SISTEMAS DE ECUACIONES 1- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

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17 SISTEMAS DE ECUACIONES

1- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 3 3

2 3 5

a) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 7 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

Andalucía - Junio 2014 – Opción A - Oficial

2- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 0

2 0

2 0

a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución

distinta de la solución nula. c) Resuelve el sistema para m = -2.

Andalucía - Septiembre 2014 – Opción A - Oficial 3- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

1 2 1

1 2 1

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m = 2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2.

Andalucía - Junio 2014 – Opción A – Reserva 2

4- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 0

2 3 3

a) Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación x+my+4z=-3

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

(2)

18 5- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

2 0

2

3 2

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo, si es posible, para m = 2.

Andalucía - Septiembre 2013 – Opción A – Reserva 4 6- Considera el sistema de ecuaciones

1

3 2 2 3

3 1

a) Resuelve el sistema para 1.

b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución. c) ¿Existe algún valor de λ para el que el sistema admite la solución , 0, ? Andalucía - Junio 2012 – Opción B – Oficial

7- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

2 2

2

1

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles

indeterminado.

c) Halla las soluciones en cada caso.

Andalucía - Septiembre 2012 – Opción A – Oficial

8- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas 2

0 a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ. b) Resuélvelo para λ=0 y λ=-1.

Andalucía - Septiembre 2012 – Opción B – Oficial

9- Dado el sistema de ecuaciones

2 3

2 1

3 7 1

a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. b) Resuélvelo para k = 1.

(3)

19 10- Considera el sistema de ecuaciones

1 2 1

2

2 1

a) Clasifícalo según los distintos valores de k. b) Resuélvelo para el caso k = 2.

Andalucía - Junio 2012 – Opción A – Reserva 2 11- Considera el sistema de ecuaciones

2 1

2 3

1 2

a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?

c) Resuelve el sistema para k=0.

Andalucía - Septiembre 2012 – Opción A – Reserva 3

12- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

Andalucía - Septiembre 2012 – Opción A – Reserva 4 13- Considera el sistema de ecuaciones

1

2 1

2

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. b) Resuélvelo para k = 1.

c) Resuélvelo para k = -1.

Andalucía - Septiembre 2012 – Opción B – Reserva 4 14- Dado el sistema de ecuaciones lineales

1 2 1 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema para λ=0.

(4)

20 15- Dadas las matrices

1 1 0

2 1 1

2 1 0 3 ! "

a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.

b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX=0 tiene más de una solución. Andalucía – Junio 2011 – Opción B – Reserva 2

16- Considera el sistema de ecuaciones

2 2 4 4

2 $

3 3 3 3

a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo cuando sea posible.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Reserva 4 17- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

2

2 2

a) Discútelo según los valores de λ ¿Tiene siempre solución? b) Resuelve el sistema para λ=-1.

Andalucía - Junio 2010 – Opción B - Oficial

18- a) Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

2 2 4

3 2 6

b) Resuelve el sistema anterior para λ=0.

Andalucía - Septiembre 2010 – Opción A - Oficial 19- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

2 1

1

a) Discútelo según los valores de m. b) Resuélvelo para el caso m = 1.

(5)

21 20- Considera el sistema

3 2 5

2 3 4

a) Calcula razonadamente un valor de λ para el que el sistema resultante al añadirle la ecuación x+y+λz=9 sea compatible indeterminado.

b) ¿Existe algún valor de λ para el cuál el sistema resultante no tiene solución? Andalucía - Junio 2010 – Opción A – Reserva 2

21- Considera el sistema de ecuaciones

2 6 0

2 4 2

2 6 2

a) Discútelo según los valores del parámetro λ. b) Resuélvelo para λ = 2.

Andalucía - Junio 2010 – Opción A – Reserva 4

22- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas. Andalucía - Junio 2009 – Opción B – Oficial

23- a) Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema

3 0

3 1

b) Resuélvelo para λ = 0.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A – Oficial

24- Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros. Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros. a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?

b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto.

(6)

22 25- Dado el sistema de ecuaciones lineales

4

3 5

4 a) Discútelo según los valores del parámetro λ. b) Resuélvelo en el caso λ=1.

Andalucía – Junio 2009 – Opción B – Reserva 2 26- a) Resuelve el sistema de ecuaciones

2

2 0

2 5 2

b) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema de ecuaciones tiene alguna solución común con el del apartado (a)

1

3 1

2 3

Andalucía – Septiembre 2009 – Opción A – Reserva 3 27- Sea el sistema de ecuaciones

1 1

a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. b) Resuelve el sistema en el caso m = -1.

Andalucía – Septiembre 2009 – Opción B – Reserva 4

28- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?

b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

Andalucía – Junio 2008 – Opción A – Oficial

29- Considera la matriz 1 1 1

a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3. b) Estudia si el sistema ! " 11

1 tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

(7)

23 30- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

$ 1

2 $ $

$ 1

a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a = 2.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción A – Oficial 31- Sabemos que el sistema de ecuaciones:

2 3 1

2 2

Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax+y+7z=7 a) Determina el valor de a.

b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción B – Oficial 32- Dado el sistema de ecuaciones lineales

0

2 0

5 1

a) Clasifícalo según los valores del parámetro . b) Resuélvelo para λ=-1.

Andalucía - Junio 2008 – Opción A – Reserva 1 33- Dado el siguiente sistema de ecuaciones

1 0

1 1

a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible.

b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2. Andalucía - Junio 2008 – Opción A – Reserva 2

34- Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones

2 2 2

2 3

(8)

24 35- a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente

sistema de ecuaciones tiene más de una solución: 2

2

2 4

b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.

36- a) Calcula la matriz inversa de 1 1 00 1 1

1 0 1 .

b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A-1 hallada en el apartado anterior

1 2 3 Andalucía – Junio 2007 – Opción B – Oficial

37- Considera el sistema de ecuaciones

$ 4

$ 1

$ 2

a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2.

Andalucía – Septiembre 2007 – Opción B – Oficial 38- Considera el sistema de ecuaciones

0

2 2

1

a) Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. b) Resuelve el sistema para λ = 1.

Andalucía – Junio 2007 – Opción B – Reserva 1

39- Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, 0

$ 1 2

2 2 $ 2

(9)

25 40- Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales

1 2

0

1 0

tiene más de una solución.

a) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ. b) Halla todas las soluciones del sistema.

Andalucía – Junio 2007 – Opción B – Reserva 2

41- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible:

1

Andalucía – Junio 2007 – Opción B – Reserva 3 42- Considera el sistema de ecuaciones

1 1

2 0

a) Clasifica el sistema según los valores de m.

b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Andalucía – Junio 2007 – Opción B – Reserva 4

43- Considera el sistema de ecuaciones lineales

1 4

2 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema para λ=2.

Andalucía – Septiembre 2006 – Opción A – Oficial 44- Considera el sistema de ecuaciones lineales

1

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuélvelo para λ=2.

(10)

26 45- Considera el sistema de ecuaciones lineales

2 8 10 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema para λ=2.

Andalucía - Septiembre 2006 – Opción A – Reserva 3 46- Considera las matrices

1 1 0

2 1 1

4 1 1 , ! " '

0 0 0 a) Halla el valor de ∈ ) para el que la matriz A no tiene inversa. b) Resuelve AX=O para m = 3.

Andalucía - Septiembre 2006 – Opción B – Reserva 3 47- Considera el sistema de ecuaciones lineales

4

3 1

2 2

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema para λ=1.

Andalucía - Septiembre 2006 – Opción B – Reserva 4 48- Considera el sistema de ecuaciones

2

3 7

2 2 5

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Andalucía - Junio 2005 – Opción B – Oficial

49- En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 ramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

(11)

27 50- Considera el sistema de ecuaciones

3 5

2 0

a) Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para m=1.

b) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones.

c) ¿Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? Andalucía - Junio 2005 – Opción A – Reserva 1

51- Considera el sistema de ecuaciones

* 1 2

* 1 2

1 * 1 4

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Andalucía - Junio 2005 – Opción A – Reserva 2

52- Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros

Andalucía - Junio 2005 – Opción A – Reserva 2 53- .Considera el sistema de ecuaciones

0 2

a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x=1? Andalucía - Septiembre 2005 – Opción B – Reserva 3

54- Considera el sistema de ecuaciones

5 2 0

4

2 3 0

a) Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tienen una única solución.

b) Resuelve dicho sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19.

(12)

28 55- Considera el sistema de ecuaciones

1

2 1

a) Clasifica el sistema según los valores de m.

b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. Andalucía - Junio 2005 – Opción A – Oficial

56- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

3 1

2 1

$ * 4

Tiene al menos dos soluciones.

Andalucía - Septiembre 2004 – Opción A – Oficial

57- a) Sabiendo que la matriz 31 24 12

1 $ 1 $ tiene rango 2, ¿Cuál es el valor de a? b) Resuelve el sistema de ecuaciones

3 2 1

1 4 2

1 6 5 ! "

1 0 1 Andalucía - Septiembre 2004 – Opción B – Oficial

58- Considera el sistema de ecuaciones

1

2 1

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Andalucía - Septiembre 2004 – Opción A – Reserva 1

59- Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1€ las botellas del tipo A, a 3€ las del tipo B y a 4€ las del tipo C, entonces obtiene un total de 20€. Pero si vende a 1€ las del tipo A, a 3€ las del tipo B y a 6€ las del tipo C, entonces obtiene un total de 25€.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero.

b) Resuelve dicho sistema.

c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo que posee el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo)

(13)

29 60- Considera el sistema de ecuaciones

2 2

2 0

a) Determina los valores de m para los que x=0, y=1 y z=0 es solución del sistema. b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible.

c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Andalucía - Septiembre 2004 – Opción B – Reserva 2

61- Considera el sistema de ecuaciones

3 0

2 13 2 0

$ 2 12 12 0

Determina el valor de a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.

Andalucía - Septiembre 2004 – Opción A – Reserva 3 62- Se sabe que el sistema de ecuaciones

1 1

Tiene una única solución. a) Prueba que α≠0.

b) Halla la solución del sistema.

Andalucía - Septiembre 2004 – Opción A – Reserva 4

63- Considera las matrices 22 12 12

1 2 2 ! ".

a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A+λI no tiene inversa.

b) Resuelve el sistema AX=3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

Andalucía - Septiembre 2004 – Opción B – Reserva 4

64- Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sal B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

(14)

30 65- Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones

2 2

2 4

tiene más de una solución.

Andalucía - Septiembre 2003 – Opción A – Reserva 3 66- Considera el sistema de ecuaciones

2 2

4 5 2

6 10 1

a) Discute las soluciones del sistema según los valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Andalucía - Septiembre 2003 – Opción A – Reserva 4 67- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

3 3

2

3 5 5

a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.

b) Determina, si es posible, un valor de m para el que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.

c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.

Andalucía - Septiembre 2002 – Opción B – Oficial

68- En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:

- El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.

- El precio de la empresa B es la media de los precios de A y C.

- El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2/5 del precio dado por A más 1/3 del precio dado por B.

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31 69- Sean:

1 1

1 3 2

2 1 3 , +

1 0 1

1 1 2

0 0 , *

1 5

3 , ,

2 5

0 , ! " Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial)

AX=b, BX=c Tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos). Andalucía - Junio 2002 – Opción A – Reserva 2 70- Considera el sistema de ecuaciones

1 2 4 a) Clasifícalo según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. Andalucía - Septiembre 2002 – Opción A – Reserva 3 71- Considera

1 1

2 1

3 2 2 , ! "

-2 1 1 a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A?

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