CÁLCULO PROPORCIONAL Una introducción a los infinitos tipos de cálculos

128 

Texto completo

(1)

CÁLCULO PROPORCIONAL

Una introducción a los infinitos tipos de

cálculos

William Campillay

1

Fernando Córdova

2

1

wcampillay@utalca.cl

(2)

Contenido

1

Cuestionamientos Iniciales

2

Teoría de Proporciones

Definamos nuestra manera de medir

3

La Derivada Proporcional

Aplicación

4

La Integral Proporcional

Aplicaciones

5

Hay infinitos Cálculos

6

Proyecciones de este tipo de cálculo

(3)
(4)

Acontecimiento histórico Proporcional

(5)

Acontecimiento histórico Proporcional

¿Qué significa

π

unidades cuadradas?

(6)

Acontecimiento histórico Proporcional

¿Qué significa

π

unidades cuadradas?

(7)

Acontecimiento histórico Proporcional

¿Qué significa

π

unidades cuadradas?

¿Es posible agregar de otra manera?

¿Qué es medir?

(8)

Acontecimiento histórico Proporcional

¿Qué significa

π

unidades cuadradas?

¿Es posible agregar de otra manera?

¿Qué es medir?

(9)
(10)

La idea de agregar

(11)

La idea de agregar

(12)
(13)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

(14)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

Cuando queremos resumir la expresión 3

+

3

+

3

+

3, ¿En qué

(15)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

Cuando queremos resumir la expresión 3

+

3

+

3

+

3, ¿En qué

(16)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

Cuando queremos resumir la expresión 3

+

3

+

3

+

3, ¿En qué

pensamos? y que ocurre con 2

·

2

·

2

·

2... hemos aprendido

que es 2

4

, pero ¿Por qué? si lo que sabemos es:

(17)
(18)

Más difícil que 1

+

1...

(19)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(20)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

) = (

e

·

e

·

e

·

e

)

2

=

e

4

2

hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de

esto que puede ser más natural la representación de 2

4

ya que

(21)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

) = (

e

·

e

·

e

·

e

)

2

=

e

4

2

hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de

esto que puede ser más natural la representación de 2

4

ya que

(22)
(23)

La nueva operación

(24)

La nueva operación

Es sabido que 3

5

6

=

5

3

, en general ocurre que si

(

a

,

b

)

∈ ℜ

+

× ℜ

+

(25)

La nueva operación

Es sabido que 3

5

6

=

5

3

, en general ocurre que si

(

a

,

b

)

∈ ℜ

+

× ℜ

+

a

b

6

=

b

a

.

La expresión anterior nos motiva a definir la siguiente ley de

composición interna:

ϕ

:

+

× ℜ

+

−→ ℜ

+

(26)
(27)

Propiedades

(28)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a

.

(29)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a

.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c

.

(30)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a

.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c

.

3

Elemento neutro: a

e

=

a

.

4

Elemento inverso: a

e

(31)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a

.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c

.

3

Elemento neutro: a

e

=

a

.

4

Elemento inverso: a

e

1 ln(a)

=

e

.

5

Distributividad de la exponenciación respecto al producto

(32)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a

.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c

.

3

Elemento neutro: a

e

=

a

.

4

Elemento inverso: a

e

1 ln(a)

=

e

.

5

Distributividad de la exponenciación respecto al producto

a

(

bc

) = (

a

b

)(

a

c

).

Teorema

El conjunto

+

dotado con la multiplicación usual de los

números reales y la operación exponenciación,

, es un

(33)
(34)

¿Existe la Teoría de Proporciones?

(35)

¿Existe la Teoría de Proporciones?

Fracción: es considerada como un megaconcepto, debido

a su complejidad, por ejemplo, no es lo mismo repartir tres

frutas entre cinco personas, que tres lápices en cinco

personas; tampoco se puede plantear como equivalente la

mitad de un queque con la mitad de una sala (Segura y

Romero)...

Razón: es una manera de comparar magnitudes,

(36)

¿La conmensurabilidad?

(37)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

(38)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

p

q

.

(39)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

p

q

.

Proporción: es una igualdad entre dos razones.

(40)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

p

q

.

Proporción: es una igualdad entre dos razones.

(41)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

p

q

.

Proporción: es una igualdad entre dos razones.

Resulta necesario precisar que significa

d

L

=

p

q

=

2

(42)

¿La conmensurabilidad?

La razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un

lado, es ¿conmensurable? si lo fuera debiera cumplirse que:

d

L

=

p

q

.

Proporción: es una igualdad entre dos razones.

Resulta necesario precisar que significa

d

L

=

p

q

=

2

Se puede demostrar por reducción al absurdo.

(43)

Definamos nuestra manera de medir

Valor relativo

Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es

por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la

(44)

Definamos nuestra manera de medir

Valor relativo

Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es

por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la

manera de hacerlo.

(45)

Definamos nuestra manera de medir

Valor relativo

Hemos visto que medir depende de lo que queramos medir, es

por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar la

manera de hacerlo.

¿Cuál será la función valor absoluto correspondiente?

Definición

Dado x

∈ ℜ

+

definimos el valor relativo de x , denotado por

[[

x

]]

, como:

[[

x

]] =

x

si x

1

1

(46)

Definamos nuestra manera de medir

Valor relativo

x

y

x1

y1

(47)

Definamos nuestra manera de medir

(48)

Definamos nuestra manera de medir

Definición

Dado un cojunto E , c

=

c

(

x

,

y

)

representa la distancia relativa

(49)

Definamos nuestra manera de medir

Definición

Dado un cojunto E , c

=

c

(

x

,

y

)

representa la distancia relativa

entre los puntos x e y de E si c

:

E

×

E

−→ ℜ

verifica:

c

(

x

,

y

)

1 para cada par x

,

y

E

.

c

(

x

,

y

) =

1 si, y sólo si x

=

y

.

c

(

x

,

y

) =

c

(

y

,

x

)

para cada x

,

y

E

.

(50)

Definamos nuestra manera de medir

Definición

Dado un cojunto E , c

=

c

(

x

,

y

)

representa la distancia relativa

entre los puntos x e y de E si c

:

E

×

E

−→ ℜ

verifica:

c

(

x

,

y

)

1 para cada par x

,

y

E

.

c

(

x

,

y

) =

1 si, y sólo si x

=

y

.

c

(

x

,

y

) =

c

(

y

,

x

)

para cada x

,

y

E

.

c

(

x

,

z

)

c

(

x

,

y

)

·

c

(

y

,

z

)

para cada x

,

y

,

z

E

.

Si c verifica lo anterior de denominará métrica relativa y

(

E

,

c

)

(51)

¿Qué significa este límite?

lim

k→

0

(

f

((

1

+

k

)

x

)

f

(

x

)

)

1 k

=

lim

h→

1

(

f

(

c

·

h

)

f

(

c

)

)

(52)

¿Qué significa este límite?

lim

k→

0

(

f

((

1

+

k

)

x

)

f

(

x

)

)

1 k

=

lim

h→

1

(

f

(

c

·

h

)

f

(

c

)

)

1 ln(h)

Derivada Proporcional

La función f es

π

-derivable en x

0

si

lim

x→x

0

f

(

x

)

f

(

x

0

)

x

x

0

=

lim

x→x

0

f

(

x

)

f

(

x

0

)

1

ln(x x0)

Siempre que este límite exista, en este caso aquel límite los

designamos por

f

]

(

x

0

)

y recibe el nombre de derivada

proporcional ó pi-derivada de f en x

0

(Decimos que f es

(53)

Algunas Propiedades

Teorema

(54)

Algunas Propiedades

Teorema

(55)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

+

→ ℜ

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e

.

Teorema

(56)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

+

→ ℜ

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e

.

Teorema

(57)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

+

→ ℜ

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e

.

Teorema

Si f es una función constante, entonces

e

f

(

x

0

) =

1

.

Teorema (Linealidad)

(58)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

+

→ ℜ

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e

.

Teorema

Si f es una función constante, entonces

e

f

(

x

0

) =

1

.

Teorema (Linealidad)

Para todo

α

,

β

∈ ℜ

, tenemos que:

]

f

α

g

β

(

x

(59)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

(60)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

f

g

= ((

e

f

)

g

)

·

((

e

g

)

f

).

Regla de la cadena proporcional

g

(61)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

f

g

= ((

e

f

)

g

)

·

((

e

g

)

f

).

Regla de la cadena proporcional

g

f

g

= (

e

f

g

)

g

e

.

La unión entre los mundos

Si f

(

x

0

)

es la derivada usual, tenemos que:

f

(

x

0

) =

f

(

x

0

)

x

0

·

(62)
(63)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

(64)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

y

=

b

·

x

m

=

b

·

x

ln

(

m

)

.

(65)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

y

=

b

·

x

m

=

b

·

x

ln

(

m

)

.

y

=

b

·

x

r

,

r

∈ ℜ

.

(66)
(67)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

(68)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

diferentes cosas entre sí.

Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que

presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.

El primer dato escogido es P

0

= (

1

;

3

,

5

)

, con esto el parámetro

b es fácil de obtener, pues representa el valor de f

(

x

)

cuando

x

=

1, luego

(69)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

diferentes cosas entre sí.

Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que

presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.

El primer dato escogido es P

0

= (

1

;

3

,

5

)

, con esto el parámetro

b es fácil de obtener, pues representa el valor de f

(

x

)

cuando

x

=

1, luego

f

(

1

) =

b

·

(

1

)

r

=

3

,

5

luego

b

=

3

,

5

Consideremos P

1

= (

3

;

23

.

9

)

y P

2

= (

2

;

11

.

8

)

, luego es posible

calcular la pendiente proporcional como sigue:

y

1

y

2

x

1

x

2

=

m,

reemplazando los puntos en la fórmula tenemos que:

m

=

23

,

9

11

,

8

3

2

= (

23

,

9

11

,

8

)

(

1 ln(32)

)

(70)

Longitud del cuerpo v

/

s longitud del cráneo

f

(

x

) =

3

,

5

·

x

5

,

70113

x

y

x

1

y

1

(71)

La pendiente

Consideremos dos puntos distintos sobre una recta

proporcional, sean P

1

= (

x

1

,

y

1

)

y P

2

= (

x

2

,

y

2

)

aquellos

puntos. Podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:

(72)

y

1

y

2

=

b

·

x

1

r

b

·

x

r

2

ln

(

y

1

y

2

) =

r

·

ln

(

x

1

x

2

)

ln

(

y

1

y

2

)

ln

(

x

1

x

2

)

=

r

(73)

y

1

y

2

=

b

·

x

1

r

b

·

x

r

2

ln

(

y

1

y

2

) =

r

·

ln

(

x

1

x

2

)

ln

(

y

1

y

2

)

ln

(

x

1

x

2

)

=

r

(1)

Pendiente

y

2

y

1

(74)

Aplicación

Taylor Proporcional

Sabemos que una función f puede ser representada en una

vecindad del punto a como un polinomio en x

a donde c esta

entre x y a

Taylor Tradicional

f

(

x

) =

n

X

k

=0

f

(

k

)

(

a

)

k

!

(

x

a

)

k

+

f

(

n

+1)

(

c

)

(

n

+

1

)!

(

x

a

)

(75)

Aplicación

Taylor Proporcional

Sabemos que una función f puede ser representada en una

vecindad del punto a como un polinomio en x

a donde c esta

entre x y a

Taylor Tradicional

f

(

x

) =

n

X

k

=0

f

(

k

)

(

a

)

k

!

(

x

a

)

k

+

f

(

n

+1)

(

c

)

(

n

+

1

)!

(

x

a

)

(

n

+1)

Taylor Proporcional

f

(

x

) =

n

Y

k

=0

[

e

f

(

k

)

(

a

)]

(x−a)

k

k!

·

[

e

f

(

n

+1)

(

c

)]

(76)

Aplicación

Aproximación de la función f

(

x

) =

1

1

e

x

en x

=

1

L

(

x

) =

1

.

582

0

.

921

(

x

1

) +

1

.

992

(

x

1

)

2

2

E

(

x

) = (

1

.

582

)[

0

.

559

]

(

x−

1)

[

2

.

511

]

(x−1)

(77)
(78)

Definamos la Integral Proporcional

x

y

(a,b)

(a,c)

(e,b)

(f,b)

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

,

(79)

Definamos la Integral Proporcional

x

y

(a,b)

(a,c)

(e,b)

(f,b)

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

,

pero no debemos olvidar nuestra nueva operación que hace

posible la igualdad anterior

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

= (

e

a

·

f

e

)

(80)
(81)

De lo finito a lo infinito

a

k

=

a

k

+1

a

k

(82)

De lo finito a lo infinito

a

k

=

a

k

+1

a

k

.

(

a

k

b

k

) =

a

k

(83)

De lo finito a lo infinito

a

k

=

a

k

+1

a

k

.

(

a

k

b

k

) =

a

k

b

k

.

Teorema Fundamental

Sea {a

k

} una sucesión, si a

k

6

=

0, entonces

n−

Y

1

k

=0

a

k

=

n−

Y

1

k

=0

a

k

+1

a

k

=

a

n

a

0

(84)

La integral Definida

Sea f una función definida en el intervalo

[

a

,

b

]

para una

partición P de

[

a

,

b

]

es posible definir la

π

-integral tomando la

norma

|

P

|

tendiendo a cero, y donde x

=

αi

es un punto en el

i-ésimo intervalo de la partición:

π

Z

b

a

f

(

x

)

dx

=

lim

|P|→

0

Y

(85)

La integral Definida

Sea f una función definida en el intervalo

[

a

,

b

]

para una

partición P de

[

a

,

b

]

es posible definir la

π

-integral tomando la

norma

|

P

|

tendiendo a cero, y donde x

=

αi

es un punto en el

i-ésimo intervalo de la partición:

π

Z

b

a

f

(

x

)

dx

=

lim

|P|→

0

Y

f

i

)

x

i

y con esto tenemos la relaciòn entre esta intregal y la usual:

π

Z

b

a

(86)

La integral Definida

Sea f una función definida en el intervalo

[

a

,

b

]

para una

partición P de

[

a

,

b

]

es posible definir la

π

-integral tomando la

norma

|

P

|

tendiendo a cero, y donde x

=

αi

es un punto en el

i-ésimo intervalo de la partición:

π

Z

b

a

f

(

x

)

dx

=

lim

|P|→

0

Y

f

i

)

x

i

y con esto tenemos la relaciòn entre esta intregal y la usual:

π

Z

b

a

f

(

x

)

dx

=

e

R

ab

ln

(

f

(

t

))

dt

La

π

-integral

Y

f

(

x

x

=

lim

∇x→

1

Y

(87)
(88)

Algunos Teoremas

Teorema

Si f está acotada sobre

[

a

,

b

]

, entonces f es

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

si y sólo si para todo

ε >

1 existe una partición

de

[

a

,

b

]

tal que

P

+

f

P

∆−

f

(89)

Algunos Teoremas

Teorema

Si f está acotada sobre

[

a

,

b

]

, entonces f es

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

si y sólo si para todo

ε >

1 existe una partición

de

[

a

,

b

]

tal que

P

+

f

P

∆−

f

< ε

Teorema

(90)

Teorema (Linealidad)

Si f y g son integrables sobre

[

a

,

b

]

entonces f

·

g es integrable

sobre

[

a

,

b

]

y

b

Y

a

(

f

α

·

g

β

) = (

b

Y

a

f

)

α

·

(

b

Y

a

(91)

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a

,

b

]

y F está definida sobre

[

a

,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

(92)

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a

,

b

]

y F está definida sobre

[

a

,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

entonces F es continua sobre

[

a

,

b

].

Si h

>

1

1

M

h

F

(

c

·

h

)

(93)

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a

,

b

]

y F está definida sobre

[

a

,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

entonces F es continua sobre

[

a

,

b

].

Si h

>

1

1

M

h

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

h

.

Si 0

<

h

<

1

M

h

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

1

(94)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

(95)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

luego si

ǫ >

1 podemos expresar

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

(96)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

luego si

ǫ >

1 podemos expresar

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

ǫ

considerando

[[

h

]]

< ǫ

e

M

se demuestra que

lim

h→

1

F

(

c

·

h

) =

F

(

c

).

(97)

Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional

Parte 1

Sea f

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

y defínase F sobre

[

a

,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

Si f es continua en c de

[

a

,

b

]

, entonces F es derivable en c, y

]

F

(

c

) =

f

(

c

).

(98)

Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional

Parte 1

Sea f

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

y defínase F sobre

[

a

,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

Si f es continua en c de

[

a

,

b

]

, entonces F es derivable en c, y

]

F

(

c

) =

f

(

c

).

En el caso que c sea a ó b, entonces

F

]

(

c

)

se entiende que

(99)

Parte 2

Si f es

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

y

g

e

=

f para alguna función g,

(100)

Parte 2

Si f es

π

-integrable sobre

[

a

,

b

]

y

g

e

=

f para alguna función g,

entonces

b

Y

a

f

=

g

(

b

)

(101)

Aplicaciones

Área del círculo proporcional: A(

r

) =

e

π

·

r

2

.

(102)

Aplicaciones

Área del círculo proporcional: A(

r

) =

e

π

·

r

2

.

¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?

(103)

Aplicaciones

Área del círculo proporcional: A(

r

) =

e

π

·

r

2

.

¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?

x

{

2

}

·

y

{

2

}

=

R

{

2

}

y

{

2

}

=

R

{

2

}

(104)

Aplicaciones

Área del círculo proporcional: A(

r

) =

e

π

·

r

2

.

¿Cuàl es la representación analítica del Círculo Proporcional?

x

{

2

}

·

y

{

2

}

=

R

{

2

}

y

{

2

}

=

R

{

2

}

x

{

2

}

luego

y

=

e

r

ln

(

R{2}

(105)

Aplicaciones

Círculo Proporcional R

=

e

x

y

x1

y1

(106)

Aplicaciones

Círculo Proporcional R

=

3

x

y

x1

y1

(107)

Aplicaciones

Círculo Proporcional R

=

4

x

y

x1

y1

(108)

Aplicaciones

Círculo Proporcional R

=

6

x

y

x1

y1

(109)

Aplicaciones

(110)

Aplicaciones

Función de elasticidad f

(

x

) =

ln

(

x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

(111)

Aplicaciones

Función de elasticidad f

(

x

) =

ln

(

x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

(112)

Aplicaciones

Función de elasticidad f

(

x

) =

ln

(

x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad

constante?

(113)

Aplicaciones

Función de elasticidad f

(

x

) =

ln

(

x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad

constante?

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad igual

a la función f

(

x

) =

ln

(

x

)

?

Y

e

ln

(

x

)

ρ

x

=

Y

x

ρ

x

=

C

·

(

x

{

2

}

)

1 2

(114)

Aplicaciones

Q

(

x

) =

C

·

(

x

{

2

}

)

12

x

y

x

1

y

1

(115)
(116)

Cuantos cálculos hay

El Isomorfismo

Tenemos que g

(

x

) =

e

(

x

)

es un isomorfismo entre las

(117)

Cuantos cálculos hay

El Isomorfismo

Tenemos que g

(

x

) =

e

(

x

)

es un isomorfismo entre las

estructuras

(

,

+,

·

)

y

(

+

,

·

,

)

.

(118)

Investigaciones en Matemática

1999 - A Multiplicative Calculus - University of California at

Berkeley, USA.

2004 - An Analytical Method for Some Nonlinear

Difference. Equations by Discrete Multiplicative

Differentiation - Dept. of Math, Azad Islamic University of

Karadj, Iran.

2004 - An Analytic-Numerical Method for Solving

Difference Equations with Variable Coefficients by Discrete

Multiplicative Integration - Dept. of Math., Azad Islamic

University of Karadj, Iran.

(119)

2006 - Multiplicative Runge - Kutta methods - Wroclaw

University of Technology, Poland.

2007 - Multiplicative Claculus and its applications - Ege

University, Turkey.

2007 - Invariant Functions for Discrete Derivatives and

Their Applications to Solve Non-Homogenous Linear and

Non-Linear Difference Equations - Azad Islamic University

of Karadj, Iran.

(120)
(121)

Investigaciones en Didáctica

Reflexión entorno a la idea de agregar

Teoría de Proporciones

El concepto de lìmite

(122)
(123)

La Transformación Pedagógica

(124)

La Transformación Pedagógica

(125)

La Transformación Pedagógica

Fin

Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías

coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es

hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar

a la práctica lo que pensamos con un convencimiento

(126)

La Transformación Pedagógica

Fin

Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías

coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es

hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar

a la práctica lo que pensamos con un convencimiento

absoluto.

(127)

La Transformación Pedagógica

Fin

Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías

coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es

hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar

a la práctica lo que pensamos con un convencimiento

absoluto.

¿Dónde están los Arquímides, los Cauchy, los

Riemann, los Einstein? esta claro, en nuestra aulas,

(128)

La Transformación Pedagógica

Fin

Es tiempo de crear, no importa si algunas teorías

coinciden o si nos equivocamos, lo necesario es

hacernos responsables de lo que hacemos y de llevar

a la práctica lo que pensamos con un convencimiento

absoluto.

¿Dónde están los Arquímides, los Cauchy, los

Riemann, los Einstein? esta claro, en nuestra aulas,

ciertamente con apellido americano.

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