ANALISIS DE FERRORRESONANCIA EN SISTEMAS DE DISTRIBUCION

(1)

INSTIT

ESCU

“ANÁLISIS DE

QU

ALEJA

ASESO

MÉXICO D. F.

ITUTO POLITÉCNICO NACI

CUELA SUPERIOR DE INGENIE

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DE FERRORRESONANCIA EN SIST

DISTRIBUCIÓN”

T E S I S

UE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRICISTA

P R E S E N T A

JANDRO REYBELL HERNÁNDEZ TRE

SORES: MIGUEL JIMÉNEZ GUZMÁN GUILLERMO BASILIO RODRÍGU

F. OCTU

CIONAL

NIERÍA

SISTEMAS DE

REJO

ÍGUEZ

(2)

A Dios

Por el Valor de la sabiduría y Entendimiento. Gracias señor por Escuchar mis suplicas y Oraciones

A mi Madre Francisca Con amor y eterna gratitud por haberme apoyado en la senda de la superación

A Sonia Con Amor por su apoyo incondicional

siempre en mi corazón.

A mis Hermanos María, Alejandro y Eurice

Con cariño Por tener la fortuna de contar con su fraternal respaldo y comprensión

(3)

(4)

Agradecimientos

A mi Asesor

Dr. Miguel Jiménez Guzmán

Por proporcionarme las herramientas orientadas y educativas para desarrollarme en esta línea de investigación. Por su gran interés de que yo progresará

Al Instituto Politécnico Nacional por contribuir a la ciencia

A todos mis compañeros y amigos compartiendo alegrías y tristezas significando un apoyo importante, brindándome su ayuda de la manera más sincera

(5)

RESUMEN

En esta tesis se modela y analiza los efectos de saturación no lineal que presentan los

transformadores de distribución, La saturación es una característica del material

ferromagnético del que se construye el núcleo de los transformadores. Esta condición no

lineal y la reactancia inductiva que presenta el transformador, aumenta la probabilidad de

que ocurra resonancia al conectar el transformador a la capacitancia de un cable, o un

banco de capacitores, A este fenómeno se le llama Ferrorresonancia.

Se simula por medio del programa ATP un circuito representativo del comportamiento no

lineal del núcleo de un transformador, además de presentarse los efectos de la

Ferrorresonancia en un circuito Monofásico.

ABSTRACT

This thesis models and analyzes the effects of not linear saturation that present the

transformers of distribution, The saturation is a characteristic of the material

ferromagnetic that is constructed the core of the transformers. This not linear condition

and the inductive reactance presents the transformer, increases the possibility of a

resonance happens when connected the transformer to the capacitance of a cable, or a

bank of Condensers, This phenomenon is called Ferroresonance. Is simulated by the

program ATP a representative circuit of the not linear behavior of the core of a

(6)

ÍNDICE GENERAL

Dedicatoria Agradecimientos Resumen

Abstract Índice General Glosario Índice Figuras

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.

1.1 Introducción………..1

1.2 Objetivo……….3

1.3 Justificación………...3

1.4 Estructura del Trabajo………...3

CAPÍTULO 2. TEORÍA GENERALIZADA EN EL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO 2.1 Introducción………..5

2.2 Permeabilidad Magnética………..5

2.3 Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos……….6

2.4 Pérdidas de Energía en un Núcleo Ferromagnético……….8

2.5 Construcción de Transformadores………..11

2.6 Teoría Operacional de los Transformadores Monofásicos Reales………..12

2.7 Relación de Tensión en el Transformador……….13

2.8 Corriente de Magnetización en un Transformador Real……….16

2.9 Los Transformadores como Elementos No-Lineales………..19

2.10 Efecto de la No-Linealidad en la Corriente de Excitación……….21

CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CONDICIONES SENOIDALES Y NO SENOIDALES 3.1 Introducción……….24

3.2 El Circuito "LC-Serie" Lineal……….24

3.3 El Circuito "LC-Serie" No Lineal……….29

CAPÍTULO 4. FERRORRESONANCIA 4.1 Introducción……….31

4.2 Ferrorresonancia en Circuitos Monofásicos……….31

4.3Ferrorresonancia en Circuitos Trifásicos……….36

4.4 Condiciones Comunes del Sistema en donde la Ferrorresonancia puede ocurrir……….41

4.5 Estrategias para Manejo de la Ferrorresonancia………..43

4.5 Métodos para prevenir la Ferrorresonancia……….44

(7)

CAPÍTULO 5. MODELADO Y SIMULACIÓN DEL TRANSFORMADOR EN CONDICIONES NO LINEALES

5.1 Problema………..……….………..49 5.2 Saturación de una Inductancia no Lineal……….……..49 5.3 Ferrorresonancia en un Circuito Monofásico………..55

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

(8)

GLOSARIO

Permeabilidad Magnética

Se denomina permeabilidad magnética a la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de sí los campos magnéticos, la cual está dada por la relación entre la intensidad de campo magnético existente y la inducción magnética que aparece en el interior de dicho material.

Inducción Magnética

La inducción magnética o densidad de flujo magnético, cuyo símbolo es B, es el flujo magnético por unidad de área de una sección normal a la dirección del flujo, y en algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magnético, ya que es el campo real.

Tensión

La tensión, voltaje o diferencia de potencial es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito eléctrico cerrado, provocando el flujo de una corriente eléctrica.

Corriente Eléctrica

La corriente eléctrica está definida por convenio en el sentido contrario al desplazamiento de los electrones. La corriente o intensidad eléctrica es el flujo de carga por unidad de tiempo que recorre un material. Se debe a un movimiento de los electrones en el interior del material. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C·s-1(culombios sobre segundo), unidad que se denomina amperio.

Corriente Continua

La corriente continua (CC en español, en inglés DC, deDirect Current) es el flujo continuo de electrones a través de un conductor entre dos puntos de distinto potencial. A diferencia de la corriente alterna (CA en español, AC en inglés), en la corriente continua las cargas eléctricas circulan siempre en la misma dirección (es decir, los terminales de mayor y de menor potencial son siempre los mismos).

Aunque comúnmente se identifica la corriente continua con la corriente constante (por ejemplo la suministrada por una batería), es continua toda corriente que mantenga siempre la misma polaridad.

Corriente alterna

(9)

Inductancia

En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relación entre el flujo magnético, y la intensidad de corriente eléctrica.

De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, si el flujo se expresa en weber y la intensidad en amperio, el valor de la inductancia vendrá en henrio (H). El término "inductancia" fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el símboloLse utiliza en honor al físico Heinrich Lenz.

Capacitancia eléctrica

La capacitancia es una propiedad de los capacitores. Esta propiedad rige la relación existente entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del capacitor y la carga eléctrica almacenada.

Transformador

Se denomina transformador a una máquina eléctrica que permite aumentar o disminuir la tensión en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo la frecuencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal, esto es, sin pérdidas, es igual a la que se obtiene a la salida.

Capacitor

En electricidad y electrónica, un condensador, capacitor o capacitador es un dispositivo que almacena energía eléctrica, es un componente pasivo. Está formado por un par de superficies conductoras en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra), generalmente en forma de tablas, esferas o láminas, separados por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de las placas y negativa en la otra (siendo nula la carga total almacenada). En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1 voltio, éstas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.

Inductor

(10)

ÍNDICE DE FIGURAS

CAPÍTULO 1

Figura 2.1

a) Curva de Magnetización con CD para un núcleo Ferromagnético

b) La curva de Magnetización en Términos de densidad de flujo e intensidad del campo Magnético

c) Curva de magnetización detallada par una pieza típica de acero

Figura 2.2

a) Corriente Eléctrica Alterna

b) Curva o lazo de histéresis trazado por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la Corriente i(t)

Figura 2.3

a) Dominios magnéticos orientados al azar.

b) Dominios Magnéticos alineados en la presencia de un campo magnético externo.

Figura 2.4

Curva de Histéresis en un Núcleo de Hierro

Figura 2.5

Dibujo de un transformador real sin carga en el secundario

Figura 2.6

Curva de Histéresis del Transformador

Figura 2.7

Flujo Mutuo y Disperso en el Núcleo del Transformador

Figura 2.8

a) Curva de Magnetización del Transformador

b) Corriente de magnetización causada por el flujo en el núcleo deltransformador

Figura 2.9

Corriente de pérdidas en el núcleo de un transformador

Figura 2.10

Corriente de Excitación total en un transformador

Figura 2.11

Obtención de la curva de magnetización a partir de los lazos de histéresis.

Figura 2.12

(11)

Figura 2.13

Efecto de aumentar la magnitud del voltaje de la fuente en un 30%

CAPÍTULO 2.

Figura 3.1

(a). Circuito "LC-serie" predominantemente inductivo. (b). Diagrama fasorial correspondiente (no a escala).

Figura 3.2

Solución gráfica del circuito "LC-serie"

Figura 3.3

Incrementando la capacitancia se logra un punto de operación diferente que corresponde al circuito predominantemente capacitivo.

Figura 3.4

Diagrama Fasorial Capacitivo

Figura 3.5

Relación entre voltaje y corriente en un transformador

CAPITULO 4.

Figura 4.1

El circuito LC-Serie No Lineal.

Figura 4.2

Solución gráfica del circuito "LC-serie" no lineal. (3: Punto de Operación en Ferrorresonancia)

Figura 4.3

Efecto del aumento de capacitancia en el circuito.

Figura 4.4

Diagramas fasoriales para los puntos de operación de la componente fundamental del circuito LC-serie no lineal.

Figura 4.5

Muestra la Línea XCcon una pendiente mayor

Figura 4.6

(12)

Figura 4.7

Ejemplo de voltajes de Ferrorresonancia que se adaptan a un punto estable de operaciones (intersección 3) después de un transitorio inicial.

Figura 4.8

Efecto de aumentar la magnitud de voltaje de la fuente.

Figura 4.9

Localización de trayectoria LC-serie cuando se abren interruptores

Figura 4.10

Transformador trifásico sin carga que tiene efecto de Ferrorresonancia debido a que operó el fusible de la fase C.

Figura 4.11

Conexión Delta con dos fases del banco desconectadas de la fuente y dos trayectorias a tierra independientes

Figura 4.12

Circuito para resolver la trayectoria I o la trayectoria II del circuito de la Figura 4.18

Figura 4.13

Condiciones Comunes del Sistema donde la Ferrorresonancia puede ocurrir: (a) una fase cerrada, (b) una fase abierta.

Figura 4.14

Carga Resistiva 480 V BUS (% Capacidad del Transformador) Figura ilustrativa del impacto de la carga en la Ferrorresonancia.

Figura 4.15

Switcheo en las terminales del transformador, a) Reduce el riesgo de aislamiento del transformador con suficiente capacitancia que causa Ferrorresonancia y se opone

b) Switcheo de la línea de arriba

CAPÍTULO 5

Figura 5.1

Circuito Modelado de la Saturación en una Inductancia no Lineal

Figura 5.2

Ventana de Ajustes en ATPDraw

Figura 5.3

(13)

Figura 5.4

Inductancia no Lineal

Figura 5.5

Corriente de excitación en el transformador debido a la saturación del núcleo ferromagnético.

Figura 5.6

Circuito para Modelar la Ferrorresonancia

Figura 5.7

Corriente de Saturación en Amperes que afecta al sistema obtenido del Transformador Monofásico

Figura 5.8

(14)

Análisis de Ferrorresonancia en Sistemas de Distribución

1

ESIME-IPN-Alejandro Reybell Hernández Trejo

CAPITULO I INTRODUCCIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN

La Ferrorresonancia es un fenómeno misterioso que parece ocurrir caprichosamente, causa preocupación al personal operativo del suministro eléctrico. Generalmente ocurre durante un desequilibrio del sistema. Normalmente cuando hay switcheos, o alguna de las fases del sistema trifásico queda abierta, puede colocar una capacitancia, en serie con la impedancia de magnetización de un transformador. Este fenómeno puede causar altos sobretensiones que a su vez provocan fallas en transformadores, cables, y apartarrayos. Cualquier capacitancia del sistema puede estar implicada en la Ferrorresonancia, pero generalmente existe una preocupación mayor con respecto a la capacitancia del cable subterráneo.

Las empresas suministradoras en diversos países han cambiado el cable del sistema eléctrico de 25 a 35-kV, Durante este proceso han encontrado que el fenómeno de Ferrorresonancia es mas común en niveles de 35-kV que en niveles de tensión inferior. Descubrieron que debían tener precaución con los switcheos del cable, y la manera de prevenir distintos switcheos para reducir al mínimo la cantidad de cable aislado en los transformadores ligeramente cargados durante esta maniobra.

La Ferrorresonancia es un problema mayor en los niveles de tensión más altos por las proporciones relativas de pérdidas, Debido a que la impedancia de magnetización y la capacitancia de cable fallan en un rango más favorable. Las conexiones primarias sin aterrizamiento a tierra en un transformador favorecen el fenómeno de Ferrorresonancia. Por lo tanto, muchos suministradores de energía no emplean por mucho tiempo estas conexiones y han cambiado a conexiones Y aterrizada a tierra en el primario - Y aterrizada a tierra secundario en el transformador para sus cargas de tres fases alimentadas de sistemas de cable subterráneo.

(15)

2

La configuración común de los transformadores tipo pedestal trifásica proporcionan las características necesarias entre fases para alcanzar la Ferrorresonancia.

Hay varios modos diferentes de Ferrorresonancia posible. De sobretensiones sostenidas que alcanzan 2.0 a 2.5 por unidad para algunos casos. Desde luego, de persistir, estas sobretensiones podrían causar fallas en el transformador, en el cable y fallas cuantiosas al cliente. Síntomas frecuentes a menudo son las fallas en los apartarrayos, las quejas de clientes por voltaje fluctuante, burbujeos o carboniza miento en la pintura sobre el tanque de transformador.

La evaluación de Ferrorresonancia relaciona estrechamente la decisión de colocar apartarrayos en los cables del sistema. Si usted decide no colocar apartarrayos en el cable, este no tendría ninguna protección contra sobretensiones. Esto podría contribuir a prematuras fallas en el cable o en el transformador, de persistir las sobretensiones. Por otra parte, si los apartarrayos son colocados, La vida del apartarrayos durante la operación de switcheo disminuye ocasionando una alta posibilidad de que fallen violentamente.

El lapso de tiempo más peligroso se presenta en el switcheo de fases. El otro caso ocurre durante una construcción o subdivisión de un área comercial. El transformador que se utiliza no debe tener ninguna carga y son cada vez mas las condiciones en que un transformador es expuesto a una o dos fases abiertas.

(16)

3

ESIME-IPN-Alejandro Reybell Hernández Trejo 1.2 OBJETIVO

Analizar el fenómeno de Ferrorresonancia en Transformadores de Distribución, las causas y sus efectos, mediante su modelado matemático y simulación en el Software ATP.

1.3 JUSTIFICACION

El fenómeno de Ferrorresonancia es un problema que en la actualidad se presenta mas comúnmente, debido a las características de los transformadores de hoy en día que se diseñan con menores perdidas, núcleos amorfos etc. Esto ocasiona que la impedancia no lineal del transformador sea más propensa a producir resonancia con alguna reactancia capacitiva, como la de cables, bancos de capacitores, o elementos del sistema que presenten una carga capacitiva.

Los daños resultantes del fenómeno de Ferrorresonancia pueden ser catastróficos en el sistema, ya que se producen sobretensiones de larga duración. Esto puede ocasionar que exploten apartarrayos y haya daños en transformadores, líneas, cables y equipos que se encuentren conectados cerca donde ocurre este problema.

La razón por la cual se debe analizar este fenómeno es para evitar el daño al equipo, las interrupciones de energía eléctrica y la detección de la Ferrorresonancia, que pueda existir en algún transformador de distribución.

1.4 ESTRUCTURA DEL TRABAJO

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

(17)

4

ESIME-IPN-Alejandro Reybell Hernández Trejo CAPÍTULO 2

TEORÍA GENERALIZADA DEL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO

Se trata sobre las características de un material ferromagnético, para poder comprender como el flujo magnético interviene en el funcionamiento del transformador, a partir de esta condición se analiza el comportamiento no lineal que comienza cuando el transformador se satura.

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CONDICIONES SENOIDALES Y NO SENOIDALES

A partir del concepto de resonancia en Serie Lineal se parte para sustituir la linealidad por la no linealidad, entendiendo de manera más clara un fenómeno de resonancia más especifico donde interviene una inductancia no lineal, representada por un transformador, a este tipo de resonancia en particular llamada Ferrorresonancia.

CAPÍTULO 4 FERRORRESONANCIA

Se modela el problema deFerrorresonancia.Primeramente se resuelve el caso

monofásico, esto es, un solo circuito "LC-serie" no lineal, considerando sólo las

componentes fundamentales de las variables a calcular; en segundo término se ataca el problema en sistemas trifásicos bajo la misma consideración. Finalmente las condiciones, y estrategias para encontrar y controlar este fenómeno en el sistema.

CAPÍTULO 5 MODELADO Y SIMULACIÓN DEL TRANSFORMADOR EN CONDICIONES NO LINEALES

(18)

5 CAPÍTULO II

TEORÍA GENERALIZADA EN EL TRANSFORMADOR

MONOFÁSICO

2.1 Introducción

El transformador es una máquina estática, que cambia los niveles de tensión de un sistema. Su principio de funcionamiento consiste en la creación de flujos magnéticos que inducen una tensión para cambiar los valores de esta. El flujo magnético depende del campo magnético producido por la corriente alterna aplicada al transformador. En esta sección se explicara el comportamiento no lineal del transformador.

2.2 Permeabilidad Magnética

La Intensidad de campo H es de alguna manera, una medida del “esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende también del material del que este hecho. La relación entre la intensidad de campo magnético H, y la densidad del flujo magnético resultante B producida dentro del material está dada por:

B =μH (1)

H = Intensidad del Campo Magnético

μ= Permeabilidad Magnética del Material B = Densidad del Flujo magnético resultante

La densidad de flujo magnético real producida en una sección del material está dada entonces por el producto de dos términos:

H, representa el esfuerzo de la corriente por establecer un campo magnético.

μ, que representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un material dado.

La intensidad del campo magnético se mide en ampere-vueltas por metro, la permeabilidad en henrys por metro y la densidad de flujo resultante en webers por metro cuadrado, conocido como Teslas (T).

La permeabilidad del espacio libre (aire) se le denominaμo, y su valor es

(19)

6

La permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se denomina permeabilidad relativa:

μr =μ/μo (2)

La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de los materiales. Por ejemplo los aceros que se utilizan en las máquinas modernas tienen permeabilidades relativas de 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente del aire. (La permeabilidad del aire es la misma que la del espacio libre).

Los metales que forman los núcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia para incrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato.

Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte del flujo en el núcleo de hierro, permanece dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante, cuya permeabilidad en mucho más baja.

2.3 Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos

Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferro magnético se aplica una corriente a un núcleo, comenzando con cero amperes e incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible.

Cuando se gráfica el flujo producido en el núcleo contra la fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene una gráfica como la Figura 2.1 a) lo cual se denomina curva de saturación o curva de magnetización.

Al comienzo, un pequeño incremento en la fuerza magnetomotriz produce un gran aumento en el flujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz, los aumentos en el núcleo serán más pequeños. Finalmente, el incremento de la fuerza magnetomotriz casi no produce cambios en el flujo.

La región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama región de saturación, y se dice que el núcleo está saturado.

(20)

Análisis de Ferrorresonancia en Si

7

Noté que el flujo producido aplicada en la región no satur fuerza magnetomotriz en la

La pendiente de la curva de para cualquier valor de H, en a dicha intensidad del campo

La curva muestra que la per no saturada, y decrece de m encuentra muy saturado.

La ventaja de utilizar núcl transformadores radica en flujo mayor que el obtenido

Si el flujo resultante debe s magnetomotriz aplicada, el curva de magnetización.

[image:20.595.117.489.192.366.2]

La mayoría de las máquina magnetización, y en sus nú magnetomotriz que lo produ

Figura 2.1a) Cur b) La curva de Magnetizaci

Sistemas de Distribución

ESIME-IPN-Alejandro Re

cido en el núcleo varía linealmente con la fuerz saturada y se aproxima a un valor constante, in n la región saturada.

a de densidad de flujo contra la intensidad del H, en la Figura 2.1 b) es por definición la permea

mpo magnético.

permeabilidad es grande y relativamente cons de manera gradual hasta un valor muy bajo cua

núcleos de material ferro magnético en máqu en que al aplicarles cierta fuerza magneto mo nido en el aire.

be ser proporcional o aproximadamente propo , el núcleo debe ser operado dentro de la región

quinas reales operan cerca del punto rodilla us núcleos el flujo no está linealmente relaciona produce.

) Curva de Magnetización con CC para un núcleo Ferroma zación en Términos de densidad de flujo e intensidad del c

Reybell Hernández Trejo

fuerza magnetomotriz e, independiente de la

del campo magnético meabilidad del núcleo

onstante en la región o cuando el núcleo se

áquinas eléctricas y motriz su obtiene un

proporcional a la fuerza gión no saturada de la

dilla de la curva de cionado con la fuerza

omagnéticos

(21)

8

2.4 Pérdidas de Energía e

Se aplica una corriente de C que ocurre. Dicha corriente

Suponga que el flujo inicial primera vez, el flujo en el n es básicamente la curva de s

Sin embargo cuando la corri trayectoria diferente de la se

Figura 2.1

ESIME-IPN-Alejandro Re ía en un Núcleo Ferromagnético

de CA a los devanados dispuestos sobre un núc nte se muestra en la Figura 2.2a)

nicial en el núcleo es cero, cuando se increment el núcleo sigue la trayectoria ab, dibujada en la

de saturación.

[image:21.595.105.474.108.354.2]

corriente decrece, el flujo representado en la la seguida cuando la corriente iba en aumento.

Figura 2.2 a) Corriente Eléctrica Alterna

c) Curva de magnetización detallada par una pieza típ

núcleo para observar

enta la corriente por n la figura 2.2 b). Esta

n la curva sigue una to.

(22)

9

Cuando la corriente decrec corriente se incrementa de n

Nótese que la cantidad de f corriente aplicada a los dev presente en el núcleo. Esta diferente en la curva se deno

La trayectoria bcdeb descri aplicada, se denomina curva una fuerza magnetomotriz i núcleo será abc.

Cuando se suspende la fuer cierto flujo en el núcleo, den de los imanes permanentes dirección opuesta, cierta fue

Fc.

La estructura de los Materi materiales similares (cobalto magnéticos fuertemente alin llamadas dominios, en la apuntando en una misma d como un pequeño imán perm

Flujo Resid

[image:22.595.158.439.302.496.2]

Fuerza Magnetomotri

Figura 2.2

crece, el núcleo sigue la trayectoria bcd, y ma de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb.

de flujo presente en el núcleo depende no sólo devanados del núcleo, sino también de la histo sta dependencia de la historia del flujo y el segui denomina histéresis.

escrita en la figura, que representa la variació urva o lazo de histéresis. Nótese que si primero

riz intensa y luego se deja de aplicar, la trayect

fuerza magnetomotriz, el flujo no llega a cero, y , denominado flujo residual (o flujo remanente), ntes. Para que el flujo llegue a cero se debe ap a fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnet

ateriales Ferromagnéticos en que los átomos d balto, níquel y algunas de sus aleaciones) tiende alineados entre sí. Dentro del metal hay unas p la que los átomos se alinean con sus ca a dirección, de modo que el dominio actúa de permanente.

lujo esidual

otriz

.2b) Curva o lazo de histéresis trazado por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente i(t)

mas tarde cuando la

sólo de la cantidad de istoria previa del flujo seguir una trayectoria

riación de la corriente ero se aplica al núcleo ctoria del flujo en el

ro, ya que permanece te), el cual es la causa be aplicar al núcleo, en gnetomotriz coercitiva

os de hierro y de los enden a tener campos as pequeñas regiones campos magnéticos úa dentro del material

(23)

10

Una pieza de hierro no man encuentran dispuestos al az ejemplo de la estructura de

Figur

b) Dominios Magnéti

Cuando se aplica un campo orientados en la dirección orientados en otras direccio su orientación con el campo

Los átomos adicionales, aline hierro, lo cual causa el alin campo magnético. Este efec adquiera una permeabilidad

A medida que el campo mag otras direcciones se orienta cuando casi todos los átom externo, el incremento de la de flujo igual al que ocurri saturado con el flujo.

La histéresis se produce po dominios no se ubican de nu átomos requieren energía pa

La energía para el alineamie el campo magnético exterio regresen a sus posiciones. El

manifiesta la polaridad magnética definida porq al azar en la estructura del material. La Figura

de los dominios en un trozo de hierro.

ura 2.3a) Dominios magnéticos orientados al azar. néticos alineados en la presencia de un campo magnétic

ampo magnético externo a este trozo de hie ción del campo exterior crecen a expensas cciones, debido a que los átomos adyacentes ca

po magnético aplicado.

s, alineados con el campo, incrementan el flujo alineamiento de más átomos que incrementan efecto de retroalimentación positiva es la caus idad mayor que el aire.

magnético externo se fortalece, dominios comp entan como una unidad para alinearse con el c átomos y dominios en el hierro se han alinea de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan curriría en el espacio libre en este momento

e porque cuando el campo magnético exterio de nuevo al azar. Los dominios permanecen alin

ía para recuperar su posición anterior.

amiento original la proveyó el campo magnético erior se suprime, no hay una fuente que ayude a s. El trozo de hierro es ahora un imán permanent

porque los dominios se ura 2.3 representa un

ético externo

hierro, los dominios sas de los dominios s cambian físicamente

flujo magnético en el ntan la intensidad del ausa de que el hierro

ompletos alineados en el campo. Por último, ineado con el campo r tan sólo un aumento nto el hierro estará

terior se suprime, los alineados porque los

(24)

11

Como se ha visto, para cam origina cierto tipo de pérdid pérdidas por histéresis en e para reorientar los dominios

Se puede demostrar que el forma al aplicar corriente alt ciclo dado de corriente alter

Figur

2.5 Construcción de Tran

Un transformador es un disp de voltaje a potencia eléctri campo magnético. Consta alrededor de un núcleo Ferro flujo magnético común que

Uno de los devanados del alterna y el segundo (y quizá del transformador que se co devanado de entrada, y e secundario o devanado de sa

El propósito de un transform en potencia alterna de la transformadores también se tensión, muestreo de corrie

cambiar la posición de los dominios se requiere pérdidas de energía en todas las máquinas y tra

en el núcleo de hierro corresponden a la energ inios durante cada ciclo de corriente alterna aplic

e el área comprendida dentro de la curva de hi e alterna, es directamente proporcional a la ene

lterna. Mostrado en la figura 2.4

gura 2.4Curva de Histéresis en un Núcleo de Hierro

ransformadores

dispositivo que cambia la potencia eléctrica al éctrica alterna con otro nivel de tensión median nsta de dos o más bobinas de alambre cond

Ferromagnético común. La única conexión entre ue se encuentra dentro del núcleo.

del transformador se conecta a una fuente de quizá tercero) suministra energía eléctrica a las ca

se conecta a la fuente de potencia se llama dev y el devanado que se conecta a la carga se de salida. Si hay un tercer devanado se llama dev

sformador es convertir la potencia alterna de un e la misma frecuencia pero con otro nivel

n se utilizan para otros propósitos (por ejemplo rriente y transformación de Impedancia), los tr

Área x pérdida por histéresis

uiere de energía, esto transformadores. Las ergía que se necesita aplicada en el núcleo.

de histéresis, la cual se energía perdida en un

a alterna con un nivel diante la acción de un conductor enrolladas entre las bobinas es el

e de energía eléctrica as cargas. El devanado devanado primario o a se llama devanado

devanado terciario.

(25)

12

Potencia se construyen de d acero rectangular, laminada rectángulo. Esta clase de cons

El otro consta de un núcleo la columna central. Esta c acorazado. En cualquier ca eléctricamente unas de otra

2.6 Teoría Operacional d

[image:25.595.139.457.329.476.2]

En la Figura 2.5 se muest enrollado alrededor del núcl

Figura 2.5Di

[image:25.595.202.415.557.711.2]

El transformador primario e secundario esta abierto. L Figura 2.6

Fig

de dos maneras. Un tipo de transformador cons nada, con los devanados enrollados sobre dos

construcción, se conoce como transformador ti

leo laminado de tres columnas, cuyas bobinas e sta clase de construcción se conoce como tra

r caso, el núcleo se construye con delgadas otras para minimizar las corrientes parásitas.

l de los Transformadores Monofásicos.

estra un transformador que consta de 2 bo núcleo de un transformador.

Dibujo de un transformador real sin carga en el secunda

rio esta conectado a una fuente de potencia de . La curva de histéresis del transformador se

Figura 2.6Curva de Histéresis del Transformador

Fuerza Magnetomotriz Flujo

onsta de una pieza de dos de los lados del dor tipo núcleo.

as están enrolladas en o transformador tipo adas láminas aisladas

bobinas de alambre

ndario

(26)

13

La base de operación de un transformador se puede derivar de la Ley de Faraday:

eind= dλ / dt (3)

Donde λ es el flujo concatenado en la bobina a través de la cual se induce la tensión. El

flujo concatenado λ es la suma del flujo que pasa a través de cada vuelta en todas las vueltas de la bobina:

El flujo concatenado total a través de una bobina no es exactamente N_∅, donde N es el número de vueltas en la bobina, puesto que el flujo que pasa a tràves de cada vuelta de la bobina es ligeramente diferente del flujo en las demás vueltas, lo cual depende de la posición de la vuelta dentro de la bobina. Sin embargo es posible definir el flujo promedio

por vuelta en una bobina. Si el flujo ligado total en todas las vueltas de la bobina es λ y si

hay N vueltas, entonces el flujo promedio por vuelta está dado por:

Y la ley de Faraday se puede escribir de la siguiente manera:

2.7 Relación de Tensión en el Transformador

Si la tensión de la fuente de la Figura 2.5 es Vp(t), entonces esta tensión se aplicara

directamente a través de las bobinas del devanado primario del transformador.

La ley de Faraday explicara lo que pasará. Cuando se resuelve la ecuación anterior para el flujo presente en el devanado primario del transformador el resultado es

Esta ecuación establece que el flujo promedio en el devanado es proporcional a la integral del voltaje aplicado al devanado y la constante de proporcionalidad es el inverso del número de vueltas del devanado primario 1 / Np.

(27)

14

Figura 2.7

La porción de flujo que pasa través de la otra se le llama se puede dividir en dos com ambos devanados y un fluj pero regresa a través del aire

Donde:

Flujo Promedio primari Componente del Flujo

Flujo Disperso en el D

Hay una división similar de disperso que pasa a través tocar el devanado primario:

Con la división del flujo prim de Faraday para el circuito p

2.7Flujo Mutuo y Disperso en el Núcleo del Transformado

pasa a través de una de las bobinas del transfor ma flujo disperso. El flujo en la bobina primaria componentes: un flujo mutuo que permanece e

flujo disperso mínimo que pasa a través del de l aire, sin cruzar por el devanado secundario:

primario total

lujo que une las bobinas primarias y secundarias el Devanado Primario

r del flujo en el devanado secundario entre fl vés del devanado secundario pero regresa a t rio:

primario promedio en los componentes mutuo ito primario se puede expresar como

Reybell Hernández Trejo mador

nsformador, pero no a aria del transformador ce en el núcleo y une del devanado primario

(8)

arias

e flujo mutuo y flujo a través del aire sin

(9)

(28)

15

El primer término de la ecuación anterior se puede llamar eP(t) y el segundo término se

puede llamar eDP(t). De este modo, La ecuación puede escribirse así:

VP(t) = eP(t) + eDP(t) (11)

La tensión en la bobina secundaria del transformador también se puede expresar en términos de la ley de Faraday como

La tensión primaria debido al flujo mutuo está dado por:

y la tensión secundaria debido al flujo mutuo está dado por:

Nótese de estas dos relaciones que:

(29)

16

Esta ecuación significa que l el voltaje secundario causa transformador. Puesto que relación del voltaje total secundario de un transforma

2.8 Corriente de Magneti

Cuando se conecta una fuen su circuito primario, incluso se requiere para producir componentes:

1.- La corriente de Magnetiz del transformador.

2.- La corriente de pérdida histéresis y las pérdidas de c

[image:29.595.210.394.496.654.2]

La Figura 2.8 muestra la cur

Figura 2.

que la razón entre el voltaje primario causado po ausado por el flujo mutuo es igual a la relaci

que un transformador bien diseñado M >>

tal en el primario de un transformador con rmador es aproximadamente

etización en un Transformador Real

fuente de potencia de CA a un transformador, la luso si el circuito secundario está abierto. Esta c ucir flujo en un núcleo Ferromagnético rea

etización iM, que es la requerida para producir e

didas en el núcleo ih+e, que es la requerida pa

de corrientes parásitas.

curva de magnetización del núcleo del transform

2.8 a) Curva de Magnetización del Transformador

do por el flujo mutuo y lación de vueltas del

DP y M >> DS, la

con el voltaje en el

(18)

r, la corriente fluye en sta corriente es la que real. Consta de dos

ucir el flujo en el núcleo

a para compensar la

(30)

[image:30.595.117.473.112.423.2]

17

Figura 2.8 b) Corriente d

Si se conoce el flujo en el nú de magnetización se puede e

Si se ignora por el moment promedio en el núcleo está d

Si la tensión por el lado prim flujo resultante debe ser:

ESIME-IPN-Alejandro Re te de Magnetización causada por el flujo en el núcleo del

el núcleo del transformador, entonces la magnit de establecer directamente con base a la Figura

mento los efectos del flujo disperso, se puede stá dado por:

primario está dada por la expresión VP(t) = VM

Reybell Hernández Trejo del transformador

gnitud de la corriente gura 2.8 b).

uede ver que el flujo

(19)

cos t V, entonces el

(31)

18

Si los valores de la corrien comparan con el flujo en el corriente de magnetización 2.8 b), nótense los siguiente

1.- La corriente de magnetiz de las frecuencias más alta magnética en el núcleo del t

2.- Una vez que el flujo pic incremento en el flujo pico pico.

3.- El componente fundame aplicada del núcleo.

4.- Los componentes de las f ser bastante grandes en c cuando más fuerte sea el componentes armónicos.

El otro componente de la co para compensar la histéresi de pérdidas en el núcleo. Su las corrientes parásitas en e son mayores cuando el fluj pérdidas son mayores cuand compensar las pérdidas en e

Figura 2.9

rriente para producir un flujo dado (Figura n el núcleo en otros momentos, es posible hace

ión del devanado en el núcleo. Esta gráfica se m ntes puntos sobre la corriente de magnetización.

etización en el transformador no es sinusoidal. altas en la corriente de magnetización se debe

el transformador.

pico alcanza el punto de saturación en el nú pico requiere un gran número en la corriente

damental de la corriente de magnetización atra

las frecuencias más altas en la corriente de mag n comparación con el componente fundame a el proceso de saturación en el núcleo, m

la corriente de vacío en el transformador es la c resis y las corrientes parásitas en el núcleo. Es o. Suponiendo que el flujo en el núcleo es sinus

en el núcleo son proporcionales a dØ/dt, las co flujo en el núcleo pasa por 0 Wb. Por lo tant cuando el flujo pasa por cero. La corriente tot en el núcleo se muestra en la siguiente Figura 2.

2.9Corriente de pérdidas en el núcleo de un transformado

anterior 2.8 a) se hacer una gráfica de la se muestra en la Figura

ción.

idal. Los componentes deben a la saturación

l núcleo, un pequeño nte de magnetización

atrasa 90˚ la tensión

magnetización pueden damental. En general, , mayores serán los

la corriente requerida . Es decir, la corriente sinusoidal; puesto que s corrientes parásitas tanto, la corriente de total requerida para

2.9

(32)

19

Hay que tomar en cuenta los

1.- La corriente de pérdidas histéresis.

2.- El componente fundame la tensión aplicado al núcleo

La corriente de vacío total e Es simplemente la suma de el núcleo:

La corriente de excitación t siguiente Figura 2.10

Figura 2.

2.9 Los Transformadore

El análisis matemático de solución exacta y se desea to "no-lineal" implica. No obs aproximar satisfactoriament corrientes.

Un transformador de núcl sistemas eléctricos para cam

a los siguientes aspectos de la corriente de pérdi

idas en el núcleo es no lineal debido a los efecto

amental de la corriente de pérdidas en el núcle cleo.

al en el núcleo se llama corriente de excitación d de la corriente de magnetización y de la corrient

iex= im+ ih+e

ón total el núcleo típico de un transformador

2.10 Corriente de Excitación total en un transformador

res como Elementos No-Lineales.

de Ferrorresonancia dista de ser sencillo cuan

ea tomar en cuenta todas las consideraciones qu obstante, realizando simplificaciones apropi mente a las variables de interés, en este c

núcleo Ferromagnético es un dispositivo que cambiar los niveles de tensión, mencionado ante

érdidas en el núcleo:

ectos no lineales de la

leo está en fase con

ión del transformador. rriente de pérdidas en

(21)

dor se muestra en la

dor

cuando se busca una s que una inductancia propiadas es posible te caso, tensiones y

(33)

20

Su comportamiento se de Ampere; la necesidad del us permeabilidad, factor que p otras.

Una de las propiedades característica "no-lineal" en multivaluada cuando se le a transformador, presentand Histéresis" o "Lazo de Histér

La Figura 2.11a) muestra un cuando se aplica al material en el tiempo, con valor máxi

[image:33.595.101.499.547.678.2]

Existe un "Lazo de Histéresis" campo H. Las uniones de lo variar Hmax, forman la "curva

Figura 2.11

Ya que la densidad de flujo intensidad de campo mag fácilmente en la "característ transformador y del número

La "característica Ø-i" corresp presenta en la Figura 2.11 webers e "i", la corriente má

Figura 2.11Obtenció

describe básicamente por la Ley de Faraday el uso de material Ferromagnético en el núcleo ue permite direccionar el flujo magnético entr

es no deseables de los materiales Ferrom " entre flujo e intensidad de campo magnétic

le aplican excitaciones senoidales a alguno de ando lo que comúnmente se conoce como stéresis".

ra un "Lazo de Histéresis" de estado estable, m rial Ferromagnético una intensidad de campo m

áximo Hmaxy con ciclos positivos y negativos igu

resis" de estado estable para cada valor máximo de los picos de todos los lazos de un material q urva de magnetización" de ese material tal com

flujo es proporcional al flujo magnético y la co magnético, la curva de magnetización pue erística Ø-i", dependiendo de las dimensiones de

ero de vueltas que se hayan enrollado a éste.

rrespondiente a la curva de magnetización de l 11 c) donde "Ø" representa el flujo máximo máxima instantánea en amperes.

nción de la curva de magnetización a partir de los lazos d

aday y por la Ley de úcleo se debe a su alta entre unas bobinas y

rromagnéticos es su néticos, misma que es de los devanados del o "Característica de

le, mismo que ocurre po magnético variante

s iguales.

ximo de Intensidad de rial que se obtienen al como se muestra en la

la corriente lo es a la puede transformarse nes del núcleo de cada

de la Figura 2.11 b) se imo de la bobina en

(34)

21

ESIME-IPN-Alejandro Reybell Hernández Trejo 2.10 Efecto de la No-Linealidad en la Corriente de Excitación

Al observar la curva Ø-i de la Figura 2.11 c) se nota que mientras el flujo es menor que un flujo de saturación "Øs" la relación entre el flujo y la corriente es casi lineal, pero a valores mayores que "Øs" ya no existe una relación constante entre ambas variables y ante pequeñas variaciones de flujo magnético se tienen cambios muy notorios de corriente; cuando esto ocurre se dice que el transformador se ha saturado. Lo anterior sugiere que no es recomendable trabajar con valores de flujo superiores al flujo de saturación para no se obligue a la corriente a crecer abruptamente y así evitar los sobrecalentamientos que este efecto puede producir. Para comprender con claridad las consecuencias de la saturación, supóngase que se desea ver cómo es la corriente que circula por un transformador operando en vacío.

Cuando no hay carga en el transformador, la única corriente que circula por las bobinas es la de excitación, asociada con las corrientes de "eddy" que circulan en el núcleo debido a la tensión inducida en éste por el flujo variante en el tiempo que pasa a través del material ferromagnético. La Figura 2.12 c) presenta la característica Ø-i simplificada del transformador que aparece en la Figura 2.12 a), en cuyo circuito equivalente se desprecian efectos resistivos, pérdidas en el núcleo y dispersión de flujo.

Si se aplica una tensión senoidal de magnitud y frecuencia constantes a las terminales del primario del transformador, la tensión inducida en ellas está obligado a ser senoidal y en fase con el de la fuente de alimentación, asimismo, de acuerdo a la Ley de Faraday, el flujo producido en el material ferromagnético debe ser senoidal.

Sea el voltaje aplicado al transformador:

donde Vrms es el valor eficaz de voltaje de la fuente y w la frecuencia en rad/seg.

Entonces, de acuerdo a la Ley de Faraday ecuación (6) la tensión inducida en las terminales de la bobina :

lo que obligará al flujo del núcleo en estado utilizando los valores Vrms en la ecuación (20) obtenemos:

(Webers) (23)

(35)

22

[image:35.595.90.509.99.576.2]

Cuando la tensión aplicada de la curva Ø-i y su forma s 2.12 d)) se obtiene gráficam Cuando t=0, Ø=0 y de la curv Ø = Ø1 y el valor instantáne i1. A medida que el tiempo t incrementa de acuerdo a la

Figura 2.12 Pro a)

da es el nominal, entonces el flujo máximo está ma se muestra en la Figura 2.12 b). La onda de ficamente mediante el sencillo procedimiento curva de magnetización i=0. En t = t1, el flujo ha áneo correspondiente de corriente se obtiene de po transcurre y mientras el flujo aumenta, la corri a la curva de magnetización hasta que, eventualm

Procedimiento para encontrar la forma de onda de corri un transformador

c

está en la parte lineal da de corriente (Figura nto de la Figura 2.12 o ha crecido a un valor ne de la curva Ø-i y es corriente también se tualmente, el flujo

(36)

23

alcanza su valor máximo Ø max, lo que ocurre después de un cuarto de ciclo con respecto a la referencia, esto es, en t =π/2w, tiempo para el cual la corriente también ha llegado a su valor máximo imax. A partir de este momento, el flujo comienza a disminuir y, por consecuencia, la corriente se reduce. Después de medio ciclo de flujo éste volverá a cero y en el mismo instante no circulará corriente en el circuito. El siguiente medio ciclo sucede en forma similar, pero ahora tanto el flujo como la corriente son negativos.

En la Figura 2.12 puede observarse un ciclo de flujo y su correspondiente ciclo de corriente en el transformador y, dado que se trabaja en la zona lineal, la corriente obtenida es casi Senoidal y en fase con el flujo. Cabe recordar que se está utilizando la curva de magnetización para la obtención de la corriente y en la realidad el núcleo tiene un "Lazo de Histéresis", por lo que el análisis anterior es una aproximación. El efecto de considerar la histéresis haría que la corriente se adelantase un poco al flujo y que su forma no fuese perfectamente simétrica, lo que propiciaría que el núcleo tuviese un valor de flujo residual.

[image:36.595.93.505.403.690.2]

Si en lugar de aplicar la tensión nominal se aplicase una tensión de 30% superior, entonces el procedimiento para encontrar la corriente de excitación sería el mismo, pero dado que este nuevo valor de tensión produce un flujo 30% por arriba del de saturación, la corriente se incrementará excesivamente tal como se puede ver en la Figura 2.13

(37)

24 CAPITULO III

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CONDICIONES SENOIDALES Y

NO SENOIDALES

La Ferrorresonancia es diferente que la resonancia en elementos de sistema lineales. En sistemas lineales, la resonancia causa altos voltajes sinusoidales y corrientes de la frecuencia resonante.

La resonancia de sistema lineal es el fenómeno detrás de la amplificación de armónicos en sistemas de potencia. La Ferrorresonancia también puede causar altas tensiones y corrientes, pero las formas de onda resultantes son por lo general irregulares y caóticas en su forma. El concepto de Ferrorresonancia puede ser explicado en términos de resonancia de un sistema lineal así.

3.2 El Circuito "LC-Serie" Lineal.

Cuando se conectan en serie una resistencia, una inductancia y una Capacitancia lineales a una fuente de corriente alterna, existe la posibilidad de que se produzcan sobretensiones y sobrecorrientes en el circuito.

El caso más crítico ocurre cuando los valores óhmicos de la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva coinciden, en este caso la corriente queda limitada tan sólo por la resistencia, puesto que las reactancias inductiva y capacitiva se cancelan por ser de signo contrario; si se considera que la resistencia corresponde al efecto resistivo de los elementos del circuito, entonces su valor será pequeño, propiciando que las corrientes aumenten considerablemente.

Esto traerá como consecuencia que los potenciales de los elementos del circuito sobrepasen los valores normales que tendrían si se hubiesen conectado en otras condiciones o en diferentes combinaciones. Esta forma de operación es conocida comúnmente como "resonancia".

Si la reactancia capacitiva no tiene el mismo valor que la reactancia inductiva, pero no son significativamente diferentes, aún prevalecerán las sobrecorrientes y las sobretensiones antes mencionados, a pesar de que el circuito no se encuentra en "resonancia".

(38)

25

Figura 3.1(a). Circuito "LC-serie" predominantemente inductivo. (b). Diagrama fasorial correspondiente (no a escala).

Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al circuito se tiene:

E = VL+ VC (25)

O bien, para las magnitudes, considerando que es inductivo:

VL= E + VC (26)

Lo cual indica que el voltaje de la inductancia es mayor en magnitud que la tensión de la fuente y depende de la impedancia que presente el circuito.

EJEMPLO 1.

Resolver el circuito de la figura 13 si XL=10Ωy XC=2Ωy la tensión de la fuente en estado

estable senoidal es E =100_∠90° Volts. Solución. De la ecuación (25):

E =jXLI –jXCI

E =j(XL–XC)I

Despejando la corriente

I = E/ j(XL–XC)

Substituyendo valores:

I =50_∠0° A

(39)

26

ESIME-IPN-Alejandro Reybell Hernández Trejo VL= j XLI =(j10)(50) = j 500 V

VC=-j XCI= (-j8)(50) = -j 400 V

O bien, las magnitudes de ambos tensiones son:

VL= 500 V. y VC= - 400 V.

Nótese que a pesar de aplicar solamente 100 V al circuito se han presentado tensiones de cuatro y cinco veces el de la fuente en la capacitancia y en la inductancia respectivamente.

Si la conexión se hubiese realizado en paralelo, ambos elementos tendrían 100 Volts aplicados y las corrientes a través de cada uno de ellos, así como la proporcionada por la fuente, se verían notoriamente disminuidas.

Una alternativa para visualizar la solución de circuitos de este tipo consiste en graficar las características de las tensiones en cada elemento del circuito en un sistema de coordenadas y encontrar la solución intersectando éstas.

La solución del circuito "LC-serie" en estado estable puede realizarse gráficamente. Para esto, primeramente se representa la relación entre la tensión y la corriente eficaces de la inductancia, cuya ecuación es:

L es el valor de la inductancia en Henrys.

La magnitud de la tensión de la inductancia entonces está dado por:

Cuando el circuito es lineal, XLes constante por lo que la ecuación (28) corresponde a una

línea recta que pasa por el origen (Figura 3.2).De acuerdo a la ecuación (26), la tensión en la inductancia debe ser igual a la suma de la tensión en la fuente más la caída en la capacitancia, esto es:

(40)

27

(29-a)

Además:

(29-b)

Y en magnitud el voltaje se puede expresar como:

(30)

Si a esta ecuación se le suma el voltaje de la fuente, se tiene

(31)

Puesto que la capacitancia es constante, la ecuación (31) corresponde a la ecuación de una recta que cruza al eje vertical en un valor E y se muestra graficada en la Figura 3.2.

[image:40.595.119.474.438.661.2]

La solución es, entonces, la intersección de las dos rectas que corresponden a las ecuaciones (28) y (31) en la Figura 3.2, dando el punto de operación del circuito. En la figura se incluye el diagrama fasorial para el punto de operación encontrado.

(41)

28

Cuando se aumenta la reactancia capacitiva XC, el punto de operación se recorre a la

derecha, aumentando tanto las tensiones como las corrientes en los elementos.

El peor de los casos ocurre cuando se ha aumentado la reactancia capacitiva de tal manera que XL = XC, pues esto hace que ambas pendientes sean iguales y, por lo tanto,

que las rectas de la Figura 3.2 sean paralelas y no se corten produciendo "resonancia".

Si se continúa incrementando XC el circuito se torna predominantemente capacitivo y la

[image:41.595.119.482.287.539.2]

ecuación (31) tiene mayor pendiente que la ecuación (28) provocando que el punto de operación esté en el tercer cuadrante, con la consecuente inversión de tensiones y corrientes (Figura 3.3).

Figura 3.3Incrementando la capacitancia se logra un punto de operación diferente que corresponde al circuito predominantemente capacitivo.

EJEMPLO 2.

Determinar el punto de operación de un circuito "LC-serie" predominantemente Capacitivo utilizando el método gráfico ilustrado en esta sección.

Solución:

(42)

29

Del diagrama fasorial se puede apreciar que ahora la mayor tensión se encuentra en la capacitancia, mismo que se encuentra en fase con el de la fuente, mientras que la diferencia de potencial en la inductancia está 180° atrasada; al mismo tiempo, la corriente se ha desfasado 180° con respecto al caso inductivo, puesto que debe estar adelantada de la tensión ya que el circuito es capacitivo. La relación que existe entre las magnitudes de las tensiones es ahora:

Si se grafica nuevamente la tensión en la inductancia y se intersecta con la combinación de la fuente y la capacitancia, se tiene que la pendiente de la ecuación (31) es mayor que la de la ecuación (28) debido a que XC> XLcomo se aprecia en la Figura 3.3. En este caso el

punto de operación se encuentra en el tercer cuadrante y la tensión de la inductancia VL

es negativa, lo que coincide con las características del circuito.

El análisis anterior permite visualizar las consecuencias de una conexión "LC-serie" cuando la inductancia es lineal, pero cuando se desea analizar transformadores eléctricos de núcleo ferromagnético se debe considerar el efecto de saturación del núcleo apropiadamente. Es este efecto el que da origen a laFerrorresonancia.

3.3 El Circuito "LC-Serie" No Lineal.

Los equipos eléctricos que tienen devanados enrollados en núcleos construidos con material ferromagnético, tienen el problema de que este material se satura si se excede un cierto nivel de flujo circulando por el núcleo; tal como se mostró con anterioridad.

Debido a esta no linealidad, la relación existente entre la tensión y la corriente presenta una característica en la cual la saturación estará dada de acuerdo al nivel de tensión aplicado a las terminales de los devanados; lo cual se debe a que esta tensión es proporcional al flujo, de acuerdo a la ecuación (24 c).

(43)

30

Razones económicas referentes al aprovechamiento del material ferromagnético han suscitado que los transformadores se diseñen para trabajar alrededor del punto de saturación, el cual se encuentra en la rodilla de la curva de tensión contra corriente (Figura 3.5), indicando que cualquier exceso apreciable de tensión es capaz de saturar al transformador provocando aumentos en los niveles de corriente y deformaciones en las ondas de corriente y de tensión.

Esta no linealidad produce complicaciones muy interesantes en el análisis del circuito "LC-serie" y es este el caso en que un circuito puede operar enFerrorresonancia.

Figura 3.5Relación entre voltaje y corriente en un transformador

(44)

31 CAPÍTULO IV

FERRORRESONANCIA

El término Ferrorresonancia se refiere a una clase especial de resonancia que implica la capacitancia y la inductancia del núcleo de hierro. La condición más común en la cual esto causa perturbaciones consiste, cuando la impedancia de magnetización de un transformador es colocada en serie con un una capacitancia que se encuentre en el sistema, cables, Bancos de capacitores. Esto pasa cuando hay una fase abierta del conductor. En condiciones controladas.

4.2 Ferrorresonancia en Circuitos Monofásicos.

El circuito eléctrico equivalente mostrado en la Figura 4.1 consta de una fuente de tensión que representa un barraje infinito; una inductancia no lineal correspondiente a un transformador eléctrico de núcleo Ferromagnético y un capacitor lineal, el cual equivale al efecto capacitivo conectado en serie con el transformador. La relación entre la tensión y la corriente en la inductancia no lineal corresponde a la que se mostró en la Figura 3.5.

Figura 4.1El circuito LC-Serie No Lineal.

Ahora bien, de acuerdo a la relación existente en el circuito entre las magnitudes de las tensiones para el caso inductivo, se tiene la ecuación (26), la cual se repite por conveniencia:

(45)

32

[image:45.595.148.448.499.700.2]

tienen tres puntos de inters como puntos de operación.

Figura 4.2 Solución gráfica de

Si la capacitancia del circui cual obliga a la pendiente cómo cambian los puntos d sistema; también se puede existe otro posible punto d valor suficiente, que se defi se pueden eliminar, dejando entonces el circuito se enc encontrará adelantada del vo capacitivo.

Figur

ntersección que satisfacen la ecuación (26) y h ón.

a del circuito "LC-serie" no lineal. (3: Punto de Operación e

ircuito disminuye, entonces la reactancia capac nte de la recta a incrementarse también. La F

os de operación a medida que se disminuye l de ver la parte negativa de la curva del transfo nto de operación. Incrementado la reactancia ca define como capacitancia crítica C2, los puntos d

ando sólo la solución en el punto de operación e encuentra operando en Ferrorresonancia

el voltaje, por lo que el circuito se ha vuelto pre

gura 4.3Efecto del aumento de capacitancia en el circuito

) y han sido definidos

ión en Ferrorresonancia)

apacitiva aumenta, lo La Figura 4.3 muestra ye la capacitancia del nsformador en donde ia capacitiva hasta un tos de operación 1 y 2 ción 3. Si esto sucede,

ia y la corriente se

o predominantemente

(46)

33

La aplicación de este método gráfico al sistema monofásico no lineal ha definido tres posibles soluciones e introducido el concepto de Ferrorresonancia. Un breve análisis

cualitativo de estos puntos de operación permite visualizar en qué puntos de operación se podrá lograr una condición de estado estable, es decir, en qué puntos de operación se puede encontrar trabajando al circuito.

i) Punto de operación ('1'): Si hay un incremento en la corriente, entonces VLaumenta más

rápido que E + VC; este incremento de tensión no puede ser proporcionado por la fuente,

de manera que la corriente I tiene que disminuir regresando al punto '1'. Un descenso de corriente provoca que E + VC exceda a VL lo cual obliga a la corriente a aumentar

regresando al valor original; por lo tanto, este punto es un punto de operación ESTABLE. El diagrama fasorial que representa esta condición de operación es el de la Figura 4.4 a) el cual cumple con la ecuación (26).

ii) Punto de operación ('2'): Si en este punto de operación se incrementa la corriente, entonces E + VC > VL y el exceso de tensión obligará a la corriente a aumentar, no

pudiendo regresar al punto de operación. En cambio si I disminuye, la fuente no podrá entregar la corriente demandada, por lo que el punto '2' es un punto de operación INESTABLE.

iii) Punto de operación ('3'): En este punto la corriente se ha invertido de dirección y por tanto las tensiones de los elementos también se han desfasado 180°, como en el diagrama fasorial de la figura 4.4 b) En este caso, un incremento de corriente será en la dirección contraria y hará que E + VC< VL; el exceso de tensión no podrá ser sostenido por la fuente,

haciendo que la corriente regrese a su punto original. Si I disminuye, E + VCaumentan más

rápido que VLy el exceso de tensión hará que la corriente aumente provocando que el

punto de operación sea ESTABLE. Este punto de operación ha sido definido como el de

Ferrorresonancia.

(47)

34

Por supuesto que existirán mayor que la capacitancia c de Ferrorresonancia cuando

analogía no puede ser hech fenómenos de Ferrorreso intersecciones entre la línea intersección 2 es una solu comportamiento caótico de existirán en el estado establ

Las Figuras 4.6 y 4.7 mues resultado de este circuito se cada caso. La capacitancia f después de un transitorio ini

El caso inestable cede a tens tensiones ligeramente más demanda de elementos del capacitancia, el |XC| la línea

el tercer cuadrante mostrad

Figura

rán dos puntos de operación estables cuando cia crítica C2 mostrada en la Figura 4.3, y sólo e

ando la capacitancia es menor que el valor crí

hecha perfectamente, el diagrama es útil para esonancia. Es obvio que puede haber no ínea de reactancia capacitiva y la curva de react solución inestable, y este punto de operacion o de Ferrorresonancia. Las intersecciones 1 y stable. La intersección 3 causa altas tensiones y

uestran ejemplos de tensiones ferroresonante o serie simple. La misma característica inductiva cia fue variada para alcanzar un punto diferent o inicial que empuja al sistema a resonancia.

tensiones superior a 4.0 pu, mientras el caso es ás de 2.0 pu. La una o la otra condición puede del sistema de potencia y cargas al equipo. P línea es muy escarpada, causando un punto de trado en la Figura 4.5

ura 4.5Muestra la Línea XCcon una pendiente mayor Incrementando la

Capacitancia

ndo la capacitancia es lo existirá el punto '3' r crítico. Mientras la para ayudar entender no menos de tres eactancia inductiva. La ciones da lugar a un 1 y 3 son estables y

corrientes.

ntes que pueden ser tiva fue asumida para rente de operaciones