ALGEBRA LINEAL NUMERICA MATRICES

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(1)

ALGEBRA LINEAL NUMERICA

ALGEBRA LINEAL NUMERICA

MATRICES

Espacios Vectoriales

MSc. Julio C. Peralta Castañeda

jperalta63@yahoo.com

(2)

Aunque

Aunque históricamente

históricamente el

el primer

primer trabajo

trabajo de

de Álgebra

Álgebra Lineal

Lineal consistió

consistió en

en

resolver

resolver sistemas

sistemas de

de

m

m

ecuaciones

ecuaciones lineales

lineales con

con

n

n

incógnitas,

incógnitas,

comenzaremos

comenzaremos este

este curso

curso estudiando

estudiando la

la estructura

estructura de

de

espacio

espacio

vectorial

vectorial..

Los

Los vectores

vectores libres

libres del

del plano

plano (del

(del espacio)

espacio) pueden

pueden sumarse

sumarse unos

unos con

con

otros

otros (por

(por la

la “ley

“ley del

del paralelogramo”)

paralelogramo”) y

y multiplicarse

multiplicarse por

por un

un número

número

real

(3)

Pero,

Pero,

¿qué

¿qué es

es un

un vector

vector libre

libre del

del plano?

plano?

Definimos

Definimos comocomo elel conjuntoconjunto dede vectoresvectores concon .. Es

Es evidenteevidente queque sese puedepuede pensarpensar queque cualquiercualquier puntopunto enen elel planoplano eses un

un vectorvector dede (definición(definición algebraicaalgebraica dede vector),vector), yy viceversaviceversa.. SinSin embargo

embargo parapara muchasmuchas aplicacionesaplicaciones físicasfísicas (incluyendo(incluyendo laslas nocionesnociones embargo,

embargo, parapara muchasmuchas aplicacionesaplicaciones físicasfísicas (incluyendo(incluyendo laslas nocionesnociones de

de fuerza,fuerza, velocidad,velocidad, aceleraciónaceleración yy momento)momento) eses importanteimportante pensarpensar enen un

un vectorvector nono comocomo unun puntopunto sinosino comocomo unauna entidadentidad queque tienetiene “longitud”

(4)

Tanto

Tanto

en

en

Física

Física

como

como

en

en

Ingeniería

Ingeniería

un

un

vector

vector

se

se

caracteriza

caracteriza por

por dos

dos magnitudes

magnitudes

(longitud

(longitud

y

y

dirección)

dirección)

y

y

se

se

representa

representa

por

por

un

un

segmento

segmento

recto

recto dirigido

dirigido.. Un

Un vector

vector en

en el

el

ll

d

d

bi

bi

plano

plano

puede

puede

ubicarse

ubicarse

en

en

diferentes

diferentes

lugares

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Sin

Sin

embargo,

embargo, con

con independencia

independencia de

de

dónde

dónde

esté

esté

situado

situado

si

si

la

la

dónde

dónde

esté

esté

situado,

situado,

si

si

la

la

longitud

longitud y

y dirección

dirección no

no varían

varían

se

(5)

Algunos

Algunos ejemplos

ejemplos que

que podemos

podemos mencionar

mencionar son

son::

9

9

los

los propios

propios números

números reales,

reales,

9

9

los

los números

números complejos,

complejos,

9

9

los

los vectores

vectores en

en el

el plano,

plano,

p

p

9

9

los

los vectores

vectores en

en el

el espacio,

espacio,

9

9

los

los polinomios

polinomios de

de grado

grado menor

menor o

o igual

igual que

que

n

n

,,

9

9

las

las funciones

funciones reales

reales de

de variable

variable real

real con

con dominio

dominio

D

D

,,,,

9

9

las

las funciones

funciones continuas

continuas en

en un

un intervalo,

intervalo,

9

9

las

las funciones

funciones derivables

derivables en

en un

un punto,

punto,

9

9

las

las funciones

las

las funciones

funciones integrables

funciones integrables

integrables en

integrables en

en un

en un

un intervalo,

un intervalo,

intervalo,

intervalo,

9

9

...

...

Un

Un vector

vector puede

puede ser

ser un

un número

número una

una

n

n

--tupla

tupla un

un polinomio

polinomio una

una

Un

Un vector

vector puede

puede ser

ser un

un número,

número, una

una

n

n

tupla,

tupla, un

un polinomio,

polinomio, una

una

función

(6)

Estructura Algebraica

Definición: una

estructura algebraica

es una n-tupla (a

1

, a

2

, ..., a

n

),

donde a

1

es un conjunto dado no vacío, y {a

2

, ..., a

n

} un conjunto de

i

li

bl

l

l

t

d di h

j

t

operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto..

•Semigrupo •Monoide •Grupo

•Grupo abeliano •Anillo

•Pseudoanillo •Cuerpo

•Módulo

•Espacio vectorial •Álgebra

(7)

Espacio vectorial

Definición:

Un

espacio vectorial

es una estructura algebraica

creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma

interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho

j

t

K

K

(8)

Propiedades de la suma de vectores

1. Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w) 2. Conmutativa: v+u=u+v.

3 Existe un elemento neutro el vector 0 tal que 0 + v = v para cualquier vector v 3. Existe un elemento neutro, el vector 0, tal que 0 + v = v para cualquier vector v. 4. Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.

Propiedades del Producto de un vector por un escalar Propiedades del Producto de un vector por un escalar

1. Asociativa: β(αv) = (β α)v 2. Distributivas:

a) Respecto de la suma de escalares: (α+ β) v = αv +v β

b) Respecto de la suma de vectores: α(u + v) = αu +αv

(9)

Ejemplo 1:

El espacio, formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

(10)

Ejemplo 2:

Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

{

2

+

+

/

R

}

=

ax

bx

c

a

b

c

P

Es un espacio vectorial real.

{

/

,

,

R

}

2

=

ax

+

bx

+

c

a

b

c

P

(11)

Ejemplo: 3

Conjunto

Conjunto dede laslas matricesmatrices realesreales dede mm filasfilas yy nn columnascolumnas

(12)

Ejemplo: 4

El conjunto de las funciones continuas definidas en RR : Se pueden sumar dos funciones, y se puede multiplicar una función por un escalar real.

(13)

Subespacio Vectorial:

Definición: Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

Es decir:

0 א S • 0 א S .

• Si v, w א S entonces v + w א S.

• Si v א S y λ es un escalar, entonces λv א S.

(14)

Ejemplo 1:

La recta x=y es un subespacio de R2. Está formado por los vectores de la

forma (a,a) contiene al vector (0,0). forma (a,a) contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

S ( ) (b b) ( b b) t bié l t d l

• Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la

recta.

• Producto por un escalar: λאԸ, λ(a,a) = (λa, λa) que también es un

(15)

Ejemplo 2:

El plano XY es un subespacio de Ը3. Está formado por los vectores de la

forma (x,y,0). Contiene al vector (0,0,0) forma (x,y,0). Contiene al vector (0,0,0)

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

S ( 0) ( ’ ’ 0) ( ’ ’ 0) t bié l t

• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento

del plano.

• Producto por un escalar: λאԸ, λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un p , ( ,y, ) ( , y, ) q

(16)

Ejemplo: 3

a

b

En M2 = { matrices 2x2 }, el conjunto de las matrices simétricas es un subespacio

.

a

b

b

c

Contiene a la matriz nula, y es cerrado para las operaciones:

• Suma:

'

'

'

'

a

b

a

b

a

+

a

b

+

b

+

=

que también es una matriz simétrica.

• Producto por escalar:

'

'

'

'

b

c

+

b

c

=

b

b

c

c

+

+

b

λ

λ

b

⎞ ⎛

• Producto por escalar:

que también es una matriz simétrica.

,

a

b

a

b

b

c

b

c

λ

λ

λ

λ

λ

λ

⎞ ⎛

⎟ ⎜

=

⎠ ⎝

R

(17)

Combinación Lineal

Definición:

S

ean los vectores v1, v2, …. vn vectores de un espacio

vectorial V, entonces cualquier vector de la forma

1 1 2 2 n n

a v

+

a v

+ +

"

a v

Donde a1, a2, …. an son escalares se llama combinación lineal de v1, v2, …. vnn

Ejemplo:

S

ean los vectores v1=(-1,2,4)t , v

2 =(5,-3,1)t el vector v=(-7 ,7 ,7)t es una combinación lineal de v

1, v2 ya que:

) 1 2 y q

7

1

5

(18)

Conjunto Generador

Definición:

S

e dice que los vectores v1, v2, …. vn en un espacio vectorial

V, generan a V si todos los vectores de V se pueden escribir como

combinación lineal de ellos. Es decir, para todo v∈V, existen escalares a1,

a a tales que:

a2, …. an tales que:

1 1 2 2 n n

v

=

a v

+

a v

+ +

"

a v

Ejemplo:

S

ean los vectores i=(1 ,0,0)t , j =(0,1,0)t y k =(0,0,1)t

(19)

Espacio Generado

Definición:

S

ean los vectores v11, v, 22, …. v, nn n vectores de un espacio p

vectorial V. El espacio generado por {v1, v2, …. vn } es el conjunto de las combinaciones lineales de v1, v2, …. vn . Es decir:

{

} {

}

{

1

,

2

,

n

} {

:

1 1 2 2 n n

}

(20)

Teorema:

Si

v1, v2, …. vn son vectores de un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …. vn } es un subespacio de V

Observación:

El espacio generado por dos vectores diferentes de

cero en R

3

que no son paralelos es un plano que pasa por el origen.

Figure

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