PRÁCTICA GUÍA TEÓRICO Nº 9 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

(1)

C

u

r

s

o

: Matemática

Material N° 11

PRÁCTICA GUÍA TEÓRICO Nº 9

UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA

Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°.

Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°. Ángulo recto : Es aquel que mide 90°.

Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°.

Ángulo completo : Es aquel que mide 360°.

EJEMPLOS

1. Si α es un ángulo agudo, entonces el ángulo COB de la figura 1 es

A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) La suma de un ángulo agudo con un ángulo obtuso resulta un ángulo extendido B) La mitad de un ángulo obtuso es un ángulo recto

C) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo extendido resulta un ángulo completo D) La suma de dos ángulos rectos con un ángulo extendido resulta un ángulo completo E) La suma de dos ángulos agudos resulta un ángulo recto

3. En la figura 2, α = 3β y δ = 2β, entonces 2δ =

A) 120° B) 60° C) 45° D) 30° E) 15°

3α

6α

2α α

0 C

B

A

D fig. 1

β δ

α

(2)

2

4. En la figura 3, (a = 4x + 10º. ¿Cuál es la medida del ángulo a?

A) 50º

B) 60º

C) 100º D) 120º E) 210º

5. En la figura 4, ¿cuál es la medida del ángulo COB?

A) 32º

B) 64º

C) 96º

D) 128º E) 160º

6. En la figura 5, ¿cuál es el complemento del ángulo COB?

A) 18º B) 32º C) 36º D) 54º E) 58º

2x a

C B

A x

fig. 3

O

2x _3x C

B

A

fig. 5 200º

O 3β₂_β

C B

A

(3)

3

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común.

Ángulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los par lineal otros dos lados sobre una misma recta.

Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y que los vértice lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

OBSERVACIONES

Å Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual

medida (congruentes).

Å Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, si α + β = 250º y β + λ = 270º, entonces β – λ =

A) 110º B) 90º C) 70º D) 50º

E) 30º

α β

λ fig. 1

α y β consecutivos

α β

A B C

O

α y β adyacentes

α β

A B

C _O

α y β opuestos por el vértice, α ≅ β α

β

α α ≅β

L1

L2

(4)

4

2. En la figura 2, se cumple que α = δ y β = λ. Si las rectas L1 y L2 no son

perpendiculares, entonces α + 4β + 2λ + 5δ =

A) 180° B) 360° C) 720° D) 1.080°

E) ninguna de los valores anteriores

3. En la figura 3, ¿cuál es el valor del ángulo x

6?

A) 48º B) 72º C) 96º D) 144º E) 288º

4. En la figura 4, los puntos B, O y A son colineales, el (BOD = 1

2(COA y OC ⊥ OD.

¿Cuál es el valor del ángulo AOC?

A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º

5. En la figura 5, si OA ⊥ OD, (BOA = 1

3(COB = 1

2(DOC, entonces el ángulo COA mide

A) 9º B) 15º C) 30º D) 45º E) 60º

x

2 _{fig. 3}

x 6

x 3 x 4

A B

D

C fig. 4

O

D

O

B

A

fig. 5 C

β δ

λ α

fig. 2

(5)

5

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS

Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si α y β son complementarios, α es el complemento de β y β es el

complemento de α. El complemento de un ángulo x es 90° – x.

Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si α y β son suplementarios, α es el suplemento de β y β es el suplemento de α. El suplemento de un ángulo x es 180° – x

EJEMPLOS

1. El complemento de un ángulo α es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide α?

A) 60° B) 45° C) 30° D) 20° E) 15°

2. El suplemento de un ángulo 3β es 60°. ¿Cuánto mide β?

A) 120° B) 90° C) 60° D) 40° E) 20°

3. Si α y 5β son ángulos suplementarios, entonces α en función de 5β es

A) 90° – 5β B) 5β – 90° C) 180° – 5β

(6)

6

4. El complemento de 2α – 30º más el suplemento de α – 10º es igual a

A) 310º – 3α

B) 290º – 3α

C) 250º – 3α

D) 230º – 3α

E) 200º – 3α

5. El complemento del complemento de α – 20º es

A) 0º B) 70º – α

C) α – 70º D) 110º – α

E) α – 20º

6. El suplemento del complemento de 30º – 2α es

A) 30º – 2α

B) 60º – 2α

C) 90º – 2α

D) 120º – 2α

E) 150º – 2α

7. La semidiferencia entre el complemento de 2α – 50º y el suplemento de α – 10º es

A)

2

α_{– 20º}

B)

2

α_{+ 25º}

C) -2

α_{– 25º}

D) -2

α_{+ 25º}

E) -3

2

(7)

7

PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

ÁNGULOS ALTERNOS:

Å Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

Å Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.

ÁNGULOS COLATERALES

Å Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, AB // CD. Entonces, la clasificación del ángulo β corresponde a un ángulo

A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo

6β – 280° β

A B

D

C fig. 1

1

3 2 4

6 7 8

5

L1

L2

L1// L2

T

ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS (1 con (7

(2 con (8

(3 con (5 (4 con ( 6

(1 con (5 (2 con (6 (3 con (7 (4 con (8

COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS (1 con (8

(2 con (7

(8)

8

2. Si en la figura 2, AB // CD, entonces ¿cuánto mide β?

A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°

3. En la figura 3, sean L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. ¿Cuál es el valor de (x + (y + (z?

A) 240º B) 260º C) 280º D) 290º E) 300º

4. Si en la figura 4, L1 // L2 y L3 es transversal, entonces ¿cuál es el valor del ángulo x?

A) 30º

B) 60º

C) 120º D) 130º E) 150º

5. Si en la figura 5, L1 // L2, y AC ⊥ EB, entonces el valor de x es

A) 40º

B) 70º

C) 90º

D) 100º E) 110º

5β – 70° 3β

A B

D C

fig. 2

x

L1

L2

6β

fig. 4

2β + 20º L3

x + 40º

20º

A B

C

E _L

1

L2

fig. 5

x L1

L2

L3

y

z

80º _{fig. 3}

(9)

9 ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS

TEOREMAS

Å La suma de las medidas de los ángulos interiores es

igual a 180°.

Å La suma de las medidas de los ángulos exteriores

es igual a 360°.

Å La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos

interiores no adyacentes a él.

EJEMPLOS

1. En el triángulo BED de la figura 1, el valor del ángulo x es

A) 19° B) 23° C) 29° D) 58° E) 116°

2. En el ΔGHI de la figura 2, la medida del (x es

A) 45° B) 75° C) 135° D) 150° E) 210°

α’ + β’ + γ’ = 360º

α’ = β + γ β’ = α + γ γ’ = α + β

β β’

α’ α

γ γ

A B

C

α + β + γ = 180º

fig. 2

x 150°

2x – 15 G

H I fig. 1 C

A B D

46° 18°

35°

x

(10)

10

3. El valor de γ en el ΔDEF de la figura 3, con G perteneciente a DE, es

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

4. Si en la figura 4, (CAB = (CBA y α + β = 250º, el valor del ángulo x es

A) 70º B) 100º C) 110º D) 140º E) 150º

5. Si en la figura 5, AB ⊥ BC, entonces ¿cuál es valor de x?

A) 9º B) 11º C) 17º D) 36º E) 53º

6. En la figura 6, el (ABC = 90º, entonces ¿cuál es el valor del ángulo x?

A) 18º B) 54º C) 72º D) 108º E) 162º

4γ

D E G

F _{fig. 3}

γ

x

α

β

D

C

E B

A

fig. 4

3x + 2º

2x + 3º

A B

C

fig. 5

2β

3β

A B

C

fig. 6

(11)

11 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

OBSERVACIÓN: En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto se le llama base.

EJEMPLOS

1. Según sus lados y según sus ángulos el triángulo ABC de la figura 1, es

A) escaleno y acutángulo B) escaleno y rectángulo C) isósceles y acutángulo D) isósceles y obtusángulo E) isósceles y rectángulo

2. En la figura 2, ΔABC equilátero y ΔBDC rectángulo isósceles, ¿cuál es la medida del (x?

A) 45º B) 60º C) 75º D) 105º E) 135º

3. En la figura 3, el ΔDEF es equilátero y el ΔABC es isósceles de base AB. Si el (ACB = 40º y DE // AB, entonces la medida del ángulo x es

A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º

Según sus lados Según sus ángulos

Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.

Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.

Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.

Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

4x

30º x

A

B

C fig. 1

x

C _D

B A

fig. 2

x

D E

C

A F B

(12)

12

4. En la figura 4, el ΔABC es isósceles de base AC y el ΔBDC es rectángulo isósceles. Si (ABC : (CBD = 2 : 3, entonces el (ACD mide

A) 30º B) 45º C) 75º D) 120º E) 160º

5. En la figura 5, el ΔABC es isósceles de base BC, el ΔABD es isósceles no equilátero de base AD y AD es bisectriz del (CAB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) CA = BD

II) BE es bisectriz del (ABD. III) AE es altura del ΔCAB.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo I y II E) I, II y III

6. En la figura 6, el ΔABC es equilátero, CE es altura y DB ≅ AC, entonces el ángulo x mide

A) 60º B) 75º C) 90º D) 100º E) 120º

D B

A

C

E

fig. 6 x

A B

D C

fig. 5 E

D C

A B

(13)

13 EJERCICIOS

1. Sea α un ángulo. Si el triple de α es un ángulo agudo, entonces α puede tomar el(los) valor(es):

I) α = 28° II) α = 14° III) α = 31°

Es (son) verdadera(s):

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo I y II E) I, II y III

2. ¿Cuál es la medida del (x en la figura 1?

A) 110º B) 75º C) 65º D) 60º E) 55º

3. En la figura 2, L1 // L2. Luego, el valor del (x es

A) 60º B) 70º C) 80º D) 100º E) 120º

4. En el ΔABC de la figura 3, AC = BC. ¿Cuál es la medida del (x?

A) 30º B) 60º C) 75º D) 80º E) 150º

x x 100º 150º

fig. 1

x 100º

L1

L2

fig. 2

fig. 3

150º x

A C

(14)

14 5. Si α es la mitad de β en la figura 4, entonces γ =

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 85º

6. En la figura 5, L es una recta, (x + (y = 120º, (z + (v = 90º y (x = (v. ¿Cuál es el valor del (x?

A) 15º B) 75º C) 100º D) 105º E) 150º

7. En la figura 6, L1 // L2 , L3 // L4 y α + β = 50°. Entonces, el suplemento de β es

A) 25° B) 50° C) 90° D) 130° E) 155°

8. En la figura 7, si α + β = δ y α = 2β, ¿cuánto mide β?

A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 120º

fig. 6

β

γ

α

L1

L2

L3

L4

x y

z

fig. 5 w

v L

fig. 7

β δ

A B

C

α α γ

β

(15)

15

9. En la figura 8, si el triángulo ABC es rectángulo en A y α + β = 120º, entonces α + γ =

A) 90º B) 120º C) 140º D) 150º E) 160º

10. En la figura 9, AB // L. ¿Cuál es el valor de α + β?

A) 105º B) 120º C) 130º D) 150º E) 175º

11. Si el triángulo ABC de la figura 10, es rectángulo en C, entonces el complemento del (x mide

A) 22° B) 34° C) 36° D) 44° E) 46°

12. El valor de γ en el ΔDEF de la figura 11, con G perteneciente a DE, es

A) 20º B) 30º C) 80º D) 100º E) 120º

46°

x

A B

C

fig. 10 fig. 8

β γ

A B

C

α

α _β

C L A

B

50º

fig. 9

D

F

E G 80º

γ

5γ

(16)

16

13. En el triángulo ABC de la figura 12, se traza la transversal DE. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 63° B) 70° C) 103° D) 117°

E) Ninguna de los valores anteriores

14. En la figura 13, (DAB = (ABC. Entonces, el (x mide

A) 80° B) 100° C) 110° D) 120° E) 140°

15. En la figura 14, L es recta y α = 54º. Entonces, ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) igual(es) al triple de β?

I) β + α

II) 2α

III) 180 – 2α

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

16. ¿Cuánto mide el (x en el ΔMNL de la figura 15?

A) 60º B) 40º C) 30º D) 20º E) 10º

47°

54º

16° x

A B E

D C

fig. 12

110°

x

A

E

B C

D

fig. 13

fig. 14

α β

L

α β β

fig. 15

2α α

M

α x

120º

(17)

17

17. De acuerdo a la información suministrada en la figura 16, ¿cuál es la medida del (x?

A) 110° B) 120° C) 150° D) 160° E) 170°

18. En el triángulo ABC de la figura 17, γ = 2β, β = 2α, γ = 40º y δ = 70º. ¿Cuánto mide el (x?

A) 40º B) 60º C) 70º D) 130º E) 140º

19. En el triángulo ABC de la figura 18, AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y BCA, respectivamente. Entonces, el ángulo x mide

A) 168º B) 158º C) 146º D) 68º E) 36º

20. En el ΔABC de la figura 19, si M es punto medio de AB y (BCM = (MBC = 30º, entonces el (BCA mide

A) 120º B) 100º C) 90º D) 80º E) 60º

68° x E

C

A D B

fig. 18

α α

α

x

40°

P Q S

T R

fig. 16

δ

x C

A B

fig. 17

γ β α

C

A B

fig. 19

(18)

18

21. En el triángulo ABC de la figura 20, rectángulo en C, CD ⊥ AB y AE es bisectriz del (A. Si (DFA = 57º, entonces la medida del (ABC es

A) 24º B) 26º C) 28º D) 34º E) 57º

22. Si el triple del complemento de (α – 30°) es igual al suplemento de (α – 40°), entonces α mide

A) 25° B) 70º C) 80° D) 100° E) 155°

23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas tales que L3 // L4 y L3 es bisectriz del

ángulo obtuso formado por L1 y L2. La medida de x es

A) 20° B) 30° C) 50° D) 60° E) 70°

24. En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuál es el complemento del menor?

A) 25º B) 35º C) 55º D) 65º E) 75º

A D B

F C

E

fig. 20

2x

x + 30° L3

L4

L2

L1

(19)

19

25. En el triángulo ABC de la figura 22, el ángulo β es igual a

A) 2γ + α

B) 2γ – α

C) γ + α

D) 2γ

E) γ

26. En la figura 23, AD // CB. Se puede determinar que AB es bisectriz del (DAC si:

(1) ΔACB rectángulo en C.

(2) (DAB = 45º

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. En el ΔPQR de la figura 24, se puede determinar que el ΔPQR es, a lo menos, isósceles si:

(1) PS = QT

(2) (QRP = 1

2(PQR = 36º

28. En la figura 25, L1 // L2 si:

(1) α + β = 180º (2) α + β = β + γ

fig. 22

β

γ

α α

D

A B

E

C

L

L1

L2 α

β _γ

fig. 25 A

D

fig. 23 B

C

fig. 24 R

Q P

(20)

20

29. En la figura 26, se puede determinar el valor de α si:

(1) AC // BD

(2) 7α = 2β

30. El ΔABC de la figura 27 es rectángulo si:

(1) (CAB = (ABC

(2) (BFA = 135° ; AD y BE son bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente.

DMNMA11

A B

E D

C

F

fig. 27 fig. 26

α

β

B A

D C

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