CÁLCULO PROPORCIONAL
Una introducción a los infinitos tipos de
cálculos
William Campillay
1
Fernando Córdova
2
1
wcampillay@utalca.cl
Contenido
1
Cuestionamientos Iniciales
2
Teoría de Proporciones
Definamos nuestra manera de medir
3
La Derivada Proporcional
Aplicación
4
La Integral Proporcional
Aplicaciones
5
Hay infinitos Cálculos
6
Proyecciones de este tipo de cálculo
Acontecimiento histórico Proporcional
Acontecimiento histórico Proporcional
¿Qué significa
π
unidades cuadradas?
Acontecimiento histórico Proporcional
¿Qué significa
π
unidades cuadradas?
Acontecimiento histórico Proporcional
¿Qué significa
π
unidades cuadradas?
¿Es posible agregar de otra manera?
¿Qué es medir?
Acontecimiento histórico Proporcional
¿Qué significa
π
unidades cuadradas?
¿Es posible agregar de otra manera?
¿Qué es medir?
La idea de agregar
La idea de agregar
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
Cuando queremos resumir la expresión 3
+
3
+
3
+
3, ¿En qué
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
Cuando queremos resumir la expresión 3
+
3
+
3
+
3, ¿En qué
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
Cuando queremos resumir la expresión 3
+
3
+
3
+
3, ¿En qué
pensamos? y que ocurre con 2
·
2
·
2
·
2... hemos aprendido
que es 2
4
, pero ¿Por qué? si lo que sabemos es:
Más difícil que 1
+
1...
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
) = (
e
·
e
·
e
·
e
)
⊗
2
=
e
4
⊗
2
hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de
esto que puede ser más natural la representación de 2
4
ya que
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
) = (
e
·
e
·
e
·
e
)
⊗
2
=
e
4
⊗
2
hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de
esto que puede ser más natural la representación de 2
4
ya que
La nueva operación
⊗
La nueva operación
⊗
Es sabido que 3
5
6
=
5
3
, en general ocurre que si
(
a
,
b
)
∈ ℜ
+
× ℜ
+
La nueva operación
⊗
Es sabido que 3
5
6
=
5
3
, en general ocurre que si
(
a
,
b
)
∈ ℜ
+
× ℜ
+
a
b
6
=
b
a
.
La expresión anterior nos motiva a definir la siguiente ley de
composición interna:
ϕ
:
ℜ
+
× ℜ
+
−→ ℜ
+
Propiedades
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a
.
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a
.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c
.
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a
.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c
.
3
Elemento neutro: a
⊗
e
=
a
.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a
.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c
.
3
Elemento neutro: a
⊗
e
=
a
.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
1 ln(a)
=
e
.
5
Distributividad de la exponenciación respecto al producto
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a
.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c
.
3
Elemento neutro: a
⊗
e
=
a
.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
1 ln(a)
=
e
.
5
Distributividad de la exponenciación respecto al producto
a
⊗
(
bc
) = (
a
⊗
b
)(
a
⊗
c
).
Teorema
El conjunto
ℜ
+
dotado con la multiplicación usual de los
números reales y la operación exponenciación,
⊗
, es un
¿Existe la Teoría de Proporciones?
¿Existe la Teoría de Proporciones?
Fracción: es considerada como un megaconcepto, debido
a su complejidad, por ejemplo, no es lo mismo repartir tres
frutas entre cinco personas, que tres lápices en cinco
personas; tampoco se puede plantear como equivalente la
mitad de un queque con la mitad de una sala (Segura y
Romero)...
Razón: es una manera de comparar magnitudes,
¿La conmensurabilidad?
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
p
q
.
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
p
q
.
Proporción: es una igualdad entre dos razones.
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
p
q
.
Proporción: es una igualdad entre dos razones.
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
p
q
.
Proporción: es una igualdad entre dos razones.
Resulta necesario precisar que significa
d
L
=
p
q
=
√
2
¿La conmensurabilidad?
La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un
lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:
d
L
=
p
q
.
Proporción: es una igualdad entre dos razones.
Resulta necesario precisar que significa
d
L
=
p
q
=
√
2
Se puede demostrar por reducción al absurdo.
Definamos nuestra manera de medir
Valor relativo
Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es
por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la
Definamos nuestra manera de medir
Valor relativo
Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es
por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la
manera de hacerlo.
Definamos nuestra manera de medir
Valor relativo
Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es
por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la
manera de hacerlo.
¿Cuál será la función valor absoluto correspondiente?
Definición
Dado x
∈ ℜ
+
definimos el valor relativo de x , denotado por
[[
x
]]
, como:
[[
x
]] =
x
si x
≥
1
1
Definamos nuestra manera de medir
Valor relativo
x
y
x1
y1
Definamos nuestra manera de medir
Definamos nuestra manera de medir
Definición
Dado un cojunto E , c
=
c
(
x
,
y
)
representa la distancia relativa
Definamos nuestra manera de medir
Definición
Dado un cojunto E , c
=
c
(
x
,
y
)
representa la distancia relativa
entre los puntos x e y de E si c
:
E
×
E
−→ ℜ
verifica:
c
(
x
,
y
)
≥
1 para cada par x
,
y
∈
E
.
c
(
x
,
y
) =
1 si, y sólo si x
=
y
.
c
(
x
,
y
) =
c
(
y
,
x
)
para cada x
,
y
∈
E
.
Definamos nuestra manera de medir
Definición
Dado un cojunto E , c
=
c
(
x
,
y
)
representa la distancia relativa
entre los puntos x e y de E si c
:
E
×
E
−→ ℜ
verifica:
c
(
x
,
y
)
≥
1 para cada par x
,
y
∈
E
.
c
(
x
,
y
) =
1 si, y sólo si x
=
y
.
c
(
x
,
y
) =
c
(
y
,
x
)
para cada x
,
y
∈
E
.
c
(
x
,
z
)
≤
c
(
x
,
y
)
·
c
(
y
,
z
)
para cada x
,
y
,
z
∈
E
.
Si c verifica lo anterior de denominará métrica relativa y
(
E
,
c
)
¿Qué significa este límite?
lim
k→
0
(
f
((
1
+
k
)
x
)
f
(
x
)
)
1 k
=
lim
h→
1
(
f
(
c
·
h
)
f
(
c
)
)
¿Qué significa este límite?
lim
k→
0
(
f
((
1
+
k
)
x
)
f
(
x
)
)
1 k
=
lim
h→
1
(
f
(
c
·
h
)
f
(
c
)
)
1 ln(h)
Derivada Proporcional
La función f es
π
-derivable en x
0
si
lim
x→x
0f
(
x
)
f
(
x
0
)
⊘
x
x
0
=
lim
x→x
0f
(
x
)
f
(
x
0
)
1ln(x x0)
Siempre que este límite exista, en este caso aquel límite los
designamos por
f
]
(
x
0
)
y recibe el nombre de derivada
proporcional ó pi-derivada de f en x
0
(Decimos que f es
Algunas Propiedades
Teorema
Algunas Propiedades
Teorema
Algunas Propiedades
Teorema
Sea f :
ℜ
+
→ ℜ
+
donde f
(
x
) =
x , entonces
e
f
(
x
0
) =
e
.
Teorema
Algunas Propiedades
Teorema
Sea f :
ℜ
+
→ ℜ
+
donde f
(
x
) =
x , entonces
e
f
(
x
0
) =
e
.
Teorema
Algunas Propiedades
Teorema
Sea f :
ℜ
+
→ ℜ
+
donde f
(
x
) =
x , entonces
e
f
(
x
0
) =
e
.
Teorema
Si f es una función constante, entonces
e
f
(
x
0
) =
1
.
Teorema (Linealidad)
Algunas Propiedades
Teorema
Sea f :
ℜ
+
→ ℜ
+
donde f
(
x
) =
x , entonces
e
f
(
x
0
) =
e
.
Teorema
Si f es una función constante, entonces
e
f
(
x
0
) =
1
.
Teorema (Linealidad)
Para todo
α
,
β
∈ ℜ
, tenemos que:
]
f
α
g
β
(
x
Teorema
Para la operación exponenciación
]
Teorema
Para la operación exponenciación
]
f
⊗
g
= ((
e
f
)
⊗
g
)
·
((
e
g
)
⊗
f
).
Regla de la cadena proporcional
g
Teorema
Para la operación exponenciación
]
f
⊗
g
= ((
e
f
)
⊗
g
)
·
((
e
g
)
⊗
f
).
Regla de la cadena proporcional
g
f
◦
g
= (
e
f
◦
g
)
⊗
g
e
.
La unión entre los mundos
Si f
′
(
x
0
)
es la derivada usual, tenemos que:
f
′
(
x
0
) =
f
(
x
0
)
x
0
·
¿Cuál es nuestra recta?
Recta
¿Cuál es nuestra recta?
Recta
y
=
b
·
x
⊗
m
=
b
·
x
ln
(
m
)
.
¿Cuál es nuestra recta?
Recta
y
=
b
·
x
⊗
m
=
b
·
x
ln
(
m
)
.
y
=
b
·
x
r
,
r
∈ ℜ
.
Dimensiones de un cráneo de diferentes especies
Alometría
Es una función de potencia f
(
x
) =
b
·
x
⊗
m que relaciona
Dimensiones de un cráneo de diferentes especies
Alometría
Es una función de potencia f
(
x
) =
b
·
x
⊗
m que relaciona
diferentes cosas entre sí.
Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que
presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.
El primer dato escogido es P
0
= (
1
;
3
,
5
)
, con esto el parámetro
b es fácil de obtener, pues representa el valor de f
(
x
)
cuando
x
=
1, luego
Dimensiones de un cráneo de diferentes especies
Alometría
Es una función de potencia f
(
x
) =
b
·
x
⊗
m que relaciona
diferentes cosas entre sí.
Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que
presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.
El primer dato escogido es P
0
= (
1
;
3
,
5
)
, con esto el parámetro
b es fácil de obtener, pues representa el valor de f
(
x
)
cuando
x
=
1, luego
f
(
1
) =
b
·
(
1
)
r
=
3
,
5
luego
b
=
3
,
5
Consideremos P
1
= (
3
;
23
.
9
)
y P
2
= (
2
;
11
.
8
)
, luego es posible
calcular la pendiente proporcional como sigue:
y
1y
2⊘
x
1x
2=
m,
reemplazando los puntos en la fórmula tenemos que:
m
=
23
,
9
11
,
8
⊘
3
2
= (
23
,
9
11
,
8
)
(
1 ln(32))
Longitud del cuerpo v
/
s longitud del cráneo
f
(
x
) =
3
,
5
·
x
⊗
5
,
70113
x
y
x
1
y
1
La pendiente
Consideremos dos puntos distintos sobre una recta
proporcional, sean P
1
= (
x
1
,
y
1
)
y P
2
= (
x
2
,
y
2
)
aquellos
puntos. Podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:
y
1
y
2
=
b
·
x
1
r
b
·
x
r
2
ln
(
y
1
y
2
) =
r
·
ln
(
x
1
x
2
)
ln
(
y
1y
2)
ln
(
x
1x
2)
=
r
y
1
y
2
=
b
·
x
1
r
b
·
x
r
2
ln
(
y
1
y
2
) =
r
·
ln
(
x
1
x
2
)
ln
(
y
1y
2)
ln
(
x
1x
2)
=
r
(1)
Pendiente
y
2
y
1
⊘
Aplicación
Taylor Proporcional
Sabemos que una función f puede ser representada en una
vecindad del punto a como un polinomio en x
−
a donde c esta
entre x y a
Taylor Tradicional
f
(
x
) =
n
X
k
=0
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
f
(
n
+1)
(
c
)
(
n
+
1
)!
(
x
−
a
)
Aplicación
Taylor Proporcional
Sabemos que una función f puede ser representada en una
vecindad del punto a como un polinomio en x
−
a donde c esta
entre x y a
Taylor Tradicional
f
(
x
) =
n
X
k
=0
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
f
(
n
+1)
(
c
)
(
n
+
1
)!
(
x
−
a
)
(
n
+1)
Taylor Proporcional
f
(
x
) =
n
Y
k
=0
[
e
f
(
k
)
(
a
)]
(x−a)k
k!
·
[
e
f
(
n
+1)
(
c
)]
Aplicación
Aproximación de la función f
(
x
) =
1
−
1
e
−xen x
=
1
L
(
x
) =
1
.
582
−
0
.
921
(
x
−
1
) +
1
.
992
(
x
−
1
)
2
2
E
(
x
) = (
1
.
582
)[
0
.
559
]
(
x−
1)
[
2
.
511
]
(x−1)Definamos la Integral Proporcional
x
y
(a,b)
(a,c)
(e,b)
(f,b)
c
b
⋄
f
a
=
c
b
⋄
e
a
·
c
b
⋄
f
e
,
Definamos la Integral Proporcional
x
y
(a,b)
(a,c)
(e,b)
(f,b)
c
b
⋄
f
a
=
c
b
⋄
e
a
·
c
b
⋄
f
e
,
pero no debemos olvidar nuestra nueva operación que hace
posible la igualdad anterior
c
b
⊗
f
a
=
c
b
⊗
e
a
·
c
b
⊗
f
e
= (
e
a
·
f
e
)
⊗
De lo finito a lo infinito
∇
a
k
=
a
k
+1
a
k
De lo finito a lo infinito
∇
a
k
=
a
k
+1
a
k
.
∇
(
a
k
b
k
) =
∇
a
k
De lo finito a lo infinito
∇
a
k
=
a
k
+1
a
k
.
∇
(
a
k
b
k
) =
∇
a
k
∇
b
k
.
Teorema Fundamental
Sea {a
k
} una sucesión, si a
k
6
=
0, entonces
n−
Y
1
k
=0
∇
a
k
=
n−
Y
1
k
=0
a
k
+1
a
k
=
a
n
a
0
La integral Definida
Sea f una función definida en el intervalo
[
a
,
b
]
para una
partición P de
[
a
,
b
]
es posible definir la
π
-integral tomando la
norma
|
P
|
tendiendo a cero, y donde x
=
αi
es un punto en el
i-ésimo intervalo de la partición:
π
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
lim
|P|→
0
Y
La integral Definida
Sea f una función definida en el intervalo
[
a
,
b
]
para una
partición P de
[
a
,
b
]
es posible definir la
π
-integral tomando la
norma
|
P
|
tendiendo a cero, y donde x
=
αi
es un punto en el
i-ésimo intervalo de la partición:
π
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
lim
|P|→
0
Y
f
(α
i
)
∆
x
iy con esto tenemos la relaciòn entre esta intregal y la usual:
π
Z
b
a
La integral Definida
Sea f una función definida en el intervalo
[
a
,
b
]
para una
partición P de
[
a
,
b
]
es posible definir la
π
-integral tomando la
norma
|
P
|
tendiendo a cero, y donde x
=
αi
es un punto en el
i-ésimo intervalo de la partición:
π
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
lim
|P|→
0
Y
f
(α
i
)
∆
x
iy con esto tenemos la relaciòn entre esta intregal y la usual:
π
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
e
R
abln
(
f
(
t
))
dt
La
π
-integral
Y
f
(
x
)ρ
x
=
lim
∇x→
1
Y
Algunos Teoremas
Teorema
Si f está acotada sobre
[
a
,
b
]
, entonces f es
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
si y sólo si para todo
ε >
1 existe una partición
∆
de
[
a
,
b
]
tal que
P
∆
+
f
P
∆−
f
Algunos Teoremas
Teorema
Si f está acotada sobre
[
a
,
b
]
, entonces f es
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
si y sólo si para todo
ε >
1 existe una partición
∆
de
[
a
,
b
]
tal que
P
∆
+
f
P
∆−
f
< ε
Teorema
Teorema (Linealidad)
Si f y g son integrables sobre
[
a
,
b
]
entonces f
·
g es integrable
sobre
[
a
,
b
]
y
b
Y
a
(
f
α
·
g
β
) = (
b
Y
a
f
)
α
·
(
b
Y
a
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a
,
b
]
y F está definida sobre
[
a
,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a
,
b
]
y F está definida sobre
[
a
,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
entonces F es continua sobre
[
a
,
b
].
Si h
>
1
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a
,
b
]
y F está definida sobre
[
a
,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
entonces F es continua sobre
[
a
,
b
].
Si h
>
1
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
h
.
Si 0
<
h
<
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
1
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
luego si
ǫ >
1 podemos expresar
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
luego si
ǫ >
1 podemos expresar
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
ǫ
considerando
[[
h
]]
< ǫ
⊘
e
M
se demuestra que
lim
h→
1
F
(
c
·
h
) =
F
(
c
).
Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional
Parte 1
Sea f
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
y defínase F sobre
[
a
,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
Si f es continua en c de
[
a
,
b
]
, entonces F es derivable en c, y
]
F
(
c
) =
f
(
c
).
Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional
Parte 1
Sea f
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
y defínase F sobre
[
a
,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
Si f es continua en c de
[
a
,
b
]
, entonces F es derivable en c, y
]
F
(
c
) =
f
(
c
).
En el caso que c sea a ó b, entonces
F
]
(
c
)
se entiende que
Parte 2
Si f es
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
y
g
e
=
f para alguna función g,
Parte 2
Si f es
π
-integrable sobre
[
a
,
b
]
y
g
e
=
f para alguna función g,
entonces
b
Y
a
f
=
g
(
b
)
Aplicaciones
Área del círculo proporcional: A(
r
) =
e
π
·
r
2.
Aplicaciones
Área del círculo proporcional: A(
r
) =
e
π
·
r
2.
¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?
Aplicaciones
Área del círculo proporcional: A(
r
) =
e
π
·
r
2.
¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?
x
{
2
}
·
y
{
2
}
=
R
{
2
}
y
{
2
}
=
R
{
2
}
Aplicaciones
Área del círculo proporcional: A(
r
) =
e
π
·
r
2.
¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?
x
{
2
}
·
y
{
2
}
=
R
{
2
}
y
{
2
}
=
R
{
2
}
x
{
2
}
luego
y
=
e
r
ln
(
R{2}Aplicaciones
Círculo Proporcional R
=
e
x
y
x1
y1
Aplicaciones
Círculo Proporcional R
=
3
x
y
x1
y1
Aplicaciones
Círculo Proporcional R
=
4
x
y
x1
y1
Aplicaciones
Círculo Proporcional R
=
6
x
y
x1
y1
Aplicaciones
Aplicaciones
Función de elasticidad f
(
x
) =
ln
(
x
)
Elasticidad
Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una
variación en el precio del bien.
Aplicaciones
Función de elasticidad f
(
x
) =
ln
(
x
)
Elasticidad
Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una
variación en el precio del bien.
la elasticidad es:
η
f
,
x
0=
ln
(
f
]
(
x
0
))
, es decir que
e
η
=
f
]
(
x
0
)
Aplicaciones
Función de elasticidad f
(
x
) =
ln
(
x
)
Elasticidad
Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una
variación en el precio del bien.
la elasticidad es:
η
f
,
x
0=
ln
(
f
]
(
x
0
))
, es decir que
e
η
=
f
]
(
x
0
)
¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad
constante?
Aplicaciones
Función de elasticidad f
(
x
) =
ln
(
x
)
Elasticidad
Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una
variación en el precio del bien.
la elasticidad es:
η
f
,
x
0=
ln
(
f
]
(
x
0
))
, es decir que
e
η
=
f
]
(
x
0
)
¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad
constante?
¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad igual
a la función f
(
x
) =
ln
(
x
)
?
Y
e
ln
(
x
)
ρ
x
=
Y
x
ρ
x
=
C
·
(
x
{
2
}
)
1 2
Aplicaciones
Q
(
x
) =
C
·
(
x
{
2
}
)
12x
y
x
1
y
1
Cuantos cálculos hay
El Isomorfismo
Tenemos que g
(
x
) =
e
(
x
)
es un isomorfismo entre las
Cuantos cálculos hay
El Isomorfismo
Tenemos que g
(
x
) =
e
(
x
)
es un isomorfismo entre las
estructuras
(
ℜ
,
+,
·
)
y
(
ℜ
+
,
·
,
⊗
)
.
Investigaciones en Matemática
1999 - A Multiplicative Calculus - University of California at
Berkeley, USA.
2004 - An Analytical Method for Some Nonlinear
Difference. Equations by Discrete Multiplicative
Differentiation - Dept. of Math, Azad Islamic University of
Karadj, Iran.
2004 - An Analytic-Numerical Method for Solving
Difference Equations with Variable Coefficients by Discrete
Multiplicative Integration - Dept. of Math., Azad Islamic
University of Karadj, Iran.
2006 - Multiplicative Runge - Kutta methods - Wroclaw
University of Technology, Poland.
2007 - Multiplicative Claculus and its applications - Ege
University, Turkey.
2007 - Invariant Functions for Discrete Derivatives and
Their Applications to Solve Non-Homogenous Linear and
Non-Linear Difference Equations - Azad Islamic University
of Karadj, Iran.
Investigaciones en Didáctica
Reflexión entorno a la idea de agregar
Teoría de Proporciones
El concepto de lìmite
La Transformación Pedagógica
La Transformación Pedagógica
La Transformación Pedagógica
Fin
Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías
coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es
hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar
a la práctica lo que pensamos con un convencimiento
La Transformación Pedagógica
Fin
Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías
coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es
hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar
a la práctica lo que pensamos con un convencimiento
absoluto.
La Transformación Pedagógica
Fin
Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías
coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es
hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar
a la práctica lo que pensamos con un convencimiento
absoluto.
¿Dónde están los Arquímides, los Cauchy, los
Riemann, los Einstein? esta claro, en nuestra aulas,
La Transformación Pedagógica
