Análisis de las dificultades que presentan los estudiantes del grado quinto al resolver problemas de combinatoria simple en la Escuela Normal Superior De Ibagué y en el Colegio La Presentación Ibagué

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ANALISIS DE LAS DIFICULTADES QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES DEL GRADO QUINTO AL RESOLVER PROBLEMAS DE COMBINATORIA SIMPLE EN

LA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE IBAGUE Y EN EL COLEGIO DE LA PRESENTACION DE IBAGUE

ESTEFANIA VILLANUEVA PEDROZA

Trabajo de grado como requisito parcial para optar al título de Maestría en Educación

Director

DAGOBERTO SALGADO HORTA Magister en Educación

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION MAESTRIA EN EDUCACION

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DEDICATORIA

A mi familia

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AGRADECIMIENTOS

Este trabajo realizado en la universidad del Tolima es un esfuerzo en el cual, directa o indirectamente se involucraron muchas personas que ayudaron a sacar adelante este proyecto y estuvieron en los momentos de crisis .Este trabajo me ha permitido aprovechar la experiencia de vida de personas que quisiera nombrar en este apartado

Magister Dagoberto Salgado Horta, asesor del trabajo de maestría de educación

Profesos Santiago Aquiles González, codirector del trabajo de especialización en pedagogía

Profesor Arlington Moreno ,maestro del curso de investigación en la especialización en pedagogía

Licenciada Diva Marcela Ramírez compañera de trabajo de la especialización en pedagogía

Ovimer Gutiérrez, evaluador proyecto de maestría de educación

A mis amigos, compañeros de trabajo y familia que estuvieron en las largas jornadas de trabajo y concentración, esto nunca hubiera sido posible sin su colaboración incondicional.

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CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN 16

1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN 20

1.1 A NIVEL INTERNACIONAL 20

1.2 A NIVEL NACIONAL 20

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 22

3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 25

4. JUSTIFICACIÓN 26

5. OBJETIVOS 27

5.1 OBJETIVO GENERAL 27

5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 27

6. FUNDAMENTACION TEORICA 28

6.1 RAZONAMIENTO COMBINATORIO Y PENSAMIENTO FORMAL 29

6.1.1 Combinatoria 30

6.1.2 Didáctica de la Combinatoria 31

6.1.3 Clasificación de los Problemas Combinatorios 34

6.1.3.1 Selección, que Enfatiza la Idea de Muestreo 34

6.1.3.2 Modelo Combinatorio Implícito 36

6.1.3.3 Tipo de Operación Combinatoria 36

6.1.4 Estrategias Generales Empleadas en la Solución de Problemas

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6.1.4.1 Traducción del Problema a Otro Equivalente 36

6.1.4.2 Fijación de Variables 37

6.1.4.3 Descomposición en Sub-problemas 37

6.1.5 Estrategias Aritméticas Empleadas en la Solución de Problemas

Combinatorios. 38

6.1.5.1 Regla de la Suma. 38

6.1.5.2 Regla del Producto 39

6.1.5.3 Regla del Cociente. 39

6.1.6 Procesos Generales de Solución de los Problemas Combinatorios 39

6.1.6.1 Uso de Fórmulas Combinatorias 39

6.1.6.2 Empleo de Diagrama de Árbol 40

6.1.6.3 Enumeración de Eventos 40

7. METODOLOGIA 41

7.1 FASE DE FORMULACIÓN 42

7.2 FASE DE DISEÑO 44

7.2.1 Sistema de Categorías o Hipótesis de Estrategias a Usar por los

Estudiantes 45

7.3 FASE DE GESTIÓN 61

7.3.1 Protocolo 61

7.3.1.1 Condiciones Iníciales 61

7.3.1.2 Desarrollo de la Actividad 62

7.4 FASE DE CIERRE 62

7.5 PROPUESTA PEDAGOGICA 63

7.5.1 Fase 1: Aspectos Éticos 63

7.5.2 Fase 2:Estructura del Cuestionario 63

7.5.3 Fase 3: Aplicación del Cuestionario 63

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7.5.5 Fase 5: Divulgación de los Resultados 64

8. ANALISIS 65

8.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS: ESTUDIANTES DE LA NORMAL

SUPERIOR DE IBAGUE 65

8.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS: ESTUDIANTES DEL COLEGIO DE LA

PRESENTACIÓN DE IBAGUÉ. 78

8.1.1 Análisis parcial 92

8.1.1.1 Situación 1. 92

8.1.1.2 Situación 2. 92

8.1.1.3 Situación 3. 92

8.1.2 Análisis General. 92

9. CONCLUSIONES 94

RECOMENDACIONES 96

REFERENCIAS 97

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LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Clasificación de los arreglos 30

Tabla 2. Distribución según sexo 41

Tabla 3. Distribución según sexo 42

Tabla 4. Actividades y documentación en fase de formulación 42 Tabla 5. Aspectos a tener en cuenta en la Prueba Diagnóstica 44 Tabla 6. Dificultades errores y estrategia situación de selección 45 Tabla 7. Dificultades, errores y estrategias Situación de colocación 56 Tabla 8. Dificultades, errores y estrategias situación de partición 60 Tabla 9.Diseño final del cuestionario: modelo y operación combinatoria 61

Tabla 10. Tipos de objetos por cada problema 61

Tabla 11. Cronograma del desarrollo de las fases. 64

Tabla 12. Leyenda cronograma 64

Tabla 13. Respuestas correctas situación 1 Escuela normal superior 65 Tabla 14. Total de arreglos 10 situación 1 Escuela normal superior 65 Tabla 15. Estrategias situación 1 Escuela normal superior 66 Tabla 16. Procesos generales situación 1 Escuela normal superior 66 Tabla 17. Dificultades situación 1 Escuela normal superior 66 Tabla 18. Total de arreglos situación 2 Escuela normal superior 70 Tabla 19. Estrategias situación 2 Escuela normal superior 70 Tabla 20. Procesos generales situación 2 Escuela normal superior 70 Tabla 21. Dificultades y errores situación 2 Escuela normal superior 71 Tabla 22. Total de arreglos situación 3 Escuela normal superior 72 Tabla 23. Estrategias generales situación 3 Escuela normal superior 73 Tabla 24. Procesos generales situación 3 Escuela normal superior 73 Tabla 25. Dificultades y errores situación 3 Escuela normal superior 73

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Pág. Tabla 27. Estrategias generales situación 1 la presentación 78

Tabla 28. Procesos generales situación 1 la presentación 78

Tabla 29. Dificultades y errores situación 1 la presentación 79

Tabla 30. Total de arreglos situación 2 la presentación 81

Tabla 31. Estrategias generales situación 2 la presentación 82

Tabla 33. Dificultades y errores situación 2 la presentación 82

Tabla 34. Total de arreglos situación 3 la presentación 85

Tabla 35. Estrategias generales situación 3 la presentación 86

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LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Esquema general combinatoria simple 28

Figura 2. Evidencia situacion de seleccion 67

Figura 3. Evidencia situacion de seleccion 68

Figura 4. Evidencia situacion de selección 68

Figura 5. Evidencia situacion de selección 69

Figura 6. Evidencia situación de colocación 72

Figura 7. Evidencia situación de partición 74

Figura 10. Enumeración de eventos 76

Figura 11. Fijación de Variables 77

Figura 12. Tipos de dificultades 77

Figura 13. Evidencia situación de selección 79

Figura 21 .Evidencia situación de partición 87

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Figura 26. Enumeración de eventos 90

Figura 27. Fijación de variables 90

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14 RESUMEN

Se denomina combinatoria al proceso de análisis que describe y cuenta arreglos, configuraciones o agrupaciones de elementos de cualquier naturaleza. Estos arreglos están sujetos a condiciones de orden y repetición, resolviendo así problemas prácticos mediante estrategias de solución. Sin embargo, la ausencia de conocimientos de estas estrategias llevan al estudiante a presentar dificultades que influyen en la solución correcta de los problemas, por lo anterior al tomar como muestra dos colegios de la ciudad de Ibagué y aplicando un cuestionario para determinar, sistematizar, priorizar y comparar estas dificultades de acuerdo a parámetros establecidos por personas versadas en el tema, los resultados muestran dificultades comunes de orden, repetición y olvido de solución de algunos arreglos . También dificultades disimiles de cambio del tipo de modelo, respuestas intuitivas y erróneas y confusión en el tipo de celdas que se presentan en la escuela normal superior y en el colegio de la presentación de Ibagué.

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15 ABSTRACT

It is called combinatorial analysis process described and account arrangements, configurations or groups of items of any kind . These arrangements are subject to conditions of order and repetition , solving practical problems through solving strategies. However, the lack of knowledge of these strategies lead students to present difficulties affecting the correct solution of the problems , so pick a sample before the two schools in the city of Ibague and applying a questionnaire to identify , organize , prioritize and compare these difficulties according to parameters set by those skilled in the subject, the results show common problems of order, repetition and forgetting some arrangements solution . Dissimilar difficulties also change the type of model , intuitive and wrong answers and confusion in the type of cells that are present in higher normal school and in school the presentation of Ibague.

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INTRODUCCIÓN

La necesidad del conocimiento matemático crece día a día al igual que su aplicación en las diferentes facetas de nuestra vida cotidiana, debido a la globalización del mundo y desarrollo de cada una de las sociedades las cuales van creciendo a una gran velocidad. El conocimiento matemático es un pilar muy importante dentro de la educación y a su vez es el motor de crecimiento de cada país, esta ciencia además de enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas importantes que se aplican diariamente en todos los ámbitos.

Siendo la estadística una rama tan amplia de las ciencias matemáticas, estas a su vez se subdivide en varias áreas como: el análisis combinatorio simple, este es uno de los temas en los que se centra el proyecto, ya que este análisis es muy útil en el ámbito pedagógico, porque permite a los alumnos analizar y lograr agrupar u ordenar los elementos de un conjunto en particular, teniendo en cuenta la naturaleza de esos elementos.

Desde la matemática y específicamente desde la combinatoria se pueden plantear problemas apropiados de acuerdo al nivel de los alumnos, esto con el objetivo de crear estructuras de pensamiento que se asocien y puedan aplicarse a los diferentes campos, como: Biología, Física, Química y demás, haciendo a la combinatoria una estructura muy importante para el pensamiento formal.

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del razonamiento combinatorio ya que como afirma Roa, (2000) numerosas investigaciones muestran que con frecuencia las personas adultas que presentan dificultades o sesgos dentro de su razonamiento probabilístico puede ser consecuencia de un razonamiento combinatorio deficiente.

Recientemente la investigación “estrategias en la resolución de problemas combinatorios por estudiantes con preparación matemática avanzada” hecha por Roa, Batanero y Godino, (2003) argumentan y sugieren que deben ser utilizadas para organizar la enseñanza, mejorando y ampliando el razonamiento recursivo y en los procedimientos sistemáticos de enumeración, en lugar de centrarse en aspectos algorítmicos, estas estrategias están dirigidas a un rango de edad entre los 10 y 18 años de acuerdo a las capacidades de cada edad. En concordancia con lo anterior, es de anotar que la enseñanza de la combinatoria en Colombia ha sido orientada eminentemente al aprendizaje de fórmulas y a la realización de ejercicios modelos, siendo esto considerado como difícil, lo que hace que se omita del currículo escolar. Por lo cual es de gran importancia que “el razonamiento combinatorio sea considerado una herramienta matemática útil en la colección de esquemas de representación de los estudiantes, aunque el proceso de razonamiento debe implicar algo más que la aplicación de fórmulas analíticas para las permutaciones y combinaciones” (Batanero, Godino & Pelayo, 1996, p. 26).

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Es por tanto que la presente indagación se establece después de observar que en la actualidad no se da la verdadera relevancia a los lineamientos y estándares nacionales que se establecen para abordar la combinatoria en las instituciones educativas, generando una preocupación y necesidad de determinar las dificultades y errores más comunes que presentan los estudiantes al resolver este tipo de situaciones aleatorias e identificar los procesos, estrategias empleados por los estudiantes al enfrentarse a problemas de combinatoria simple, donde se espera encontrar derroteros que puedan ser utilizadas posteriormente.

Este proyecto de profundización se llevara a cabo en las instalaciones de las escuelas básicas; normal superior de Ibagué y el colegio la presentación de Ibagué, enfocándonos en el grado quinto.

Para llevar a cabo esta indagación se desarrolla una metodología cualitativa retomada de la investigación de Sandoval, (1996) donde se identifican básicamente cuatro fases para el desarrollo de la misma, entre las cuales se encuentran: la formulación, el diseño, la gestión y el cierre, dándole un lineamiento una serie de pasos a la misma.

Por tanto, teniendo en cuenta esta metodología primeramente se hace una revisión teórica del tema a abordar en consecuencia se plantea un problema de indagación que nos lleva a cumplir unos objetivos relacionando todo el proceso a seguir con el cual se busca determinar las dificultades, errores y estrategias utilizadas por medio del desarrollo de una actividad diagnóstica.

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Luego se presenta el plan de acción dentro del aula de clase para el desarrollo de la actividad diagnóstica en la fase de diseño, donde se tienen en cuenta parámetros como el tiempo, recursos necesarios, entre otros, para hacer la aplicación de dicha actividad y sus posterior descripción de la información recolectada.

A partir de dicha recolección de la información, se procede a comparar los resultados obtenidos con las estrategias establecidas como hipótesis de solución, por medio de la descripción de los procederes de los estudiantes a los cuales se les aplico la prueba diagnóstica.

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1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN

Estos se abordarán desde una perspectiva nacional e internacional.

1.1 A NIVEL INTERNACIONAL

A nivel internacional encontramos autores como Roa, Batanero, Godino y Cañizares, (1997) con su grupo de trabajo proveniente de la Universidad de Granada (España), en su investigación “Estrategias en la resolución de problemas combinatorios por estudiantes con preparación en matemática avanzada” (p. 1), el cual nos incita a tener en cuenta estas estrategias para organizar la enseñanza, haciendo énfasis en el razonamiento recursivo y en los procedimientos sistemáticos de enumeración y no tanto en los procesos algorítmicos. Podremos encontrar además, una propuesta de desarrollo del currículo para edades de 10 a 18 años que se van a tener en cuenta para el desarrollo de este trabajo.

Además un punto que destacan los autores en su análisis es la dificultad y el escaso uso que hacen los estudiantes del diagrama de árbol que a pesar de la importancia que le concede Fischbein, (1975) como recurso productivo en la resolución de problemas probabilísticos y combinatorios, los alumnos evitan su uso y, cuando lo emplean lo hacen incorrectamente.

1.2 A NIVEL NACIONAL

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cuales han contribuido de manera significativa a la escuela. Aportes como el de Aristizabal, (2010) en su tesis “Metodología para el acercamiento del análisis combinatorio y probabilidades a situaciones cotidianas” (p. 19), hace énfasis en la utilización y promoción de diferentes procesos académicos, pedagógicos y didácticos que faciliten la enseñanza del análisis combinatorio.

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La Combinatoria no es simplemente una herramienta de cálculo para la probabilidad es una estructura muy importante para el pensamiento formal pues según Piaget y Inhelder, (1951) si el sujeto no posee capacidad combinatoria, no es capaz de usar la idea de Probabilidad salvo en casos de experimentos aleatorios muy elementales. Con ello, las personas que entienden y que pueden hacer Matemática, tienen mayores oportunidades y opciones para decidir sobre su futuro, adquirir la capacidad de ejercer un control en las acciones y decisiones de sus gobernantes, así mismo conocer la naturaleza critica de la sociedad en que viven, contribuyendo a la creación de condiciones más democráticas.

La educación matemática debe responder a nuevas demandas globales y nacionales, como las relacionadas con una educación para todos, la atención a la diversidad y a la interculturalidad y la formación de ciudadanos y ciudadanas con las competencias necesarias para el ejercicio de sus derechos y deberes democráticos (Ministerio de Educación Nacional, 2006).

Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, Ministerio de Educación Nacional, (2006) proponen procesos generales presentes en toda actividad matemática, entre los que se encuentran:

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registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella (p. 6).

Procesos que buscan llevar al estudiante a ser matemáticamente competente, desde esta perspectiva los estándares sugieren abordar el pensamiento aleatorio en los grados cuartos y quintos de la siguiente manera:

Interpretar información presentada en tablas y gráficas, Conjeturar y poner a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos, describir la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos, Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones, consultas o experimentos (Ministerio de Educación Nacional, 2006, p. 83).

De igual forma los lineamiento curriculares de matemáticas plantean “considerar situaciones reales para introducir conceptos aleatorios, susceptibles a cambios y de resultados inesperados e imprevisibles”, (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Por ende no es necesario presentar el concepto como un tema formal y hacerlo mediante fórmulas, sino que se pueden emplear situaciones cotidianas y presentarlo de manera didáctica que produzca en el estudiantes asociación entre lo abstracto y lo real, que respondan a su pregunta insistente y esto para que me sirve en la vida.

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3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

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4. JUSTIFICACIÓN

La capacidad combinatoria es una habilidad de gran importancia en el desarrollo del proceso de formación del estudiante, puesto que es un esquema amplio y significativo que guarda relación con muchas áreas del conocimiento .Además es un componente fundamental del pensamiento formal pues según Piaget e Inhelder, (1951) si el sujeto no posee capacidad combinatoria, no es capaz de usar la idea de probabilidad salvo en casos de experimentos aleatorios muy elementales.

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5. OBJETIVOS

5.1 OBJETIVO GENERAL

 Identificar las dificultades de los estudiantes del grado quinto de la escuela normal superior de Ibagué y el colegio de la presentación de Ibagué al resolver problemas de combinatoria simple.

Para lograr el objetivo general los autores se apoyarán en los siguientes objetivos específicos:

5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Determinar las dificultades que presentan los estudiantes de grado quinto de la escuela normal superior de Ibagué y el colegio la presentación de Ibagué, al resolver problemas de combinatoria simple.

 Clasificar las dificultades que presentan los estudiantes de grado quinto de la escuela normal superior de Ibagué y el colegio la presentación de Ibagué, al resolver problemas de combinatoria simple.

 Priorizar las dificultades que presentan los estudiantes de grado quinto de la escuela normal superior de Ibagué y el colegio la presentación de Ibagué al resolver problemas de combinatoria simple.

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6. FUNDAMENTACION TEORICA

En este capítulo la autora del trabajo abordan la fundamentación teórica por ello si queremos analizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es necesario explicitar los distintos tipos de objetos mediante los cuales describiremos la actividad matemática y los productos resultantes de la misma. En este caso el objeto matemático es la combinatoria. Encontramos en el proyecto diferentes tipos de objetos matemáticos que describimos a continuación. El propósito primordial es dar a la investigación un sistema coordinado y coherente de argumentos teóricos que sirvan de sustento al diseño teórico – metodológico, al mismo tiempo se constituirá en hilo conductor para la solución al problema de investigación planteado.

Los autores presentan un cuadro para orientar a los lectores acerca de lo que se va a tratar en el marco teórico.

Figura 1. Esquema general combinatoria simple

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6.1 RAZONAMIENTO COMBINATORIO Y PENSAMIENTO FORMAL

La capacidad combinatoria juega un papel importante en el desarrollo de las habilidades del estudiantes en su proceso de formación; el razonamiento combinatorio no es solamente un campo de las matemáticas, es un esquema amplio e importante como la proporcionalidad y así mismo concordancia que surge “a partir de 12 0 13 años”. (Roa, Batanero, Godino & Cañizares, 1997, p. 1).

Además Piaget e Inhelder, (1955) sostienen que el razonamiento hipotético deductivo opera con las posibilidades que existan en una situación problemática, los cuales son descubiertos y evaluados por el sujeto por medio de operaciones combinatorias. Esta capacidad puede relacionarse con los estadios descritos en la teoría de Piaget: después del período de las operaciones formales ya que el adolescente descubre procedimientos sistemáticos de construcción combinatoria. Por tanto, las operaciones combinatorias son operaciones sobre operaciones, características del nivel del pensamiento formal.

En contraposición con lo antes mencionado Fischbein, (1975) muestra que la capacidad de resolver problemas combinatorios, no siempre se alcanza en el nivel de las operaciones formales, si no hay una enseñanza específica.

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6.1.1 Combinatoria. La combinatoria o análisis combinatorio es una rama de las matemáticas que describe y cuenta arreglos, configuraciones o agrupaciones de elementos de cualquier naturaleza. Estos arreglos están sujetos a condiciones de orden y repetición, resolviendo así problemas prácticos. Por ejemplo, averiguar cuántos números de teléfonos diferentes hay. También se define como un camino rápido y práctico para contar actividades que se presentan. Uno de los términos importantes en la combinatoria es el arreglo el cual se puede definir como un conjunto finito de una sucesión formada por elementos vinculados al orden.

Tabla 1. Clasificación de los arreglos

Arreglo ordenado No

ordenado

repetición Sin

repetición

Entran todos los elementos

Variación   

combinación   

permutación    

Fuente: El autor

Ahora bien, el término combinatoria será entendido como el arte de la enumeración de todas las formas posibles en que un número de elementos pueden ser organizados sin perder algún resultado posible, definido por Navarro, Batanero y Godino, (1996). Es por ello, que la combinatoria cobra gran importancia, dado que si el sujeto no tiene capacidad de enfrentarse a situaciones de tipo combinatorio es muy difícil que desarrolle su pensamiento aleatorio.

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6.1.2 Didáctica de la Combinatoria. Al involucrarnos con algún tópico de la enseñanza de alguna rama de la matemática es importante conocer principios didácticas de la enseñanza de la misma. Según Javier Peralta en su libro Principios didácticos e históricos para la enseñanza de la matemática, pagina 25, al enseñar matemáticas fomentamos diferentes caminos de actividad matemática, por ejemplo: buscar analogías, diferencias, realizar conjeturas, elaborar estrategias entre otros. Esta actividad no solo es importante para la aprehensión del razonamiento lógico sino además aporta aspectos intelectuales en el desarrollo del pensamiento matemático como la intuición, creatividad, tenacidad en el trabajo, liderazgo entre otros.

Además es importante reconocer que el aprendizaje de las matemáticas aporta a la adquisición de un conjunto de elementos que exploran, representan, explican y predicen la realidad. Los conocimientos de las matemáticas y todas sus ramas son indispensables para el desenvolvimiento en la sociedad actual, no solo en la parte numérica sino en todos los ámbitos de las ciencias básicas.

El interés de la enseñanza de la combinatoria ,desde el punto de vista de la formación matemática de los alumnos, es resaltado por Freudenthal, (1991) quien afirma que la combinatoria y en particular los números figurados es un tema muy apropiado para la reinvención: comenzando con patrones numéricos, conjeturando relaciones generales sobre los mismos, experimentando y tratando de encontrar buenas definiciones y pruebas convincentes, usando la inducción matemática, primero intuitivamente, después intencionalmente y eventualmente de una manera más o menos formalizada-todo esto constituye actividades muy eficientes para promover la reinvención matemática por parte de los alumnos.

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Las situaciones combinatorias son los problemas semi-abiertos, aplicación fuera o dentro de las matemáticas que inducen la actividad que llamamos combinatoria y a partir de las cuales han emergido los conceptos combinatorios. Un ejemplo de un problema combinatorio es el siguiente:

Un grupo de cuatro amigos, Andrés, Benito, Clara y Daniel, tienen que realizar dos trabajos diferentes: uno de Matemáticas y otro de Lengua. Para realizarlo deciden dividirse en dos grupos de dos chicos cada uno. ¿De cuántas formas pueden dividirse para realizar los trabajos? Ejemplo: Andrés-Benito pueden hacer el trabajo de Matemáticas y Clara-Daniel el trabajo de Lengua. (Roa, Batanero, Godino & Cañizares, 1997, p. 11).

En la descripción anterior de la situación combinatoria: el sujeto, al resolver el problema no sólo realiza acciones sobre los símbolos u objetos materiales con los que opera, sino que en dicha actividad necesita evocar diferentes objetos matemáticos mediante sus definiciones o descripciones. Ejemplos de conceptos empleados en la resolución de los problemas anteriores son: configuración combinatoria, esquema de partición, selección, colocación, conjunto, subconjunto, muestra, parámetros, variaciones, permutaciones, combinaciones. También al exponer el problema se necesitan usar términos, expresiones, notaciones y gráficos y es por ello es que se hace necesario dar ciertas nociones al respecto.

Los problemas de conteo son difíciles, pues requieren de un análisis cuidadoso de su estructura. Para contar, es necesario saber qué características debe cumplir lo que se desea contar, por ejemplo, el hecho de que sea necesario o no el orden o la repetición.

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se comprenden en ese contexto. Pero al empezar el estudio formal de las ordenaciones y las combinaciones, los alumnos no distinguen las características relevantes del problema y tienen serias dificultades para resolverlo. Entonces, la manera como se cuenta se convierte en un problema didáctico, pues las ideas de orden y repetición se entienden fuera del ámbito escolar, pero cuando se abordan con determinados conjuntos, se pierde la transparencia que tienen en otros ámbitos (Salgado & Trigueros, 2008, p. 2).

En las investigaciones hechas por Roa, Batanero y Godino, (2001) en su trabajo “dificultad de los problemas combinatorios en estudiantes con preparación matemática avanzada” (p. 1) se resalta la importancia de la resolución de los problemas combinatorios y aclaran que se deben tener una serie de elementos no solo conceptuales, sino de técnicas y destrezas, empleo adecuado de notación, su puesta en relación con los problemas dados y la capacidad de argumentación para comunicar .También aclaran que al resolver un problema combinatorio el sujeto se puede encontrar con dos tipos de situaciones:

 El sujeto recuerda las definiciones y fórmulas de las operaciones combinatorias e intenta ajustar la definición de una operación combinatoria al enunciado del problema. Para ello debe reconocer en los datos del problema los elementos y condiciones de la definición. Una vez reconocida la operación combinatoria, el desarrollo de la misma da la solución directa al problema.

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6.1.3 Clasificación de los Problemas Combinatorios. La combinatoria estudia los conjuntos finitos y las configuraciones que pueden obtenerse a partir de sus elementos mediante ciertas transformaciones que originan cambios en la estructura o en la composición de los mismos .Tanto la existencia de esas configuraciones, su proceso de formación, como su recuento y optimización son objeto de la combinatoria Batanero, Godino y Pelayo, (1994) ¿pero de que tratan estas configuraciones?

Según Dubois, (1984), podemos clasificar las configuraciones combinatorias simples en tres modelos diferentes:

6.1.3.1 Selección, que Enfatiza la Idea de Muestreo. Allí se considera un conjunto de m objetos (generalmente distintos), de los cuales se extrae una muestra de n elementos. verbos claves que generalmente se refieren a la idea de muestreo son "seleccionar”, “coger", "extraer", "sacar", "tomar”, “elegir" etc.

 Permutaciones: Disposición ordenada de un conjunto de objetos diferentes. El número de permutaciones que pueden obtenerse usando r objetos distintos, seleccionados de un conjunto de n objetos diferentes es:

 Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos de los cuales son iguales, son iguales,. . ., son iguales está dada por.

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 Colocación, relacionado con el concepto de aplicación. se refiere a la colocación de una serie de n objetos en m celdas. Algunos verbos claves que pueden considerarse en este modelo son: "colocar", "aparcar", "introducir", "asignar", "guardar", etc. pero hay muchas posibilidades diferentes en este modelo. Dependiendo de las siguientes características:

 Si los objetos a colocar son idénticos o no.

 Si las celdas son idénticas o no.

 Si debemos ordenar los objetos colocados dentro de las celdas.

 Las condiciones que se añadan a la colocación, tales como el máximo número de objetos en cada celda, o la posibilidad de tener celdas vacías, etc.

Partición o división de un conjunto en subconjuntos. podríamos estar interesados en dividir un conjunto de n objetos en m subconjuntos, es decir, en efectuar una partición de un conjunto también podemos visualizar la colocación de n objetos en m celdas como la partición de un conjunto de n elementos en m subconjuntos (las celdas). Por tanto, hay una correspondencia biyectiva entre los modelos de partición y colocación, aunque para el alumno esto podría no ser tan evidente. Otros verbos claves asociados con la partición son: "dividir", "partir", "descomponer", "separar", etc.

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6.1.3.2 Modelo Combinatorio Implícito. Se han elegido situaciones de selección, colocación y partición, como contexto del problema.

6.1.3.3 Tipo de Operación Combinatoria. Variaciones y permutaciones con y sin repetición y combinaciones ordinarias.

 Tipo de elementos que se combina: letras o números, personas y objetos.

Valor dado a los parámetros m y n.

6.1.4 Estrategias Generales Empleadas en la Solución de Problemas Combinatorios. Para el análisis de esta investigación se tomaron las estrategias generales descritas por Roa,, Batanero y Godino, (2003) las cuales mencionan que no son específicas de los problemas combinatorios, pero que son útiles para este tipo de problemas. Estas son: traducción del problema a otro equivalente, fijación de variables, descomposición en subproblemas. Estas estrategias las presentamos especificando cuando es correcto o incorrecto su uso.

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En esta estrategia se considera correcto si el estudiante: reformula el problema cambiando el contexto, convirtiéndolo en otro problema con idéntica estructura combinatoria.

Ahora se considera que el uso es incorrecto si, al reformular el problema, se llega a otro cuya solución difiere de la que se tenía originalmente.

6.1.4.2 Fijación de Variables. Esta estrategia consiste en fijar una o más variables del problema combinatorio para obtener un método coherente en la enumeración.

Se considera un uso correcto cuando el estudiante da valores concretos a una o más variables del problema para convertirlo en otro del mismo tipo, pero con valores menores que los parámetros. Luego resuelve este problema más sencillo y, a partir de él, generaliza para resolver el problema inicial, correctamente, utilizando la recursión. El uso es incorrecto si el alumno fija una o más variables para reducir el problema a otro más sencillo, pero, o bien generaliza incorrectamente, o no tiene en cuenta los casos ya fijados.

6.1.4.3 Descomposición en Sub-problemas. El alumno puede dividir el problema dado en una serie de sub-problemas, resolverlos independientemente y combinar las soluciones para resolver el problema combinatorio. Se considera un uso correcto de este tipo de estrategia cuando el estudiante descompone el problema en otros varios, de estructura combinatoria más sencilla y parámetros de menor tamaño, que abarquen todos los casos del problema inicial. Combinando adecuadamente las soluciones parciales, resuelve el problema inicial.

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Por otra parte, desde el artículo presentado por English, (2007) se evidencian los resultados de una investigación dirigida a caracterizar las estrategias espontáneas que usan niños de 7 a 12 años para resolver problemas combinatorios y cómo esas estrategias cambian luego de tener experiencia en la solución de problemas.

De entre las estrategias identificadas por English, (2007) se tomaron:

 Ensayo y error. Está relacionada con generar organizaciones de “distintos de todas las maneras”, en donde no se tiene en cuenta cada procedimiento sistemáticamente limitando las posibilidades de formar nuevas combinaciones.

 Patrón Llamado Odómetro. Manera de formar las diferentes combinaciones a partir de un mismo elemento, en otras palabras, agota un elemento al combinarlo con los otros, realizando todas las combinaciones posibles y de esta manera agotar todas las posibilidades.

6.1.5 Estrategias Aritméticas Empleadas en la Solución de Problemas Combinatorios. Este tipo de estrategias son importantes ya que si el alumno no reconoce la operación combinatoria y trata de generar un modelo combinatorio deberá emplear las tres reglas básicas de carácter aritmético que son: suma, producto y cociente, las cuales puede combinar dependiendo del problema a resolver.

6.1.5.1 Regla de la Suma. La regla de la suma se usa cuando un conjunto de configuraciones combinatorias se determina como la unión de un número de subconjuntos mutuamente excluyentes.

(39)

39

El uso es incorrecto cuando el alumno al dividir en subconjuntos, lo hace de manera que éstos no sean excluyentes o que no abarquen en su totalidad al conjunto que describe el problema.

6.1.5.2 Regla del Producto. En esta estrategia se construyen productos cartesianos de conjuntos de elementos un número dado de veces.

El uso es correcto si el alumno no sale del contexto adecuado: calcular el número de elementos del conjunto producto cartesiano.

Se considera incorrecto si el alumno aplica la regla en un contexto inadecuado: el producto cartesiano no es el adecuado o los conjuntos que se multiplican no son los que justifican la solución del problema.

6.1.5.3 Regla del Cociente. Este tipo de estrategia se usa para relacionar entre si las operaciones combinatorias. Esto implica establecer una relación de equivalencia dentro de un conjunto de configuraciones combinatorias.

El uso correcto de esta regla se da cuando el alumno establece una relación de equivalencia dentro de un conjunto de configuraciones combinatorias identificando el número de elementos en cada clase de equivalencia.

Cuando el alumno no establece la relación de equivalencia adecuada o, el número de elementos en cada clase de equivalencia, se tiene un uso inadecuado de la regla.

(40)

40

estudiante, para evitar errores de aplicación y representación, en el caso del diagrama de árbol.

6.1.6.1 Uso de Fórmulas Combinatorias. Los estudiantes identifican los parámetros de la fórmula correspondiente, considerando la importancia del orden en el contexto del problema, ya que esto determina la fórmula a utilizar (combinación o permutación con o sin repetición).

6.1.6.2 Empleo de Diagrama de Árbol. El diagrama de árbol es un recurso que permite organizar los sucesos simples que constituyen el suceso compuesto, desplegar los resultados distintos (S) y contarlos: Recorra de izquierda a derecha cada una de las ramas del diagrama de árbol anotando secuencialmente, al final de cada recorrido, los elementos encontrados. (Probabilidad condicional, Dr. Antonio Nieves Hurtado).

(41)

41

7. METODOLOGIA

Esta investigación se enmarca dentro del paradigma cualitativo, que se caracteriza, según Patton, (1980) por estudiar las situaciones del mundo real en forma natural, sin manipular ni obstruir los procesos. La investigación cualitativa trabaja desde una perspectiva holística, donde el contacto personal del investigador con los sujetos o las situaciones de estudio se mantiene.

Para efectos de esta investigación y a partir de los datos recopilados con el cuestionario aplicado a la población conformada por: los estudiantes del grado quinto de la escuela normal superior y del colegio de la presentación de Ibagué , se procede a aplicar el modelo desarrollado por Sandoval, (1996), quien presenta cuatro niveles funcionales: los principales elementos de la formulación, el diseño, la gestión (ejecución) y el cierre de procesos de investigación social catalogados como cualitativos, los cuales permiten hacer formulaciones de tipo comprensivo y en otros casos explicativos.

La muestra sobre la que se realiza el estudio de las dificultades está formada por 4 estudiantes de grado 5, de los cursos 5-2 y 5-B de la escuela normal superior y del colegio de la presentación de Ibagué respectivamente. Estos estudiantes fueron seleccionados aleatoriamente y para ser equitativos se seleccionan dos hombre y dos mujeres de cada grado

Tabla 2. Distribución según sexo

SEXO NUMERO DE ESTUDIANTES J-M NORMAL SUPERIOR

5-2 PORCENTAJE

F M

14 65.85%

27 34.15%

(42)

42 Tabla 3. Distribución según sexo

SEXO NUMERO DE ESTUDIANTES COLEGIO DE LA

PRESENTACION DE IBAGUE

5-B PORCENTAJE

F M

20 76.92%

6 23.07%

Fuente: El autor

7.1 FASE DE FORMULACIÓN

Esta fase inició con el planteamiento de qué es lo que se va a indagar, permitiendo dar pautas p para el planteamiento del problema de indagación y los objetivos a desarrollar. A continuación se presenta la tabla 2, que muestra la búsqueda de información que permitió sustentar y desarrollar la propuesta de indagación, la descripción de la actividad desarrollada y los documentos trabajados.

Tabla 4. Actividades y documentación en fase de formulación

ACTIVIDAD TIPO DE DOCUMENTO

Revisión de documentos

para el

planteamiento del problema

Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá, Colombia.

Curriculares en Matemáticas. Bogotá, Colombia. p. 47 – 49.

Búsqueda de antecedentes que respalden

Tesis:

(43)

43

el problema

planteado -Pelayo, Batanero y Godino, (1996). Roa, Batanero y Godino, (2003).

Revisión de marco teórico de utilidad en la indagación.

Estrategias Dificultades y errores Metodología de indagación Metodología de aula Tales como: el

problema a otro

equivalente

variables

Roa,

Batanero y Godino (2003)

error

 Cambiar el tipo de modelo matemático en el enunciado del problema

 Error de orden

 Error de repetición

 Confundir el tipo de objeto

 Enumeración no sistemática

 Respuesta intuitiva errónea

 Interpretación errónea del diagrama de árbol

 Confusión en el tipo de celdas Elementos como: (ejecución) Sandoval (1996)

Aplicación de Prueba

diagnóstica desarrollada:

(44)

44

 Error en las particiones formadas Roa, Batanero y Godino (2003)

Fuente: El autor

7.2 FASE DE DISEÑO

Para la obtención de los datos experimentales seleccionamos 3 problemas simples de combinatoria del cuestionario de Roa, (2003). Esta selección se hizo con el fin de que el cuestionario integrara los modelos básicos de los problemas combinatorios: selección, colocación y partición Roa, (2003).conllevando a establecer un sistema de categorías o hipótesis que permiten sistematizar la información recolectada.

Después de generar las hipótesis, se presenta en la tabla 6, la manera de cómo se desarrollará la actividad diagnóstica y los aspectos que se tendrán en cuenta al momento de llevarla al aula.

Tabla 5. Aspectos a tener en cuenta en la Prueba Diagnóstica

ASPECTO DESCRIPCIÓN

Tipo de Prueba Diagnóstica cuestionario

Objetivo Orientar a los estudiantes de tal manera que

(45)

45

ASPECTO DESCRIPCIÓN

describiendo todo el proceso y argumentando sus procedimientos.

Recursos a utilizar 3 hojas, (una hoja por ejercicio),lápiz, borrador, sacapunta, elementos concretos para la manipulación.

Modo de trabajo en el aula Individual,30 minutos para cada situación

Tiempo 90 minutos ,tiempo institucional

Papel del docente -Observar sin intervenir

- Registrar (fotos), algunos argumentos o procesos que realicen los estudiantes.

Fuente: El autor

7.2.1 Sistema de Categorías o Hipótesis de Estrategias a Usar por los Estudiantes

Tabla 6. Dificultades errores y estrategia situación de selección

SITUACIÓN DE SELECCIÓN

HIPÓTESIS DE ESTRATEGIAS A

USAR POR LOS ESTUDIANTES

DIFICULTADES Y ERRORES QUE PUEDEN PRESENTAR LOS ESTUDIANTES

Una maestra tiene que elegir tres estudiantes para borrar el tablero. Para ello dispone de cinco

Ensayo y Error: 1.1. *El estudiante toma

indistintamente cualquiera de los estudiantes y forma parejas sin tener en

cuenta un

(46)

46 SITUACIÓN DE SELECCIÓN HIPÓTESIS DE ESTRATEGIAS A

voluntarios: Elisa, Fernando, Germán, Jorge y María ¿De cuántas maneras puede elegir tres de estos alumnos?

determinado orden y sin prestar atención a los elementos

seleccionados y da por terminado el problema cuando cree tener todas las combinaciones posibles.

1.2. El estudiante

hace las

combinaciones sin algún orden ni parámetro y da por terminado el problema cuando verifica que dichas combinaciones no están repetidas llegando a las 10 posibles.

 Error de orden

Este tipo de error (Fischbein y Gazit 1988), se refiere a convertir los criterios de combinaciones y permutaciones, es decir, considerar la importancia del orden de los objetos, cuando es irrelevante o, no tomar en cuenta el orden, cuando es esencial. Problema: Un departamento consta de 30 miembros y se requiere un comité de cinco personas

Ejemplo: Consideremos un comité integrado por las personas: A, B, C, D y F. Hay un error de orden, el tomar en cuenta, el comité integrado por: B, C, A, F y E (intercambio de objetos), no forma parte de las posibilidades.

El estudiante no considera, la posibilidad de repetir arreglos formados, o repite cuando no tiene que hacerlo.

(47)

Ejemplo: Formemos el número: 124. Tenemos un error de repetición cuando el alumno, no considera la posibilidad de tener: 142, 124, 412, 421, 214, 241, estos posibles arreglos.

Fijación de

variables: el estudiante fija uno de los alumnos (da valor a la variable) y lo combina de manera ordenada con cada uno de los otros posibles alumnos, por ejemplo fija a elisa y establece las 4 posibles

combinaciones de éste con los otros formando trios, por lo cual pueden surgir estas dos posibilidades:

Consiste en considerar objetos iguales, cuando son distinguibles, o por el contrario, objetos diferentes, cuando son indistinguibles.

Problema: Seleccionar dos fichas azules, que se encuentran en una urna donde hay en total cuatro: dos azules, una blanca y una verde.

Ejemplo: Consideramos un error de confusión de objetos, cuando el estudiante considera las fichas azules distintas, es decir los arreglos: (azul, blanca, verde y azul) y (azul, blanca, verde y azul), para él son distintos.

(48)

1.3. *Generaliza erróneamente suponiendo que por cada uno de los 5 implicados, hay 5 posibles trios, para un total de 60 combinaciones de alumnos, haciendo uso de la regla del producto o la regla de la suma, contando doble vez algunas de las parejas hechas.

1.4. Generaliza dándose cuenta que al fijar un segundo alumno, no debe repetir la pareja que había formado cuando identifica las posibles

combinaciones con el primer alumno

Problema: Elegir tres personas de cinco posibles: A, B, C, D y E, para la premiación de tres lugares. Ejemplo: El estudiante comete un error de enumeración no sistemática, cuando está incompleta la enumeración, por ejemplo:

Los alumnos sólo dan una respuesta numérica errónea, no justifican el resultado.

 No recordar la fórmula correcta de la operación combinatoria que ha sido identificada correctamente

(49)

que tomó, continúa

con este

procedimiento hasta completar las 10 posibles combinaciones,des cartando las repeticiones de trios.

 No recordar el significado de los valores en los parámetros en la fórmula combinatoria

El alumno da una interpretación incorrecta, en los valores de los parámetros en la fórmula.

Problema: Repartir tres premios: A, B y C, a cinco competidores.

Ejemplo: Tenemos un error en la interpretación, cuando el estudiante especifica: “Permutación con repetición de cinco elementos, tomados de tres en tres”

 Interpretación errónea del diagrama de árbol Las ramificaciones del diagrama no son correctas.

El patio de la

casa de

Ángel tiene tres garajes. Sólo tienen, sin embargo, dos carros: el de Ángel y Beatriz que pueden

colocar cada día en el lugar

Ensayo y Error: 2.1. *El estudiante a cada carro le asigna las tres posiciones a la vez y no se da cuenta que un carro solo debe ocupar una posición y de esta manera multiplica las 3 posiciones por los 2 carros,

Consiste en cambiar de modelo combinatorio, por ejemplo, uno de selección, por uno de colocación, la modificación es válida solo si ésta, no sale del contexto del problema.

 Error de orden

(50)

que prefieran, si no está ocupado. ¿De cuántas maneras posibles pueden Ángel y Beatriz estacionar sus autos en el garaje?

encontrando que hay 6 posibles maneras para asignar las posiciones.

2.2. El estudiante lista las 6 posibles

maneras de

asignar las posiciones sin tener en cuenta algún parámetro.

del orden de los objetos, cuando es irrelevante o, no tomar en cuenta el orden, cuando es esencial. Problema: Un departamento consta de 30 miembros y se requiere un comité de cinco personas

Problema: Seleccionar tres cifras de cuatro posibles (1, 2, 3 y 4).

(51)

Problema: Seleccionar dos fichas azules, que se encuentran en una urna donde hay en total cuatro: dos azules, una blanca y una verde.

Ejemplo: Consideramos un error de confusión de objetos, cuando el estudiante considera las fichas azules distintas, es decir los arreglos: (azul, blanca, verde y azul) y (azul, blanca, verde y azul), para él son distintos.

Traducir el

problema en otro equivalente:

(52)

52 SITUACIÓN

DE SELECCIÓN

resultándole tres arreglos y de esta manera aplica la regla del producto obteniendo así las 6 maneras de asignar las posiciones.

2.4. El estudiante, de los dos autos toma uno y hace todas las posibles permutaciones en las tres posiciones, concluyendo que se puede hacer de tres maneras diferentes, luego identifica que hay

dos formas

(53)

autos saldrían las mismas tres configuraciones por lo tanto suma dos veces las tres permutaciones llegando así a las 6

maneras de

asignar las posiciones, en pocas palabras el estudiante aplica la regla de la suma, al sumar las tres permutaciones de los dos grupos de dos autos.

Fijar Variable:

2.5. *El estudiante fija cada auto (valor de la variable) y le asigna las tres posiciones sin tener en cuenta las

otras dos

Este tipo de error (Fischbein y Gazit 1988) refiere, a resolver los problemas, mediante ensayo y error, sin un procedimiento recursivo, que lleve a la formación de todas las posibilidades.

(54)

posiciones

asignadas a l otro auto, listando todas las posibles asignaciones y luego aplica la regla del producto para obtener las 6 posibles maneras de asignar las posiciones.

2.6. El estudiante fija cada auto (valor de la variable) y le asigna las tres posiciones sin tener en cuenta las

otras dos

posiciones

asignadas a l otro auto, listando todas las posibles asignaciones y luego aplica la regla de la suma

Ejemplo: El estudiante comete un error de enumeración no sistemática, cuando está incompleta la enumeración, por ejemplo:

Los alumnos sólo dan una respuesta numérica errónea, no justifican el resultado.

El alumno identifica el problema y la fórmula correspondiente, pero no recuerda la sintaxis de la misma, para sustituir los datos correspondientes.

(55)

para obtener las 6 posibles maneras de asignar las posiciones.

 Interpretación errónea del diagrama de árbol Las ramificaciones del diagrama no son correctas.  Confusión en el tipo de celdas

Consiste en distinguir celdas (subconjuntos) idénticas o que no es posible diferenciar, celdas distinguibles.

Problema: Asignar dos tareas diferentes a 4 personas

Ejemplo: El estudiante sólo considera, las formas de elegir dos personas de cuatro (para la división de los grupos), pero no toma en cuenta, que grupo realizará la primer y segunda tarea respectivamente.

(56)

56

Tabla 7. Dificultades, errores y estrategias Situación de colocación

SITUACIÓN DE PARTICION

Un grupo de cuatro

amigos: Andrés, Benito, Clara y Daniel tienen que realizar dos trabajos diferentes:

uno de

Química y

otro de

Física. Para realizarlo deciden dividirse en dos grupos de dos chicos cada uno. ¿De cuántas maneras pueden dividirse para

Ensayo y error: 3.1.*Hace las tres posibles

combinaciones de estudiantes sin darse cuenta que puede hacerlo de forma análoga para el otro arquero. Concluyendo así el problema.

3.2. Hace las seis combinaciones posibles, pero sin tener en cuenta un procedimiento sistemático,

haciendo los repartos de manera análoga para las dos materias, utilizando la regla de la suma

Consiste en cambiar de modelo combinatorio, por ejemplo, uno de selección, por uno de colocación, la modificación es válida solo si ésta, no sale del contexto del problema.

 Error de orden

Este tipo de error (Fischbein y Gazit 1988), se refiere a convertir los criterios de combinaciones y permutaciones, es decir, considerar la importancia del orden de los objetos, cuando es irrelevante o, no tomar en cuenta el orden, cuando es esencial.

Problema: Un departamento consta de 30 miembros y se requiere un comité de cinco personas

(57)

57 SITUACIÓN

DE PARTICION

realizar los trabajos?

y llegando a un resultado acertado.

Problema: Seleccionar tres cifras de cuatro posibles (1, 2, 3 y 4).

(58)

58 SITUACIÓN DE PARTICION HIPÓTESIS DE ESTRATEGIAS A

Fijar variables 3.3. *El estudiante reparte los cuatro alumnos entre las materias, fija uno de los almunos y

hace las

combinaciones posibles con los otros tres alumnos sin darse cuenta que lo puede hacer de la misma manera con la otra materia.

3.4. Cuando el estudiante reparte los cuatro alumnos entre las materias, fija uno de los alumnos y hace las combinaciones posibles con los otros dos alumnos,

Este tipo de error (Fischbein y Gazit 1988) refiere, a resolver los problemas, mediante ensayo y error, sin un procedimiento recursivo, que lleve a la formación de todas las posibilidades.

Problema: Elegir tres personas de cinco posibles: A, B, C, D y E, para la premiación de tres lugares. Ejemplo: El estudiante comete un error de enumeración no sistemática, cuando está incompleta la enumeración, por ejemplo:

(59)

59 SITUACIÓN DE PARTICION HIPÓTESIS DE ESTRATEGIAS A

de tal manera que puede hacer las 3 combinaciones y de la misma manera lo puede hacer para la otra materia.

El alumno identifica el problema y la fórmula correspondiente, pero no recuerda la sintaxis de la misma, para sustituir los datos correspondientes.

 No recordar el significado de los valores en los parámetros en la fórmula combinatoria

 Interpretación errónea del diagrama de árbol Las ramificaciones del diagrama no son correctas.

 Confusión en el tipo de celdas

(60)

60 SITUACIÓN

DE PARTICION

Problema: Asignar dos tareas diferentes a 4 personas

Ejemplo: El estudiante sólo considera, las formas de elegir dos personas de cuatro (para la división de los grupos), pero no toma en cuenta, que grupo realizará la primer y segunda tarea respectivamente.

 Error en las particiones formadas

a) La unión de las particiones formadas, no contiene a todos los elementos del conjunto total.

b) Olvidar algunas posibles particiones. Fuente: El autor

Tabla 8. Dificultades, errores y estrategias situación de partición

Problema Modelo combinatorio

simple

Operación combinatoria

1 Selección Combinación

2 Colocación Permutación

3 Partición Combinación

(61)

61

Tabla 9.Diseño final del cuestionario: modelo y operación combinatoria

Problema Tipo de objeto

1 Estudiantes

2 Hermanos

3 Amigos

Fuente: El autor

Tabla 10. Tipos de objetos por cada problema

Problema Numero de arreglos resultantes

1 10

2 6

3 6

Fuente: El autor

7.3 FASE DE GESTIÓN

En esta fase se describe la implementación práctica en el aula de clase y la manera de la recolección de datos para su análisis, mediante el cuestionario aplicado , de acuerdo a lo planeado en la fase anterior.

Se verifica el orden de la actividad y ningún estudiante debe estar de pie, de igual forma el docente no contesta preguntas referentes a la solución de las situaciones problema, de modo que la información recolectada sea lo más veras posible.

7.3.1 Protocolo

(62)

62

situaciones presentadas se desarrollaran individualmente indicándoles que todos los razonamientos y procesos que hicieran para solucionar cada situación fueran plasmados en la hoja que se les iba a entregar.

7.3.1.2 Desarrollo de la Actividad. Se les aclaro a los estudiantes que no debían utilizar calculadora sino sus saberes previos, contaban con los materiales concretos para manipular y así realizar dibujo, esquemas tablas y demás

Se entregó a cada estudiante la primera situación y se determinó 30 minutos para abordarla, pero durante el desarrollo de la misma algunos estudiantes terminaron en menos tiempo del establecido y por esta razón se esperó hasta que los demás acabaran seguidamente se le entregaba la segunda situación, y de igual manera pasó con la tercera situación.

7.4 FASE DE CIERRE

Al tener claro la problemática a abordar, el diseño de las actividades y la forma de gestionarlas en el aula, se busca la manera de sistematizar el conjunto de los datos recolectados, para poder categorizar las estrategias, dificultades y errores presentados, tomando las hipótesis establecidas en la tabla 3.

Los resultados obtenidos en el estudio son analizados con el fin de evidenciar si la indagación cumplió con los objetivos y de esta manera identificar las dificultades errores y estrategias que usan los estudiantes sin instrucción para resolver problemas de combinatoria simple.

(63)

63 7.5 PROPUESTA PEDAGOGICA

7.5.1 Fase 1: Aspectos Éticos. Al haber definido la población de acuerdo a la facilidad de acceso a los estudiantes, recurrimos a dialogar con la profesora de matemáticas y coordinadora de cada institución para la autorización de la aplicación de dicho cuestionario, lo cual fue sin ninguna objeción.

7.5.2 Fase 2:Estructura del Cuestionario.Para la obtención de los datos experimentales seleccionamos 3 problemas simples de combinatoria del cuestionario de Roa, (2003). Esta selección se hizo con el fin de que el cuestionario integrara los modelos básicos de los problemas combinatorios: selección, colocación y partición.

Teniendo los problemas seleccionados se enumeraron de acuerdo al grado de dificultad (comenzando del más fácil al que requería de mayor complejidad). Además, el cuestionario será modificado de acuerdo al contexto en el que se realiza, por ello se cambian algunas palabras para una mejor interpretación, reducir confusiones y equivocaciones.

7.5.3 Fase 3: Aplicación del Cuestionario. Se realizó un formulario básico de combinatoria. El cuestionario se compone de problemas combinatorios simples, es decir, cuya solución se puede encontrar mediante la aplicación de una única operación combinatoria. Para la realización de este cuestionario se les dio tiempo abierto, siendo el menor tiempo de 1 hora y el de mayor tiempo 2 horas. Asistieron 4 estudiantes del grado 5-2 y 4 estudiantes de 5-B con la supervisión de las autoras de la investigación.