Tema 05 - Medidas de tendencia central

BLOQUE TEMÁTICO II: La estadística nos ayuda

Tema 4:

Definición y conceptos básicos de estadística.

Tema 5:

Medidas de tendencia central.

Tema 6:

Medidas de dispersión.

Tema 7:

Medidas de posición y otras.

Medidas de tendencia central

TEMA 5

Introducción

Medidas de tendencia central

Introducción

La información suministrada de una tabla de distribución de frecuencias se pueden resumir en un conjunto de medidas que la caracterizan. El conocimiento de estas medidas facilita, además, la comparación entre distribuciones de frecuencias correspondientes a poblaciones o muestras diferentes.

Las medidas de una distribución de frecuencias se pueden clasificar en los siguientes grupos:

Introducción

b) Medidas de dispersión: sirven para medir el grado de esparcimiento de los datos de una distribución.

c) Medidas de concentración: Aunque parece desprenderse a primera vista su analogía con las medidas de dispersión, debemos señalar que su enfoque es completamente diferente.

d) Medidas de forma: dos distribuciones de frecuencias que posean un mismo valor central e idéntico grado de dispersión, pueden diferir, sin embargo, en lo que respecta a la forma (o aspecto) de sus histogramas (o diagramas de barras). Por ello, las medidas de forma sirven para caracterizar de manera más precisa a una distribución de frecuencias.

Medidas de Centralización.

la centralización la dispersión la concentración la simetría

Indicadores o Estadísticos valoran aspectos de la distribución

obtener información cuantitativa sobre alguna característica de un colectivo

manejar gran cantidad de datos

simplificar el estudio

indicadores o medidas que nos informan

acerca de la característica estudiada directa y suficientemente

Medidas de tendencia central

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Medias ( Aritmética, Geométrica y Armónica ) Mediana y Moda. Las medidas de tendencia central más importantes son: a) Las medias: aritmética, geométrica y armónica.

b) La mediana. c) La moda.

Medidas de tendencia central

Las características más importantes de las medidas de tendencia central y en general de las medidas de posición son:

1)Debe estar perfectamente definido el promedio para poder efectuar los cálculos en cualquier distribución.

2)Debe basarse en todas y cada una de las observaciones de la distribución.

3)No debe tener un carácter matemático muy abstracto.

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

La media aritmética: Se define como el cociente entre la suma de todos los valores observados de la variable y el número de observaciones. Si uno o varios valores de la variable x_i se repiten n_i veces, también habrá que considerar esas repeticiones de la suma. Por ello las expresiones que va adoptar son distintas para cada tipo de distribución.

En las distribuciones de Tipo I, su expresión es:

Ej: Xi= 20, 30, 40, 50. x= 20+30+40+50/ 4 = 35

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

X =

i=1

n

x

i

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

En las distribuciones de tipo II y III su expresión es:

donde las xi son, o bien valores directamente observados (en las

distribuciones de tipo II ) o bien las marcas de clase ( en las distribuciones de tipo III ), siendo k el número de valores o de intervalos distintos, según se trate de distribuciones de tipo II, o de tipo III respectivamente.

Conviene hacer la salvedad que en las distribuciones de tipo III, si cada marca de clase no representa perfectamente al intervalo correspondiente, la Media Aritmética calculada diferirá de la que se hubiera obtenido sin realizar agrupación de los datos.

:

X =

i=1

n

x

i

n

i

n

i

i=1

n Siendo: _i=1 n

A la primera expresión de la media ( tipo I ) se le denomina frecuentemente media aritmética simple, mientras que a la segunda recibe la denominación de media aritmética ponderada, y se debe a que en ella cada valor de la variable x_i aparece ponderada por su frecuencia correspondiente ni. Así pues, ponderar

quiere decir asignar a cada valor de la variable la importancia que tiene dentro de la distribución.

Ejemplo: a)Tipo II:

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

xi ni

18 5 19 3 20 7 21 4 22 1 20

=

393

20

= 19,65

X =

i=1

n

x

i

n

i

n

i

i=1 n

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

Li –1 - Li xi ni

50 – 55 52,5 7 55 – 60 57,5 8 60 – 65 62,5 10 65 – 70 67,5 12 70 – 75 72,5 7 75 - 80 77,5 6

50

xi ni 367,5 460,0 625,0 810,0 507,0 465,0

3.235

b) Tipo III.

=

3235

50

= 64,7

X =

i=1

n

x

i

n

i

n

i

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

Como se aprecia en el ejemplo anterior, se trata de una media aritmética

ponderada siempre que trabajemos en distribuciones de tipo II y de tipo III. No obstante, conviene decir que hay autores que definen la media aritmética

ponderada cuando a cada valor de la variable le asignamos una ponderación

o peso distinto (al de la frecuencia). Dentro de estas se consideran dos casos:

Media Aritmética Ponderada: en algunas distribuciones estadísticas

no todos los valores de la variable tienen la misma influencia, por ello,

a cada valor se le asigna un coeficiente diferenciador, llamado

“peso”. Para calcular la media aritmética se utilizan estos coeficientes o pesos, dando lugar a la media aritmética ponderada; de forma que:

Si la variable toma los valores x1, x2, ... xN con pesos respectivos

p1, p2, ... pN

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

xi ni xi ni

80 200 16.000 83 400 33.200 91 300 27.300

900 76.500

a) Que las ponderaciones vengan dadas de una manera objetiva:

Ejemplo: En una población reciben tres partidas de un artículo de

mantenimiento de la piscina, de manera que: 200 kg a 80 ptas./kg

400 kg a 83 ptas./kg 300 kg a 91 ptas./kg Averiguar el precio medio.

=

76500

900

= 85 pts

X =

i=1

n

x

i

n

i

n

i

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

b) Que las ponderaciones vengan dadas de una manera subjetiva: Ejemplo: Un alumno tiene las siguientes notas:

-Octubre: 5 -Noviembre: 5 -Diciembre: 6 -Ex.trimestre: 9 Averiguar la nota media.

=

43

6

= 7,16

X =

i=1

n

x

i

w

i

w

i

i=1 n

Las ponderación anterior ha sido establecida arbitrariamente por

nosotros de una manera subjetiva y se denominan wi.

xi wi xi wi

5 1 5

5 1 5

6 1 6

9 3 27

Si calculamos la media aritmética sin establecer ninguna ponderación,

sería:

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

X =

i=1

n

x

i

N

=

25

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

Propiedades de la media aritmética:

La media aritmética goza de una serie de propiedades muy interesantes, algunas de las cuales examinamos a

continuación:

1ª) La suma algebraica de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es igual a 0.

Tipo I:

(x

i

-x) =

i=1 n

i=1 n

i=1 n

x

i

-

x = nx - nx

X =

i=1

n

x

i

N

i=1

= x N

n

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

1ª) La suma algebraica de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es igual a 0.

Tipo II y III:

(x

i

-x) n

_i

=

i=1 n i=1 n i=1 n

x

i

n

i

-

xn

i

X =

i=1

n

x

i

n

i

n

i

i=1

n

= x

i=1 n

x

i

n

i

n

i

i=1 n

= x

n

i

i=1 n

- x

n

i

i=1 n

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

2ª) La media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable

respecto a una constante k cualquiera, se hace mínima cuando esa constante es

la media aritmética.

X =

i=1

n

(x

i

-k)

2

n

i

n

i

i=1

n = _i=1

n

(x

i

-k)

2

n

i

N

k = x

i=1 n

(x

i

-k)

2

n

i

N

=

n

i =

N

i=1 n

(x

i

-k-x+x)

2

i=1 n

((x

i

-x)-(k-x))

2

n

i

N

=

i=1 n

(x

i

-x)

2

n

i

N

i=1

n

(k-x)

2

+

n

i

N

=

n

i

N

i=1 n

2(x

i

-x)(k-x)

-=

i=1 n

(x

i

-x)

2

n

i

_(k-x)

2

N

i=1

n

+

n

i

N

=

n

i

N

i=1 n

(x

i

-x)

-=

2(k-x)

= i=1

n

(x

i

-x)

2

n

i

N

+ (k-x)

2 _{Se hace mínimo cuando x =k}

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

3ª) Si a todos los valores de una variable le sumamos una constante k cualquiera, la media aritmética quedará aumentada en esa constante.

(x

i

,n

i

)

X =

i=1

n

_x

i

n

i

n

i i=1 n

=

N

n

i

x

i i=1 n

(x

i

+k,n

i

)

X =

i=1 n

_(X

i

+k) n

i

n

i i=1 n

=

N

n

i

x

i i=1 n

+k

N

n

i i=1 n

= x + k

Lo mismo sucede si en lugar de sumar, multiplicamos la variable por una constante.

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

(kx

i

,n

i

)

X =

i=1

n

_kx

i

n

i

n

i

i=1

n

=

Lo mismo sucede si en lugar de sumar, multiplicamos la variable por una constante.

N

n

i

x

i

i=1 n

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

4ª) La media aritmética se va a ver afectada por los cambios de origen y los cambios de escala.

Si en una distribución de frecuencias de la variable xi definimos la siguiente

transformación:

u

i

=

x

i

- o

t

c

Siendo constantes Ot y c entonces resulta que:

x = O

t

+cu

=

i=1 n

_(O

t

+cu) n

i

n

i i=1 n

=

n

i i=1 n

O

t

+c

n

i i=1 n i=1 n

n

i i=1 n

u

i

n

i

= O

t

u

=

+c

X =

i=1

n

_x

i

n

i

n

i

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

= O

t

+

cu

X =

x

Cambio de origen

u

=

x

i

- o

t

Cambio de escala

u

i

=

x

i

- o

t

c

/c

Cuando c=1, es evidente que x = Ot+u . Se dice entonces que se ha

realizado un cambio de origen de trabajo. Esta operación facilita los cálculos para la obtención de la media aritmética y de otras medias

estadísticas, como se verá más adelante, cuando la variable original ( xi )

toma valores grandes, pero consecutivos. Se acostumbra a tomar como

origen de trabajo el valor central de la distribución si el número de

valores es impar o bien uno de los valores centrales cuando el nº de valores es par.

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA: FORMULAS REDUCTORAS

= O

t

+c

u

X =

C = 1 y Ot distinto de cero Cambio de origen

X =

= O

_t

+

u

xi ni ui= xi- Ot uini

15222 4 15223 10

15224 14 15225 10 15226 2 40

Medidas de tendencia central

xi ni ui= xi- Ot uini

15222 4 -2 -8 15223 10 -1 -10 15224 14 0 0 15225 10 1 10 15226 2 2 4

40 -4 Ejemplo:

= O

t

+

u

X =

Valor central Ot

= O

t

+

u

X =

x =15224-0,10 = 15223,9

u =

i=1

n

n

i

i=1 n

u

i

n

i

=

40

-4

= -0,10

Cuando Ot = 0, es evidente que x = cu. Se dice entonces que se ha realizado un cambio de escala. Esta operación facilita los cálculos para la obtención de una media aritmética, cuando los valores de la

variable son grandes y tienen un máximo común divisor también

grande; generalmente se hace a este último igual a c.

Medidas de tendencia central

= O

t

+c

u

X =

C distinto de 1 y Ot igual a cero Cambio de escala

X =

= u

C

C > 1 C < 1

xi ni ui = xi /c uini

2000 3 5000 5 9000 7 14000 5

20

Medidas de tendencia central

= u

X =

C

Ejemplo:

xi ni ui = xi /c uini

2000 3 2 6 c= 1000 ( m.c.d.) 5000 5 5 25 u= 164/20 = 8,2. 9000 7 9 63

14000 5 14 70 x= cu= 1000x8,2 = 8200 20 164

Medidas de tendencia central

C = 1 y Ot distinto de cero Cambio de origen

X =

= O

_t

+

u

x

u

= 0

C distinto de 1 y Ot igual a cero Cambio de escala

X =

= u

C

C < 1 C > 1

Li-1-Li xi ni ni= xi-Ot /c uini

50-55 52,5 7 55-60 57,5 8 60-65 62,5 10 65-70 67,5 12 70-75 72,5 7 75-80 77,5 6 50

Medidas de tendencia central

Frecuentemente es útil el realizar simultáneamente un cambio de escala y un cambio de origen, siendo aplicable, por tanto la expresión dada en el enunciado de la 4ª propiedad de la media aritmética ( ui = xiOt/c ==> x = Ot +cu ). Los casos

en que esta transformación tiene un mayor sentido son aquellos en los cuales los valores de la variable están en progresión aritmética, y la razón de esta última es grande.

Li-1-Li xi ni Ui= xi-Ot /c uini

50-55 52,5 7 -2 -14 55-60 57,5 8 -1 -8 60-65 62,5 10 0 0 65-70 67,5 12 1 12 70-75 72,5 7 2 14 75-80 77,5 6 3 18

50 22

MEDIA ARITMÉTICA: FORMULAS REDUCTORAS

Ot = 62,5

Fórmulas Reductoras: valores que toma la variable muy elevados o muchas

cifras fórmulas reductoras

Cambio de origen (suma y resta de O

x)

Ox valor arbitrario las diferencias “ xi - Ox “ sean las más manejables.

Cambio de escala (multiplicar y dividir por a₎

a constante máximo común divisor de las diferencias “xi – xi-1”

(entre cada valor de la variable y el anterior); si estas diferencias son todas iguales, este valor “a” salto de la variable.

(

)

N

n

O

x

O

X

k i i x i x

∑

=

⋅

−

+

=

1

a

N

n

a

O

x

O

X

k i i x i x

⋅

⋅













−

+

=

∑

=1

(

)

N

n

O

x

O

N

n

x

O

X

O

X

k i i x i x k i i i x x

∑

∑

= =

⋅

−

+

=

⋅

′

+

=

′

+

=

1 1

i x

i

O

x

x

₋

₌

_′

x

_i

₌

O

_x

₊

x

_i

_′

i x i

x

a

O

x

′

=

−

i x

i

O

a

x

x

₌

₊

_⋅

_′

a

N

n

a

O

x

O

N

n

a

O

x

a

O

N

n

x

a

O

X

a

O

X

k i i x i x k i i x i x k i i i x x

⋅

⋅









−

+

=

=

⋅









−

⋅

+

=

⋅

′

⋅

+

=

′

⋅

+

=

∑

∑

∑

= = = 1 1 1

Ejemplos:

Fórmulas Reductoras: a = 1

Ox = origen del trabajo (valor central)

xi ni xi - Ox (xi – Ox)ni

15222 4 -2 -8

15223 10 -1 -10

15224 14 0 0

15225 10 1 10

15226 2 2 4

40 -4

(

)

9

,

15223

1

,

0

15224

40

4

15224

1

=

−

=

−

+

=

⋅

−

+

=

∑

=

N

n

O

x

O

X

k i i x i x

a = 1

Ox = valor central

xi ni xi - Ox (xi – Ox) ni

23572 4 -3 -12

23573 10 -2 -20

23574 17 -1 -17

23575 51 0 0

23576 6 1 6

23577 210 2 20

23578 2 3 6

100 -17 Ox

(

)

83

,

23574

17

,

0

23575

100

17

23575

1

=

−

=

−

+

=

⋅

−

+

=

∑

=

N

n

O

x

O

X

k i i x i x

a = amplitud de los intervalos 5

Ox = marca de clase 62,5

Li –1 - Li xi ni xi - Ox

xi – Ox

a

xi – Ox

a ni

50 – 55 52,5 7 -10 -2 -14

55 - 60 57,5 8 -5 -1 -8

60 – 65 62,5 10 0 0 0

65 – 70 67,5 12 5 1 12

70 – 75 72,5 7 10 2 14

75 - 80 77,5 6 15 3 18

50 72

7

,

64

)

2

,

2

5

,

62

5

50

22

5

,

62

1

⋅

=

+

⋅

=

+

=

Cuando se aplican cualquiera de las transformaciones indicadas se dice que se utilizan procedimientos abreviados; las variables transformadas u_i se denominan variables auxiliares .

La aplicación de estas transformaciones, reduce notablemente los cálculos en la determinación de medias estadísticas más complicadas.

Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

Ventajas e inconvenientes de la media aritmética.

Ventajas:

1 Considera todos los valores de la variable. 2 Es fácilmente calculable.

3 Es única para cada distribución. Inconvenientes:

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Mediana: “Me” número tal que ordenados los

datos de forma creciente o decreciente la mitad son

inferiores a dicho número y la otra mitad superiores.

Una vez que los valores de la variable están ordenados de menor a mayor, se define la mediana como el valor de la variable que deja a su izquierda el

mismo número de frecuencias que a su derecha. O, dicho de otra forma, es el valor de la variable que divide a la distribución en dos partes iguales.

Designaremos a la mediana mediante el símbolo Me.

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Para la determinación de la Mediana tendremos en cuenta los distintos tipos de distribuciones.

Distribuciones Tipo I: distinguiremos dos casos, según el número de observaciones sea par o impar.

1º) Si el nº de observaciones es impar, la mediana (Me) es el valor central de la distribución.

Ej: xi : 1, 3, 6, 8, 12 Me = 6

2º) Si el nº de observaciones es Par, se considera convencionalmente como mediana (Me) La Media Aritmética de los valores centrales.

xi : 1, 3, 6, 8, 12, 15

Tipo I :

a) N impar Me = xi valor central

xi : 1, 3, 6, 8, 12 Me = 6

b) N par

xi

valores centrales xi+1

Medidas de tendencia central

MEDIANA

x

_i

+ x

_i+1

2

Me =

6 + 8

2

Me =

= 7

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Distribuciones Tipo II.

Para la determinación de la mediana se calcula en primer lugar, las frecuencias acumuladas N_i. En segundo lugar se calcula la mitad de las

frecuencias absolutas totales, es decir, la mitad del número de casos. En tercer lugar se observa cual es la primera

frecuencia acumulada (N_i) que iguala o supera a la mitad del nº total de casos u observaciones de la distribución (N/2), distinguiéndose 2 casos:

1º) Si ese primer N_i, supera a N/2, entonces la mediana es el valor de la variable x_i que corresponde a dicho N_i.

Ejemplo:

x_i n_i N_i N/2 = 20/2 = 10

1 1 1 El primer N_i que supera N/2, es N_i=11, 3 3 4 al cual le corresponde x_i = 5, por tanto 5 7 11 resulta que Me = 5.

7 3 14

9 6 20

20

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Medidas de tendencia central

MEDIANA

2º) Si ese primer N_i iguala exactamente a N/2, entonces se toma convencionalmente como mediana, la media aritmética de los valores de la variable X_i y X_i-1, que corresponden a dicha N_i y a N_i+1.

Ejemplo:

x_i n_i N_i

1 1 1

3 2 3

5 7 10

7 6 16

9 4 20

20

N/2 = 20/2 = 10

N_i Mayor o igual que N/2?.

El N_i que iguala, en este caso a N/2 es N_i = 10.

Por tanto, según convenio: Me = (5+7)/2 = 6

x

_i

+ x

_i+1

2

Me =

5 + 7

2

=

= 6

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Distribuciones Tipo III.

En este tipo de distribuciones hay que realizar el mismo procedimiento que en las anteriores, es decir, también es preciso calcular primero las

frecuencias acumuladas (N_i). Segundo, calcular el valor de, o lo que es lo mismo, la mitad de las frecuencias totales o número de casos u

observaciones (N/2). Tercero, se observa cuál es la primera N_i que supera o iguala a N/2, distinguiéndose 2 casos:

Medidas de tendencia central

MEDIANA

1º) Si ese primer N_i supera a N/2, entonces el intervalo de la mediana es el L_i-1-L_i , que le corresponde a dicha N_i. Ahora bien, si deseamos obtener un valor concreto de la mediana, es preciso adoptar alguna hipótesis sobre la distribución de la variable dentro del intervalo en el cual se encuentra; en general se admite que dicha distribución es uniforme.

Como la mediana se encontrará dentro del intervalo L_i-1-L_i , podemos expresar:

Me= L_i-1+w (0<w<C_i) ----> tendrá un valor positivo menor que la amplitud del intervalo.

Tipo III

ni

Ni-1

N / 2 Ni

Li-1 W Me = xi? L

i

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Si hasta el intervalo anterior había acumuladas N_i-1(N_i-1<N/2) frecuencias, es preciso añadir a L_i-1 la parte proporcional del intervalo L_i-1-L_i , que se corresponde a las (N/2-N_i-1) observaciones que nos faltan para llegar a la mediana. Esta cantidad a añadir es la que hemos designado por w.

Bajo el supuesto de uniformidad, siendo c; la amplitud del intervalo L_i-1-L_i y (N_i-N_i-1)= ni el total de frecuencias que se corresponden a dicho intervalo, podemos establecer la siguiente regla de tres:

c_i --- N_i- N_i-1 w --- N/2 - N_i-1

Medidas de tendencia central

MEDIANA

de donde

Por tanto

La regla de tres se podía haber planteado de esta otra manera para calcular directamente la fórmula de la Me (por interpolación), siguiendo con la hipótesis de uniformidad.

c_i --- N_i- N_i-1 w --- N/2 - N_i-1

N/2 - N_i-1

N_i- N_i-1 ci

N/2 - N_i-1

n_i ci =

M_e = L_i-1 + w = L_i-1 + N/2 - Ni-1

n_i ci Tipo III

Medidas de tendencia central

MEDIANA

L_i-1-L_i N_i-1-N_i

Me - L_i-1 N/2 - N_i-1

Me - L_i-1 = N/2 - Ni-1

N_i-1-N_i Li-Li-1

Me - L_i-1 = N/2 - Ni-1 N_i-1-N_i ci Tipo III

Me = N/2 - Ni-1 N_i-1-N_i ci L_i-1+

ni

Ni-1

N / 2 Ni

Li-1 W Me = xi? L

i

L_i-1- L_i n_i N_i 2º) N/2 = 50 0-2 14 14 3º) N_i>N/2 ?

2-4 16 30 N_i = 58 >N/2 = 50

4-6 28 58

6-8 24 82

8-10 18 100 100

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Tipo III

Ejemplo:

Me = N/2 - Ni-1 N_i-1-N_i ci L_i-1+

Me = 50 - 30

28 2 4+

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Tipo III

También se puede determinar gráficamente la mediana utilizando el polígono acumulativo de frecuencias, así:

0 20 40 60 80 100 120

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Tipo III

N/2 N

L_k N_i

N_i-1

L_i-1 Me L_i

A B C

D E

M_e = L_i-1 + w

w

M_e = L_i-1 + AB AB

AC

EB DC =

AB = EB_DC AC

w = N/2 - Ni-1

N_i - N_i-1 ci

Geométricamente, para distribuciones tipo III, la Me es el valor cuya vertical

divide al histograma en dos partes de igual superficie. hi

xi

Me

Me = N/2 - Ni-1 N_i-1-N_i ci L_i-1+

Medidas de tendencia central

MEDIANA

2º) Si es primer N_i iguala exactamente a N/2, entonces, la mediana es

directamente L_i, es decir, el límite superior del intervalo a que corresponde dicho N_i.

Medidas de tendencia central

MEDIANA

Tipo III

L_i-1- L_i n_i N_i 2º)N/2 = 50

0-5 24 24 3º) N_i mayor o igual a N/2? 5-10 26 50 N_i = 50 = N/2 = 50

10-15 30 80 Me = L_i ; Me = 10 15-20 20 100

100

ni

Ni-1 Ni = N / 2

Li-1 Li = Me

ci

Distribuciones Tipo I

N número impar existe un único valor de la

variable en el centro de la

distribución y es la Me.

N número par la Me es la media aritmética de los

dos valores centrales.

Distribuciones Tipo II tabla con frecuencias absolutas acumuladas;

observar primer valor de variable para el cual la frecuencia absoluta acumulada iguala o supera a “N/2” y se procede como en las de tipo I, según “N” par o impar.

Distribuciones Tipo III se considera el valor “N/2” y se busca en la

columna de las frecuencias absolutas acumuladas el primer valor de la variable que iguale o supere a “N/2”, el intervalo en que esto ocurre es el intervalo

mediano. Si este intervalo es Li-1 – Li, la Me = Li-1 +

Tipo III: localizada la 1ª Ni ≥ N / 2

Si 1ª Ni = N / 2: Me = Li

Si 1ª Ni > N / 2 n

i

Ni-1

N / 2 Ni

Li-1 W Me = xi? L

i

ci

Me = Li-1 - L

ni = Ni - Ni-1

ci = Li - Li-1

Me = Li-1 + W ¿W?

ci ni

W N / 2 – Ni-1

Me = N/2 - Ni-1 n_i ci L_i-1+

W = N/2 - Ni-1 n_i ci

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Medidas de tendencia central

MODA

Es aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia. Si existen varios valores de la variable con idéntica frecuencia y está además es la mayor, entonces la distribución será plurimodal, es decir, con varias modas.

Para determinar el valor de la variable que se presenta con mayor

frecuencia es preciso, lógicamente, que los datos estén agrupados (es decir, en una distribución de frecuencias o tabla estadística Tipo II y Tipo III, donde los valores de la variable aparecen agrupados por número de veces que se repiten; su frecuencia). Por esta razón no tiene sentido de moda en

distribuciones de Tipo I.

En este tipo de distribuciones el cálculo de la moda es inmediato. Ejemplo:Distribución Unimodal.

x_i n_i

1 2 M_o = 3, ya que su frecuencia 2 3 n₃ = 5, que es la mayor de la 3 5 distribución.

4 2

Medidas de tendencia central

MODA

Distribución Bimodal.

x_i n_i

16 1 Se presentan 2 modas-->bimodal:

17 8 Mo = 17

18 3 Mo = 20

19 2 Estos valores presentan idéntica 20 8 frecuencia (n_i = 8), que es la mayor 21 2 de la distribución.

Medidas de tendencia central

MODA

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

En este tipo de distribuciones vamos a distinguir dos casos, según la amplitud de los intervalos sea constante o no.

1º) Con intervalos de amplitud constante:

En primer lugar, se determina el intervalo modal, es decir, el intervalo que presenta mayor frecuencia. En segundo lugar es preciso adoptar alguna hipótesis acerca de la distribución de las frecuencias dentro del intervalo modal. Se adopta la hipótesis siguiente.

HIPÓTESIS: Dentro del intervalo modal, la moda se encuentra en un punto para el cual las distancias a los extremos inferior y superior del

“w” valor que con relación a la amplitud “ci”, del intervalo modal,

debe de estar en la misma proporción en que la altura “hi+1” esté

con relación a la suma de las alturas “hi-1 + hi+1” de los intervalos

anterior y posterior al modal; es decir:

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

w

Mo

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

c_i la amplitud de los intervalos -->

w

Mo Mo= L_i-1 + w

siendo (o <w<c_i).

Siendo L_i-1-L_i , el intervalo modal y

L_i-1 L_i

h_i-1

w

w

c_i

c_i h_i+1

h_i+1

w c_i

h_i+1 = h_i-1 + h_i+1

h_i+1

h_i-1+ h_i+1

h_i-1 h_i+1

h_{i+1 +} h_i-1

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

Siendo L_i-1-L_i , el intervalo modal y c_i la amplitud de los intervalos --> Mo= L_i-1 + w

siendo (o <w<c_i).

h_i+1 h_i-1 + h_i+1

w = c_i

Mo= L_i-1 + hi+1

h_i-1+ h_i+1 ci

w c_i

Pero por tratarse de intervalos de amplitud constante hemos igualado la altura de cada rectángulo a su frecuencia correspondiente, la expresión de la moda en el caso de distribuciones de este tipo (tipo III, con c_i=cte)la podemos transformar en:

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

Mo= L_i-1 + ni+1

n_i-1+ n_i+1 ci h_i =

n_i

c_i

Mo= L_i-1 +

n_i+1

n_i-1 n_i+1 ci c_i

c_i + c_i Mo= L_i-1 + hi+1

Li –1 - Li Ni

0 – 2 14 2 – 4 16 4 – 6 28 6 – 8 24 8 - 10 18

1º paso ¿c = cte? c = cte = 2

Imo: 4 – 6

ni = 28 (máx)

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

= 4 + 24

16+24 2 = 5,2 Mo= L_i-1 + ni+1

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

2º). Con intervalos de amplitud variable.

En primer lugar se determina el intervalo modal. En segundo lugar, también igual que en el caso 1º (c_i=cte), se adopta la hipótesis ya mencionada, es decir,

HIPÓTESIS: Dentro del intervalo modal, la moda se encuentra en un punto para el cual, las distancias a los extremos superior e inferior del intervalo, son directamente proporcionales a las diferencias entre la altura del intervalo modal y de los intervalos contiguos a dichas extremos,

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

De manera que ahora, al tratarse de amplitudes de los intervalos variables no podemos igualar la altura de los rectángulos del histograma a las

frecuencias del intervalo y por tanto debemos trabajar necesariamente con las alturas.

h_i = n_i

c_i

Cuando la amplitud de los intervalos era constante representamos el rectángulo tomando como altura la propia frecuencia ya que las amplitudes no varían y por tanto las áreas de estas son proporcionales a sus frecuencias.

Esta simplificación no la podemos realizar cuando la amplitud de los

intervalos no es constante (c_i=cte), de manera que la moda la obtendremos aplicando la expresión:

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

Mo= L_i-1 +

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

c_i la amplitud de los intervalos -->

w

Mo Mo= L_i-1 + w

siendo (o <w<c_i).

Siendo L_i-1-L_i , el intervalo modal y

L_i-1 L_i

h_i

w

w

c_i

w h_i – h_i-1

c_i-w h_i - h_i+1 =

h_i

h_i - h_i+1

h_i - h_i+1

h_i-1 h_i+1

h_i - h_i-1

h_i – h_i-1 c_i-w

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

c_i la amplitud de los intervalos --> Mo= L_i-1 + w

siendo (o <w<c_i).

Siendo L_i-1-L_i , el intervalo modal y w

h_i - h_i+1 h_i – h_i-1 c_i-w

w h_i – h_i-1

c_i-w h_i - h_i+1

= =

c_i-w+w

(h_i- h_i+1) + (h_i- h_i-1) = =

c_i

(h_i- h_i+1) + (h_i- h_i-1) =

(h_i- h_i+1) + (h_i- h_i-1)

w = ci

h_i- h_i-1 Mo= L_i-1 +

Ejemplo:

L_i-1 - L_i n_i h_i = n_i/c_i

0-4 20 20/4 = 5

4-10 100 100/6 = 16.5

10-20 180 180/10 = 18 --->1º) Intervalo modal L_i-1-L_i : 20-40 260 260/20 =13 10-20 --> h_i = 18 40-70 240 240/30 = 8 c_i = 10.

Medidas de tendencia central

MODA

Tipo III

1º paso ¿a = cte? a _≠ cte

2º paso hi

Imo: 10 – 20

hi = 18 (máx)

Mo= L_i-1 +

(h_i- h_i+1) + (h_i- h_i-1) ci = h_i- h_i-1

(18 - 13) + (18 – 16,5) 10 = 10,28 18 – 16,5

Moda: “Mo” valor de la variable al que corresponde mayor frecuencia.

Distribuciones Tipo I cada valor de la variable será una moda.

Distribuciones Tipo II observada la columna de las frecuencias absolutas,

la “Mo” será el valor o valores al que corresponde

mayor frecuencia.

Puede haber más de una moda distribuciones bimodales, trimodales, etc.

Se acostumbra a decir que la distribución carece de moda cuando presenta más de dos modas.

Distribuciones Tipo III “Mo” valor situado en el intervalo al que corresponde

mayor altura en el histograma. Este intervalo se llama

intervalo modal. Si el intervalo modal es “Li-1 – Li”, la

moda viene dada por: “Mo = Li-1 + m”; “m” se obtiene

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Medidas de tendencia central

MEDIA GEOMÉTRICA

Media Geométrica: dados los números “x1 y x2” se llama media

geométrica de ellos, al número “G”, tal que verifica:

Esta definición se generaliza para “N” valores, diciendo que su media geométrica es la raíz de índice “N” del producto de los “N” números.

x

₁

G

=

G

x

₂

G

La media geométrica: Se define como la raíz n-ésima de los n valores de la variable de la distribución (llevados a n_i) y se representa por la letra G, de manera que:

Medidas de tendencia central

MEDIA GEOMÉTRICA

G =

n

_x

1

.x

2

.x

3

...x

n

Tipo I

Tipos II

_{G =}

n

_x

1n1

.x

2n2

.x

3n3

...x

nnn

=

i=1 n

x

_ini

1/n

( )

Método de cálculo tomando logaritmos:

Pasos a seguir:

- Tomar logaritmos de los valores de la variable.

- Calcular la media geométrica de los logaritmos de los valores de la variable. - Calcular el antilogaritmo de la media calculada en el paso anterior.

Medidas de tendencia central

MEDIA GEOMÉTRICA

El cálculo de la media geométrica resulta más fácil si en las expresiones anteriores se toman logaritmos

Distribuciones tipo I

_{log G =}

_{log x}

i

1

N

1

N

Medidas de tendencia central

MEDIA GEOMÉTRICA

x_i n_i log x_i n_i log x_i

1 2 0,0000 0,0000 2 5 0,3010 1,5050 3 3 0,4771 1,4313

10 2,93631

Ejemplo:

1

N

log G =

n

_i

log x

_i

= 2,93631/ 10 = 0,29363

2º paso 1º paso

3er paso

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Media Cuadrática “C” la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.

• La media cuadrática no recoge los efectos del signo de la variable y

calcula un promedio prescindiendo del signo. Distribuciones Tipo I

Distribuciones Tipo II y III

Medidas de tendencia central

MEDIA CUADRÁTICA

x

₁2

_+x

22

+x

32

+...+x

n2

N

x

_i2

N =

x

₁2

_n

1

+x

22

n

2

+x

32

n

3

+...+x

n2

n

n

N

x

_i2

_n

i

Ejemplo:

Tipo I xi : 6, 8, 9, 18, 32

xi ni

1 4

6 4

7 8

12 4 81 7 2401 9 36

Tipo II

Medidas de tendencia central

MEDIA CUADRÁTICA

6

2

₊₈

2

₊₉

2

₊₁₈

2

₊₃₂

2

5

x

_i2

N = = 17,48

C =

1

2

₄₊₆

2

₄₊₇

2

₈₊₁₂

2

₄₊₈₁

2

₇₊₂₄₀₁

2

₉

36 C =

C = 1201,04

x

_i2

_n

i

N =

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Medidas de tendencia central

MEDIA ARMÓNICA

Media Armónica “H” valor recíproco de la media aritmética de los valores recíprocos de la Variable.

Distribuciones Tipo I

Distribuciones Tipo II y III

1

H

=

1

X

₁

1

X

₂

1

X

_n

N

+

+ . . .+

i=1 n

1

x

_i

N

=

1

H

=

n

₁

X

₁

n

₂

X

₂

n

_n

X

_n

N

+

+ . . .+

i=1 n

n

_i

x

_i

N

=

Tipo I: Tipo II y III:

Ejemplo:

Tipo I x_i : 3, 7, 9, 12

1er Paso 1/ x

i : 1/3, 1/7, 1/9, 1/12

N 4

2º Paso H = _k = = 5,96 Σ 1/x_i 0,67

i=1 5,5 10 1 3 3 2,5 5 2 2 2 1

ni / xi

ni

xi

Tipos II y III

1º paso

Medidas de tendencia central

MEDIA ARMÓNICA

i=1 n

1

x

_i

= 0,67

2º Paso

H =

i=1 n

1

x

_i

N

₁₀

5,5

Tipo II:

Tramo Distancia Velocidad

A – B 400 km 50 km/h

B – C 600km 60 km/h

C - D 1000km 100 km/h

¿Velocidad Media A – D? H

V= e / t sabemos V y e

Entonces: t = e / V

e = n_i

V = x_i t = ni/ xi

xi ni ni / xi

50 400 8

60 600 10

100 1000 10 2000 28

Medidas de tendencia central

MEDIA ARMÓNICA

i=1 n

n

_i

x

_i

N

Ojo si nos ofrecen los tiempos parciales:

A – B : 8 horas; B – C : 10 horas; C – D : 10 horas V = e / t_{Tenemos t y V} e = V t

xi ni xi ni

50 8 400

60 10 600 100 10 1000 28 2000

X =

i=1

n

x

_i

n

_i

N

=

2000

28

= 71,4

Tipo III:

xi : duración de un litro de producto para el mantenimiento de piscinas.

Ni : 100 observaciones.

ni : número de litro con una determinada duración.

¿Duración media de 1 litro de dicho producto?. _

¿H ó x? _

x si Σ ni denominador.

H si Σ ni numerador.

Li –1 - Li ni xi ni / xi

5 – 9 24 7 3,43 9 – 15 46 12 3,83 15 – 19 19 17 1,12 19 - 25 11 22 0,50 100 8,88

Cantidad Cantidad Consumo = Tiempo =

Tiempo Consumo

Σ ni numerador H

Medidas de tendencia central

MEDIA ARMÓNICA

i=1 n

n

_i

x

_i

N

La media geométrica de una colección de números positivos X₁, X₂, X₃, ..., X_N es menor o igual que su media artimética, pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos,

H < G < X

La igualdad ocurre si y sólo si todos los números X₁, X₂, X₃, ..., X_N son idénticos.

valor que es capaz de representar todos los datos mediana

moda Medida de Centralización

media aritmética

Procesos más específicos

Reciben genéricamente la denominación de cuantiles o n-tiles aquellos valores que dividen a la distribución en intervalos de forma que cada uno de ellos tenga la misma frecuencia.

Los cuantiles toman denominaciones específicas según sea el número de intervalos en que dejan dividida a la distribución.

Así:

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Q: Cuartiles: cuando la dividen en 4 partes iguales (Q)

D: Deciles: cuando la dividen en 10 partes iguales (D)

P: Percentiles: cuando la dividen en 100 partes iguales(P).

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Para el cálculo de cualquier tipo de cuantiles son válidas las

consideraciones que se hicieron para el caso de la mediana. No obstante, debemos decir que los pasos a seguir son:

1º)Determinar el tipo de cuantil del cuál se trata.

C

_ab

b: total de partes de la distribución (100=centil; 10=decil; 4 = cuartil)

a: orden del cuantil a calcular: 1°, 2°...

2º)Calcular

N_i aN b >

Medidas de tendencia central

CUANTILES

4º)Determinar el valor de la variable para el cual se cumple que es la primera frecuencia acumulada que iguala o supera a aN/b. Para ello debemos distinguir los siguientes casos:

3º)localizar cual es la 1ª frecuencia acumulada que iguala o supera a aN/b (N_i>aN/b).

Na b

a n_i b

aN b = =

Tipo II

a)1ern

i>aN/b será el valor del cuantil que se está calculando el de xi

que le corresponda a dicho N_i.

b) Cuando N_i=aN/b, el valor del cuantil se obtiene

x

_{i +}

x

_i+1

C

_a b

=

2

Ejemplo.

Determinación de los cuartiles en la siguiente distribución: (Tipo II)

x_i n_i N_i

18 10 10

19 30 40

20 35 75

21 15 90

22 10 100

100

Ejemplo CUARTILES.

Determinación de los cuartiles en la siguiente distribución: (Tipo II)

x_i n_i N_i 1º) Ni= 100. Se trata de calcular los 3 cuartiles.

18 10 10 2º) Q1= 1N/4 = 100/4 = 25. 19 30 40 Q2= 2N/4 = 100/2 = 50 20 35 75 Q3= 3N/4 = 300/4 = 75

21 15 90 3º) Q1 = 19 / Ni = 40 > N/4 = 100/4 = 25

22 10 100 Q2= 20 / Ni = 75 >2N/4 = 50

100 Q3 = (20+21)/2 = 20,5 / Ni = 75 = 3N/4 = 75.

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Ejemplo DECILES.

(Tipo II)

¿D3, D6, D7?

1º paso Ni

2º paso y 3º paso

3N / 10 = 3 · 100 / 10 = 30 D3 = 19

6N / 10 = 60 D6 = 20

7N / 100 = 70 D7 = 20

xi ni Ni

18 10 10 19 30 40 20 35 75 21 15 90 22 10 100

100

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Tipo III

a)Cuando N_i>aN/b, el valor del cuantil que se está calculando lo podemos obtener por interpolación.

C

_ab= L_i-1

aN

b -Ni-1

N_i-N_i-1

+ ci

L_i-L_i-1 N_i-N_i-1

C

_ab-L_i-1 aN

b -Ni-1

Medidas de tendencia central

CUANTILES

b) Cuando N_i=aN/b, el valor del cuantil que se está calculando será exactamente L_i, el límite superior del intervalo al que corresponde esa N_i/N_i=aN/b.

Tipo III

C

_ab = L_i

Ejemplo:

Ejemplo DECILES.

Determinar el primer y segundo decil en la siguiente distribución (Tipo III).

L_i-1 - L_i n_i N_i

50-55 40 40 55-60 160 200 60-65 350 550 65-70 200 750 70-75 150 900 75-80 100 1000

1000

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Ejemplo DECILES.

Determinar el primer y segundo decil en la siguiente distribución (Tipo III).

L_i-1 - L_i n_i N_i 1º) Se trata de calcular D1 y D2. 50-55 40 40 2º) D1:1*N/10=N/10=1000/10=100 55-60 160 200 D2 :2*N/10 = 2000/10 = 200

60-65 350 550 65-70 200 750 70-75 150 900 75-80 100 1000

1000

Tipo III

Q

_p= L_i-1

aN

b -Ni-1

N_i-N_i-1

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Tipo III

Ejemplo DECILES.

Determinar el primer y segundo decil en la siguiente distribución (Tipo III).

L_i-1 - L_i n_i N_i

50-55 40 40 55-60 160 200 60-65 350 550 65-70 200 750 70-75 150 900 75-80 100 1000

1000

D

_p = L_i-1

aN

10 -Ni-1

N_i-N_i-1

+ ci

Q

1= 55

1000

10 - 40 160

+ 5

D

₁

= 56,875

D

₂ = 55

2000 10 -40

160

+ 5

D

₂

= 60

D

₃ = 60

3000

10 -200 350

+ 5

Tipo III: ¿D3, D6, D7? 1º paso Ni

2º paso 3N / 10 = 3 · 1000 / 10 = 300

6N / 10 = 600

7N / 100 = 700

3º paso golpe de vista, dónde

coinciden = ó >

Li –1 - Li ni Ni

50 – 55 40 40 55 – 60 160 200 60 – 65 350 550 65 – 70 200 750 70 – 75 150 900 75 - 80 100 1000

1000

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Tipo III

D

_p = L_i-1

pN

10 -Ni-1

N_i-N_i-1

+ ci

D

₃ = 60

3000

10 -200 350

+ 5

D

₁

= 61,429

D

₆ = 65

6000

10 -550 200

+ 5

D

₃

= 66,25

D

₇ = 65

7000

10 -550 200

+ 5

Medidas de tendencia central

CUANTILES

3º) Localizar los intervalos para los que N_i > D₁; D₂

D₁ : 100 ----> N_i = 200 / N_i>D₁ (N/10) --> L_i-1-L_i = 55-60.

Ejemplo DECILES.

D

₁ = L_i-1

1N

10 -Ni-1

N_i-N_i-1

+ ci

D

₁ = 55 + 100 - 40 5 = 56,875 200 - 40

Tipo III: ¿P30, P50, P72?

3º paso golpe de vista, dónde coinciden = ó > 1º paso N_i

2º paso 30N / 100 = 30 · 1000 / 100 = 300

50N / 10 = 500

72N / 100 = 720

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Tipo III

Li –1 - Li ni Ni

50 – 55 40 40 55 – 60 160 200 60 – 65 350 550 65 – 70 200 750 70 – 75 150 900 75 - 80 100 1000

1000

_P

_p = L_i-1

pN

100 -Ni-1

N_i-N_i-1

Tipo III: ¿P30, P50, P72?

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Tipo III

Li –1 - Li ni Ni

50 – 55 40 40 55 – 60 160 200 60 – 65 350 550 65 – 70 200 750 70 – 75 150 900 75 - 80 100 1000

1000

P

_p = L_i-1

pN

100 -Ni-1

N_i-N_i-1

+ ci

P

₃₀= 60

30000

100 - 200 350

+ 5

D

₁

= 61,429

P

₅₀= 60

50000

100 - 200 350

+ 5

D

₅₀

= 64,29

P

₇₂= 65

72000

100 - 550 200

Cuantiles Cuartiles, Deciles, Percentiles.

Cuartiles Separan la distribución en cuatro partes iguales Q_Q1

2 3 valores

Q₃

Q₁ Primer Cuartil; valor tal que el 25% de los datos son anteriores a él y el 75 % restante posteriores.

Q₂ Segundo Cuartil; se sitúa de tal modo que el 50% de los datos son anteriores a él, por lo que coincide con la Me.

Q₃ Tercer Cuartil; separa el 75% de los datos anteriores a él del 25% que son posteriores.

Distribuciones Tipo II considerar los valores N/4, 2N/4, 3N/4 y observar los valores de la variable par los que se igualan o superan esos

valores en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.

Distribuciones Tipo III de forma análoga al caso de la M_e, se obtiene que el cuartil “Q_p” es:

donde “ p” = 1,2,3.

Medidas de tendencia central

CUANTILES

Q

_p= L_i-1

pN

4 -Ni-1

N_i-N_i-1

Deciles Separan a la distribución en diez partes iguales; D₁, D₂, D₃, ..., D₉ nueve valores

D₁ deja como anteriores un 10% de los datos. D₂ deja como anteriores un 20% de los datos. D₅ coincide con la M_e.

Distribuciones Tipo II Ejemplo: cálculo del tercer decil. Calcular 3N/10, siendo D₃ el primer valor de la variable cuya

frecuencia absoluta acumulada iguale o supere el valor 3N/10.

Distribuciones Tipo III los deciles se obtiene de la siguiente forma:

donde “ p” = 1,2,3..., 9.

Medidas de tendencia central

CUANTILES

D

_p = L_i-1

pN

10 -Ni-1

N_i-N_i-1

Percentiles Separan a la distribución en cien partes iguales; P₁, P₂, ..., P₉₉ 99 valores.

Ejemplo: P₅₇ Valor que hace que el 57% de los datos sean anteriores a él y el 43% sean posteriores.

P₅₀ = D₅ = Q₂ = M_e

Distribuciones Tipo II El percentil P_p, se obtiene considerando el número pN/100 y se procede de forma análoga al caso de cuartiles y deciles.

Distribuciones Tipo III Los percentiles se obtienen de la siguiente forma:

donde “ p” = 1,2,3..., 99.

Medidas de tendencia central

CUANTILES

P

_p = L_i-1

pN

100 -Ni-1

N_i-N_i-1

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

Se puede observar que para una misma distribución rara vez coinciden los valores obtenidos mediante los tres promedios. Esto plantea una cuestión importante: ¿qué promedio debe utilizarse en cada caso?. supongamos la representación ideal de la distribución de una variable.

La media aritmética es el centro de gravedad de la distribución. Si consideramos el área bajo la curva y el eje de abscisas se comprueba que es el punto de equilibrio.

La media aritmética es un valor de la variable que depende de todas las observaciones (en su fórmula aparecen todas ellas). Por lo tanto, la

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

En estadística se trabaja muy frecuentemente con muestras. Con estas no puede obtenerse un valor exacto de un promedio de la población, si no una estimación. Por ello, una condición esencial de un promedio es que su valor en la muestra no varíe mucho al pasar de una muestra a otra, es decir, que sea lo más estable posible. Es razonable, pues, elegir un

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

La media aritmética, por venir definida mediante una expresión algebraica, puede someterse a cálculos matemáticos, así:

Sean 1,2...R muestras extraídas de una población.

las medidas aritméticas de cada una.

La media general de las R muestras es

es decir, la media general de todas las muestras es igual a la media aritmética de las distintas medias ponderadas por los tamaños de las muestras.

x

₁

, x

₂

, x

₃

,...x

_r

n

₁

, n

₂

, n

₃

,...n

_r el número de observaciones de cada una

x

₁

n

₁

+x

₂

n

₂

+x

₃

n

₃

+...+x

_r

n

_r

n

₁

+n

₂

+n

₃

+...+n

_r

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

Me: La mediana es el valor de la variable que deja a un lado y a otro el mismo nº de observaciones bajo el supuesto de que estén ordenadas en sentido creciente (o decreciente-->variaría el sistema de cálculo).

No es necesario conocer el valor de todas las observaciones, no utiliza toda la información, lo cual es un inconveniente. Tiene la ventaja de que los valores observados anormalmente grandes o anormalmente pequeños no influyen en este promedio. Otra ventaja es que puede obtenerse con datos incompletos (intervalos "más de...", etc).

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

Mo: La moda es el valor más frecuente; punto donde se concentra mayor nº de observaciones.

No utiliza toda la información, lo cual es un inconveniente, pero esto supone que no venga afectada por los valores anormalmente grandes o pequeños, lo cual es una ventaja.

Medidas de tendencia central

VISIÓN CONJUNTA DE LOS PROMEDIOS

En conjunto hay que indicar que un promedio tiene por objeto obtener un valor de la variable alrededor del cual se distribuyen las observaciones. Esta condición se cumple muy bien en las distribuciones campaniformes simétricas o moderadamente asimétricas. Por lo tanto, en este caso, los tres promedios son representativos del conjunto de observaciones, siendo difícil señalar una ventaja de uno sobre otro desde el punto de vista de su representatividad. No obstante, nos podemos inclinar por la media aritmética por sus propiedades algebraicas y por su estabilidad.

Si la distribución es campaniforme fuertemente asimétrica, tiene forma de J o de L, la mediana es el promedio más alto.

Medidas de tendencia central

EJERCICIOS TEMA 5

Introducción

Medidas de tendencia central

1- Las edades, en años, de los alumnos de un curso vienen dadas por la siguiente tabla:

Calcular la media de las edades

Edad Nº de alumnos

18 12

19 17

20 11

21 9

23 2

xi ni xi · ni

18 12 216

19 17 323

20 11 220

21 9 189

23 2 46

26 1 26

52 1020

N = 52

Σ x

_i

n

_i

= 1020

N

n

x

X

n

i

i i

∑

=

⋅

=

1

1- Las edades, en años, de los alumnos de un curso vienen dadas por la siguiente tabla:

2- Las temperaturas medias registradas en ciertas ciudades

durante el año 2000 fueron, en grados centígrados, las siguientes:

Calcular la temperatura media registrada en el año.

Temperatura Nº de días

De -10º a - 5º 3

De - 5º a 0º 8

De 0º a 5º 65

De 5º a 10º 103

De 10º a 15º 94

De 15º a 20º 56

De 20º a 25º 27

Li-1 – Li xi ni xi · ni

De -10_º a - 5_º - 7,5 3 - 22,5

De - 5_º a 0_º - 2,5 8 - 20

De 0_º a 5_º 2,5 65 162,5

De 5_º a 10_º 7,5 103 772,5

De 10_º a 15_º 12,5 94 1175

De 15_º a 20_º 17,5 56 980

De 20_º a 25_º 22,5 27 607,5

De 25_º a 30_º 27,5 9 247,5

365 3902,5

2- Las temperaturas medias registradas en ciertas ciudades

durante el año 2000 fueron, en grados centígrados, las siguientes:

3.- Un estudio pluviométrico realizado en 80 núcleos rurales españoles registró durante el último año los siguientes datos respecto a precipitaciones, medidas en milímetros:

Calcular la media aritmética, distribuyendo los datos,

primero en cinco intervalos y luego en diez; comenzando el primer intervalo por 0 y terminando el último en 2000 ¿Cómo se obtiene el valor más adecuado?.

Tabla con 5 intervalos

Li-1 - Li xi ni xi . ni

0 – 400 200 22 4400

400 – 800 600 40 24000

800 – 1200 1000 9 9000

1200 – 1600 1400 6 8400

1600 - 2000 1800 3 5400

80 51200

3.- Un estudio pluviométrico realizado en 80 núcleos rurales españoles registró durante el último año los siguientes datos respecto a precipitaciones, medidas en milímetros:

Tabla con 10 intervalos

Li-1 - Li xi ni xi . ni

0 – 200 100 1 100

200 – 400 300 21 6300

400 – 600 500 37 18500

600 – 800 700 3 2100

800 – 1000 900 6 5400

1000 –1200 1100 3 3300

1200 – 1400 1300 2 2600

1400 – 1600 1500 4 6000

1600 –1800 1700 1 1700

1800 – 2000 1900 2 3800

80 49800