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Continuidad de las raíces de un polinomio en función de sus coeficientes

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Facultad de Ciencias

Trabajo Fin de Grado

Grado en Matemáticas

Continuidad de las raíces de un polinomio

en función de sus coeficientes

Autor: Inés Calzada González

(2)
(3)

´

Indice general

Introducci´on 5

1. Topolog´ıa del espacio proyectivo complejo 7

1.1. Primeras nociones . . . 8

1.2. Descomposici´on can´onica . . . 11

1.3. Propiedades topol´ogicas de Pn( C) . . . 16

2. La continuidad de las ra´ıces de un polinomio 25 2.1. Enunciado del teorema. Resultado equivalente . . . 26

2.1.1. Polinomios sim´etricos elementales . . . 26

2.1.2. Definici´on de la aplicaci´onσ . . . 27

2.1.3. Teorema equivalente . . . 28

2.2. Extensi´on deσ a un espacio proyectivo . . . 30

2.2.1. Inmersi´on deCn enPn(C) . . . 31

2.2.2. Definici´on de la aplicaci´onσ∗ . . . 31

2.3. La prueba de queσ∗ es un homeomorfismo . . . 32

A. Dos demostraciones del Teorema Fundamental del ´Algebra 43 A.1. Teorema de Liouville . . . 44

A.2. Grado de una aplicaci´on continua de S1 en S1 . . . 46

(4)
(5)

Introducci´

on

Inicialmente, el objetivo de este Trabajo Fin de Grado era examinar diferentes demostraciones del Teorema Fundamental del ´Algebra, y completarlo con el estudio de la continuidad de las ra´ıces de un polinomio en funci´on de sus coefi-cientes siguiendo la exposici´on de [CG]. Sin embargo, una vez que comenzamos a trabajar con el art´ıculo citado, observamos que su comprensi´on requer´ıa mu-cho m´as esfuerzo del inicialmente previsto, debido a que en muchas ocasiones, y a lo largo de todo el art´ıculo, los autores solo dan pistas al lector de c´omo se deber´ıa llevar a cabo la prueba de determinadas afirmaciones. Es por ello que decidimos cambiar el enfoque del trabajo y centrarnos en la correcta compren-si´on del art´ıculo, explicando con detalle aquellas demostraciones para las que los autores solo dan pistas, y limit´andonos a incluir solo dos demostraciones del Teorema Fundamental del ´Algebra, una de ellas en forma muy resumida ya que es la que, con car´acter general, se ve en el Grado de Matem´aticas.

Puesto que nuestro objetivo principal pas´o a ser el art´ıculo [CG], vamos a resumir ahora la idea, ciertamente ingeniosa, que desarrollan los autores. Que-remos no obstante advertir que la demostraci´on tradicional de este resultado se basa en el Teorema de Rouch´e (v´ease [GJ]). La demostraci´on de [CG] es m´as bien de naturaleza topol´ogica, y guarda cierta semejanza con la expuesta en [HM 1]. Planteado el teorema a resolver, surge el problema de la ordenaci´on de las ra´ıces, es por ello que Cucker y Gonz´alez introducen la relaci´on de equiva-lencia dada por el grupo sim´etrico Sn. A continuaci´on, el problema pasa a ser

la prueba de que una funci´on, construida a partir de dicha relaci´on de equiva-lencia, es un homeomorfismo. La comprobaci´on de que su inversa es continua es dif´ıcil de probar directamente, y por ello buscan una extensi´on suya definida en un espacio compacto y con llegada en un espacio de Hausdorff, as´ı bastar´a con ver que es una biyecci´on continua para concluir que es un homeomorfismo.

El primer cap´ıtulo es de naturaleza t´ecnica o auxiliar, en ´el incluimos las demostraciones de resultados que necesitamos posteriormente. En particular,

(6)

vemos en qu´e condiciones el producto de dos aplicaciones cociente es una apli-caci´on cociente. Despu´es vemos la descomposici´on can´onica de una aplicaci´on continua, prestando especial inter´es a las condiciones que garantizan que las restricciones de ciertas aplicaciones cociente son tambi´en aplicaciones cocien-te. Adem´as, recordamos la definici´on del espacio proyectivo Pn(

C) y probamos

propiedades que necesitamos en el cap´ıtulo 2.

El segundo cap´ıtulo es el cap´ıtulo central de esta memoria, y en ´el llevamos a cabo la prueba de la continuidad de las ra´ıces de un polinomio en funci´on de sus coeficientes siguiendo [CG]. Para ello necesitamos ver Cn inmerso en

Pn(C), y hacer uso tanto de los polinomios sim´etricos elementales como de

propiedades del espacio proyectivo probadas en el cap´ıtulo anterior.

Por ´ultimo, en el ap´endice exponemos las dos demostraciones del Teorema Fundamental del ´Algebra que se suelen estudiar en el Grado de Matem´aticas. La primera de ellas se estudia en la asignatura de Variable Compleja, y est´a basada en el Teorema de Liouville. La segunda se basa en el estudio del grado de una aplicaci´on continua de S1 en S1 y, a veces, se ve en la asignatura de Topolog´ıa.

En general no incluimos las demostraciones que suelen formar parte de las asignaturas del Grado de Matem´aticas pero, en ocasiones, recordamos las de-finiciones de ciertos conceptos.

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Cap´ıtulo 1

Topolog´ıa del espacio proyectivo

complejo

El objetivo de este primer cap´ıtulo es el de hacer un repaso de ciertas nociones de Topolog´ıa General. En particular, de la topolog´ıa cociente y del espacio proyectivo complejo, incluyendo las demostraciones de varias propiedades que necesitaremos en el cap´ıtulo 2, que es el cap´ıtulo central de esta memoria.

Primero recordamos el concepto de aplicaci´on cociente y vemos bajo qu´e con-diciones el producto de dos aplicaciones cociente es una aplicaci´on cociente.

Despu´es hablamos de la descomposici´on can´onica de una aplicaci´on continua, poniendo ´enfasis en la descomposici´on can´onica de la restricci´on de una apli-caci´on de paso al cociente y viendo qu´e condiciones se tienen que dar para poder identificar un subespacio de un espacio cociente con el cociente de un subespacio del espacio en cuesti´on.

Por ´ultimo, hacemos un breve repaso de lo que es el espacio proyectivo comple-jo y sus cartas af´ınes, y demostramos algunas de sus propiedades topol´ogicas como la compacidad y la concidi´on de Hausdorff.

La bibliograf´ıa usada en este cap´ıtulo es [GH] y [Mu].

(8)

1.1.

Primeras nociones

Comenzaremos enunciando brevemente algunos de los conceptos que iremos usando a lo largo de esta memoria.

Definici´on 1.1.1. Sean Xe Y espacios topol´ogicos y sea q : X −→ Y una aplicaci´on sobreyectiva. La aplicaci´on q se dice que es una aplicaci´on

co-cientesi los abiertos de Y son exactamente los subconjuntos U deY tales que

q−1(U) es abierto de X.

Definici´on 1.1.2. Sea X un conjunto y sea R una relaci´on de equivalencia en

X. Se dice que un subconjuntoAdeXessaturado(para R) si para todoa∈A

y para todo x∈X tal que xRa, se verifica que x∈A, es decir, si A es uni´on de clases de equivalencia. Obs´ervese que, si denotamos por p:X −→X/R la aplicaci´on de paso al cociente, entonces A es saturado (para R) si, y solo si,

A=p−1p(A).

Recordemos que toda aplicaci´on continua y sobreyectiva que, adem´as, sea abierta o cerrada, es una aplicaci´on cociente.

A continuaci´on enunciaremos uno de los teoremas m´as importantes en el es-tudio de los espacios cociente, y trata de c´omo definir aplicaciones continuas sobre un espacio cociente. Este resultado, as´ı como el siguiente, se prueba siem-pre en la asignatura de Topolog´ıa de segundo curso.

Teorema 1.1.1. Sea q : X −→Y una aplicaci´on cociente. Sea Z un espacio topol´ogico y sea g : X −→ Z una aplicaci´on que es constante sobre cada conjunto q−1({y}), para todo y Y. Entonces, se tiene que, g induce una

aplicaci´on f :Y −→Z tal quef◦q=g. La aplicaci´on inducidaf es continua si, y solo si, g es continua. Adem´as f es una aplicaci´on cociente si, y solo si,

g es una aplicaci´on cociente.

X

q

g

Y

f //Z

(9)

1.1. PRIMERAS NOCIONES 9

sea de Hausdorff.

Compactificaci´on de Alexandroff.

Sea X un espacio topol´ogico que es de Hausdorff, localmente compacto y no compacto, y sea Y otro espacio topol´ogico. Llamamos compactificaci´on de Alexandroff de X aY si:

X ⊂Y y la topolog´ıa de X es la de subespacio deY.

Y es compacto y de Hausdorff.

Y =X∪ {p}, p /∈X.

X es denso en Y, es decir, p no es un punto aislado.

Proposici´on 1.1.1.(Unicidad de la compactificaci´on de Alexandroff ).

Sea X un espacio de Hausdorff y localmente compacto que no es compacto. Si

Y e Y0 son dos compactificaciones de Alexandroff de X, entonces existe un ´

unico homeomorfismof :Y −→Y0 tal que f|X =id.

Tanto la existencia como la unicidad de la compactificaci´on de Alexandroff se ven siempre en la asignatura de Topolog´ıa de segundo curso.

Teorema 1.1.2. (Teorema de Tychonoff). El producto finito de espacios compactos es compacto.

Aunque el resultado anterior es cierto para cualquier producto de espacios compactos, hay a˜nos en los que en la asignatura de Topolog´ıa de segundo cur-so cur-solo se ha probado esta versi´on restringida, que es suficiente para nuestras necesidades.

Necesitaremos despu´es un resultado sobre aplicaciones cociente que vamos a probar haciendo uso del Lema del tubo, que tambi´en se prueba en segundo curso.

Lema 1.1.1. (Lema del tubo). Consideremos el espacio producto X ×Y, dondeY es compacto y sea x0 ∈X. SiN es un subconjunto abierto de X×Y

que contiene a la recta {x0} ×Y, entonces N contiene alg´un tubo W × Y

alrededor de {x0} ×Y, donde W es un entorno de x0 en X.

(10)

cociente, entonces q×id :X×[0,1]−→Y ×[0,1] tambi´en es una aplicaci´on cociente. Con vistas al cap´ıtulo 2, necesitamos mejorar este resultado.

Teorema 1.1.3. Sea q : A −→ B una aplicaci´on cociente y C un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces q×id : A×C −→ B×C tambi´en es una aplicaci´on cociente.

Demostraci´on. Tenemos que probar que dado un U ⊆B×C,U es abierto si, y solo si, V = (q×id)−1(U) es abierto de A×C.

Comoqes aplicaci´on cociente entonces es continua y, por tanto,q×idtambi´en es continua, as´ı pues, el hecho de queU es abierto enB×C implica que V es abierto de A×C.

Para concluir bastar´a probar que si V es abierto en A ×C entonces U es abierto en B ×C. Supongamos pues que V es abierto en A×C. Probaremos que U es abierto en B×C viendo que es entorno de cada uno de sus puntos. Sea (b, c) ∈ U. Elijamos (a, c) ∈ V tal que q(a) = b, lo cual es posible ya que q es sobreyectiva por ser una aplicaci´on cociente.

Como V es abierto y (a, c) ∈ V, entonces existen abiertos H1 y H2 de A

y C, respectivamente, tal que a ∈ H1, c ∈ H2 y (a, c) ∈ H1 × H2 ⊆ V.

Luego existe K, entorno compacto de c contenido en H2, de tal forma que

H1×K ⊆H1×H2 ⊆V. Por lo tanto, en particular, {a} ×K ⊆V.

Sea W = {x∈A : {x} ×K ⊆V}. Ahora observamos en primer lugar que

W = {x∈A : {q(x)} ×K ⊆U}. Es claro que a ∈ W. Veamos que W es un entorno abierto de a. Por el Lema del tubo (1.1.1) sabemos que existe un entorno abierto dea,H, tal queH×K ⊆V. LuegoH ⊆W, de donde se sigue que W es un entorno abierto dea.

(11)

1.2. DESCOMPOSICI ´ON CAN ´ONICA 11

Corolario 1.1.1. Sean p:A −→B y q:C −→D aplicaciones cociente. Si B

yC son espacios de Hausdorff localmente compactos,p×q:A×C −→B×C

es tambi´en una aplicaci´on cociente.

Demostraci´on. Basta observar que p×q coincide con la composici´on

A×C −−→p×id B×C −−→id×q B ×D.

Por tanto, gracias al Teorema (1.1.3),p×q es aplicaci´on cociente por ser com-posici´on de dos aplicaciones cociente.

1.2.

Descomposici´

on can´

onica de una

aplica-ci´

on continua

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua. La aplicaci´on f induce en X la siguiente relaci´on de equivalencia: x1Rx2 si f(x1) =f(x2). Se tiene entonces

el siguiente diagrama conmutativo:

X

p

f //

Y

X/R h //f(?X)

j

O

O

donde p: X −→X/R es la aplicaci´on de paso al cociente, j es la inclusi´on y

h(p(x)) = f(x). Es obvio que p y j son continuas. Tambi´en es inmediato que

hes biyectiva.

Por otra parte,h es continua si, y solo si, j◦h es continua. A su vez, j◦h es continua si, y solo si, (j◦h)◦pes continua, y esta ´ultima aplicaci´on es continua ya que esf. Luegoh es continua.

Recordemos que siq:X −→Y es una aplicaci´on cociente, entoncesq(X) = Y

y la biyecci´on continuah es un homeomorfismo. En este caso, en el diagrama

X

p

q //

Y

(12)

podemos suprimir la esquina inferior derecha.

As´ı pues, una aplicaci´on cociente es esencialmente una aplicaci´on de paso al cociente, pues q solo se diferencia dep en el homeomorfismo h.

Sea X un espacio topol´ogico, R una relaci´on de equivalencia en X, A ⊆ X

ei:A ,→X la inclusi´on. Realizamos la descomposici´on can´onica de la aplica-ci´on continuap◦i, y obtenemos el siguiente diagrama conmutativo:

A

pA

 i //

X p //X/R

A/RA h //p(A)

?

j

O

O (1.1)

donde h(pA(a)) =p(a).

La relaci´on de equivalencia Rque ten´ıamos enX induce una relaci´on de equi-valencia RA enA⊆X.

Dado un elemento en X/Rpodemos considerar su antecedente en X ya quep

es sobre (por ser aplicaci´on cociente), pero, en general, no podemos garantizar la existencia de un antecedente en A, raz´on por la cual, en general, p(A) es subespacio de X/R no igual a X/R.

En general, h es solo una biyecci´on continua, pues la restricci´on de una apli-caci´on cociente puede no ser una aplicaci´on cociente.

Con frecuencia nos va a interesar que esta aplicaci´onhsea un homeomorfismo. A continuaci´on veremos algunos resultados que nos proporcionar´an condicio-nes suficientes para poder garantizar que h sea un homeomorfismo.

El primero de estos es uno de los resultados m´as utilizados en topolog´ıa.

Proposici´on 1.2.1. Sea f :X −→Y una aplicaci´on continua y biyectiva. Si

X es compacto e Y es Hausdorff entonces f es un homeomorfismo.

(13)

1.2. DESCOMPOSICI ´ON CAN ´ONICA 13

Teorema 1.2.1. (Restricci´on de una aplicaci´on cociente).SeanX e Y

espacios topol´ogicos,q:X −→Y una aplicaci´on cociente y seaAun subespacio de X que es saturado con respecto a q, es decir, A =q−1q(A). Consideramos la descomposici´on can´onica q|A=j◦h◦pA. Entonces,h es un homeomorfismo

en cualquiera de las dos situaciones siguientes:

(a) Si A es un abierto o un cerrado en X.

(b) Si q es una aplicaci´on abierta o una aplicaci´on cerrada.

Demostraci´on. Consideramos el diagrama que representa la descomposici´on can´onica de la aplicaci´on q|A=q◦i:

A

pA

qA

(

(

 i //

X q //Y

A/RA h //q(A)

?

j

O

O

Suponemos que A es abierto.

Veamos que h es una aplicaci´on abierta.

Sea U un abierto de A/RA. Observemos que q(A) es un abierto de Y,

ya que A es un abierto saturado con respecto a q. As´ı pues, probar que

h(U) es un abierto de q(A) equivale a probar que h(U) es un abierto de

Y, y esto ´ultimo equivale a probar queq−1(h(U)) es un abierto de X.

Veamos que q−1(h(U)) = pA−1(U). Sabemos que p−A1(U) es un abierto de A y, por tanto, abierto de X (pues A es un abierto de X). Teniendo en cuenta que pA es sobreyectiva:

q−1(h(U)) =q−1(jh(U))

=q−1(jhpA(p−A1(U))

=q−1(qi(p−A1(U))) =q−1q(p−A1(U)).

A su vez, veamos que q−1q(p−1

A (U)) = p

−1

A (U). Nos basta probar que

(14)

ya que, la otra contenci´on se verifica siempre.

Sea x ∈q−1q(pA−1(U)). Luego q(x) =q(a ∈p−A1(U)), donde p−A1(U)⊆A, y A saturado con respecto a q, por tanto, x∈A.

Entonces, q(x) = q(a), con x, a ∈ A, por tanto, pA(x) = pA(a),

don-de, pA(a)∈U, lo cual implica quex∈p−A1(U).

Suponemos que A es cerrado.

Veamos que h es una aplicaci´on cerrada.

Sea F un cerrado de A/RA. Observemos que q(A) es un cerrado de Y,

ya que A es un cerrado saturado con respecto a q. As´ı pues, probar que

h(F) es un cerrado deq(A) equivale a probar queh(F) es un cerrado de

Y, y esto ´ultimo equivale a probar que q−1(h(F)) es un cerrado de X.

Veamos que q−1(h(F)) = pA−1(F). Sabemos que p−A1(F) es un cerrado de A y, por tanto, cerrado de X (pues A es ahora cerrado de X). A partir de ahora, se procede de manera an´aloga al casoA abierto.

Suponemos que q es una aplicaci´on abierta.

Veamos que h es una aplicaci´on abierta.

Sea U un abierto de A/RA. Luego p−A1(U) es un abierto de A, as´ı que

p−A1(U) = A∩V, siendoV un abierto de X.

A continuaci´on probaremos que h(U) es un abierto de q(A) viendo que

h(U) =q(A)∩q(V). Sabemos queq(V) es un abierto deY por serq una aplicaci´on abierta.

Veamos que q(A)∩q(V) =q(A∩V). Nos basta probar que

q(A)∩q(V)⊆q(A∩V),

ya que la otra contenci´on se verifica siempre.

(15)

1.2. DESCOMPOSICI ´ON CAN ´ONICA 15

q(v) ∈ q(A) y, por tanto, v ∈ q−1q(A) = A (ya que A es saturado con

respecto a q). Luego v ∈A∩V. De donde, y=q(v)∈q(A∩V). Finalmente,

q(A∩V) =q(p−A1(U)) =qi(p−A1(U) =jhpA(p−A1(U)) =hpA(p−A1(U)) =h(U),

donde el ´ultimo paso est´a garantizado por ser pA sobreyectiva.

Suponemos que q es una aplicaci´on cerrada.

Veamos que h es una aplicaci´on cerrada.

Sea F un cerrado de A/RA. Luego p−A1(F) es un cerrado de A, as´ı que

p−A1(F) =A∩T, siendo T un cerrado de X.

A continuaci´on probaremos queh(F) es un cerrado de q(A) viendo que

h(F) = q(A)∩q(F), donde sabemos que, q(F) es un cerrado de Y por ser q una aplicaci´on cerrada.

Ahora, an´alogamente al caso en que q era aplicaci´on abierta, verifica-mos que

q(A)∩q(F) = q(A∩F),

por ser A saturado respecto deq.

Finalmente, como en el caso anterior, llegamos a que

q(A∩F) =h(F),

por ser pA sobreyectiva.

Observaci´on. La aplicaci´on h del teorema precedente es un homeomorfismo si, y solo si, la restricci´on qA : A −→ q(A) es una aplicaci´on cociente. Esta

(16)

1.3.

Propiedades topol´

ogicas de

P

n

(

C

)

En esta secci´on recordaremos lo que es el espacio proyectivo complejo y sus cartas afines, adem´as de demostrar algunas de sus propiedades topol´ogicas.

SeaRla relaci´on de equivalencia sobreCn+1\{0}, donde 0 = (0, . . . ,0)

Cn+1,

tal que, para todo x, y enCn+1, xRy si, y solo si, existe un λ

C con λ6= 0

y tal que x=λy.

Adem´as, <x>={λx : λ∈C\ {0}} denotar´a la clase de equivalencia dex . Llamaremos espacio proyectivo complejo al espacio cociente (Cn+1\ {0})/R, y lo denotaremos con Pn(

C). A su vez, llamamos i-´esima carta af´ın de Pn(C) al

conjunto

Ui ={<x0, . . . , xn>∈Pn(C) : xi 6= 0}.

Es claro quePn(C) = U0∪ · · · ∪Un. Asociada a cadaUi se tiene una biyecci´on

ϕi :Cn−→Ui

dada por ϕi(y1, . . . , yn) = <y1, . . . , yi−1,1, yi, . . . , yn> (hablando

estrictamen-te, la carta af´ın es el par (Ui, ϕi)). Su inversa est´a dada por

ϕ−i 1(<x0, . . . , xn>) = (

x0

xi

, . . . ,xi−1 xi

,xi+1 xi

, . . . ,xn xi

)

Veamos a continuaci´on que las cartas af´ınesUi son conjuntos abiertos y densos

dePn(

C):

Proposici´on 1.3.1. Los conjuntos Ui son abiertos de Pn(C).

Demostraci´on. Razonaremos paraU0, pero podemos generalizar la prueba

pa-ra todo i sin dificultad.

El conjunto (C\ {0})×Cn es un abierto de

Cn+1 contenido en Cn+1 \ {0}

y, por tanto, un abierto de Cn+1 \ {0}. Adem´as, (

C\ {0})×Cn es saturado

para R ya que si tenemos un elemento con primera coordenada no nula, al multiplicarlo por un λ no nulo, la primera coordenada va a seguir siendo no nula.

Al considerar la aplicaci´on de paso al cociente p : Cn+1 \ {0} −→ Pn(

C)

observamos que p((C\ {0})×Cn) = U

0, con lo que se concluye la prueba ya

(17)

1.3. PROPIEDADES TOPOL ´OGICAS DEPN(

C) 17

pde paso al cociente.

Proposici´on 1.3.2. Los conjuntos Ui son densos en Pn(C).

Demostraci´on. Sea V un abierto no vac´ıo de Pn(

C). Veamos queV ∩Ui 6=∅.

Sea p : Cn+1 \ {0} −→

Pn(C) la aplicaci´on de paso al cociente, y

suponga-mos quex= (x0, . . . , xn)∈p−1(V). Comop−1(V) es un abierto deCn+1\ {0},

existe >0 tal queB(x, )⊆p−1(V).

Si xi 6= 0, entonces x = (x0, . . . , xn) ∈ p−1(V) ∩p−1(Ui) = p−1(V ∩ Ui),

luegop(x)∈V ∩Ui.

Si xi = 0, entonces z = (x0, . . . , xi−1,2, xi+1, . . . , xn) ∈ B(x, ) ⊆ p−1(V).

Luegoz ∈p−1(V)∩p−1(Ui). As´ı que p(z)∈V ∩Ui.

A continuaci´on, veremos algunas otras propiedades topol´ogicas del espacio pro-yectivo complejo que necesitamos para el desarrollo de esta memoria. M´as en particular, para la posterior prueba de la continuidad de las ra´ıces de polino-mios en funci´on de sus coeficientes.

Proposici´on 1.3.3. (Inmersi´on de Cn en

Pn(C)). La carta af´ın

Cn ϕ−→0 U0

(x1, . . . , xn)7−→<1, x1, . . . , xn>

es un homeomorfismo.

Demostraci´on. Seanp:Cn+1\{0} −→

Pn(C) la aplicaci´on de paso al cociente,

i: (C\ {0})×Cn,

Cn+1\ {0}la inclusi´on y R0 la restricci´on a (C\ {0})×Cn

de la relaci´on R que define Pn(

C) a partir de Cn+1 \ {0}. Consideremos la

descomposici´on can´onica de la aplicaci´on continuap◦i: (C\ {0})×Cn

p0

 i //

Cn+1\ {0} p //Pn(C)

((C\ {0})×Cn)/R0 h //

p((C\ {0? })×Cn) j

O

(18)

donde h(p0(a)) =p(a).

Es un diagrama del tipo (1.1) que construimos en la secci´on anterior, solo que esta vez, tratamos en particular el caso del espacio proyectivo complejo, que es el que nos sirve para probar el homeomorfismo que deseamos ver.

Empezaremos observando que

p((C\ {0})×Cn) = {<1, x

1, . . . , xn> : (x1, . . . , xn)∈Cn}.

Por lo tanto, U0 = p((C\ {0})×Cn), donde U0, como hemos dicho

anterior-mente, es la 0-´esima carta af´ın del espacio proyectivo complejo.

Para probar que la aplicaci´on ϕ0 es un homeomorfismo, debemos probar que

es continua, biyectiva y que su inversa tambi´en es continua.

Empecemos viendo que ϕ0 es una aplicaci´on continua. Sea k:U0 ,→Pn(C) la

inclusi´on. La aplicaci´on ϕ0 es continua si, y solo si, k◦ϕ0 es continua, y esta

´

ultima aplicaci´on podemos escribirla como la composici´on

Cn −→Cn+1\ {0} −→Pn(C)

(x1, . . . , xn)7−→(1, x1, . . . , xn)7−→<1, x1, . . . , xn>

donde la primera aplicaci´on es continua ya que tiene componentes continuas (la primera componente es constante y la segunda es esencialmente la identi-dad), y la segunda aplicaci´on es la que anteriormente hemos denotado por p, y es la aplicaci´on de paso al cociente por la relaci´on R y, por tanto, tambi´en es continua.

La biyectividad es trivial, ya que es evidente que elementos distintos del do-minio tienen im´agenes distintas, con lo que tendr´ıamos la inyectividad, y todo elemento de la imagen tiene claramente un antecedente, luego tambi´en es so-breyectiva.

Por ´ultimo nos quedar´ıa probar que la aplicaci´on f, inversa de ϕ0, es

con-tinua.

f :U0 −→Cn

(19)

1.3. PROPIEDADES TOPOL ´OGICAS DEPN(

C) 19

Para ello primero vamos a escribir f como composici´on de otras dos apli-caciones y, seguido, veremos que cada una de ellas es continua.

U0 h−1

−→((C\ {0})×Cn)/R0 g

−→Cn

<1, x1, . . . , xn>7−→<1, x1, . . . , xn>7−→(x1, . . . , xn)

La aplicaci´on h−1 ser´a continua si probamos que h es un homeomorfismo.

Como ya hemos comentado, (C\ {0})×Cn es un abierto de

Cn+1\ {0},

sa-turado con respecto a p, luego, usando el Teorema (1.2.1) aplicado a nuestro diagrama (1.2), se concluye que h es un homeomorfismo.

Para poder concluir que f es continua, nos falta probar la continuidad de

g.

Podemos escribir la aplicaci´ong de la siguiente manera

g : ((C\ {0})×Cn)/R0 −→Cn

<λ, x1, . . . , xn>7−→(x1, . . . , xn)

con λ6= 0.

Dicha aplicaci´on se obtiene pasando al cociente π2 : (C\ {0})×Cn −→ Cn

(que es la proyecci´on segunda, y es constante en cada clase de equivalencia):

(C\ {0})×Cn p0

/

/Cn

((C\ {0})×Cn)/R0

g

7

7

donde R0 es la restricci´on a (C\ {0})×Cn de la relaci´on R que define

Pn(C)

a partir de Cn+1\ {0}. Ahora, aplicando el Teorema (1.1.1), concluimos que g

tambi´en ha de ser continua. Luego f es continua.

Proposici´on 1.3.4. Pn(

C) es un espacio de Hausdorff.

Demostraci´on. Como venimos haciendo en esta secci´on, denotaremos por

<x> = <x0, . . . , xn> a la clase de equivalencia de x = (x0, . . . , xn) por la

relaci´on R tal que Pn(

(20)

Sean <x> 6= <y>. Veamos que <x> e <y> pueden separarse por abiertos saturados disjuntos.

Para ello, vamos a comenzar viendo que existen ´ındices i, j tales que (xi, xj) e

(yi, yj) son linealmente independientes.

Razonemos por reducci´on al absurdo. Suponemos pues que no existe tal pareja de ´ındices.

Fijemos i tal que xi 6= 0. De acuerdo con nuestra suposici´on, (xi, xj) e (yi, yj)

son linealmente dependientes para todoj.

Entonces

(yi, y0) = λ0(xi, x0)

(yi, y1) = λ1(xi, x1)

(yi, yn) = λn(xi, xn)

      

De donde, igualando las primeras componentes, tenemos que:

yi = λ0xi

yi = λ1xi

yi = λnxi

      

Lo cual, a su vez, implica (recordemos que xi 6= 0) que :

λ0 = yxii

λ1 = yxii

λn = yxii

      

Por tanto, tenemos que λ0 =λ1 =· · ·=λn=λ.

Ahora, igualando las segundas componentes, obtenemos:

y0 = λx0

y1 = λx1

yn = λxn

(21)

1.3. PROPIEDADES TOPOL ´OGICAS DEPN(

C) 21

Es decir, <x0, . . . , xn> =<y0, . . . , yn>, con lo que llegamos a una

contradic-ci´on.

Por lo tanto, existen ´ındicesi, j tales que xiyj−xjyi 6= 0 o, equivalentemente,

|xiyj −xjyi|>0.

Vamos a definir ahora dos abiertos saturados disjuntosV yW tales quex∈V,

y∈W. Sean

V ={z = (z0, . . . , zn) : |zjxi−zixj|<|zjyi−ziyj|}

W ={z= (z0, . . . , zn) : |zjxi −zixj|>|zjyi−ziyj|}

El conjuntoV es abierto ya que las funciones

(z0, . . . , zn)7−→ |zjxi−zixj|,

(z0, . . . , zn)7−→ |zjyi−ziyj|

son ambas continuas. Y an´alogamente ocurre conW.

Es claro que V y W son saturados y disjuntos. Finalmente,x∈V ya que 0 =|xjxi−xixj|<|xjyi−xiyj|.

An´alogamente, tenemos que y∈W.

Lema 1.3.1. Pn(

C) ∼= S2n+1/R0, donde ahora R0 es la restricci´on a S2n+1 de

la relaci´on que define Pn(C) como espacio cociente de Cn+1\ {0}.

Demostraci´on. Al igual que en la Proposici´on (1.3.3), necesitamos construir un diagrama del tipo (1.1). Luego consideremos el siguiente diagrama

S2n+1

p0

 i //

Cn+1\ {0} p //Pn(C)

S2n+1/R0 h //p(S2n+1)

?

j

O

O

dondeh(p0(a)) =p(a).

(22)

Adem´as, como S2n+1 es compacto, entonces sabemos que

S2n+1/R0 tambi´en lo

es. Por otro lado, p(S2n+1) es de Hausdorff por ser un subespacio de

Pn(C),

que hemos probado que es de Hausdorff en la Proposici´on (1.3.4). Entonces, en aplicaci´on de la Proposici´on (1.2.1),h es un homeomorfismo.

Ahora bien, para ver que Pn(C) ∼= S2n+1/R0 nos faltar´ıa probar que p(S2n+1) es igual aPn(

C). Para ello tendremos que ver que todo elemento dePn(C) est´a

enp(S2n+1).

Primero vamos a ver que toda clase de equivalencia en Pn(

C) corta a S2n+1:

Sea (z0, . . . , zn)∈Cn+1\ {0}. Veamos que la clase<z0, . . . , zn> corta aS2n+1.

Tenemos:

S2n+1 =(z0, . . . , zn)∈Cn+1:|z0|2+· · ·+|zn|2 = 1 ,

<z0, . . . , zn>={λ(z0, . . . , zn) : λ∈C\ {0}}.

Siguiendo a [GH], escribiremos abreviadamente:

z = (z0, . . . , zn),<z>=<z0, . . . , zn>y |z|2 =|z0|2+· · ·+|zn|2.

Para probar que <z>∩S2n+1 6=, debemos ver que la ecuaci´on enλ

1 = |λz|2 (1.3)

tiene alguna soluci´on. Ahora bien:

1 = |λz|2

⇐⇒

1 =|λ|2|z|2 ⇐⇒ |λ|=p1/|z|2

Vemos pues que todos los λ que satisfacen la ecuaci´on (1.3) forman una cir-cunferencia en C. Es decir, hay tantos puntos en <z>∩S2n+1 como puntos

hay en una circunferencia. Luego <z>∩S2n+1 6=.

Por ´ultimo, basta pasar al cociente por R0 y hacer su imagen por h para recuperar la clase de equivalencia por R del espacio Pn(

C), ya que por

(23)

1.3. PROPIEDADES TOPOL ´OGICAS DEPN(

C) 23

Proposici´on 1.3.5. Pn(

C) es un espacio compacto.

Demostraci´on. Para probar que Pn(

C) es compacto, basta observar por el

Le-ma (1.3.1) que Pn(C) es homeomorfo a S2n+1/R0, donde R0 es la restricci´on a S2n+1 de la relaci´on que define

Pn(C) como espacio cociente de Cn+1\ {0}.

Entonces,Pn(

C) es compacto por ser homeomorfo a un cociente de un espacio

compacto.

Proposici´on 1.3.6. P1(

C)∼=S2.

Demostraci´on. La Proposici´on (1.3.3) nos da la identificaci´on deCcon el con-juntoU0 ⊆P1(C). Luego, podemos ver Ccomo un subespacio denso deP1(C),

gracias a la Proposici´on (1.3.2).

Por otra parte, sabemos que P1(

C) = U0 ∪ <0,1> = C∪ <0,1> y como

hemos probado que P1(C) es compacto (Proposici´on (1.3.5)) y de Hausdorff (Proposici´on (1.3.4)), entonces P1(

C) es una compactificaci´on de Alexandroff

deC.

Como S2 es tambi´en una compactificaci´on de Alexandroff de

C = R2,

(24)
(25)

Cap´ıtulo 2

La continuidad de las ra´ıces de

un polinomio

El objetivo principal de esta memoria, y en concreto de este cap´ıtulo, es en-tender y detallar la prueba expuesta en [CG] de la continuidad de las ra´ıces de un polinomio en funci´on de los coeficientes.

Primero exponemos el resultado preciso y comentamos la dificultad que pre-senta su correcta comprensi´on. Damos a continuaci´on un resultado equivalente usando la relaci´on de equivalencia dada por la acci´on del grupo sim´etricoSn.

Despu´es extendemos este nuevo resultado a espacios proyectivos. Para ello, consideramosCn inmerso enPn(C), y definimos extensiones de los polinomios sim´etricos elementales.

Por ´ultimo, realizamos la prueba de este resultado extendido, apoy´andonos en propiedades topol´ogicas de los espacios proyectivos y de las aplicaciones cociente.

La bibliograf´ıa usada es [CG], [Mu] y [Sa].

(26)

2.1.

Enunciado del teorema. Resultado

equi-valente

Sea P(x) = xn+a

1xn−1+· · ·+an un polinomio m´onico complejo. El Teorema

Fundamental del ´Algebra prueba que existen ξ1, . . . , ξn pertenecientes a C

ta-les que P(x) = Q

1≤i≤n(x−ξi). Hemos repetido cada ra´ız tantas veces como

indique su multiplicidad.

Si variamos los coeficientes a1, . . . , an, el sistema de ra´ıces ξ1, . . . , ξn tambi´en

variar´a. Veamos c´omo es esa variaci´on:

Teorema 2.1.1. Sea P(x) = xn +a1xn−1 +· · ·+an un polinomio m´onico

complejo, y sean ξ1, . . . , ξn sus ra´ıces. Dado ∈ R, > 0, existe un δ ∈ R,

δ >0, tal que, para todo polinomio m´onico Q(x) = xn+b

1xn−1+· · ·+bn, si

|bj −aj| < δ para 1 ≤ j ≤ n, entonces existen ζ1, . . . , ζn pertenecientes a C

tales que Q(x) = Q

1≤i≤n(x−ζi) y |ζj−ξj|< para 1≤j ≤n.

La mayor´ıa de las demostraciones de este teorema se basan en el Teorema de Rouch´e, sin embargo, en este art´ıculo, los autores dan una demostraci´on alter-nativa usando los polinomios sim´etricos y espacios proyectivos.

Una de las dificultades que alberga este teorema reside en la correcta compren-si´on de su enunciado. Es por ello, que nos parece oportuno dar un enunciado menos t´ecnico pero que puede servir de aclaraci´on al lector.

De manera coloquial, podemos decir que, cuando en un polinomio se modi-fican un poco los coeficientes, hay una ordenaci´on de las nuevas ra´ıces que se distancian poco de las que ten´ıamos previamente.

Lo que haremos a continuaci´on ser´a buscar un resultado equivalente al del teo-rema precedente. As´ı, una vez probemos este nuevo resultado, quedar´a probado el Teorema (2.1.1), que, como venimos diciendo, es nuestro objetivo principal.

2.1.1.

Polinomios sim´

etricos elementales

Recordemos la relaci´on existente entre las ra´ıces y los coeficientes del polino-mio xn+a1xn−1+· · ·+an∈C[x].

(27)

2.1. ENUNCIADO DEL TEOREMA. RESULTADO EQUIVALENTE 27

las variables x1, . . . , xn a los polinomios σi(x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], para

1≤i≤n, definidos por

σi(x1, . . . , xn) = (−1)i

X

xk1· · ·xki,

donde {k1, . . . , ki} var´ıa en todas las posibles elecciones de i elementos del

conjunto {1, . . . , n}.

Obs´ervese que hemos modificado el signo habitual de los polinomios sim´ etri-cos elementales para conseguir que, si ξ1, . . . , ξn son las ra´ıces del polinomio

xn+a

1xn−1 +· · ·+an, se verifique que:

xn+a1xn−1+· · ·+an=xn+σ1(ξ1, . . . , ξn)xn−1 +· · ·+σn(ξ1, . . . , ξn).

2.1.2.

Definici´

on de la aplicaci´

on

σ

Identificaremos el polinomioP(x) con el punto (a1, . . . , an)∈Cn formado por

sus coeficientes, as´ı consideraremos P(x) como un punto de Cn. Nos gustar´ıa

poder hacer lo mismo con el sistema de ra´ıces ξ1, . . . , ξn. Sin embargo, nos

encontramos con el problema que ya hemos dejado entrever previamente, la ordenaci´on. Permutaciones de las ξi nos dan el mismo sistema de ra´ıces. Es

por ello que vamos a introducir la siguiente relaci´on de equivalencia en Cn:

(ξ1, . . . , ξn)∼(ζ1, . . . , ζn)

si, y solo si, existe una permutaci´onρdel grupo sim´etricoSn tal queζj =ξρ(j),

para 1≤j ≤n. Y denotaremos porCn

sym al espacio cociente obtenido a partir

deCn por esta relaci´on de equivalencia. A su vez, denotaremos por [ξ1, . . . , ξn]

a la clase de equivalencia de (ξ1, . . . , ξn).

Sea ρ ∈ Sn. Sabemos que ρ induce un homeomorfismo fρ : Cn −→ Cn

da-do por

fρ:Cn−→Cn

(x1, . . . , xn)7−→(xρ(1), . . . , xρ(n))

Para facilitar la notaci´on, identificaremos cada permutaci´on ρ con el homeo-morfismo fρ que induce.

Consideramos ahora la aplicaci´on

τ :Cn −→Cn sym

(28)

Esta aplicaci´on es biyectiva ya que dos polinomios m´onicos son iguales si tie-nen el mismo sistema de ra´ıces, y toda n-upla (ξ1, . . . , ξn) enCn determina un

polin´omio m´onicoxn+σ1(ξ1, . . . , ξn)xn−1+· · ·+σn(ξ1, . . . , ξn) cuyas ra´ıces son

ξ1, . . . , ξn.

Entonces, la inversa de la aplicaci´on τ estar´a bien definida y vendr´a dada por

σ :Cnsym −→Cn

[ξ1, . . . , ξn]7−→(σ1(ξ1, . . . , ξn), . . . , σn(ξ1, . . . , ξn))

2.1.3.

Teorema equivalente

Ahora ya podemos reescribir el Teorema (2.1.1). Recordemos que hemos do-tado a Cnsym de la topolog´ıa cociente. Veremos a continuaci´on que el Teorema (2.1.1) equivale a:

Teorema 2.1.2. La aplicaci´on σ es un homeomorfismo.

Proposici´on 2.1.1. El Teorema (2.1.1) y el Teorema (2.1.2) son equivalentes.

Demostraci´on. Veamos la doble implicaci´on.

=⇒

Supongamos que se satisface el Teorema (2.1.1) y veamos que se verifica el Teorema (2.1.2).

Como σ es claramente continua, ya que sus componentes son continuas por ser polinomios en lasξi, nos bastar´a con ver que τ es continua en cada uno de

los puntos de Cn.

Sea (a1, . . . , an)∈Cn. De acuerdo con la definici´on de τ, tenemos que

τ(a1, . . . , an) = [ξ1, . . . , ξn],

donde [ξ1, . . . , ξn] es la clase de equivalencia de las ra´ıces del polinomio m´onico

de grado n cuyos coeficientes son (a1, . . . , an).

(29)

2.1. ENUNCIADO DEL TEOREMA. RESULTADO EQUIVALENTE 29

Cn −→Cnsym. As´ı pues, p

−1(V) es un entorno abierto de (ξ

1, . . . , ξn).

Como en Cn tenemos la topolog´ıa producto, podemos tomar un abierto Uj

de cada factor, tal que ξj ∈ Uj, para 1 ≤ j ≤ n, y U1 × · · · ×Un ⊆ p−1(V).

Adem´as, para cadaj, podemos tomar una bola abierta centrada enξj y de

ra-dioj >0 que est´e contenida enUj. Finalmente, si= m´ın1≤j≤nj, tendremos

que (ξ1, . . . , ξn)∈B(ξ1, )× · · · ×B(ξn, )⊆p−1(V).

Como estamos suponiendo que se verifica el Teorema (2.1.1), existe δ > 0 tal que si |bj −aj| < δ para 1 ≤ j ≤ n, entonces las ra´ıces (ζ1, . . . , ζn) del

polinomio xn +b

1xn−1 +· · ·+bn, con un determinado orden, verifican que

|ζj −ξj|< para 1≤j ≤n.

A continuaci´on definimos W = B(aj, δ)× · · · ×B(an, δ), que es un entorno

abierto de (a1, . . . , an). La tesis del Teorema (2.1.1) se traduce de la siguiente

forma: Si (b1, . . . , bn)∈W, entonces (ζ1, . . . , ζn)∈p−1(V). Y, en consecuencia,

τ(b1, . . . , bn) = [ζ1, . . . , ζn]∈V. Por tanto, hemos terminado la prueba de que

τ es continua en el punto (a1, . . . , an).

⇐=

Supongamos que se satisface el Teorema (2.1.2) y veamos que se verifica el Teorema (2.1.1).

Partimos del polinomio m´onicoxn+a

1xn−1+· · ·+an, cuyas ra´ıces sonξ1, . . . , ξn.

Sea > 0. Consideramos el abierto U = B(ξ1, )× · · · × B(ξn, ), y sea V

el saturado de U. Luego V =S

ρ∈Snρ(U), donde estamos identificando ρ con

el homeomorfismo inducidofρ:Cn−→Cn.

Sea p : Cn −→

Cnsym la aplicaci´on de paso al cociente. Por la definici´on dada

de U, tenemos que (ξ1, . . . , ξn) ∈ U ⊆ V. Luego, [ξ1, . . . , ξn] ∈ p(V), que es

abierto deCn

sym ya que V es saturado. As´ı que,p(V) es un entorno abierto de

[ξ1, . . . , ξn] =τ(a1, . . . , an).

Como estamos suponiendo que σ es homeomorfismo, entonces τ (que es la inversa de σ) es continua en el punto (a1, . . . , an). Luego existe δ > 0 tal

que si |bj −aj| < δ, para 1 ≤ j ≤ n, entonces τ(b1, . . . , bn) ∈ p(V), es

de-cir, si (ζ1, . . . , ζn) son las ra´ıces de xn + b1xn−1 +· · · + bn, se verifica que

(30)

Ahora bien,

[ζ1, . . . , ζn]∈p(V)

⇐⇒

(ζ1, . . . , ζn)∈p−1(p(V)) =V, pues V es saturado.

⇐⇒

(ζ1, . . . , ζn)∈ρ(U), para un cierto ρ∈Sn.

⇐⇒

ρ−1(ζ1, . . . , ζn)∈U

⇐⇒

(ζπ(1), . . . , ζπ(n))∈U, siendo π =ρ−1.

⇐⇒

|ζπ(j)−ξj|< , para 1≤j ≤n.

Con lo que hemos llegado a que se verifica el Teorema (2.1.1).

2.2.

Extensi´

on de

σ

a un espacio proyectivo

La idea de esta secci´on no es otra que probar un resultado equivalente al Teore-ma (2.1.2) para una extensi´onσ∗ deσ que tambi´en ser´a biyectiva y que estar´a definida en un espacio compacto que contiene a Cn

sym. Para hacerlo, usaremos

espacios proyectivos complejos.

(31)

2.2. EXTENSI ´ON DEσ A UN ESPACIO PROYECTIVO 31

2.2.1.

Inmersi´

on de

C

n

en

P

n

(

C

)

Consideramos la inmersi´on

Cn−→Pn(C)

(x1, . . . , xn)7−→<1, x1, . . . , xn>

que, como probamos en la Proposici´on (1.3.3), establece un homeomorfismo entreCn y su imagen U0.

Ahora, podemos extender la correspondencia entre los polinomios m´onicos de grado n y los puntos de Cn. Para ello, diremos que dos polinomios no nulos

P(x) = a0xn+a1xn−1 +· · ·+an y Q(x) = b0xn+b1xn−1+· · ·+bn son

ho-mot´eticos, cuando existe un λ ∈ C\ {0}, tal que bj = λaj para 0 ≤ j ≤ n.

Esto es equivalente a decir queP(x) y Q(x) tienen el mismo grado y el mismo sistema de ra´ıces. Asociamos el punto <a0, . . . , an> a la clase de homotecia

del polinomioa0xn+a1xn−1+· · ·+an. Un punto <a0, . . . , an>dePn(C)

per-tenece entonces aCn si, y solo si, los elementos de la correspondiente clase de homotecia son polinomios de grado exactamente n (recordemos que estamos viendo Cn inmerso en

Pn(C) gracias a la carta af´ın ϕ0).

2.2.2.

Definici´

on de la aplicaci´

on

σ

Para preparar la definici´on de σ∗, definimos extensiones de los polinomios sim´etricos elementares,

σhi : ((C2))n −→C (2.1) ((z1, x1), . . . ,(zn, xn))7−→z1· · ·znσi(

x1

z1

, . . . ,xn zn

)

Es f´acil comprobar, usando la definici´on de σi, que

σih((z1, x1), . . . ,(zn, xn)) = (−1)i

X

xk1· · ·xkizki+1· · ·zkn (2.2)

donde {k1, . . . , ki} var´ıa en todas las posibles elecciones de i elementos del

conjunto {1, . . . , n} y {ki+1, . . . , kn}son los elementos restantes.

Entonces,σih es un polinomio homog´eneo en las variablesz1, . . . , zn, x1, . . . , xn,

de grado total n, que satisface

(32)

Comprobamos la propiedad precedente directamente usando la definici´on de

σh

i dada en (2.1):

σih((λ1z1, λ1x1), . . . ,(λnzn, λnxn)) = λ1z1· · ·λnznσi(

λ1x1

λ1z1

, . . . , λnxn λnzn

)

=λ1· · ·λnz1· · ·znσi(

x1

z1

, . . . , xn zn

)

=λ1· · ·λnσhi((z1, x1), . . . ,(zn, xn)).

Gracias a la Propiedad (2.3), podemos definir

σh : (P1(C))n−→Pn(C) (2.4) (<z1, x1>, . . . , <zn, xn>)7−→<σ0h(), . . . , σih(), . . . >

donde, dentro de los par´entesis que hemos dejado vac´ıos para no sobrecargar la notaci´on, ir´ıa

(<z1, x1>, . . . , <zn, xn>) y σh0(<z1, x1>, . . . , <zn, xn>) = z1· · ·zn.

Como los σih son sim´etricos, σh induce una aplicaci´on definida en (P1(C))nsym (el cociente de (P1(

C))n por la acci´on del grupo sim´etrico Sn), que vamos a

denotar por

σ∗ : (P1(C))nsym −→Pn(C)

2.3.

La prueba de que

σ

es un homeomorfismo

Como mencionamos al comienzo de la secci´on anterior, si conseguimos probar que σ∗ es un homeomorfismo habremos probado el Teorema (2.1.2), pues ve-remos que σ∗ es una extensi´on de σ.

Para ello vamos a necesitar previamente un par de resultados que demos-traremos a continuaci´on.

Lema 2.3.1.Sean<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1> npuntos deP1(C),

los primeros r de ellos pertenecientes a CP1(

C). Si

σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>]) =<a0, . . . , an>,

entonces a0 = · · ·= an−r−1 = 0, an−r = 06 , y an−rxr+· · ·+an−1x+an tiene

(33)

2.3. LA PRUEBA DE QUEσ∗ ES UN HOMEOMORFISMO 33

Demostraci´on. Consideremos

(z1, y1) = (1, x1)

(zr, yr) = (1, xr)

(zr+1, yr+1) = (0,1)

(zn, yn) = (0,1)

       

      

Hayn−r pares que tienen nula la componente z, luego solo hay r pares que no tienen nula la componentez.

Para favorecer una mejor comprensi´on de la prueba del lema, separaremos la misma en distintos casos:

Caso 1: i≤n−r−1 Por la Propiedad (2.2),

σhi((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = (−1)i

X

yk1· · ·ykizki+1· · ·zkn.

donde {k1, . . . , ki} var´ıa en todas las posibles elecciones de i elementos del

conjunto {1, . . . , n} y {ki+1, . . . , kn}son los elementos restantes.

Al elegir un subconjunto {k1, . . . , ki} de i elementos de {1, . . . , n}, su

com-plementario tiene n−i elementos.

Como n −i > r, y solo hay r pares que no tienen nula la componente z, concluimos que, en este caso, cada uno de los sumandos

yk1· · ·ykizki+1· · ·zkn

es nulo y, por tanto,

σih((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = 0.

Caso 2: i=n−r

Razonando como en el caso anterior, todos los sumandos

(34)

ser´an nulos, excepto cuando{ki+1, ..., kn}={1, ..., r}, en cuyo caso tendremos

{k1, . . . , ki}={r+ 1, . . . , n} y, por lo tanto,

yk1· · ·ykizki+1· · ·zkn

q q q q

1 1 1 1

Luego,

σhi((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = (−1)i = (−1)n−r= (−1)n+r.

Caso 3: i=n

σh

n((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = (−1)ny1· · ·yn

= (−1)nx

1· · ·xr1· · ·1

= (−1)nx1· · ·xr

= (−1)n(1)rσ

r(x1, . . . , xr)

= (−1)n+rσ

r(x1, . . . , xr).

Caso 4: i=n−1

σh

n−1((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = (−1)n−1

Pn

j=1y1· · ·yj−1zjyj+1· · ·yn

= (−1)n−1Pr

j=1y1· · ·yj−1zjyj+1· · ·yn

= (−1)n−1Pr

j=1y1· · ·yj−1yj+1· · ·yr

= (−1)n−1Pr

j=1x1· · ·xj−1xj+1· · ·xr

= (−1)n−1(−1)r+1σr−1(x1, . . . , xr)

= (−1)n+rσ

(35)

2.3. LA PRUEBA DE QUEσ∗ ES UN HOMEOMORFISMO 35

Caso 5: i=n−2 (suponemos i < j sin p´erdida de generalidad).

σnh−2((z1, y1), . . . ,(zn, yn))

= (−1)n−2P

{i,j}⊆{1,...,r},i6=jy1· · ·yi−1ziyi+1· · ·yj−1zjyj+1· · ·yn

= (−1)n−2P

{i,j}⊆{1,...,r},i6=jy1· · ·yi−1yi+1· · ·yj−1yj+1· · ·yr

= (−1)n−2P

{i,j}⊆{1,...,r},i6=jx1· · ·xi−1xi+1· · ·xj−1xj+1· · ·xr

= (−1)n−2(1)r+2σ

r−2(x1, . . . , xr)

= (−1)n+rσr−2(x1, . . . , xr).

Caso 6: n−r < i(es decir, n−i < r).

σhi((z1, y1), . . . ,(zn, yn)) = (−1)iP{ki+1,...,kr}⊆{1,...,r}yk1· · ·ykizki+1· · ·zkn

= (−1)iP

{ki+1,...,kr}⊆{1,...,r}yk1· · ·yki

En cada productoyk1· · ·yki podemos suprimir el factor ykj sikj 6∈ {1, . . . , r},

pues para todos ellos ykj = 1. As´ı pues, solo nos quedan aquellos

suman-dos yk1. . . yki en los que el complementario de {k1, . . . , ki}, con respecto a

{1, . . . , n}, est´a contenido en {1, . . . , r}.

Adem´as, en cada uno de esos productos hemos podido suprimir los factores

ykj para los que kj 6∈ {1, . . . , r}.

Luego, los sumandos que nos quedan son los que se obtienen al variar{ki+1, . . . , kn}

entre los posibles subconjuntos de {1, . . . , r} y quedarnos con su complemen-tario en{1, . . . , r}.

Tenemos pues, que si A⊆ {1, . . . , r} y |A|=n−i, entonces (−1)iP

j∈{1,...,r}\A,

Q

yj = (−1)i

P

j∈{1,...,r}\A,

Q xj

= (−1)i(1)r+(n−i)σ

r−(n−i)(x1, . . . , xr)

= (−1)r+nσ

i−(n−r)(x1, . . . , xr).

Por lo tanto, para este ´ultimo caso,

(36)

Gracias al estudio por separado de cada uno de los casos anteriores podemos concluir que

σh

i((1, x1), . . . ,(1, xr),(0,1), . . . ,(0,1))

=

     

    

0 si 16i6n−r−1

(−1)n+r si i=nr

(−1)n+rσ

i−(n−r)(x1, . . . , xr) si n−r+ 1 6i6n

(2.5)

Ahora bien, la hip´otesis del lema nos dec´ıa que:

σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>]) =<a0, . . . , an>.

Y por otra parte, usando la propia definici´on de σ∗ y (2.5), tenemos que

σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>])

=<σh

0(), . . . , σnh−r−1(), σnh−r(), σnh−r+1(), . . . , σnh()>

=<0, . . . ,0,(−1)n+r,(−1)n+rσ1(ξ1, . . . , ξr), . . . ,(−1)n+rσr(ξ1, . . . , ξr)>

=<0, . . . ,0,1, σ1(ξ1, . . . , ξr), . . . , σr(ξ1, . . . , ξr)>.

Notemos que en la primera igualdad, dentro de los par´entesis que hemos dejado vac´ıos para no sobrecargar la notaci´on, ir´ıa

(<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>).

Luego,

a0 =· · ·=an−r−1 = 0, an−r6= 0

y, adem´as, existe un λ∈C\ {0} tal que,

an−rxr+an−r+1xr−1+· · ·+an−1x+an

(37)

2.3. LA PRUEBA DE QUEσ∗ ES UN HOMEOMORFISMO 37

De donde, an−r 6= 0 y las ra´ıces de an−rxr+an−r+1xr−1+· · ·+an−1x+an son

ξ1, . . . , ξr.

Corolario 2.3.1. La aplicaci´on σ∗ es biyectiva, y su restricci´on a Cnsym nos da la biyecci´on σ :Cn

sym−→Cn.

Demostraci´on. Primero veremos que es inyectiva y sobreyectiva, despu´es exa-minaremos su restricci´on.

Inyectividad:

Al trabajar con elementos de (P1(C))nsym, tomaremos representantes co-mo en el Lema (2.3.1), es decir, colocaremos primero los elementos de

P1(C) de la forma<1, ξ>(pares que pertenecen aC⊆P1(C)), y despu´es

los pares de la forma <0,1>.

Supongamos que

σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>]) (2.6)

=σ∗([<1, ζ1>, . . . , <1, ζs>, <0,1>, . . . , <0,1>]) (2.7)

Si (2.6) es igual a<a0, . . . , an> y (2.7) es igual a <b0, . . . , bn>, tenemos

que (a0, . . . , an) = λ(b0, . . . , bn) conλ ∈C\ {0}.

Por el Lema (2.3.1) , sabemos que

 

a0 =· · ·=an−r−1 = 0

an−r 6= 0

an−rxr+· · ·+an tiene (ξ1, . . . , ξr) como ra´ıces.

 

b0 =· · ·=bn−s−1 = 0

bn−s 6= 0

bn−sxs+· · ·+bn tiene (ζ1, . . . , ζs) como ra´ıces.

Comoan−r es el primer coeficiente no nulo de (a0, . . . , an),bn−sel primer

coeficiente no nulo de (b0, . . . , bn), y (a0, . . . , an) = λ(b0, . . . , bn), entonces

(38)

Adem´as (an−r, . . . , an) = λ(bn−r, . . . , bn), por lo que los polinomios

an−rxr+· · ·+an−1x+an

bn−rxr+· · ·+bn−1x+bn

tienen las mismas ra´ıces, es decir, (ξ1, . . . , ξr) = (ζ1, . . . , ζr) salvo el

or-den.

Por lo tanto, los antecedentes coinciden.

Sobreyectividad:

Consideremos<a0, . . . , an>∈Pn(C), luego el polinomio

a0xn +a1xn−1 +· · · +an no es id´enticamente nulo. Sea r su grado y

ξ1, . . . , ξr sus ra´ıces.

Ahora consideramos <1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1> de P1(C).

Gracias al Lema (2.3.1), se verifica que

σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξr>, <0,1>, . . . , <0,1>]) = <a0, . . . , an>.

La restricci´on de σ∗ a Cn

sym coincide con σ:

ConsideramosCP1(

C) gracias a la inmersi´on

C−→P1(C)

z7−→<1, z>

As´ı pues, identificaremosz con <1, z>.

De igual modo, podemos considerar Cn (

P1(C))n. Ahora, al pasar

al cociente, tendremos Cnsym⊆(P1(C))nsym, ya que la relaci´on de equiva-lencia que defineCn

sym no es otra que la inducida por (P1(C))nsym, debido

a que dos elementos est´an relacionados si, y solo si, coinciden salvo per-mutaci´on.

Por lo tanto, σ∗([ξ1, . . . , ξn]) = σ∗([<1, ξ1>, . . . , <1, ξn>]), debido a la

identificaci´on anterior.

(39)

2.3. LA PRUEBA DE QUEσ∗ ES UN HOMEOMORFISMO 39

ver que tambi´enσ([ξ1, . . . , ξn]) =<a0, . . . , an>.

Por el Lema (2.3.1), tenemos quea0 6= 0 y que el polinomioa0xn+· · ·+an

tiene (ξ1, . . . , ξn) como ra´ıces, que tambi´en son las ra´ıces del polinomio

xn+a1

a0

xn−1+· · ·+an

a0

.

Luego,

<a0, . . . , an> = <1,

a1

a0

, . . . ,an a0

>

= (a1

a0

, . . . ,an a0

),

= (σ0(ξ1, . . . , ξn), . . . , σn(ξ1, . . . , ξn))

= σ([ξ1, . . . , ξn]).

Teorema 2.3.1. La aplicaci´on σ∗ : (P1(

C))nsym −→ Pn(C) es un

homeomor-fismo.

Demostraci´on. Para esta prueba vamos a hacer uso de la Proposici´on (1.2.1) que nos va a garantizar que σ∗ es un homeomorfismo bajo unas determinadas hip´otesis. La primera de ellas, que es la biyectividad deσ∗, nos viene dada por el Corolario (2.3.1). Adem´as, necesitaremos probar que σ∗ es continua, que (P1(

C))nsym es compacto y que Pn(C) es un espacio de Hausdorff.

El espacio (P1(

C))nsym es compacto.

Como vimos en la Proposici´on (1.3.6), P1(

C) es homeomorfo a S2, que

es compacto.

Ahora, aplicando el Teorema de Tychonoff (1.1.2) llegamos a que (P1(

C))n

es compacto. Para concluir que (P1(

C))nsym es compacto, basta tener en

(40)

El espacio Pn(

C) es de Hausdorff.

Esta prueba ya la hemos realizado en la Proposici´on (1.3.4).

La aplicaci´onσ∗ es continua.

Primero observemos que, para probar la continuidad de la aplicaci´on

σ∗, nos basta con ver que σh es continua, pues σes el paso al cociente

deσh de acuerdo con el siguiente diagrama (v´ease el Teorema (1.1.1)):

(P1(C))n

σh

/

/Pn(

C)

(P1(

C))nsym

σ∗

8

8

Recordamos la definici´on de la aplicaci´onσh:

σh : (P1(C))n−→Pn(

C)

(<z1, x1>, . . . , <zn, xn>)7−→<σ0h(), . . . , σ h

i(), . . . >

donde

σih : ((C2))n−→C (2.8) ((z1, x1), . . . ,(zn, xn))7−→(−1)i

X

xk1· · ·xkizki+1· · ·zkn

Es claro que cada σh

i es una aplicaci´on continua, ya que es una funci´on

polin´omica.

Ahora construimos el siguiente diagrama:

(C2 \ {0})n

qn

(σh

0,...,σnh//)

Cn+1\ {0} p // Pn(C)

(P1(

C))n

σh

3

3 (2.9)

donde tanto p como q : C2\ {0} −→

P1(C) son las aplicaciones de paso

al cociente.

(41)

2.3. LA PRUEBA DE QUEσ∗ ES UN HOMEOMORFISMO 41

Por un lado, debemos comprobar que, dado un ((z1, x1), . . . ,(zn, xn))

per-teneciente a (C2 \ {0})n, su imagen por (σ0h, . . . , σnh) est´a en Cn+1\ {0}. Es decir, tenemos que ver que se verifica que

σhi((z1, x1), . . . ,(zn, xn))6= 0, para todo i.

Como ((z1, x1), . . . ,(zn, xn))∈(C2\ {0})n esto significa que

(zi, xi)6= 0, para todo i. (2.10)

Supongamos que zk1, . . . , zki 6= 0 y zki+1 =· · ·= zkn = 0. Entonces, por

(2.10), tenemos que xki+1 =· · ·=xkn 6= 0. Luego en (2.8) nos queda que

σih((z1, x1), . . . ,(zn, xn)) = (−1)ixki+1· · ·xknzk1· · ·zki 6= 0.

Por otro lado, la aplicaci´on p◦(σ0h, . . . , σnh) se puede factorizar a trav´es de qn gracias a la Propiedad (2.3):

σih((λ1z1, λ1x1), . . . ,(λnzn, λnxn)) =λ1· · ·λnσih((z1, x1), . . . ,(zn, xn)).

Una vez tenemos perfectamente justificada la construcci´on del diagrama (2.9), seguimos con nuestro objetivo que es probar queσh es continua.

Para ello, lo primero que vamos a hacer es comprobar que

qn: (C2\ {0})n−→(P1(C))n es una aplicaci´on cociente.

Sabemos que q : C2 \ {0} −→ P1(

C) es una aplicaci´on cociente, ya

que es la aplicaci´on de paso al cociente. Adem´as, P1(

C) y C2 \ {0} son

espacios localmente compactos y de Haudorff:

La prueba de que P1(

C) es un espacio de Hausdorff y compacto ya la

hemos realizado en la Proposici´on (1.3.4) y en el la Proposici´on (1.3.5) respectivamente. Por otra parte, C2\ {0}es un espacio localmente com-pacto y de Hausdorff ya que es abierto deC2, que es localmente compacto

y de Hausdorff.

(42)

Volviendo a nuestro diagrama (2.9), y usando de nuevo el Teorema (1.1.1), tenemos queσh ser´a continua si, y solo si, σh◦qn es continua. Ahora bien,σhqn=p(σh

0, . . . , σhn), y esta ´ultima aplicaci´on es continua

por ser composici´on de continuas (la aplicaci´onp es continua por ser la aplicaci´on de paso al cociente y, por su parte, (σh

0, . . . , σnh) es continua

ya que todas sus componentes lo son).

(43)

Ap´

endice A

Dos demostraciones del

Teorema Fundamental del

´

Algebra

En este ap´endice exponemos dos de las numerosas pruebas que existen del Teorema Fundamental del ´Algebra.

La primera de ellas est´a basada en el Teorema de Liouville y, por tanto, en las propiedades de las funciones holomorfas. Es la prueba que, con car´acter general, se ve en la asignatura de Variable Compleja.

Por su parte, la segunda de las demostraciones, tiene car´acter topol´ogico y se basa en el concepto de grado de una aplicaci´on continua de S1 en

S1. Hace

uso, por lo tanto, de t´ecnicas de teor´ıa de homotop´ıa.

Detallo m´as la segunda demostraci´on, ya que yo no la hab´ıa estudiado con anterioridad a la realizaci´on de esta memoria.

El objetivo de este ap´endice es dar las dos demostraciones del Teorema Fun-damental del ´Algebra que, normalmente, se ven en el Grado de Matem´aticas. Otras demostraciones se pueden ver en [FR].

(44)

A.1.

Demostraci´

on basada en el Teorema de

Liouville

Como ya hemos adelantado en la introducci´on, esta prueba est´a basada en propiedades de las funciones holomorfas. Es por ello que, antes que desarrollar esta demostraci´on del Teorema Fundamental del ´Algebra, recordaremos algu-nas definiciones b´asicas y enunciaremos el Teorema de Liouville (resultado en el que se basa la prueba).

Nuestra demostraci´on no pretende ser otra cosa que un resumen de la prueba que se ve en la asignatura de Variable Compleja.

Definici´on A.1.1. Sean U un subconjunto abierto de C, f : U −→ C una funci´on y z0 un punto de U. Se dice que f es derivable en z0 si existe el l´ımite

l´ım

z→z0

f(z)−f(z0)

z−z0

= l´ım

h→0

f(z0+h)−f(z0)

h ∈C.

El l´ımite anterior se denomina derivada de f en z0.

Se dice que la funci´on f es holomorfa en el punto z0 si existe un disco

B(z0, r)⊆U tal que f es derivable en cada punto deB(z0, r). Se dice que f es

holomorfa en U si es holomorfa en cada punto de U, es decir, si es derivable en cada punto de U.

Definici´on A.1.2. Sean Aun subconjunto abierto de Cyf una funci´on com-pleja definida en A. Se dice quef es anal´ıtica en un puntoz0 ∈Asi existen un

n´umero δ >0 tal queB(z0, δ)⊆A, y una serie de potencias P

n=0an(z−z0) n

convergente en B(z0, δ), tales que

f(z) =

X

n=0

an(z−z0)n, para cada z ∈B(z0, δ).

Se dice que f es anal´ıtica en A si es anal´ıtica en cada punto de A. Las fun-ciones anal´ıticas en todo el plano complejo se denominanfunciones enteras.

Teorema A.1.1. (Teorema de Liouville)

Sea f :C−→C una funci´on entera. Si f es acotada, es decir, si existe M >0

(45)

A.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 45

Ahora ya estamos en condiciones de probar el Teorema Fundamental del ´ Alge-bra:

Teorema A.1.2. (Teorema Fundamental del ´Algebra)

SeaP(z) =a0+a1z+· · ·+anzn un polinomio de gradon ≥1con coeficientes

complejos. Entonces P tiene ra´ıces en C.

Demostraci´on. Razonemos por reducci´on al absurdo. Para ello, supongamos queP(z)6= 0, ∀z ∈C.

Entonces, podemos definir f(z) = 1/P(z). Adem´as, f(z) es cociente de fun-ciones holomorfas y, por tanto, es una funci´on holomorfa en todo C, es decir, es una funci´on entera.

Veamos que l´ım|z|→∞|P(z)| = ∞. Para z 6= 0, podemos escribir P(z) de la

siguiente manera:

P(z) = zn(an+

an−1

z + an−2

z2 +· · ·+

a0

zn),

luego, tomando valores absolutos, tenemos que

|P(z)|=|zn||an+

an−1

z + an−2

z2 +· · ·+

a0

zn|.

Ahora, como

ak

zn−k −→0, cuando|z| → ∞,

tenemos:

l´ım

|z|→∞

|P(z)|

|z|n =|an| 6= 0.

Por tanto, l´ım|z|→∞|P(z)|=∞, luego l´ım|z|→∞|f(z)|= 0.

Concluimos que f es acotada y, por el Teorema de Liouville (A.1.1), como

f es entera y acotada, entonces f es constante. Esto, a su vez, implica que P

(46)

A.2.

Demostraci´

on basada en el concepto de

grado de una aplicaci´

on continua de

S

1

en

S

1

Esta segunda prueba del Teorema Fundamental del ´Algebra est´a basada en el estudio de homotop´ıas, levantamientos y grado de una aplicaci´on continua.

Antes de comenzar con la demostraci´on, daremos algunas definiciones b´asicas y algunos resultados respecto a la existencia y unicidad de los levantamientos, ya sea de caminos o de homotop´ıas, as´ı como el lema fundamental de construc-ci´on de homotop´ıas. No demostraremos estos resultados ya que se ven siempre en la asignatura de Topolog´ıa del Grado de Matem´aticas.

Con frecuencia denotaremos por I el intervalo [0,1]⊆R.

Definici´on A.2.1. (Homotop´ıa de aplicaciones). Sean f, g : Y −→ X

dos aplicaciones continuas que coinciden en un subespacio A de Y. Diremos que f y g son hom´otopas relativamente a A, y escribiremos f ' g relA, si existe una aplicaci´on continua F :Y ×I −→X tal que

(1) F(y,0) =f(y), para todo y∈Y. (2) F(y,1) =g(y), para todo y ∈Y.

(3) F(a, t) = f(a) = g(a), para todo a∈A, t∈I. Decimos que F es una homotop´ıa entre f yg.

Si A 6= ∅ diremos simplemente que las aplicaciones f y g son hom´otopas, y escribiremos f 'g. Si queremos hacer alusi´on a la aplicaci´on F, escribiremos

F :f 'g relA, oF :f 'g si A=∅.

Notemos que toda aplicaci´on continua F : Y ×I −→ X es una homotop´ıa entre las aplicacionesf(y) = F(y,0) y g(y) =F(y,1).

Lema A.2.1. (Lema fundamental de construcci´on de homotop´ıas).

Sea X ⊆ Rn y sean f, g : Y −→ X dos aplicaciones continuas tales que, para

(47)

A.2. GRADO DE UNA APLICACI ´ON CONTINUA DE S1 EN

S1 47

Definici´on A.2.2. (Camino). Sea X un espacio topol´ogico y sean x, y ∈X.

Un camino en X que va de x a y es una aplicaci´on continua

γ : [0,1]−→X

tal que γ(0) =x yγ(1) =y. Tambi´en diremos que el camino γ comienza en x

y termina en y, o que x es el punto inicial e y es el punto final de γ.

Definici´on A.2.3. (Levantamiento de un camino). Sea γ un camino y

φ : R −→ S1 la aplicaci´on definida por φ(t) = cos 2πt+isen 2πt. Llamamos

levantamiento del camino γ a cualquier aplicaci´on continua γˆ : I −→ R

tal que φ◦γˆ=γ, es decir, que haga conmutativo el siguiente diagrama:

R

φ

I γ //

ˆ γ ??

S1

Teorema A.2.1. Sea γ un camino en S1 con γ(0) = z

0. Fijamos t0 ∈ R tal

queφ(t0) =z0. Existe un ´unico camino γˆ en R tal que γˆ(0) =t0 y φ◦γˆ =γ,

es decir, el caminoγ tiene un ´unico levantamiento que comienza en t0.

Seanγyσcaminos enX. De acuerdo con la definici´on general, unahomotop´ıa

entreγ y σ es una aplicaci´on continua

F :I×I −→X

(s, t)7−→F(s, t)

tal queF(s,0) =γ(s),F(s,1) =σ(s), para todos ∈I. EscribiremosF :γ 'σ.

Definici´on A.2.4. (Levantamiento de una homotop´ıa).Sea F una ho-motop´ıa de I×I en S1. Llamamos levantamiento de la homotop´ıa F a cualquier aplicaci´on continua Fˆ :I×I −→R tal que φ◦Fˆ =F, es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama:

R

φ

I×I

F // ˆ F

<

<

S1

Teorema A.2.2. Sean γ y σ dos caminos en S1 que comienzan en z0 y sea

F : γ ' σ rel{0,1}. Fijamos t0 ∈ R tal que φ(t0) = z0. Sean φˆ y σˆ los ´

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