1
MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO
Profesorado de Física 2018
CONJUNTOS GENERADORES, LI , LD Y BASES
Comenzaremos recordando los conceptos de combinación lineal entre vectores y de subespacio generado.
A lo largo de todo este material, supondremos que los espacios vectoriales están definidos sobre el cuerpo
K
de los números racionales, reales o complejos, en los cuales se han definido las operaciones adición y multiplicación usual.1. COMBINACIONES LINEALES
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
.{
v
v
v
v
}
V
H
=
1,
2,
3,...,
n⊂
es un conjunto de vectores deV
yλ
1,
λ
2,...,
λ
n escalares del cuerpoK
. 1) Decimos queλ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
n es una combinación lineal de los vectoresv
1,
v
2,...,
v
n con coeficientesλ
1,
λ
2,...,
λ
n.2) Diremos que un vector
v
∈
V
es combinación lineal de los vectoresv
1,
v
2,...,
v
n si y sólo si existen escalaresµ
1,
µ
2,...,
µ
n pertenecientes aK
tales quev
=
µ
1v
1+
µ
2v
2+
...
+
µ
nv
n2. SUBESPACIO GENERADO
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
un subconjunto finito deV
.El conjunto de todos los vectores de
V
, que son combinación lineal de los vectores deH
, es un subespacio vectorial deV
, llamado subespacio generado porH
y que se denota con el símbolo:[ ]
H
.EJEMPLO 1
Si
H
=
{
(
1
,
−
1
,
2
)
,
(
0
,
1
,
3
)
}
, entonces[ ]
H
=
{
v
∈
R
3/
v
=
λ
(
1
,
−
1
,
2
)
+
µ
(
0
,
1
,
3
)
,
λ
∈
R
,
µ
∈
R
}
. Observemos que el conjunto[ ]
H
es un plano del espacioR
3 ya que sus elementos son todos los vectores que se pueden obtener como combinación lineal de los vectores(
1
,
−
1
,
2
)
y(
0
,
1
,
3
)
.[ ]
⇔
∈
=
x
y
z
H
v
(
,
,
)
+
=
+
−
=
=
µ
λ
µ
λ
λ
3
2
z
y
x
Es sencillo verificar que, al considerarse
v
fijo, el sistema
+
=
+
−
=
=
µ
λ
µ
λ
λ
3
2
z
y
x
en las variables
λ
yµ
, es compatiblee indeterminado y su conjunto solución está formado por todas las ternas
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3 que verifican5
x
+
3
y
−
z
=
0
.
Por tal motivo, podemos escribir:
[ ]
H
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
5
x
+
3
y
−
z
=
0
}
.2
3. CONJUNTOS GENERADORES
DEFINICIÓN DE CONJUNTO GENERADOR
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
=
{
v
1,
v
2,
v
3,...,
v
n}
⊂
V
Decimos que un conjunto
H
es un generador deV
o queH
genera aV
si y solo si cualquier vector perteneciente aV
se puede escribir como combinación lineal de vectores pertenecientes aH
.Es decir,
H
es un generador deV
sí y solo si para cada vectorv
∈
V
existen escalaresλ
1,
λ
2,...,
λ
n pertenecientes al cuerpoK
tales quev
=
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
nCuando
H
es un generador deV
, escribimos:H
→
gV
.Convenimos en que el conjunto vacío genera al espacio vectorial trivial
V
=
{ }
θ
.Observar que H ⊂V es un generador de
V
sí y sólo si[ ]
H
=
V
. Esto permite dar una definición alternativa de conjunto generador: Un conjunto finitoH
⊂
V
es un generador deV
sí y solo si[ ]
H
=
V
.EJEMPLO 2
1) El conjunto
G
=
{
(
1
,
0
)
;
(
0
,
1
)
}
es un generador del espacioR
2 dado que cualquier vector(
a
,
b
)
puede escribirse como combinación lineal de los vectores deG
:(
a
,
b
)
=
a
(
1
,
0
)
+
b
(
0
,
1
)
2) Sean
v
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
dos vectores no nulos pertenecientes aR
2. Los vectoresv
yw
son colineales si y solo si existeλ
∈R tal que v =λ
w.Como generalización de 1) , demostraremos que si
v
yw
son vectores no colineales ni nulos, entoncesH
=
{ }
v
,
w
es un generador deR
2.
v
w
Si
v
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
son vectores no nulos y colineales, entonces existeλ
∈
R
,λ
≠
0
tal que(
a
,
b
)
=
λ
(
c
,
d
)
. Es decir,a
=
λ
c
yb
=
λ
d
a
=
λ
c
y(
)
0
0
0
−
=
⇔
=
−
⇔
=
⇔
=
≠
ad
bc
bc
ad
bc
ad
d
b
λ
λ
λ
λ
λ
Concluimos de esta manera que:
1) si
v
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
son vectores colineales, entoncesad
−
bc
=
0
y 2) si ad −bc ≠0 , entoncesv
yw
son no nulos ni colineales.Por lo tanto, si
v
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
son vectores no nulos ni colineales, cualquier vector
m
=
(
m
1,
m
2)
∈
R
2 puede escribirse como una combinación lineal de los vectoresv
yw
, ya que el sistema de ecuaciones
=
+
=
+
2 1
m
dy
bx
m
cy
ax
es compatible determinado.
De aquí se puede concluir que en
R
2 los únicos subespacios vectoriales son{ }
θ
,R
2 y las rectas que contienen al origen.En efecto, sea
S
es un subespacio deR
2.Pueden ocurrir dos cosas: 1)
S
=
{ }
θ
o 2) S contiene algún vector u≠θ
. SiS
contiene algún vectoru
≠
θ
, entonces hay dos posibilidades:a) que todos los vectores contenidos en S sean colineales con
u
y en este caso S es la recta que contiene alorigen y tiene la dirección del vector
u
.b) queS contenga algún vector
t
∈
R
2 que no sea colineal conu
3
3) Para cada
i
∈
N
,
1
≤
i
≤
n
, llamaremose
i , al vector deR
n que tiene un 1 en la i-ésima posición y0
en las restantes, es decir,e
1=
(
1
,
0
,
0
,
0
,...,
0
)
,e
2=
(
0
,
1
,
0
,
0
,...,
0
)
, , ………….
e
n=
(
0
,
0
,
0
,
0
,...,
1
)
. Tales vectores son llamados vectores canónicos de nR
y el conjuntoE
=
{
e
1,
e
2,
e
3,...,
e
n}
es un generador del espacion
R
.4) Consideremos el subespacio vectorial
,
a
R
,
b
R
M
22(
R
)
b
a
b
b
a
a
S
⊂
×
∈
∈
−
+
=
.Dado que
−
+
=
−
+
1
1
1
0
1
0
1
1
b
a
b
a
b
b
a
a
, concluimos que
−
=
1
1
1
0
;
1
0
1
1
H
es un generador deS
.5) Ningún conjunto finito de vectores contenidos en el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes en un cuerpo escalar
K
, es un generador de dicho espacio.6) Investiguemos ahora, si el conjunto
H
=
{
(
0
,
−
1
,
2
)
,
(
−
4
,
9
,
2
)
,
(
−
1
,
2
,
1
)
,
(
−
3
,
8
,
−
1
)
}
es un generador deR
3. Para queH
sea un generador deR
3, cualquier vector(
a
,
b
,
c
)
∈
R
3 se debe poder escribir como combinación lineal de vectores pertenecientes aH
, es decir, deben existir números realesλ
1,
λ
2λ
3 yλ
4 tales que(
a
,
b
,
c
)
=
λ
1(
0
,
−
1
,
2
)
+
λ
2(
−
4
,
9
,
2
)
+
λ
3(
−
1
,
2
,
1
)
+
λ
4(
−
3
,
8
,
−
1
)
Resolvemos el sistema
=
−
+
+
=
+
+
+
−
=
−
−
−
c
b
a
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 22
2
8
2
9
3
4
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
por el método de escalerización.
c
b
a
a
b
c
b
a
b
c
a
b
+
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2
5
0
0
0
0
3
1
4
0
8
2
9
1
2
15
5
20
0
3
1
4
0
8
2
9
1
1
1
2
2
3
1
4
0
8
2
9
1
El sistema es compatible para los
(
a
,
b
,
c
)
∈
R
3 tales que 5a
+
2b
+
c
=
0 , esto quiere decir, queH
no es un generador deR
3.H
genera el plano del espacioR
3 cuya ecuación es5
x
+
2
y
+
z
=
0
Dado que los planos de
R
3 son generados por tan solo dos vectores no colineales, el conjuntoH
debe contener dos vectores que son combinación lineal de los restantes. Aunque probablemente se pueda encontrar fácilmente, cuáles de los vectores deH
son combinación lineal de los restantes, mostraremos una forma de eliminar vectores del conjuntoH
de manera de obtener un conjunto de vectores deR
3 donde ninguno de ellos sea combinación lineal de los restantes y que a su vez siga generando al plano de ecuación5
x
+
2
y
+
z
=
0
.Para lograr nuestro objetivo la idea es resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
(
0
,
0
,
0
)
=
λ
1(
0
,
−
1
,
2
)
+
λ
2(
−
4
,
9
,
2
)
+
λ
3(
−
1
,
2
,
1
)
+
λ
4(
−
3
,
8
,
−
1
)
4
0
0
0
0
0
0
3
1
4
0
0
8
2
9
1
0
15
5
20
0
0
3
1
4
0
0
8
2
9
1
0
1
1
2
2
0
3
1
4
0
0
8
2
9
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Observar que
λ
3 yλ
4 son variables libres del sistema ya que corresponden a las columnas que no tienen pivotes, así que podemos elegir, por ejemplo,λ
3=
−
1
yλ
4=
−
1
y de esta manera, despejar los vectores(
−
1
,
2
,
1
)
y)
1
,
8
,
3
(
−
−
en función de los restantes. Esto quiere decir que al suprimir los vectores(
−
1
,
2
,
1
)
y(
−
3
,
8
,
−
1
)
del conjuntoH
, el conjuntoB
=
{
(
0
,
−
1
,
2
)
,
(
−
4
,
9
,
2
)
}
así obtenido, es un generador del plano de ecuación0
2
5
x
+
y
+
z
=
donde ninguno de sus vectores es combinación lineal de los restantes. Este conjuntoB
, es lo que más adelante llamamos base del subespacio generado porH
.Ejercicio 1
Investigar en cada caso si el conjunto
H
es un generador del espacio vectorialV
. En caso que lo sea, investigar si es posible obtener un conjuntoB
⊂
H
(B
≠
H
) que sea generador deV
y que ninguno de sus vectores seacombinación lineal de los restantes. En caso que el conjunto
H
no sea un generador deV
, hallar[ ]
H
. a)V
=
R
3 yH
=
{
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
}
b)
V
=
R
3 yH
=
{
(
0
,
1
,
1
)
,
(
0
,
0
,
1
)
,
(
1
,
1
,
1
)
,
(
1
,
−
1
,
1
)
}
c)
V
=
R
3 yH
=
{
(
1
,
1
,
1
)
,
(
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
−
1
)
}
d)V
=
K
=
C
yH
=
{
i
,
1
+
i
,
1
−
i
}
e)
V
=
M
2×2(
R
)
y
−
=
1
3
0
0
,
0
0
1
3
,
1
2
0
0
,
0
0
1
2
H
f)
V
=
M
2×2(
R
)
y
−
−
=
0
6
5
2
,
0
3
1
4
,
0
0
2
1
,
0
1
0
1
H
g)
V
=
P
2(
R
)
yH
=
{
1
−
x
,
2
+
x
2,
2
x
+
x
2}
h)V
=
P
2(
R
)
yH
=
{
x
−
1
,
2
x
2+
x
−
3
}
j)
V
=
P
3(
R
)
yH
=
{
1
+
x
2,
2
+
2
x
2,
1
+
x
+
x
3,
3
+
x
+
2
x
2+
x
3}
Ejercicio 2
Hallar en cada caso un generador del subespacio
S
. 1)S
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
2
x
+
3
y
−
z
=
0
}
5
Ejercicio 3
En el espacio vectorial
R
3 se consideran los subespaciosS
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
x
+
2
y
+
z
=
0
}
y{
(
,
,
)
∈
3/
+
−
2
=
0
}
=
x
y
z
R
x
y
z
T
Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1) El conjunto
H
=
{
(
−
1
,
0
,
1
)
,
(
−
1
,
1
,
0
)
}
es un generador deS
. 2) El conjuntoH
=
{
(
5
,
−
3
,
1
)
}
es un generador deS
∩
T
. 3) El conjuntoH
=
{
(
5
,
−
3
,
1
)
,
(
1
,
0
,
0
)
}
es un generador deS
∩
T
. 4) El conjuntoH
=
{
(
13
,
−
1
,
6
)
,
(
5
,
1
,
3
)
,
(
1
,
−
1
,
1
)
}
es un generador de T.Resumimos a continuación las propiedades de los conjuntos generadores.
PROPIEDADES
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
.1) Si
H
es un generador deV
yw
es un vector cualquiera perteneciente aV
, entoncesH
∪
{ }
w
es ungenerador de
V
(Ampliación de un generador)2) Si
H
es un generador deV
y existe algún vectorv
k∈
H
que puede escribirse como combinación lineal de los restantes vectores deH
, entoncesH
−
{ }
v
k es un generador deV
. (Reducción de un generador)Es decir, si eliminamos de un conjunto
H
, un vector que es combinación lineal de los restantes vectores, obtenemos un conjunto que genera el mismo espacio vectorial que el que genera el conjuntoH
.Como corolario de esta propiedad podemos decir que:
Si
H
es un generador deV
, entonces existe un conjuntoH
1⊂
H
tal queH
1 genera aV
y ningún vector perteneciente aH
1 puede escribirse como combinación lineal de los restantes vectores.3) Si
H
=
{
v
1,
v
2,
v
3,...,
v
n}
es un generador deV
y consideramos el vector
w
=
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
kv
k+
...
+
λ
nv
n dondeλ
k≠
0
, entonces(
H
−
{ } { }
v
k)
∪
w
es un generador deV
. (Modificación de un generador)Es decir, si
H
es un generador deV
y cambiamos un vectorv
k∈
H
por otro vector que es combinación lineal de los vectores deH
en el cual el coeficiente que multiplica av
k no es cero, el nuevo conjunto sigue siendo un generador deV
.EJEMPLO 3
Sea
G
=
{
v
1,
v
2,
v
3,
v
4}
un generador de un espacio vectorialV
.1) Cualquiera sea el vector
v
5∈
V
, el conjuntoH
=
{
v
1,
v
2,
v
3,
v
4,
v
5}
es un generador deV
. (Ampliación de un generador)2) Si
v
3=
2
v
1−
5
v
2 yv
4=
2
v
5 , entoncesT
=
{
v
1,
v
2}
es un generador deV
(Reducción de ungenerador).
3) No necesariamente el conjunto
J
=
{
v
1,
v
2,
v
3}
es un generador deV
.6
4. CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y LINEALMENTE
DEPENDIENTES
En la rama del álgebra lineal, uno de los conceptos claves es el de independencia lineal.
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y
LINEALMENTE DEPENDIENTES.
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
un subconjunto deV
.1) Decimos que el conjunto
H
es linealmente independiente (y diremos queH
es LI ) si y sólo si ningún vectorv
∈
H
es combinación lineal de otros vectores deH
.En el caso particular, que el conjunto
H
contenga un solo vectorv
≠
θ
, diremos queH
es linealmente independiente.2) Decimos que el conjunto
H
es linealmente dependiente (y diremos queH
es LD ) si y sólo siH
no es linealmente independiente.Es decir,
H
es linealmente dependiente si y solo siH
=
{ }
θ
o por lo menos un vector deH
es combinación lineal de otros vectores deH
.EJEMPLO 4
Consideremos los vectores
v
=
(
−
1
,
2
,
3
)
,w
=
(
2
,
−
4
,
−
6
)
,z
=
(
0
,
1
,
−
1
)
ym
=
(
2
,
−
1
,
−
9
)
contenidos en el espacio vectorialR
3.Se ve fácilmente que
v
=
−
2
w
y por tanto, el conjuntoA
=
{ }
v
,
w
es linealmente dependiente.El conjunto
B
=
{ }
v
,
z
es linealmente independiente, ya que si no lo fuera, debería existirλ
∈
R
tal quev
=
λ
z
Más difícil, es observar a primera vista, que el conjunto
D
=
{
v
,
z
,
m
}
es linealmente dependiente, ya quez
v
m
=
−
2
+
3
.Al reescribir las igualdades
v
=
−
2
w
ym
=
−
2
v
+
3
z
establecidas anteriormente, de la siguiente manera:θ
=
+
w
v
2
ym
+
2
v
+
(
−
3
)
z
=
θ
, observamos que, usando los vectores de los conjuntosA
oD
(ambos linealmente dependientes), podemos obtener, en cada caso, el vector nulo, como combinación lineal de los vectores del conjunto, usando coeficientes no todos nulos. Esto no es posible, si consideramos los vectores del conjunto{ }
v
z
B
=
,
(linealmente independiente), ya que la única manera de obtener el vector nulo, es realizando la combinación lineal trivial:0
v
+
0
z
=
θ
.Las observaciones anteriores, permiten obtener una forma sencilla para decidir si un conjunto es linealmente independiente o no, y es aplicar el siguiente teorema.
TEOREMA 1
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
un subconjunto deV
.H
es linealmente independiente si y sólo si la única combinación lineal de vectores deH
que permite obtener el vector nulo, es la que tiene todos sus coeficientes nulos.Es decir,
H
=
{
v
1,
v
2,
v
3,...,
v
n}
es LI⇔
∈
∈
∈
=
+
+
+
K
K
K
v
v
v
n n n
λ
λ
λ
θ
λ
λ
λ
..,
,...
,
.
...
2 1
2 2 1 1
0
...
2
1
=
λ
=
=
λ
n=
7
Demostración del teorema 1
Demostraremos que si
H
es LI yλ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
n=
θ
, entoncesλ
1=
λ
2=
...
=
λ
n=
0
Razonemos por absurdo.Supongamos que
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
n=
θ
y que no todos los coeficientesλ
1,
λ
2,...,
λ
n son nulos. Consideremos que ese coeficiente no nulo esλ
1 (si fuera otro, el razonamiento es análogo).Si
λ
1≠
0
, entoncesv
v
v
nv
n1 3 1 3 2 1 2
1
...
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
+
−
−
=
y por tantov
1 es combinación lineal de los restantes vectores deH
, lo que contradice el hecho queH
es LI.Recíprocamente, si
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
n=
θ
implica queλ
1=
λ
2=
...
=
λ
n=
0
, demostraremos queH
es LI.Si
H
no fuese LI, entonces existe algún vector perteneciente aH
, que es combinación lineal de los restantes. Supongamos que ese vector esv
1 (si fuera otro, el razonamiento es análogo).n n
v
v
v
1=
λ
2 2+
...
+
λ
1
⋅
v
1−
λ
2v
2−
...
−
λ
nv
n=
θ
.Esto último, contradice la hipótesis que toda combinación lineal que da el nulo, implica que los coeficientes de dicha combinación lineal son todos cero.
EJEMPLO 5
1) El conjunto
E
=
{
e
1,
e
2,
e
3,...,
e
n}
cuyos elementos son los vectores canónicose
1=
(
1
,
0
,
0
,
0
,...,
0
)
,
e
2=
(
0
,
1
,
0
,
0
,...,
0
)
,e
3=
(
0
,
0
,
1
,
0
,...,
0
)
, …………,e
n=
(
0
,
0
,
0
,
0
,...,
1
)
es linealmente independiente.2) El conjunto
H
{
1
,
x
,
x
2,
...
x
}
P
(
R
)
nn
⊂
=
es un conjunto linealmente independiente.3) El conjunto
H
=
{
1
,
x
,
x
2,
...
x
n,
x
n+1,...
}
⊂
P
(
R
)
es un conjunto infinito linealmente independiente. 4) El conjuntoH
=
{
(
1
,
1
,
0
,
0
)
,
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
1
,
1
,
0
)
}
es linealmente independiente. En efecto, seanλ
1,
λ
2 yλ
3 números reales talesλ
1(
1
,
1
,
0
,
0
)
+
λ
2(
1
,
0
,
0
,
0
)
+
λ
3(
1
,
1
,
1
,
0
)
=
(
0
,
0
,
0
,
0
)
0
0
0
0
)
0
,
0
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
1
,
1
(
)
0
,
0
,
0
,
1
(
)
0
,
0
,
1
,
1
(
1 2 33 3 1 3 2 1 3 2
1
⇔
=
=
=
=
=
+
=
+
+
⇔
=
+
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
5) El conjunto
T
=
{
2
x
2+
x
−
3
,
x
−
3
,
4
x
2+
x
−
3
}
es linealmente dependiente. En efecto, seanλ
1,
λ
2 yλ
3 números reales tales(
2
3
)
(
3
)
(
4
23
)
0
3 2
2
1
x
+
x
−
+
λ
x
−
+
λ
x
+
x
−
=
λ
{
(
2
,
,
)
,
}
{
(
0
,
0
,
0
)
}
)
(
0
3
3
3
0
0
4
2
:
)
(
0
3
3
3
)
(
)
4
2
(
0
)
3
4
(
)
3
(
)
3
2
(
3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 2 2 1≠
∈
−
−
=
⇔
=
−
−
−
=
+
+
=
+
⇔
⇔
=
−
−
−
+
+
+
+
⇔
⇔
=
−
+
+
−
+
−
+
R
S
Sol
S
x
x
x
x
x
x
x
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Dado que el sistema
(
S
)
es un sistema homogéneo, compatible e indeterminado, es decir, admite otras soluciones además de la terna nula, el conjuntoT
es linealmente dependiente.8
Ejercicio 4
Investigar si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o linealmente dependientes. En caso que el conjunto sea linealmente dependiente indicar cuál o cuáles de los vectores se pueden escribir como combinación lineal de los restantes.
a)
H
=
{
(
1
,
2
,
3
)
,
(
1
,
3
,
2
)
,
(
−
1
,
2
,
3
)
}
enR
3 b)H
=
{
(
1
,
2
,
3
)
,
(
4
,
5
,
6
)
,
(
7
,
8
,
9
)
}
enR
3 c)H
=
{
(
1
,
2
,
3
)
,
(
0
,
1
,
2
)
,
(
1
,
1
,
1
)
,
(
2
,
3
,
4
)
}
enR
3d)
H
=
{
(
1
,
0
,
−
i
)
,
(
0
,
i
,
−
1
)
,
(
i
,
1
,
1
+
i
)
}
enC
3 (K
=
C
)
e)H
=
{
(
1
,
i
,
−
i
)
,
(
0
,
1
,
1
+
2
i
)
,
(
i
,
1
+
i
,
−
1
)
}
enC
3 (K
=
C
)
f)
=
1
1
1
1
,
1
0
0
1
,
0
0
1
1
H
enM
2×2(
R
)
g)
H
=
{
x
3−
3
x
2+
5
x
+
1
,
x
3−
x
2+
6
x
+
2
,
x
3−
7
x
2+
4
x
}
enP
3(
R
)
h)H
=
{
x
3+
x
+
1
,
x
3+
x
2,
−
2
x
3+
x
+
1
,
x
3+
3
x
2+
x
+
1
}
enP
3(
R
)
i)
H
=
{
1
,
e
x,
e
2x,
e
3x,
e
4x}
enF
(
R
,
R
)
(Sugerencia: Dada una combinación lineal nula, derivar y dividir entree
x)Ejercicio 5
Sea
H
=
{
2
−
x
,
1
+
x
+
x
2}
1) Hallar el subespacio generado por
H
2) Hallar un polinomio
p
tal queH
∪
{ }
p
sea linealmente independiente. ¿p
es único?3) ¿Existe un polinomio
q
tal queH
∪
{ }
p
,
q
sea linealmente independiente?. Justificar su respuesta.Ejercicio 6 (COROLARIO DEL TEOREMA 1)
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
=
{
v
1,
...,
v
n}
un subconjunto deV
.Si
H
es linealmente independiente y existenλ
1,
λ
2,...,
λ
n,
µ
1,
µ
2,...,
µ
n escalares deK
tales quen n n
n
v
v
v
v
v
v
λ
λ
µ
µ
µ
λ
1 1+
2 2+
...
+
=
1 1+
2 2+
...
+
, demostrar que
λ
1=
µ
1,
λ
2=
µ
2,
...
,
λ
n=
µ
n.
Ejercicio 7
Sean
A
yB
dos conjuntos contenidos en un espacio vectorialV
. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.1) Si
A
contiene al vector nulo deV
, entoncesA
es linealmente dependiente.2) Si
A
es un conjunto de vectores no nulos y ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes, entoncesA
es linealmente independiente.3) Si
A
es linealmente dependiente, entonces cualquier vector deA
es combinación lineal de los restantes. 4) SiA
⊂
B
yA
es linealmente independiente, entoncesB
es linealmente independiente.9
Ejercicio 8
Sabiendo que el conjunto
H
=
{
v
1,
v
2,
v
3}
⊂
R
5es linealmente independiente, indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando sus respuestas.1) Si
v
4≠
v
3 es un vector deR
5 tal que{
v
1,
v
2,
v
4}
es LI, entonces{
v
1,
v
2,
v
3,
v
4}
es LI. 2) Cualquier vectorv
∈
R
5 se puede escribir como combinación lineal de los vectores deH
.3) El conjunto
{
2
v
1+
3
v
2,
4
v
1−
v
3,
v
2}
es LI.PROPIEDADES
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yH
un subconjunto deV
.1) Si
H
es LI yw
es un vector cualquiera perteneciente aV
que no es combinación lineal de los vectores deH
entoncesnH
∪
{ }
w
es un conjunto LI. (Ampliación de un conjunto LI)2) Si
H
es LI y contiene por lo menos dos vectores, entonces al eliminar uno de ellos el nuevo conjunto sigue siendo. LI.Es decir, si
H
es LI ,#
H
≥
2
yv
k∈
H
, entoncesH
−
{ }
v
k es LI.. (Reducción de un conjunto LI)3) Si
H
=
{
v
1,
v
2,
v
3,...,
v
n}
es LI y consideramos el vectorw
=
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
kv
k+
...
+
λ
nv
n dondeλ
k≠
0
, entonces(
H
−
{ } { }
v
k)
∪
w
es LI. (Modificación de un conjunto LI)Es decir, si
H
es LI y cambiamos un vectorv
k∈
H
por otro vector que es combinación linealde los vectores de
H
en el cual el coeficiente que multiplica av
k no es cero, el nuevo conjunto sigue siendo un conjunto LI..EJEMPLO 6
Si
H
=
{
v
1,
v
2,
v
3,
v
4}
es LI entonces también lo es el conjuntoL
=
{
v
1−
2
v
2,
v
2,
v
3,
v
1+
v
2+
v
3−
v
4}
.5. BASES Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Los espacios vectoriales contienen generadores especiales que son aquellos que a su vez son linealmente
independientes, tales generadores son llamados bases. Las bases tienen la particularidad de que cada vector del espacio vectorial, se puede escribir de manera única, como combinación lineal de los vectores de la base.
DEFINICIÓN DE BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yB
=
(
v
1,
v
2,...,
v
n)
un subconjunto ordenado deV
. Diremos queB
es una base deV
sí y sólo siB
es un generador linealmente independiente deV
.De la definición de base se puede deducir que
B
es base deV
sí y solo si, todo vector deV
se puede escribir de forma única como combinación lineal de los vectores deB
.10
EJEMPLO 7
1) El conjunto
B
=
(
(
1
,
0
)
;
(
0
,
1
)
)
es LI y generador del espacioR
2, por lo tanto es una base de dicho espacio. 2) El conjuntoB
=
(
2
;
x
+
1
;
x
2)
es LI y generador del espacio de polinomiosP
2(
R
)
, por tal motivo es una base.3) El conjunto
=
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
B
es una base del espacio de las matricesM
2×2(
R
)
OBSERVACIONES
1) Todo espacio vectorial no nulo tiene una base. Si bien este hecho puede ser demostrado, hemos decidido no hacerlo. Los interesados pueden encontrar la demostración en el libro de Álgebra Lineal de Stanley L. Grossman.
2) Usando las propiedades de modificación de un conjunto LI y de un generador, es que podemos concluir que a partir de una base de un espacio vectorial podemos obtener infinitas bases de él.
EJEMPLO 8
Estudiaremos para que valores de
a
∈
R
el conjunto ordenadoB
=
(
(
1
,
a
)
;
(
a
,
1
)
)
es una base deR
2. SiB
es una base deR
2 entoncesB
debe ser un generador linealmente independiente.Para que
B
sea un generador deR
2, debemos hallar los valores dea
∈
R
para los cuales el sistema)
1
,
(
)
,
1
(
)
,
(
v
1v
2=
λ
1a
+
λ
2a
es compatible determinado para todo vector(
v
1,
v
2)
∈
R
2.El sistema
+
=
+
=
2 1 2 2 1 1λ
λ
λ
λ
a
v
a
v
es compatible determinado para toda pareja
(
v
1,
v
2)
∈
R
2 si y solo si el determinante dela matriz
1
1
a
a
es distinto de cero. Por tal motivo,
B
es un generador deR
2 sí y solo sia
≠
±
1
.Es inmediato verificar que para
a
≠
±
1
,B
es linealmente independiente ya que la única forma de obtener el vector nulo a partir de los vectores deB
, es usando coeficientes nulos.⇔
+
=
(
1
,
)
(
,
1
)
)
0
,
0
(
λ
1a
λ
2a
0
0
0
2 1 1 2 1 21
⇔
=
=
=
+
=
+
± ≠λ
λ
λ
λ
λ
λ
aa
a
Hemos demostrado que
B
es una base deR
2 si, y solo si,a
≠
±
1
.Cuando
a
=
1
,B
=
( )
(
1
,
1
)
y el subespacio generado porB
es[ ] {
B
=
(
x
,
x
)
/
x
∈
R
}
y cuandoa
=
−
1
,(
(
1
,
−
1
)
)
=
B
y el subespacio generado en este caso porB
es[ ]
B
=
{
(
x
,
−
x
)
/
x
∈
R
}
.Ejercicio 9
a) Indicar si los siguientes conjuntos son base de
R
3. En caso de no serlo, eliminar o agregar vectores para que lo sea. 1)H
=
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
2
)
)
2)H
=
(
(
1
,
2
,
3
)
,
(
1
,
3
,
2
)
,
(
1
,
4
,
1
)
)
3)
H
=
(
(
1
,
2
,
3
)
,
(
4
,
5
,
6
)
,
(
7
,
8
,
9
)
)
4)H
=
(
(
1
,
2
,
3
)
,
(
0
,
1
,
2
)
,
(
1
,
1
,
1
)
,
(
2
,
3
,
4
)
)
b) Hallar en cada caso el o los valoresa
∈
R
de para los cuales el conjuntoH
es base deV
. 1)H
=
(
(
a
,
a
2,
1
)
,
(
−
1
,
2
a
,
a
)
,
(
0
,
2
a
2,
a
2+
1
)
)
,V
=
R
32)
H
=
(
(
1
,
−
2
,
1
,
0
)
,
(
1
,
−
3
,
−
2
,
2
)
,
(
0
,
−
2
,
1
,
−
5
)
,
(
2
,
0
,
7
,
1
)
,
(
4
,
−
5
,
6
,
a
)
)
,V
=
R
43)
H
=
(
4
x
+
3
,
x
2−
1
,
ax
2+
4
x
+
5
)
,V
=
P
2(
R
)
4)
=
a
H
4
4
5
,
2
4
5
6
,
0
1
1
2
,
1
2
2
3
,
V
=
M
2×2(
R
)
11
DEFINICIÓN DE COORDENADAS DE UN VECTOR
SeaV
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
.Si
B
=
(
v
1,
v
2,...,
v
n)
es una base deV
, entonces para cadav
∈
V
, existe una única n- upla ordenada de escalares(
λ
1,
λ
2,
...,
λ
n)
tal quev
=
λ
1v
1+
λ
2v
2+
...
+
λ
nv
n .Al vector
(
λ
1,
λ
2,
...,
λ
n)
se le llama coordenadas del vectorv
en la baseB
y se lo designa con el símbolo(
v
)
B. Es importante observar que si cambiamos el orden de los vectores de la base, cambian las coordenadas del vectorv
. Esto queda más claro en el siguiente ejemplo.EJEMPLO 9
Es sencillo verificar que los conjuntos
E
=
(
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
yB
=
(
(
1
,
2
)
,
(
−
1
,
0
)
)
son base del espacio vectorialR
2. Hallaremos las coordenadas de los vectores deE
en la baseB
. Para ello debemos escribir los vectores deE
como combinación lineal de los vectores deB
.1
0
0
2
1
)
0
,
1
(
)
2
,
1
(
)
0
,
1
(
⇔
=
∧
=
=
−
=
⇔
−
+
=
m
n
m
n
m
n
m
2 1 2 12
1
0
)
0
,
1
(
)
2
,
1
(
)
1
,
0
(
⇔
=
∧
=
=
−
=
⇔
−
+
=
x
y
x
y
x
y
x
Concluimos que las coordenadas de los vectores
(
1
,
0
)
y(
0
,
1
)
en la baseB
son respectivamente(
0
,
1
)
y(
12,
12)
.BASES CANÓNICAS
1) Para
i
∈
N
,
1
≤
i
≤
n
, llamemose
i al vector deR
n que tiene un1
en la i-ésima posición y0
en las restantes. El conjuntoE
=
(
e
1,
e
2,
e
3,...,
e
n)
es una base deR
n, llamada base canónica deR
n.2) El conjunto
=
1
...
0
0
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
...
,
0
.
...
0
0
...
...
0
...
0
0
0
...
0
1
0
,
0
....
...
0
...
...
0
.
...
0
0
0
...
0
0
1
E
que tienem
×
n
matrices cada unade tamaño
m
×
n
, las cuales tienen un1
en una sola entrada y0
en las restante, es una base del conjuntoM
m×n(
R
)
. Dicha base se llama base canónica del espacio vectorialM
m×n(
R
)
.
3) Si
R
n[ ]
x
es el conjunto que contiene al polinomio nulo y a los polinomios de coeficientes reales y de grado menor o igual an
, el conjuntoE
=
(
1
,
x
,
x
2,
...
x
n)
es una base deR
[ ]
x
n y se llama base canónica del
espacio vectorial
R
n[ ]
x
.4) Si
