EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

14  2037  28 

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(1)

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

1.- La información que sigue representa el número de llamadas diarias al servicio de emergencia por el servicio voluntario de ambulancias de una comunidad, durante los últimos 50 días. En otras palabras hubo 22 días en los que se realizaron 2 llamadas de emergencia ..

N° Llamadas 0 1 2 3 4

Frecuencia 8 10 22 9 1

a) Determine la función de probabilidad y la función de distribución b) Determine la Esperanza Matemática y la desviación estándar

Solución:

X = llamadas diarias a un servicio de emergencia

Rx = [0, 1, 2, 3,4]

TABULAR

X 0 1 2 3 4

Frcc 8 10 22 9 1 =

50

P(x) 0.16 0.20 0.44 0.18 0.02 1

F(x) 0.16 0.36 0.80 0.98 1

X

p(x) 0 0.20 0.88 0.54 0.08 =

1.70

x^2 * p(x)

0 0.20 1.76 1.62 0.32 =

3.90

0

))

(

(

)

(

2 2

)

(

X

E

x

E

x

V

=

0.16

0.36

1

.

0100

0.80

2

=

σ

σ

=

1

.

000

=

1

.

005

0.98

1

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

<

<

<

<

<

X

X

X

X

X

X

F (X)

F(X)

0 1 2 3 4 X

1

0.98

0.80

0.36

0.16

Gráficamente

P(X)

0 1 2 3 4 X

(2)

2.- El director de admisión de una universidad calculó la distribución de admisiones de estudiantes para el segundo semestre con base en la experiencia pasada. ¿Cuál es el número de admisiones esperado para el segundo semestre? Calcule la varianza y la desviación estándar del número de admisiones.

Admisiones 1000 1200 1500

Probabilidad 0.6 0.3 0.1

Solución:

x 1000

1200

1500

P(x) 0.6 0.3 0.1 1

0.6

0.9 1

X(p) 600 360 150 1110

X

2

p(x)

600 000

432 000

225 000

1257 000

1110

)

(

)

(

)

(

=

=

X

E

X

XP

X

E

))

(

(

)

(

2 2

)

(

X

E

x

E

x

V

=

=

24900

8

.

157

24900

=

=

σ

3.-Una caja contiene 4 bolas rojas y 6 bolas azules, se sacan 3 bolas sucesivamente y con restitución. Si usted gana S/.20 por cada bola roja y S/. 10 por cada bola azul ¿Cuánto debería pagar por el derecho a jugar para que el juego fuese equitativo?

Solución:

4 ROJAS

6 AZULES

R: S/. 20

A: S/. 10

X

: ganancia total al jugar

L:

la cantidad que deposita x derecho del jugador

E(X – L) = 0

E(X) = L

A Y B son constantes

)

(

)

(

)

(

)

(

2

x

V

b

ax

V

b

x

E

b

ax

E

a

=

+

+

=

+

X= ganancia total

Rx =

30

,

40

,

50

,

60

AAA AAR ARR RRR

ARA RRA

(3)

PROBABILIDADES:

)

2

10

6

(

10

6

10

6

10

6

)

30

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

30

(

=

〉〈

〉〈

=

=

=

=

=

X

P

A

P

A

P

A

P

AAA

P

X

P

C

RAA

ARA

AAR

P

X

P

(

=

40

)

=

(

)

=

32

= (6/10)

2

(4/10)

A R

)

)

3 2 3

2

10

4

(

)

(

)

60

(

10

4

)(

10

6

(

)

50

(

=

=

=

=

=

RRR

P

X

P

X

P

C

X 30 40 50 60

P(X) (6/10)3

3(6/10)

2

(4/10) 3(6/10)(4/10)

2

(4/10)

3

E(X-L) = E(X)-L=0=====

Î

E(x)=L

L = S/.42 equitativo

Es decir, se debe pagar S/.42 por derecho a jugar para que el juegue resulte

equitativo.

4.-LAN Perú tiene 5 vuelos diarios de Lima a Chiclayo. Suponga que la probabilidad que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20 ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy?

Solución:

X: vuelos que llegan tarde a Chiclayo

Rx: = (0,1,2,3,4,5)

X~B(n, p)

P= 0.20 éxito Lleguen tarde

P(x = X) =

5

)

)

5

8

.

0

(

2

.

0

(

x x x

c

a) Ninguno de los vuelos llegue tarde x=0

( ) ( )

0

.

2

0

.

8

0

.

32768

)

0

(

X

=

=

C

50 0 5

=

P

b) Exactamente uno de los 5 vuelos llegue tarde x=1

( ) ( )

0

.

2

0

.

8

0

.

4096

)

1

(4)

5.-Se lanza un dado 10 veces. Calcular la probabilidad de obtener 4 veces seis

Solución:

X: # veces que aparece el número “6” en los 10 lanzamientos del dado

Rx = {0,1,2,3,………,10}

Evento obtener un “6” es igual a 1/6

E (salga 6)

F (no salga6)

P (E) = 1/6

P (F) =5/6

Se lanza un dado 10 veces

n=10

Donde cada lanzamiento es independiente y sólo hay 2 resultados éxito o

fracaso

X

B

(

n

,

p

)

0543

.

0

6

5

6

1

)

4

(

6

5

6

1

)

(

6 4 10

4

10 10

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

C

C

X

P

X

X

P

x x

X

6.- En Huancayo en el mes de octubre, la lluvia cae con un promedio de uno cada 4 días durante los que el cielo está nublado. Determine la distribución de probabilidad del número de días con lluvia entre los 4 próximos días nublados, suponiendo se cumple independencia. Encuentre la media y la varianza del número de días lluviosos. Presente también la gráfica de la distribución de probabilidad

Solución:

X : Nº de días con lluvia durante 4 días nublados

RX= ( 0, 1, 2, 3, 4)

E: si llueve o no uno de los 4 días nublados

N=4

E (llueve) P ( E) =1/4 =P

P (no llueve) P(F) =3/4

(5)

(

)

(

)

4

3

4

3

4

1

4

)

1

(

)

(

1

4

1

4

)

(

75

.

0

25

.

0

)

(

1

)

(

4 4

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

− −

x

x

p

np

x

V

np

x

E

x

x

p

P

x

x

p

x x x x n x n x

c

p

c

7.- Un estudiante se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el estudiante está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 ó mas preguntas. ¿Cuá es la probabilidad de aprobar el examen?

Solución:

X: numero de respuestas correctas contestadas en las 8 preguntas

Rx: { 0,1,2,3,4,……….8}

X ~B(n, p) x = 0, 1, 2…………..n

n = 8

Se esta adivinando la respuesta de de 3 alternativas

p=1/3 éxito

1-p=2/3 fracaso

Para aprobar el Examen se deben contestar 6 o más preguntas

X X X x X X X

C

C

X

P

X

P

X

P

X

P

X

X

P

− = −

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

+

=

+

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

8 8 8

6 8 8

3

2

3

1

)

8

(

)

7

(

)

6

(

)

6

(

3

2

3

1

)

(

02

.

0

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

8 8 8

8 7 8 7 2 6 8 6

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

C

C

C

8.-Un fabricante de piezas de carro, envía en lotes de 20 a sus clientes. Suponer que cada pieza está defectuosa o no lo está, y que la probabilidad de que cualquiera de ellas está defectuosa es de 0,05.

a) Cuál es el número esperado de piezas defectuosas por lote?

(6)

Solución:

X: numero de piezas defectuosas en un lote de 20 piezas

Rx = {0, 1, 2,……..20}

p = 0.005 que una pieza sea defectuosa

(

20

,

0

.

05

)

B

X

a)

( )

( )(

)

( )

(

)

(

)(

)

(

)

(

) (

X

)

X X

C

X

X

P

p

np

X

V

np

X

E

Media

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

20 20

2

95

.

0

05

.

0

95

.

0

95

.

0

05

.

0

)

20

(

1

1

05

.

0

20

σ

Sea Y variable aleatoria

Y = numero lotes que no tienen piezas defectuosas en 10 lotes solicitados, hay

que hallar el py es decir que un lote no tengo piezas defectuosas x=0

b)

{

}

(

)

(

)

(

) (

)

( )

(

10

)

(

0

.

3585

)

3585

.

0

95

.

0

05

.

0

0

10

,

10

..

...

2

,

1

,

0

20 0

20

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nPy

Y

E

x

p

p

n

p

n

B

y

lotes

Ry

y

c

μ

=

3

.

585

4

lotes

Interpretación: 4 lotes no tienen ninguna pieza defectuosa

9.- Un estudio del Ministerio de Transportes concluyó que el 76,2% de quienes ocupaban la parte anterior en los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los 2 ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad. Seleccione una muestra de 12 vehículos

a) Cuál es la probabilidad de que los ocupantes de la pare delantera de exactamente 7 de 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad

b) Cual es la probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 7 de 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad

Solución:

X: nº vehículos cuyos ocupantes de la parte delantera utilizan cinturón de

seguridad.

E (usen) 0.762

F (no usen) 0.238

n = 12

a)

(

)

(

) (

)

n

X

X

X

P

X X

X

C

...

...

2

,

1

,

0

218

.

0

762

.

0

12

12

=

=

(7)

b)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

X

X

X

C

C

X

P

X

P

− =

Σ

=

=

=

=

12 12

7 12

7

5 7

12 7

238

.

0

762

.

0

7

0902

.

0

238

.

0

762

.

0

7

10.-Una empresa tiene 50 empleados en el departamento de ensamblaje, 40 empleados pertenecen a un sindicato y 10 no. Se elige al azar 5 empleados para formar un comité que hablará con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 empleados elegidos para formar parte del comité pertenezcan a un sindicato?

Solución:

0383

.

0

1436

.

0

2467

.

0

2569

.

0

1805

.

0

0902

.

0

+

=

+

+

+

+

0

=

.

9562

(

)

1

1

1

2

=

=

=

⎟⎟

⎜⎜

=

N

n

N

X

p

np

np

n

n

c

nn

σ

μ

(

)

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

n

N

k

n

M

N

K

M

K

X

P

Población 50 empleados

N= 50 empleados

(8)

(

)

(

)

0

,

431

5

50

1

10

4

40

4

5

50

5

10

40

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

x

p

K

K

k

X

P

INTERPRETACION:

El 43.1% de los comités esta formado por 4 sindicalistas.

11.-Una urna contiene 5 esferas blancas y 6 rojas. Se extrae 4 esferas de la urna sin reposición. Hallar la distribución de probabilidad del número de esferas rojas extraídas.¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente 3 esferas rojas? ¿Cuál es el número esperado de esferas rojas extraídas?

Solución:

X = Nº esferas rojas extraídas de la urna

Rx = {0, 1, 2, 3, 4}

n = 4 tamaño de la muestra

M= 6 éxitos de la población

N = 11 tamaño de la pobación

(

)

=

=

1

1

2

N

n

N

p

np

np

σ

μ

(9)

(

)

(

)

(

)

( )

11

6

)

(

11

24

11

6

4

4

1

1

5

3

6

3

4

11

4

5

6

,

,

=

=

=

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

P

ROJA

P

np

X

E

X

P

X

X

X

X

P

M

n

N

H

x

μ

12.- En cierta clínica hay 20 enfermos de los cuales se sabe que el 30% tienen cáncer, se extrae aleatoriamente 4 pacientes para el despistaje de cáncer.

a) Cuál es la probabilidad que al menos uno tenga cáncer? b) Cuál es el número esperado de pacientes con cáncer?

Solución:

X = Nº de enfermos con cáncer en la muestra de 4 pacientes

Rx = {0, 1, 2, 3, 4}

n = 4

N = 20 población

M=20*0.3 = 6 tienen cáncer

(

)

(

)

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

=

=

4

20

4

14

6

,

,

X

X

X

X

P

M

n

N

H

x

x= 0,1,2,3,4

a) P(X

1) = 1 – P(X<1)= 1 – p(X=0) =1-

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

4 20

0 4

14 0 6

b)

( )

5

6

20

6

4

=

=

=

E

X

np

(10)

13.- Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razón de 24 por hora durante el período de tiempo entre 11.30 am y 12 m de cierto día ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 5 personas lleguen durante un período de tiempo de 12 minutos?¿Cuál que lleguen menos por lo menos 10 personas? ¿Qué lleguen a lo más 12?

X = Nº de personas que llegan durante un período de 12 minutos

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

t

e

X

X

P

x

P

x

x

t

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

α

=

λ

t=24*12/60=4.8 ocurrencias cada 12 minutos

(

)

(

)

!

)

8

.

4

(

:

8 . 4

x

e

X

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

a)

(

)

0

.

1747

!

5

)

8

.

4

(

5

5 8 . 4

=

=

=

e

X

P

probabilidad que exactamente 5

personas lleguen en 12 minutos.

b)P(X

10)= 1 – p(X

9)= 1-

!

)

8

.

4

(

8 . 4 9

0

x

e

x

x

=

=1-0.9749=0.0251

c)P(X

12)=

!

)

8

.

4

(

8 . 4 12

0

x

e

x

x

=

=0.9986

14.- El tablero conmutador de cierta universidad, indica un promedio de 2 llamadas cada 3 minutos. Asumiendo un proceso de poisson.¿Cuál es la probabilidad que ocurran 5 o más llamadas en dicho período?

X = Nº de llamadas en un período de 9 minutos

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

t

e

X

X

P

x

P

x

x

t

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

α

=

λ

t=2*3=6 llamadas cada 9 minutos

(

)

(

)

!

)

6

(

:

6

x

e

X

X

P

x

P

x

x

=

=

(11)

(

)

0

.

7146

!

)

6

(

1

)

4

(

1

)

5

(

1

5

6 4

=

=

=

<

=

=

e

x

X

P

X

P

X

P

x

o x

probabilidad

que mas de 5 llamadas lleguen en 9 minutos.

15.- Se ha observado que las cajas de cerveza Brahma se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 cajas por hora durante el período de mayor venta. ¿Cuál es la probabilidad de que se saque al menos una caja durante los primeros 6 minutos de un período de mayor venta? ¿Cuál es la probabilidad que se tome del estante al menos una caja durante cada uno de 3 intervalos consecutivos de 6 minutos?

X = Nº de cajas tomadas en un período de 6 minutos

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

t

e

X

X

P

x

P

x

x

t

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

1 hora se retiran 10 cajas

1 caja cada 6 minutos

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

α

=

λ

t=10*6/60=1 ocurrencias cada 6 minutos

(

)

(

)

!

!

)

1

(

:

1 1

x

e

x

e

X

X

P

x

P

x

x

=

=

=

λ

a)

(

)

0

.

6321

!

0

1

)

0

(

1

)

1

(

1

1

1

=

=

=

=

<

=

P

X

P

x

e

X

P

probabilidad que

saquen más de una caja durante 6 minutos

b)Consideremos X1, X2, X3 cada una variable independiente

P(X

1≥

1)* P(X

2≥

1)* P(X

3≥

1)=0.6321*0.63210.6321=0.25244

16.- Se sabe que un líquido particular contiene ciertas bacterias a razón de 4 bacterias por cm3. Se toma una muestra de 1 cm3 ¿Cuál es la probabilidad de que en 0,5 cm3 haya por lo

menos una bacteria?

X = Nº de bacterias en un 0.50 cm3

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

t

e

X

X

P

x

P

x

x

t

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

(12)

(

)

(

)

!

)

2

(

:

2

x

e

x

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

(

)

0

.

8647

!

0

)

2

(

1

)

0

(

1

)

1

(

1

1

0 2

=

=

=

=

<

=

P

X

P

x

e

X

P

probabilidad que

halla más de una bacteria en 0.50 cm3

17.- La siguiente distribución estadística de la distribución del número de días (ni) sin accidentes, con un accidente,…..4 accidentes, para un período n=50 días en una ciudad. Determine la esperanza y varianza de la distribución de probabilidades y compare el valor teórico con el valor observado.

N° accidentes 0 1 2 3 4

N° días 21 18 7 3 1

Solución:

X 0 1 2 3 4

Total

N° días 21 18 7 3 1

50

p(x) 0.42 0.36 0.14 0.06 0.02

1

xp(x)

0 0.36 0.28 0.18 0.08

0.9

x^2

*

p(x) 0 0.36 0.56 0.54 0.32

1.78

E(x)=0.9

V(x)= 1.78 – (0.9)2 =0,97 ~ E(x) podemos decir que sigue una distribución de poisson

(

)

(

)

!

)

9

.

0

(

:

9 . 0

x

e

x

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

X 0 1 2 3 4

Total

p(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

1

Calculando los valores teóricos y comparando con los originales:

X 0 1 2 3 4

Total

N° días

(Observado) 21 18 7 3 1

50

N° días (Teórico)

20 18 8 2 1 50

18.- Un promedio de 2 automóviles por minuto ingresan a la salida de la autopista de Ventanilla. La distribución de ingresos se aproxima a una distribución de Poisson

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil ingrese en un minuto?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos ingrese un automóvil en un minuto?

(13)

(

)

(

)

!

)

(

:

x

e

X

X

P

x

P

x

x

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida=2

(

)

(

)

!

)

2

(

:

2

x

e

x

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

a)

(

)

0

.

1353

!

0

)

2

(

0

0 2

=

=

=

e

X

P

b)

(

)

0

.

8647

!

0

)

2

(

1

)

0

(

1

)

1

(

1

1

0 2

=

=

=

=

<

=

P

x

P

x

e

X

P

19.- Se calcula que el 0,5% de quienes se comunican al Dpto de servicio al cliente de Dell, escuchará un tono de línea ocupada. ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 personas que se comunicaron hoy, por lo menos 5 hayan escuchado un tono de línea ocupada?

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

α

=np=100*0.005=6 ocurrencias

n grande y p pequeño la binomial se aproxima a una Poisson

X = Nº de personas que llamaron y escucharon el tono ocupado

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

e

X

X

P

x

P

x

x

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

(

)

(

)

!

)

6

(

:

6

x

e

x

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

(

)

0

.

7149

!

)

6

(

1

)

4

(

1

)

5

(

1

5

6 4

0

=

=

=

<

=

x

e

x

P

X

P

X

P

x

probabilidad

(14)

20.- Los autores y editores de libros trabajan mucho para reducir al mínimo la cantidad de errores en un libro. Sin embargo, algunos errores son inevitables. El Señor J.A. Carmen, editor de libros de estadística, informa que el promedio de errores por capitulo es de 0,8 ¿cuál es la probabilidad de que se comentan menos de 2 errores en determinado capitulo?

X = Nº de errores tipográficos en un libro

Rx = {0, 1, 2, 3,……….}

(

)

(

)

!

)

(

:

x

e

X

X

P

x

P

x

x

λ

λ

λ −

=

=

x= 0,1,2,3,4

λ

: Número de ocurrencias de eventos en una unidad de medida=0.8

(

)

(

)

!

)

8

.

0

(

:

8 . 0

x

e

x

X

P

x

P

x

x

=

=

λ

a)

(

)

0

.

8088

!

)

8

.

0

(

)

1

(

2

8 . 0 1

0

=

=

=

<

x

e

x

P

X

P

Figure

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Referencias

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