1 Profesora: María Dolores González Peña
UNIDAD Nº 1: ÁLGEBRA DE MATRICES Y DETERMINANTES
1 DEFINICIONES
2 OPERACIONES CON MATRICES 3 DETERMINANTES.
4 MATRIZ INVERSA
5 ECUACIONES MATRICIALES
6 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
7 RANGO DE UNA MATRIZ
1.
DEFINICIONES.
Una Matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento.
mn m
m
n n
ij
a a
a
a a
a
a a
a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11 Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden mxn y se representa por Amxn siendo m el nº de filas y n el nº de columnas. Definimos dimensión de una matriz como el número
mxn de elementos que tiene; bien claro que, no será igual una matriz mxn que una matriz nxm, aunque tengan igual dimensión
Se dice que dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y todos los términos coinciden (tanto número, como en fila columna).
Algunos TIPOS DE MATRICES: Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.
2 1 0
13 (se le suele llamar también Vector Fila)Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.
1 2 2 3
(se le suele llamar también Vector Columna)
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada.
3
3 2 principal Diagonal
3 5 0
1 3 1
0 1 2
3 3
A
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
2 Profesora: María Dolores González Peña 2
3 3
2
3 1
6 0
5 2 3
6 5
1 0 2
t
A A
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At
Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz unidad o identidad: In:Es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal.
5 3 1
3 0 2
1 2 1
A Es simétrica.
0 0 0
0 0 0
0 es una matriz nula.
4 0 0
0 5 0
0 0 1
Es
diagonal.
1 0 0
0 1 0
0 0 1 3
I es Identidad de orden 3.
1 0 0
0 2 0
3 5 4
es una matriz triangular.
2.
OPERACIONES CON MATRICES
A. SUMA Y RESTA DE MATRICES
Condición: Deben tener la misma dimensión y el resultado es otra matriz. Debemos sumar (o restar) elemento a elemento.
Si
n m ij ij n
m ij ij n
m ij n
m
ij b A B a b A B a b
a
A y B y
3 2 2
4 1 4
2 1 3 ) 2 ( 4 4 1 0 2
0 1 3 1 2 2 ) 1 ( 2 1
2 2 1
0 1 1
1 4 0
1 2 2
3 4 2
3 2 1
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
B. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un número por una matriz, multiplicamos todos los elementos de la matriz por ese número:
aij m n
kaij m n kA
k· · ·
12 9 0
6 9 3
4 · 3 ) 3 ·( 3 0 · 3
) 2 ·( 3 3 · 3 1 · 3
4 3 0
2 3 1 · 3
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1.k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva respecto suma de vectores) 2.(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva respecto suma de números) 3.k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
3 Profesora: María Dolores González Peña
C. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ
COLUMNA.
El producto de una matriz fila de dimensión 1xn por una columna de dimensión nx1
es un número que se obtiene multiplicando término a término y sumando los resultados.
1·2 3·( 1) ( 2)·0 4·2 2 3 0 8 72 0 1 2
· 4 2 3 1 ·
·
· 2 1 1 2 2 ·
1
2
1
n n
n
n a b a b a b
b b b
a a
a
D. PRODUCTO DE MATRICES.
Condición: Para poder multiplicar dos matrices Amny Bnp debe cumplirse que el
número columnas de la matriz A debe coincidir con el número de filas de la matriz B. En este caso el producto de la matriz A·B=C será otra matriz C, de tal manera que el elemento cij será el resultado de multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz C tendrá el número de filas de A y el número de columnas de B. Cmxp
5 8
9 3 6
2 0 4 1 0
3 6 0 2 3 2 3 )· 2 ( 2 )· 1 ( 0 · 0 ) 2 )·( 2 ( ) 1 )·( 1 ( 1 · 0
3 · 1 2 · 3 0 · 2 )
2 ·( 1 ) 1 ·( 3 1 · 2
3 2
2 1
0 1 · 2 1 0
1 3 2
Si A es una matriz de orden 2x3 y B es una matriz de orden 4x2, el producto A·B no se puede hacer (3≠4), pero el producto B·A si se puede hacer y será de orden 4x3. Por lo tanto el producto de matrices no cumple con la propiedad conmutativa.
Propiedades del producto de matrices: 1. Asociativa: A⋅(B⋅C) = (A⋅B)⋅C
2. Distributiva respecto a la suma de matrices: A⋅(B + C) = A⋅B + A⋅C ; (B + C)⋅A = B⋅A + C⋅A
3. El producto de matrices no siempre es conmutativo. 4. Elemento neutro: A·I=I·A=A (matriz identidad)
3
DETERMINANTES.
A.-DETERMINANTES DE ORDEN DOS
11 22 12 2122 21
12 11
·
·a a a
a a a
a a A A
Det
Ejemplo:Si
2 3
1 2
A
2·
2 1·3 4 3 12 3
1 2
A
A Det
B.-DETERMINANTES DE ORDEN TRES
4 Profesora: María Dolores González Peña
11 22 33 12 23 33 13 21 32 31 22 13 12 21 33 11 32 2333 32 31
23 22 21
13 12 11
· · ·
· ·
· ·
· ·
· ·
·a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
a a a
a a a A A
Det
¡REGLA PARA RECORDAR LA REGLA DE SARRUS QUE NO DEBE APARECER EM NINGÚN EXAMEN!
1. Repetimos las dos primeras filas.
2. Positivos son las tres diagonales trazadas desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.
3. Negativos son las tres diagonales trazadas desde abajo hacia arriba y de izaquierda a derecha:
23 22 21
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
Positivos: Negativos:
Ejemplo:
168 0
9 140 24 5 0 0 )· 2 ·( 1 3 · 1 · 3 5 · 7 · 4 3 )· 2 ·( 4 5 · 1 · 1 0 · 7 · 3
3 7 1
5 2 3
0 1 4
3 7 1
5 2 3
0 1 4
3 7 1
5 2 3
C.-PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: A At
2. Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros su determinante es 0.
3. Si se permutan (cambian de lugar), dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada su determinante cambia de signo.
4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales su determinante es 0. 5. Si multiplicamos (o dividimos) todos los elementos de una fila (o columna) de
una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado (o dividido) por ese número.
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales su determinante es 0.
7. Si una fila (o columna) la ponemos como suma de dos,entonces el determinante lo podemos separar en suma de dos determinates (uno con cada fila y las otras filas iguales):
2 0 4
3 5 2
0 3 2
2 0 4
0 3 1
0 3 2
2 0 4
3 0 5 3 2 1
0 3 2
5 Profesora: María Dolores González Peña 9. Si una matriz tiene una fila (columna) que es combinación lineal de las demás su
determinante es 0.
10. El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes: A·B A·B
11. |𝑘. 𝐴| = 𝑘𝑛. |𝐴|, siendo n el orden de la matriz. D.- MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO
Menor de una matriz: Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se le llama menor de orden r de la matriz inicial. (no son únicos)
Ejemplo:
0 1
1
2 0
3
3 2
5
2 5
8 9
6 3 6 4 2
9 7
23 0 10 0 4 9
0
0 1 -1
2 0 3
3 2 -5
-5. y 2,3 columnas 4,
y 2 1, Filas : 3 orden de menor un
mos Selecciona
Menor complementario: Si en una matriz cuadrada seleccionamos un elemento aij y elimnamos la fila y la columna a la que pertenecen, nos queda una matriz de orden (n-1), el determinante de esa matriz será el menor complementario del elemento aij, que llamaremos αij.
Ejemplo:
1 0 3
1 2 0
3 1 5
A
3 3 0 0 3
1 5 1 0 3
1 2 0
3 1 5
23
: será elemento
del ario complement menor
El a
Adjunto: Se llama adjunto del elemento aij al número Aij=(-1)i+j · αij (es decir, al menor complementario con su signo o con su signo cambiado, según sea el valor i+j par o impar)
Ejemplo: El Adjunto del elemento a23 será A23=(-1)2+3 · α23=(-1)·(-3)=3 Matriz adjunta: Es la formada por los elemetos adjuntos.
Ejemplo: Vamos a calcular la matriz adjunta de la matriz A anterior
10 5
7
3 14 1
6 3 2 ) ( 10
2 0
1 5 · ) 1 (
; 5 1 0
3 5 · ) 1 (
; 7 1 2
3 1 · ) 1 (
; 3
; 14 1 3
3 5 · ) 1 (
; 1 1 0
3 1 · ) 1 (
6 0 3
2 0 · ) 1 (
, 3 3 )· 1 ( 1 3
1 0 · ) 1 (
; 2 2 · 1 1 0
1 2 · ) 1 (
3 3 33
2 3 32
1 3 31
13 2
2 22
1 2 21
3 1 13
2 1 12
1 1 11
A Adj A
A
A A
A A
A A
6 Profesora: María Dolores González Peña
4
MATRIZ INVERSA
Se dice que una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si encontramos otra matriz A-1 tal que
n I A A A
A· 1 1· a la matriz A-1 se le llama la matriz inversa de A.
No todas las matrices tienen porque tener inversa.
Método para calcular la inversa de uma matriz usando Determinantes. Condición para que una matriz cuadrada tenga inversa: determinante distinto de 0.
0 1
A A A
A tieneinversa det( ) Si A tiene inversa
tA Adj A A1 1· Ejemplos: 3 5 -1 -2 3 1 -5 -2 · 1 1 3 1 -5 -2 Adj(A) ; 1 5 6 2 5 1
3 1 t
A A A 31 10 31 3 31 6 31 5 31 14 31 3 31 7 31 1 31 2 10 5 7 3 14 1 6 3 2 ) ( ; 31 18 3 10 1 0 3 1 2 0 3 1 5 1 A A Adj A A
5
ECUACIONES MATRICIALES:
El procedimiento general para resolver ecuaciones con matrices es básicamente el mismo que para las ecuaciones normales. ¡OJO! El produto de matrices no es conmutativo.
A.X=B; multiplicamos a ambos lados de la igualdad por 𝐴−1.; 𝐴−1.. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵
SISTEMAS DE ECUACIONES:
Se resuelven por igualación, sustitución o reducción:
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6
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
A las matrices filas (o columna) las llamaremos, generalmente, vectores.
Una Combinación Lineal de filas (columnas) es el resultado de multiplicar cada fila por un número y después sumarlas.
Un conjunto de filas (columnas) son Linealmente Dependientes si alguna de ellas es combinación lineal de las demás.
Un conjunto de filas (columnas) son Linealmente Independientes cuando ninguna de ellas es combinación lineal de las demás..
7
RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el número de filas (columnas) que son linealmente independientes
A=
6 5 1
1 2 1
5 3 2
Rango A=2, porque la 3ª fila es la 1ª-2ª
Estudio del rango de uma matriz utilizando el método de Gauss: lo que tenemos que hacer es 0 por debajo de la diagonal, y al final del proceso el Rango de la matriz será el número de filas que sean distintas de 0. (Se pueden cambiar las filas y las columnas de lugar).
0 0 0 0
1 1 1 0
3 0 2 1
ª 3 ª 2 · 5 5 5 5 0
1 1 1 0
3 0 2 1
ª 3 ª 1 · 2
ª 2 ª 1
ª 1
1 5 1 2
4 1 3 1
3 0 2 1
A
Rango A=2
Calcular el rango de la matriz según los valores del parámetro a
2 2
1 0 0
0 1 0
2 1
ª 3 ª 2 · 2
ª 2
ª 1
1 2
0
0 1 0
2 1
ª 3 ª 1 ·
ª 2 ª 1
ª 1
1 0 1 1
2 1
a a
a a
a a
a a
a a
1 y 1 si 3 A
1 si
2 A
1 si 2 A
a a
Rango
a Rango
a Rango
La última fila será de ceros cuando 1a2 0; es decir cuando a=1 ó a=-1
0 1 0
2 0
0
1 1
2
ª 3 ª 1
ª 2 ª 1 · 2
ª 1
1 2
2 4
1 1 2
ª 3 ª 1 ª 2
1 2 4 2
1 2 1
a
a
a a a
a
2 y 1 si 3 A
2 si
2 A
1 si 2 A
a a
Rango
a Rango
a Rango
