CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

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CAPÍTULO 8

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

Aqui consideramos funciones 0 À M Ä ‘, en donde es un intervalo. Naturalmente para M M

diferentes se estará en diferentes espacios de funciones.

El espacio de funciones de en M ‘

8.1 Proposición: Sea J ÒMÓ œ 0 À M Ę ‘l 0es una función . Entonces ™ J ÒMÓ es un

álgebra sobre ‘ para la suma Ð0 1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑÑ, multiplicación por escalar

Ð50 ÑÐBÑ œ 50 ÐBÑy producto Ð0 ‚ 1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ ‚ 1ÐBÑÑ. Es decir que J ÒMÓ es un espacio

vectorial sobre y además‘ ‚ es asociativa y distribuye sobre y

5Ð0 ‚ 1Ñ œ Ð50 Ñ ‚ 1 œ 0 ‚ Ð51Ñ è

8.2 Definición: .

i J ÒMÓ se denomina el espacio de funciones de en M ‘.

ii Las funciones con dominioJ ÒMÓ las denominaremos funcionales (definidas) en J ÒMÓ. è

Para funcionales (definidas) en J ÒMÓ usaremos para la variable independiente.;

Naturalmente el espacio de funcionesJ ÒMÓ es mas que eso: es un álgebra de funciones que es

conmutativa, es decir su producto lo es y es modulativa porque 0 ÐBÑ œ "ß aB − M, funge como

módulo multiplicativo. Como es lo normal denotamos., en adelante 0 1 en cambio de 0 ‚ 1.

En el espacio de funciones J ÒMÓ existen multiples divisores de es decir pares de funciones! 0 ß 1 − J ÒMÓ !, tales que 0 1 œ !Þ Esto implica cambios serios en la solucíón de ecuaciones en J ÒMÓ. Aquí está su relación con las ecuaciones de :‘

8.3 Proposición: Sea 1 À‘Ä‘Þ Entonces determina una funcional 0 K ÀJ ÒMÓ Ä J ÒMÓ

si se toma KÐ Ñ œ ‰; 1 ;. è

Note que ˆKÐ Ñ Ð>Ñ œ; ‰ 1ˆ;Ð>щ.

8.4 Definición: .

i Para 1 À‘Ä‘ la funcional K À J ÒMÓ Ä J ÒMÓserá denotada 1ˆ ‰; .

ii 1ˆ ‰; será llamada la extensión de a 1 J ÒMÓ.

(2)

Por ejemplo / À J ÒMÓ Ä J ÒMÓ; esta dada así: si0 − J ÒMÓ, entonces / À M Ä; ‘ es la función dada por ˆ ‰/ ÐBÑ œ /; ;ÐBÑÞ Igualmente es la extensión de /#B &/ % œ !B en . Aqui‘

mostramos una conexión entre las dos, en cuanto a soluciones hace referencia.

8.5 Proposición: Sea :Ð Ñ œ !; en J ÒMÓ extensión :ÐBÑ œ ! y sea E el conjunto de

soluciones de :ÐBÑ œ !ß en . Si ‘ 0 À M Ä‘ tiene su rango en , entonces es solución deE 0

:Ð Ñ œ !; en J ÒMÓ.

Demostración: evidente. è

Por ejemplo /#B &/ % œ !B tiene solución E œ Ö!ß 68%×. Si es una funcion tal que2 2ÐBÑ − Eß entonces 2ÐBÑ œ ! o bien 2ÐBÑ œ 68%, entonces para B − Mßcualquiera,

Ð/#2 &/ %ÑÐBÑ œ /2 #2ÐBÑ &/2ÐBÑ % œ !. Así que

Š/#2 &/ % ÐBÑ œ ! aB − M Í /2 ‹ , #2 &/ % œ !Þ2

y es solución 2 /#; &/ % œ !; en J ÒMÓ.

En particular, sea - − M, fijo. Sea 2-definida así 2 Ð-Ñ œ !- y 2 ÐBÑ œ 68%ß aB Á -Þ

-Naturalmente 2-es solución de / &/ % œ !. Por esta sola selección de -ß 2-es

#; ;

solución y hay tantos de estos elementos como números reales. Por tanto hay al menos

#i" œ i Ði œ +6/,Ñ# soluciones, distintas, conocidas de /#; &/ % œ !; en J ÒMÓ.

Regresemos al espacio de funciones J ÐMÑ. Nosotros requerimos subalgebras de J ÐMÑ. Algunas

de las que han surgido hasta ahora en cálculo se mencionan a continuación. Usaremos aquí

©+ para indicar subálgebra.

es una función integrable

M8ÒMÓ œ 0 À M Ę ‘l 0 ™

CÒMÓ œ 0 À M Ę ‘l 0es una función contiua™

BÒMÓ œ˜0 À M Ä‘l 0es una función acotada™

(aqui seguimos la tradición de usar B por "bounded" o acotada) se tiene entonces que

8.6 Proposición:

i CÒMÓ © M8ÐMÑ © J ÒMÓ+ + .

ii BÒMÓ © J ÒMÓ+ .

iii Si es un intervalo cerrado entonces M CÒMÓ©+BÒMÓ

Demostración: Hacemos la parte CÒMÓ © M8ÐMÑ+ . Las demás de i iie quedan como ejercicio En.

cuanto a iii aceptamos el resultado sin demostrarlo. Según álgebra lineal, para que CÒMÓ sea subespacio de M8ÐMÑ es necesario y suficiente que i) CÒMÓ © M8ÐMÑ ii) CÒMÓ no sea vacío y iii)

CÒMÓsea cerrado para suma y la multiplicación por escalar deM8ÐMÑ (que dicho sea de paso es la

misma de J ÒMÓ) . Para ser subálgebra debe,además iv), ser cerrado para el producto.

Pero todas las funciones continuas admiten primitivas, luego son integrables y se tiene (i).

Además, todas las funciones constantes están en CÒMÓ porque son continuas. Luego CÒMÓ Á gy

(3)

por escalar de una función continua es continua. Luego se tiene (iii). Y como el producto de funciones continuas es continua se tiene ( . iv) è

La noción de sucesión en J ÐMÑ es por supuesto la de función Ä J ÐMÑ, con la misma notación 08−Þ Por ejemplo ÖB ×8 8− es una de ellas y B8 representa la función 2 À M Ä8 ‘,

dada por 2 ÐBÑ œ B ß aB − MÞ8 Si L œ ÖB × , entonces L À Ä J ÐMÑes la función

8 8

8−

dada por LÐ8Ñ œ 28 y ˆLÐ8Ñ ÐBÑ œ 2 ÐBÑ œ B Þ‰ 8

8

En cuanto a límites los hay de varios tipos que ahora estudiaremos. Note que el conjunto de la sucesiones en J ÐMÑ es J ÐMÑ y tiene el tipo de estructura ya conocida en :

8.7 Proposición: J ÐMÑ es una álgebra Þ è

Límite puntual

8.8 Definición: sean 0 ß P − J ÐMÑß8 con 8 −ÞDecimos que 08converge puntualmente a

P, y lo denotamos 0 Ä P8 : o bien 637 0 œ P: 8 si para cada B − Mß la sucesión de reales

8Ä∞

0 ÐBÑ8 converge al real PÐBÑ, es decir que aB − Mß 0 ÐBÑ Ä PÐBÑ8 o equivalentemente

aB − Mß 637 0 ÐBÑ œ PÐBÑÞ è

8Ä∞ 8

Por lo que sabemos de convergencia de números reales se tiene de inmediato:

8.9 Proposición: Suponga que 0 Ä8 L y 8 ÄM, en , entonces

p p

1 J ÐMÑ À

i (0 8 18) Ä(LM). p

ii (+08) Ä + ß( L) p

iii (0 †8 18) Ä †L M. p

iv Si a −n ,aB − Mß f8ÐBÑÁ0 y LÐBÑ Á 0 entonces Š ‹ f1 Ä 1L p

8

v Con las hipótesis de iv, gf8 p L

8 Ä Þ

Q

vi Si X − J ÐMÑß X0 Ä X Þ8 L è p

Por ejemplo B À Ò!ß "Ó Ä8 ‘es una sucesión en el espacio de funciomes J ÐÒ!ß "ÓÑÞ

Este espacio se acostumbre denotar, mas corto, por J Ò!ß "Ó. La notacion corta se usa

tambien en la versión continua, GÒ!ß "Ó y en la acotada FÒ!ß "Ó y B8 esta en todos ellos. En cuanto al límite puntual de B8, se sabe que Ð"Ñ Ä "8 y si ! Ÿ B : ", entonces

B Ä !8 . Por tanto 637 B es la función discontinua, en! Ò!ß "Ñ "y en B œ "Þ :

8Ä∞ 8

Note un hecho importante que hace que 637: no sea tan útil: B − GÒ!ß "Ó8 , pero no así

637: B

8Ä∞

8 que no es continua en 1. Esto obliga a tener a mano otros tipos de convergencia

en los espacios de funciones.

El espacio normado G Ò+ß ,Ó

(4)

8.10 Proposición: Para 0 ß 1 −M8Ò+ß ,Ó, sea : 0 ß 1 ; œ'+,0 ÐBÑ1ÐBÑ.BÞ

Entonces

i : 0 ß 1 ; existe y es un número real.

ii : 0 2ß 1 ; œ : 0 ß 1 ; : 2ß 1 ;.

iii : 50 ß 1 ; œ 5 : 0 ß 1 ;.

iv : 0 ß 1 ; : 1ß 0 ; .

v : 0 ß 0 ; € !.

vi : 0 ß 0 ; œ ! Ê 0 œ !

Demostración: ejercicio. è

Ahora se toma m0 m œÈ# : 0 ß 0 ; ÞEntonces se tiene que:

8.11 Proposición:

i m0 m −‘

ii m0 m € !

iii m0 m œ ! Í 0 œ ! iv m50 m œ l5lm0 m

v l : 0 ß 1 ; l Ÿ m0 mm1m (Desigualdad de Cauchy-Schwars

vi m0 1m Ÿ m0 m m1m

Demostración: todas estas partes dependen directamente de las propiedades del

producto interno dadas en la proposición precedente. Son estudiadas en álgebra lineal elemental y su demortración queda a cargo del estudiante, de manera especial v y vi.

è

Note que si 0 ÐBÑ œ ! para B − Ò!ß "Ñy 0 Ð"Ñ œ " entonces : 0 ß 0 ; œ0 aun

cuando 0 Á !Þ Esto hace que en funciones integrables se requiera trabajar en clases de

equivalencia que no distinguen funciones no negativas con integral igual:

8.12 Ejercicio: Para 0 −M8Ò+ß ,Ó, tome0 œ ! Í7 '+,|0 ÐBÑl .B œ !# y tome

0 œ 1 Í 0 1 œ !7 7 Þ Determine cuales afirmaciones son falsas y cuales ciertas

Ðargumente matemáticamente):

1 0 œ 07 .

2 0 œ 1 Ê 1 œ 07 7 .

3 0 œ 17 y 1 œ 2 Ê 0 œ 27 7 .

4 0 œ 17 y Ê 0 6 œ 1 67 .

5 0 œ 17 y Ê 50 œ 51 a5 −7 , ‘Þ

6 Para 0 ß 1ß 2 − M8Ò+ß ,Óß 0 œ 17 y Ê 20 œ 21Þ7

Ahora estudiamos la convergencia de sucesiones de funciones en GÒ+ß ,Ó m mÞ,

Límite en la norma para G Ò+ß ,Ó

8.13 Definición: Sean 0 ß P −8 GÒ+ß ,Óß con 8 −ÞDecimos que 08converge en norma a

P, y lo denotamos 0 Ä Pß8 R o bien ß 637 0 œ PR 8 si

(5)

tal que

a ; !ß bO −% 8 ; O Ê 0 Pm 8 m : Þ è%

Aquí hemos hecho implícitamente una convención. A la norma m0 m œÉ'# 0 ÐBÑ.B la hemos

+, #

denotado R À R Ð0 Ñ œÉ'# 0 ÐBÑ.B Por tanto con mas precisión deberíamos haber escrito

+, #

0 Ä P8 637 0 œ PR 8 a ; !ß bO − 8 ; O Ê 0 P8

R

8Ä∞

o bien si % tal que R Ð Ñ :%

Esto ilustra cómo se tiene convergencia con otras normas. Por ejemplo Q Ð0 Ñ œ 7+B 0 ÐÒ+ß ,ÓÑ

es tambien una norma en GÒ+ß ,Ó y se tiene que

637 0 œ PM si a ; !ß bO − tal que 8 ; O Ê 0 P

8Ä∞ 8 8

% Q Ð Ñ :%

La norma Qtiene el inconveniente que no está dada por medio de un producto interno lo cual es

un limitante cuando de cálculo de coeficientes de series de funciones se trata.

Regresando a la norma R ß de manera idéntica al caso de sucesiones de reales se tiene

8.14 Proposición: Suponga que 0 Ä8 L y 8 ÄM, en , entonces

N N

1 GÒ+ß ,Ó À

i (0 8 18) Ä(LM). N

ii (+08) Ä + ß( L) N

iii (0 †8 18) Ä †L M. N

iv Si a −n ,aB − Mß f8ÐBÑÁ0 y LÐBÑ Á 0 entonces Š ‹ 1 Ä 1

f L

N

8

v Con las hipótesis de iv, gf8 N L

8 Ä Þ

Q

vi Si X − J ÐMÑß X0 Ä X Þ8 L è N

Existe otro tipo de convergencia dada por medio de "bolas" en GÒ+ß ,Ó, así.

8.15 Definición: dado en 0 GÒ+ß ,Ó y % ; !ß se llama la bola uniforme abierta con

centro en y radio y se denota 0 % FÐ0 ß Ñ% a

FÐ0 ß Ñ œ 1 − GÒ+ß ,Ó aB − Ò+ß ,Óß l1ÐBÑ 0 ÐBÑl :% ˜ ¸ %™. è

Con este tipo de "cercanía" se esta dando el equivalente a intervalo abierto con centro en un elemento y radio en , que podríamos haberlo denotado + % ‘ FÐ+ß Ñ% en el caso de ‘Þ

Copiando la definición de convergencia de sucesiones en con bolas ‘ FÐ+ß Ñ% se tiene:

Convergencia uniforme

8.16 Definición: Sean 0 ß P −8 GÒ+ß ,Óß con 8 −ÞDecimos que 08 converge

uniformemente a , y lo denotamos P 0 Ä Pß8 o bien ß 637 0 œ PY 8 si

Y

8Ä∞

tal que

a ; !ß bO −% 8 ; O Ê 0 − FÐPß8 %ÑÞ è

(6)

cualidades especiales se estudia si la convergencia en estudio implica la convergencia uniforme, que se sabe que las preserva.

En cuanto a convergencia

Sucesiones de funciones de l mite uniforme Ceroí

Denotamos WÐ!Ñ œ 0 −{ 8 l 0 Ä8 0 }. La estructura de WÐ!Ñse concreta a

Y

GÒ+ß ,Ó

continuación:

8.17 Proposición: S(0) es una subálgebra deGÒ+ß ,Ó. Es decirÀ

i S(0) es cerrado para .

ii S(0) es cerrado para el producto.

iii S(0) es cerrado para 50.

Demostración: Demostramos ii), las demás quedan como ejercicio. Sea % ; 0.

Tomamos %1 Ÿ È# % .

Como (0 Ä8 0) Í b ( N − tal que 8 ; N Ä 0 − FÐSß8 ) y por otro lado

Y

1 1 %1

(g8 0) ( N tal que N 8 ).

Y

Ä Í b 2− 8 ; 2 Ä 0 − FÐSß%1

Si N œ 7+B{N , N } entonces 1 2 À 8 ; N Ê

N ) y

8 ; 1 Ê 0 − FÐSß8 %1

N )

8 ; 2 Ê 1 − FÐSß8 %1 Þ

Así puesl0 ÐBÑl :8 %" y l1 ÐBÑl :8 %"ß aB − Ò+ß ,ÓÞLuego

, | | | || | .

aB − Ò+ß ,Ó 0 ÐBÑ1 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 1 ÐBÑ :8 8 8 8 %21 œ % è

Ahora las consecuencias son las mismas que en el caso de sucesiones de :‘

8.18 Proposición: Suponga que 0 Ä8 L y 8 ÄM, en , entonces

Y Y

1 GÒ+ß ,Ó À

i (0 8 18) Ä(LM).

Y

ii (+08) Ä + ß( L)

Y

iii (0 †8 18) Ä †L M.

Y

iv Si a −n ,aB − Mß f8ÐBÑÁ0 y LÐBÑ Á 0 entonces Š ‹ 1 Ä 1

f8 L

Y

v Con las hipótesis de iv, gf8 L

8 Ä Þ

Y Q

vi Si X − J ÐMÑß X0 Ä X Þ8 L è

Y

Las relaciones entre las convergencias son:

8.19 Proposición:

(0 Ä8 L) Ê 0 Ä( 8 L )Ê 0 Ä( 8 L). è

N Y P

(7)

Por desgracia tampoco es estraño que el estudiante, con esta convergencia concluya cosas erradas cuado esta no es suficiente e ignora verificar uniformidad.

Las relaciones y cerraduras son dadas para convergencia uniforme:

8.20 Proposición: Si 0 −8 0 Ä8 entonces

Y

GÒ+ß ,Ó y L

i P − GÒ+ß ,Ó

ii '-B 8 '-B Y

0 Ð>Ñ.> Ä LÐ>Ñ.t. è

Series de funciones

Note que en cualquiera de los casos de convergencia, dada una sucesión08−ßen GÒ+ß ,Ó,

tambien tiene sentido W œ8 03 que determina una nueva sucesión en GÒ+ß ,Ó W. 8− puede

3œ" 8

converger o no y si lo hace puede ser puntualmente, o en la norma de GÒ+ß ,Ó seleccionada, o

uniformemente. Usamos la notación si si

8œ" 8œ"

∞ ∞

8 8

0 œ Pßp W8 ÄL . 0 œ PßN

p

Igualmente

W Ä8 W Ä8

N

L y finalmente o simplemente si L. Se tiene por tanto:

8œ" 8œ"

∞ ∞

8 Y 8

0 œ P 0 œ P ß Y

8.21 Proposición: Sean 08, en P GÒ+ß ,Óß W œ8 03

3œ" 8

i

8œ" 8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞

8 8 Y 8

0 œ PN Ê 0 œ P Ê 0 œ Pp .

ii

8œ" ∞

8 Y

0 œ P Ê P − GÒ+ß ,Ó

ii '

8œ" 8œ"

∞ ∞

8 Y -B 8

0 œ P Ê'-BLÐ>Ñ. œt Y 0 Ð>Ñ.> è

Series de potencias

Un caso especial lo constituyen las series del tipo las cuales se denominan series de

8œ" ∞

8 8

+ B

potencias. Aquí W œ8 + B3 es un polinomio y por tanto está en GÒ+ß ,Ó cualquiera sea el

3œ" 8

3

intervalo Ò+ß ,Ó. De hecho el dominio de + B es todo . Se esperaría que + B con tan

3œ" 3œ"

8 8

3 3 ‘ 3 3

especiales 08 siempre convergiera y lo hicieran en todo , pero no es así, aun puntualmente.‘

Aqui mostramos que la convergencia depende de los + Þ8

Usando la condición de convergencia de series que dice que converge si ¹ ¹ y

8œ" ∞

8

8Ä∞ +

+

+ 637 8" : "

8

diverge si 637 ; ", aplicado a + ÐB +Ñ ß se obtiene que converge, para todo Bß

8Ä∞ +

+

8œ" ∞

8 8

¹ 8"¹

8

(8)

637 : " Í lB +l 637 : " Í lB +l : 637

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

+ ÐB+Ñ

+ ÐB+Ñ + +

+ +

¹ 8" 8"¹ ¹ ¹ ¹ ¹

8 8 8 8"

8" 8

Otros detalles son:

8.22 Proposición:

i Si 637 œ Vß entonces + B converge uniformemente en Ð Vß VÑ (su

8Ä∞ l+ l l+ l 8œ ∞ 8 8 8 8" 0

intervalo de convergencia) y diverge en Ð ∞ß VÑ ∪ ÐVß ∞Ñ.

ii

8œ 8œ

∞ ∞ ∞

8 8 8 8" 8 8" 8œ"

" 8"

0 0

+ B , 8+ B , + B ß tienen el mismo intervalo de convergencia.

iii HB H ÐB

8œ 8œ 8œ

∞ ∞ ∞

8 8 8 8" 8 8

0 0 0

+ B œ 8+ B œ + B ÑÞ

iv Si - − Ð Vß VÑ entonces '-BŠ + > ‹.> œ '-B+ > .>

8œ 8œ

∞ ∞

8 8 8 8

0 0

v En su intevalo de convergencia ,

8œ 8œ

∞ ∞

8 8 8 8 8 8

0 0

+ B œ , B Í + œ , a8Þ è

vi Para una función con derivadas de todos los órdenes en ,+

l0 ÐBÑ ÐB +Ñ l : l ÐB +Ñ l

3œ! 8

0 Ð+Ñ 0 Ð Ñ

3x 3 Ð8"Ñx 8"

Ð8Ñ 8"'

para algún entre y , con en el intervalo de convergencia de ' + B B ÐB +Ñ .

8œ! ∞

0 Ð+Ñ

8x 8

Ð8Ñ

8 23 Þ Ejemplos:

i :

8œ! ∞

8

B

Recuerde que B " œ ÐB "ÑÐ" B B â B8 # 8"Ñ

Por tanto B "B"8 œ " B B â B# 8", si B Á "

Ahora, cuando B œ "ß " B B â B# 8"œ 8 y por tanto

637 " B B â B œ ∞

8Ä∞

# 8"

Para B Á " W œ " B B â B. 8 # 8" œ B "B" y por tan 8 to 8œ! ∞ 8

B œ 637 œ

8Ä∞ B "

B" B" Ð 637 B Ñ"

8 8Ä∞ 8

Asi que 637 W depende estrictamente de la existencia de 637 B . De este sabemos

8Ä∞ 8 8Ä∞

8

que es ∞ si B ; " y es 0 si Ÿ B : "ÞPor tanto

entonces

a ! Ÿ B : " œ œ

8œ! ∞

8

B B"" "B"

Para diverge.

b B € "

c Para B œ " se tiene la sucesión B œ Ð "Ñ8 8la cual diverge y

8œ! ∞

8

B

diverge.

d Para B : ", se tienen dos puntos de acumiulación de la parte B8:

y

637 B œ ∞ 637 B œ 637 BB œ B637 B œ ∞

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

(9)

Por tanto para

8œ! ∞

8

B diverge B : ".

e Para " : B : !, es claro que B œ Ð "Ñ lBl Þ8 8 8 Ahora Ð "Ñ8 es acotada

y 637 lBl œ ! porque! : lBl : ". Así que 637 B œ

8Ä∞ 8Ä∞

8 8

637 Ð "Ñ lBl œ !

8Ä∞

8 8 .

En resumen:

8œ! ∞

8

B converge a "B" para lBl : "ß y diverge en cualquiera otra parte.

ii Cálculo de radio de convergencia de vía coeficientes:

8œ! ∞

8

B

Veamos qué diría la información del radio de convergencia sobre . Aquí

8œ! ∞

8

8

B + œ "ß

a8 −ÞAsí que V œ 637 l l œ "Þ B : "

8Ä∞ +

+

8"

8 Por tanto hay convergencia para | | ,

divergencia para | |B ; " y no afirma nada para | |B œ "Þ Sin embargo como lo hicimos aparte sabemos que en estos casos tambié diverge.

iii Hay otras series que se deducen a partir de esta por ejemplo:

a en

8œ! ∞

8

ÐB +Ñ œ "ÐB+Ñ" Ð+ "ß + "Ñ:

Si + −‘ß es cualquiera y lB +l : ", entonces

8œ! ∞

8

ÐB +Ñ converge y en

cambio diverge para lB +l € " y reeplazando por B B + de tiene

8œ! ∞

8

ÐB +Ñ œ "ÐB+Ñ" Þ

b

8œ! ∞

: 8

ÐB Ñ œ "B" : en lBl : ":

Lo mismo que antes, como |B œ B:| | | entonces :

8œ! ∞

: 8

ÐB Ñ converge para

|B : " Í lBl : ":| , además "B" Þ

8œ! ∞

:8

B œ :

c

8œ! ∞

8 8

Ð "Ñ B œ "B" , en lBl : ":

Igualmente l Bl œ lBlpor tanto lBl : " y o en la

8œ! ∞

8

Ð BÑ œ "ÐBÑ"

forma mas conocida En escritura extendida

8œ! ∞

8 8

Ð "Ñ B œ "B" Þ

.

" B B B B ⠜# $ % " "B

d

8œ! ∞

8

(10)

Si + −‘ß es cualquiera lB +l : " Í l+ Bl : ", entonces en este

intervalo .

8œ! ∞

8

Ð+ BÑ converge y en cambio diverge para lB +l € "

Además

8œ! ∞

8

Ð+ BÑ œ " "Ð+BÑ

e

8œ! ∞

8

Ð" BÑ œ "B en Ð!ß #Ñß en cualquier otra parte diverge:

En particular si + œ "ß . En suma

8œ! ∞

8

Ð" BÑ œ "Ð"BÑ" œ "B

8œ! ∞

8

Ð" BÑ œ "B en Ð!ß #Ñß en cualquier otra parte diverge

f

8œ! ∞

Ð"BÑ 8"

8" œ 68B, en (0,2).

El teorema de integración de series, aplicado a la parte implica que:e

Haciendo

' '

8œ! 8œ!

∞ ∞

" "

B 8 B Ð"BÑ

8"

Ð" >Ñ .> œ "> .> Í 8" œ 68BÞ 7 œ 8 "

se tiene que 68B œ œ ÐB "Ñ en (0,2).

7œ! 7œ!

∞ ∞

Ð"BÑ Ð"Ñ

7 7 7

7 7"

8.24 Ejemplos: Aproximación polinómica.

i En cuanto a aproximación polinómica, hagamosla para alrededor de 1:68

0 ÐBÑ œ 68B

0Ð"ÑÐBÑ œ " œ B" B

0Ð#ÑÐBÑ œ Ð "ÑB#

0Ð$ÑÐBÑ œ Ð "ÑÐ #ÑB$

0Ð%ÑÐBÑ œ Ð "ÑÐ #ÑÐ $ÑB% œ Ð "Ñ $x B$ % ã

0Ð8ÑÐBÑ œ Ð "Ñ8"Ð8 "Ñx B8Þ

Note que la fórmula para 8 œ "ßhecha manualmente es !. Por tanto

0Ð8ÑÐ Ñ œ Ð "Ñ1 8"Ð8 "Ñx18 œ Ð "Ñ8"Ð8 "Ñx. Así que

0 Ð Ñ Ð"Ñ Ð8"Ñx Ð"Ñ Ð"Ñ

8x 8x 8 8

Ð8Ñ1 8" 8" 8"

œ œ œ

Igialmente la fórmula para 8 œ !ßhecha manualmente es porque ! 0 Ð"Ñ œ ! y

Ð"Ñ Ð8"Ñx 8x

8"

no tiene sentido por no tener definido Ð "ÑxÞAsi que

0 Ð Ñ Ð"Ñ Ð8"Ñx Ð"Ñ Ð"Ñ

8x 8x 8 8

Ð8Ñ1 8" 8" 8 "

œ œ œ + 8 œ "ß #ß â

Por tanto , que coincide con lo hecho arriba.

7œ! 7œ!

0 Ð Ñ Ð"Ñ

8x 8 8 8

Ð8Ñ 1 8 "

ÐB "Ñ œ + ÐB "Ñ

Ahora, V œ 637 œ "Þ lB "l : "

8Ä∞º º

Ð"Ñ8 # 8" Ð"Ñ8 "

8

+

+ Por tanto la serie converge y diverge

(11)

ii Aproxime con 3 cifras decimales exactas la función , alrededor de 1:68

Aquí seguramente vale más mostrar las dificultades, que por lo general son normales si no se seleccionan como ejercicios aquellos que las tienen.

Si denotamos por I<ÐBß 8Ñ, al error de

3œ! 8

0 Ð Ñ

3x 3

Ð3Ñ 1

ÐB "Ñ relativo a 68 Bß entonces,

según sabemos, I<ÐBß 8Ñ : ¸0Ð8"Ñx8"Ð Ñ' ÐB "Ñ8"¸ß para algún entre y . Es decir' B "

que

I<ÐBß 8Ñ :¸Ð"Ñ(8"Ñ"ÐÐ8"Ñ"Ñx'Ð8"Ñ 8"¸ ¸œ 'Ð8"Ñ 8"¸ Ð8"Ñx ÐB "Ñ 8" ÐB "Ñ

para algún entre y . La aproximacion pedida queda garatizada si, por ejemplo,' B " ¸ " ˆ ‰ ¸

8"

8" %

( ) B"' : "!

esto para todo B − Ð!ß #Ñy todo entre y . Hay entonces dos casos básicamente:' B "

En este caso

a " Ÿ' : B : #Þ

! Ÿ' " : B " : " Ê ! Ÿ '"' : B"' : '" Ÿ " Ê ! : B"' : "Þ b ! : B Ÿ' : " Ê " : B " Ÿ ' " : ! Ê

" : B" Ÿ " : ! Ê " : B" : ! Ê ! : B" : " : "

' ' ' ' ' ' '

' ¸ ¸

En cualquiera de los dos casos a y b ! :¸B"' ¸: ". Por tanto, si usamos esta cota se tiene que

¸ " ˆ ‰ ¸ ¸ " ¸ ¸ ¸ " 8" 8" 8"

8" 8"

( ) B"' œ ( ) B"' : ( )

Así que I<ÐBß 8Ñ estará garantizado menor que "!% si (8"" ) : "!%t Í "! " : 8Þ% Es decir si 8 œ "! Þ% Este procedimiento garantiza pues que

8œ! "!

Ð"Ñ

8 8

% 8 "+

ÐB "Ñ

aproxima a 68 Bcon tres cifras decimales exactas para cualquier ß B − Ð!ß #Ñ. Por

supuesto que 10 es un número alto de términos, algo poco práctico para hacer con una%

calculadora, por ejemplo. Pero en cambio si se quiere calcular algo mas específico, por ejemplo cuando B œ "ß & entonces

" Ÿ' : 1,5Ê! Ÿ' " : !ß & Ê ! Ÿ '"' : !ß&' : !ß &Þ

Así que ¸ 8"" ˆ ‰ ¸8" % se obtiene si ¸8"" ˆ ‰ ¸0,5 8" % o

( ) ( )

0,5"

' : "! : "!

equivalentementeÐ8"Ñ#" % El lector verificará que el mínimo n es

8" : "! Þ *Þ

Aqui damos algunos calculos de aproximación de 68 hechos por la serie de Taylor en Mupad y aplicados a 68 "Þ&Þ Lo comparamos con el valor dado por una calculadora, el cual a su vez es una aproximación.

Segun la calculadora 68 "Þ& œ !Þ%!&%'&"!)Þ

Ahora note: si X ÐBÑ8 denota la aproximación -ésima de 8 68 B alrededor de 1 se tiene

X ÐBÑ œ B % ( 1) 1/2*( B 1) 2 1/3*( B 1) 3 1/4*( B 1) 4 O(( B

(12)

X Ð"Þ&Ñ œ% 0.4010416667

X ÐBÑ œ B * ( 1) 1/2*( B 1) 2 1/3*( B 1) 3 1/4*( B 1) 4 1/5*( B

1) 5 1/6*( B 1) 6 1/7*( B 1) 7 1/8*( B 1) 8 1/9*( B 1) 9 O((B

1) )10

X Ð"Þ&Ñ œ* 0.4055323041

X ÐBÑ œ B "! ( 1) 1/2*( B 1) 2 1/3*( B 1) 3 1/4*( B 1) 4 1/5*(B 1) 5 1/6*( B 1) 6 1/7*( B 1) 7 1/8*( B 1) 8 1/9*( B 1) 9

1/10*( B 1) 10 O(( B 1) )11

X Ð"Þ&Ñ œ"! 0.4054346478.

X ÐBÑ œ B #& ( 1) 1/2*( B 1) 2 1/3*( B 1) 3 1/4*( B 1) 4 1/5*(B 1) 5 1/6*( B 1) 6 1/7*( B 1) 7 1/8*( B 1) 8 1/9*( B 1) 9

1/10*( B 1) 10 1/11*( B 1) 11 1/12*( B 1) 12 1/13*( B 1) 13

1/14*( B 1) 14 1/15*( B 1) 15 1/16*( B 1) 16 1/17*( B 1) 17 1/18*(B 1) 18 1/19*( B 1) 19 1/20*(B 1) 20 1/21*( B 1) 21 1/22*( B 1)22

1/23*( B 1) 23 1/24*( B 1) 24 1/25*( B 1) 25 O(( B 1) )26

X Ð"Þ&Ñ œ#& 0.4054651085Þ

De lo precedente se nota que, bajo el supuesto de que la calculadora este bien en las 10 cifras decimales que provee, la aproximación de grado 4, específicamente en 1.5, tiene dos cifras decimales coincidentes. La aproximación de grado 9 tiene 3, la de grado 10 tiene 4. Nuestro cálculo del grado del polinomio para 3 cifras decimales exactas coincide entonces con la realidad, luego fue una muy buena predicción.

Una aproximacion de Taylor, de grado 10, hecha con calculadora, es razonable para

una aproximación de 4 cifras decimales exactas.

Finalmente, el primer polinomio de Taylor que iguala a la calculadora para 68 "Þ5

es de grado 25. Realmente la supera. Pero veamos que pasa con B œ "Þ*Þ Los

resultados son

Taylor de grado 25: 0.573975 Calculadora: 0.641853886

Si aceptamos que la calculadora esta bien entonces es claro que la serie de Taylor de grado 25 no aproxima siquiera una cifra decimal de 68 "Þ*. Eso muestra que el dato de que se necesita un polinomio de grado "!% para aproximar con 3 cifras decimales

exactas TODOS lo logaritmos naturales en el dominio 0,2 no es tan descablelladoÐ Ñ

despues de todo.

8.25 Ejemplos: Use series para resolver la ecuacion diferencial

Ї‡Ñ 0 ÐBÑ œ $0 ÐBÑ $ßw con 0 Ð!Ñ œ #

y determine en qué espacio halló la solución.

Supuesto que es representable en series de potencias, entonces 0 0 ÐBÑ œ+ B . Por tanto

8œ! ∞

(13)

0 ÐBÑ œw 8+ B8" ‡‡

8œ" ∞

8

y ( ) llega a ser

0 ÐBÑ œw 8+ B8" œ $ + B $Þ8

8œ" 8œ!

∞ ∞

8 8

Ahora si 8 œ "ß 8 " œ !, lo cual indica que 8+ B realmente inicia en potencia y la!

8œ" ∞

8 8"

experiencia indica que conviene reescribirla. Tomando 7 œ 8 "ßentonces

8œ" 7œ! 8œ!

∞ ∞ ∞

8 8" 7" 7 8" 8

8+ B œ Ð7 "Ñ+ B œ Ð8 "Ñ+ B , y (‡‡) queda

8œ! 8œ! 8œ"

∞ ∞ ∞

8" 8 8 8 ! 8 8

Ð8 "Ñ+ B œ $ + B $ œ Ð$+ $Ñ $+ B Þ

Por igualdad de series

+ œ Ð$+ $Ñ" !

Ð8 "Ñ+8" œ $+8, para 8 ; "Þ O bien +8"œ 8"$+8

Como 0 Ð!Ñ œ #, entonces # œ 0 Ð!Ñ œ+ ! œ + ÞAsí que + œ #. Ahora cálculos

8œ! ∞

8 8 ! !

sucesivos son:

+ œ Ð$+ $Ñ" !

+ œ Ð$+ $Ñ# $# !

+ œ$ $# Ð$+ $Ñ!

# #

+ œ% $# Ð$+ $Ñ!

# $

+ œ& &‚#$ Ð$+ $Ñ!

$ $

+ œ' &‚'‚#$ Ð$+ $Ñ!

% $

+ œ( #‚$‚%‚&‚'‚(‚#$ Ð#‚$‚%Ñ Ð$+ $Ñ œ! $(xÐ$+ $Ñ!

&

$

'

+ œ) $ $) (xÐ$+ $Ñ œ! $)xÐ$+ $Ñ!

' (

y en general

+ œn $8x Ð$+ $ÑÞ!

8"

Note que entonces 0 ÐBÑ œ B lo cual muestra que la ecuación tiene infinitas

8œ! ∞

$ Ð$+ $Ñ 8x 8

8" !

soluciones, una para cada valor de +! y de manera evidente el intervalo de convergencia no depende de este valor. Además el cálculo de su intervalo de convergencia muestra que es todo

(14)

0 ÐBÑ œ B œ $ B œ $ B œ $

8œ! 8œ! 8œ! 8œ!

∞ ∞ ∞ ∞

$ $ $

8x 8 8x 8 8x 8 8x

Ð$BÑ

8 "+ 8 8 8

.

En principio los últimos 4 pasos son innecesarios. Pero se agregaron para mostrar algo que es común: comparar con series conocidas. En los ejercicios se le pide guardar resultados de series clásicas y una de las razones es la de comparar series obtenidas, como aquí, con las conocidas. Le queda como ejercicio al lector determinar cual función conocida es la solución de (‡‡ Þ)

8.26 Ejercicios:

1 Calcule la serie de potencias de cada una de las funciones siguientes "clásicas" y determine exactamente en qué espacio es válida. Una vez que la concrete, mantenga esta información al alcance de la mano, es decir en su formulario personal.

i IB: B

ii =/8 B

iii 68 B iv >+8 B v +<- >+8 B

vi =/82 B

vii +<- >+82 B

2 Calcule la serie de potencias de cada una de las funciones siguientes y determine

exactamente en qué espacio es válida.

i '+B >/ .># ii +<- >+8B#

iii >+8 B iv 68B$

, alrededor de 3

v B B B# & '

un polinomio cualquiera.

vi :ÐBÑß

un polinomio cualquiera pero alrededor de .

vii :ÐBÑß +

3 Suponga que 0 ÐBÑ œ+ ÐB $Ñ ßes invertible y 0 Ð$Ñ œ #Þ Determine la

3œ! ∞

8 8

aproximación polinómica de grado 4 alrededor de 2 de 0". Argumente sobre la posibilidad de calcular la serie de potencias de 0"alrededor de 2, junto con su intervalo de convergencia.

4 Demuestre que, en su intevalo de convergencia ,

8œ 8œ

∞ ∞

8 8 8 8 8 8

0 0

+ B œ , B Í + œ , a8Þ

& Solucione la ecuación en el espacio dado.

/#; &/ % œ !; en GÒ!ß "Ó.

6 Demuestre que si es un intervalo cerrado entonces M CÒMÓ©+BÒMÓ

7 Suponga que 0 Ä8 L y 8 ÄM, en

p p

1 J ÐMÑ. Muestre que:

(15)

ii Si a −n ,aB − Mß f8ÐBÑÁ0 y LÐBÑ Á 0 entonces Š ‹ f1 Äp 1L

8

iii Con las hipótesis de ii, gf8 p L

8 Ä Þ

Q

8 Demuestre 8.21.

9 En el problema 1 hay casos en los cuales se puede dar la serie por medio modificaciones

de como en los ejemplos además de la de Taylor. Use esto para deducir fórmulas

8œ! ∞

8

B ß

para 0Ð8ÑÐ+Ñ, sin recurrir a derivación iterada, en cada uno de los casos en donde la dualidad se dé.

10 Solucione las siguientes ecuaciones diferenciales

i CÐ#Ñ BCÐ"Ñ B C œ B 'B %# $ .

ii BC C œ =/8Bw

iii BC C œ 68Bw

iv CÐ#Ñ BCÐ"Ñ B C œ !#

11 En el ejercicio precedente determine en qué casos el proceso completo de series era

necesario o, por el contrario, podria haerse hecho con aproximaciones de Taylor, y de qué grado. En esos casos contruya ejemplos de ese proceso.

12 Calcule lqa aproximación de Taylor con 3 cifras decimales exactas alrededor del punto

i IB: B Ð alrededor de !ÑÞ

alrededor de

ii =/8 B Ð 1ÑÞ

alrededor de

iii 68 BÐ #ÑÞ

alrededor de

iv >+8 BÐ !ÑÞ

alrededor de

v +<- >+8 BÐ "ÑÞ

alrededor de

vi =/82 BÐ !ÑÞ

alrededor de

Figure

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