Matemáticas avanzadas para ingeniería- Serie de Fourier

(1)

Matem´aticas Avanzadas

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Departamento de Matem´aticas

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

(2)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Serie de Fourier

Laserie de Fourierde una funci´on peri´odicaf(x) de per´ıodo T

definida en un intervalo de longitudT est´a dada por:

f(x) = a0

2 +

∞ X

n=1

(ancos (nω0x) +bnsen (nω0x))

donde

ω0 = 2_Tπ

a0 = 1

T/2

Z

T

f(x)dx

an =

1

T/2

Z

T

f(x) cos (nω0x)dx

bn =

1

T/2

Z

T

(3)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Sumas parciales

Para la serie de Fourier de una funciónf(x) periódica definida en un intervalo de longitudT lak-ésima suma parcial,

representada porSk(x) est´a dada por:

Sk(x) =

a0

2 +

k

X

n=1

(4)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

Expanda en una Serie de Fourier la funci´on:

f(x) =

0 para −π < x < 0

π−x para 0 ≤ x < π

π

−π

π

O

(5)

Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Series de Fourier Departamento de Matem´aticas Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

πn2[(πsen(n x) −cos(n x)−n xsen(n x))]

π

0

an =

(6)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(7)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(8)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(9)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(10)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(11)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x)dx

= 1

π

πx−x 2

2

π

0

a0 = π 2

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) cos(n x)dx

= 1

π

0

an =

(12)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) sen(n x)dx

= 1

πn2 [(−πncos(n x)−sen(n x) +n xcos(n x))]

π

0

bn =

1

(13)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) sen(n x)dx

= 1

πn2 [(−πncos(n x)−sen(n x) +n xcos(n x))]

π

0

bn =

1

(14)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) sen(n x)dx

= 1

πn2[(−πncos(n x)−sen(n x) +n xcos(n x))]

π

0

bn =

1

(15)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

0dx+

Z π

0

(π−x) sen(n x)dx

= 1

πn2[(−πncos(n x)−sen(n x) +n xcos(n x))]

π

0

bn =

1

(16)

TI:cnparaf

Algunas sumas parciales:

S1 = π₄ +_π2cos(x) + sen(x)

S2 = π₄ +_π2cos(x) + sen(x) +1₂sen(2x)

S3 = π₄ +_π2cos(x) + sen(x) +1₂sen(2x)+ 2

9πcos(3x) +

1

3sen(3x)

S4 = π₄ +_π2cos(x) + sen(x) +1₂sen(2x)+ 2

9πcos(3x) +

1

3sen(3x) + 1

4sen(4x)

S5 = π4 +

2

πcos(x) + sen(x) +

1

2sen(2x)+ 2

9πcos(3x) +

1

3sen(3x) + 1

4sen(4x)+ 2

25πcos(5x) +

1

5sen(5x),

S6 = π4 +

2

πcos(x) + sen(x) +

1

2sen(2x)+ 2

9πcos(3x) +

1

3sen(3x) + 1

4sen(4x)+ 2

25πcos(5x) +

1

5sen(5x) + 1

(17)

para Ingenier´ıa:

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Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci´on:

f(x) =

0 para −π < x < 0

Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn = 1

n

Las aproximaciones af(x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera:

π

−π

π

(18)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(19)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(20)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(21)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(22)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(23)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(24)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(25)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(26)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(27)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 1

f(x) =

0 para −π < x < 0

a0 = π 2, an=

1−(−1)n

n2_π , bn= 1

n

π

−π

π

(28)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

π

−π

2

−1

O

(29)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx +

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(30)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx +

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(31)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx +

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(32)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx +

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(33)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx+

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(34)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx+

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(35)

TI:cnparaf

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx = 1 π

Z 0

−π

−1dx +

Z π 0 2dx = 1 π

[−x]0_−π+ [2x]π₀

a0 = 1

an =

1 π

Z π

−π

f(x) cos(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 cos(n x)dx+

Z π

0

2 cos(n x)dx

= 1

π

−sen(n x)

n 0

−π

+

2sen(n x)

n π

0

!

(36)

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Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 sen(n x)dx+

Z π

0

2 sen(n x)dx

= 1

π

cos(n x)

n 0

−π

+

−2cos(n x)

n π

0

!

bn =

3 (1−(−1)n)

(37)

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Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 sen(n x)dx+

Z π

0

2 sen(n x)dx

= 1

π

cos(n x)

n 0

−π

+

−2cos(n x)

n π

0

!

bn =

3 (1−(−1)n)

(38)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 sen(n x)dx+

Z π

0

2 sen(n x)dx

= 1

π

cos(n x)

n 0

−π

+

−2cos(n x)

n π

0

!

bn =

3 (1−(−1)n)

(39)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

bn =

1 π

Z π

−π

f(x) sen(n x)dx

= 1

π

Z 0

−π

−1 sen(n x)dx+

Z π

0

2 sen(n x)dx

= 1

π

cos(n x)

n 0

−π

+

−2cos(n x)

n π

0

!

bn =

3 (1−(−1)n)

(40)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Algunas sumas parciales:

S1=S2 = 1₂+_π6sen(x)

S3=S4 = 1₂+_π6sen(x) +_π2sen(3x)

S5=S6 = 12+

6

πsen(x) +

2

πsen(3x) +

6

5πsen(5x)

S7=S8 = 1₂+_π6sen(x) +_π2sen(3x) +₅6_πsen(5x)+ 6

7πsen(7x)

7πsen(7x) +

2

3πsen(9x)

7πsen(7x) +

2

3πsen(9x) +

6

(41)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

(42)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(43)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(44)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(45)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(46)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(47)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(48)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(49)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 2

f(x) =

−1 para −π < x < 0

2 para 0 ≤ x < π

a0 = 1, an= 0, bn=

3 (1−(−1)n)

nπ

π

−π

2

−1

O

(50)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Condiciones de convergencia

Seaf(x) una función periódica definida en un intervalo de longitudT continua, excepto posiblemente en un número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee derivada continua también excepto en número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de Fourier paraf(x) converge af(x) en todo punto de continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge a

f(x+) +f(x−) 2

(51)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

(52)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

(53)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

(54)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

TI:f

TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

(55)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

TI:an

TI:bn

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TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

(56)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

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TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 3

f(x) =



  

  

1 para −2π ≤ x < −π

0 para −π ≤ x < 0

x−π para π ≤ x < 2π

1

−2π −π

π

π 2π

0

(57)

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Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Ejemplo 4

f(x) =

   

  

0 para −2 ≤ x < −1

−2 para −1 ≤ x < 0

1 para 0 ≤ x < 1

0 para 1 ≤ x < 2

0

−2 −1 1 2

1

−2

(58)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

TI:ao

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TI:Uso

Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Cosas a recordar

• Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones peri´odicas con periodo 2π.

• Si f(x) es peri´odica con periodo T entoncesf(a x) es peri´odica con periodo S =T/a: Pues se necesita que

f(a(x+S)) =f(a x +a S) =f(a x): a S=T. En t´erminos de la frecuencia, tenemos que la frecuencia de

f(a x) es a-veces la frecuencia de f(x).

• Sif(x) es periódica con periodo T yg(x) es periódica con periodo S entoncesf(x) +g(x) será periódica sii existen enteros positivos n ym tales quen·T =m·S. Pues se necesita encontrar un cierto número de veces que ambos periodos se repitan.

(59)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

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TI:an

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

TI:cn

TI:cnparaf

Forma compacta de la series Fourier La serie de Fourier:

a0

2 +

∞ X

n=1

ancos

2πn

T x

+bnsen

2πn

T x

se puede escribir en la forma compacta:

A0+

∞ X

n=1

Ancos

2πn T x+φn

donde

A0=a0/2, An=

q a2

n+bn2, φn=−tan−1

bn

an

(60)

para Ingenier´ıa:

Series de Fourier

Serie de Fourier

Sk

Convergencia

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TI:an

TI:bn

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

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Ejemplo 5

f(x) =

e−x para 0 < x < 0.5

(61)

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Sk

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Compacta

Hechos 2

Complejas

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(62)

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Serie de Fourier

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

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TI:cnparaf

Amplitud y fase del ejemplo 5

ω

An

φn

4π 8π12π16π20π24π

A0 ≈0.787

A1 ≈0.125

(63)

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Serie de Fourier

Sk

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

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Ideas

Usando la f´ormula de Eulereai = cos(a) + sen(a)i y su variantee−ai= cos(a)−sen(a)i, tenemos:

cos(a) = e

ai₊_e−ai

2 y sen(a) =

eai−e−ai

2i

por tanto, el t´ermino

fk(x) =akcos(kω0x) +bksen(kω0x)

puede escribirse como

fk(x) = ak

ekωo xi₊_e−kωo xi

2

+bk

ekωo xi₋_e−kωo xi

2i

= 1₂(ak−bki) ekωoxi+1₂(ak +bki)e−kωoxi

si definimos los coeficientes de las exponencialesekωoxi _{y de}

e−kωoxi _como

ck =

1

2(ak−bki) yc−k = 1

(64)

para Ingenier´ıa:

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Serie de Fourier

Sk

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

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Entonces la serie de Fourier

f(x) = a0

2 +

∞ X

n=1

(ancos (nω0x) +bnsen (nω0x))

podr´ıa escribirse como:

f(x) = a0

2 +

∞ X

n=1

cnenωoxi+c−ne−nωoxi

= a0

2 +

∞ X

n=1

cnenωoxi+

∞ X

n=1

c−ne−nωoxi

= a0

2 +

∞ X

n=1

cnenωoxi+

−∞ X

n=−1

(65)

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Serie de Fourier

Sk

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Hechos 1

Compacta

Hechos 2

Complejas

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Series complejas de Fourier

Laserie compleja de Fourierde una funci´onf(x) per´ıodica

definida en el intervalo de longitudT est´a dada por la f´ormula

+∞ X

n=−∞

cnenωoxi

donde

ω0 = 2_Tπ

cn =

1

T Z

T

f(x)e−nω0xidx para n= 0,±1,±2,±3, . . .

Relaci´on entre la forma compacta y la compleja:

An = 2|cn|, φn=−tan−1

(cn−c−n)i

cn+c−n

(66)

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Hechos 1

Compacta

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Complejas

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Ejemplo 6

f(x) =

 



0 para −1/2 < x < −1/4 1 para −1/4 < x < 1/4 0 para 1/4 < x < 1/2

0

(67)

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Compacta

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Complejas

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Compacta

Hechos 2

Complejas

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Potencia media

Lapotencia mediade una se˜nal peri´odicaf(x) con per´ıodo T

se define como:

Pmedia =.

1

T Z

T

|f(x)|2dx

Larelaci´on de Parsevalpara las series de Fourier en el caso de la serie de Fourier compleja se expresa como:

Pmedia =

+∞ X

n=−∞

|cn|2

y en el caso de la serie de Fourier real:

Pmedia=

1 2

a2

o

2 +

+∞ X

n=1

(72)

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Para poder responder la pregunta:

¿cuántos términos de la serie de Fourier se deben tomar para aproximar razonablementeuna función periódica?

La clave puede estar en la potencia media. Se calcula la potencia media y establece un nivel en el cual se desea aproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se van realizando sumas parciales de la f´ormula de Parseval hasta alcanzar el nivel de aproximaci´on deseado. Aunque ser´ıa deseable determinar anal´ıticamente para un nivel de

aproximaci´on el valor no en el cual se obtiene la aproximaci´on,

(73)

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Hechos 1

Compacta

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Complejas

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Ejemplo Para la funci´on

f(x) =

0 para −π < x < 0

determine el porcentaje de la potencia media que aproxima tomar la 20-´esima suma parcial.

π

−π

π

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Definici´on de la funci´on

Definiremos la funci´on en el formato requerido y aprovecharemos que cuando aplicamosfa0(f2) entrega

1

T/2

Z

T

f(x)2dx = 21

T Z

T

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Hechos 1

Compacta

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Potencia media en S20 y su comparaci´on contra