CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Oscar Cardona Villegas

Héctor Escobar Cadavid

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERÍAS

MÓDULO 2 VECTORES

En la matemática moderna se ha llegado al concepto de vector por una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario de tres dimensiones. En geometría analítica, que es una amalgama del álgebra y la geometría, los vectores se emplean tanto en sentido geométrico como en sentido algebraico, por lo tanto se abordará el estudio de los vectores bajo ambas perspectivas.

2.1 DEFINICIÓN DE VECTOR

Los vectores tuvieron su origen en la física. Se usaron por primera vez en mecánica para representar una fuerza concentrada. Se sabe que hay dos tipos básicos de cantidades que se consideran en la física: las que quedan completamente determinadas por una magnitud y se denominan escalares. Toda cantidad escalar se representa con un número real que indica su magnitud según una escala o unidad de medida elegida previamente. Son ejemplos de cantidades escalares: tiempo, distancia, masa, densidad, temperatura, trabajo, carga eléctrica, área, volumen y población. Como los escalares son números reales, se usa el álgebra de reales para operarlos. En este libro los escalares se van a representar con letras minúsculas.

denominan vectores. Son cantidades vectoriales, la posición relativa entre dos puntos, fuerza, velocidad, aceleración y momento entre otras.

Los vectores forman un conjunto con el cual se puede constrir un álgebra. El álgebra de los reales no sirve para hacer operaciones con vectores.

2.1.1 Definición geométrica

Se llama vector

_AB

al segmento de recta dirigido u orientado cuyo punto inicial u

origen es

A

y cuyo punto final o extremo es

B

.

La longitud del segmento

_AB

, definida una unidad de medida, es la magnitud o

módulo del vector y se representa

AB

. La inclinación del vector

AB

es la de la

recta

_AB

(Toda recta determina una inclinación y todas las rectas y segmentos paralelos a ella tienen la misma inclinación), y el sentido, dada una inclinación, es en el que se hace el recorrido de

_A

hacia

_B

. Inclinación y sentido constituyen la

dirección del vector la cual se representa

dirAB

. En este orden de ideas, todo vector

_AB

está asociado con el movimiento de una partícula en línea recta desde

el punto A hasta el punto B. El vector

AB

se representa con una flecha que indica la magnitud y la dirección.

Figura 2.1. Definición geométrica de vector

a. Las letras de su punto inicial y final, en ese orden, con una flecha encima o

sin ella :

AB

o

AB

b. Con una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima:

A

a

,

i

,

v

Nota: En este texto, sin embargo y por conveniencia, se van a representar los

vectores con negrilla.

Dados dos vectores

AB

y

CD

, si ocurre que al hacer coincidir su punto inicial

A

con el punto inicial

_C

, también coinciden sus puntos finales

B

y

_D

, se dice que

AB

es igual a

_CD

, lo cual se escribe

_{AB CD}

=

. Esto implica que

_AB

y

_CD

tienen la misma magnitud y la misma dirección. Todos los vectores iguales a

_AB

forman una clase* de vectores que se denomina vector libre. Es decir todos los segmentos de recta dirigidos con igual módulo y dirección representan al mismo “ente” geométrico denominado vector libre, o simplemente vector. Entonces, un vector (libre) no tiene puntos inicial y final definidos sino que puede trasladarse paralelamente a si mismo sin que cambien sus características.

Definición 2.1

Un vector, geométricamente, es un segmento de recta dirigido caracterizado por una magnitud y una dirección.

Definición 2.2

a. Al vector cuyo módulo es cero se le llama vector nulo, se representa por

₀

y se acepta que no tiene dirección.

b. Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo sea la unidad.

c. Un vector que tenga la misma inclinación y el mismo módulo que

AB

, pero sentido opuesto, se llama vector inverso el cual es único, y se escribe

BA

o

AB

−

. Además se cumple que

− −

(

AB

)

=

AB

.

d. Un vector con la misma inclinación y sentido contrario que

AB

(y cualquier magnitud) se llama vector opuesto.

2.1.2 Definición algebraica

La definición algebraica de un vector se establece al referirlo a un espacio

euclidiano n-dimensional. Es posible asociar a cada punto

P

de

E

n un vector

cuyo punto inicial sea el origen de

E

n y cuyo punto final sea el punto

_P

. A este

vector

OP

que también se representa

R

, se le denomina vector de posición o

vector radar de P. De este modo a cada punto

_P

de

_E

n le corresponde un único

vector

_R

y cada vector

_R

está asociado con un único punto de

_E

n. Esta

biyección permite representar al vector de posición correspondiente al punto

_P

de

coordenadas

( , , ,... )

x x x

_{1 2 3}

x

_n con la misma n-ada pero escrita

1

, , ,...

2 3 n

x x x

x

solo para evitar confusiones.

Definición 2.3

Algebraicamente un vector es una n-ada ordenada de números reales

1

, ,...

2 n

x x

x

en

_E

n. Los

x

_i

i

=

1,2,...,

n

se llaman componentes del vector.

Un vector

x x

₁

, ,...

₂

x

_n es libre, es decir que no es necesariamente un vector de

posición sino que puede tener su punto inicial en cualquier punto de

_E

n, pero si se toma como vector de posición (vectores de la misma clase) su punto final tiene

coordenadas

( , , ,... )

x x x

_{1 2 3}

x

_n .

En la siguiente figura se ilustran los casos en

_E

2 y

_E

3.

Figura 2.2. Definición algebraica de vector

En

_E

n, el vector nulo es

₀

=

_0,0,...,0

y el vector inverso de

_A

=

_{x x}

₁

_{, ,...,}

₂

_x

_n

es

− = − −

_A

_x

₁

_,

_x

₂

_,...,

−

_x

_n

Una vez establecida la intima relación entre los vectores y el conjunto de las n-adas de números reales en un espacio euclidiano (isomorfismo entre vectores y

ℝ

n) resulta sencillo poder determinar la magnitud y la dirección de un vector si se

conocen las componentes de la n-ada que lo representa.

Sea

V

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n un vector de

E

n. Para determinar su magnitud y dirección,

se toma

V

como un vector de posición. De este modo:

b. La dirección de

V

se da en términos de los cosenos de los ángulos que la recta que contiene al vector de posición forma con cada uno de los semiejes

positivos coordenados. Estos cosenos se llaman cosenos directores de

V

.

Definición 2.4

Dado un vector

V

=

x x

₁

, ,...

₂

x

_n de

E

n, entonces :

a. El módulo de

V

es 2

1

n

i i

V

x

=

=

∑

b. La dirección de

V

está dada por

cos( )

_i

x

i

V

θ

=

,

θ

_i

∈

[ ]

_0,

π

_,

_i

=

_1,2,..,

_n

Actividad en clase: Ilustrar los casos de

_E

2 y

_E

3 y casos particulares.

2.2 ALGEBRA VECTORIAL

Sea

V

* el conjunto de los vectores. Es posible dotar a

V

*de algunas leyes de composición para construir un álgebra de vectores. Estas operaciones se definen tanto en el sentido geométrico de los vectores como en el sentido algebraico, sin embargo las demostraciones de las propiedades se hacen algebraicamente.

2.2.1 Igualdad

a. La igualdad geométrica de vectores ya fue definida: dos vectores

_A

y

_B

son

iguales,

A B

=

, si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección, es

decir

A B

=

si y sólo si

AB

=

CD

y

dirAB dirCD

=

b. En forma algebraica, los vectores

A

=

a a

₁

, ,...

₂

a

_n y

B

=

b b

₁

, ,...

₂

b

_n de

E

n

La igualdad de vectores es una relación de equivalencia lo que significa que

cumple ser reflexiva, simétrica y transitiva. Para

A B

, y

C

vectores,

a. Reflexiva:

A A

=

b. Simétrica: Si

A B

=

entonces

B

=

A

c. Transitiva: Si

A B

=

y

B C

=

entonces

A C

=

2.2.2 Adición

a. Método geometrico: Dados

A

,

B V

∈

*. Sea

P P

_{0 1} el segmento orientado que

representa al vector

A

, el vector

B

se puede representar por medio de un

segmento orientado que tenga su origen en

P

₁ y su extremo en

P

₂. Se define

el vector suma

A B

+

como el representado por el segmento orientado

P P

_{0 2}.

Esta se conoce como la regla del polígono para sumar vectores. (fig. 2.3)

Figura 2.3. Adición de vectores

Existe un método análogo, llamado regla del paralelogramo, el cual usted debe describir.

b. Método algebraico: Dados los vectores de

E

n,

A

=

a a

₁

, ,...

₂

a

_n y

=

1

, ,...

2 n

B

b b

b

, el vector

A B

+

está dado por:

+ =

1

+

1

,

2

+

2

,...

n

+

n

Teorema 2.1

{

*

}

,

V

+

es un grupo abeliano. Este enunciado es equivalente a decir que la

adición de vectores es una OBI* y que cumple las siguientes propiedades :

Para todo

_A

,

_B

,

_{C V}

∈

*,

a. Conmutativa:

A B

+ = +

B A

.

b. Asociativa:

A

+

(

B C

+

) (

=

A B

+

)

+ = + +

C

A B C

.

c. Neutro:

A

+ = + =

0 0

A A

, siendo

0

el vector nulo.

d. Inverso:

A

+ − =

(

A

) 0

de donde

−

A

es el inverso de

A

.

Demostración de la propiedad b. para vectores en

_E

3

Sean

A

=

a a a

₁

, ,

_{2 3}

,

B

=

b b b

₁

, ,

_{2 3}

,

C

=

c c c

₁

, ,

_{2 3}

Entonces

₍

_{A B}

+

₎

+ =

_C



_

_{a a a}

₁

_{, ,}

_{2 3}

+

_{b b b}

₁

_{, ,}

_{2 3}

_



+

_{c c c}

₁

_{, ,}

_{2 3}

+

+ =

1

+

1 2

+

2 3

+

3

+

1 2 3

(

A B

)

C

a

b a

,

b a

,

b

c c c

, ,

+

+ =

1

+ +

1 1 2

+ +

2 2 3

+ +

3 3

(

A B

)

C

a

b

c a

,

b

c a

,

b

c

+

+ =

1

+

1

+

1 2

+

2

+

2 3

+

3

+

3

(

A B

)

C

a

(

b

c a

),

(

b

c

),

a

(

b

c

)

+

+ =

_{1 2 3}

+



_

₁

+

_{1 2}

+

_{2 3}

+

₃



_

(

A B

)

C

a a a

, ,

b

c b

,

c b

,

c

(

A B

+

)

+ = +

C

A

(

B C

+

)

Actividad para el estudiante: justificar los pasos de la propiedad anterior y hacer

Teorema 2.2

La desigualdad triangular :

Para todo

A

,

B V

∈

*,

A B

+

≤

A

+

B

Actividad en clase: Demostrar el teorema 2.2.

La existencia de inversos permite definir la diferencia de vectores: para todo

A

,

*

B V

∈

:

A B

− = + −

A

(

B

)

Es decir, la diferencia entre

_A

y

_B

es la suma de

_A

y el inverso de

_B

.

a. En forma geométrica si

P P

_{0 1} es el segmento dirigido que representa a

A

y

0 2

P P

el segmento que representa a

_B

, entonces el segmento dirigido

_{P P}

_{2 1}

representa a

A B

−

.

Figura 2.4. Diferencia de vectores

b. En forma algebraica, si

_A

=

_{a a}

₁

_{, ,...}

₂

_a

_n y

_B

=

_{b b}

₁

_{, ,...}

₂

_b

_n entonces

− =

1

−

1

,

2

−

2

,...

n

−

n

A B

a

b a

b

a

b

Teorema 2.3

A partir de las propiedades de grupo abeliano de

{

V

*

,

+

}

se obtienen las

Para todo

A

,

B V

∈

*

se cumplen:

a.

− +

(

A B

)

= − −

A B

b. si

A B

=

entonces

− = −

A

B

c.

0

− = −

A

A

d.

A

− =

0

A

La adición de vectores permite obtener las componentes de un vector en

_E

n del

cual se conocen las coordenadas de su punto inicial y de su punto final. Si

V

es

un vector cuyo punto inicial es

P

₁

=

( , ,... )

x x

_{1 2}

x

_n y cuyo punto final es

2

( ,

1 2

,... )

n

P

=

y y

y

entonces los vectores de posición de

_P

₁ y

_P

₂ son,

respectivamente,

OP

₁

=

x x

₁

, ,...

₂

x

_n y

OP

₂

=

y y

₁

,

₂

,...

y

_n

Por adición de vectores,

_OP

₁

+

_{P P}

_{1 2}

=

_OP

₂

de donde se obtiene que

P P

_{1 2}

=

OP

₂

−

OP

₁

es decir,

_PP

_{1 2}

=

_y

₁

−

_{x y}

₁

_,

₂

−

_x

₂

_,...

_y

_n

−

_x

_n

Ilustración:

Si

P

₁

=

(3,4, 2,5)

−

y

P

₂

= −

(1, 7,4,8)

, son dos puntos de

E

4, el vector

PP

_{1 2} es,

=

−

= − −

1 2 2 1

2, 11,6,3

P P

OP

OP

2.2.3 Producto de un vector por un escalar

Para todo

a

∈

ℝ

y todo

_{A V}

∈

*el producto de

_a

y

_A

es el vector

_aA

.

a. En sentido geométrico

aA

tiene las siguientes características,

•

aA

=

a A

, donde

a

representa al valor absoluto de

a

.

•

aA

tiene la misma inclinación que

A

y su sentido concordante o discordante con

_A

según

a

sea positivo o negativo.

En la fig. 2.5 se ilustran los vectores

A

,

3

A

y

−

2

A

.

Figura 2.5. Producto de un vector por un real

b. En sentido algebraico, si

_A

=

_{x x}

₁

_{, ,...}

₂

_x

_n es un vector de

_E

n y

a

∈

ℝ

entonces:

aA

=

ax ax

₁

,

₂

,...

ax

_n

Teorema 2.4

Para todos

_A

,

_{B V}

∈

_*

y todos

a

,

b

∈

ℝ

, se cumplen:

b.

a A B

(

+

)

=

aA aB

+

c.

( )

ab A a bA

=

(

)

d.

1

A A

=

y

−

1

A

= −

A

e.

0

A

=

0

y

a

0 0

=

Con estas propiedades {V*,+,

_aA

} es un espacio lineal real.

Actividad para el estudiante: Probar estas propiedades e ilustrarlas

gráficamente.

Al vector

aA

se le llama múltiplo escalar de

_A

, de donde resulta obvio que dos vectores son paralelos si y sólo si uno es múltiplo escalar del otro.

Con esta idea en la mente, el vector

A

A

es paralelo a

A

por medio del escalar

1

A

si

A

≠

0

. Este vector se representa por

U

A y se denomina vector unitario en

la dirección de

A

.

Actividad en clase: Probar que el vector

U

_A

A

A

=

es unitario.

2.2.4 Ejercicios

Ejercicios básicos.

1. Dados los vectores de

_E

3,

_u

=

_{6, 2,5}

−

,

_v

=

_3,0,5

y

_w

=

_{2,4, 9}

−

, halle

a.

u v

+

c.

u v

− +

w

d.

−

3

u

+

3

u

e.

3

u

− +

5

v

4

w

f.

w

w

g.

w

w

h.

2

u w

v

2. Halle escalares

a

y

b

tales que

a.

a

,3

=

2,

a b

+

b.

4,

b

=

a

2,3

c.

a a b

,

+ = −

b

2,6

d.

−

−5

=

+

4

,2,

3,

,

a b

a b ab

3. Si el punto inicial del vector

X

= −

2,4, 1

−

es

P

(2, 1,4)

−

, halle su punto final.

Si el punto final del vector

Y

=

2,0,7

es

Q

(2,0, 7)

−

, halle su punto inicial.

4. El vector de posición de una partícula móvil es

R t

( )

=

3,4 ,

t

2

−

t

3 siendo

t

el

tiempo. Halle el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo

[ ]

_1,7

.

5. Demuestre que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un

6. Halle los cosenos directores de los vectores

a.

A

= −

1,1,1

b.

B

=

7, 3, 5

− −

c.

C

=

1,2,9, 3,5

−

7. Para qué valores de

t

en reales los vectores

A

= −

t t t

, ,

−

1

y

=

,10

+

,6

B

t

t

de

_E

3 tienen un ángulo

π

entre ellos.

8. Dados los puntos

A

= −

(3, 1,6)

y

B

=

(5,4,2)

de

E

3, halle las coordenadas de

un punto

C

tal que

AC

sea el doble

AB

y

_B

esté entre

_A

y

C

.

9. Determine un vector de

E

3 cuya magnitud sea igual a la de

A

=

7, 5,12

−

y

cuya dirección sea la de

B

= −

6,9, 10

−

.

10. Usando vectores verifique que los puntos de

E

2

(4, 2)

−

,

(10,8)

,

( 6,5)

−

y

(0,15)

son los vértices de un paralelogramo.

11. Un vector de

E

3 tiene magnitud

2

y dirección de modo que su ángulo con el

eje

_x

es

π

₃

y con el eje

y

es

π

₄

, halle las componentes del vector.

12. Demuestre que si

A

₁

=

x y

₁

,

₁ y

A

₂

=

x y

₂

,

₂ son vectores de

E

2, entonces

1

13. Halle los vectores de

_E

4 que siendo unitarios son paralelos a

_1,2,2,0

Ejercicios avanzados

1. Sean

A

,

B

y

C

puntos colineales. Si

C

divide al segmento

AB

en una razón

a

b

, es decir

=

AC

a

CB

b

, demuestre que

bOA aOB

OC

a b

+

=

+

siendo

O

un punto

exterior a la recta.

2. Halle para qué valores reales de

t

y

u

, los puntos

1

(2,3)

P

,

P

₂

(1

+

t

,1

+

u

)

y

3

(2 ,2 )

P t u

son colineales.

3. Usando vectores demuestre que el baricentro de un triángulo divide cada mediana en la relación

_{2 : 1}

.

4. Si

A

=

(2,5)

,

B

= −

( 1,3)

y

C

=

(7,4)

son tres vértices de un paralelogramo de

2

E

, usando vectores halle las coordenadas del cuarto vértice (dos respuestas)

5. Pruebe que si

a b c

, ,

∈

ℝ

no son todos nulos, los vectores

a b c

, ,

y

, ,

ka kb kc

tienen la misma dirección si

k

>

0

y dirección contraria si

k

<

0

(

k

∈

ℝ

)

6. Halle un vector de

_E

4 que tenga su punto inicial en el punto medio del segmento entre los puntos

(2,5,0, 4)

−

y

( 6,7, 2,2)

−

−

y su punto final en el

Antes de definir otras operaciones con vectores, se hace necesario introducir unos conceptos básicos del álgebra lineal.

2.3 CONCEPTOS DEL ÁLGEBRA LINEAL.

2.3.1 Dependencia lineal

Definición 2.5

Dado un conjunto de vectores

A A

₁

,

₂

,...,

A

_r de V* y un conjunto de números

reales

α

_i

i

=

1,...,

r

se llama vector combinación lineal (C.L) de los

A

_i

1,...,

i

=

r

a cualquier vector obtenido como

1

r

i i i

A

α

=

∑

para cualquier conjunto de

valores de los

α

_i.

De otro modo, un vector combinación lineal es la suma de múltiplos escalares de

los

A

_i,

i

=

1,...,

r

. Los

α

_ise llaman componentes escalares de la combinación

lineal y los

A

_i componentes vectoriales.

Ilustración:

Dados los vectores

A

=

1,2,3

,

B

=

4, 3, 1

− −

,

C

= − −

5, 3,5

y

D

= −

2,1,6

.

a. Una combinación lineal de

A B C

, ,

y

D

es

−

3,4, 22

−

=

2

A

−

3

B C

+ −

6

D

b. El vector

D

se puede escribir como combinación lineal de

A B

,

y

C

como

141

16

67

129

129

129

El vector nulo puede expresarse como C.L. de cualquier conjunto de vectores. Lo

más simple es que

0 0

=

A

₁

+

0

A

₂

+

...0

A

_r, la cual se denomina C.L. trivial.

Todo vector es C.L. de si mismo:

_A

=

₁

_A

Definición 2.6

Dado un conjunto de vectores

S

*

=

{

A A

₁

,

₂

,...,

A

_r

}

de

V

* ; si ocurre que la

combinación lineal

1

0

r

i i i

A

α

=

=

∑

se da únicamente en el caso trivial, es decir,

cuando todos los

α

_i

=

0

entonces se dice que los

A

_i son linealmente

independientes (L.I) o que

S

*es libre o que los vectores son libres. Pero si ocurre

que la C.L. se presenta para el caso no trivial (o sea sin que todos los

α

_i tengan

que ser

0

) entonces los

A

_i son linealmente dependientes (L.D) o el conjunto

*

S

es ligado o los vectores son ligados entre si.

Ilustración: Se puede verificar que los vectores de

E

3

A

=

1,3, 2

−

,

B

=

3,1,1

y

_C

=

_{5, 1,4}

−

son L.D ya que existen escalares

_{a b}

_,

y

_c

diferentes de cero tales

que

aA bB cC

+

+

=

0

.

Una de las infinitas posibilidades es que

a

= −

2,

b

=

4

y

c

= −

2

. Efectivamente

2

A

4

B

2

C

0

−

+

−

=

.

El lector deberá encontrar otra solución.

Notas:

a. Hay que tener muy en cuenta que un conjunto de vectores es L.I si y sólo si

b. Un conjunto de vectores debe o bien ser L.I o bien L.D pues estos son eventos mutuamente excluyentes.

c. Si

S

*

=

{ }

A

y

A

≠

0

, entonces

_S

*es libre.

d. Si

0

∈

S

*entonces

S

*es ligado.

Actividad en clase: Justificar las proposiciones (iii) y (iv).

Teorema 2.5

a. Dos vectores son paralelos si y sólo si son L.D. b. Dos vectores son no paralelos si y sólo si son L.I.

c. Tres vectores son coplanares si y sólo si son L.D.

d. Tres vectores son no coplanares si y sólo si son L.I.

Actividad en clase: Demostrar algunos de estos enunciados

Teorema 2.6

a. Un conjunto

_S

*de vectores es L.D si y sólo si al menos un vector de

*

S

puede expresarse como CL del resto de vectores de

S

*.

b. Un conjunto

S

*

=

{

A A

₁

,

₂

,...,

A

_m

}

de vectores de

E

nes L.D si

_{m n}

>

, esto

equivale a decir que si

_S

*es libre entonces

_S

*tienen a lo sumo

n

vectores.

Demostración del teorema 2.6 a.

Como este teorema es un bicondicional, demostremos uno de los condicionales:

Si el conjunto

S

*

=

{

A A

₁

,

₂

,...,

A

_n

}

es un conjunto de vectores L.D, al menos un

vector es C.L. del resto.

1

A

1 2

A

2

...

n

A

n

0

α

+

α

+ +

α

=

con al menos un

α

_i

≠

0

Sin perder generalidad hagamos

α

₁

≠

0

:

2 3

1 2 3

1 1 1

...

n n

A

α

A

α

A

α

A

α

α

α

= −

−

− −

Sustituyendo los

α

α

+

−

1

1

i _por j

β

(j = 2,3,…, n) nos queda:

1 2 2 3 3

...

n n

A

= −

β

A

−

β

A

− −

β

A

, lo cual nos dice que un

A

_i de

S

*se puede

expresar como C.L de los restantes vectores.

2.3.2. Ejemplos

Si {

A B C

, ,

} es un conjunto de vectores L.I, pruébese que {

A B A C B C

+

,

+

,

+

}

también es L.I.

Solución:

Acudiendo a la definición de vectores L.I, se debe cumplir que:

1

(

A B

)

2

(

A C

)

3

(

B C

) 0

α

+

+

α

+

+

α

+

=

solo si

α α

₁

_,

₂y

α

₃son cero.

Por las propiedades de espacio vectorial de

V

*

1

A

1

B

2

A

2

C

3

B

3

C

0

α

+

α

+

α

+

α

+

α

+

α

=

También,

(

α α

₁

+

₂

)

A

+

(

α α

₁

+

₃

)

B

+

(

α α

₂

+

₃

)

C

=

0

y como

_{A B}

_,

y

_C

son L.I, entonces

α α

₁

+

₂

=

0

α α

₁

+

₃

=

0

al resolver este sistema se llega a que la única solución es si

α α α

₁

=

₂

=

₃

=

0

, lo

que implica que {

_{A B A C B C}

+

_,

+

_,

+

} es L.I.

2. Encuentre con que condiciones los vectores de

E

2,

a b

,

y

a b a b

+

,

−

son L.D.

Solución:

Dos vectores paralelos son L.D, entonces se debe cumplir que

=

+

−

,

,

a b

k a b a b

porque dos vectores son paralelos si uno es múltiplo

escalar del otro.

De ahí que

a k a b

=

(

+

)

y

b k a b

=

(

−

)

.

De la primera ecuación

_k

a

a b

=

+

a

≠ −

b

, reemplazando en la segunda

(

)

a

b

a b

a b

=

−

+

;

2 2

2

0

a

− −

b

ab

=

∴

a b

=

(1

±

2)

que es la condición pedida.

2.3.3 Base de un En

Definición 2.7

Se llama base de

_E

n a un conjunto

_B

* finito, no vacío que cumple que :

a. Los vectores de

B

* son L.I.

b. Cualquier vector de

_E

n es una CL de los elementos de

_B

*. En álgebra lineal

esto se expresa diciendo que

_B

* es un generador de

_E

n o que

_B

*genera a

n

E

.

Toda base de

_E

n tiene exactamente n vectores.

Teorema 2.8

Si

B

*es una base de

E

n, entonces cualquier vector

V

∈

E

n es una CL única de la base.

Actividad en clase: Probar el teorema 2.8.

Definición 2.8

Se llama la base canónica de

_E

n al conjunto

B

*

=

{

U U

₁

,

₂

,...,

U

_n

}

donde

=

=

=<

>

1

1,0,...,0 ,

2

0,1,...,0 ,...,

n

0,0,...,1

U

U

U

La base canónica es la base más simple y más usada de un

E

n.

En el caso particular de

E

2, la base canónica es

{ }

i j

,

con

i

=

1,0

y

j

=

0,1

.

Como vectores de posición

i

y

j

van asociados a los ejes coordenados

x

y

y

(figura 2.6). Cualquier vector

x y

,

de

E

2 se puede escribir como CL de

i

y

j

:

= +

V

xi

y j

X

Y P(x,y)

i

yj

j

xi V

V=<x,y>=xi+yj

Los vectores

xi

y

y j

se llaman componentes ortogonales de

V

.

En

E

3, la base canónica es

{ }

i j k

, ,

siendo

i

=

1,0,0

,

j

=

0,1,0

y

=

0,0,1

k

, los cuales van asociados a los ejes

x y

,

y

z

cuando se toman como

vectores de posición. Todo vector

_{x y z}

_{, ,}

de

_E

3 es una CL de

i j

,

y

k

:

= +

+

V

xi

y j zk

Figura 2.7. Base canónica en E3

, ,

xi y j zk

son las componentes ortogonales de

V

.

2.3.4. Ejemplos

1. Pruebe que

B

*

=

{

1,3 , 2, 1

−

}

es una base de

E

2.

Solución:

i) Primero se prueba que los vectores son L.I, es decir

que

α

₁

1,3

+

α

₂

2, 1

− =

0,0

tiene como única solución que

α α

₁

=

₂

=

0

.

ii) Pruebe que

B

* genera a

E

2 equivale a pruebe que

α

1

1,3

+

α

2

2, 1

− =

x y

,

tiene solución para cualquier

x y

,

.

Efectivamente :

α

₁

+

2

α

₂

=

x

₃

α α

₁

−

₂

=

_y

de donde ₁

2

7

x

y

α

=

+

y ₂

3

7

x

y

α

=

−

2. Pruebe que

B

*

=

{

3,0,5 ,

−

1,4,2 , 7, 3,4

−

}

es una base de

E

3.

Solución:

i) Para probar que

B

*es libre, se plante la CL igual al vector nulo :

α

1

3,0,5

+

α

2

−

1,4,2

+

α

3

7, 3,4

−

=

0,0,0

de aquí se obtiene :

3

α α

₁

−

₂

+

7

α

₃

=

0

4

α

₂

−

3

α

₃

=

0

₅

α

₁

+

₂

α

₂

+

₄

α

₃

=

₀

al resolver este sistema para

α α

₁

_,

₂y

α

₃ se encuentra que que

α α α

₁

=

₂

=

₃

=

₀

es la única solución lo que significa que los vectores son L.I.

ii) Para probar que

B

*genera a

E

3 se establece la CL igual a cualquier vector

, ,

x y z

de

E

3

=

+ −

+

−

, ,

3,0,5

1,4,2

7, 3,4

x y z

a

b

c

lo que equivale a :

x

=

3

a b

− +

7

c

_z

=

₅

_a

+ +

₂

_b

₄

_c

la solución de este sistema para

a b

,

y

c

arroja que

22

18

25

59

x

y

z

a

=

−

−

+

15

23

9

59

x

y

z

b

=

+

−

20

11

12

59

x

y

z

c

=

+

−

Es decir que

a b

,

y

c

existen para cualquier valor de

x y

,

y

z

, por lo tanto se

puede encontrar la CL de

B

*para cualquier vector de

E

3. Por ejemplo para

=

−15

=

29

=

19

59 59 59

1,1,1

a

,

b

,

c

En efecto :

=

−15

<

> + < −

29

> + < −

19

>

59 59 59

1,1,1

3,0,5

1,4,2

7, 3,4

3. Dado el conjunto de vectores de

E

2

B

*

= − −

{

1, 1 ,

−

2,2 , 1,1

}

a) Verifique si

V

*es una base de

E

2.

b) Exprese el vector

−

_1,1

como una combinación lineal de

_B

*de modo que la suma de los soportes escalares de la combinación lineal sea 1.

Solución:

a) Hay varias formas de comprobar que

B

*no es una base de

E

2. Una, mostrar

que los vectores de

B

*son L.D. (hacerlo). Otra es que se contadice el teorema 2.7

b) Aunque

_B

*no sea base es posible expresar el vector

−

1,1

como C.L. de

_B

*.

Con la condición dada.

−

1,1

= − − + −

a

1, 1

b

2,2

+

c

1,1

De esto se obtiene el sistema

− − + = −

a

2

b c

1

(1)

− + + =

a

2

b c

1

(2)

a b c

+ + =

1

(3)

Cuya solución es

a c

= =

1 4

y

b

=

1 2

.

Definición 2.9

Dada una base de

_E

n,

B

*

=

{

B B

₁

,

₂

,...,

B

_n

}

:

a) Si ocurre que los elementos de

_B

*son ortogonales entre si, entonces se dice que

_B

*es una base ortogonal.

b) Si los elementos de

_B

*son vectores unitarios, es decir

_B

_i

=

₁

para

1,2,3,...,

i

=

n

, entonces se dice que la base está normalizada.

c)

_B

*es una base ortonormal si cumple las dos condiciones anteriores. La base canónica definida antes es el ejemplo más obvio de una base ortonormal.

2.3.5 Ejercicios

1. Sean los vectores de posición de los puntos

_{P P}

₁

_,

₂ y

_P

₃ en

_E

2,

_OP

₁

= +

₂

_i

₃

_j

,

= +

2

4

OP

i

y j

y

_OP

₃

=

₅

_i

. Halle analíticamente el valor de

y

de modo que

1

,

2

P P

y

_P

₃ sean colineales.

2. En cada caso verifique si el conjunto de vectores dados es L.I. o L.D.

b.

B

*

= −

{

6,4,2 , 5, 3,16

−

}

c.

C

*

= −

{

3,7,12 , 6,1, 5 , 3,1,0

−

}

d.

D

*

=

{

1,3, 1 , 6, 2,5 , 5, 5,6

−

−

−

}

e.

E

*

=

{

1,2,3,4 , 0,1,3,7 , 2,0, 1,10

−

}

3. En cada caso verifique si el conjunto dado es una base de

E

n:

a.

B

*

=

{

1,3 , 3,1

}

en

E

2

b.

B

*

=

{

1,2,3 , 3,2,1 , 2,3,1

}

en

E

3

c.

B

*

=

{

1,1,2 , 2,2,3 , 3,3,3

}

en

E

3

d.

B

*

=

{

5,3,1 ,

−

1,0, 1 , 7,3, 4

−

−

}

en

_E

3

4. Si

{

A B

,

}

es una base de

E

2, muestre que

{

A B kA

,

+

}

también es una base

de

E

2 para cualquier escalar

k

.

5. Dados los vectores de

_E

3

_A

=

_1,1,4

,

_B

=

_{1, 1,0}

−

y

_C

=

_{0,2, 2}

−

,

demuestre que son L.I. y expresar el vector

_D

=

_3,5,2

como su combinación

lineal.

6. Dados los vectores de

_E

3:

A

=

1,2,3

,

B

=

4, 3, 1

− −

,

C

= − −

5, 3,5

,

= −

2,1,6

D

Halle:

b.

A

como combinación lineal de

₃

_B

−

₂

_D

.

c.

C

como combinación lineal de

A B D A

+

,

−

y

_{A D}

+

.

d. Escalares

a

y

b

tales que

a A B

(

+

)

+

b C D

(

+

) 0

=

7. Pruebe que si

A

,

B

,

C V

∈

* son L.I., entonces

a. Los vectores

A

+

2

B C A

+

,

+

3

B

−

2

C

y

A B

+ +

4

C

son L.D.

b. Los vectores

A B A C

+

,

−

y

B C

+

son L.I.

8. . Sean

A

=

1,1,1 ,

B

=

0,1,1

y

C

=

1,1,0

vectores de

E

3

a. Muestre que

A B

,

y

C

son L.I.

b. Halle un vector

D

tal que

A B

,

y

D

sean L.D.

c. Halle un vector unitario que sea C.L. de

A B

,

y

C

10. Pruebe que el vector nulo no puede ser parte de una base de

E

n.

11. Pruebe que si

_m

+

₁

vectores de

E

n son L.I, entonces

m

vectores de estos también son L.I y que si

m

vectores son L.D entonces

m

+

1

también son L.D.

12. Sean

A

=

1, 1,2 ,

−

B

=

3,1, 4

−

y

C

=

2, 3, 1

− −

. ¿Será posible expresar a

A

como C.L de

_B

y

C

?

13. ¿Para qué valores de

α

∈

ℝ

, los vectores

_A

=

_{1, , 1 ,}

α

−

_B

=

_{2 ,5,3}

α

y

α

=

4 ,1,0

C

son L.I.?, ¿y L.D?

a)

{

_{2, 7 , , 3}

−

_t

−

}

b)

{

2,1,0 , 3, 5,2 , 1,4,

−

t

}

2.4 OTRAS OPERACIONES CON VECTORES

2.4.1 Ángulo entre dos vectores

Para determinar el ángulo entre dos vectores de

E

n no paralelos y diferentes del vector nulo, se hacen coincidir sus puntos iniciales. El ángulo es entonces el de menor medida que forman las rectas que contienen a los dos vectores.

Teorema 2.9

Sean

_A

=

_{x x}

₁

_{, ,...,}

₂

_x

_n y

_B

=

_{y y}

₁

_,

₂

_,...,

_y

_n dos vectores de

_E

n no paralelos

y no nulos, el ángulo

θ

∈

_{(0, )}

π

entre

_A

y

_B

está dado por :

cos( )

1

n

i i i

x y

A B

θ

₌

∑

=

Actividad en clase: Probar el teorema anterior en

_E

2.

Ilustración: El ángulo entre los vectores de

E

3

A

=

7,3,5

y

B

= −

2,4,1

es

θ

₌

−



− + +











1

14 12 5

cos

83 21

θ

=

−



_



_

=





1

3

cos

85.9

2.4.2 Producto interior de vectores

A continuación se va a definir una operación binaria entre vectores que da como resultado un escalar. Esta operación se conoce como producto interior o producto punto euclidiano o bien producto escalar.

Definición 2.10

Sean dos vectores de

E

n,

A

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n y

B

=

y y

₁

,

₂

,...,

y

_n . El producto

interior de

_A

y

_B

es el número real simbolizado

_{A B}

•

y definido como :

_{1 1 2 2}

1

...

n

i i n n

i

A B

x y

x y

x y

x y

=

• =

∑

=

+

+ +

Si

A

=

0

ó

B

=

0

,

A B

• =

0

A partir de la definición anterior y el teorema 2.9 se puede obtener que:

A B

• =

A B

cos( )

θ

La expresión anterior se conoce como la forma geométrica del producto interior y establece que este producto es invariante respecto al sistema de referencia ya que el resultado es el mismo aunque se cambie el sistema de referencia o, inclusive, aunque no haya ninguno, es decir, el producto interior se puede obtener

para todo par de vectores

A

,

B

de

V

*

Teorema 2.10

El producto interior cumple las siguientes propiedades para todo

A

,

B

y

_{C V}

∈

* y todo escalar

_{r s}

_,

:

a. Simetría :

_{A B B A}

• = •

i)

A

•

(

B C

+

)

= • + •

A B A C

+

• = • + •

(

A B

)

C

A C B C

ii)

r A B

(

•

)

=

rA B

• = •

A rB

c. Positividad definida :

A A

• ≥

0

y

A A

• =

0

sólo si

A

=

0

d.

A

• =

0 0

e.

(

rA

) (

•

sB

)

=

rs A B

(

•

)

Actividad en clase: Demostrar algunas de estas propiedades.

Teorema 2.11

A partir de la definición y las propiedades del producto interior se puede concluir que :

a. La magnitud de cualquier vector

A V

∈

* se puede expresar como

A

=

A A

•

o también

_A

2

= •

_{A A}

b. Si

_A

≠

₀

y

_B

≠

₀

entonces

_{A B}

• =

₀

si y sólo si

_A

y

_B

son

perpendiculares.

c.

A B

• ≤

A B

. Esto se conoce como la desigualdad de

Cauchy-Schwarz.

d. Si

V

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n es un vector de

E

n

−

{ }

0

y

{

U U

₁

,

₂

,...,

U

_n

}

es la base

canónica de

_E

n entonces los cosenos directores de

_V

están dados como

cos( )

i i

V U

V

θ

=

•

El significado físico más simple del producto interior se relaciona con el trabajo mecánico realizado por una fuerza

_F

que desplaza un objeto en línea recta un

∆

r

. El trabajo de esta fuerza es

_T

= • ∆

_F

_r

Nota: Con la definición de producto punto una base

B

*

=

{

B B

₁

,

₂

,...,

B

_n

}

de

_E

nes

ortonormal si se cumple:

0

1

i j

B

•

B

=







i

j

i

j

≠

=

Ejemplos

1. Usando el producto interior pruebe que si

a

∈

ℝ

y

A V

∈

*entonces

aA

=

a A

Solución:

aA

=

aA aA

•

según el teorema 2.11 a)

=

a A A

2

•

por la propiedad 2.10 e)

=

a A A

• =

a A

.

2. Demuestre la desigualdad triangular: para todo

_A

,

_{B V}

∈

*

A B

+

≤

A

+

B

Solución:

Del teorema 2.11 a),

_{A B}

+

2

=

(

_{A B}

+

) (

•

_{A B}

+

)

por propiedad de bilinealidad,

= • + • + • + •

A A A B B A B B

Por propiedad de la simetría,

= • +

_{A A}

₂₍

_{A B}

•

₎

+ •

_{B B}

y de nuevo el teorema 2.11 a),

=

_A

2

+

₂₍

_{A B}

•

₎

+

_B

2

(

)

+

2

=

2

+

•

+

2

≤

2

+

+

2

2

2

A B

A

A B

B

A

A B

B

como

_{A B}

+

y

_A

+

_B

son números positivos,

A B

+

≤

A

+

B

.

3. Dados

A

,

B

y

C V

∈

*

−

{ }

0

de modo que

A

⊥

B

y

A

⊥

C

, demuestre que

A

es perpendicular a

α

B

+

β

C

para todo

α

y

β

∈

ℝ

.

Solución:

Puesto que

A

⊥

B

y

A C

⊥

se cumple que

0

A B

• =

y

A C

• =

0

Ahora, si el producto interior entre

A

y

α

B

+

β

C

es cero, estos vectores son

perpendiculares, por tanto

(

)

(

)

(

)

A

•

α

B

+

β

C

=

α

A B

•

+

β

A C

•

por las propiedades del producto interior.

Al reemplazar en esta ecuación que

A B

• =

0

y

A C

• =

0

:

(

) 0

A

•

α

B

+

β

C

=

independiente de que valores tomen

α

y

β

y la proposición

queda demostrada.

2.4.3 Vector proyección

Un significado del producto interno lo da la proyección de un vector sobre otro.

Definición 2.11

Sean

_{A B V}

_,

∈

*

−

{ }

₀

dos vectores no paralelos y

θ

el ángulo entre ellos. Si

_A

y

B

tienen el mismo punto inicial, se llama vector proyección de

A

sobre

B

,

escrito

P

_{A B}, al vector cuyo punto inicial es el punto inicial común y cuyo punto

Según sea el ángulo entre

A

y

B

se pueden presentar 3 situaciones que se ilustran en seguida:

θ θ / 0 2 cos π θ θ ≤ < = A B

P A /

2 0 A B P π θ= = / 2 cos π θ π θ < ≤ = − A B P A

Figura 2.8. Proyección de un vector en otro

Teorema 2.12

Si

A B V

,

∈

*

−

{ }

0

, entonces el vector proyección de

A

en

B

está dado por:

2

(

)

A B

A B

P

B

B

•

=

Demostración:

Sean

_MN

=

_B

MT

=

A

MD P

=

_{A B} es la proyección ortogonal de

A

sobre

B

DT C

=

P

_{A B}

=

α

B

con

α

∈

Re

−

{ }

0

(1)

B C

• =

0

(2)

A

=

α

B C

+

(3)

C

= −

A

α

B

(4)

B

•

(

A

−

α

B

) 0

=

(5)

_{B A}

• −

α

₍

_{B B}

•

_{) 0}

=

(6)

A B

• −

α

B

2

=

0

(7)

A B

₂

B

α

=

•

(8)

P

_{A B}

A B

₂

B

B



_⋅



=



_



_





(9)

Actividad para el estudiante: Justificar los pasos de la secuencia de la

demostración anterior.

Al número real dado por

A

cos( )

θ

se le denomina proyección escalar de

A