición: p es V y q es V Valor de la conjunción: V

Actividad N7

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, expresa su forma proposicional en forma simbólica e indica el valor de verdad correspondiente.

a) Buenos Aires es la capital de Argentina y Río de Janeiro la capital de Brasil. b) San Martín murió en Francia y 4 es número par.

c) Tres es un número par y cuatro impar.

2. Expresa dos ejemplos de sustitución de las variables p y q, tales que verifiquen que la forma proposicional p  q sea verdadera.

3. Construye las tablas de valor de las siguientes formas proposicionales:

a) (p  q)  r b) p  (q  r) c) ¿Qué puedes concluir? 4. Analiza el valor de verdad de la proposición p p  q

1.5.4 Vinculación entre la conjunción y la intersección de conjuntos

Sea el conjunto A = {x / x es argentino y abogado}, observamos que los elementos de este conjunto están caracterizados por dos funciones proposicionales: “x es argentino”

y “x es abogado”.

Para que un elemento pertenezca al conjunto A deberá transformar a las dos funciones proposicionales en proposiciones verdaderas, según observamos de la tabla de la conjunción.

Es decir que, por ejemplo Juan Pérez pertenece al conjunto A si es una persona recibida de abogado y de nacionalidad argentino.

Si cumple con una sola de las dos condiciones no pertenece a A, es el caso análogo a la 2da. y 3ra. fila de la tabla de la conjunción; por otra parte la 4ta. fila de la tabla, corresponde al caso en que Juan Pérez no sea ni argentino ni abogado en cuyo caso tampoco Juan Pérez es elemento de A.

Analicemos este ejemplo utilizando diagramas de Venn identificando dos conjuntos, (los surgidos de cada función proposicional) a saber:

P = {x / x es argentino} ; B = {x / x es abogado}.

Ambos conjuntos incluidos en el Universal U = {x / x es ser humano}

(21)

B = {x / Cx} siendo Cx: x es abogado; es decir que el conjunto B está formado por los seres humanos que sean abogados.

Así al conjunto A de nuestro ejemplo, A = {x / x es argentino y abogado}, lo ubicamos gráficamente en la zona correspondiente a los elementos que satisfacen

simultáneamente las propiedades Nx y Cx. Es decir, la zona rayada del siguiente gráfico:

Veamos que el conjunto A, caracterizado por una conjunción, es el conjunto que resulta de la INTERSECCIÓN de los conjuntos P con B.

De acuerdo a lo anterior podemos observar la relación que guarda la intersección de conjuntos con la conjunción, relación que nos permite expresar la definición de intersección de dos conjuntos en términos de una conjunción, es decir:

P  B = {x / x  P  x  B} o bien P  B = {x / Nx  Cx}

Actividad N8

1. Halla la intersección entre los siguientes conjuntos:

a) {1, 2, 3, 4}  {-2, -1, 0, 1,2} b) N  Z c){2/3, 0, -4, -5/7}  Q d) (-2 , 5]  R

e) R+ (-2 , 5] f) R- R+

g) (- , 3]  (-1, 5) h) R – {2 , 7}  R+ 2. Completa según corresponda:

a) A  = ... b)  U = ... c) U  A = ...

d) A  A = ... e) (A  U)  = ……… f) U  (A ) = ……… 3. Define dos conjuntos A y B tales que verifiquen:

a) A  B = (-4 , 5] b) A  B = R+ - {1} En los ítems 4 a 7, elige la o las opciones correctas:

4. Si se resuelve la intersección entre los conjuntos A = R – {2/3} y B = R+ - {5}

su resultado es: P

A

(22)

a) R+ – {2/3, 5} b) R – {2/3, 5} c) (2/3, +) d) N. A. 5. Los valores de x que satisfacen simultáneamente las desigualdades

3x + 1 > 0  2x < 1 pertenecen al conjunto:

a) (1 , +) b) (-1/3 ,1/2) c) (0 , 1/2) d) N. A.

6.a) ¿Qué conjunto se obtiene al hallar el complemento de la intersección de un conjunto A con el universal?

b) ¿Qué conjunto se obtiene al hallar la intersección del complemento de un conjunto A con el universal?

1.5.5 Disyunción

Dos proposiciones simples unidas por el conectivo “o” constituye una proposición compuesta llamada disyunción o disjunción.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p: “París es la capital de Francia” y q: “El Francés es el idioma oficial de Francia”

La disyunción es:

“París es la capital de Francia o el Francés es el idioma oficial de Francia” El símbolo del conectivo “o” es: 

La forma proposicional de la disyunción es: p  q

Intuitivamente, la verdad de una disyunción ocurre cuando alguna de las dos proposiciones simples o ambas son verdaderas.

Del mismo modo se supone intuitivamente que, una disyunción es falsa si son falsas todas las proposiciones simples que la componen.

La tabla de verdad o tabla de valor de la disyunción se expresa formalmente así:

p q p  q

V V V

V F V

F V V

F F F

1.5.6 Vinculación entre la disyunción y la unión de conjuntos

Sea el conjunto: A = {x / x es argentino o abogado}, observamos que los elementos de este conjunto están caracterizados por dos funciones proposicionales “x es argentino”, “x es abogado”.

Para que un elemento pertenezca al conjunto A deberá satisfacer al menos una de las siguientes condiciones:

(23)

El único caso en que una persona no pertenece al conjunto A es si no es abogado y no tiene nacionalidad argentina.

Analicemos este ejemplo utilizando diagramas de Venn identificando los dos conjuntos ya dados en páginas anteriores, a saber:

P = {x / x es argentino} = {x / Nx}; B = {x / x es abogado} = {x / Cx} Siendo: U = {x / x es ser humano}, es decir que P  U y también B  U.

Observemos al conjunto A = {x / x es argentino o abogado} representado gráficamente en el siguiente diagrama por la zona rayada:

La zona rayada representa la UNIÓN de los conjuntos P yB.

De acuerdo a lo anterior podemos observar la relación que guarda la unión de conjuntos con la disyunción, relación que nos permite expresar a la definición de unión de dos conjuntos en términos de una disyunción, es decir:

P  B = {x / x  P  x  B} o bien P  B = {x / Nx  Cx}

Actividad N9

1. Halla la unión entre los siguientes conjuntos:

a) {-1, 2, 5}  {-3, 7}= b) {-2, 5/3, 4, 9}  {5/3, -2/5}=

c) Z  Q = d) (-4 , 3)  R =

e) R+ (-1 , 3] = f) R- R+ =

g) (- , 3]  (-1 , 5) = h) R – {-3 , 5}  R+ = 2. Completa según corresponda:

a) A  = ... b)  U = ... c) A  ... = A d) U  A = ... 3. Construye la tabla de las siguientes formas proposicionales:

a) p

q p

b) ~ (p  q) c) p  (q ~p) d) p  (q ~p) 4. Analiza el valor de verdad de la proposición pp  q 5. Si p es falsa, ¿cuál es el valor de verdad de p  (q r)

U

(24)

6. Siendo p una proposición falsa, q una proposición verdadera y r una proposición que puede ser verdadera o falsa. Si es posible, encuentra el valor de verdad de las proposiciones compuestas dadas a continuación:

a) ( p q) b) p q c) (r q)  (r  q) d) ( p q) e) (p  q)  (r q) f) [(p q)r]

1.5.7 Condicional

De todos los conectivos que hemos visto, éste es el que requiere un tratamiento especial ya que tanto en Matemática, en Economía como en otras ciencias es muy frecuente su uso, por lo que resulta importante tener un buen manejo del mismo.

Observemos que en nuestra vida cotidiana es frecuente expresar frases construidas con el condicional, por ejemplo,

1) Si bebes alcohol entonces no debes conducir.

2) Si el semáforo está en rojo entonces los autos deben detenerse.

3) Es necesario haber finalizado el ciclo secundario para poder ingresar a la Universidad.

4) Usted podría donar sangre SI:

Acude con su documento de identidad. Tiene más de 18 años y menos de 65. Goza de buena salud

Pesa más de 55 Kg.

No ha tomado alcohol en las últimas 12 horas. No está embarazada.

No ha tenido hepatitis después de los 12 años de edad. Han transcurrido más de 3 meses desde su última donación. Analicemos un ejemplo

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p: El semáforo está en rojo y q: los autos deben detenerse podemos construir el condicional: “Si el semáforo está en rojo entonces los autos deben detenerse”

El símbolo del conectivo “si .... entonces” es 

El condicional queda expresado simbólicamente así: p  q y se lee:

“Si p entonces q” o “p implica q” o “ si p, q” donde la proposición p recibe el nombre de antecedente o premisa y la proposición q recibe el nombre de consecuente o conclusión de la implicación.

Intuitivamente, el condicional indica un compromiso tal que si ocurre que si el semáforo está en rojo los autos deben detenerse. Es decir, si el antecedente es verdadero el consecuente también lo debe ser para que el condicional resulte verdadero.

p q p q

(25)

Si ocurre que el antecedente es verdadero (en nuestro caso: el semáforo está en rojo) y el consecuente es falso (los autos no se detienen), evidentemente los conductores de los autos no cumplen con la ley; la acción resulta falsa y el condicional es falso.

La tabla de verdad es:

p q p q

V F F

Falta considerar los casos en los que el antecedente es falso.

Si no ocurre el antecedente es decir, el semáforo no está en rojo, no hay obligación de que los autos se detengan, estos pueden detenerse o no por algún otro motivo. El condicional me compromete solo si ocurre el antecedente, pero si éste es falso no se dice cómo se va a actuar, por ello cuando el antecedente es falso no interesa el consecuente pues en ningún caso se puede considerar como una mentira al compromiso establecido y por ello el condicional será verdadero (no mentiroso).

Formalizando estas ideas, resulta la siguiente tabla:

Tabla de verdad del condicional p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Un condicional es falso únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en todos los demás casos es verdadero.

Para pensar: Al utilizar condicionales en nuestros discursos, tenemos menos posibilidad de ser mentirosos, ¿será por eso que los economistas lo utilizan tanto?, por ejemplo dicen “Si el PBI aumenta entonces el gobierno hará...”, “Si la recaudación impositiva

es de ..., entonces se podrá ...”, de esta manera no dicen lo que harán, no se comprometen, en caso de que el antecedente no se cumpla pueden hacer lo que quieran y nunca son mentirosos.

Actividad N10

1. Construye las tablas de verdad de las siguientes formas proposicionales:

(26)

2. Sabiendo que p es V, q es F y r es V, halla el valor de verdad de cada una de las siguientes formas proposicionales:

a) (r  p)  q c) [p  (q ~p)]  r b) (~p  r)  (q ~p) d) [(q ~p)  r]  q

3. Clasifica como verdadero o falso a cada condicional. V representa una proposición verdadera y F una proposición falsa.

a) F  ( 4 = 3) b) V  (4 < 2) c) (6 = 6)  F d) F  ( 3= 3) e) (4 = 11 – 7)  (3 > 0) f) (42 ≠ 16) (4 + 4 = 8) 4. Establece el valor de verdad de cada proposición.

a) Si el antecedente de una proposición condicional es falso la proposición condicional es verdadera.

b) Si el consecuente de una proposición condicional es verdadero la proposición condicional es verdadera.

c) Si q es verdadera entonces (p  q) q es verdadera. d) Si p es verdadera entonces p (q  r) es falsa.

e) Si p es verdadera y q es falsa, el condicional p  q es verdadera.

5. Justifica por qué si la proposición p es verdadera, la proposición [r  (p s](p q) es verdadera.

1.5.8 Doble condicional o Bicondicional

Sean “p” y “q” proposiciones simples. La equivalencia, bicondicional o doble condicional de dos proposiciones p y q es una nueva proposición que denotamos pq y leemos “p es equivalente a q” o “p si y solo si q”.

En Matemática, el bicondicional p  q se lee de varias maneras, todas las cuales tienen el mismo significado:

1) p si y solo si q 2) q si y solo si p

3) Si p entonces q y recíprocamente 4) Si q entonces p y recíprocamente

La equivalencia pq es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad. La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

(27)

1.6 Equivalencia lógica

Dos proposiciones simples son equivalentes si tienen igual valor de verdad.

En general, pensando en proposiciones que pueden ser compuestas enunciamos:

Dos formas proposicionales son equivalentes si tienen la misma tabla de valor.

Para indicar que dos proposiciones o formas proposicionales son equivalentes se utiliza el símbolo 

Ejemplo:

p  p se lee: “p es equivalente a p”.

Una manera de verificar que dos formas proposicionales son equivalentes es realizar las tablas de verdad y observar que sean idénticas.

Ejemplo:

Verifica que p  q es equivalente lógicamente a ~p  q Construimos sus respectivas tablas:

p q p q ~p ~p  q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Como vemos la columna 3 de la tabla es idéntica a la columna 5 y así verificamos la equivalencia dada.

Luego, en forma simbólica escribimos

p  q  ~p  q Se lee: p  q es equivalente lógicamente a ~p  q

Si relacionamos por un bicondicional dos formas proposicionales equivalentes, ¿qué ocurre en la tabla de valor de este bicondicional?

Para dar respuesta a la anterior pregunta, podemos observar con nuestro ejemplo que, al formar el bicondicional:

(p q) (~p q)

(28)

p q p q ~p  q (p q)  (~p  q)

V V V V V

V F F F V

F V V V V

F F V V V

Otra manera de confeccionar la tabla de valores es:

(p  q)  (~p  q)

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F

Ejemplo: Comprobemos que el bicondicional p q es equivalente lógicamente a la proposición (p  q  q  p)

Para probarlo debemos confeccionar la tabla de verdad de ambas proposiciones y observar que son iguales o bien probar que el valor de verdad de

(p q)  (p  q  q  p)

es siempre verdadero, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que intervienen.

Es decir que la tabla de: (p  q)  (q  p) es la misma tabla del bicondicional

p q pq qp pq  qp pq (pq  q p)  (pq)

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Como las columnas 5 y 6 de la tabla son iguales podemos concluir que las proposiciones

p  q y p  q  q  p son lógicamente equivalentes.

También podemos extraer la misma conclusión observando el resultado de la columna 6, porque el bicondicional (pq  qp)  (pq) es verdadero, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.

(29)

1.7 Tautología, contradicción y contingencia Las formas proposicionales se clasifican en: 1) Tautología

2) Contradicción 3) Contingencia

Definimos estos conceptos

a) Tautología: Si una forma proposicional es verdadera para todas los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen entonces es una tautología.

Una proposición que es una tautología se simboliza To

Ejemplos:

Son tautologías: p  p , p ~p , (p  q)  p Para probarlo construimos sus tablas de verdad

p  p

p  p

V V V

F V F

p ~p

p  ~p

V V F

F V V

(p  q)  p

(p  q)  p

V V V V V

V F F V V

F F V V F

F F F V F

Si p q es una tautología se dice que p implica lógicamente a q y se escribe p  q

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p y q, la proposición p  p  q es una tautología y se escribe p  p  q

b) Contradicción: Si una forma proposicional es falsa para todas los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen entonces es una contradicción.

(30)

Ejemplos:

Son contradicciones: p p , p ~p , (p  q) ~p

p p

P  p

V F F

F F V

p ~p

P  p

V F F

F F V

(p  q) ~p

(p  q)  ~p

V V V F F

V F F F F

F F V F V

F F F F V

c) Contingencia es una forma proposicional en la cual el valor de verdad de la proposición es verdadero en algunos renglones de la tabla de verdad y en otros falso.

Ejemplos:

Son contingencias: p ~p , (p  q) ~q , ~(p q)

p p

P  p

V F F

F V V

(31)

 (p  q)

 (p  q) F V V V V V F F V F F V F F V F

También podemos decir que:

Dos formas proposicionales son equivalentes si y solo si el bicondicional entre ambas es una tautología.

1.8 Cálculo Proposicional

El Cálculo Proposicional, o derivación lógica, es el procedimiento a través del cual, partiendo de premisas llegamos a una conclusión lógica y nos permite inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos, mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Nosotros, en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos, supuestamente verdaderos y válidos, para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten obtener conclusiones a partir de las premisas y de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz, para esto es necesario estudiar las Leyes Fundamentales del Cálculo Proposicional que nos permiten estudiar la validez de las afirmaciones realizadas.

En el Cálculo Proposicional se utilizan las siguientes leyes lógicas o tautológicas, cuya demostración se reduce a la confección de la correspondiente tabla de Valores.

En lo que sigue, p, q, r, son proposiciones genéricas, To significa tautología y Fo significa contradicción.

a) Medio Excluido: p  p  To b) Contradicción: p  p  Fo

c) Identidad: (p  Fo)  p , (p  To)  p d) Dominación: (p  To)  To , (p  Fo)  Fo e) Doble negación: (p)  p

f) Idempotencia: (p  p)  p (p  p)  p g) Conmutativa:

(32)

h) Asociativa:

 de la disyunción: (p  q)  r  p  (q  r)  de la conjunción: (p  q)  r  p  (q  r) i) Distributiva:

 de la disyunción respecto de la conjunción: (p  q)  r  (p  r)  (q  r)

r  (p  q)  (r  p)  (r  q)

 de la conjunción respecto de la disyunción: (p  q)  r  (p  r)  (q  r)

r  (p  q)  (r  p)  ( r q) j) Leyes de “De Morgan”:

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones:

 (p  q) p q

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones:

 (p  q) p q k) Absorción: p  (p  q)  p

p  (p  q)  p

Ejemplos de aplicación de las Leyes Lógicas

1. Considerando que p  q  p  q. Planteamos la negación

(p  q) [p  q]  p q

donde hemos aplicado la Ley de De Morgan y la ley de doble negación

Si p: aumentan los ingresos y q: aumentan las tarifas podemos decir que “No es cierto que, si aumentan los ingresos entonces aumentan las tarifas” es equivalente a decir “Aumentan los ingresos y no aumentan las tarifas”

2. Se puede comprobar que si dos formas proposicionales son equivalentes, sus negaciones también lo son. Veamos un ejemplo:

Dada la equivalencia: p  q  (p  q)  (q p), veamos a qué forma es equivalente su negación

 (p  q) [(p  q)  (q  p)] (p  q)  (q p) 

 (p  q)   (q  p)  (p q)  (q  p) Ejercicio: Justifica cada paso de la demostración anterior.

3. Si dos formas proposicionales son equivalentes y en ellas reemplazamos las variables proposicionales por formas proposicionales, se mantiene la equivalencia. Luego, las leyes lógicas valen sean p, q y r variables proposicionales o formas proposicionales.

(33)

Si en la expresión  (p)  p reemplazamos la variable p por otras formas proposicionales, se obtienen las siguientes equivalencias:

a) [(p  q)]  p  q b) [(p  q)]  (p  q)

c) {[t  (q  r)]}  t  (q  r)

Actividad N11

1. Expresa las leyes lógicas vistas (doble negación, asociativa, etc.) como propiedades de las operaciones con conjuntos.

2. Utilizando las leyes lógicas, encuentra una forma proposicional equivalente a :

a) p q b) q p

3. Encuentra una forma proposicional equivalente a cada una de las siguientes proposiciones y justifica tu respuesta:

a) (p q) b) (p q) c) (t  s)  t d) (s  t)  (p  t) 4. Dadas las proposiciones:

p: La demanda de la carne aumenta. q: El precio de la carne disminuye.

Expresa en lenguaje coloquial las siguientes formas proposicionales:

a) p  q b) p  q c) p q

En los ítems 5 a 7, elige la o las opciones correctas.

5. Sabiendo que (p  q)  (p  r) es Falsa y siendo p Verdadera, se puede asegurar que los valores de q y r son:

a) q es F y r es V b) q es F y r es F c) q es V y r es F d) N. A.

6. Sabiendo que (p  q)  (q  r) es Falsa, se puede asegurar que los valores de p y r son:

a) p es F y r es V b) p es F y r es F c) p es V y r es F d) N. A.

7. Sabiendo que: p es F; q es V; r es V podemos afirmar que una forma proposicional verdadera es:

a) (p  q)  (q  r) b) (p  q)  (p r) c) (p  q)  [p  (p r)] d) (q  p)  [p  (q r)] e) (q r)  (p  q) f) N. A.

8. Demuestra que:

a) (p  q)  [p  (p  q)]  p  q b) p  q  (p  q)  ( p q) c) p q q  p d) q  p  p  q

9. a) Sabiendo que la proposición q  p  r es falsa, indica el valor de verdad de p, q, r b) Justifica cuál de las siguientes proposiciones es equivalente a la dada en el item a) I) (q  p)  r II) (q p)  r III ) (q  p) r c) Dada la siguiente proposición:

(34)

i) Expresa la proposición en forma simbólica.

ii) Escribe en forma simbólica y coloquial la negación de la proposición dada.

10. Prueba que la proposición  (p q)  (p q) es equivalente a la proposición p.

11. Justifica si la siguiente proposición [p  (p  q)]  q es una tautología, contingencia o contradicción.

1.9 Condicionales asociados

Dado el condicional p  q, que llamamos directo, asociado a él se presentan otros tres condicionales, obtenidos por permutaciones y/o negaciones del antecedente y consecuente, estos son:

Recíproco: q  p Contrario: p q Contrarrecíproco: q p

Ejemplo:

Sean las proposiciones p: el número nueve es entero y q: el número nueve es racional y el condicional

p  q deseamos escribir los condicionales asociados.

Proposición directa: Si el número nueve es entero entonces el número nueve es racional.

Recíproco: Si el número nueve es racional entonces el número nueve es entero.

Contrario: Si el número nueve no es entero entonces el número nueve no es racional.

Contrarrecíproco: Si el número nueve no es racional entonces el número nueve no es entero.

No es necesario que el condicional original sea de la forma p  q, el antecedente y el consecuente pueden ser cualquier proposición compuesta. Cuando se escribe el recíproco, el contrario y el contrarrecíproco, puede resultar una proposición extensa en cuyo caso se simplifica aplicando las leyes lógicas.

Ejemplos:

1. Dado p t, los condicionales asociados son: Recíproco: t  p

Contrario: p (t)  p  t (por Ley de doble negación)

Contrarrecíproco: (t) p  t p (por ley de doble negación) 2. Dado q  (s q), los condicionales asociados son:

(35)

Contrario: (q) (s q)  q  (s  q) (por Leyes de doble negación y De Morgan).

Contrarrecíproco:  (s q)  (q)  (s  q)  q (por Ley de De Morgan y Ley de doble negación).

Actividad N12

1. Dada la proposición s m, escribe el contrario, el recíproco y el contrarrecíproco. 2. Escribe en símbolos y en lenguaje coloquial el contrario, el recíproco y el contrarrecíproco de la proposición: Si Juan obedece la ley entonces no va a la cárcel. 3. Construye las tablas de valor de las proposiciones dadas a continuación y extrae una conclusión: a) (p  q) (q p) b) (q  p)  (p q)

Las cuatro implicaciones vistas anteriormente se llaman ASOCIADAS, cualquiera de ellas puede tomarse como directa. EL siguiente esquema nos proporciona las relaciones que las vinculan:

p  q recíprocos q  p c c s c

o o o n c o

t o

n r r n a p

t r í t r c

r e r r c

a r í a a p

r r r r t o

i n c i o o o c s o

s s  p  q recíprocos  q  p

Actividad N13

1. Dado el condicional (p  q)  r, el recíproco es:

(36)

c) (p  q) r d) N. A.

2. Expresa el contrarrecíproco de la siguiente proposición:  r  (p q) 3. Expresa condicionales equivalentes a: (p  q) r

4.a) Expresa coloquialmente un ejemplo de sustitución verdadero del condicional q r

b) Expresa coloquialmente un condicional equivalente al anterior. c) Expresa coloquialmente la negación del condicional dado.

5. Probar que las implicaciones directa y contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, que los siguientes bicondicionales son tautologías:

(p  q)  (q p) (q  p)  (p q)

1.10 Cuantificadores

Algunas funciones proposicionales tienen la particularidad de transformarse en proposición verdadera al sustituir la variable por cualquier elemento del Conjunto Universal, por ejemplo: si consideramos como Conjunto Universal al conjunto de los números Naturales, la siguiente función proposicional: “x es mayor que -1”, se transforma en proposición verdadera para todos los números Naturales, por ejemplo:

1 es mayor que -1 (V) 2 es mayor que -1 (V), etc.

Observamos que la propiedad se verifica para todos los elementos del conjunto considerado como Universal.

En cambio, si consideramos el mismo conjunto Universal pero ahora tomamos la función proposicional: “x + 1 < 5”, encontramos que:

1 + 1 < 5 es Verdadera 2 + 1 < 5 es Verdadera 3 + 1 < 5 es Verdadera 4 + 1 < 5 es Falsa, etc.

Todo número natural mayor que 3 hace que la propiedad sea Falsa; es decir que existen algunos elementos del Universal que verifican la propiedad.

Cuando queremos afirmar que una función proposicional es válida para todos los elementos del universo, como en el primer ejemplo, trabajaremos con el cuantificador universal.

Si una función proposicional se verifica para algunos elementos del universo, como en el segundo ejemplo, trabajaremos con el cuantificador existencial.

1.10.1 Cuantificador Universal

(37)

El símbolo “” lo llamamos cuantificador universal afirmativo y lo leemos “para todo”.

El símbolo “ : “ lo leemos “se cumple, se verifica”.

Luego la expresión anterior se lee: “Para todo elemento que pertenece a A, se cumple la propiedad P”.

 x  A : Px es verdadera si y sólo si son verdaderas todas las proposiciones que se obtienen al reemplazar la variable x por cada uno de los elementos del conjunto al cual pertenece la variable x.

Ejemplos:

Sea A = {2, 4, 6, 8} considerado como conjunto universal, resulta que la expresión:

 x  A: x es par es una proposición verdadera.

 x  A: x es menor que 9 , es una proposición verdadera.

 x  A: x es múltiplo de 3 , es una proposición falsa.

Actividad N14

1. Siendo N el conjunto de números naturales, determina si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y en caso de falsedad cita un ejemplo que muestre los contrario (contraejemplo):

a)  x  N: x es positivo b)  x  N: x < x + 1 c)  x  N: x + 1 > 1 d)  x  N: x es par e)  x  N: x > 0 f)  x  N: x2 > x g)  x  N: x2 > x h)  x  N: x2 > 1

2. Expresa en lenguaje simbólico el siguiente enunciado y establece su valor de verdad. a) Todos los sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas son compatibles.

b) Todos los números enteros son irracionales.

c) Todas las personas que tienen 18 años son mayores de edad y pueden conducir vehículos si han aprobado el examen de conducir.

1.10.2 Cuantificador Existencial

Simbólicamente expresamos:  x  A / Px

El símbolo “” se llama cuantificador existencial afirmativo y se lee: “existe”.

(38)

 x  A / Px es verdadera si y sólo si es verdadera por lo menos una de las proposiciones que se obtiene al sustituir x por los elementos del universo donde está definida la función proposicional Px.

Ejemplo:

Sea el conjunto universal A = {1, 2, 3, 4}, la expresión:

 x  A / x es impar , resulta una proposición verdadera.

 x  A / x > 5 , resulta una proposición falsa.

 x  A / x + 1 = 4 , resulta una proposición verdadera.

Actividad N15

1. Siendo N el conjunto de números naturales, determina si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y en caso de falsedad justifica la respuesta:

a)  x  N / x + 1= 7 b)  x  N / x es par c)  x  N / x < 0 d)  x  N / x2 = x e)  x  N / 2x = 1 f)  x  N / 3x x

g)  x  N / x +3 < 0 h)  x  N / x es divisor de 5

2. Dada la proposición: Existe un número entero tal que es menor o igual que 4 y es negativo

i) Exprésala simbólicamente.

ii) Halla su valor de verdad. Justifica tu respuesta.

3. Dada la expresión : P(x): x (x –1), x  D, siendo D = {x: x  N  x  10}, indica y justifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a)  x / P(x)  0 b)  x / P(x) = 0

1.10.3 Negación de funciones proposicionales cuantificadas Negación del cuantificador universal

Ejemplo:

Dada la siguiente proposición “Todos los números enteros son impares” cuya expresión simbólica es:

 x  Z : x es impar (proposición F) Su negación se expresa coloquialmente:

“No todos los números enteros son impares”, o bien, “Existen números enteros que no son impares”. Y en símbolos:

 [ x  Z : x es impar] , que es equivalente a decir:

Figure

Tabla de valor de la conjunción  p  q  p  q

Tabla de

valor de la conjunción p q p  q p.19
Tabla de verdad del condicional

Tabla de

verdad del condicional p.25
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