10 funciones de multiples variables presentacion pdf

(1)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables

Matem ´atica II

(2)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables

´Indice

1 Funciones de m ´ultiples variables

Definici ´on, dominio e imagen Gr ´aficos y curvas de nivel

2 L´ımites y continuidad

(3)

´Indice

1 Funciones de m ´ultiples variables

Definici ´on, dominio e imagen

Gr ´aficos y curvas de nivel

(4)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables Funciones de m ´ultiples variables

Comentarios preliminares

Muchas funciones dependen de m ´as de una variable independiente.

Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto es una funci ´onV =πr2hdel radio y la altura.

(5)

¿Qu é es una funci ón de m últiples variales?

Definici ón 1 (funci ón de m últiples variables)

Supongamos queDes un conjunto de n-tuplas de n ´umeros reales(x1,x2, . . . ,xn).

Unafunci ´on realf enDes una regla que le asigna un

´unico n ´umero

w =f(x1,x2, . . . ,xn)

a cada elemento del conjuntoD.

Des eldominiodef. El conjunto de n ´umerosw es la

imagen o rangodef.

w es lavariable dependiente, y losx1, . . . ,xnson las n

(6)

¿Qu é es una funci ón de m últiples variales?

Unafunci ón realf enDes una regla que le asigna un único n úmero

w =f(x1,x2, . . . ,xn)

imagen o rangodef.

(7)

¿Qu é es una funci ón de m últiples variales?

w =f(x1,x2, . . . ,xn)

imagen o rangodef.

(8)

¿Qu é es una funci ón de m últiples variales?

w =f(x1,x2, . . . ,xn)

imagen o rangodef.

(9)

x y

D O

(a,b) (x,y)

f

f(a,b)

f(x,y)

0

z

Como siempre, para evaluar una funci ´onf reemplazamos por los valores de la variables independientes.

Por ejemplo, el valor def(x,y,z) =px2₊_y2₊_z2_{en el}

punto(3,0,4)es

(10)

Dominio e imagen de

f

Como siempre, el dominioDno debe incluir puntos que produzcan resultados no reales o divisiones por cero . . .

Por ejemplo, sif(x,y) =py −x2_,_y _{no puede ser menor}

quex2. . .

O por ejemplo, sif(x,y) =1_/_xy_,_xy _{no puede ser cero. . .}

Salvo que se especifique expl´ıcitamente, el dominioDse deber ´a asumir tan grande como sea posible.

(11)

Dominio e imagen de

f

Como siempre, el dominioDno debe incluir puntos que produzcan resultados no reales o divisiones por cero . . . Por ejemplo, sif(x,y) =py −x2_,_y _{no puede ser menor}

quex2. . .

(12)

Dominio e imagen de

f

Como siempre, el dominioDno debe incluir puntos que produzcan resultados no reales o divisiones por cero . . . Por ejemplo, sif(x,y) =py −x2_,_y _{no puede ser menor}

quex2. . .

O por ejemplo, sif(x,y) =1_/xy_,_xy _{no puede ser cero. . .} Salvo que se especifique expl´ıcitamente, el dominioDse deber ´a asumir tan grande como sea posible.

(13)

Dominio e imagen de

f

Como siempre, el dominioDno debe incluir puntos que produzcan resultados no reales o divisiones por cero . . .

Por ejemplo, sif(x,y) =py −x2_,_y _{no puede ser menor}

quex2. . .

(14)

Ejemplo 1

El dominio y la imagen de algunas funciones.

a) f de dos variables.

Funci ´on Dominio Imagen

z =py−x2 _y _≥_x2 _[₀_,_∞₎

(15)

Ejemplo 1

El dominio y la imagen de algunas funciones.

a) f de dos variables.

z =py−x2 _y _≥_x2 _[₀_,_∞₎

z = _xy1 xy 6=0 (−∞,0)∪(0,∞)

(16)

b) f de tres variables.

w =px2₊_y2₊_z2 _{todo el espacio}_xyz _[₀_,_∞₎ w = _x2₊_y12₊_z2 (x,y,z)6= (0,0,0) [0,∞)

(17)

Puntos interiores y puntos frontera

Definici ´on 2 (punto interior)

Un punto(x0,y0)en una regi ´on (un

conjunto)Rdel planoxy es unpunto interior

deRsi es centro de un disco que

est ´ecompletamentedentro deR. R (x0,y0)

Definici ´on 3 (punto frontera)

conjunto)Rdel planoxy es unpunto

fronteradeR si cualquier disco del que sea

(18)

Puntos interiores y puntos frontera

Definici ´on 2 (punto interior)

conjunto)Rdel planoxy es unpunto interior

deRsi es centro de un disco que

est ´ecompletamentedentro deR. R (x0,y0)

(x0,y0) R

Definici ´on 3 (punto frontera)

(19)

Regiones abiertas y regiones cerradas

Definici ´on 4

1 El conjunto de puntos interiores deRforman suinterior. 2 El conjunto de puntos frontera deRforman sufrontera. 3 Una regi ´onResabiertasi solo incluye los puntos

interiores.

4 Una regi ´onRescerradasi tambi ´en incluye los puntos

(20)

O y

x

n

(x,y)|x2+y2<1o

O y

x

n

(x,y)|x2+y2=1o

O y

x

n

(x,y)|x2+y2≤1o

(21)

Regiones limitada e ilimitadas

Definici ´on 5

1 Una regi ´onRdel planoxy eslimitadasi puede ser

contenida dentro de un disco de radio fijo.

2 Una regi ´onResilimitadasi no es limitada.

Ejemplos de regiones limidas:

segmentos de recta

tri ´angulos

rect ´angulos discos

elipses

etc.

Ejemplos de regiones ilimidas:

rectas

ejes coordenados

graficos de funciones definidas en(−∞,∞)

cuadrantes, semiplanos

(22)

Regiones limitada e ilimitadas

Definici ´on 5

Ejemplos de regiones limidas: segmentos de recta tri ´angulos

rect ´angulos discos elipses etc.

Ejemplos de regiones ilimidas:

rectas

ejes coordenados

graficos de funciones definidas en(−∞,∞)

cuadrantes, semiplanos

(23)

Regiones limitada e ilimitadas

Definici ´on 5

Ejemplos de regiones limidas:

segmentos de recta

tri ´angulos

rect ´angulos discos

elipses

etc.

Ejemplos de regiones ilimidas: rectas

ejes coordenados graficos de funciones definidas en(−∞,∞)

(24)

Definici ´on, dominio e imagen Ejemplo 2

Describir el dominioDde la funci ´onf(x,y) =py−x2_.

1 f est ´a definida solo donde y −x2_≥_0.

2 El dominioDes cerrado e ilimitado.

3 La par ´abolay =x2es la frontera deD.

4 Formalmente se escribe

D =

n

(x,y)|y−x2≥0

o

−1 0 1

1

x y _dondepuntos interiores_y ₋_x2_>₀

la par ´abola

y =x2 es la frontera afuera

(25)

Ejemplo 2

Describir el dominioDde la funci ´onf(x,y) =py−x2_.

1 f est ´a definida solo donde y −x2_≥_0.

2 El dominioDes cerrado e

ilimitado.

3 La par ´abolay =x2es la frontera deD.

4 Formalmente se escribe

D =

n

(x,y)|y−x2≥0

o

−1 0 1

1

x y _dondepuntos interiores_y ₋_x2_>₀

la par ´abola

y =x2 es la frontera afuera

(26)

´Indice

1 Funciones de m ´ultiples variables Definici ´on, dominio e imagen

(27)

Curvas de nivel y gr ´afico de una funci ´on

f

(x

,

y

)

Definici ´on 6 (curva de nivel def)

El conjunto de puntos en el plano, donde la funci ´onf(x,y)toma un valor constantef(x,y) =c, se llamacurva de niveldef.

Definici ´on 7 (gr ´afico def)

(28)

Curvas de nivel y gr ´afico de una funci ´on

f

(x

,

y

)

Definici ´on 6 (curva de nivel def)

El conjunto de puntos en el plano, donde la funci ´onf(x,y)toma un valor constantef(x,y) =c, se llamacurva de niveldef.

Definici ´on 7 (gr ´afico def)

(29)

Ejemplo 3

Graficarf(x,y) =100−x2−y2

y dibujar las curvas de nivel

f(x,y) =0,f(x,y) =51 y

f(x,y) =75 en el dominio def

en el plano.

1 El dominio def es todo el planoxy, y su imagen es (−∞,100].

2 El gr ´afico def es el paraboliode

z =100−x2−y2.

x

y es el gr ´afico de f

f(x,y) =51

(30)

Ejemplo 3

f(x,y) =0,f(x,y) =51 y

en el plano.

1 El dominio def es todo el

planoxy, y su imagen es

(−∞,100].

2 El gr ´afico def es el paraboliode

z =100−x2−y2.

x

y z

f(x,y) =75

100 la superficie z=f(x,y)

=100−x2₋_y2

es el gr ´afico de f

f(x,y) =51

(31)

Ejemplo 3

f(x,y) =0,f(x,y) =51 y

en el plano.

1 El dominio def es todo el

planoxy, y su imagen es

(−∞,100].

2 El gr ´afico def es el

paraboliode

z =100−x2−y2.

x

y z

f(x,y) =75

=100−x2₋_y2

f(x,y) =51

(32)

3 La curva de nivel

f(x,y) =0 es el conjunto de puntos, del planoxy, que cuemplen

100−x2−y2=0

lo que es equivalente a

x2+y2=100

o sea un c´ırculo de radio

r =10.

x

y z

f(x,y) =75

=100−x2₋_y2

f(x,y) =51

(33)

4 Similarmente, las curvas

de nivelf(x,y) =51 y

f(x,y) =75 son el c´ırculo

100−x2−y2=51

o sea

x2+y2=49 (r =7)

y el c´ırculo

100−x2−y2=75

o sea

x2+y2=25 (r =5)

x

y z

f(x,y) =75

=100−x2₋_y2

f(x,y) =51

(34)

Funciones de tres variables

Definici ´on 8

El conjunto de puntos(x,y,z)del espacio donde una funci ´on de tres variables tiene un valor constantef(x,y,z) =c se llamasuperficie de niveldef.

Gr ´aficos de funciones de tres variables

Como los gr ´aficos de funciones de tres variables consisten en puntos x,y,z,f(x,y,z)de cuatro dimensiones, no pueden graficarse en nuestro espacio tridimensional.

(35)

Funciones de tres variables

Definici ´on 8

El conjunto de puntos(x,y,z)del espacio donde una funci ´on de tres variables tiene un valor constantef(x,y,z) =c se llamasuperficie de niveldef.

Gr ´aficos de funciones de tres variables

(36)

Ejemplo 4

Describir las superficies de nivel de

f(x,y,z) =px2₊_y2₊_z2

1 El valor def corresponde a la distancia del origen al punto(x,y,z).

2 Cada superficie de nivel f(x,y,z) =c, conc>0, es una esfera de radioc con centro en el origen. . .

x

y z

p

x2₊_y2₊_z2₌₁

p

x2₊_y2₊_z2₌₂

p

x2₊_y2₊_z2₌₃

(37)

Ejemplo 4

f(x,y,z) =px2₊_y2₊_z2

1 El valor def corresponde a

la distancia del origen al punto(x,y,z).

2 Cada superficie de nivel f(x,y,z) =c, conc>0, es una esfera de radioc con centro en el origen. . .

x

y z

p

x2₊_y2₊_z2₌₁

p

x2₊_y2₊_z2₌₂

p

x2₊_y2₊_z2₌₃

(38)

Ejemplo 4

f(x,y,z) =px2₊_y2₊_z2

1 El valor def corresponde a

la distancia del origen al punto(x,y,z).

2 Cada superficie de nivel f(x,y,z) =c, conc>0, es una esfera de radioc

con centro en el origen. . .

x

y z

p

x2₊_y2₊_z2₌₁

p

x2₊_y2₊_z2₌₂

p

x2₊_y2₊_z2₌₃

(39)

Repaso de ideas clave

1 El dominio def(x,y)esuna regi ón del planoxy. 2 Una regi ón es abierta o cerrada seg ún incluya o no sus

puntos frontera.

3 El gr ´afico def(x,y)esuna superficie del espacioxyz.

4 Lascurvas de nivelf(x,y) =cse dibujan en el dominio de

(40)

Repaso de ideas clave

1 El dominio def(x,y)esuna regi ´on del planoxy.

2 Una regi ´on es abierta o cerrada seg ´un incluya o no sus

puntos frontera.

(41)

Repaso de ideas clave

2 Una regi ´on es abierta o cerrada seg ´un incluya o no sus puntos frontera.

(42)

Repaso de ideas clave

2 Una regi ´on es abierta o cerrada seg ´un incluya o no sus puntos frontera.

(43)

´Indice

1 Funciones de m últiples variables Definici ón, dominio e imagen Gr áficos y curvas de nivel

L´ımites de funciones de m ´ultiples variables

(44)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables L´ımites y continuidad

L´ımite de funciones de dos variables

Definici ´on 9

Se dice que una funci ´onf(x,y)tiende all´ımiteLa medida que

(x,y)se acerca a(x0,y0), y se escribe

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y) =L

s´ı, para todo n ´umero >0, existe un correspondiente n ´umero

δ >0 tal que para cualquier(x,y)en el dominio def

|f(x,y)−L|< cuando 0< q

(45)

Intepretaci ón gr áfica de la definici ón de l´ımite

y

x z

f

D _δ

(x0,y0)

(x,y)

O O L− L L+

La diferencia entre el valor def(x,y)y el n ´umeroLpuede ser tan peque ˜na como queramos, si la distancia entre

(46)

Algunos comentarios importantes

No puede considerarse el l´ımite de puntos aislados en el dominio def.

Si el l´ımite existe, entonces es ´unico.

Para unaf de una variable, el l´ımx→x0f(x)existe si y solo si existen, y son iguales, los l´ımites por derecha y por izquierda. . .

Para unaf de dos variables, el l´ım₍x,y)→(x0,y0)f(x,y)existe si y solo sif(x,y)tiendeal mismon ´umeroLsiempre que (x,y)se aproxima a(x0,y0),sin importar por qu ´e camino.

(x,y)puede acercarse a(x0,y0)siguiendocualquiercurva

que pertenezca aD.

No es necesario queL=f(x0,y0), incluso sif(x0,y0)

(47)

Algunos comentarios importantes

que pertenezca aD.

(48)

Algunos comentarios importantes

Para unaf de una variable, el l´ımx→x0f(x)existe si y solo

si existen, y son iguales, los l´ımites por derecha y por izquierda. . .

que pertenezca aD.

(49)

Algunos comentarios importantes

Para unaf de dos variables, el l´ım₍x,y)→(x0,y0)f(x,y)existe

si y solo sif(x,y)tiendeal mismon ´umeroLsiempre que

(x,y)se aproxima a(x0,y0),sin importar por qu ´e camino. (x,y)puede acercarse a(x0,y0)siguiendocualquiercurva

que pertenezca aD.

(50)

Algunos comentarios importantes

que pertenezca aD.

(51)

Algunos comentarios importantes

que pertenezca aD.

(52)

Teorema 1 (algunas propiedades del l´ımite)

Supongamos que L, M y k son n ´umeros reales, y que

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y) =L l´ım

(x,y)→(x0,y0)

g(x,y) =M

entonces

a) Suma o resta: l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)±g(x,y)

=L±M

b) M ´ultiplo: l´ım

(x,y)→(x0,y0)

kf(x,y) =kL

c) Producto: l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)g(x,y)

=LM

d) Cociente: l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)

g(x,y) =

(53)

Ejemplo 5

Calcular los siguientes l´ımites.

1 l´ım

(x,y)→(0,1)

x−xy+3 x2_y₊₅_xy ₋_y3 =

0−0·1+3

02_·₁₊₅_·₀_·₁₋₁3 =−3

2 l´ım

(x,y)→(3,−4) q

x2₊_y2₌ q

(54)

Ejemplo 5

1 l´ım

(x,y)→(0,1)

x−xy+3

x2_y₊₅_xy ₋_y3 =

0−0·1+3

02_·₁₊₅_·₀_·₁₋₁3 =−3

2 l´ım

(x,y)→(3,−4) q

x2₊_y2₌ q

(55)

Ejemplo 5

1 l´ım

(x,y)→(0,1)

x−xy+3 x2_y₊₅_xy ₋_y3 =

0−0·1+3

02_·₁₊₅_·₀_·₁₋₁3 =−3

2 l´ım

(x,y)→(3,−4)

q

x2₊_y2₌ q

(56)

L´ımites de funciones de m ´ultiples variables Ejemplo 6

Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2−xy √

x −√y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2₋_xy √

x −√y =(x,yl´ım)→(0,0)

(x2−xy) √x+√y

√

x−√y √

x+√y

= l´ım

(x,y)→(0,0)

x(x−y) √x+√y

x −y

= l´ım

(x,y)→(0,0)x √

x+√y

=0√0+ √

(57)

Ejemplo 6

Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2−xy √

x −√y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2₋_xy √

x −√y =(x,yl´ım)→(0,0)

(x2−xy) √x+√y √

x−√y √

x+√y

= l´ım

(x,y)→(0,0)

x(x−y) √x+√y

x −y

= l´ım

(x,y)→(0,0)x √

x+√y

=0√0+

√

(58)

Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2−xy √

x −√y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2₋_xy √

x −√y =(x,yl´ım)→(0,0)

(x2−xy) √x+√y √

x−√y √

x+√y

= l´ım

(x,y)→(0,0)

x(x−y) √x+√y x −y

= l´ım

(x,y)→(0,0)x √

x+√y

=0√0+

√

(59)

Ejemplo 6

Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2−xy √

x −√y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2₋_xy √

x −√y =(x,yl´ım)→(0,0)

(x2−xy) √x+√y √

x−√y √

x+√y

= l´ım

(x,y)→(0,0)

= l´ım

(x,y)→(0,0)x

√

x+√y

=0√0+

√

(60)

Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2−xy √

x −√y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2₋_xy √

x −√y =(x,yl´ım)→(0,0)

(x2−xy) √x+√y √

x−√y √

x+√y

= l´ım

(x,y)→(0,0)

= l´ım

(x,y)→(0,0)x

√

x+√y

=0√0+

√

(61)

Ejemplo 7

Calcular, si existe, l´ım

(x,y)→(0,0)

4xy2 x2₊_y2.

1 ¿Qu ´e pasa si nos acercamos a(0,0)a lo largo de la recta x =0?

l´ım (x,y)→(0,0)

porx=0

4xy2

x2₊_y2 =_y→l´ım₀0=0

2 ¿Y qu ´e pasa si nos acercamos por la rectay =0?

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=0

4xy2

(62)

(x,y)→(0,0)

4xy2 x2₊_y2.

l´ım

(x,y)→(0,0)

porx=0

4xy2

x2₊_y2 =_yl´ım_→₀0=0

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=0

4xy2

(63)

Ejemplo 7

(x,y)→(0,0)

4xy2 x2₊_y2.

l´ım

(x,y)→(0,0)

porx=0

4xy2

x2₊_y2 =_yl´ım_→₀0=0

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=0

4xy2

(64)

3 ¿Y qu ´e pasa si nos acercamos por la rectay =x?

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=x

4xy2

x2₊_y2 =_yl´ım_→₀

4y3

2y2 =_yl´ım_→₀2y =0

4 Podemos seguir probando por otras rectas, por par ´abolas,

(65)

5 Para demostrar quepor todos los caminos posiblesel

l´ımite vale 0, debemos utilizar la definici ´on

f(x,y)−L =

4xy2 x2₊_y2 −0

= 4|x|y

2

x2₊_y2≤4|x|=4 √

x2

utilizando la desigualdad _x2y₊2_y2 ≤1.Entonces

f(x,y)−L ≤4

√

x2_≤₄q_x2₊_y2_<₄_δ

para cualquier punto dentro del disco con centro(0,0), donde 0<px2₊_y2_{< δ}_{. Si elegimos un n ´umero}₌₄_δ

nos queda

f(x,y)−L <

Entonces, por la definici ´on, l´ım

(x,y)→(0,0)

(66)

f(x,y)−L =

4xy2 x2₊_y2 −0

= 4|x|y

2

x2₊_y2≤4|x|=4 √

x2

utilizando la desigualdad _x2y₊2_y2 ≤1. Entonces

f(x,y)−L

≤4

√

x2_≤₄q_x2₊_y2_<₄_δ

para cualquier punto dentro del disco con centro(0,0), donde 0<px2₊_y2_{< δ}_. _{Si elegimos un n ´umero}₌₄_δ nos queda

f(x,y)−L <

(x,y)→(0,0)

(67)

f(x,y)−L =

4xy2 x2₊_y2 −0

= 4|x|y

2

x2₊_y2≤4|x|=4 √

x2

f(x,y)−L

≤4

√

x2_≤₄q_x2₊_y2_<₄_δ

nos queda

f(x,y)−L <

(x,y)→(0,0)

(68)

f(x,y)−L =

4xy2 x2₊_y2 −0

= 4|x|y

2

x2₊_y2≤4|x|=4 √

x2

f(x,y)−L

≤4

√

x2_≤₄q_x2₊_y2_<₄_δ

nos queda

f(x,y)−L <

(x,y)→(0,0)

(69)

Ejemplo 8

Sif(x,y) = y_x, ¿existe el l´ımite l´ım

(x,y)→(0,0)f(x,y)?

1 El dominio def no incluye la rectax =0, as´ı que no podemos acercarnos por ella al punto(0,0). . .

2 Si podemos acercarnos por la rectay =0

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=0 y

x =x→l´ım00=0

3 Tambi ´en podemos acercarnos por la rectay =x

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=x

y

x =x→l´ım01=1

(70)

(x,y)→(0,0)f(x,y)?

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=0 y

x =x→l´ım00=0

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=x

y

x =x→l´ım01=1

(71)

Ejemplo 8

(x,y)→(0,0)f(x,y)?

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=0

y

x =xl´ım→00=0

l´ım (x,y)→(0,0)

pory=x

y

x =x→l´ım01=1

(72)

(x,y)→(0,0)f(x,y)?

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=0

y

x =xl´ım→00=0

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=x

y

x =xl´ım→01=1

(73)

Ejemplo 8

(x,y)→(0,0)f(x,y)?

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=0

y

x =xl´ım→00=0

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=x

y

x =xl´ım→01=1

(74)

Continuidad de funciones

´Indice

1 Funciones de m últiples variables Definici ón, dominio e imagen Gr áficos y curvas de nivel

(75)

Utilizando l´ımites para definir la continuidad de

f

Definici ´on 10 (continuidad)

Una funci ´onf(x,y)escontinua en el punto(x0,y0)s´ı

1 f est ´a definida en(x₀,y₀)(o sea, si se puede calcular all´ı) 2 l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)existe

3 l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y) =f(x0,y0).

(76)

Continuidad de funciones Ejemplo 9

Mostrar que

f(x,y) =

( _2xy

x2₊_y2 s´ı(x,y)6= (0,0)

0 s´ı(x,y) = (0,0)

es una funci ´on continua en todo punto, excepto en el origen.

1 La funci ónf es continua en cualquier punto(x,y)6= (0,0), ya que all´ı est á definida, puede calcularse el l´ımite por substituci ón, y el valor y el l´ımite coinciden.

2 En(x,y) = (0,0)la funci ´on est ´a definida, y toma el valor

f(0,0) =0; pero resulta que l´ım

(x,y)→(0,0)

2xy

(77)

Ejemplo 9

Mostrar que

f(x,y) =

( _2xy

x2₊_y2 s´ı(x,y)6= (0,0)

0 s´ı(x,y) = (0,0)

1 La funci ´onf es continua en cualquier punto(x,y)6= (0,0),

ya que all´ı est ´a definida, puede calcularse el l´ımite por substituci ´on, y el valor y el l´ımite coinciden.

(x,y)→(0,0)

2xy

(78)

Continuidad de funciones Ejemplo 9

Mostrar que

f(x,y) =

( _2xy

x2₊_y2 s´ı(x,y)6= (0,0)

0 s´ı(x,y) = (0,0)

1 La funci ´onf es continua en cualquier punto(x,y)6= (0,0),

ya que all´ı est ´a definida, puede calcularse el l´ımite por substituci ´on, y el valor y el l´ımite coinciden.

(x,y)→(0,0)

2xy

(79)

3 Si probamos acercarnos a(0,0)por rectasy =mx, resulta

l´ım

(x,y)→(0,0)

pory=mx

2xy

x2₊_y2 =_xl´ım_→₀

2mx2

(1+m2₎_x2

= l´ım

x→0

2m

(1+m2₎

= 2m

(1+m2₎

(80)

Repaso de ideas clave

1 Si l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)existe, entonces debe ser ´unico.

2 El punto l´ımite(x0,y0)puede no pertencer al dominio de la

funci ´onf.

3 Una funci ´onf ser ´a continua en(x0,y0)solamente si se

cumple que

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

(81)

Repaso de ideas clave

1 Si l´ım

(x,y)→(x0,y0)

funci ´onf.

cumple que

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

(82)

Repaso de ideas clave

1 Si l´ım

(x,y)→(x0,y0)

funci ´onf.

cumple que

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

(83)

´Indice

3 Ejemplos con Sage

(84)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables Ejemplos con Sage

Graficar funcionesf(x,y)

Gr ´afico de funciones y de sus curvas de nivel

# las variables independientes son x e y

x,y = var("x,y")

# crear la funci´on f(x,y) =100−x2−y2 f(x,y) = 100 -x**2 -y**2

print f

# hacer el gr´afico de f(x,y)

g1 = plot3d(f,(-10,10),(-10,10),color="red") g1.show() # esto es en 3D

# hacer el gr´afico de las curvas de

# nivel c=0, 51, 75

g2 = contour_plot(f,(x,-10,10),(y,-10,10), contours=[0,51,75])

(85)

Graficar una funci ´on continua

f

(x

,

y

)

x,y = var("x,y")

# crear la funci´on f(x,y) =sin(x2+y2)(x2+y2)−1

# que es continua en (0,0)

f(x,y) = sin(x_**2+y_**2)/(x_**2+y_**2)

print f

g1 = plot3d(f,(-3,3),(-3,3),color="green") g1.show() # esto es en 3D

# hacer el gr´afico de algunas curvas de nivel

(86)

Tema 10: funciones de m ´ultiples variables Ejemplos con Sage

Graficar funcionesf(x,y)

Graficar una funci ´on discontinua

f

(x

,

y

)

x,y = var("x,y")

# crear la funci´on f(x,y) =yx−1

# que no es continua en (0,0)

f(x,y) = y_*x_**(-1)

print f

(87)

Graficar una funci ´on discontinua

f

(x

,

y

)

x,y = var("x,y")

# crear la funci´on f(x,y) =2xy(x2+y2)−1

# que no es continua en (0,0)

f(x,y) = 2*x_*y_*(x_**2+y_**2)_**(-1)

print f