F·dx k x·dx kx 2

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(1)

Los movimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los valores de posición, velocidad y aceleración. A ese intervalo de tiempo se le llama periodo.

El movimiento circular uniforme, el movimiento de oscilación de un péndulo y el de vibración de un muelle son movimientos periódicos.

Movimiento Armónico Simple

Se llama así porque puede expresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno.

Supongamos un cuerpo puntual que describe un movimiento circular uniforme en una circunferencia de radio A, la proyección de ese punto sobre el eje vertical describe un movimiento armónico simple. La ecuación de ese movimiento es: y A·sen  A·sen t si comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero.

Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es  la ecuación se convierte en

yA·sen t   , en donde:

y = elongación A = amplitud  = pulsación (t+) = fase  = fase inicial

distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. valor máximo de la elongación = radio de la circunferencia.

velocidad angular con la que se describe el movimiento circular. valor del ángulo en un momento determinado.

ángulo con el que se inicia el movimiento.

El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa las dos posiciones más próximas que vibran de la misma forma)

2 2

T T

 

  

La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, f 1

T

 y se mide en s-1 o Hz.

La velocidad con la que vibra el punto en un momento determinado se calcula derivando la elongación con respecto al tiempo:

dy d

v (A·sen( t )) A cos( t )

dt dt

         

que también se puede escribir como:

2 2 2 2 2 2

v A cos( t    ) A 1 sen ( t     ) A A sen ( t    ) A y

La velocidad de vibración es mínima (se anula) en los puntos extremos y es máxima en el centro. La aceleración con la que vibra el punto es la derivada de la velocidad:

2 2

dv dv

a (A cos( t )) A sen( t ) y

dt dt

             

La aceleración de vibración es mínima (se anula) en el centro y es máxima en los extremos. Si hubiéramos proyectado sobre el eje OX el resultado sería similar:

xA·cos   t

2

2 2 2

2 2

v   A sen       t A 1 cos     t A A cos     t A x

2 2

a  A cos     t x A

y

(2)

Si representamos gráficamente los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración frente al tiempo se obtienen las siguientes gráficas cuando la fase inicial es cero.

Vemos que la velocidad alcanza los valores máximos cuando la elongación es cero y se anula cuando es máxima. Con la aceleración ocurre lo contrario.

Movimiento vibratorio: Muelle

Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la fuerza, el muelle recupera su longitud inicial). La fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma con la que se estira pero de sentido contrario

F 0

F k L L  k·x

k es la constante elástica del muelle; nos indica la fortaleza del mismo.

¿Con qué periodo oscila un muelle cuando se separa de la posición de equilibrio y a continuación se suelta? El muelle describe un movimiento vibratorio en el que la elongación es x, la fuerza con la que el muelle recupera su posición de equilibrio es -kx:

2

2 2 2 m

F k x ma k x m x k m m T 2

T k

  

              

 

Energía de un oscilador armónico

La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de equilibrio hasta una distancia x.

x x 2

P 0 0

1

E W F·dx k x·dx k x

2

 

La energía cinética es:

2 2 2 2 2 2 2 2

C

1 1 1 1

E mv m·A cos t k A 1 sen t k A x

2 2 2 2

        

La energía total del oscilador será la suma de las dos:

2 2

2 2

TOTAL C P P MAX

1 1 1

E E E k A x k x k A E

2 2 2

      

La energía potencial, la elongación y la aceleración alcanzan los valores máximos en los extremos y son nulas en la posición de equilibrio. La energía cinética y la velocidad son máximas en la posición de equilibrio y nulas en los extremos.

ACELERACIÓN

t ELONGACIÓN

VELOCIDAD

EQUILIBRIO

ESTIRAMIENTO

COMPRESION x

(3)

Si representamos gráficamente el valor de las energías frente a la elongación, vemos que la energía potencial es máxima en los extremos y mínima en el centro, mientras que la energía cinética es máxima en el centro. La energía total, suma de cinética y potencial, se mantiene constante.

Péndulo

Está formado por un punto material sujeto por un hilo inextensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños. La fuerza del peso se descompone en dos: una se compensa con la tensión del hilo y la otra es la encargada de generar el movimiento:

F mg·sen 

El arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es

L

, que coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño:

2

2 2

2 2

2

F mg·sen mg· m·a a g·

g· L·

a x L·

4 L

g L L T 2

g T

        

    

    

     

Vemos que el periodo de la no depende del valor de la masa; solo depende de la longitud del hilo.

La velocidad y la energía cinética del péndulo son máximas en la posición intermedia, y nulas en los extremos. La aceleración y la energía potencial son máximas en los extremos y nulas en el centro.

La energía potencial en los extremos es:

P

E mgh mg L L·cos   mgL 1 cos 

La energía total se mantiene constante, luego la velocidad en el punto más bajo es:

2

C P

1

E mv mgL 1 cos E

2

v 2gL 1 cos

    

  

P=mg T

h

L

L cos  -A

Máxima compresión

+A Máximo estiramiento

x

Energía potencial

Energía cinética

(4)

Movimiento ondulatorio

Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Esta perturbación traslada energía de un punto a otro pero no materia.

Clasificación de las ondas:

De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser:

Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: el sonido.

Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el vacío y todas se propagan con la misma velocidad. Ej: la luz

Según la dirección de propagación:

Ondas transversales: La dirección de vibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: las ondas producidas en un estanque.

Ondas longitudinales: La dirección de vibración y de propagación coinciden. Ej: el sonido. Según el número de direcciones en las que se propaga pueden ser unidimensionales (cuerda), bidimensionales (estanque) o tridimensionales (sonido).

Ecuación de una onda

A la distancia entre dos puntos consecutivos que están vibrando de la misma forma se le llama longitud de onda λ. El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo.

Vamos a ver cuál es la ecuación de una onda sinusoidal:

Cualquier punto al que llega una onda vibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t’ más tarde; el tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto.

Si la onda se propaga con una velocidad constante v tardará un tiempo t’ en llegar a un punto que está a

una distancia x del origen: t' x v 

x 2 x 2 t 2 x

y A·sen t t A·sen t A·sen t A·sen

v T v T Tv

2 t 2 x

A·sen A·sen t kx

T

  

     

     

     

 

 

  

 

en donde  se llama pulsación 2 T

  

y k es el número de ondas k 2

 (se mide en m-1)

 

x

P  T

O

x

P  T

(5)

La ecuación del movimiento ondulatorio yA·sen t kx

 

es periódica en el tiempo y en el espacio.

Cada vez que pasa un tiempo igual al periodo, el valor de las magnitudes se repite y cada vez que se recorre una distancia igual a la longitud de onda los valores se repiten.

Si derivamos con respecto al tiempo:

2

2 2

2

y A·sen t kx y

v A ·cos t kx t

v y

a A ·sen t kx A ·y

t t

  

    

 

         

 

Si derivamos con respecto al espacio:

2

2 2

2

y A ·sen t kx y A k·cos t kx x

y

A k ·sen t kx A k ·y x

  

   

 

     

 Si dividimos entre sí las segundas derivadas, tenemos:

2

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

y

A y y y

t v v

k

y A k y t x

x 

     

 

     

Principio de Huygens

Explica cómo se propagan las ondas. Cualquier punto que es alcanzado por una onda se convierte en emisor secundario de ondas y el nuevo frente de ondas es la envolvente de todas las ondas.

El principio de Huygens predice la posición de una onda cuando se conoce la posición anterior. Dice que los frentes de onda están formados por frentes de onda más pequeños; cada punto de un frente de ondas primario se comporta como un emisor de ondas secundarias. Estas ondas secundarias tienen la misma forma, la misma frecuencia y la misma velocidad que la onda primaria en cada punto.

Interferencias

Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su elongación es la suma de las elongaciones producidas por cada onda. Vamos a ver el caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos 1 y 2 en los que se están produciendo dos ondas idénticas con la misma amplitud y la misma frecuencia:

1 1

2 2

y A·sen t k x y A·sen t k x

  

  

El punto P, al que llegan las dos ondas, vibrará de acuerdo con la suma de las dos:

P 1 2 1 2

y y y A·sen t kx  A·sen t kx 

Si recordamos que: senA senB 2senA BcosA B

2 2

 

  tenemos que:

1

2

P x1

(6)

1 2 1 2

P 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2

t-k x t-kx t-k x t+k x

y A sen t-k x sen t-k x 2Asen cos

2 2

x x x x x x x x

2 A sen t k cosk 2 A cosk sen t k

2 2 2 2

                                            

el punto P vibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud varía en función de los valores de x

1 y x2. La amplitud de la onda resultante es:

2 1

SUMA

x x A 2 A cosk

2       Interferencia constructiva

Se dice que en un punto hay interferencia constructiva si la amplitud alcanza el valor máximo A ; las dos amplitudes se suman.

2 1 2 1

2 1

2 1

x x x x

cosk 1 k n

2 2

x x

2

n x x n

2                                  

Se produce interferencia constructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x

2-x1) es igual a un número entero de longitudes de onda.

Interferencia destructiva

Se dice que en un punto hay interferencia destructiva si la amplitud alcanza el valor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan.

2 1 2 1

2 1

2 1

x x x x

cosk 0 k 2n 1

2 2 2

x x 2

2n 1 x x 2n 1

2 2 2

                        

Se produce interferencia destructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x

2-x1) es igual a un número impar de semilongitudes de onda.

Ondas estacionarias

Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los extremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el extremo de la cuerda y todos los puntos de la misma vibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios.

1

P 2

y A sen t kx

y A sen t kx A sen t kx y A sen t kx

                P

t k x t k x t k x t k x

2 A sen cos

2 2

y 2 A cos(kx) sen( t)

         

(7)

El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término ( t kx)  y cada punto de

la cuerda vibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto y que solo depende de la distancia: ASUMA 2 A cos(kx)

Hay puntos que no vibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es /2. Hay puntos que vibran al máximo, los vientres. La distancia entre dos vientres consecutivos es /2.

Entre dos vientres siempre hay un nodo y viceversa.

La distancia entre un vientre y un nodo consecutivos es /4.

La frecuencia más baja para la que se producen ondas estacionarias (frecuencia o armónico fundamental) en una cuerda tiene dos nodos y un vientre. El segundo armónico presenta tres nodos, el tercero tiene cuatro nodos y así sucesivamente.

Efecto Doppler

Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda con una frecuencia determinada. Tanto el observador 1 como el 2 reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce.

Si el emisor se mueve hacia la derecha mientras emite ondas, llegan al observador 1 más juntas con lo que disminuye  y aumenta la frecuencia.

El observador 2, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más separadas, con mayor  y con menor frecuencia.

Al cambio de frecuencia producido cuando varía la distancia entre el emisor de ondas y el observador se denomina efecto Doppler.

Si el emisor se acerca al observador:

ONDA ONDA EMISOR

MVTO REPOSO EMISOR

MVTO REPOSO REPOSO

ONDA ONDA EMISOR ONDA

MVTO REPOSO

MVTO REPOSO ONDA EMISOR

v v v

v T

f f f

v v v v

f f

f f v v

      

  

Si el emisor se aleja del observador, la velocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia será:

ONDA

MVTO REPOSO

ONDA EMISOR

v

f f

v v

 

Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muevan a la vez el emisor y el observador:

ONDA OBSERVADOR

MVTO REPOSO

ONDA EMISOR

v v

f f

v v

 

nodos

vientres

n=1

n=2

n=3

n=4

O2 O2

O1 O1

(8)

Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor frecuencia o menor longitud de onda) cuando se acerca el emisor y más grave (menor frecuencia o mayor longitud de onda) cuando se aleja del observador.

Si el emisor se desplaza con una velocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas. Por esta razón los barcos dejan una estela en forma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene forma cónica y el ángulo θ es tal que:

ONDA EMISOR

EMISOR ONDA

v t 1 v

sen ; m

v t m v

   

Donde m es el número de Mach, que es la relación entre la velocidad del emisor y de la onda. Para el caso de un avión y del sonido indica la velocidad de un avión en función de la del sonido en el aire (Mach1=340 m/s=1224 km/h).

El efecto Doppler también se observa en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un objeto celeste con luz propia se acerca o se aleja de nosotros. Cuando un objeto se acerca, se produce un desplazamiento hacia el azul que tiene menor longitud de onda y si se aleja se produce un desplazamiento hacia el rojo que tiene mayor longitud de onda.

Atenuación

La energía transmitida por una onda es proporcional a la amplitud y a la frecuencia. A medida que se propaga la onda, esa energía se reparte entre más puntos por lo que la amplitud con la que vibra cada uno debe disminuir para que la energía total se mantenga constante.

A esa disminución del valor de la amplitud se denomina atenuación.

v

ONDA

·t

v

EMISOR

·t

Emisor en reposo

vEMISOR=0

Emisor en movimiento vEMISOR<vONDA

(9)

La intensidad de un movimiento ondulatorio se define como la energía que atraviesa una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo

2 2

E P

I

4 r t 4 r

 

 

Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades será:

2

1 2

2

2 1

I r I r

La energía de una onda es proporcional a la amplitud:

2

1 1

2

2 2

I A I  A

Y comparando las dos, tenemos: 1 2

1 1 2 2

2 1

A r

A ·r A ·r

A r  

La amplitud de la onda y la distancia al foco emisor son inversamente proporcionales con lo que la onda se va atenuando a medida que nos alejamos del foco.

Absorción

Supongamos una onda sonora de intensidad I0 que atraviesa una pared de un material que tiene un coeficiente de absorción . La intensidad después de atravesar la pared será menor y depende del material del que esté hecha la pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda:

F 0

I L F ·x

F 0

I 0

0

dI I dI dx

dx I

I dI

·dx Ln ·x I I e

I I



     

      

El sonido

Es una onda longitudinal caracterizada por variaciones de presión que se transmite por un medio elástico. Las frecuencias audibles por el oído humano son las comprendidas entre 20 y 20000 Hz.

Cualidades del sonido: Intensidad, tono y timbre Intensidad:

Está relacionada con la amplitud y es la energía que transporta una onda por unidad de superficie y unidad de tiempo. Los sonidos se clasifican en fuertes y débiles.

Tono:

Relacionado con la frecuencia. Los sonidos pueden ser graves (frecuencia baja) o agudos (frecuencia alta)

Timbre:

Relacionado con la forma de la onda permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y frecuencia.

L

I

0

I

F

Frecuencia Hz

20 20000

(10)

Aquí tenemos dos sonidos con la misma amplitud y la misma frecuencia pero tocados con diferentes instrumentos.

Nivel de intensidad sonora.

El nivel de intensidad de una onda sonora se define como

0

I 10·log

I

  en donde I es el valor de la

intensidad e I0 el valor de la intensidad umbral, la más baja que se puede oír, 10-12 Wm-2. Se mide en decibelios dB. La intensidad máxima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es de 130 dB que corresponde con una intensidad de

13 13 12

2

0 0 0

I I I W

130 10log 13 log 10 I 10 ·10 10

I I I m

    

La intensidad sonora también depende de la distancia a la que nos encontremos del emisor, pero puedes hacerte una idea con los datos de la tabla siguiente:

Intensidad (dB)

Intensidad (W/m2)

Situación

0 10-12 Umbral de audición

10 10-11 Susurro, respiración

20 10-10 Biblioteca

30 10-9 Casa tranquila

40 10-8 Conversación tranquila 50-60 10-710-6 Aglomeración de gente

70 10-5 Aspiradora

80 10-4 Tráfico intenso

90 10-3 Tren en un túnel, metro 100 10-2 Perforadora de percusión

110 10-1 Concierto, discoteca

120 1 Motor de avión en marcha

130 10 Avión despegando

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