Un poco de historia: derivada de una funci´

135  Descargar (0)

Texto completo

(1)

C´alculo Infinitesimal Grado en Matem´aticas

Renato ´Alvarez-Nodarse

Universidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

(2)

Uno de los problemas m´as antiguo de la Geometr´ıa y por tanto de

la Matem´atica era el problema de encontrar las rectas tangentes y

normales a una curva dada. Este problema tiene un sinf´ın de aplicaciones pr´acticas:

1 Calcular el ´angulo entre dos curvas (Descartes)

2 Construir telescopios (Galileo)

3 Encontrar m´aximos y m´ınimos (Fermat)

4 Velocidad y aceleraci´on del movimientos de cuerpos (Galileo,

Newton)

5 Astronom´ıa, movimiento de los cuerpos celestes (Kepler,

(3)

Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia.

x=a y=p x+q y=m x+n

0 y

x

Figura:La rectay =mx+ntangente a una curva f(x) y recta normal

(4)

Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia.

x=a y=p x+q y=m x+n

0 y

x

Figura:La rectay =mx+ntangente a una curva f(x) y recta normal

(5)

Intentemos calcular la pendiente m de la recta tangente.

y

0

x

a a+h

y=m x+n f(x)

f(a+h) b

f(a)

s+h s

De la figura podemos comprobar que la pendiente toma el valor:

m= f(a)

s =

b

s+h =

bf(a)

h .

(6)

m= f(a)

s =

b

s+h =

bf(a)

h

Si h es “muy” peque˜nob f(a+h)

m f(a+h)−f(a)

h .

Fermat usaba la f´ormula anterior s´olo para aquellas curvas donde

desapa-rec´ıa el t´ermino h del denominador y

luego sustitu´ıa h = 0.

Por ejemplo: Sea la par´abolay =x2

m (a+h)

2a2

(7)

m= f(a)

s =

b

s+h =

bf(a)

h

Si h es “muy” peque˜nob f(a+h)

m f(a+h)−f(a)

h .

Fermat usaba la f´ormula anterior s´olo para aquellas curvas donde

desapa-rec´ıa el t´ermino h del denominador y

luego sustitu´ıa h = 0.

Por ejemplo: Sea la par´abolay =x2

m (a+h)

2a2

h = 2a+h ⇒ m= 2a.

Esto no funciona para funciones m´as “complicadas”:f(x) = sinx

(8)

Otro genial matem´atico que consider´o el problema fue Barrow

y

0

x y=m x+n f(x)

(x,y) (x+h,y+k)

A B

k

h C

(9)

Ejemplo: la hip´erbola f(x,y) =xy p = 0,p R.

f(x+h,y+k) = 0 = (x+h)(y+k)p = 0

(x·yp)

| {z }

=0

+h·y+x·k+h·k = 0,

por tanto

h·y+x·k = 0 k

h =−

y x.

Los dos m´etodos descritos se hace uso de “cantidades

infinit´esimales”, pero ¿qu´e son esas cantidades infin´ıtesimales?

(10)
(11)

Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matem´aticas est´an des-critas por un movimiento continuo: “Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposi-ci´on de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. ” Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del c´alculo:

(12)

Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matem´aticas est´an des-critas por un movimiento continuo: “Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposi-ci´on de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. ” Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del c´alculo:

P1 Dada la relaci´on entre las cantidades fluentes (variables), encontrar la relaci´on de las fluxiones (derivadas),

P2 Cuando una ecuaci´on para las fluxiones (derivadas) de

(13)

En De quadratura curvarum(1704) describe un m´etodo directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f(x) =xn

(14)

En De quadratura curvarum(1704) describe un m´etodo directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f(x) =xn

Cuando la funci´on x fluyendo se convierta en x+h, la funci´on xn

se convierte en (x+h)n, esto es por el m´etodo de series infinitas

xn+nhxn−1

+n(n−1)

2 hhx

n−2

+· · ·+etc.

Y el incremento h (de x) y

nhxn−1

+ n(n−1)

2 hhx

n−2

+· · ·+etc.

(de xn) es uno a otro como 1 a

nxn−1

+ n(n−1) 2 hx

n−2

+· · ·+etc.

Ahora dejemos que estos incrementos (h) se desvanezcan y su ´

(15)

Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se

necesitaron m´as de 200 a˜nos. ¡Se necesitaba el concepto de l´ımite!

f

(

a

) = l´ım

h0

f

(

a

+

h

)

f

(

a

)

h

(16)

Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se

necesitaron m´as de 200 a˜nos. ¡Se necesitaba el concepto de l´ımite!

f

(

a

) = l´ım

h0

f

(

a

+

h

)

f

(

a

)

h

(xn)′ = l´ım

h→0

(x+h)nxn

h = l´ımh→0

nxn−1 +

n

2

hxn−2

+· · ·+hn−1

(17)

El segundo descubridor del C´alculo di-ferencial fue Leibniz. La idea original de Leibniz era considerar las curvas

como una uni´on de infinidad de

seg-mentos indivisibles de longitud

infini-tesimal de forma que la prolongaci´on

de estos segmentos daban las rectas tangentes a la curva en los distintos

puntos. Leibniz afirmaba: Una figura

curvil´ınea debe ser considerada lo mis-mo que un pol´ıgono con un infinito n´umero de lados.

Se necesitar´ıan otros 100 a˜nos m´as hasta que apareciera en 1960-70 el C´alculo no est´andard de A. Robinson que es la fundamentaci´on s´olida del c´alculo leibniziano.

(18)

Hoy d´ıa usamos la notaci´on introducida por Leibniz para el

diferencial d f(x), la derivada d f(x)

d x y

Z

para la integral

La notaci´onf′

(x) para la derivada se debe a Lagrange (1797).

(19)

Definici´on

(Bolzano 1817, Cauchy, 1821) Se dice que una funci´on f :A R

es derivable en x =a si existe el l´ımite

l´ım

x→a

f(x)f(a)

xa = l´ımh→0

f(a+h)f(a)

h .

Dicho l´ımite se denomina derivada de f(x)en x=a.

Geom´etricamente significa que la pendiente de la recta tangente a la curva y =f(x) en el punto x=a es igual af′

(a) y por lo tanto

la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en x =a se escribe

como

yf(a) =f′

(a)(xa). (1)

(20)

y

a x

t

r

s

f(x)

a+3h a+h

0

(21)

Definici´on

Se dice que una funci´on f :A Res derivable por la izquierda en x =a si existe el l´ımite lateral

l´ım

x→a−

f(x)f(a)

xa = l´ımh→0−

f(a+h)f(a)

h ,

que denominaremos derivada por la izquierda en x =a. Dicha

derivada la denotaremos por f′ (a).

Teorema

Una funci´on f :A Res derivable en x =a si y s´olo si f(x) es

derivable por la izquierda y por la derecha en x =a.

Teorema

Si f es derivable en un punto x =a, f es continua en x =a.

(22)

Teorema

Sean f,g :A7→Rdos funciones derivables en A. Entonces las

funciones f(x) +g(x), f(x)·g(x) y f(x)

g(x) son derivables y

d

d x [f(x) +g(x)] = d f(x)

d x +

d g(x)

d x ,

d

d x [f(x)·g(x)] =g(x) d f(x)

d x +f(x) d g(x)

d x ,

d d x

f(x)

g(x)

=

g(x)d f(x)

d x −f(x) d g(x)

d x

(23)

Proposici´on

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, si la funci´on f(x) es creciente en(a,b), f′

(x)0

en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en(a,b), entonces f′

(x)0 en todo (a,b).

(24)

Proposici´on

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, si la funci´on f(x) es creciente en(a,b), f′

(x)0

en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en(a,b), entonces f′

(x)0 en todo (a,b).

Sea f una funci´on continua en [a,b] y derivable en (a,b) y supongamos que es creciente en (a,b). Seanc <x(a,b) cualesquiera. Entonces

f(x)f(c)

xc >0, ⇒ xl´ım→c

f(x)f(c)

xc =f

(25)

Proposici´on

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, si la funci´on f(x) es creciente en(a,b), f′

(x)0

en todo [a,b]. Si por el contrario f(x) es decreciente en(a,b), entonces f′

(x)0 en todo (a,b).

Sea f una funci´on continua en [a,b] y derivable en (a,b) y supongamos que es creciente en (a,b). Seanc <x(a,b) cualesquiera. Entonces

f(x)f(c)

xc >0, ⇒ xl´ım→c

f(x)f(c)

xc =f

(c)0.

Si f es decreciente en (a,b), entonces para c <x (a,b) cualesquiera

f(x)f(c)

xc <0, ⇒ xl´ım→c

f(x)f(c)

xc =f

(c)0.

(26)

Definici´on

(27)

Definici´on

Diremos que una funci´on f(x) tiene un m´aximo local en el punto x =a si existe un entorno (aδ,a+δ), de x =a, t.q. f(x)f(a). Diremos que una funci´on f(x) tiene un m´ınimo local en el punto x =a si existe un entorno (aδ,a+δ), de x =a, t.q. f(x)f(a).

y

0 2 4 6

f(x)

x y

4

1

−4

0 y

x

1 2

1/2 3/2

1

−1

f(x) =

x2 1x <2

−2x+ 8 2x 6 g(x) = sinπx, x∈[0,2]

(28)

Teorema (Lema de Fermat)

Si una funci´on tiene un extremo local en x =a y f(x) es derivable en x =a, entonces, f′

(a) = 0.

0 x

(29)

Teorema (Teorema de Rolle)

Sea f(x) : [a,b] R, continua en[a,b]y derivable (a,b)tal que

f(a) =f(b). Entonces,c (a,b), tal que f′

(c) = 0.

x y

0 f(a)=f(b)

a c d b

Figura:Interpretaci´on geom´etrica del Teorema de Rolle.

(30)

a b

a b

a b

a b

a b

a b

Figura:Interpretaci´on geom´etrica del Teorema de Rolle.

(31)

Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange)

Sea la funci´on f(x) : [a,b]R, continua en [a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que

f′

(c) = f(b)−f(a)

ba .

(32)

Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange)

Sea la funci´on f(x) : [a,b]R, continua en [a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que

f′

(c) = f(b)−f(a)

ba .

(33)

Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange)

Sea la funci´on f(x) : [a,b]R, continua en [a,b]y derivable en

(a,b). Entonces, c en el interior de [a,b], c (a,b), tal que

f′

(c) = f(b)−f(a)

ba .

Sea g(x) =f(x)f(a)f(bb)−−fa(a)(x−a). Usemos Rolle

x y

a c d b

0 f(b) f(a)

(34)

Corolario

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Si f′

(x)>0 (f′

(x)0) en(a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b)y si f′

(x)<0 (f′

(35)

Corolario

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Si f′

(x)>0 (f′

(x)0) en(a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b)y si f′

(x)<0 (f′

(x)0) en(a,b), entonces f(x) es decreciente (no creciente) en todo (a,b).

Corolario

Si f(x) es derivable en (a,b) y f′

(x) = 0 para todo x del intervalo

(a,b), entonces f(x) =const. Luego una funci´on continua es constante en [a,b]si y s´olo si f′

(x) = 0 para todo x (a,b)

(36)

Corolario

Sea f(x) : [a,b]7→R una funci´on continua en[a,b]y derivable en

(a,b). Si f′

(x)>0 (f′

(x)0) en(a,b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a,b)y si f′

(x)<0 (f′

(x)0) en(a,b), entonces f(x) es decreciente (no creciente) en todo (a,b).

Corolario

Si f(x) es derivable en (a,b) y f′

(x) = 0 para todo x del intervalo

(a,b), entonces f(x) =const. Luego una funci´on continua es constante en [a,b]si y s´olo si f′

(x) = 0 para todo x (a,b)

Corolario

Si dos funciones f(x) y g(x), derivables en (a,b) tienen derivadas iguales, o sea, f′

(x) =g′

(37)

Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy)

Sean dos funciones f(x) : [a,b]7→Ry g(x) : [a,b]7→R, continuas

en todo el intervalo cerrado [a,b]y derivables en el intervalo abierto (a,b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo

[a,b], c (a,b), tal que [f(b)f(a)]g′

(c) = [g(b)g(a)]f′ (c).

(38)

Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy)

Sean dos funciones f(x) : [a,b]7→Ry g(x) : [a,b]7→R, continuas

en todo el intervalo cerrado [a,b]y derivables en el intervalo abierto (a,b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo

[a,b], c (a,b), tal que [f(b)f(a)]g′

(c) = [g(b)g(a)]f′ (c).

Sea la funci´on

h(x) = [f(b)f(a)]g(x)[g(b)g(a)]f(x).

(39)

Teorema (Regla de L‘Hospital para la indeterminaci´on 00)

Sean dos funciones f(x)y g(x) definidas y son derivables en un entorno del punto x =a (excepto quiz´as en x =a) tales que

1 l´ım

x→af(x) = l´ımx→ag(x) = 0

2 g′(x)6= 0 en un entorno de x =a (excepto quiz´as en x =a)

3 Existe el l´ımite l´ım

x→a

f′ (x)

g′(x)

Entonces existe el l´ımite l´ım

x→a

f(x)

g(x) es igual axl´ım→a

f′ (x)

g′(x).

(40)
(41)

Definici´on

Diremos que f :A7→R es diferenciable en x=a siC t.q.

f(x)f(a) =C(xa) +o(xa). La funci´on C(xa)se denomina diferencial de f en x =a y se denota por d f(a).

(42)

Definici´on

Diremos que f :A7→R es diferenciable en x=a siC t.q.

f(x)f(a) =C(xa) +o(xa). La funci´on C(xa)se denomina diferencial de f en x =a y se denota por d f(a).

E diferencial de f enx =a es ´unico

l´ım

x→a

f(x)f(a)

xa = l´ımx→a

C + o(x−a)

xa

=C.

Adem´as C =f′

(a). Luego si f es diferenciable,f es derivable.

Supongamos que f es derivable en x =a ⇒ ∃α(x,a) tal que

f(x)f(a)

xa =f

(a) +α(x,a), l´ım

x→aα(x,a) = 0 ⇒

f(x)f(a) =f′

(a)(xa)+α(x,a)(xa), pero α(x,a)(xa) =o(xa),

(43)

Es la distancia entref(a) y el valory(x) de la recta tangente af

en x=a.

y

0

x y=m x+n f(x)

h (a,f(a))

a x

(x,f(x))

(x,y)

(x,f(a))

f’(a)(x−a)=df(a)

Figura:El diferencial df(a) de una funci´onf(x) en el punto x=a.

(44)

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f :A7→Ry g :B7→R tales que f(A)B. Definamos la

funci´on compuesta de g en f , g f :A7→R.

Supongamos que f es derivable en x =a y que g es derivable en

x =f(a). Entonces la funci´on compuesta gf :A7→Res

derivable en x =a y adem´as

(g f)′

(a) =g′

[f(a)]f′

(a) d g(y)

d y

y=f(a)

·d fd x(x)

(45)

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f :A7→Ry g :B7→R tales que f(A)B. Definamos la

funci´on compuesta de g en f , g f :A7→R.

Supongamos que f es derivable en x =a y que g es derivable en

x =f(a). Entonces la funci´on compuesta gf :A7→Res

derivable en x =a y adem´as

(g f)′

(a) =g′

[f(a)]f′

(a) d g(y)

d y

y=f(a)

·d fd x(x)

x=a .

Ejercicio: Sif(x) tiene inversa y es derivable prueba que

d f−1 (x)

d x =

1

f′[f1(x)].

Aplicarlo a arc cosx, arcsinx, arctanx y logx.

(46)

Teorema

Todas las funciones elementales son derivables en su dominio y

1 (xα)′ =αxα−1, ∀α∈R, x ∈R

2 (senx)′ = cosx, (cosx)′ =−senx, x ∈R

3 (tanx)′ = 1

cos2x, x ∈R\

nπ

2 +nπ

o

, nZ

4 (arc senx)′ = √ 1

1x2, (arc cosx)

=√ 1

1x2,x∈(−1,1)

5 (arctanx)′ = 1

1 +x2, (arccotg x)

= 1

1 +x2, x∈R

6 (ax)′ =axloga, ∀a>0,a6= 1, x∈R

7 (log

ax)

= 1

xloga, x>0,a>0

8 (sinhx)′ = coshx, (coshx)′ = sinhx, x ∈R

9 (tanhx)′ = 1

(47)
(48)

Si existe f′

(x) x(a,b) podemos definir la funci´on

g(x) : (a,b)7→R, g(x) =f(x).

Obviamente podemos definir la derivada de f′

(x) enx0 ∈(a,b)

l´ım

x→x0

f′

(x)f′ (x0)

xx0

= l´ım

h→0

f′

(x0+h)−f′(x0)

h =f

′′ (x0).

Si existe f′′

(49)

Si existe f′

(x) x(a,b) podemos definir la funci´on

g(x) : (a,b)7→R, g(x) =f(x).

Obviamente podemos definir la derivada de f′

(x) enx0 ∈(a,b)

l´ım

x→x0

f′

(x)f′ (x0)

xx0

= l´ım

h→0

f′

(x0+h)−f′(x0)

h =f

′′ (x0).

Si existe f′′

(x0) ∀x∈(a,b) podemos definir la tercera derivada ...

An´alogamente, si existe la derivada de orden n para todox(a,b) podemos definir la funci´on n-´esima derivada de f, que

denotaremos por f(n)(x) o dnf(x)

d xn , i.e.,

f(n)(x0) := l´ım x→x0

f(n−1)

(x)f(n−1) (x0)

xx0

, x0 ∈(a,b).

(50)

Las funciones “elementales” no son tan elementales como su nombre indica. Por ejemplo, calcular la exponencial o el seno de un n´umero real arbitrario no es un c´alculo sencillo. Las ´unicas

funciones que son sencillas de calcular son las potencias naturales de los n´umeros, es decir las funcionesf(x) =xn conn natural. Por

tanto vamos a intentar encontrar una f´ormula general que nos permita aproximar cualquier funci´on f(x) lo bastante buena

(51)

Definici´on

Dada una funci´on f(x) n-veces derivable en un entorno de x =a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f(x), y lo

denotaremos por Pn(x,a), al polinomio

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+· · ·+f(n)(a)

n! (x−a)

n

N´otese que Pn(x,a) es un polinomio degrado a lo m´asn.

(52)

Definici´on

Dada una funci´on f(x) n-veces derivable en un entorno de x =a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f(x), y lo

denotaremos por Pn(x,a), al polinomio

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+· · ·+f(n)(a)

n! (x−a)

n

N´otese que Pn(x,a) es un polinomio degrado a lo m´asn.

Teorema (Teorema local de Taylor)

Si f(x) es nveces derivable en un entorno de x =a y Pn(x,a) es

el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f(x), entonces

l´ım

x→a

f(x)Pn(x,a)

(53)

Del teorema anterior tenemos que una buena aproximaci´on local a

f enx=aes el polinomio Pn(x,a):

f(x) =Pn(x,a) +o[(x−a)n ⇐⇒ f(x)≈Pn(x,a).

(54)

Del teorema anterior tenemos que una buena aproximaci´on local a

f enx=aes el polinomio Pn(x,a):

f(x) =Pn(x,a) +o[(x−a)n ⇐⇒ f(x)≈Pn(x,a).

Ejercicio: Calcular los polinomios de Taylor (McLaurin) de ordenn

de ex, senx, cosx, log(1x) y (1 +x)α

R enx= 0.

Comenzamos por ex. Como (ex)(k) =ex para todo k N, tenemos

ex =

n

X

k=0

xn

n! +o(x

(55)

• Funci´on senx: (senx)′

= cosx, (senx)′′

=senx

(senx)(2k−1)

= (1)k+1cosx, (senx)(2k) = (1)ksenx.

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares

senx=

n

X

k=0

(1)kx2k+1

(2k+ 1)! +o(x

2n+1).

y el orden de aproximaci´on eso(x2n+2) y no o(x2n+1) ¿por qu´e?

(56)

• Funci´on senx: (senx)′

= cosx, (senx)′′

=senx

(senx)(2k−1)

= (1)k+1cosx, (senx)(2k) = (1)ksenx.

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares

senx=

n

X

k=0

(1)kx2k+1

(2k+ 1)! +o(x

2n+1).

y el orden de aproximaci´on eso(x2n+2) y no o(x2n+1) ¿por qu´e?

• Para el logaritmo tenemos

[log(1+x)]′

= 1

1 +x,[log(1+x)]

′′

= −1

(1 +x)2,[log(1+x)]

′′′

= 2

(1 +x)3 · ·

[log(1+x)](k) = (−1)

k+1(k 1)!

(1 +x)k ⇒ log(1+x) =

n

X

k=0

(1)k+1xk

k +o(x

(57)

Teorema

1 senx =

n

X

k=1

(1)k−1 x

2k−1

(2k 1)!+o(x

2n).

2 cosx=

n

X

k=0

(1)k x

2k

(2k)!+o(x

2k+1).

3 (1 +x)α = 1 +

n

X

k=1

(α)k

k! x

k +o(xn).

4 ex =

n

X

k=0

xk

k! +o(x

n).

5 log(1 +x) =

n

X

k=1

(1)k+1x

k

k +o(x

n).

(58)

Usando los desarrollos del teorema anterior tenemos, por ejemplo,

l´ım

x→0

xsenx x3 = l´ımx0

xx+x3/6 +o(x3)

x3 =

1 6+ l´ımx→0

o(x3)

x3 =

1 6.

Otro ejemplo es

l´ım

x→0

ex 1x

1cosx = l´ımx→0

1 +x+x2/2 +o(x2)1x

1(1x2/2 +o(x2))

= l´ım

x→0

x2/2 +o(x2)

x2/2 +o(x2) = l´ımx0

1 +o(x

2)

x2

1 +o(x

2)

x2

(59)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

(60)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

(61)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

(62)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

P′′

n(x,a) =f

′′

(a)+f′′′

(a)(xa)+f

(4)(a)

2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n2)!(x−a)

n−2

(63)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

P′′

n(x,a) =f

′′

(a)+f′′′

(a)(xa)+f

(4)(a)

2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n2)!(x−a)

n−2

.

Entonces P′′

n(a,a) =f

′′ (a) . . .

(64)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

P′′

n(x,a) =f

′′

(a)+f′′′

(a)(xa)+f

(4)(a)

2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n2)!(x−a)

n−2

.

Entonces P′′

n(a,a) =f

′′ (a) . . .

(65)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

P′′

n(x,a) =f

′′

(a)+f′′′

(a)(xa)+f

(4)(a)

2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n2)!(x−a)

n−2

.

Entonces P′′

n(a,a) =f

′′ (a) . . .

Pn(n)(a,x) =f(n)(a) ⇒ Pn(n)(a,a) =f(n)(a).

(66)

Sea f(x) n-veces derivable en un entorno de x=ay sea

Pn(x,a) =f(a)+f′(a)(x−a)+

f′′ (a) 2! (x−a)

2+ · · ·+f

(n)(a)

n! (x−a)

n.

Entonces Pn(a,a) =f(a).

P′

n(x,a) =f

′ (a)+f′′

(a)(xa)+f ′′′

(a) 2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n1)!(x−a)

n−1

.

Entonces P′

n(a,a) =f

′ (a).

P′′

n(x,a) =f

′′

(a)+f′′′

(a)(xa)+f

(4)(a)

2! (x−a)

2+· · ·+ f(n)(a)

(n2)!(x−a)

n−2

.

Entonces P′′

n(a,a) =f

′′ (a) . . .

Pn(n)(a,x) =f(n)(a) ⇒ Pn(n)(a,a) =f(n)(a).

(67)

Definici´on

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x =a si f(a) =g(a) y sus derivadas f(k)(a) =g(k)(a), para k = 1,2, . . .n.

(68)

Definici´on

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x =a si f(a) =g(a) y sus derivadas f(k)(a) =g(k)(a), para k = 1,2, . . .n.

El polinomio de Taylor Pn(x,a) y f(x) tienen un punto de

(69)

Definici´on

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x =a si f(a) =g(a) y sus derivadas f(k)(a) =g(k)(a), para k = 1,2, . . .n.

El polinomio de Taylor Pn(x,a) y f(x) tienen un punto de

tangencia de orden n enx=a.

Teorema

El ´unico polinomioPn, degPn≤n que tiene un punto de tangencia

de orden n enx =acon f(x) es el polinomio de TaylorPn(x,a).

(70)

Definici´on

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x =a si f(a) =g(a) y sus derivadas f(k)(a) =g(k)(a), para k = 1,2, . . .n.

El polinomio de Taylor Pn(x,a) y f(x) tienen un punto de

tangencia de orden n enx=a.

Teorema

El ´unico polinomioPn, degPn≤n que tiene un punto de tangencia

de orden n enx =acon f(x) es el polinomio de TaylorPn(x,a).

Sea Pn(x) =an(x−a)n+an−1(x−a)n −1

+· · ·a1(x−a) +a0 y

supongamos

f(a) =Pn(a), f′(a) =Pn′(a), f

′′

(a) =P′′

n(a),· · · ,f(n)(a) =P (n) n (a).

(71)

Definici´on

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x =a si f(a) =g(a) y sus derivadas f(k)(a) =g(k)(a), para k = 1,2, . . .n.

El polinomio de Taylor Pn(x,a) y f(x) tienen un punto de

tangencia de orden n enx=a.

Teorema

El ´unico polinomioPn, degPn≤n que tiene un punto de tangencia

de orden n enx =acon f(x) es el polinomio de TaylorPn(x,a).

Sea Pn(x) =an(x−a)n+an−1(x−a)n −1

+· · ·a1(x−a) +a0 y

supongamos

f(a) =Pn(a), f′(a) =Pn′(a), f

′′

(a) =P′′

n(a),· · · ,f(n)(a) =P (n) n (a).

Como Pn(k)(a) =k!ak ⇒ ak =

f(k)(a)

k! , k = 0,1,2, . . . ,n.

(72)

Definici´on

La funci´on Rn(x,a) =f(x)−Pn(x,a) se denomina resto o error de

la f´ormula de Taylor.

Teorema (Estimaci´on del error del Teorema de Taylor)

Sea f una funci´on nveces derivable en [a,x]tal que f(n) es

continua en [a,x]y derivable en (a,x) y sea

Pn(x,a) = n

X

k=0

f(k)(a)

k! (x−a)

k,

el polinomio de Taylor de la funci´on f . Sea φuna funci´on continua en [a,x]y derivable en (a,x) con φ′

6

= 0 en(a,x). Entonces

∃c (a,x) tal que

Rn(x,a) =

φ(x)φ(a)

φ′(c)n! f

(n+1)(c)(x

(73)

Corolario: Si f(n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x)

1 F´ormula delresto de Taylor en forma de Cauchy.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n! (x−c)

n(x

−a), c (a,x).

2 F´ormula delresto de Taylor en forma de Lagrange.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c (a,x).

3 F´ormula delresto de Taylor en forma de Schol¨omilch.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n!p (x−c)

n+1−p(x

−a)p, c (a,x), p >0.

(74)

Corolario: Si f(n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x)

1 F´ormula delresto de Taylor en forma de Cauchy.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n! (x−c)

n(x

−a), c (a,x).

2 F´ormula delresto de Taylor en forma de Lagrange.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x).

3 F´ormula delresto de Taylor en forma de Schol¨omilch.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n!p (x−c)

n+1−p(x

−a)p, c (a,x), p >0.

(75)

Corolario: Si f(n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x)

1 F´ormula delresto de Taylor en forma de Cauchy.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n! (x−c)

n(x

−a), c (a,x).

2 F´ormula delresto de Taylor en forma de Lagrange.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x).

3 F´ormula delresto de Taylor en forma de Schol¨omilch.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n!p (x−c)

n+1−p(x

−a)p, c (a,x), p >0.

φ(t) =xt φ(t) = (xt)n+1

(76)

Corolario: Si f(n) es continua en [a,x] y derivable en (a,x)

1 F´ormula delresto de Taylor en forma de Cauchy.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n! (x−c)

n(x

−a), c (a,x).

2 F´ormula delresto de Taylor en forma de Lagrange.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x).

3 F´ormula delresto de Taylor en forma de Schol¨omilch.

Rn(x,a) =

f(n+1)(c)

n!p (x−c)

n+1−p(x

−a)p, c (a,x), p >0.

(77)

Ejercicio: Calculae14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.

(78)

Ejercicio: Calculae14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.

Soluci´on:

ex 1 +x+x

2

2 +

x3

(79)

Ejercicio: Calculae14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.

Soluci´on:

ex 1 +x+x

2

2 +

x3

6 , R3(x) =

ec

24x

4, c

∈ (0,14) ,

(80)

Ejercicio: Calculae14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.

Soluci´on:

ex 1 +x+x

2

2 +

x3

6 , R3(x) =

ec

24x

4, c

∈ (0,14) ,

e14 ≈ 493

384 ≈1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24 1 44 <

3

24×44 ≈5×10

4

(81)

Ejercicio: Calculae14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.

Soluci´on:

ex 1 +x+x

2

2 +

x3

6 , R3(x) =

ec

24x

4, c

∈ (0,14) ,

e14 ≈ 493

384 ≈1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24 1 44 <

3

24×44 ≈5×10

4

.

e14 ≈ 493

384 ≈1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24 1 44 <

1,3

24×44 ≈2×10

4

.

(82)

¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que

aproxime la funci´on ex hasta un orden dado, digamos 106

(83)

¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que

aproxime la funci´on ex hasta un orden dado, digamos 106

, en un cierto intervalo, por ejemplo [0,1]?

Soluci´on: Para responder a la pregunta tenemos que usar el t´ermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange)

Rn(x,0) =

ecxn+1

(n+ 1)!, c ∈(0,x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0,1], ec e <3

|Rn(x,0)|<

3 (n+ 1)!

(84)

¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que

aproxime la funci´on ex hasta un orden dado, digamos 106

, en un cierto intervalo, por ejemplo [0,1]?

Soluci´on: Para responder a la pregunta tenemos que usar el t´ermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange)

Rn(x,0) =

ecxn+1

(n+ 1)!, c ∈(0,x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0,1], ec e <3

|Rn(x,0)|<

3 (n+ 1)!

Como para n= 8,|Rn(x,0)|< 9!3 ≈8×10−6 y para n= 9

tenemos |Rn(x,0)|< 10!3 ≈8,27×10−7, concluimos que

(85)

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p,q N t.q.e =p/q y, por tanto,

∃NNt.q. n>N,n!e N.

(86)

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p,q N t.q.e =p/q y, por tanto,

∃NNt.q. n>N,n!e N.

Sea n>3. Entonces usando el polinomio de Taylor de ex en [0,1]

con la f´ormula de Lagrange para el resto en x= 1 tenemos

e = 1 + 1

1! +

1

2! +· · ·+ 1

n! +

ec

(87)

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p,q N t.q.e =p/q y, por tanto,

∃NNt.q. n>N,n!e N.

Sea n>3. Entonces usando el polinomio de Taylor de ex en [0,1]

con la f´ormula de Lagrange para el resto en x= 1 tenemos

e = 1 + 1

1! +

1

2! +· · ·+ 1

n! +

ec

(n+ 1)!, 0<c <1.

n!e =

n! +n! +n!

2 +· · ·+

n!

n!

+ e

c

n+ 1.

(88)

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p,q N t.q.e =p/q y, por tanto,

∃NNt.q. n>N,n!e N.

Sea n>3. Entonces usando el polinomio de Taylor de ex en [0,1]

con la f´ormula de Lagrange para el resto en x= 1 tenemos

e = 1 + 1

1! +

1

2! +· · ·+ 1

n! +

ec

(n+ 1)!, 0<c <1.

n!e =

n! +n! +n!

2 +· · ·+

n!

n!

+ e

c

n+ 1.

Escogemos n >N entoncesn!e N, yn! +n! + n!

2 +· · ·+nn!! ∈N,

es decir que e

c

n+ 1 ∈N.

Pero como e <3 e

c

n+ 1 <

e n+ 1 <

3

(89)

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p,q N t.q.e =p/q y, por tanto,

∃NNt.q. n>N,n!e N.

Sea n>3. Entonces usando el polinomio de Taylor de ex en [0,1]

con la f´ormula de Lagrange para el resto en x= 1 tenemos

e = 1 + 1

1! +

1

2! +· · ·+ 1

n! +

ec

(n+ 1)!, 0<c <1.

n!e =

n! +n! +n!

2 +· · ·+

n!

n!

+ e

c

n+ 1.

Escogemos n >N entoncesn!e N, yn! +n! + n!

2 +· · ·+nn!! ∈N,

es decir que e

c

n+ 1 ∈N.

Pero como e <3 e

c

n+ 1 <

e n+ 1 <

3

n+ 1 < 3

4

!!!

(90)

m´aximo

(91)

m´aximo

m´ınimo

Teorema (Condici´on suficientede extremo)

Sea f continua en todo un entorno de x =a y derivable en todo un entorno de x =a excepto quiz´a el propio punto x =a. Si f′

(x)

cambia de signo al pasar por x =a, entonces f tiene un extremo local en x =a.

(92)

Sea f(x) = (

2x2+x2sen1x, x6= 0

0, x= 0.

Esta funci´on tiene un m´ınimo local (de hecho global) enx = 0 pues

x2 f(x)3x2 f(x)0, x R.

Adem´as,f es derivable en todo Rsiendo

f′ (x) =

( 4x+ 2xsen1

x −cos 1

x, x6= 0

(93)

Sea f(x) =

( 2x2+x2sen1

x, x6= 0

0, x= 0.

Esta funci´on tiene un m´ınimo local (de hecho global) enx = 0 pues

x2 f(x)3x2 f(x)0, x R.

Adem´as,f es derivable en todo Rsiendosi x0

f′ (x) =

( 4x+ 2xsen1

x −cos

1

x, x 6= 0

0, x = 0.

(94)

f′ (x) =

(

4x+ 2xsen1x cos1

x, x 6= 0

0, x = 0.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

f(x)

(95)

f′ (x) =

(

4x+ 2xsen1x cos1

x, x 6= 0

0, x = 0.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

f(x)

x

(96)

f′ (x) =

(

4x+ 2xsen1x cos1x, x 6= 0

0, x = 0.

0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

f(x)

(97)

Teorema (Condici´on suficiente de extremo)

Sea f(x) :A7→R una funci´on dos veces derivable con segunda

derivada continua en un entorno de x =a tal que f′

(a) = 0, entonces la funci´on tendr´a en x =a un m´aximo local si f′′

(a)<0

y un m´ınimo local si f′′

(a)>0.

(98)

Teorema (Condici´on suficiente de extremo)

Sea f(x) :A7→R una funci´on dos veces derivable con segunda

derivada continua en un entorno de x =a tal que f′

(a) = 0, entonces la funci´on tendr´a en x =a un m´aximo local si f′′

(a)<0

y un m´ınimo local si f′′

(a)>0.

(99)

Teorema (Condici´on suficiente de extremo)

Sea f(x) :A7→R una funci´on dos veces derivable con segunda

derivada continua en un entorno de x =a tal que f′

(a) = 0, entonces la funci´on tendr´a en x =a un m´aximo local si f′′

(a)<0

y un m´ınimo local si f′′

(a)>0.

Dos ejemplos reveladores: f(x) =x3 yf(x) =x4.

Ejercicio: Calcular los extremos de las funciones:

1 f(x) =e−x2,

2 f(x) = 1−x

2 5 y

3 f(x) = (

−x23, x ≥0 x2+ 2x, x <0 .

(100)

Teorema (Criterio de la (n+ 1)´esima derivada)

Supongamos que la funci´on f(x) es (n+ 1)veces derivable con f(n+1)(x) continua en el intervalo abierto(aδ,a+δ) y que

f′

(a) =f′′

(a) =f′′′

(a) =· · ·=f(n)(a) = 0, f(n+1)(a)6= 0.

(101)

Teorema (Criterio de la (n+ 1)´esima derivada)

Supongamos que la funci´on f(x) es (n+ 1)veces derivable con f(n+1)(x) continua en el intervalo abierto(aδ,a+δ) y que

f′

(a) =f′′

(a) =f′′′

(a) =· · ·=f(n)(a) = 0, f(n+1)(a)6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f(x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f(n+1)(a)<0y m´ınimo si f(n+1)(a)>0.

Demostraci´on: Supondremos quef(n+1)(a)>0. Comof(n+1) es continua en a, entoncesf(n+1) >0 en todo un entorno dea,

digamos (a,x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange

f(x) =

n

X

k=0

f(k)(a)

k! (x−a)

k+f(n+1)(a)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x)

(102)

Teorema (Criterio de la (n+ 1)´esima derivada)

Supongamos que la funci´on f(x) es (n+ 1)veces derivable con f(n+1)(x) continua en el intervalo abierto(aδ,a+δ) y que

f′

(a) =f′′

(a) =f′′′

(a) =· · ·=f(n)(a) = 0, f(n+1)(a)6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f(x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f(n+1)(a)<0y m´ınimo si f(n+1)(a)>0.

Demostraci´on: Supondremos quef(n+1)(a)>0. Comof(n+1) es continua en a, entoncesf(n+1) >0 en todo un entorno dea,

digamos (a,x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange

f(x) =

n

X

k=0

f(k)(a)

k! (x−a)

k+f(n+1)(a)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x)

f(x)f(a) = f

(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1 >0

(103)

Teorema (Criterio de la (n+ 1)´esima derivada)

Supongamos que la funci´on f(x) es (n+ 1)veces derivable con f(n+1)(x) continua en el intervalo abierto(aδ,a+δ) y que

f′

(a) =f′′

(a) =f′′′

(a) =· · ·=f(n)(a) = 0, f(n+1)(a)6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f(x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f(n+1)(a)<0y m´ınimo si f(n+1)(a)>0.

Demostraci´on: Supondremos quef(n+1)(a)>0. Comof(n+1) es continua en a, entoncesf(n+1) >0 en todo un entorno dea,

digamos (a,x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange

f(x) =

n

X

k=0

f(k)(a)

k! (x−a)

k+f(n+1)(a)

(n+ 1)! (x−a)

n+1, c

∈(a,x)

f(x)f(a) = f

(n+1)(c)

(n+ 1)! (x−a)

n+1 >0

∀x Uδ(a) MIN

(104)

Definici´on

Una funci´on f(x) es estrictamente convexa hacia abajo(c´oncava)

en un intervalo (a,b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x1 <x2, x1,x2 ∈(a,b), est´a siempre por encima del

gr´afico de la curva y =f(x) en el intervalo(x1,x2).

s1 s2

s3

x

a b

y

(105)

Definici´on

Una funci´on f(x) es estrictamente convexa hacia abajo(c´oncava)

en un intervalo (a,b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x1 <x2, x1,x2 ∈(a,b), est´a siempre por encima del

gr´afico de la curva y =f(x) en el intervalo(x1,x2).

s1 s2

s3

x

a b

y

f(x)

(106)

Sea y(x) la secante que pasa (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x1 x2

y =f(x1)+

f(x2)−f(x1)

x2−x1

(xx1) =

x2−x

x2−x1

| {z }

1−t

f(x1)+

xx1

x2−x1

| {z }

t

(107)

Sea y(x) la secante que pasa (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x1 x2

y =f(x1)+

f(x2)−f(x1)

x2−x1

(xx1) =

x2−x

x2−x1

| {z }

1−t

f(x1)+

xx1

x2−x1

| {z }

t

f(x2).

∀x(x1,x2) ⇒ x=

x2−x

x2−x1

x1+

xx1 x2−x1

x2=(1−t)x1+tx2

(108)

Sea y(x) la secante que pasa (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x1 x2

y =f(x1)+

f(x2)−f(x1)

x2−x1

(xx1) =

x2−x

x2−x1

| {z }

1−t

f(x1)+

xx1

x2−x1

| {z }

t

f(x2).

∀x(x1,x2) ⇒ x=

x2−x

x2−x1

x1+

xx1 x2−x1

x2=(1−t)x1+tx2

(109)

Definici´on:Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1,x2

de (a,b), y todox tal que x1 <x <x2,

∀x1,x2∈(a,b), y∀t∈[0,1], f[(1−t)x1+tx2)<(1−t)f(x1)+tf(x2),

(110)

Definici´on:Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1,x2

de (a,b), y todox tal que x1 <x <x2,

∀x1,x2∈(a,b), y∀t∈[0,1], f[(1−t)x1+tx2)<(1−t)f(x1)+tf(x2),

Entonces

(111)

Definici´on:Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1,x2

de (a,b), y todox tal que x1 <x <x2,

∀x1,x2∈(a,b), y∀t∈[0,1], f[(1−t)x1+tx2)<(1−t)f(x1)+tf(x2),

Entonces

(x2−x1)f(x) < (x2−x)f(x1) + (x−x1)f(x2),

(x2−x)f(x) + (x−x1)f(x) < (x2−x)f(x1) + (x−x1)f(x2),

(112)

Definici´on:Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1,x2

de (a,b), y todox tal que x1 <x <x2,

∀x1,x2∈(a,b), y∀t∈[0,1], f[(1−t)x1+tx2)<(1−t)f(x1)+tf(x2),

Entonces

(x2−x1)f(x) < (x2−x)f(x1) + (x−x1)f(x2),

(x2−x)f(x) + (x−x1)f(x) < (x2−x)f(x1) + (x−x1)f(x2),

(x2−x)[f(x)−f(x1)] < (x−x1)[f(x2)−f(x)],

de donde tenemos

f(x)f(x1)

xx1

< f(x2)−f(x)

(113)

Proposici´on

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario que f′

(x)no decrezca.

(114)

Proposici´on

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario que f′

(x)no decrezca.

Prueba: Comof es convexa hacia abajo,x1 <x<x2.

f(x)f(x1)

xx1

< f(x2)−f(x)

(115)

Proposici´on

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario que f′

(x)no decrezca.

Prueba: Comof es convexa hacia abajo,x1 <x<x2. Tomando

el l´ımite xx1 yx →x2

f′

(x1)= f(x)−f(x1)

xx1 ≤

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′ (x2)

(116)

Proposici´on

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario que f′

(x)no decrezca.

Prueba: Comof es convexa hacia abajo,x1 <x<x2. Tomando

el l´ımite xx1 yx →x2

f′

(x1)= f(x)−f(x1)

xx1 ≤

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′ (x2)

(117)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

(118)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c2∈(x,x2), c2<x2 t.q.

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′

(c2)≤f′(x2) ⇒ f′(c2)≤f′(x2)

An´alogamentec1∈(x1,x),x1 <c1, t.q.

f′

(x1)≤f′(c1) =

f(x)f(x1)

xx1 ⇒ ∀

x1<x <x2,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad)

f(x)f(x1)

xx1 <

f(x2)−f(x)

(119)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c2∈(x,x2), c2<x2 t.q.

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′

(c2)≤f′(x2) ⇒ f′(c2)≤f′(x2)

An´alogamentec1∈(x1,x),x1 <c1, t.q.

f′

(x1)≤f′(c1) =

f(x)f(x1)

xx1 ⇒ ∀

x1<x <x2,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad)

f′

(x1)≤f′(c1) =

f(x)f(x1)

xx1 <

f(x2)−f(x)

x2−x =f

(c2)≤f′(x2)

(120)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c2∈(x,x2), c2<x2 t.q.

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′

(c2)≤f′(x2) ⇒ f′(c2)≤f′(x2)

An´alogamentec1∈(x1,x),x1 <c1, t.q.

f′

(x1)≤f′(c1) =

f(x)f(x1)

xx1 ⇒ ∀

x1<x <x2,

Como f′

es creciente (suficiencia)

f′

(121)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

Prueba: Usamos TVM de Lagrange. c2∈(x,x2), c2<x2 t.q.

f(x2)−f(x)

x2−x

=f′

(c2)≤f′(x2) ⇒ f′(c2)≤f′(x2)

An´alogamentec1∈(x1,x),x1 <c1, t.q.

f′

(x1)≤f′(c1) =

f(x)f(x1)

xx1 ⇒ ∀

x1<x <x2,

Como f′

es creciente (suficiencia)

f(x)f(x1) xx1 =f

(c1)≤f′(c2) =

f(x2)−f(x) x2−x

(122)

Teorema

Para que una f(x)derivable en (a,b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a,b) es necesario y suficiente que f′

(x) no decrezca. Adem´as si f′

(x) es estrictamente creciente en todo(a,b), entonces f(x) es estrictamente convexa hacia abajo en(a,b).

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :