LA ALTERNATIVA DE
FREDHOLM
Tesis
para obtener el t´ıtulo de
Matem´atico
presentado por:
Santiago Alejandro Molano Cabrera
Asesor: Milt´on Lesmeslos que con su esfuerzo y amor hicieron posible todo esto.
La siguiente monografia, al ser la representaci´on de todo mi esfuerzo y formaci´on, no hubiera sido posible sin el apoyo de mi familia y de muchas personas. Personas que estuvieron conmigo todo est´e tiempo y de los cuales les estoy agradecido muy profundamente. En especial de Tatiana, mi novia. Tambi´en agradezco al profesor Milt´on Lesmes y Samuel Barreto por su gu´ıa, y direcci´on en este trabajo.
Introducci´
on
En un articulo de 1903 Fredholm mostr´o un gran inter´es en las ecua-ciones de este tipo,
y(x) =φ(x) +
Z 1
0
k(x, y)φ(y)dy (1)
El prop´osito de ´el, era dar una generalizaci´on de los resultados de esta teor´ıa para sistemas lineales finitos de ecuaciones. En ese articulo Fred-holm considera dos distintos casos: El primero y m´as simple es cuando (1) siempre tiene ´unica soluci´on. la segunda es cuando (1) solo tiene una soluci´on si y(x) satisface ciertas condiciones respecto al kernel k(x, y). En ese caso la soluci´on no es ´unica, a pesar de que el conjunto de solucio-nes puede ser caracterizado. Los dos casos toman todas las posibilidades respecto a las soluciones y por eso se conocen colectivamente como la alternativa de Fredholm.
Est´a alternativa es uno de los teoremas m´as ´utiles en matem´aticas aplica-das ya que tiene varias partes y puede ser expresado en diferentes formas; Desde versiones del ´algebra lineal hasta operadores integrales. En si lo que miraremos en est´a tesis es ese recorrido, ver como la alternativa desde lo m´as b´asico lo podemos relacionar y seguir viendo sin perder la esencia del ´algebra lineal en las varias versiones aqu´ı presentadas. La forma en que se presentara la alternativa sigue la siguiente forma: En el capitulo 1 la trabajaremos en sistemas de ecuaciones lineales de la for-maAx=bbuscando condiciones para que tengan o no soluciones, tanto en el caso real como en el caso complejo. En el capitulo 2 llevaremos esa teor´ıa hasta las ecuaciones integrales. Una forma de decirlo es pasar del caso discreto al continuo. De ese capitulo veremos la alternativa para
Motivaci´
on
La alternativa de Fredholm es uno de los teoremas Fredholm para la teor´ıa de Fredholm en ecuaciones integrales. Est´a teor´ıa se encarga de buscar y garantizar soluciones para estas ecuaciones. Por lo general se modelan de acuerdo a principios f´ısicos como el siguiente:
Equilibrio de una cuerda cargada: [3, p´ag. 11] Consideremos una cuerda de longitud l la cual se flexiona libremente y ofrece una resistencia a la dilataci´on.
Sean los extremos fijosx= 0 yx=l. Podemos decir que la posici´on en equilibro corresponde con el ejexsiendo el puntox= 0 el origen de este. Si se aplica un fuerza vertical en x = ξ, Pξ, la cuerda
se deformara como en la figura. Lo que nos interesa es encontrar la magnitud δ de la flecha de la cuerda (m´axima elongaci´on de resistencia de la cuerda) en ξ de su posici´on de equilibrio bajo la acci´on de Pξ. Si suponemos que Pξ es menor que la tensi´on T0
de la cuerda en equilibrio, podemos decir que al cargar la cuerda la tensi´on seguir´a siendo T0. De la ecuaci´on en equilibro se da lo
T0
ξ +T0l−ξ =Pξ , donde δ=
−
T0l
Seau(x) la flecha en el puntox bajo la acci´on dePξ. Se tiene que
u(x) =PξG(x, ξ) donde,
G(x, ξ) =
x(l−ξ)
T0l para 0≤x≤ξ
(l−x)ξ
T0l para ξ≤x≤l
Inmediatamente se ve queG(x, ξ) =G(ξ, x).
Ahora se considera que sobre la cuerda act´ua una fuerza distri-buida continuamente a lo largo con densidad P(ξ). Si esta fuerza es peque˜na, la deformaci´on otra vez depender´a linealmente de la fuerza entre ξ y ξ + ∆ξ; la cual es aproximadamente P(ξ)∆ξ y la forma de la cuerda cargada de este modo, por el principio de superposici´on, ser´a descrita mediante la funci´on,
u(x) =
Z l
0
G(x, ξ)P(ξ)dξ (2)
Luego, si est´a dada la carga que act´ua sobre la cuerda la formula anterior permite encontrar la forma que toma la cuerda bajo la acci´on de la carga.
Consideremos ahora el problema rec´ıproco. Hallar la distribuci´on de la cargaP bajo la cual la cuerda toma la forma prefijadau(x). Para encontrar la funci´onP a partir de la funci´on dadau(x) obte-nemos una ecuaci´on que coincide, salvo notaciones, con la ecuaci´on,
Z b
a
K(x, t)φ(t)dt+f(x) = 0
es decir, una ecuaci´on de Fredholm de primera especie.
tonces, sobre un elemento de la cuerda de longitud dx act´ua una fuerza de inercia igual a−d2udt(x,t2 )ρdx, de dondeP(ξ) =−
d2u
(x,t)
dt2 ρ.
Tomando (2) y sustituyendoP(ξ) se recibe que,
u(x, t) =−
Z l
0
G(x, ξ)ρ−d 2u(ξ, t)
dt2 dξ (3) Supongamos que la cuerda realiza oscilaciones arm´onicas de una frecuencia prefijada ω y de una amplitud u(x) que depende de x. En otras palabras, sea
u(x, t) =u(x) sin (ωt)
Introduciendo esta expresi´on en (3) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por sin (ωt), obtenemos la siguiente ecuaci´on integral parau:
u(x) =ρω2
Z l
0
G(x, ξ)u(ξ)dξ
Si la cuerda no oscila libremente sino bajo la acci´on de la fuerza exterior, se realizan oscilaciones forzadas, donde la ecuaci´on de las oscilaciones arm´onicas de la cuerda es de la forma,
u(x) =ρω2
Z l
0
G(x, ξ)u(ξ)dξ+f(x)
es decir, se representa una ecuaci´on no homog´enea de Fredholm de segunda especie.
1. Fredholm en el ´algebra lineal 9
2. Ecuaciones integrales y ´algebra lineal 21
2.1. Ecuaciones integrales . . . 21 2.2. Relaci´on entre ecuaciones integrales y el ´algebra lineal . . 23
3. Ecu. integrales con kernel degenerado 29
3.1. Kernel degenerado o separado . . . 29 3.2. Kernel degenerado y Fredholm . . . 34
4. Ecu. de Fredholm kernel no degenerado 42
4.1. Operador integral de Fredholm . . . 42 4.2. Teoremas de Fredholm kernel no degenerado . . . 43
Bibliograf´ıa 50
Fredholm en el ´
algebra
lineal
Considere el sistema lineal de ecuaciones,
Ax=b (1.1)
Donde A es una matriz m×n y x un vector columna m×1. Su-pongamos que A = (a1a2. . . an) donde cada ak son columnas de A con
k= 1,2, . . . , n. Entoncesx= (x1x2. . . xn)T ser´a una soluci´on del sistema
propuesto si y solo si
x1a1+x2a2+. . .+xnan=b (1.2)
Podemos decir que b es un vector contenido en el span(a1. . . an).
Entonces podemos decir que existe una soluci´on para el sistema (1,1) si y solo si b esta contendido en el span(a1. . . an). En otras palabras,
b ser´a soluci´on de (1,1) si y solo si b esta en el espacio columna de A. En t´erminos de rango podemos describir esta situaci´on con la siguiente proposici´on.[1, p´ag. 155]
Proposici´on 1.0.1. Sea Auna matriz m×ny seabun vector columna
m×1. Entonces existe una soluci´on paraAx=b si y solo si,
Rang(A|b) =Rang(A) (1.3)
Demostraci´on. Pongamos a (A|b) y A en su forma escalonada reduci-da donde las denotaremos ahora como B y C. Como tenemos cierta la condici´on del rango podemos decir que tienen el mismo numero de filas distintas de cero. En particular no podemos tener un rengl´on de la forma,
0 . . . 0 | a
(1.4) donde a 6= 0 en B. De lo cual ser´ıa inconsistente el sistema, por lo tanto tiene soluci´on. Ahora para el otro lado; Supongamos que existe una soluci´on. Entonces no podemos tener una fila como la de arriba para B. Como B y C tendr´an el mismo numero de filas diferentes de cero y las mismas iguales a cero podemos decir que su rango ser´a el mismo.
Hay una versi´on de la proposici´on que acabamos de presentar la cual es mucho mas ´util y es conocida comola alternativa de Fredholm. la cual vamos a presentar ahora. Pero primero definamos un conjunto muy ´util para referirnos a la alternativa.
Definici´on 1.0.2. SeaS⊂Rm. EntoncesS⊥:={z∈Rm|z·s= 0,∀s∈ S}.
Note que,
Ker(AT) ={z:AT ·z= 0}={z:
m
X
k=1
zkak = 0} (1.5) Lema 1.0.3. Sea A una matriz real de m×n. Sea x ∈Rn y y ∈ Rm.
Entonces,
(Ax·y) = (x·ATy) (1.6)
Demostraci´on. Operando,
Ax·y =
a11 . . . a1n
..
. ... ... am1 . . . amn
x1 .. . xn
y1 . . . yn
=
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn
.. .
am1x1+am2x2+. . .+amnxn
= (a11x1+. . .+a1nxn)y1+. . .+ (am1x1+. . .+amnxn)ym
= a11x1y1+a21x1y2+. . .+am1x1ym+a11x2y1+. . . = x1(a11y1+a21y2+. . .+am1ym) +x2(a11y1+. . .
= x1 . . . xn
a11y1+a21y2+. . .+am1ym
.. .
a1ny1+a21y2+. . .+amnym
= x1 . . . xn
a11 . . . am1 ..
. ... ... a1n . . . amn
y1 .. . ym
= x·ATy
Ahora presentaremos la alternativa de Fredholm. Esta ser´a la primera versi´on del teorema.
Teorema 1.0.4. (Alternativa de Fredholm primera versi´on) Sea A una matriz real de m×n y b∈Rm. Existe una soluci´on x para la ecuaci´on Ax=b si y solo si b∈Ker(AT)⊥.
Demostraci´on. Tenemos que,
Ker(AT)⊥={x:x·a= 0;∀a∈Ker(AT)} (1.7) Primero supongamos que b∈Ker(AT)⊥. Esto nos dice que si ATx= 0 entonces bx=0. Si hacemos (ATx)T = xTA = 0 vemos que bx = 0. En
otras palabras, si dejamos x = (x1, . . . , xm)T, vemos que xA = 0 nos
dice que,
m
X
i=1
xiAi1 = 0 ..
. ...
m
X
i=1
De lo cual,
X
i
bixi= 0
Otra forma de verlo es que si obtenemos una fila de ceros en la forma reducida escalonada de A y realizamos la misma operaci´on de filas enb obtenemos un cero. Entonces podemos decir que,
Rank(A|b) =Rank(A)
Y por la proposici´on 1 vemos que existe una soluci´onx para el sistema Ax=b.
Para el otro lado. Sea z∈Ker(AT) y supongamos que Ax=b.
Necesi-tamos verificar que b·z= 0. Entonces, b·z = Ax·z
= x·ATz ,(Por lema 1) = x·0
= 0 Por lo tantob∈Ker(AT)⊥.
El siguiente corolario tambi´en es conocido como la alternativa de Fredholm. En este corolario se ve mas clara la alternativa.
Corolario 1.0.5. Sea Auna matriz m×n. Entonces Amapea Rnsobre Rm si y solo si la ´unica soluci´on de ATx= 0 es x= 0.
Demostraci´on. Si la ´unica soluci´on de ATx = 0 es x = 0 entonces
Ker(AT) ={0}, y ademas
(Ker(AT))⊥ = {x∈Rm:x·a= 0;∀a∈Ker(AT)} = {x∈Rm:x·0 = 0}
= Rm
b∈Rm est´a en (Ker(AT))⊥ y siATx= 0, entoncesbx= 0 para todo b.
En particular, esto se tiene para x = b. Entonces si ATx = 0 entonces
x= 0
Ahora nuestro pr´oximo objetivo es mostrar la alternativa para los complejos. Para esto necesitamos una t´ecnica muy ´util que es el de apro-ximaci´on por cuadrados m´ınimos. Entonces primero demos un lema el cual nos permite ver A(Cn) como un subespacio de Cn.[1, p´ag. 268 ]
Lema 1.0.6. SeaAuna matrizm×ny seaA(Cn)el conjunto de vectores
enCn los cuales son de la formaAxpara alg´unx∈Cn. EntoncesA(Cn)
es un subespacio de Cn.
Demostraci´on. SeanAxyAy dos elementos deA(Cn). Es suficiente con
probar que siaybson dos escalares se tendr´a que (aAx+bAy)∈A(Cn). Entonces,
aAx+bAy = Aax+Aby = A(ax+by) Por lo tanto como (ax+by)∈Cn,A(ax+by)∈A(Cn).
Ahora daremos un lema de suma importancia el cual nos sirve tam-bi´en como una observaci´on de conjuntos ortonormales de vectores.
Lema 1.0.7. Sea {x1, x2, . . . , xr} un conjunto ortonormal de vectores.
Entonces si c1, c2, . . . , cr son es escalares,
r X k=1 ckxk
2 = r X k=1
|ck|2
Demostraci´on. Procedemos por definici´on de producto punto,
r X k=1 ckxk
2 = * r X k=1 ckxk,
r
X
k=1 ckxk
+
= hc1x1+. . .+crxr, c1x1+. . .+crxri
= c1hx1, c1x1+. . .+crxri+. . .+crhxr, c1x1+. . .+crxri
= c1c1(1) +¯ c1c2(0) +¯ . . .+crc¯r(1)
= c1c¯1+c2c¯2+c3c¯3+. . .+crc¯r
=
r
X
k=1 ckc¯k
=
r
X
k=1
|ck|2
El siguiente teorema nos da una equivalencia entre la condici´on de ortogonalidad con el de la condici´on de minimizaci´on.
Teorema 1.0.8. Seay∈Cm y seaAuna matriz m×n. Entonces existe x∈Cm la cual minimiza la funci´onx→ |y−Ax|2. Adem´as,xminimiza
esta funci´on si y solo si,
(y−Ax)·Aw= 0
Demostraci´on. Sea{Axk}una base ortonormal deACn. Para unydado
vemos que,
*
y−
r
X
k=1
hAxk, yiAxk, Axj
+
= hy, Axji −
* r X
k=1
hAxk, yiAxk, Axj
+
= hy, Axji − r
X
k=1
hAxk, yi hAxk, Axji
= hy, Axji − hAxj, yi
= 0 En particular,
*
y−A
! r X
k=1
hAxk, yixk
#
, w
+
= 0
Para todo w∈ACn cuandoAxk es una base. Ahora, dejando,
x=
r
X
k=1
vemos que, y− r X k=1 ykAxk
2 =
y−Ax+Ax−
r
X
k=1 ykAxk
2 =
(y−Ax) +
!
A
! r X
k=1
hAxk, yixk
#
−
r
X
k=1 ykAxk
# 2 =
(y−Ax) +
r
X
k=1
(hAxk, yi −yk)Axk
2
= |Y −Ax|2+
r X k=1
(hAxk, yi −yk)Axk
2 +2Re *
y−Ax,
r
X
k=1
(hAxk, yi −yk)Axk
+
= |Y −Ax|2+
r X k=1
(hAxk, yi −yk)Axk
2 +2Re *
y−Ax, A
! r X
k=1
(hAxk, yi −yk)xk
#+
= |Y −Ax|2+
r X k=1
(hAxk, yi −yk)Axk
2
= |Y −Ax|2+
r
X
k=1
|hAxk, yi −yk|2
Esto nos dice que el m´ınimo existe y ocurre cuando yk = (Axk, y) para
cada k. Lo anterior adem´as nos dice que Axes el vector m´as cercano a y eb ACn y que,
hy−Ax, wi= 0 para todow∈ACn.
Ahora, supongamos quex cumple hy−Ax, wi= 0 para todo w∈ACn. Queremos ver queAxes el vector m´as cercano ay. Entonces, seaz∈Cn,
= |y−Ax|2+|Ax−Az|2+ 2Rehy−Ay, A(x−z)i = |y−Ax|2+|Ax−Az|2
Entonces el menor valor de|y−Az|lo obtenemos cuando Ax=Az. Ahora se dar´a la definici´on de matriz adjunta.
Definici´on 1.0.9. SeaA una matriz m×n. Entonces, A∗=AT
Est´a matriz es conocida como la matriz adjunta. (En el caso real la adjunta es solo su transpuesta).
Lema 1.0.10. Sea A una matriz m×n. Entonces,
Ax·y=x·A∗y
Demostraci´on. Por definici´on de producto interno en Cvemos que,
Ax·y = X
i,j
Ai,jxjyi
= X
i,j
xjA∗j,iyi
= x·A∗y
El siguiente corolario es una t´ecnica para cuadrados m´ınimos.
Corolario 1.0.11. Un valor dex el cual soluciona el problema de 1,0,8
es obtenido resolviendo la ecuaci´on
A∗Ax=A∗y
y adem´as, existe una soluci´on a este sistema de ecuaciones.
Demostraci´on. Para x el minimizador del teorema 1,0,8 se tiene que (y−Ax)·Aw = 0 para todo w ∈Cn, y por el teorema anterior vemos
que,
para todo w ∈Cn. Como es para todo w ∈Cn vemos que esto implica
que,
A∗y−A∗Ax = 0 A∗y = A∗Ax
Por lo tanto el minimizadorxlo podemos obtener de la anterior ecuaci´on y adem´as tendremos que sera una soluci´on del sistema.
Ahora presentamos la segunda versi´on de la alternativa de Fredholm.
Teorema 1.0.12. Sea A una matrizm×n. Entonces existe x∈Cn tal
que Ax=y si y solo si se tiene quez·y = 0 cuandoA∗z= 0. Demostraci´on. Supongamos que para alg´un x∈Cn,Ax=y.
y·z=Ax·z=x·A∗z=x·0 = 0
Para el otro lado supongamos que cuandoA∗z= 0 se tiene que y·z= 0. Es necesario probar que existe un x ∈Cn tal quey =Ax. Por teorema
1,0,8 existe x el cual minimiza |y−Ax|2 el cual adem´as satisface
(y−Ax)·Aw= 0 (1.8)
para todow∈Cn. Adem´as para todow∈Cn
A∗(y−Ax)·w= 0 (1.9) de lo cual A∗(y−Ax) = 0 dado que es para todow∈Cn.
Por hip´otesis vemos que cuando A∗(y−Ax) = 0 se tiene que,
(y−Ax)·y= 0 (1.10)
ahora por (1,8) conw=x y (1,10) vemos que,
(y−Ax)·(y−Ax) = (y−Ax)·y−(y−Ax) = 0 De lo cual y=Ax.
y ·z = 0 para todo z tal que A∗z = 0 entonces Ax = y tiene soluci´on.
Entonces su contrarreciproco ser´a,
SiAx=y es inconsistente (no tiene soluci´on) entonces existe unz tal queA∗z= 0 yy·z6= 0.
Entonces cuando no hay soluci´on el teorema establece que existe un z que es ortogonal conA∗ pero no es ortogonal con y.
Ejemplo 1.0.13. Sea el siguiente sistema lineal
2x1+x2 = y1 x1−3x2 = y2 3x1+ 3x2 = y3
Esto es, 2 1 3
x1+ 1 −3 3
x2= y1 y2 y3 (1.11)
Los vectores columna 2 1 3 y 1 −3 3
generan un plano que pasa por
p= (0,0,0) por medio de
Det
x−0 y−0 z−0
2 1 3
1 −3 3
= 12x−3y−7z= 0 (1.12)
Sabemos que si y est´a en el plano que se genera a partir de esos dos vectores entonces el sistema tiene soluci´on. Por lo tanto si tomamos ay
como y= 1 11 −3
un vector que est´a en el plano que acabamos de generar podemos ver que,
x1−3x2 = 11 3x1+ 3x2 = −3
va a tener como soluci´on a x1 = 2 y x2=−3. Comprobemos el teorema
con z= 12 −3 −7
entonces,
1 1 −3 12 −3 −7
= 0
de lo cual,
2 1 1 −3 3 3 12 −3 −7
= 0
entonces por el teorema garantizamos que si tiene soluci´on el sistema como vimos anteriormente.
Pero, ¿que pasar´ıa si no tuvi´eramos a y en el plano?, escojamos un y
fuera del plano,
y= 2 11 −3
Por la ecuaci´on del plano tenemos que el vector normal es 12 −3 −7
el cual es ortogonal a todo vector en el plano. Tomamos el sistema
2x1+x2 = 2 x1−3x2 = 11 3x1+ 3x2 = −3
Y lo multiplicamos por el vector normal, osea
12 −3 −1 2 1 3
x1+ 1 −3 3
x2
= 12 −3 −1
24
−3
−21
x1+
12 9
−21
x2 =
24
−33 21
Igualando a cero y sumando los tres sistemas vemos que,
24x1−3x1−21x1+ 12x2+ 9x2−21x2−24 + 33−21 = 0 0x1+ 0x2−12 = 0 0x1+ 0x2 = 12
Como06= 12el sistema es inconsistente. Comprobemos el teorema, osea ya tenemos que Ax=y es inconsistente entonces,
2 1 1 −3 3 3
12
−3
−7
= 0
y,
2 11 −3
12
−3
−7
= 12
Ecuaciones integrales y
´
algebra lineal
2.1.
Ecuaciones integrales
Una ecuaci´on integral es una ecuaci´on en donde la funci´on descono-cida y(x) aparece en una integral yk, y f son funciones conocidas. Dos famosas ecuaciones integrales lineales son:[4, p´ag. 6]
Ecuaci´on de Fredholm
y(x) =
Z b
a
k(x, ǫ)y(ǫ)dǫ+f(x) , a≤x≤b (2.1)
Ecuaci´on de Volterra
y(x) =
Z x
a
k(x, ǫ)y(ǫ)dǫ+f(x) , a≤x≤b (2.2)
Dondek(x, ǫ) es conocido como Kernel o n´ucleo, adem´as asumiendo que es continuo en el cuadrado a≤x,ǫ≤b.
Se nota aparentemente una diferencia menor entre las dos ecuaciones pero sus m´etodos de soluciones son muy diferentes; en si (2,1) est´a chamente relacionada con problemas de valores limite y (2,2) est´a estre-chamente relaciones con problemas de valores iniciales. Veamos algunas propiedades:
Una soluci´on es una funci´ony(x) que satisface la ecuaci´on. Sif(x) = 0 entonces es una ecuaci´on homog´enea.
Si y(x) = 0 la ecuaci´on se convierte en una ecuaci´on de primera clase de lo contrario decimos que es de segunda clase.
Si k(x, ǫ) = k(ǫ, x) decimos que es un kernel sim´etrico. Tener un kernel sim´etrico tiene buenas propiedades que hacen encontrar su soluci´on m´as f´acil.
Podemos usar adem´as notaci´on de operadores para ecuaciones integrales, K:y → Ky una nueva funci´on
(Ky)(x) =
Z b
a
k(x, ǫ)y(ǫ)dǫ una funci´on de x
As´ı que nuestra ecuaci´on de Fredholm de segunda clase la podemos ver como,
Ky+f =y (2.3)
Est´a forma general de operador de la ecuaci´on integral se puede reescribir de la siguiente forma,
y =f+λKy (2.4)
introduciendo λ, el cual podemos relacionar con los valores propios del operador K. Est´a nueva forma es conocida como la forma est´andar de la ecuaci´on integral de segunda clase.
Podemos considerar problemas de valores propios para ecuaciones inte-grales Ky=λY o en la forma est´andar (reemplazandoλpor 1/λ):
y =λKy (2.5)
Un valor propio es un valor λque satisface (2,5) para alguna funci´on y llamada funci´on propia.1
El conjunto de valores propios es conocido como el espectro de K. La multiplicidad es solo la dimensi´on del espacio de funciones generado por sus correspondientes funciones propias.
1
La forma est´andar (2,5) para una ecuaci´on integral homog´enea de segunda clase es el opuesto al problema an´alogo de valores propios del operador matrizA−Ax=λx.
2.2.
Relaci´
on entre ecuaciones integrales y el
´
algebra lineal
Sea [3, p´ag. 19]
y(x) =
Z b
a
k(x, ǫ)y(ǫ)dǫ+f(x) (2.6)
con k(x, ǫ) y f(x) funciones conocidas para a ≤ x ≤ b y a ≤ ǫ ≤ b. Dividamos el intervalo (a, b) en nintervalos iguales cuya longitud ser´a,
b−a
n = ∆x= ∆ǫ (2.7)
Basados en eso, podemos decir que,
k(a+p∆x, a+q∆ǫ) =kpq,(p, q= 1, . . . , n) (2.8)
f(a+p∆x) =fp,(p= 1. . . , n) (2.9)
y(a+p∆x) =yp,(p= 1. . . , n) (2.10)
Tenemos por sumas de Riemann que,
Z b
a
f(x)dx= l´ım
n→∞ b−a
n
n
X
k=1
f(a+k(b−a)
n ) (2.11)
Por lo tanto usando esto podemos ver a Rb
ak(x, ǫ)y(ǫ)dǫ de la siguiente
forma aproximada,
n
X
q=1
k(a+p∆x, a+q∆ǫ)y(a+q∆ǫ)b−a
n (2.12)
Donde kes una funci´on acotada. Osea,
n
X
q=1
kpqyq∆ǫ, p= 1,2, . . . , n (2.13)
Por lo tanto en vez de la ecuaci´on integral obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
yp= n
X
q=1
Aqu´ıkpq,fp y ∆ǫ son magnitudes conocidas yyp nuestra inc´ognita. En
la resoluci´on del sistema anterior el determinante formado por los coefi-cientes de est´e sistema desempe˜na un papel fundamental en el siguiente sentido:
y1 = k11y1∆ǫ+k12y2∆ǫ+. . .+k1nyn∆ǫ+f1 y2 = k21y1∆ǫ+k22y2∆ǫ+. . .+k2nyn∆ǫ+f2
.. . = ...
yn = kn1y1∆ǫ+kn2y2∆ǫ+. . .+knnyn∆ǫ+fn
Despejando y organizando,
y1(1−k11∆ǫ)−k12y2∆ǫ−. . .−k1nyn∆ǫ=f1
−k21y1∆ǫ+y2(1−k22∆ǫ)−. . .−k2nyn∆ǫ=f2 .. . =...
−kn1y1∆ǫ−kn2y2∆ǫ−. . .+yn(1−knn∆ǫ) =fn
Formando la matriz del sistema lineal,
1−k11∆ǫ −k12∆ǫ . . . −k1nyn∆ǫ
−k21∆ǫ 1−k12∆ǫ . . . −k2n∆ǫ
..
. ... ...
−kn1∆ǫ −kn2∆ǫ . . . 1−knn∆ǫ . . .
y1 y2 .. . yn = f1 f2 .. . fn (2.15) Si el determinante de la matriz anterior es diferente de cero el sistema (2,14) tiene soluci´on ´unica para f1, f2, . . . , fn. En este caso el sistema
transpuesto,
zp = n
X
q=1
kqpzq∆ǫ+fp∗ ,p= 1,2, . . . , n (2.16)
tiene tambien soluci´on ´unica para fp∗ arbitrarios.
Si, en cambio, el determinante es igual a cero, el sistema (2,14) parafp
una soluci´on no formada por ceros solamente. De esto obtenemos el siguiente resultado:
Primer caso de la alternativa: O el sistema no homog´eneo de ecua-ciones algebraicas lineales dado en(2,14) tiene una soluci´on ´unica para valores arbitrarios f1, f2, . . . , fn, de los segundos miembros, O el sistema
homog´eneo correspondiente tiene, al menos, una soluci´on no trivial. Si para el sistema dado tiene lugar el primer caso de est´a alternativa, en-tonces este tambi´en tiene lugar para el sistema transpuesto.
Segundo caso de la alternativa: El sistema homog´eneo dado,
yp− n
X
q=1
kpqyq∆ǫ= 0, , p= 1, . . . , n (2.17)
tiene el mismo numero de soluciones linealmente independientes que su sistema transpuesto
zp− n
X
q=1
kqpzp∆ǫ= 0, , p= 1. . . . , n (2.18)
este numero es igual a (n−r), donde r es el rango de la matriz del determinante de (2,15).
Hallemos las condiciones necesarias y suficientes para que el segundo caso de la alternativa el sistema no homog´eneo (2,14) tenga soluci´on. Primero las condiciones necesarias. Sea,
z1, . . . , zn (2.19)
alguna soluci´on del sistema (2,18). Multiplicando la p-´esima ecuaci´on de (2,14) porzp y sumando todas las tres ecuaciones miembro a miembro,
obtenemos que,
yp− n
X
q=1
kpqyq∆ǫ = fp
zpyp− n
X
q=1
Sumando todas las ecuaciones termino a termino como hab´ıamos men-cionado,
n
X
p
zpyp− n
X
q,p
kpqyqzp∆ǫ= n
X
p
fpzp (2.20)
Adem´as el lado izquierdo lo podemos escribir de la siguiente forma,
n
X
p
zpyp− n
X
q,p
kpqyqzp∆ǫ= n
X
p
yp(zp− n
X
q
kqpzq∆ǫ) (2.21)
En virtud de la ecuaci´on (2,18), est´a expresi´on es igual a cero. Por lo tanto, tiene que ser cero el lado derecho de (2,20), osea,
n
X
p
fpzp = 0 (2.22)
Demostremos que est´a igualdad es tambi´en condici´on suficiente para la existencia de soluciones del sistema (2,14) si ´esta se cumple para todas las soluciones del sistema (2,18).
Es evidente, que est´a condici´on se observa, si se cumple para cualquiera (n−r) soluciones linealmente independientes del sistema (2,18). Para demostrar nuestra afirmaci´on, se recuerda del curso de ´algebra superior, que la condici´on suficiente para la existencia de la soluci´on del sistema (2,14), en el caso en que su determinante sea igual a cero, es la siguiente: el rango de la matriz ampliada,
1−k11∆ǫ −k12∆ǫ . . . −k1nyn∆ǫ | f1
−k21∆ǫ 1−k12∆ǫ . . . −k2n∆ǫ | f1 ..
. ... ... | ...
−kn1∆ǫ −kn2∆ǫ . . . 1−knn∆ǫ | f1
(2.23)
Debe coincidir con el rango de la matriz (2,15).
(2,22) que, en efecto, este es igual a cero, ya que el sistema (2,18) se satisface por la sucesi´on de n´umeros,
z1, z2, . . . , zn (2.24)
formadas de la siguiente manera: Siies tal que fi figura en el determinante Dr+1
zi es igual al complemento algebraico de fi en este determinante;
en contrariozi = 0
La justificaci´on de est´a afirmaci´on puede demostrarse del siguiente mo-do.
Sustituyamos los n´umeros z1, z2, . . . , zn es la j-´esima ecuaci´on del
siste-ma (2,18).
Sij es tal, que en el determinanteDr+1 figuran elementos de la j-´esima columna de la matriz (2,23) entonces el resultado de dicha sustituci´on ser´a cero, ya que este ser´a igual a un determinante, en el que coinciden dos de sus columnas.
Sij es tal, que los elementos de la j-´esima columna no figuran en el de-terminanteDr+1, entonces el resultado de esta sustituci´on ser´a tambi´en cero, puesto que ser´a igual a un determinante de una matriz de rango r.
Tercer caso Alternativa:De est´e modo, en el segundo caso de la al-ternativa la soluci´on del sistema, no homog´eneo existe si y solo si para cualquier soluci´on (z1, z2, . . . , zn) del sistema homog´eneo transpuesto se
cumple la condici´on (2,22).
Si en el segundo caso de la alternativa el sistema (2,14) tiene soluci´on, entonces est´a soluci´on no es ´unica, ya que sumando a est´a soluci´on cual-quier soluci´on del sistema homog´eneo correspondiente obtenemos nueva-mente una soluci´on del sistema (2,14)
Volviendo al inicio: [3, p´ag. 24] Cuando ∆ǫ→0, es natural esperar que,
X
q
kpqyq∆ǫ→
Z b
a
y la soluci´on de la ecuaci´on integral sea la soluci´on del sistema de ecua-ciones de (2,14) 2 Ahora presentamos formalmente los tres teorema de la alternativa:
Teorema 2.2.1. O la ecuaci´on integral lineal no homog´enea de segunda especie dada tiene una soluci´on ´unica para cualquier funci´onf(x), o la ecuaci´on homog´enea correspondiente tiene, por lo menos, una soluci´on no trivial, o sea, no id´enticamente nula.
Teorema 2.2.2. Si para la ecuaci´on dada (2,6) tiene lugar el primer caso de la alternativa entonces tiene lugar el primer caso tambi´en para la ecuac´on transpuesta
z(x) =
Z b
a
k(ǫ, x)z(ǫ)dǫ+f∗(x) (2.26)
la ecuaci´on integral homog´enea dada y su transpuesta tienen el mismo n´umero finito de soluciones linealmente independientes.
Teorema 2.2.3. En el segundo caso de la alternativa, la condici´on ne-cesaria y suficiente para la existencia de soluci´on de la ecuaci´on no ho-mog´enea (2,6) es la siguiente:
Z b
a
f(x)z(x)dx= 0 (2.27)
en dondez(x)es cualquier soluci´on de la ecuaci´on homog´enea transpues-ta a (2,6).
Los teorema que se acaban de enunciar son los teoremas de Fredholm que se demostraran para (2,6) bajo condiciones bastantes amplias res-pecto a k(x, ǫ).
Para aplicaciones es importante el primer teorema de la alternativa. En lugar de demostrar que la ecuaci´on integral tiene soluci´on, es mas c´omo-do, demostrar que la ecuaci´on homog´enea correspondiente o su trans-puesta tiene solamente soluciones triviales, y de aqu´ı, por el primer teo-rema, se deducir´a que (2,6) tiene soluci´on.
2
Ecu. integrales con kernel
degenerado
Existe una clase especial de ecuaciones integrales que se pueden redu-cir a ecuaciones algebraicas lineales. Los teoremas enunciados anterior-mente los podemos enunciar para est´as ecuaciones algebraicas lineales. Las ecuaciones de las que hablamos son ecuaciones integrales con n´ucleos degenerados.
3.1.
Kernel degenerado o separado
Kernel separable son aquellos que se pueden escribir como suma finita de t´erminos cada uno de los cuales es el producto de una funci´on de P por una funci´on de Q. Osea, [4, p´ag. 32]
k(P, Q) =X
i
ai(P)bi(Q) (3.1)
En general la ecuaci´on de segunda clase de Fredholm toma la siguiente forma:
y(P) =f(P) +λX
i
ai(P)
Z b
a
bi(Q)y(Q)dQ (3.2)
´ o,
y(P) =f(P) +λX
j
Ujaj(P) (3.3)
donde, Uj =
Rb
abi(Q)y(Q)dQ es un n´umero a determinar. Una vez
cal-culados todos losUj se escribe la soluci´on de (3,3).
Ahora, multipliquemos a la izquierda a (3,3) por bi(P) e integramos de
aa b. Entonces,
bi(P)y(P) = f(P)bi(P) +bi(p)
X
j
Ujai(P)
Z b
a
bi(P)y(P)dP =
Z b
a
f(P)bi(P)dP +
Z b
a
bi(p)
X
j
Ujai(P)dP
Uj = Fi+
X
j
Uj
Z b
a
bi(P)ai(P)dP
dondeFi = (f, bi). Usando la notaci´on vectorial podemos ver lo anterior
como,
U =F+λAU (3.4)
con,
Aij =
Z
aj(Q)bi(Q)dQ= (aj, bi) (3.5)
entonces,
(I−λA)U =F (3.6)
yU = (I−λA)−1F si la matrizI−λAes invertible o equivalente, siem-pre quedet(I−λA)6= 0. Una vez solucionado (3−6) paraU, sustituimos en (3,3) y se encuentra una soluci´on y(P).
Sidet(I−λA) = 0 entonces 1/λ es un valor propio de Aj. Entonces no
hay soluci´on o hay infinitas, dependiendo si F esta o no en el espacio columna de (I−λA) como se vio en la parte del ´algebra.
Sif(P)≡0, el problema se reduce ay=λkyentonces los valores propios de A son rec´ıprocos a los valores propios de k. Entonces los correspon-dientes valores propios o funciones propias se encuentran siguiendo el procedimiento anterior con f ≡0, es decir (I−λU A)U = 0.
Est´e an´alisis puede ser resumido como la alternativa, como lo visto ante-riormente pero con un kernel degenerado: Dado una ecuaci´on integral de Fredholm de segunda especie con kernel degenerado; entonces definiendo A como antes:
Si 1/λno es un valor propio deAentonces hay una ´unica soluci´on. Si 1/λ es u valor propio de A entonces no hay soluci´on o hay infinitas.
Veamos un ejemplo de lo anterior:
Ejemplo 3.1.1. Resuelva la ecuaci´on integral de Fredholm de segunda especie con Kernel degenerado: [4, p´ag. 37]
y(P) =P+λ
Z 1
0
(P Q2+P2Q)y(Q)dQ (3.7)
Tenemos que,
k(P, Q) = P Q2+P2Q = a1b1+a2b2
y f(P) = P. Primero demos la siguiente tabla, La cual usaremos para
i ai bi
1 P Q2 2 P2 Q
calcular los coeficientes deAij y Fi. Por definici´on,
F =
F1 F2
=
(f, b1) (f, b2)
(3.8)
Donde,
F1 = (f, b1) =
Z 1
0
P P2dP = 1 4 F2 = (f, b2) =
Z 1
0
de lo cual, F = F1 F2
Lo siguiente es formar la matriz A, definida como,
Aij = (ai, bj) (3.9)
De lo cual,
A11= 1 4 A12=
1 5 A21=
1 3 A22=
1 4
Entonces nuestra matriz A es,
A=
1 4 15 1 3 14
Necesitamos resolver, U = 1/4 1/3 +λ 1/4 1/5 1/3 1/4 U
U −λ
1/4 1/5 1/3 1/4 U = 1/4 1/3 1 0 0 1 u1 u2 −λ 1/4 1/5 1/3 1/4 u1 u2 = 1/4 1/3
1−λ/4 −λ/5
−λ/3 1−λ/4 u1 u2 = 1/4 1/3
donde el determinante de(I−λA)es 2401 (240−120λ−λ2). Comodet(I− λA)6= 0 el problema tiene ´unica soluci´on,
u= 1
240−120λ−λ2
60 +λ 80
finalmente,
y(P) =P+λ(u1P+u2P2)
es una soluci´on.
Sabemos que λ = −60±16√15 es una soluci´on del polinomio carac-ter´ıstico. Entonces supongamos que,
λ=−60 + 16√15 = 1 1/4 + 1/√15
es decir, es el reciproco de uno de los valores propios deA. Entonces,
(I−λA) =
16−4√15 12−16/5√15 29−16/3√15 16−4√15
Comprobemos que la matriz anterior tiene vectores columna paralelas. Osea,
20−16/3√15 16−4√15 =
16−4√15 12−16/5√15
− √
15
3 = −
√
15 3
Por lo tanto los vectores columna son paralelos.
As´ı que para que F est´e en el espacio columna de (I−λA) debe ser el caso en queF es un m´ultiplo de la primer columna de(I−λA) para que esto fuera cierto debemos de tener la siguiente raz´on o proporci´on,
F1 F2
= 16−4
√
15 20−16/3√15 =−
r
3 5
pero,
F1 F2
= 3 4
As´ı que para est´e valor de λ no hay soluci´on. (De igual forma para
λ=−60−16√15).
Si por suerte F es una combinaci´on lineal de las columnas de (I −λA)
Por ejemplo, si C1 = c1F y C2 = c2F donde c1 y c2 son la primer y segunda columna de (I −λA) entonces tendremos que,
c1U1+c2U2= 1
y la soluci´on es,
y(P) =P+ (U1P +U2P2) (3.10)
donde U1 y U2 son cualesquiera de las infinitas soluciones de (3,10).
3.2.
Kernel degenerado y Fredholm
Sabemos que un n´ucleo degenerado es la de la siguiente forma,[3, p´ag. 26]
K(P, Q) =
m
X
i=1
ai(P)bi(Q) (3.11)
pero lo que vamos a necesitar ahora para ver la relaci´on con los teoremas de Fredholm es ver a ai(P),bi(Q),y(P) y f(P) como funciones
unifor-memente continuas en cierta regi´on finitaGy adem´as los ai(P) y bi(Q)
son linealmente independientes entre si. La independencia lineal de los ai(P) y bi(Q) no supone una restricci´on para la generalidad.
Proposici´on 3.2.1. ai(P) y bi(Q) su independencia lineal no supone
una restricci´on para la generalidad.
Demostraci´on. Supongamos que existen constantesc1, c2, . . . , cmtal que,
c1a1(P) +c2a2(P) +. . .+cmam(P) = 0 (3.12)
y por lo menos, uno de los c1, c2, . . . , cm es diferente de 0. Sea cm 6= 0.
Entonces est´a igualdad puede ser resuelta respecto a am(P). Osea,
cmam(P) = −c1a1(P)−. . .−cm−1am−1(P) am(P) = −
c1 cm
a1(P)−. . .− cm−1
cm
am−1(P) am(P) = c∗1a1(P) +. . .+c∗m−1am−1(P) am(P) =
m−1
X
i=1
dondec∗n=−cn
cm conn= 1, . . . , m−1. Reemplazando en (3,11) se tiene
que,
K(P, Q) =
m
X
i=1
ai(P)bi(Q)
=
m−1
X
i=1
ai(P)bi(Q) +am(P)bm(Q)
=
m−1
X
i=1
ai(P)bi(Q) +
!m−1 X
i=1
c∗iai(P)
#
bm(Q)
=
m−1
X
i=1
ai(P)bi(Q) + m−1
X
i=1
c∗iai(P)bm(Q)
=
m−1
X
i=1
ai(bi(Q) +c∗ibm(Q))
=
m−1
X
i=1
aib∗i(Q)
donde b∗
i(Q) = bi(Q) +c∗ibm(Q). De est´e modo, resulta que el n´ucleo
K(P, Q) puede ser representado como una suma de un n´umero menor que m de productos de funciones que dependen de P por funciones de-pendientes deQ. Si las funcionesaP ´ob∗i(Q), coni= 1, . . . , m−1 fuesen
de nuevo linealmente independientes, est´e n´umero se podr´ıa diminuir otra vez y as´ı sucesivamente.
Se sabe que las ecuaciones integrales con n´ucleos degenerados se re-ducen a ecuaciones algebraicas lineales y para ello se llega a los teoremas de Fredholm sin dificultad.
Sea la ecuaci´on integral, y(P) =
Z
G
k(P, Q)y(Q)dQ+f(P) (3.14)
la cual tiene soluci´on y k(P, Q) es un n´ucleo degenerado. Osea,
y(P) =
Z
G
! m X
i=1
ai(P)bi(Q)y(Q)
#
= m X i=1 ai Z G
bi(Q)y(Q)dQ+f(P)
=
m
X
i=1
aiCi+f(P)
dondeCi =
R
Gbi(Q)y(Q)dQ.
Ahora determinemos las constantes Ci,
Ci =
Z
G
bi(Q)y(Q)dQ
=
Z
G
bi(Q)
m
X
j=1
ajCj+f(P)
dQ
=
Z
G
bi(Q) m
X
j=1
ajCjdQ+
Z
G
bif(P)dQ
= Z G m X j=1
biajCjdQ+
Z
G
bif(P)dQ
= m X j=1 Cj Z G
biajdQ+
Z
G
bif(P)dQ
=
m
X
j=1
CjKij+fi
donde,
Kij =
Z
G
biajdQ
fi =
Z
G
bif(P)dQ
de lo cual,
Ci = m
X
j=1
CjKij+fi (3.15)
independiente, la soluci´on es ´unica.
Rec´ıprocamente, si est´e sistema de ecuaciones algebraicas lineales tiene alguna solucion C1, C2, . . . , Cm entonces, sustituy´endola en el segundo
miembro de,
y(P) =
m
X
i=1
Ciai(P) +f(P) (3.16)
se obtendr´a una soluci´on de la ecuaci´on integral dada (3,14). Puesto que cada operaci´on efectuada para llevar (3,14) a (3,15) es reversible. Por lo tanto, la soluci´on de una ecuaci´on integral de n´ucleo degenerado se reduce a la soluci´on del correspondiente sistema (3,15) de ecuaciones lineales algebraicas.
Si efectuamos las mismas operaciones para,
z(P) =
Z
G
K(Q, P)z(Q)dQ+f∗ (3.17)
la ecuaci´on integral transpuesta de (3,14), se obtiene,
Ci∗=
m
X
j=1
KjiCj∗+fi∗ ,i= 1,2, . . . , m (3.18)
el cual ser´ıa el sistema transpuesto a (3,15).
Como se ha supuesto que las funcionesai(P) ybi(Q) son linealmente
in-dependientes del sistema homog´eneo correspondiente de (3,15) ´o (3,18) le corresponden p soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on homog´enea de (3,14), o de la homog´enea de (3,17), respectivamente y viceversa por lo visto de la correspondencia.
Por lo tanto se tienen directamente los dos primeros teoremas de Fred-holm para la ecuaci´on integral (3,14), ya que el sistema algebraico lineal al que se llego cumple los teoremas que se dieron para ecuaciones alge-braicas sin ning´un problema.
Si tiene lugar el segundo caso de la alternativa para el sistema (3,15) entonces la condici´on necesaria y suficiente para la existencia de una soluci´on del sistema (3,15) es,
m
X
i=1
fiCi∗= 0 (3.19)
en donde C1∗, C2∗, . . . , Cm∗ es una soluci´on cualesquier del sistema
trans-puesto. Utilizando,
Z
G
bi(G)f(Q)dQ=fi (3.20)
reemplazamos,
m
X
i=1
fic∗i = 0
m
X
i=1
Z
G
bi(Q)f(Q)dQ
c∗i = 0
m
X
i=1
Z
G
bi(Q)f(Q)c∗idQ
= 0
Z
G
! m X
i=1
bi(Q)f(Q)c∗i
#
dQ= 0
Z
G
f(Q)
! m
X
i=1
bi(Q)c∗i
#
dQ= 0 (3.21)
SiC1∗, C2∗, . . . , Cm∗ es una soluci´on del sistema homog´eneo de (3,18),
en-tonces P
Ci∗bi(Q) es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea de (3,17)
la condici´on,
Z
f(Q)z(Q)dQ= 0 (3.22)
para cualquier soluci´on z(Q) de la ecuaci´on homog´enea de (3,17). De esto se deduce el tercer teorema para (3,14)
Para sistemas de ecuaciones lineales son conocidas las condiciones de existencia y de unicidad de la soluci´on, los teoremas de Fredholm se enunciar´an as´ı:
Teorema 3.2.2. Un sistema de ecuaciones lineales algebraicas T x=y (T = (aij), x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn)) tiene soluci´on si y
s´olo si el vector y es ortogonal a toda soluci´on del sistema homog´eneo conjugado
T∗z= 0 ,(T∗= ¯aij). (3.23) Teorema 3.2.3. Si el determinante de una matrizT es diferente de cero, la ecuaci´onT x=y tiene soluci´on ´unica para cualquier y. En cambio, si el determinante de la matrizT es igual a cero, la ecuaci´onT x= 0 tiene soluci´on no nula.
Teorema 3.2.4. Como la matriz T y la matriz conjugada T∗ son del mismo rango, los sistemas homog´eneos T x = 0 y T∗z = 0 tienen el
mismo n´umero de soluciones linealmente independientes.
Debido a la relaci´on que, como hemos visto, existe entre ecuacio-nes integrales de n´ucleo degenerado y sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, estas proposiciones pueden ser consideradas como teoremas re-ferentes a las soluciones y, de hecho, estos mismos teoremas tienen lugar tambi´en para ecuaciones de n´ucleo arbitrario (no degenerados). Sin em-bargo, puesto que para operadores integrales con n´ucleos no degenerados no tienen sentido conceptos como rango 2 ”determinante ”de una matriz,
los teoremas correspondientes deben ser enunciados de manera que en ellos no figuren estos conceptos.
Ejemplo 3.2.5. Sea la ecuaci´on integral homog´enea de kernel separable,[4, p´ag. 43]
u=λ
Z π
0
i ai bi
1 cos2x cos 2y 2 cos 3x cos3y
Se tiene que: Usando la definici´on de Aij = (aj, bi);
A11 =
Z π
0
cos2xcos 2x= π 4 A12 =
Z π
0
cos 3xcos 2x= 0
A21 =
Z π
0
cos3xcos2x= 0 A22 =
Z π
0
cos 3xcos3x= π 8
De lo cual,
A=
π/4 0 0 π/8
As´ı que la ecuaci´on de U es (I−λA)U = 0:
1−π4λ 0 0 1−π8λ
U1 U2
= 0
Esto tiene soluci´on no trivial solo si det(I−λA) = (1−λπ
4)(1−λπ8) es
cero.
As´ı si λtoma otro valor que π4 o 8π entonces la ´unica soluci´on esU = 0
cuando(I−λA) es invertible. As´ıu(x) = 0 para todo x∈[0, π]. Ahora se consideran dos casos especiales, λ= π4 y λ= π8.
(a) λ = π4 as´ı que 0×U1 = 0 (U1 arbitrario) y (1− π4π8)U2 = 0 as´ı U2 = 0. De lo cual,
U(1)=
1 0
, y, u(1)(x) = 4 πcos
(b) λ= π8. En este caso U1 = 0 y U2 es arbitrario.
U(2) =
0 1
, y,u(2)(x) = 8 πcos 3x
Fredholm nos dice que la ecuaci´on integral in-homog´enea asociada de segunda clase u = f +λKu tendremos exactamente una soluci´on si
λ6= π4 o π8. Para λ= π4 o π4 el problema in-homog´eneo asociado tendr´a ´
Ecu. de Fredholm kernel no
degenerado
4.1.
Operador integral de Fredholm
En este capitulo seguiremos trabajando las ecuaciones de Fredholm de segunda especie, osea de tipo, [7, p´ag. 44]
y(P) =
Z b
a
k(P, Q)y(Q)dQ+f(Q) (4.1)
pero ahora respecto al n´ucleo daremos ciertas condiciones. Una es que es medible y ademas cumple que,
Z b
a
Z b
a |
k(P, Q)|dP dQ <∞ (4.2) El termino independiente f(P) de la ecuaci´on es una funci´on dada de L2([a, b]) y y es la funci´on inc´ognita perteneciente tambi´en aL2([a, b]). Pongamos en correspondencia a la ecuaci´on (4,1) con el operador K : L2([a, b])→L2([a, b]), definido del siguiente modo:
Ky = g (Ky)(P) =
Z b
a
k(P, Q)y(Q)dQ=g(P) (4.3)
El estudio de la ecuaci´on (4,1) se reduce al estudio de las propiedades de este operador K. Llamado operador de Fredholm de n´ucleo k. Se sabe del an´alisis funcional que un operador entre espacios de Hilbert es totalmente continuo si transforma conjuntos d´ebilmente compactos en conjuntos relativamente compactos seg´un la topolog´ıa fuerte, pero esto es completamente equivalente a demostrar que el operador transforma toda sucesi´on d´ebilmente convergente en un sucesi´on fuertemente convergente. Se presentara el resultado fundamental en la teor´ıa cualitativa de las ecuaciones integrales.
Teorema 4.1.1. La igualdadg(P) =Rb
aK(P, Q)y(Q)dQ, dondeK(P, Q)
es una funci´on de cuadrado integrable, es decir en el espacio L2([a, b])
un operador lineal totalmente continuo K, cuya norma satisface la de-sigualdad,
||K||<
s Z b
a
Z b
a |
kw(P, Q)|dP dQ (4.4)
Demostraci´on. Demostraci´on en [7, p´ag. 45].
Gracias al teorema anterior se puede decir que: todo operador de Fredholm puede ser representado como limite (en el sentido de la con-vergencia seg´un la norma) de una sucesi´on de operadores integrales de-generados.
4.2.
Teoremas de Fredholm kernel no
degenera-do
Consideremos de nuevo la ecuaci´on (4,1) pero con un n´ucleo no de-generado. Nos interesa ahora ver las condiciones en que la ecuaci´on (4,1) tenga soluci´on y propiedades de sus soluciones. Adem´as, para nosotros sera esencial solo la propiedad de continuidad total del operador corres-pondiente a la ecuaci´on (4,1) y no de su forma integral. Por lo tanto se considera,[7, p´ag. 55]
y=Ky+f (4.5)
Tomando, T =I−K (I operador unidad), escribamos la ecuaci´on (4,5) como,
T y=f (4.6)
Adem´as de esta ecuaci´on, se considera la ecuaci´on homog´enea,
T y0= 0 (4.7)
y sus conjugados,
T∗z = f∗ (4.8)
T∗z0 = 0 (4.9)
T∗ = I−K∗ (4.10)
La relaci´on que existe entre las soluciones de estas ecuaciones la podemos ver en los siguientes teorema de Fredholm,
Teorema 4.2.1. La ecuaci´on no homog´enea T y=f tiene soluci´on para aquellasf y s´olo para aquellas que son ortogonales a todas las soluciones de la ecuaci´on homog´enea conjugada T∗z0 = 0.
Teorema 4.2.2. O bien la ecuaci´on T y = f tiene una soluci´on y s´olo una, cualquiera seaf ∈H, o bien la ecuaci´on homog´enea T y0= 0 tiene
soluci´on no nula.
Teorema 4.2.3. Las ecuaciones homog´eneas de T y = f y T z∗ = f∗
tienen el mismo n´umero, adem´as finito, de soluciones linealmente inde-pendientes.
Nota: SiK es un operador integral degenerado, las ecuaciones co-rrespondientes se reducen, como hemos visto a sistemas de ecuaciones algebraicas; los teoremas de Fredholm se convierten en teoremas sobre sistemas lineales.
Entonces procederemos a dar una demostraci´on a estos tres teoremas para ecuaciones integrales de segunda especie con kernel no degenerado.
Sea K : H → H un operador lineal continuo, adem´as T = I −K tendr´a a N(T) = {x∈H|T x= 0} el n´ucleo del operador y R(T) =
Lema 4.2.4. El subespacio R(T) es cerrado.
Demostraci´on. Seayn∈R(T) una sucesi´on tal que l´ımn→∞yn=y. Por
definici´on de rango existenxn∈H tal que
yn=T xn=xn−Kxn (4.11)
Supongamos sin perdida de generalidad que estos vectores son ortogona-les al n´ucleo N(T). Adem´as podemos aceptar que||xn|| es una sucesi´on
acotada, de lo contrario||xn|| → ∞y dividiendo por||xn||a (4,11) vemos
que,
yn
||xn||
= xn
||xn||−
K xn
||xn|| →
0 (4.12)
Pero comoK es un operador totalmente continuo podr´ıamos encontrar una subsucesi´onnK xn
||xn|| o
convergente. Por lo tanto, tambi´en xn
||xn||
con-verger´ıa, digamos a un P ∈ H. Es claro que ||P|| = 1 y T(P) = 0, es decirP ∈N(T).
Hemos supuesto sin embargo que los vectoresxnson ortogonales aN(T),
Luego tambi´en P debe ser ortogonal aN(T), pero esto es imposible ya que si P⊥N(T) y P ∈N(T) entonces < P, P >= 0 y||P||= 1, lo cual ser´ıa una contradicci´on.
Est´a contradicci´on nos permite suponer que ||xn|| es una sucesi´on
acotada. Al mismo tiempo la sucesi´on {Kxn} pueden suponerse en este
caso convergente, entonces como yn = T xn = xn −Kxn se tiene que
{yn}es convergente. Si x es el l´ımite de esta sucesi´on se desprende que,
y =T x= l´ım
n→∞T xn. (4.13)
Lema 4.2.5. El espacio H es la suma directa ortogonal de los subespa-cios cerrados N(T) yR(T∗), es decir,
N(T)⊕R(T∗) =H (4.14)
Y an´alogamente,
Demostraci´on. Sabemos que N(T) y R(T∗) son subespacios cerrados. Adem´as son ortogonales ya que, sih∈N(T) se tiene
(h, T∗x) = (T h, x) = 0 ,para todo x∈H (4.16) Solo nos falta ver que no existe ning´un vector no nulo ortogonal si-mult´aneamente a R(T∗) y N(T). Pero, si el vector P es ortogonal a R(T∗) entonces para cualquierx∈H se tiene que,
(T p, x) = (p, T∗x) = 0 (4.17) Osea, p∈N(T).
Del teorema anterior deducimos el primer teorema de la alternativa ya que f⊥N(T∗) si y solo si f ∈R(T). En otras palabras , existe un y tal queT y=f.
Lema 4.2.6. Existe un j tal que Hk+1 =Hk para todo enterok≥j.
Demostraci´on. Tenemos queHk=R(Tk) yH1 =R(T). Como por lema 4,2,4 R(T) es cerrado, se cumple
H ⊇H1 ⊇H2 ⊇. . . (4.18) Adem´as, T(Hk) =Hk+1. Entonces, si no existiera tal j, tendr´ıamos que todos losHkserian distintos. Entonces construyamos una sucesi´on
orto-gonal{xk}tal que xk∈Hj y son ortogonales aHk+1. Sea l > kentonces,
T xk−T xl = xk−Kxk−xl+Kxl
Kxl−Kxk = −xk+ (xl+T xk−T xl)
Y por lo tanto ||Kxl−Kxk|| ≥1 ya que,
xl+T xk−T xl ∈Hk+1
Luego, de la sucesi´on {Kxk} no se puede extraer ninguna subsucesi´on
convergente, lo que contradice a la continuidad total del operadorK.
Demostraci´on. Si N(T) = 0 entonces T es inyectivo. Supongamos que R(T)6=H, la cadena (4,17) no ser´ıa estacionaria, osea tendr´ıa infinidad de subespacios y tendr´ıamos que no existir´ıa elj del lema anterior, osea contradice lo contradice. Por lo tanto,
R(T) =H (4.19)
An´alogamente,R(T∗) =H, si N(T∗) = 0.
Lema 4.2.8. Si R(T) =H, se tiene que N(T) = 0.
Demostraci´on. Como R(T) = H, por lema (4,2,5) debemos tener que N(T∗) = 0. Pero por el lema anterior R(T∗) =H de lo cual,
R(T∗)⊕N(T) =H entonces,
N(T) = 0
Los dos teoremas anteriores constituyen la demostraci´on del teorema 2.
Continuando con las demostraciones de los tres teoremas de Fredholm pasamos a probar el tercero.
Supongamos que N(T) es de dimensi´on infinita. De esto podemos decir que existe un sistema ortonormal infinito {xk}. Adem´as, Kxk = xk de
manera que parak6= 1 tenemos que||Kxk−kxl||=
√
2. Pero, esto sig-nifica que de la sucesi´on{Kxk}no se puede extraer ninguna subsucesi´on
convergente, lo que contradice la continuidad total del operadorK. Sea dim(N(T)) = α y dim(N(T∗)) = β. Supongamos que α < β. Sea
{y1, y2, . . . , yα} una base ortonormal enN(T) y sea {z1, z2, . . . , zβ} una
base ortonormal de N(T∗). Tomemos,
Sx=T x+
α
X
j=1
Mostraremos ahora que Sx= 0 tiene soluci´on trivial. Supongamos que,
T x+
α
X
j=1
(x, yj)zj = 0 (4.21)
Como los vectores zj son ortogonales por lema (4,2,5), a todos los
vec-tores del tipo T x de 4,20 se deduce que T x = 0 y (x, yj) = 0 para
1≤j≤α.
Luego el vector x debe ser, por un lado, una combinaci´on lineal de los vectores yj y por otro lado, debe ser ortogonal a ellos. Entoncesx = 0.
De modo que Sx= 0 tiene una ´unica soluci´on trivial.
Por teorema 2 existey tal que,
T y+
α
X
j=1
(y, yj)zj =zα+1
Si operamos escalarmente a ambos lados por zα+1 obtendremos al lado izquierdo cero y al lado derecho 1 por la ortnomalidad de zα+1. Luego
Conclusiones
El prop´osito de est´e trabajo era dar a conocer unas de las tantas for-mas en que se puede ver la alternativa de Fredholm. Logramos verla des-de el ´algebra lineal hasta ecuaciones integrales con kernel degenerado y no degenerado. De esas versiones logramos ver qu´e condiciones podemos llegar a necesitar para poder garantizar soluciones de ciertas ecuaciones integrales. De lo que vimos, esas condiciones depender´an totalmente del comportamiento del kernel y del planteamiento de la ecuaci´on tal como se vio en la motivaci´on.
De acuerdo al comportamiento del kernel podemos dar de una forma m´as c´omoda la alternativa, ya que como se vio en el capitulo 2, se puede formar un sistema lineal de ecuaciones integrales el cual tiene un compor-tamiento muy parecido a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Cumpliendo as´ı teoremas y propiedades b´asicas para hallar soluciones a estos sistemas.
Llegado el caso donde no se pueda reducir de una forma m´as c´omoda a un sistema de ecuaciones lineales, se requiere de un poco m´as de herra-mientas. Como se vio, esas herramientas las encontramos en espacios de Hilbert.
Y por ultimo podemos decir que el trabajo de Fredholm en la teor´ıa de ecuaciones integrales marco un cambio de c´omo ver esos sistemas. Aun-que sigue la duda de, ¿Por qu´e la “alternativa” en el nombre?, se podr´ıa decir que es por que nos da varias opciones de acuerdo a la ecuaci´on. Osea que tenga o no soluci´on dependiendo de ciertos factores.
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