APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

(1)

TEMA 3 – ÁLGEBRA

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x4  18x 2 b) x 4  x 3  x 2  x  2 c) x 3  13x 2  36x d) 2x 3  9x 2  8x  15 e) x 5  x 4 2x 3 e) x 3  3x  2 Solución:

a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a2b2 (ab) (ab): 2x4  18x22x2x 2 9 2x2 (x 3) (x  3)

b) Utilizamos la regla de Ruffini: 1 1 1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x4x3x2x 2 x 1x 2x2 1 El polinomio x2 1 no tiene raíces reales). c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:





x x x x x x

x

x x x

x

    



   

      



3 2 2

2

13 36 13 36

9

13 169 144 13 25 13 5

13 36 0

2 2 2

4

 

Por tanto: x3 13x2 36 xx x 9x 4

d) Utilizamos la regla de Ruffini: 2 9 8 15 1 2 7 15 2 7 15 0 5 10 15

2 /

3

4 /

6 x

5 x

4

13

7

4

169

7

4

120

49

7 x

0

15 x

7 x

2





























2x3 9x2 8x 15  2x 1x 5x  3/2

e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:

x 5x4 2x3x 3x 2x 2

       

      

  2

1

1 1 8 1 9 1 3

2 0

2 2 2

2

x

x x x

x

 



Por tanto: x 5x4 2x3x 3x 1x 2

f) Utilizamos la regla de Ruffini: 1 0 3 2 1 1 1 2 1 1 2 0

1 1 2

_x

₂

1 x

2

3

1

2

9

1

2

8

1

1 x

0

2 x

x

2

































x3 3x 2 x 12x 2

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta:



2







3x kx2  x2

Solución: Llamamos P(x)  3x 2 + kx 2.

(2)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: a) 2 3 3 4 5 3 9 6 x x x x x    b) x x x x x 2 3 2 3 3    c) x x x x x x 2 3 2 2 3 2 3    

d)

x x x x x x      2 3 2 3 2 1 3 3 e) 2 4 2 3 4 9 3 2 x x x x x    Solución:

a)















x



x



x



x x

x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 3 3 9 6 3 9 6 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 5              

b)





















2

1 2 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 3                x x x x x x x x x x x x x x x x x x

c)





















1

1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3                  x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

d)









x

x x x x x x x x x x 1 1 1 2 1 3 3 2 3 2 3 2 3          

e)





















3

1 3 3 1 3 9 3 2 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 4                x x x x x x x x x x x x x x x x x x

EJERCICIO 4 : Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

a)

_

                     1 6 1 3 1 1 2 2 3 x x x x x x x x

b)

4 1 2 1 3 2 2 2     

 x x

x x

x

c)









2

2 2 1 3 1 1 2 1      x x x x d)





1

1 1 2 1 1 2 2    

 x x

x e) 

                  1 1 2 3 2 x x x x x x Solución:

a)

















_ _ _                                  1 x 6 x x x 1 x 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 6 x x x 1 x x 3 1 x 1 x 2 2 3 2 3

























x 1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 6 x 1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 3 x 3 1 x x 2 x 2 2 2 2 2 2                          

b)



 





4 x 3 x 11 x 4 x 1 2 x x 6 x 3 x 4 x 2 4 x 1 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x x 2 4 x 1 2 x 1 x 3 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                            

c)

















_{ }

_



_{ }

_

_

_

_

_

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 2 1 x 6 x 1 x 2 x 6 1 x 1 x x 3 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 2 1 x                         d)











 

















 





                 

 x 1 x 1

1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 x 1 2 2 2 2 2



 





x 1

 

x 1



2 x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 2 2 2 2            

e)

















1 x 3 x 3 x 2 1 x 1 x x 1 x x x 2 3 x 3 1 x x x 1 x x x 2 1 x 3 1 x x x 1 x x 2 x

3 2 2 2 2 2

                             

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

EJERCICIO 5 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

3 4 3 3 4 4 1) 2 2      x x x x x

2)x4 11x2 280

3 4 3 3 4 15 3) 2 2    

 x x

x

0 100 21

4)x4 x2 









3 1 5

4

(3)

1 2 16 3

7) x  x 8) x5x3

3 14 2 2 4

9) 

   x

x x

x

6 11 4 2 3

10) 

 

x

x 4

5 1 2 1 2

11) 

    x

x

x 12) x4 4x12

2 11 1 4 1 2

13) 

  

x x x

14

)

x4 x39x29x 0 15) x32x2 11x120 16) x4x34x24x0 17

)

x32x25x60 18) x34x2x40

2 7 2

1 2 2

19) 1  

x x

x

_

_

x log log

x

log 3  4

20) 2 21) x4 37x2 360



1





2



2

22) ln x ln x ln 23) 5x4 2x1 0

9 8 3 3

24) 2x  x1 

2 2

6 3 3 1 4

5 25)

x x



 26)log



x1



log



3x2



1 27)3 x1112x

0 4 2 3 2 2

28) x1 x1  x  

x x x

x 1

6 16 1

29)   

 3

1 3

3 30)

1 1

2



  

x x x

0 3 2 2

31) 1x x  32)1x 73x 33) 2x22x 50

Solución:

3 4 x 3 x x 3

x 4 x 4

1) 2

2

    

;

3 4 3 3 3 3 3 3

4

4 2 2 

  

 x x x x

x

; 4x24x3x3x2 3x4

0 4 x 4

x2   ; 2

2 4 2

16 16 4

    

x ; Solución: x = 2

0 28 x 11 x

2) 4 2  Cambio: x2 z  x4z2 z211z280

    

   

           

2 4

7 7

2

3 11 2

9 11 2

112 121 11

x z

z

Cuatrosoluciones: x1 7, x2  7, x3 2, x4 2

3 4

3 x x 3 4 15 x 3)

2

2_ _   _ _;

4 12 4

3 3

4 15 4

4 2 2

   

 x x

x

; 4x2153x2x312

0 x

x2  ;





    

        

1 0

1 0 0 1

x x

x

0 100 x 21 x

4) 4 2  Cambio:x2 z  x4 z2 z221z1000

    

 

   

 

 

   

vale) (no 4

5 25 2

29 21 2

841 21 2

400 441 21

z

x z

z Dos soluciones: x15, x2 5









3 1 x x 5 4 x x

5)     ;

3 5 4

2 2 _x x x

x     ; 3x2 12x15x2x

0 15 x 13 x

2 2   ;

    

         

   

 

2 15 4

30 1 4

17 13 4

289 13

4

120 169 13

x x

x

0 49 x 48 x )

6 4 2  Cambio :x2 z  x4 z2 z2 48z490

    

 

   

   

  



vale) (no 1

7 49

2

50 48 2

500 2 48 2

196 304 2 48

z

x z

z Dos soluciones: x17, x2 7

1 x 2 16 x 3

(4)

    

      

 

   

4 5 8 10 3 8

17 7 8

289 7

8 240 49 7

x x x

Comprobación:

vale. sí 3 5

25

3    

 x

x

vale. no 4

5 2

7 2 7 4 49 4

5 

      

 x

x

Hay una solución: x 3

3 x 5 x

8)    ; x5 3x; x59x26x; 0x25x4

  

 

            

4 1 2

3 5 2

9 5 2

16 25 5

x x x

Comprobación:

vale sí 1 3

1 2 1 4

1        

 x

x

vale no 4 3

5 4 1 4 1

4         

 x

x

Hay una solución: x1

3 14 2 x

x 2 x

x 4

9) 

 

 ;





























2



2



3

2 2 14 2 2 3

2 3 2 2 3

2 12

 

    

 

 



x x

x x x

x x x x

x x x



4



14 6 3 24

12x2 x x2 x x2 ; 15x218x14x256; x218x560

  

   

 

  



4 14 2

10 18 2

100 18 2

224 324 18

x x x

6 11 4 x

2 x 3

10) 



 ;



















4



6 4 11 4 6

12 4

6 4 18

  

   

x x

x x x

x x

; 18x7212x11x244x; 011x2 14x72

    

      

  

  

  

11 36 22

72 2 22

58 14 22

3364 14

22

3168 196 14

x x x

4 5 1 x

2 x 1 x

2

11) 

  

 ;































1



1



4

1 1 5 1 1 4

2 1 4 1 1 4

1 8

 

    

    



x x

x x x

x x x x

x x

; 8x84



x23x2

 

5x2 1



5

5 8 12 4 8

8x  x2  x  x2 ; 0 x24x21;

    

    

  

     

7 3 2

10 4 2

100 4

2 84 16 4

x x x

12 x 4 4 x

12)    ;



x4



2 4x12; x2168x4x12; x2 4x40;

Comprobación:x2  2 4  síesválida

2 11 1 x

4 x

1 x 2

13) 

  

;





















1



2 1 11 1 2

8 1

2

1 1 2 2

  

  

 

x x

x x x

; 2



2x2 3x1



8x11x211x x

x x x

x 6 2 8 11 11

4 2    2 ;07x213x2;

    

      

 

  



7 1 14

2 2 14

15 13 14

225 13

14 56 169 13

x x x

14) Sacamos factor común:x4x39x29xx



x3x29x9



0

: 9 x 9 x x os

Factorizam 3 2 

x2 – 9 = 0  x =  3

2 2

4 2

16 16 4

(5)







      

    

   

    

         

3 0

3

3 0

3

1 0

0 3 3 1 9

9 2 3 4

x x

x

x x x x x x x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁0, x₂ 1, x₃ 3, x₄ 3 15) Factorizamos:







    

    

   

            

3 0

3

4 0

4

1 0

3 4 1 12 11 2 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x₁1, x₂ 4, x₃ 3 16) Sacamos factor común:x4x34x24xx



x3x24x4



0 Factorizamos x3 x2 4x4:







      

    

   

              

2 0

2

2 0

2

1 0

0 2 2 1 4

4 2 3 4

x x

x

x x x x x x x x

Por tanto las soluciones de la ecuación son:x₁0, x₂1, x₃2, x₄2

17) Factorizamos:







    

    

   

            

2 0

2

3 0

3

1 0

2 3 1 6 5 2 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁1, x₂3, x₃2

(6)







    

    

            

4 0

4

1 0

1

1 0

4 1 1 4 4 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁1, x₂ 1, x₃ 4

2 7

2 1 2 2 19)

x x 1

x _ _ _

;

2 7 2

1 2 2 2

  

x x x

Hacemos el cambio de variable: 2xy :

2 7 1 2 yy  y

; 2 2 2 2 7 3 2 7 2 0

   

 

 y y y y

y

    

          

3 1 6 2 2 6

5 7 6

25 7 6

24 49 7

y y y

1 2

2

2    



y x x

58 1 2 3 3

3 1 3

1 2 3

1

2

2 ,

log log log

log x

y   x      



Hay dos soluciones: x 1; x21,58

20 

log



x



3 

2



log 4



log x ; log [4



x



3 

2

]



log x ;

4x 32x  4x2 6x 9x

4x2  24x  36  x  4x2  25 x 6  36  0 ;

    

         



4 9 8 18 4 8

7 25 8

49 25 8

576 625 25

x x

x

4 9 ; 4 : soluciones dos

Hay x₁ x₂ 

21) x437x2360 ; Cambio: x2z  x4 z2z237z360

  

   

 

  



1 36 2

35 37 2

1225 37

2

144 1369 37

z z z

1 1

6 36

36 36

2 2

        

   

  

 

x x

x z

x x

x z

Hay cuatro soluciones: x1 6, x21, x3 1, x4 6

22)2ln



x1



ln

 

2x ln 2; ln



x1



2ln

 

2x ln2;









2 2

1 2

2

12 2

   



x x ln



x1



2 4x  x22x14x  x22x10; 1

2 2 2

4 4 2

    

x ; Hay una única sol: x 1 23) 5x4 2x1 5x4



2x1



2 5x44x24x1 04x2x3

    

            

4 3 8

6 1 8

7 1 8

49 1 8

48 1 1

x x x

Comprobación:

válida Es 1

2 3 9

1     

 x

válida es No 2

1 1 2

3 2 1 4 1 4

3

       

  x

2 0

9 8 3 3

4) 2x x1  ;

 

0

9 8 3 3

3x 2 x  

: 3 cambio el

Hacemos x y 0 9y 27y 8 0

9 8 y 3

y2     2  

      

 

   

 

  



3 1 18

6 3

8 18 48

18 21 27 18

441 27

18 288 729 27

y y y

89 , 0 1 3 log

8 log 1 8 log 3 8 log 3

8 3 3

8

3

3     

    

(7)

1 3

1 3 3

1

     

y x x

Hay dos soluciones: x11; x2 0,89

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 15 4x 6 15 6 4x 9 4x

x 12

6

x 12

x 4

x 12

15

x 6

3 3 1

x 4

5

5)             

    

    

  

2 3 2 3

4 9 4

9

2

x x x

x

2 3 ;

2 3 :

soluciones dos

Hay 1 2 



 x

x

26)log



x1



log



3x2



1; 10 1 10



3 2



2

3 1 1

2 3

1

 

        

x x

x x x

x log

29 21 29

21 20

30

1     

 x x x

x













130 x 53 x 4 0 121 x 44 x 4 9 x 9

121 x 44 x 4 1 x 9 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 x 2 11 1 x 3 27)

2 2

2

       

            

     

    

    

 

 

 

4 13 8 26 10 8

27 53 8

729 53 8

080 2 809 2 53

x x x

Comprobación:

válida Es 10

2 20 11 9 11 9 3

10        

 x

válida es No 2

13 4 13 2 2 31 11 2 9 11 4 9 3 4

13

 

      

 x

28)2x12x132x40; 2 2 3 2 4 0 2

2

    

 x x

x

; Hacemos el cambio: 2xy

2 3 4 0

2  y y  

y

; y4y6y80  y80  y8; 2x 8  x3

























0 3 x 14 x 8 0 6 x 28 x 16 0 6 x 28 x 16 6 x 12 x 6 x 16 x 16 x 6

1 x 2 x 6 x 16 x 16 x 6 1 x x 6

1 x 6 1 x x 6

1 x x 16 1 x x 6

x 6 x

1 x 6 16 1 x

x 29)

2 2

2

       

         

         

 

 

   

    

   

     

  

     

2 3 16

24 4 1 16

4

16 10 14 16

100 14 16

96 196 14

x x x

2 3 ;

4 1 : soluciones dos

Hay 1 2

  

 x

x



x 1



1 1

x x 1

x 1 x x

3 3

3 1

3 3 30)

2 2

     

 

 

 ; x2x1x11 x22x10: 1 2 2 2

4 4 2

     x

Hay una única solución: x 1

0 3 2 2

2 )

31 x

x 1

 

 Cambio: 2x z. Así,

 2z3 0

z 2 3 0

2  

z z z23z20

    

    

         

0 1

2 1

1 2

2 2

2 1 3 2

8 9 3

x z

z

x x

32)





  

   

               

3 x

2 x

2 24 1 1 x 0

6 x x x

3 7 x 2 x 1 x 3 7 x

1 2 2 2 (novale)

(8)

SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIO 6 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente:

a)

      

 

4 2 2

3 2 3

y x

b)

    

 

  

x x y

x y

3 0 2 4

2 c)

    

  

 

0 6

2 2

x y

x x

y

_d)

    

 

  

7 3

2 2 3

1

y x

e)

    

  

 

0 6 2

3 2

x y

x x y

Solución:

a)

 Resolvemos el sistema analíticamente: y x

y x

      

 

      

 

      

 

8 8

18 3 2

2 8 2 2

6 18 6 3 6 2

4 2 2

3 2 3

2x38x 18; 2x 24 3x 18; x6 ; x 6  y 8  6  2 ; Solución: x 6; y  2

 Interpretación gráfica:

      

    

         

x y y

x

x x

x y

y x

8 4

2 2

6 3

2 3

2 6 3

2 18 3

2 3

Estas dos rectas se cortan en el punto 6, 2.

b)

 Lo resolvemos analíticamente:

2 x x 0 ; x 3 x 2 x 4

2 x 4 y

x 3 x y

0 2 x 4 y

2 2

2 _ _ _ _ _ _

 

    

 

  

    

    

          

2 1

10 2

2 3 1 2

9 1 2

8 1 1

y x

x

    

 

    

2 y

1 x y 10 y

2 x :

2 2

1 1

Solución

 Interpretación gráfica: Larecta y laparábolasecortanenlospuntos(2,10) y ( 1, 2). 3

2 4

2  

    

 

x x y

(9)

c)

 Resolvemos analíticamente el sistema:

0 6 ;

0 6 2

2 0

6 2

2 2

   

  

       

 

x x x

x x

x x y x

y

x x y

    

   

          

8 2

3 3

2 5 1 2

25 1 2

24 1 1

y x

x

   

 

    

8 y

2 x y 3 y

3 x :

2 2 1

1

Solución

 Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,3) y ( 2,8). 6

2

 

   

 

x y

x x y

d)

 Resolvemos analíticamente el sistema:

   



       

 

  

    

 

  

7 3

12 3 2 2

7 3

6 12 6 3 6

2 2

7 3

2 2 3

1

y x



7 3



14

3 2 ; 3 7 7

3

14 3 2

   

     

 

x x

x y

y x

4 3 7 1 3 7 ; 1 ; 7 7 ; 21 14 9 2 ; 14 9 21

2x  x x x   x x y     

Solución: x  1; y 4

 Interpretación gráfica: Estasdosrectassecortanenelpunto(1,4). 3

7 7

3

3 2 14 14

3 2

    

   



   



x y

y x

x y

y x

e)

 Lo resolvemos analíticamente:

0 6 5 ;

0 6 2 3

3 0

6 2

3

2 2

   

  

       

 

x x x

x x

x x y x

y

x x y

    

   

          

2 2

0 3

2 1 5 2

1 5 2

24 25 5

y x

x

        

     

2 2 y 0 3 :

2 2

1 1

y x

y x Solución

 Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,0) y (2, 2) 6

2 3

2

 

   

 

x y

(10)

EJERCICIO 7 : Halla las soluciones de estos sistemas: a)            x y y x x y 4 1 3 b)          3 2 0 3 y x y x

x

c)

         4 3 3 2 y x y

x d)

          3 6 2 y x y x e)            2 5 1 1 5 2 1 y x y x f)         2 2 1 2 y log x log y log x log g)        6 32 2 ln y ln x ln y x h)          ₈ 2 0 2 2 x y y log x log i)





_        1 2 2 y x log x y j)           2 8 2 2 1 log x log y log y x k)        1 9 y log x log y x l)           2 3 2 2 xy x y m)            1 3 2 1 3 y x y x n)          1 2 6 1 1 1 y x y

x ñ)

         6 2 2 0 2 y x y x           6 5 1 1 1 2 o) y x y x         6 13

p) 2 2

xy y x           1 2 5 q) 2 _y y x x y Solución: a) x x x x x y x y y x x y                    1 3 4 1 3 1 3 4 1 3





2

1 2 5 4 ; 1 2 5

4x  x x  x

1 ; 4 4 ; 4 1 4 5

4 2 2 2

 

  

 x x x x

x ;               4 1 válida no 1 1 y x x x

Hay una solución: x 1; y 4

b) 9 x x 6 ; 3 3 x x 2 3 x y 3 y x 2 0 x y 3 3 y x 2 0 y x x 3 2 2 2 2                          3 3 2 6 2 36 36 6 ; 9 6 0 2         

x x x y Solución: x 3; y  3

c)



















x



x x x x x x x x x x y x x y x y x                             4 4 3 4 3 4 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 2 ; 0 8 11 3 ; 3 12 3 2

8 2 2

     

 x x x x x x

(11)

d)

x x

x x y

y x

 

         

         

 

2 3

3 2

6 3

2 6

3 6 2



32x



2 

 

x 2; 94x2 12x x; 4x2 13x90

      

  

  

      



4 1

válida no 4

9 8 18

8 5 13 8

25 13 8

144 169 13

y x

x x

    

  

      

2 3 4 9 2 3 4 9 2 3 que puesto válida, es no 4 9 solución

La x

La única solución del sistema es x 1, y 4.

e)





x y xy xy

y x xy

x y

y x

1 1

5 5

2 2 5

5 2 2

2 5

2 5 1 1

5 2 1

  

 

 

    

 

 

      

 

2 5 2 0 ; 2 2 5 ; 2 2

5  x x2  x2  x x

x

    

 

  



  

       

2 2

1 4 2

2 1 2

4 3 5 4

9 5 4

16 25 5

y x

x

    

 

    

 

2 2 1 y 2 1 2 : soluciones dos

Hay

2 2

1 1

y x y

x

f)





     

 

    

 

2 2

2 2 2

1 2

y log x log

y log x log y

log x log

y log x log

1 0

0 5

2 2

4

   

   

 

x x

log x

log

y log x log

Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda:2logxlogy1  logy1  y10 Por tanto, la solución es x 1, y 10.

g)

 

_

₅

_

₆

5 6

2 2 6 32

2 5

 

 

   

 

     

   

 



x x

x y xy

y x ln xy ln ln y ln x ln

y x y

x

          

2 24 25 5 6

5 0

6

5 2 2

x x

x

    

    

        

3 2 5 y 2

x

2 3 5 y 3

x

2 1 5 2

1 5

Hay dos soluciones: x1  3, y1 2 ; x2 2, y2 3

h)

    

    

 

  

 

 

3 2 2

2 8

2

0

2 2

3 2

2 2

x y

y x y log x log y

log x log

x y x

y 3 2 2 3 0

2 3

2 2

2

    

     

 



x x x

x x y

y x

    

 

             

válida) (no 3

1 1

2 4 2 2

16 2 2

12 4 2

x

y x

(12)

i)





_

₂

_

₁ ₂ ₁₀

2 1

2

2 2

      

  

   

 

y y

log

x y

y x log

x y

    

                

4 3 2

7 1 2

49 1 2

48 1 1 0

12

2

y y y

y y

7 2 9

3    



y x

14 2 16

4    

 

y x

Hay dos soluciones: x1 7, y1 3 ; x2 14, y24

j)

x 2 y 2

x y

8 2 2

2 log x y log

8 2 2

2 log x log y log

8 2 2

y 1 x y

1 x y

1 x

     



 

    

  

    

 

 

 



 

2 8 2

2 8

2

2 1 2 2

 

   

 x x x

x

; Cambio: 2x z  2zz2 8 z22z80

    

             

4 2 2

6 2 2

36 2 2

32 4 2

z z z

2 1

2 2

2      



z x x y

vale No 4

2

4   

 

z x

El sistema tiene una única solución: x 1, y 2 k)

    

  

     

 

       

    

 

y x

y x log

y x

y log x log

y x

10 9

1 9

10 1

9 9 10

9y y   y  y  x

1 ; 10 : solución una

Hay x y

l) 2 2 3

3

2

3 2

2 2

2

                

       

 

 _x

x x

y x y

xy x

y _; 4 2 ₃ ₄ 4 ₃ 2 ₀ 4 ₃ 2 ₄

2 x   x  x  x  x  x

0 4 3

:

Cambio x2 z  z2 z 

    

  

               

vale no 1

2 4 4

4

2 5 3 2

25 3 2

16 9 3

2

z

x x

z z

1 2

    

    

y x

1 ; 2

1 ;

2 : soluciones dos

Hay

2 2

1 1

  

  

y x

m) 3 1 1 3 2

3 1

2 1 3 1

3

2 1

3 _ __ _ _

   

 

   

    

 

 _x _x

x y

y x y

x

y x

1 1

3 3 3 1 3

3 1

3 x  x  x   x  x x



x



x x x x x

x1  12  1 22 1  0 2 





    

   

    

2 1

válida no 0

0 1

y x

x x

x

Hay una única solución: x1; y 2

n) 6



2 1



6



2 1



1 2

6 6 1 2

6 1 1 1

    

   

 

    

 

x x x x

y x

xy x y y

x y

x 12 6 6 2 2 0 2 2 7 6

      

 x x x x x

x

    

   

          

2 2

3 4 6

3 2

4 1 7 4

1 7 4

48 49 7

y x

x

2 y ; 2 3 x ; 3 y ; 2 x : soluciones dos

(13)

ñ)

 

2 2 6 6 2 2 2 6 2 2 0 2 2

2 _  

              

 _y _y

y y y x y x y x

Hacemos el cambio: 2yz

                       3 2 2 5 1 2 25 1 2 24 1 1 0 6 2 z z z z z 2 1 2 2

2      



z y y x

válida no 3

2

3   

 

z y

Hay una solución: x 2; y 1

y 2 1 x )   o 













0 6 23 10 10 5 12 6 6 2 1 5 2 1 6 6 5 6 6 5 6 6 5 1 1 2 2                        y y y y y y y y y y xy x y xy x y y x                   5 2 10 3 20 6 3 2 20 17 23 20 240 529 23 x y x y y 0 36 x 13 x x 13 36 x 13 x 36 x x 6

y 4 2 4 2

2 2            p) 0 36 13 : Así . :

Cambio 2 2

  

z z z

x                      2 4 3 9 2 5 13 2 25 13 2 144 169 13 x z x z z                         3 2 3 2 2 3 2 3 : 4 4 3 3 2 2 1 1 y x y x y x y x Soluciones



5 x

 

2 5 x



1

x  2  

q) x25x10 x102 x1

3 , 4 2

16

8 x   x   x  y 

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

(14)

b)                                                              0 x 7 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 2 ª 3 ª 2 ª 1 2 z x 2 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 4 z y x 8 z 3 y x 2 6 z 2 y x 3 2 z 2 y 0 x 2 z 2 x 3 6 y 2 x 5 2 z 0 x                        

c) x 3 , y 1 , z 1

1 4 z x 2 y 3 z 2 x 1 z 2 z 2 2 z x 4 z y x 2 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 6 z y x 2 6 z 2 y x 3 4 z y x 2                                                                 : Solución

d) 

                                                                5) ( : ª 3 ª 3 ª 2 ª 1 5 z 5 y 5 4 z 4 y 5 2 z y 2 x ª 1 2 ª 3 ª 1 2 ª 2 ª 1 1 z 3 y x 2 2 z 2 y x 2 3 z y 2 x ª 3 ª 1 ª 2 1 z 3 y x 2 3 z y 2 x 2 z 2 y x 2 1 z 0 y 2 x 2 z y 2 3 x 0 z 1 y 1 z 1 z y 1 z 3 z y 2 x                                         e)

 

                                           5 : 3 3 2 1 15 5 5 13 3 5 6 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 7 3 6 2 2 ª ª ª ª z y z y z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x 1 2 0 : 0 2 4 6 2 2 6 2 1 3 3 1 2 2 3 2 2 6 2 2                                            

 Solución x , y , z

z y x z y z z y z z y x

f) 

                                   2 3 5 4 2 1 3 1 2 2 1 4 2 1 3 2 2 2 y z y z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x 1 1 2 2 2 1 5 8 3 5 4 3 2                z y x y z y 1 2 1

: x , y , z Solución

g)   

(15)

h)    

   

 

  

  



  

    

 

  

   

  

ª ª ª ª

z y

z y x

ª ª

ª ª ª

z y x

3 3 2 2

1

5 2

12 5 2

7 2

1 2 3

1 2

1

9 2 2

5 3

7 2

2 1 2

:

2 4 1 7 2 7

1 4 5 2 5

2

5 2

2 7 2

   

      

      

       





      

  

  

z y x

z y

z

z y

z z y x

i)   

 

    

   

  



 

 

    

   

  

  

ª ª ª ª

z y

z y x

ª ª

ª ª ª

z y x

3 3 2 2

1

7 3 2

5 3 4

6 2

1 3

1 2 1

1 1 3

6 2

3 1 1

:

1 6 1 6 2 6

1 2

9 7 2

3 7

3 3 9

7 3 2

9 3

6 2

   

   

    

 

      

  

   

  

 

       

   

   

z y x

z y

z

z y

z z y x

INECUACIONES

EJERCICIO 9 : Resuelve:

2 1 2

3 1 2

a) x  xx

6 x 3 2 3

1 x

b)    

6 1 3

1 2

4

c) x x 

0 3

d) x2 x





2

3 1 3

3 2

e) x x x Resuelve f) 7 0.

3

x x

  

g) 2

2x5 x 2x16 h) x ₂2 0

x



 i) 2

3 6 8 2

x  x   x

Solución:



2x 1



12 6x 3



x 1



2

)     

a  4x2126x3x3x11  intervalo



,11





x 1



12 3 x

2 )

b     2x2 123x3x17 

  

 

  

 ,

3 17 Intervalo 3

17 x



x 4

 

2 x 1



1

3    

c)  3x122x21x15  Intervalo



,15



.

d) x2 + 3x = 0  x(x + 3 ) = 0  x = 0 ; x = -3

-3 0 Solución: x  (-,-3] U [0,+)



x 3

 

x 1



3



x 2



2     

e) 2x6x13x6 12x 

  

  

  

 

2 1 , Intervalo 2

1

x

f) Igualamos por separado numerador y denominador a cero x + 7 = 0  x = -7 (pintado)

3 – x = 0  x = 3 (sin pintar)

(16)

g) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones:

2 2

0x 2x162x5  x 4x21 0

   

      

2

7

4 16 84 4 100 4 10

4 21 0

2 2 2

3

 

x x x



La solución es

_

_

_

_

Luego la solución a la inecuación es  , 3 U 7,   . -3 7

h) Se igualan, por separado, numerador y denominador a cero: x + 2 = 0  x = -2 (pintado)

x2 = 0  x = 0 (sin pintar)

Por tanto, la solución es



,2 .



-2 0 i) x23x682x  x25x140

2

Resolvemos la ecuación x 5x140:

2

5 25 56 5 9

2 2

7

x      



 

Solución: x  (-,-7) U (2,+)

-7 2

EJERCICIO 10 : Resuelve e interpreta gráficamente:

a) 2x – 3 < 5 b) x240 c) 3x15 d) x2  x  6  0 e)  2x  4   2 f) 2x  1 > 5 Solución:

a)

 Resolvemos la inecuación:2x35  2x8  x4 Soluciones:



x/x4

 

 , 4



 La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y 2x 3 queda por debajo de la recta y 5; es decir, 2x 3  5:

b)

  

    

     

2 2 4

4 0

4 2

2

x x x

x x

La parábola yx2 4 corta al eje X en x2 y en x 2.

(17)

c)

 Resolvemos la inecuación:3x15  3x6  3x6  x2





2



2



: x/ x ,

Soluciones   

 La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y3x 1, va por encima de la recta y5; es decir, 3x 15:

d)

    

                 

3 2

2 5 1 2

25 1 2

24 1 1 0

6

2

x x x

x x

La parábola yx2x 6 corta al eje X en 3 y en 2. En el intervalo [3, 2], toma valores negativos o nulos.

Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [3, 2].

e)

 Resolvemos la inecuación: 2x 4  2   2x 6  2x 6  x 3

Soluciones: { x / x 3 }  [3, )

La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta

y2x 4 va por debajo (coincide) con la recta y2. Es decir, 2x 4 2

f)

 Resolvemos la inecuación: 2x 1 > 5  2x > 6  x > 3 Soluciones: {x / x > 3}  (3, )