Universidad Externado de Colombia

Universidad Externado de Colombia

Maestr´ıa en Gesti´on para el Desarrollo Herramientas para la toma de decisones 1

Prof. John F. Moreno

Desarrollar para entregar en la pr´oxima clase todos los puntos hasta el 9. Del 10. en adelante los revisamos durante la pr´oxima clase.

1. Se cuenta con la siguiente informaci´on acerca del n´umero de integrantes de 50 familias que forman parte de un plan estatal para otorgamiento de vivienda gratis.

4 10 5 1 3

5 6 8 7 7

1 5 7 5 6

5 4 5 7 1

3 2 3 5 4

5 4 6 4 4

10 4 1 9 7

4 5 6 6 9

6 9 0 5 4

6 7 7 9 4

(a) Construya una tabla de frecuencias para estos datos y trace el histograma correspondiente.

(b) Calcule las principales medidas de tendencia central y dispersi´on de estos datos e interprete.

(c) Determine el sesgo y la curtosis de estos datos.

2. La distribuci´on de acciones de una sociedad es:

Acciones Accionistas

0-50 23

50-100 72 100-150 62 150-200 48 200-250 19 250-300 8 300-350 14 350-400 7 400-500 7

(a) Calcular el n´umero medio de acciones que posee un accionista.

(b) N´umero de acciones que m´as frecuentemente posee un accionista.

(c) N´umero de acciones que debe poseer un accionista para que la mitad de los restantes accionistas tengan menos acciones que ´el.

(d) El ´ındice de concentraci´on de Gini y la curva de Lorenz correspondiente.

(e) Asimetr´ıa y curtosis de esta distribuci´on.

Agencia A Agencia B Valor del cr´edito N◦ de cr´editos N◦ de cr´editos

0-0,5 3 10

0,5-1 4 12

1-2 6 8

2-4 58 30

4-7 78 12

7-12 90 15

12-14 20 5

14-18 6 6

18-20 4 16

4. Dos empresas A y B emplean a mil trabajadores cada una, clasificados en tres categor´ıas: I, II y III. En un mes determinado han distribuido una misma masa salarial de cien millones de d´olares, como se muestra m´as adelante:

(a) Calcule el ´ındice de concentraci´on de Gini para cada una de las empresas y dibuje en un mismo gr´afico las dos curvas de Lorenz.

(b) A la vista de los resultados del apartado anterior critique y compare la equidad en el reparto de la masa salarial entre los empleados de las dos empresas.

(a) Defina el ´Indice de concentraci´on de Gini.

(b) Enuncie su relaci´on con la curva de Lorenz.

(c) Calcule el valor del ´Indice de Gini si la curva de Lorenz es:

f(p) =p2 ; 0≤p≤1

6. En una muestra de 10 familias se han analizado las variables ahorro anual (Y) y renta anual (X) (las dos en millones de pesos). Los datos obtenidos son los siguientes:

Ahorro(Y) 1.9 1.8 2.0 2.1 1.9 2.0 2.2 2.3 2.7 3.0 Renta(X) 20.5 20.8 21.2 21.7 22.1 22.3 22.2 22.6 23.1 23.5

A partir de los datos se pide:

(a) Obtener el modelo lineal que explica el ahorro de las familias en funci´on de su renta (resolver en Excel).

(b) ¿Qu´e familia aumentar´ıa en un mayor porcentaje su ahorro si su renta se viese incrementada en un 5%, la familia que tiene la menor renta de entre todas o la que posee la mayor renta?

(c) ¿Qu´e porcentaje de varianza de la variable ahorro queda explicado por la variable renta a trav´es del modelo lineal planteado?

7. Se supone que se puede establecer cierta relaci´on lineal entre las exportaciones y la producci´on interna de un pa´ıs. Para cierto pa´ıs suramericano se tienen los datos anuales (expresados en miles de millones) para tales variables correspondientes al quinquenio 2002-06 en la siguiente tabla:

A˜nos Producci´on Exportaciones 2002 52.654 10.420 2003 53.972 11.841 2004 57.383 14.443 2005 61.829 16.732 2006 65.381 18.760

(a) Si la producci´on para el a˜no 2007 fue de 2.210.6100 millones , ¿cual ser´ıa la predicci´on de las ex-portaciones para este a˜no? ¿Qu´e grado de precisi´on tendr´ıa dicha predicci´on?

(b) ¿Qu´e tanto por ciento de la varianza de las exportaciones no vienen explicadas por la producci´on interna, y se debe a otro tipo de variables?

8. Utilizando R realice una an´alisis descriptivo completo de los datos que aparecen en el archivo: DatosTaller2.csv. Esto para el conjunto de datos y para cada variable, as´ı como de las posibles relaciones entre estas variables.

9. Considere una variable aleatoria X que cuenta el n´umero de proyectos que son presentados durante un mes al gobierno central por parte de los gobiernos territoriales, para el desarrollo de infraestructura vial. Suponga que la funci´on de distribuci´on deX es:

x 0 1 2 3 4 5 6

P[X =x] 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

(a) A lo sumo se presenten tres proyectos.

(b) Menos de tres proyectos sean presentados.

(c) Por lo menos tres proyectos sean presentados.

(d) Entre dos y cinco proyectos, inclusive, sean presentados.

10. El departamento de planeaci´on de un municipio requiere de un contratista para que remita uno, dos, tres, cuatro o cinco formatos (dependiendo de la naturaleza de los diferentes proyectos) a fin de solicitar un permiso de construcci´on. SeaY= n´umero de formatos requeridos por el siguiente solicitante. Se sabe que la probabilidad de que requieranyformatos es proporcional ay, es decirP[Y =y] =ky, paray= 1, ...,5.

(a) ¿Cu´al es el valor dek?

(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo sumo se requiera de tres formatos?

(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que se requieran entre 2 y 4 formatos (inclusive)?

11. Una compa˜n´ıa proveedora de productos qu´ımicos tiene una existencia de 100 libras de un producto que vende a los clientes en paquetes de 5 libras . Sea X= n´umero de lotes que pide un cliente seleccionado al azar y suponga queX tiene la siguiente funci´on de distribuci´on de probabilidad.

x 1 2 3 4

P[X =x] 0.2 0.4 0.3 0.1

Calcule el valor esperado y la varianza deX. Luego calcule el valor esperado de libras sobrantes despu´es de que se env´ıa el pedido del siguiente cliente, y la varianza del n´umero de libras restantes.

12. Suponga queE[X] = 5 yE[X(X−1)] = 27.5

(a) ¿Cu´al es el valor deE[X2_]? (b) ¿Cu´al es el valor deV(X)?

(c) ¿Cu´al es la relaci´on general que hay entre las cantidadesE[X],E[X(X−1)] y V[X]?

13. Losncandidatos para un trabajo han sido clasificados como 1, 2, 3, ...,n. SeaX= la clasificaci´on de un candidato seleccionado al azar, de modo queX tiene la siguiente funci´on de distribuci´on:

fX(x) =

1

n x= 1,2,3, ..., n

Calcule el valor esperado y la varianza deX.

14. Calcule las siguiente probabilidades:

(a) P[X = 3] cuandoX∼Bin(8,0.6). (b) P[X = 5] cuandoX∼Bin(8,0.6).

(c) P[3≤X ≤5] cuandoX ∼Bin(8,0.6). (d) P[1≤X] cuandoX∼Bin(12,0.1).

(e) B(4; 10,0.3)

(f) P[2≤X≤4] cuandoX ∼Bin(10,0.3).

(g) P[2≤X] cuandoX ∼Bin(10,0.3).

(h) P[X ≤1] cuandoX ∼Bin(10,0.7).

(i) P[2< X <6] cuandoX ∼Bin(10,0.3).

15. Una compa˜n´ıa que produce cristal fino sabe por experiencia que el 10% de sus copas tiene imperfecciones y se deben clasificar comode segunda.

(a) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿que tan probable es que s´olo una sea de segunda?

(b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda?

(c) Si se examinan una por una las copas, ¿cu´al es la probabilidad de que a lo sumo se deban seleccionar 5 para encontrar 4 que no sean de segunda?

16. Suponga que solo el 25% de los automovilistas se detiene por completo en un cruce de luces rojas inter-mitentes en todas direcciones cuando no esta visibles ning´un otro vehiculo. ¿Cu´al es la probabilidad de que, de 20 automovilistas seleccioados al azar que llegan a la intersecci´on en estas condiciones,

(a) a lo sumo 6 se detengan por completo?

(c) a lo menos 6 se detengan por completo?

(d) ¿Cu´anto de los 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

17. Veinte por ciento de todos los tel´efonos de cierto tipo son llevados son llevados a reparaci´on cuando todav´ıa esta vigente la garant´ıa. De ´estos , 60% se reparan, en tanto que el otro 40% se deben sustituir por nuevas unidades. Si una comp˜nia compra 109 de estos tel´efonos. ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 2 terminen siewndo reemplazados dentro del periodo de garant´ıa?

18. Utilice la tabla de la distribuci´on normal est´andar para establecer el porcentaje del ´area total (probabil-idad) que se encuentra entre: (a.) (-1) desviaci´on est´andar y (1) desviaci´on est´andar de la media, (b.) (-2) desviaciones est´andar y (2) desviaciones est´andar de la media, (c.) (-3) desviaciones est´andar y (3) desviaciones est´andar de la media.

¿Es posible decir lo mismo de cual quier curva normal aunque no sea est´andar? Justifique su respuesta.

19. De una poblaci´on que se sabe que sigue una distribuci´on normal con media ¯X = 7.5 y desviaci´onσ= 1,3 se obtuvieron los siguientes datos: 5.4, 6.8, 7.0, 8.4, 9.2, 3.5 y 10.1. ¿A qu´e distancia, en desviaciones est´andar, se encuentra cada uno de estos datos de la media?

20. La distribuci´on del ingreso diario de un grupo de familias encuestadas sigue una distribuci´on normal con media ¯X = $10500 y una desviaci´on deσ= $1800. Determine:

(a) El porcentaje de familias que tiene un ingreso diario de $15000 o m´as.

(b) La probabilidad de que un entrevistado seleccionado al azar tenga un ingreso diario de $15000 o m´as.

(c) La probabilidad de que un entrevistado seleccionado al azar tenga un ingreso diario de entre $10000 y $10500.

(d) La probabilidad de que un entrevistado seleccionado al azar tenga un ingreso diario de $10000 o menos.

21. En una encuesta sobre nivel de satisfacci´on con el actual gobierno de un pa´ıs, en la cual se calificaba con 0 como lo peor y 100 como lo mejor, se determino que las repuestas de los encuestados siguen una distribuci´on normal con un media de ¯X = 80 y una desviaci´on deσ= 7.5. Determine:

(a) El porcentaje de encuestados que dio un nivel de satisfacci´on de 60 o menos.

(b) La probabilidad de localizar un encuestado que halla dado un puntaje de satisfacci´on de 50 o menos.

(c) El porcentaje de entrevistados que dieron un nivel de satisfacci´on entre 80 y 90.

(d) La probabilidad de localizar un encuestado que halla dado un puntaje de satisfacci´on de 85 o mas.