G recibe el nombre de “Grupo Conmutativo”

INTRODUCCION AL ALGEBRA.

4- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella.

Colaboraron: Silvia Capalbo Cristian Mascetti. Vanesa Bergonzi

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

4- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS:

Este tema requiere la noción de función: B

f :A→ con la notación usual: y= f

( )

x donde: x∈A, y∈B

Requiere igualmente un adecuado conocimiento de la idea de par ordenado, y producto cartesiano de dos conjuntos. Es conveniente también manejar satisfactoriamente conceptos de lógica simbólica y teoría del conjuntos.

Grupos:

Definición de Grupo:

Se llama “grupo” a un par ordenados de datos:

(

+

)

=

,

G

G

de los cuales:

G es un conjunto.

+ es una función: +:G×G→G escrita con la siguiente notación:

(

,

)

∈G×G :+

(

x,y

)

= + ∈G

∀ x y x y

Para que G sea un grupo se le pide que la función + cumpla con las condiciones siguientes:

1G) ∀x,y,z∈G:x+

(

y+z

) (

= x+y

)

+z “ propiedad asociativa de la suma “

2G)

∃

0

∈

G

:

∀

x

∈

G

:

x

+

0

=

0

+

x

=

x

“ propiedad de existencia de elemento neutro “

3G)

∀

x

∈

G

:

∃

−

x

∈

G

:

x

+

(

−

x

)

=

−

x

+

x

=

0

“ propiedad de existencia de elementos opuestos “.

Grupos conmutativos:

Un grupo G=

(

G,+

)

recibe el nombre de “Grupo Conmutativo” (o también: “Grupo Abeliano”)

si es un grupo (cumple con lo descripto anteriormente) y además verifica la propiedad:

4G)

∀

x

,

y

∈

G

:

x

+

y

=

y

+

x

“ propiedad conmutativa de la suma “.

Corolario 1: El elemento neutro de un grupo es único.

Demostración: "∃0" tal como figura en (2G) tienen el significado de: “existe 0 ” pero no el de: “existe y es único”

por lo tanto la unicidad hay que demostrarla.

Supongamos otro elemento de G que verifique (2G): (2G’)

∃

n

∈

G

:

∀

x

∈

G

:

x

+

n

=

n

+

x

=

x

Tomando x = n _{en (2G) queda (1° igualdad):}

n

+

0

=

x

+

0

=

x

=

n

Tomando x = 0 _{en (2G’) queda (2° igualdad):}

n

+

0

=

n

+

x

=

x

=

0

De donde:

n

=

n

+

0

=

0

es decir:

n

=

0

Y el 2º elemento neutro “ n _{“ coincide con el “original”: 0}

Obsérvese que para que esta demostración se pueda hacer es necesario que la propiedad se cumpla tanto a “derecha”: x+0= x

Corolario 2: Para todo elemento de un grupo el elemento opuesto es único:

Demostración: Sea x∈G, nos queda por

3G:

∃

−

x

∈

G

:

x

+

(

−

x

)

=

−

x

+

x

=

0

supongamos que hay otro: 3G’:

∃

w

∈

G

:

x

+

w

=

w

+

x

=

0

pero entonces:

=

w

por (2G)

=

w

+

0

=

por (3G)

=

w

+

(

x

+

(

−

x

)

)

=

por (1G) =

(

+

) (

+

−

)

=

=

w

x

x

por (3G’ )

=

0

+

(

−

x

)

=

por (2G )

=

−

x

o sea:

w

=

−

x

debe notarse que ambas demostraciones no requieren (4G):

Corolario 3:Propiedad Cancelativa de la Suma en Grupos.

Los grupos tienen la propiedad Cancelativa: Sea G _{= ( G; + ) un grupo, se verifica:}

∀x, y , z∈G : [ x + z = y + z⇒x = y ]

Demostración: Sean: x, y , z∈G ; supongamos: x + z = y + z ( Hipótesis )

Sea - z∈G el opuesto de z ; o sea: (3G): z + ( - z )= - z + z = 0 Pero entonces:

( x + z ) + ( - z )= por propiedad (1G) asociativa de la suma = = x + ( z + ( - z ) )= por (3G) = x + 0= por (2G) = x

Es decir (resumiendo esta primer parte):

x = ( x + z ) + ( - z )= por hipótesis = ( y + z ) + ( - z )= = razonando análogamente a primer parte = y

Resumiendo todo el razonamiento: x + z = y + z ⇒x = y

Anillos:

Definición:

Se llama “anillo” a una terna ordenada de datos:

(

+

•

)

=

A

,

,

A

para los cuales:

(

A,+

)

es un grupo conmutativo (cumple 1G, 2G, 3G, 4G)

• es una función: •:A×A→A

escrita con la siguiente notación:

(

,

)

∈A×A :•

(

,

)

= ∈A

∀ x y x y xy

Para que A sea un anillo se le pide que las funciones de + y: • cumplan adicionalmente con las condiciones:

5A)

∀

x

,

y

,

z

∈

A

:

x

( ) ( )

y

z

=

x

y

z

“ propiedad asociativa del producto “

6A) a)

∀

x

,

y

,

z

∈

A

:

x

(

y

+

z

)

=

x

y

+

x

z

)

b)

∀

x

,

y

,

z

∈

A

:

(

x

+

y

)

z

=

x

z

+

y

z

”

“ propiedades distributivas del producto respecto de la suma“.

Se suele aclarar: para la (a): “ a izquierda “ y para la (b): “ a derecha “.

Corolario 4: En un Anillo

A

=

(

A

,

+

,

•

)

:

∀x∈A: x⋅0 =0⋅x =0

Demostración: Sea: x , z ∈A ; se tiene:

0 + x z = [ por propiedad (2G) existencia neutro suma aplicada a: xz ]= xz = [ por propiedad (2G) existencia neutro suma aplicada a: z ] = x ( 0 + z ) = [ por propiedad (6Aa) distributiva producto respecto suma ] = x 0 + x z

O sea se ha verificado:

0 + x z = x 0 + x z ⇒ [ por propiedadcancelativa suma aplicada a: xz ] ⇒ 0 = x 0 (1)

De manera similar:

0 + z x = [ por propiedad (2G) existencia neutro suma aplicada a: z x ]= z x = [ por propiedad (2G) existencia neutro suma aplicada a: z ] = ( z + 0 ) x = [ por propiedad (6Ab) distributiva producto respecto suma ] =

= z x + 0 x = [ por propiedad (4G) conmutativa suma ]= 0 x + z x

O sea se ha verificado:

0 + z x = 0 x + z x⇒ [ por propiedadcancelativa suma aplicada a: z x ] ⇒ 0 = 0 x (2)

De (1) y (2) se obtiene:

x 0 = 0 x = 0

Anillos con unidad:

Si un anillo A=

(

A,+,•

)

cumple además con:

7A)

∃

1

∈

A

:

∀

x

∈

A

:

x

⋅

1

=

1

⋅

x

=

x

“ existencia de unidad “

se dice que es un Anillo con Unidad.

Corolario 5: El elemento unidad de un Anillo con Unidad es único. Demostración: Se deja al lector.

Anillos conmutativos:

Si un anillo A=

(

A,+,•

)

cumple con la propiedad que sigue se dice que es un “Anillo Conmutativo”.

8A)

∀

x

,

y

∈

A

:

x

y

=

y

x

“ propiedad conmutativa del producto “.

Cuerpos:

(

+

•

)

=

K

,

,

Κ

es un “Cuerpo”

si además de ser un “Anillo con Unidad” (es decir cumplir: 1G, 2G, 3G, 4G, 5A, 6A y 7A) cumple con:

9K)

∀

x

∈

K

:

_



x

≠

0

⇒

∃

x

−1

∈

K

:

x

⋅

x

−1

=

x

−1

⋅

x

=

1

_



“ existencia de elemento inverso “.

Observación: La diferencia entre esta última propiedad y la (3G) “existencia de elemento opuesto” es que la existencia de inverso no se pide para el elemento nulo.

Corolario 6: En un cuerpo: para todo elemento no nulo el elemento inverso es único. Demostración. También se deja al lector.

Corolario 7: Propiedad Cancelativa del Producto en Cuerpos.

Los cuerpos tienen para el producto la propiedad Cancelativa:

Sea K _{= ( K ; + ; .) un cuerpo, se verifica:}

∀x, y , z∈K : [ z ≠ 0 ∧ x . z = y .z⇒x = y ]

Demostración: Sean: x, y , z∈K ; supongamos: z ≠ 0 ∧ x . z = y .z ( Hipótesis )

Sea z∈K tal que z ≠ 0 ; sea z -1el inverso de z ; o sea: (9K): z . z -1 = z -1. z = 1

Pero entonces:

( x . z ) . z -1 = por propiedad (5A) asociativa del producto = = x . ( z . z -1)= por ( 9K ) = x . 1= por ( 7A ) = x

Es decir (resumiendo esta primer parte):

x = ( x . z ) . z -1 = por hipótesis = ( y . z ) . z -1 = = razonando análogamente a primer parte = y

Resumiendo todo el razonamiento: x . z = y . z ⇒x = y

Cumpliéndose así la propiedad cancelativa del producto.

Cuerpos Conmutativos:

Si un cuerpo cumple además con la propiedad (8A) se dice que es un:

“ Cuerpo Conmutativo ”.

Módulos sobre un Anillo:

Sea la cuaterna ordenada de datos:

(

•

)

=

,

A

,

+

,

M

M

Siendo a su vez

A

=

(

A

,

+

,

⋅

)

una terna.

Se dice que

M

es un

A

- Módulo (o módulo sobre el anillo

A

) si y sólo si:

1°)

A

es un anillo con unidad

2º)

+

:

M

×

M

→

M

De forma tal que:

(

M

,

+

)

es un grupo conmutativo; es decir que cumple las propiedades: 1G, 2G, 3G, 4G.

[

se utilizalanotación

:

∀

u

,

v

∈

M

:

+

(

u

,

v

)

=

u

+

v

]

3°)

•

:

A

×

M

→

M

De tal forma que se cumplen las propiedades 10M, 11M, 12M:

[

se utilizalanotación

:

∀

λ

,

µ

∈

A

:

∀

v

∈

M

:

•

(

λ

,

v

)

=

λ

•

v

]

10M)

∀

λ

,

µ

∈

A

:

∀

v

∈

M

:

λ

•

(

µ

•

v

) (

=

λ

⋅

µ

)

•

v

=

µ

•

(

λ

•

v

)

" Propiedad Asociativa Combinada ".

11M) a)

∀

λ

∈

A

:

∀

u

,

v

∈

M

:

λ

•

(

u

+

v

)

=

λ

•

u

+

λ

•

v

" Propiedades Distributivas Combinadas ".

b)

∀

λ

,

µ

∈

A

:

∀

v

∈

M

:

(

λ

+

µ

)

•

v

=

λ

•

v

+

µ

•

v

12M)

∀

v

∈

M

:

1

•

v

=

v

" Producto por la unidad del anillo ".

Observación: Se utilizan en forma indistintas las expresiones: “

M

es un

A

- módulo ”

Espacios Vectoriales:

Un espacio Espacio Vectorial sobre un cuerpo es un módulo sobre un cuerpo; es decir un módulo sobre un anillo que también cumple la propiedad (9K) de cuerpo.

Traduciendo esta definición en sus distintos aspectos tenemos:

Detalles de la definición de Espacio Vectorial sobre un cuerpo:

Sea la cuaterna ordenada de datos:

(

•

)

=

,

K

,

+

,

V

V

Siendo a su vez

K

=

(

K

,

+

,

⋅

)

una terna.

Se dice que

V

es una

K

- Espacio Vectorial (Espacio Vectorial sobre el cuerpo

K

)

sí y sólo si:

1º)

K

es un cuerpo

2º)

+

:

V

×

V

→

V

de forma tal que:

(

V

,

+

)

Es un grupo conmutativo; es decir que cumple las propiedades: 1G, 2G, 3G y 4G:

[

se utiliza la notación:

∀

u

,

v

∈

V

:

+

( )

u

,

v

=

u

+

v

]

3°)

•

:

K

×

V

→

V

de forma tal que se cumplen las propiedades 10V, 11V, 12V (totalmente similares a 10M, 11M, 12M)

[

se utiliza la notación:

∀

λ

,

µ

∈

K

:

∀

v

∈

V

:

•

( )

λ

,

v

=

λ

•

v

]

10 V )

∀

λ

,

µ

∈

K

:

∀

v

∈

V

:

λ

•

(

µ

•

v

)

=

(

λ

⋅

µ

)

•

v

=

µ

•

(

λ

•

v

)

" Propiedad Asociativa Combinada "

11V )a)

∀

λ

∈

K

:

∀

u

,

ν

∈

V

:

λ

•

(

u

+

v

)

=

λ

•

u

+

λ

•

v

" Propiedades Distributivas Combinadas "

b)

∀

λ

,

µ

∈

K

:

∀

v

∈

V

:

(

λ

+

µ

)

•

v

=

λ

•

v

+

µ

•

v

12 V )

∀

v

∈

V

:

1

•

v

=

v

" Producto por la Unidad del Cuerpo ".

Observaciones:

1) Una expresión equivalente de:

“

V

es un

K

- Espacio Vectorial ” es:

“

V

es un Espacio Vectorial sobre el cuerpo

K

”

y si ello no se presta a confusión se podría decir simplemente:

“

V

es un Espacio Vectorial ”.

2) Cuando se trabaja con espacios vectoriales

a los elementos:

u

∈

V

ó

v

∈

V

se los denomina “vectores”. Y a los elementos: λ∈K ó µ∈K se los denomina “escalares”

3) En lo anterior se han utilizado cuatro funciones:

+

:

K

×

K

→

K

[

con la notación:

λ

+

µ

]

Se la denomina “ suma de “escalares ”

⋅

:

K

×

K

→

K

[

con la notación:

λ

⋅

µ

]

Se la denomina: “ producto de escalares ”

+

:

V

×

V

→

V

[

con la notación:

u

+

v

]

Se lo denomina “ suma de “vectores”

•

:

K

×

V

→

V

[

con la notación:

λ

•

v

]

Se la denomina: “ producto mixto” o “producto de escalares por vectores”.

En la practica, y si ello no se presta a confusiones, se suelen manejar las notaciones con cierta libertad.

Ejemplos:

En lugar de:

λ

⋅

µ

se escribe:

λ

µ

(se omite el punto).

En lugar de:

u

+

v

se escribe:

u

+

v

(se escribe la suma de vectores como si fuera suma de escalares).

En lugar de:

λ

•

ν

se escribe:

λ

⋅

ν

o incluso:

λ

ν

(se escribe el producto mixto

Homomorfismos - Isomorfismos:

En general recibe el nombre de Homomorfismo toda función definida entre dos estructuras del mismo tipo que respete las operaciones de dichas estructuras. Si es una función biyectiva se la denomina Isomorfismo.

Veamos un caso particular:

Homomorfismos - Isomorfismos entre Espacios Vectoriales:

Lo veremos con un poco más de generalidad:

Homomorfismos - Isomorfismos entre Módulos sobre un anillo unitario:

Aunque usaremos la notación de espacios vectoriales permitiremos que K sólo sea un anillo con unidad y tanto U como V módulos:

Sean: U = ( U ; K ; + ; . ) ; V = ( V ; K ; + ; . )

Espacios Vectoriales ( o Módulos sobre anillos unitarios)

sea: T : U → V una función.

Diremos que:

T es un homomorfismo ⇔ ∀x , y ∈U:∀λ,µ∈K:T

(

λ x +µ y

)

=λT

( )

x +µT

( )

y

En el caso de homomorfismo entre espacios vectoriales también se suele decir que T es una

Transformación Lineal.

Cuando un homomorfismo es biyectivo se dice que es un Isomorfismo.

Como dato complementario diremos que:

* Los homomorfismos inyectivos se denominan monomorfismos. * Los homomorfismos suryectivos reciben el nombre de epimorfismos.

Núcleo de un Homomorfismo ( Kernel ):

sea: T : U → V un Homomorfismo, sea: 0 ∈ V vector nulo, definimos:

Teorema: ker T = { 0 }⇔ T inyectivo (monomorfismo)

Demostración:

⇒)

Supongamos: ker T = { 0 } supongamos: x₁ , x₂ ∈ U : con x₁ ≠ x₂

por el absurdo supongamos: T ( x₁ ) = ( x₂ ) ⇒ T ( x₁ ) - T ( x₁ ) = [ por hipótesis de absurdo ] =

= T ( x₁ ) - T ( x₂ ) = T ( x₁ ) + (-1) T ( x₂ ) = [ por ser homeomorfismo ] =

= T ( x₁ + (-1). x₂ ) = T ( x₁ - x₂ )

Resumiendo: T ( x₁ - x₂ ) = 0 ⇔ x₁ - x₂ ∈ T -1 ( 0 ) = [ por definición de núcleo ] =

= ker T = [ por hipótesis ] = { 0 }⇒ [ resumiendo ] ⇒ x₁ - x₂ ∈{ 0 }⇒ [ por ser conjunto unitario ]

⇒ 1

x - x₂ = 0 ⇒ x₁ = x₂ absurdo pues supusimos x₁ ≠ x₂

debe ser entonces: T ( x₁ ) ≠ ( x₂ ) con lo cual T inyectivo. ⇐) Supongamos T inyectivo

Siempre se cumple: : { 0 }⊂ T -1 ( 0 ) = ker T debido a que:

T ( 0 ) = [ dado un x cualquiera de V ] = T ( x - x ) = T ( 1. x + (-1). x ) =

=1. T ( x ) + (-1).T ( x ) = T ( x ) - T ( x ) = 0 ⇒[ resumiendo ] ⇒ T ( 0 ) = 0 ⇒

⇒[ definición imagen inversa ] ⇒ 0 ∈ T -1 ( 0 ) con lo cual:

{ 0 }⊂ T -1 ( 0 ) = ker T

Veremos que: ker T = T -1 ( 0 ) ⊂ { 0 }

Sea x ∈ ker T = T -1 ( 0 ) ⇒ T ( x ) = 0 por el absurdo supongamos: x ≠ 0

Por ser T inyectiva se cumpliría T ( x ) ≠ T ( 0 ) = [ ya visto ] = 0 lo que estaría en contradicción con

línea anterior. Debe ser entonces: x = 0 es decir: ker T = T -1 ( 0 ) ⊂ { 0 }

quedando entonces: ker T = T -1 ( 0 ) = { 0 }

 Alberto Serritella, 2010.