Uso del Análisis Complejo para hallar una Cota Inferior para Polinomios Trigonométricos

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(1)UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE´ DE CALDAS. ´ FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION ´ PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS. Uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos. EDISON JAIR LEGUIZAMON QUINCHE. Bogotá, D.C 2016.

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(3) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE´ DE CALDAS. ´ FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION ´ PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS. Uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos EDISON JAIR LEGUIZAMON QUINCHE. Trabajo de Grado presentado como parte de los requisitos para la obtención del tı́tulo de Matemático por la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.. Director: Arturo San juan. Bogotá, D.C 2016.

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(5) 3. Agradecimientos Quiero agradecer a los profesores, Oriol Mora por ayudarme siempre a pesar de la dificultad y al profesor Arturo San juan por su constante colaboración y ser un gran mentor. También quiero agradecer a mis padres y hermanos por brindarme siempre todo su apoyo y comprensión frente a la exigencia de la carrera. A mis grandes amigos dentro y fuera de la universidad, sin su compañı́a y apoyo este trabajo no hubiera sido posible. Por último quiero agradecer a una persona muy especial, sin la cual no hubiera podido lograr ninguno de mis cometidos en estos últimos años. Cada uno de mis proyectos fueron fruto de su apoyo, paciencia y compañı́a incondicional..

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(7) ´INDICE GENERAL i. Índice general Introducción. 1. 1. Preliminares 1.1. Espacios Lp,µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Espacios Lp con 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Coeficientes de Fourier y Aproximaciones de la Identidad . . . . . . . . . .. 3 3 13 16. 2. Espacios de Hardy e Interpolación de Operadores en Espacios Lp 2.1. Espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Núcleo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operadores fuertes y débiles de tipo (a, b) . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Teorema de Riesz-Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Teorema de Marcienkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 23 23 37 42 49. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 3. Cotas Inferiores de Polinomios Trigonométricos. 61. Bibliografı́a. 71.

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(9) introducción 1. Introducción En el campo de la Matemática se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos a partir de un conjunto discreto de puntos. Problemas de este tipo son comunes en la Fı́sica o Análisis Numérico. La teorı́a de interpolación de operadores en espacios Lp está fuertemente ligada con este concepto y encuentra muchas aplicaciones en análisis funcional y armónico. El amplio conocimiento actual sobre la teorı́a de la medida e integración en diferentes espacios, y los problemas más destacados de este tema, son los que brindan el argumento de la importancia en el desarrollo de interpolación de operadores. Frecuentemente, ciertos operadores de distinta clase son estudiados y es importante conocer si son acotados o no de un espacio de medida en otro, con base a esta pregunta surgió la teorı́a de interpolación de operadores. Este trabajo estará basado en el articulo de A.S. Belov [4] que propone como problema principal mostrar que para k1 , . . . , kn naturales distintos y a1 , . . . , an reales arbitrarios se cumple la desigualdad. − mı́n. n X i=1. n. aj (cos(kj x) − sin(kj x)) ≥ B. 1 X 2 a ln(n) i=1 j. !1/2. para B una constante absoluta. Hablaremos también del resultado dado por Pichordes en [7], y haremos un contraste con el de A.S. Belov. Para el desarrollo de este trabajo se tomará de base el libro ”Trigonometric Series” de A.Zygmund en el cual se encuentran los resultados mas importantes para la resolución y entendimiento del articulo. Para realizar un trabajo completo y detallado tendremos que acudir a otras fuentes para complementar ciertas ideas y conceptos necesarios. En el capitulo 1 exponemos a los espacios Lp (reales y complejos) dando una breve introducción al análisis armónico. En el capı́tulo 2 abordaremos los espacios de funciones analı́ticas en el disco o espacios de Hardy H p , el objetivo principal será mostrar que se puede ver a los espacios H p como subespacios cerrados de los espacios Lp (T) (espacio complejo de Lebesgue en el disco). Después nos dedicaremos exclusivamente a los teoremas de interpolación. Más precisamente al teorema de RieszThorin y Marcinkievicz, y sus consecuencias mas importantes, tales como los teoremas de RieszFischer y Paley. Finalmente, en el ultimo capitulo, buscaremos dar solución al problema planteado y tratar de dar diferentes perspectivas del mismo..

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(11) 1. preliminares 3. 1. Preliminares. Para la lectura de este documento se asumen conocimientos básicos de análisis complejo, armónico y de teorı́a de la medida. Para futuras referencias notaremos a los espacios de medida como (X, X , µ), donde X es un conjunto, X una σ−álgebra y µ una medida. Diremos que f = g si y solo si f = g en c.t.p. A continuación citaremos 3 teoremas fundamentales en la teorı́a de la medida tomados de [3], pg 31, 33 y 44 respectivamente. Teorema 1.1 (Teorema convergencia monótona). Sea fn una sucesión monótona creciente en M + (X, X ) que converge a f = lı́mn→∞ fn entonces Z Z lı́m fn dµ = lı́m f dµ n→∞. n→∞. Teorema 1.2 (Lema de Fatou). Sea fn una sucesión de funciones en M + (X, X ) entonces Z Z lı́m inf fn dµ ≤ lı́m inf fn dµ Teorema 1.3 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue). Sean fn una sucesión de funciones en L(X, X , µ), tales que convergen a una función f en c.t.p., si existe g ∈ L(X, X , µ) tal que |fn | ≤ g para toda n entonces f ∈ L(X, X , µ) y Z Z lı́m fn dµ = f dµ n→∞. 1.1 Espacios Lp,µ A partir de ahora entenderemos a un espacio normado y semi-normado como en ( [3], pg 52-54), y si el espacio es completo ( [8], pg 58) se dice que es un espacio de Banach. Definición 1.1. Si 1 ≤ p ≤ +∞ y sea (X, X , µ) un conjunto de medida, Lp,µ (X) = Lp,µ representa al conjunto de clases de funciones [f ] determinadas por las funciones que son µ-equivalentes a f , para las f tales que |f |p tiene integral finita sobre X. Se define la norma sobre Lp : Z 1/p p kf kp,µ = |f | dµ.

(12) 4 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos k·kp,µ es no negativa si kf kp,µ = 0 entonces |f |p = 0 en c.t.p., lo cual implica que f = 0 en c.t.p. sea α ∈ R entonces Z 1/p Z 1/p p p kαf kp,µ = |αf | dµ = |α| |f | dµ = |α|kf kp,µ Resta comprobar la Desigualdad Triangular, pero para esta necesitaremos un par de elementos auxiliares. Teorema 1.4 (Desigualdad de Hölder). Sean f ∈ Lp,µ y g ∈ Lq,µ donde p y q son exponentes conjugados(ver [6], pg 12) entonces, f g ∈ L1,µ y kf gk1,µ ≤ kf kp,µ kgkq,µ Demostración. Recordemos la desigualdad de Young, sean a, b reales positivos, entonces, para p y q exponentes conjugados se tiene ap b q ab ≤ + p q Tomando a a =. |f | kf kp,µ. yb=. |g| kgkq,µ. obtenemos que. |f |p |g|q |f g| ≤ + kf kp,µ kgkq,µ pkf kpp,µ qkgkqq,µ Integrando a ambos lados de la desigualdad obtenemos que kf gk1,µ 1 1 ≤ + =1 kf kp,µ kgkq,µ p q por tanto kf gk1,µ ≤ kf kp,µ kgkq,µ. Una caracterización importante que nos brinda la desigualdad de Hölder es que si, µ(X) < ∞ entonces y p < q entonces Lq,µ ⊆ Lp,µ . En efecto, sea g ∈ Lq,µ entonces |g|p ∈ Lq/p,µ y por desigualdad de Hölder Z. Z. p. |g| dµ ≤. p/q. |g| Z. =. q. q. |g|. k1k1−p/q,µ p/q. q. (µ(X)) q−p < ∞.

(13) 1. preliminares 5. g ∈ Lp,µ . Ademas se tiene que la inclusión es continua. A partir de la desigualdad de Hölder se obtiene la Desigualdad Triangular, que en espacios de Lebesgue, se conoce como Desigualdad de Minkowsky, Debemos notar que aún no hemos probado como tal que Lp,µ es cerrado para la suma y el producto por escalar, lo cual garantizaremos a continuación. Teorema 1.5.. Sean f, g ∈ Lp,µ entonces f + g ∈ Lp,µ y kf + gkp,µ ≤ kf kp,µ + kgkp,µ. Demostración. Notemos que |f + g|p ≤ [2 máx{|f |, |g|}]p = 2p (max{|f |, |g|}) ≤ 2p (|f |p + |g|p ) por tanto f + g ∈ Lp,µ . y ademas |f + g|p = |f + g||f + g|p−1 ≤ |f ||f + g|p−1 + |g||f + g|p−1 Sea q tal que p1 + 1q = 1, entonces p = (p − 1)q, pesto implica |f + g|p−1 ∈ Lq,µ . Ası́ por desigualdad de Hölder k(|f ||f + g|p−1 )k1,µ ≤ kf kp,µ k|f + g|p−1 kq,µ k(|g||f + g|p−1 )k1,µ ≤ kgkp,µ k|f + g|p−1 kq,µ Entonces Z. Z. p. p. 1/q. |f + g| dµ. |f + g| dµ ≤ (kf kp,µ + kgkp,µ ) Es decir Z. Teorema 1.6.. 1−1/q |f + g| dµ = kf + gkp,µ ≤ kf kp,µ + kgkp,µ p. Sea 1 ≤ p < ∞, entonces Lp,µ es completo.. Demostración. Sean {fn } una sucesión de Cauchy y > 0, entonces existe M ∈ N tal que para todo m, n ≥ M Z |fm − fn |p = kfm − fn kpp,µ < p .. Ası́, escogiendo la subsucesión {nk } = {M 1k }, tenemos que 2. kfnk − fnk+1 kp,µ <. 1 . 2k. Por facilidad notaremos gk = fnk . E sea g(x) = |g1 (x)| +. ∞ X k=1. |gk+1 (x) − gk (x)|..

(14) 6 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos notemos que g = lı́m |g1 | + n→∞. n X. |gk+1 (x) − gk (x)|.. k=1. por tanto g ∈ M + (X, X ). Por lema de Fatou )p Z Z ( n X |g1 | + |g|dµ ≤ lı́m inf |gk+1 − gk | dµ. n→∞. k=1. y por Desigualdad de Minkowsky Z 1/p n X p |g| dµ ≤ kg1 kp,µ + lı́m inf kgk+1 − gk kp,µ n→∞. k=1. ≤ kg1 kp,µ + 1. Ahora, sea E = {x ∈ X : g(x) < ∞}. Notemos que E es medible y ademas µ(E c ) = 0. Por tanto gχE ∈ Lp,µ y la serie que define a g converge en c.t.p. Ahora, definamos la función  ∞ X    si x ∈ E  g1 (x) + k=1 f (x) =     0 si x ∈ /E Notemos que gk (x) = g1 (x) +. k X. (gi+1 (x) − gi (x)). i=1 k X. |gk (x)| ≤ |g1 (x)| +. |gi+1 (x) − gi (x)| ≤ g(x). i=1. Por tanto gk converge en c.t.p a f y por Teorema de Convergencia Dominada esto implica que f ∈ Lp,µ . Luego, |f (x) − gk (x)| ≤ 2p g p , aplicando de nuevo el Teorema de Convergencia Dominada se tiene que lı́m kf − gk kp,µ = k lı́m (f − gk )kp,µ. k→∞. k→∞. = 0. Ası́ {gk } converge a f en Lp,µ . Sea k tal que 21k < tenemos que. Z. |fm − gk |dµ < p. para m ≥ M . Finalmente, aplicando lema de Fatou Z Z p |fm − f | dµ ≤ lı́m inf |fm − gk |p dµ < p . m→∞. Concluimos que {fn } converge a f en Lp,µ.

(15) 1. preliminares 7. Como ejemplo de lo anterior podemos tomar a µ como la medida del conteo, y a X = N, entonces Lp,µ = lp ( el espacio de sucesiones, ver [6], pg 11) . De la completitud de las funciones a valor real podemos deducir la completitud del espacio Lp,µ complejo. En efecto, sea {fn = fn,1 + ifn,2 } una sucesión de Cauchy en Lp,µ complejo, entonces dado > 0 existe N tal que para toda n, m ≥ N kfn − fm kp,µ < Esto implica que kfn,1 − fm,1 kp,µ < . kfn,2 − fm,2 kp,µ .. y. Por tanto {fn,1 } y {fn,2 } son sucesiones de cauchy en Lp,µ . Por el teorema anterior convergen, es decir {fn } converge en Lp,µ . Ya que el espacio complejo y el real como espacios de banach se comportan de forma idéntica tiene sentido notarlos de la misma forma. Podemos entender a Lp como el espacio real o complejo. Ahora, sea f ∈ Lp,µ consideremos el siguiente funcional lineal Λ : Lq,µ −→ R Z g −→ f gdµ por desigualdad de Hölder tenemos que |Λ(g)| ≤ kf kp,µ kgkq,µ Es decir, Λ es un funcional acotado en Lq,µ , luego, si kgkq,µ = 1 entonces |Λ(g)| ≤ kf kp,µ −p/q. Ahora bien, escogiendo g0 = sign[f (x)]|f (x)|p−1 kf kp,µ tenemos que Z |Λ(g0 )| = f g0 dµ Z =. f Z. =. sign[f (x)]|f (x)|p−1 −p/q. kf kp,µ. |f ||f (x)|p−1 −p/q. kf kp,µ. dµ. dµ. p−p/q = kf kp,µ. = kf kp,µ Ası́, hemos probado que kΛk = kf kp,µ o de forma equivalente Z kf kp,µ = sup f gdµ : kgkq,µ ≤ 1 .. (1.1).

(16) 8 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Definición 1.2. El espacio L∞,µ = L∞ (X, X , µ) consiste de todas las clases de equivalencia de funciones a valor real acotadas en c.t.p. Si f ∈ L∞ y N ∈ X tal que µ(N ) = 0 entonces definimos S(N ) = sup{|f (x)| : x ∈ N c } y kf k∞,µ = ı́nf{S(N ) : N ∈ X , µ(N ) = 0} Una función en L∞,µ se dice esencialmente acotada, y a kf k∞,µ se le llama el supremo esencial de f. Verificamos que la definición anterior tiene sentido mediante la siguiente proposición Proposición 1.1. Sea f ∈ L∞,µ entonces |f (x)| ≤ kf k∞,µ. en c.t.p. Mas aún si A < kf k∞,µ entonces existe un conjunto E de medida positiva, tal que A ≤ |f (x)| para todo x ∈ E. Demostración. Consideremos los conjuntos de la forma 1 } n Notemos que para cada n ∈ N existe Nn ∈ X y µ(N ) = 0 tal que para cada x ∈ En En = {x ∈ X : f (x) > kf k∞,µ +. |f (x)| > S(n) > kf k∞,µ , esto implica que x ∈ Nn . Por tanto. ∞ [. En ⊆. n=1. ∞ [. Nn. n=1. y ademas µ(. ∞ [ n=1. En ) ≤ µ(. ∞ [. Nn ) ≤. n=1. ∞ X. µ(Nn ) = 0. n=1. Si |f (x)| > kf k∞,µ , existe En tal que x ∈ En . Ası́ {x ∈ X : |f (x)| > kf k∞,µ } ⊆. ∞ [. En. n=1. De donde kf k∞,µ es cota en c.t.p. Para la segunda parte, consideremos A < kf k∞,µ , y sea E = {x ∈ X : A ≤ |f (x)|} = f −1 (A, ∞) luego, supongamos que µ(E) = 0 entonces S(E) = A, luego esto contradice la definición de kf k∞,µ , entonces µ(E) > 0 y además µ[f −1 (kf k∞,µ , ∞)] = 0, entonces µ[f −1 (A, kf k∞,µ )] = µ[E − f −1 (kf k∞,µ , ∞)] = µ(E) > 0. Es decir, µ[f −1 (A, kf k∞,µ )] > 0..

(17) 1. preliminares 9. Con la proposición 1.1 podemos extender de manera natural la Desigualdad de Hölder Corolario 1.1.. Sea f ∈ Lp,µ y g ∈ L∞ entonces kf gkp,µ ≤ kf kp,µ kgk∞,µ. Una consecuencia importante de la proposición 1.1 es la desigualdad triangular en L∞ Teorema 1.7.. L∞,µ es un espacio de Banach. Demostración. Directamente de la definición obtenemos que kgk∞,µ ≥ 0 para toda g ∈ L∞,µ k0k∞,µ = 0 , y si kf k∞,µ = 0 entonces por la proposición anterior, |f | = 0 en c.t.p. Es decir f = 0 en c.t.p. Por la definición de sup, kαgk∞,µ = |α|kgk∞,µ Falta verificar la desigualdad triangular, sean f, g ∈ L∞,µ . Sabemos que existen N1 , N2 tales que µ(N1 ) = µ(N2 ) = 0 y |f (x)| ≤ kf k∞,µ x∈ / N1 |g(x)| ≤ kgk∞,µ. x∈ / N2 .. Esto implica |g(x) + f (x)| ≤ kgk∞,µ + kf k∞,µ. x∈ / N1 ∪ N2. luego, µ(N1 ∪ N2 ) = 0 con lo cual deducimos que kg + f k∞,µ ≤ kgk∞,µ + kf k∞,µ Lo cual verifica la desigualdad triangular y L∞,µ es un espacio normado. Veamos que es completo. Sea {fn } una sucesión de Cauchy en L∞,µ , y sea M tal que |fn (x)| ≤ kfn k∞,µ. x∈ /M. |fn (x) − fm (x)| ≤ kgk∞,µ. x∈ / M.. Por tanto {fn } converge uniformemente en X − M . Si escogemos f (x) =. lı́m fn (x). n→∞. = 0. x∈ /M. x ∈ M.. f definida de esta forma es medible. Por la convergencia uniforme tenemos que para > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N |fn (x) − f (x)| < x∈ / M. Esto implica que kfn − f k∞,µ ≤ . fn → f en L∞,µ . Al igual que la convergencia, la afirmación de que f ∈ L∞,µ , se verifica de la convergencia uniforme, lo que hace a L∞,µ un espacio de Banach..

(18) 10 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos En los espacios de sucesiones lp , su espacio dual viene dado por lq donde p y q son exponentes conjugados(ver [6], pg 121-123). Es natural extender este resultado a los espacios de Lebesgue. Para ello haremos uso de los teorema de representación de Riesz que tomaremos de [3], pg 90-92. Teorema 1.8 (Teorema de representación de Riesz para L1,µ ). Sea (X, X , µ) un espacio de medida σ−finita y sea G un funcional lineal acotado sobre L1,µ . Entonces existe una función g ∈ L∞,µ tal que Z G(f ) =. f gdµ. para toda f ∈ L1,µ , más aún kGk = kgk∞,µ Teorema 1.9 (Teorema de representación de Riesz para Lp,µ ). Sean (X, X , µ) un espacio de medida y G un funcional lineal acotado sobre Lp,µ , con 1 < p < ∞, entonces existe una función g ∈ Lq,µ , donde p y q son exponentes conjugados, tal que Z G(f ) = f gdµ para toda f , mas aún kGk = kgkq,µ En la demostración hecha en [3], no se prueba que kGk = kgk∞,µ . Vamos a hacer este ejercicio a continuación Demostración. Asumamos que dado un funcional lineal acotado G existe g tal que Z G(f ) = f gdµ para toda f ∈ L1,µ . Sea c > 1 denotemos al conjunto Ec = {x ∈ X : |g(x)| ≥ ckGk}, y definamos   sign(g) si x ∈ Ec fc (x) =  0 si x ∈ / Ec . Tenemos que ckGkµ(Ec ) ≤ G(fc ) ≤ kEc k ası́ µ(Ec ) = 0. Notemos que E = {x ∈ X : |g(x)| > kGk} =. ∞ [. E1+ 1 . n. n=1. Entonces µ(E) = 0. Lo que implica que |g(x)| ≤ kGk en c.t.p, es decir g ∈ L∞,µ y kgk∞,µ ≤ kGk. Recı́procamente, por el corolario anterior Z |f g|dµ ≤ kgk∞,µ kf k1,µ , lo que implica que kgk∞,µ ≥ kGk.

(19) 1. preliminares 11. Con estos teoremas hemos probado que L∞,µ es el espacio dual de L1,µ y que cuando p y q son exponentes conjugados entonces Lp,µ es el dual de Lq,µ (ver [6], pag 120-121). De lo que se deduce para p > 1, Lp,µ es reflexivo. De ahora en adelante notaremos al espacio dual de un espacio normado X como X ∗ . Para finalizar la caracterización de espacios Lp,µ veamos las nociones de convergencia débil. Definición 1.3 (Convergencia Débil). Sea X un espacio normado, y sea {xn } una sucesión en X entonces se dice que {xn } converge débilmente a un punto x y se nota xn * x si y solo sı́, para todo funcional lineal acotado G entonces G(xn ) → G(x) Definición 1.4 (Convergencia Débil-*). Sea X un espacio normado, y sea {Gn } una sucesión en X ∗ entonces se dice que {Gn } converge *-débilmente al funcional G y se nota Gn *∗ G si y solo sı́, para todo x ∈ X entonces Gn (x) → G(x) Si una sucesión en X converge a un punto x converge débilmente a x. En efecto, sea xn → x en X, y sea G ∈ X ∗ entonces, por ser G continuo G(xn ) → G(x) Análogamente en el caso de la convergencia *-débil, ya que si Gn → G en X ∗ entonces, para x ∈ X kGn (x) − G(x)k → 0 es decir, Gn (x) → G(x). Con el siguiente ejemplo veremos una sucesión puede converger débilmente pero no fuertemente (n). Ejemplo 1.1. Consideremos la sucesión en l1 , {en } = {em } la sucesión de números reales definida (n) (n) por en = 1, em = 0 si m 6= n. Luego sea y = {yn } ∈ c0 (ver [6], pg 126). Entonces en (y) =. ∞ X. e(n) m ym = yn → 0. m=1. con lo cual al ser c0 el dual de l1 tenemos que {en } converge ∗−débilmente a 0 en l1 . Ahora, sea y = {1} en l∞ . Evaluando se obtiene: en (y) =. ∞ X. (n) em ym = 1.. m=1. Ası́ {en } no converge débilmente en l1 , en particular {en } no converge fuertemente en l1 A continuación veremos un teorema que caracteriza la convergencia *-débil en los espacios separables. Teorema 1.10. Sea X un espacio normado separable y {Gn } ⊂ X ∗ una sucesión acotada, entonces existe una subsucesión de {Gn } que converge *-débil..

(20) 12 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Demostración. Sea Y ⊂ X denso numerable. Entonces existe una función 1-1 f tal que f [Y ] = N. De esta forma podemos ver al conjunto Y de la forma Y = {yn } donde yn es tal que f (yn ) = n. Ahora, por definición tenemos que |Gn (y1 )| ≤ kGn kX ∗ ky1 kX Al ser Gn acotado en X ∗ implica que existe M tal que kGn kX ∗ ≤ M , es decir |Gn (y1 )| ≤ M ky1 kX La sucesión {Gn (y1 )} está acotada. Por teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión (1) (1) convergente {Gnj (y1 )}. Análogamente tenemos que la sucesión {Gnj (y2 )} está acotada. Entonces (2) existe una subsucesión convergente {Gnj (y2 )}. De está forma para todo k ∈ N existen sucesiones (k) (k) {Gnj } tales que {Gnj (yi )} converge para 1 ≤ i ≤ k. Ahora definamos la sucesión diagonal por (j) (k) {Gnj } = {Gnj }, la cual cumple que {Gnj }j≥k es subsucesión de {Gnj }, por tanto para k ∈ N {Gnj (yk )} converge. Sea x ∈ X, notemos que para i, j, k ∈ N |Gnj (x) − Gni (x)| = |(Gnj − Gni )(x + yk − yk )| ≤ |(Gnj − Gni )(x − yk )| + |(Gnj − Gni )(yk )| ≤ k(Gnj − Gni )kX ∗ kx − yk kX + |(Gnj − Gni )(yk )| ≤ 2M kx − yk kX + |(Gnj − Gni )(yk )| Ahora tomemos a la sucesión {an } donde am = sup{|Gnj (x) − Gni (x)|; i, j ≥ m} luego am ≤ 2M kx − yk kX + sup{|Gnj (x) − Gni (yk )|; i, j ≥ m} Al ser {Gnj (yk )} de Cauchy, tenemos que {am } está bien definida, está acotada, y por propiedades del supremo, es decreciente, de lo cual deducimos que el limite existe. Ahora, aplicando limite a ambos lados de la desigualdad. Tenemos que lı́m am ≤ 2M kx − yk kX. n→∞. para todo yk . Al ser {yn } denso en X entonces existe una subsucesión {ynj } en Y tal que ynj → x en X, es decir lı́m am ≤ 2M kx − ynj kX → 0. n→∞. Esto implica que {Gnj (x)} es de Cauchy. Ası́, hemos probado que para x ∈ X lı́m Gnj (x). j→∞.

(21) 1. preliminares 13. existe. Ası́ se define al funcional G por G(x) = lı́m Gnj (x). j→∞. Por la linealidad del lı́mite se deduce que G es lineal y además G(x) = ≤ ≤. lı́m Gnj (x). j→∞. lı́m kGnj kX ∗ kxkX. j→∞. lı́m M kxkX = M kxkX. j→∞. es decir G ∈ X ∗ , y por como se definió a G implica que Gnj *∗ G. 1.1.1 Espacios Lp con 0 < p < 1 Hasta ahora hemos visto que los espacios de Lebesgue tienen estructura de espacio de Banach para p ≥ 1 pero para 0 < p < 1 ocurre que en general no es un espacio normado. En efecto, consideremos a N con la medida del conteo µ, entonces, para las sucesiones x = (1, 0, 0, . . .) y y = (0, 1, 0, . . .) entonces x + y = (1, 1, 0, . . .) por tanto kx + ykp,µ = (1 + 1)1/p = 21/p > 2 ya que p < 1, luego kxkp,µ = 1. kyk1/2,µ = 1. Ası́ kx + ykp,µ > kxk1/2,µ + kyk1/2,µ En general no se cumple la desigualdad triangular. Pero es un espacio quasi-normado. Tiene cierto interés bajo ciertas condiciones. Teorema 1.11 (Desigualdad de Jensen). Sea (X, X , µ) tal que µ(X) = 1. Si f es una función a valor real en L1,µ , y si a < f (x) < b para todo x ∈ X, entonces si φ es una función convexa sobre (a, b) entonces Z Z φ f dµ ≤ (φ ◦ f )dµ (1.2).

(22) 14 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Demostración. Sea. Z t=. f dµ. entonces Z. Z adµ < t <. bdµ.. Es decir a<t<b Sea β = sup. φ(t) − φ(s) : s ∈ (a, t) . t−s. Por definición φ(t) − φ(s) t−s β(t − s) − φ(t) ≥ −φ(s) β ≥. φ(s) ≥ φ(t) + β(s − t) y al ser φ convexa implica que para todo u ∈ (t, b) φ(u) − φ(t) , u−t β(u − t) + φ(t) ≤ φ(u) β ≤. lo que implica para x ∈ X φ(f (x)) − φ(t) − β(f (x) − t) ≤ 0 Al ser φ continua entonces φ ◦ f es medible. Es valido integrar a ambos lados de la desigualdad con respecto a µ Z Z Z φ ◦ f dµ − φ(t)dµ ≥ β (f − t)dµ Z φ ◦ f dµ − φ(t) ≥ 0 Z φ ◦ f dµ ≥ φ(t). En un ejemplo de lo anterior, vamos a considerar a φ(x) = ex , entonces, al ser convexa en todo R tenemos que Z R. e. f dµ. ≤. ef dµ. más aún, si f 6= 0 entonces el teorema aplica para log|f | y se tiene que Z R log|f |dµ e ≤ |f |dµ Ahora daremos una pequeña generalización de la desigualdad de Hölder.

(23) 1. preliminares 15. Teorema 1.12.. sean f ∈ Lp,µ y g ∈ Lp,µ tales que. 1 p. +. 1 q. = 1r , con p, q ∈ R+ entonces. kf gkr,µ ≤ kf kp,µ kgkq,µ Demostración. Notemos que p=. qr q−r. luego haciendo 0. p =. p q = q−r r. 0. q =. q r 0. 0. tenemos que son exponentes conjugados, y ademas que f r ∈ Lp ,µ y g r ∈ Lq ,µ , ası́ aplicando desigualdad de Hölder Z r/p Z r/q Z r p q |f g| dµ ≤ |f | |g| por tanto kf gkr,µ ≤ kf kp,µ kgkq,µ. Teorema 1.13.. Sea (X, X , µ) un espacio de medida tal que µ(X) = 1. entonces kf kr,µ ≤ kf ks,µ si 0 < r < s < ∞ Si existe r tal que kf kr,µ < ∞ entonces R. lı́m kf kp,µ = e. log|f |dµ. n→∞. Demostración. La primera desigualdad sale como corolario inmediato del teorema 1.17 del resultado anterior, tenemos que si s < r entonces ϕ(s) ≤ ϕ(r) donde Z ϕ(x) =. |f |x dµ. Luego, notemos que |f |r µ ln (kf kr,µ ) = r Tomando limite a ambos lados y teniendo en cuenta que ln(x) es una función continua, entonces R ln |f |r µ ln lı́mkf kr,µ = lı́m . r→0 r→0 r ln. R.

(24) 16 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Por teorema de diferenciación bajo el signo de integral (ver [3], pg 46) R ln |f |r µ 0 = ϕ (0) lı́m r→0 r Z =. ln(|f |)dµ. dedo que ex es una función creciente R. lı́mkf kr,µ = e. ln(|f |)dµ. r→0. 1.1.2 Coeficientes de Fourier y Aproximaciones de la Identidad Sea T = R/2πZ definido como grupo cociente. Es claro que podemos identificar a las funciones sobre T con las funciones 2π−periódicas sobre R. Ahora consideremos al espacio de funciones complejas L1,λ (T). Considerando a λ la medida de Lebesgue y vamos a tomar a la norma sobre L1,λ (T) como: Z 1 kf kL1 = |f (t)|dt. 2π T La norma anteriormente definida es equivalente a la que trabajamos en la sección anterior, por tanto, L1,λ (T) será un espacio de Banach con esta norma. Definición 1.5.. Un polinomio trigonométrico sobre T es una expresión de la forma P =. N X. an eint. n=−N. Mediante integración simple obtenemos que 1 2π. Z. eijt dt =.   1 si j = 0 . 0 si j 6= 0.. Lo cual implica que para un polinomio trigonométrico P (t) los coeficientes an están dados de la siguiente forma Z 1 an = P (t)e−int dt. 2π Lo anterior inspira la siguiente definición. Definición 1.6.. Sea f ∈ L1,λ (T), definimos el n−ésimo coeficiente de Fourier de f por Z 1 b f (n) = f (t)e−int dt 2π.

(25) 1. preliminares 17. De las propiedades de la integral de Lebesgue obtenemos las siguientes propiedades de los coeficientes de Fourier Proposición 1.2. Sean f, g ∈ L1,λ (T) y n ∈ Z entonces (f\ + g)(n) = fb(n) + gb(n) Para α ∈ C c (n) = αfb(n) = αf Sea fτ (t) = f (t − τ ), para τ ∈ T, entonces fbτ (n) = fb(n)e−inτ |fb(n)| ≤. 1 2π. R. |f (t)|dt = kf kL1. De esta proposición obtenemos el siguiente corolario Corolario 1.2. Sea {fj } una sucesión en L1,λ (T) tal que converge en norma a f entonces fbj (n) converge uniformemente a fb(n). Observación 1.1. Sea {φn } una sucesión de funciones en L2,λ (a, b), se diremos que {φn } constituye un sistema ortonormal si Para n ∈ N. 1 b−a. Z. b. |φn (t)|2 dt = 1. a. Para n, m ∈ N tales que n 6= m Z. b. φn (t)φn (t)dt = 0 a. Análogamente como con el sistema exponencial, definimos los coeficientes de Fourier de f con respecto al sistema {φn } de la forma Z b 1 cn = f (t)φn (t)dt b−a a Definiendo los coeficientes de Fourier de esta forma, podemos observar que las proposiciones anteriores se mantienen. Definimos Ahora el operador convolución. Definición 1.7.. Sean f, g ∈ L1,λ (T) se define el operador. ∗ : L1,λ (T) × L1,λ (T) −→ L1,λ (T) 1 (f, g) −→ (f ∗ g)(t) = h(t) = 2π h se le llama la convolución de f con g.. Z f (t − τ )g(τ )dτ.

(26) 18 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Veamos que el operador convolución está bien definido. Teorema 1.14. Sea f, g ∈ L1,λ (T), entonces h(t) = (f ∗ g)(t)L1,λ (T), más aún khkL1 y b h(n) = fb(n)b g (n) Demostración. Denotemos F (t, τ ) = f (t − τ )g(τ ). Por teorema de Fubini Z Z Z 1 1 1 |F (t, τ )|dt dτ = |g(τ )|kf kL1 dτ = kgkL1 kf kL1 2π 2π 2π Por tanto 1 2π. Z. Z Z 1 1 |h(t)|dt = F (t, τ ) dt 2π 2π Z Z 1 ≤ |F (t, τ )|dtdτ 4π 2 = kgkL1 kf kL1. Y los coeficientes de h(t), usando de nuevo el teorema de Fubini, estarán dados por Z 1 b h(t)e−int dt h(n) = 2π Z Z 1 f (t − τ )e−in(t−τ ) g(τ )e−inτ dtdτ = 2 4π Z Z 1 1 −int = f (t)e dt g(τ )e−inτ dτ = fb(n)b g (n) 2π 2π. En análisis armónico hay una herramienta muy importante conocida como los núcleos sumables o aproximaciones de la identidad. Estos serán de gran utilidad al momento de evaluar nuestros resultados principales. Definición 1.8. Un núcleo sumable es una sucesión de funciones continuas 2π−periodicas {kn } tales que 1 2π. 2π. Z. kn (t)dt = 1 0. kkn kL1 < ∞ Para todo 0 < δ < π Z. |kn (t)|dt = 0. lı́m. n→∞. 2π−δ. δ.

(27) 1. preliminares 19. Como ejemplo de lo anterior, uno de los núcleos mas conocidos es el de Fejér, dada por n X |j| eitj . Kn (t) = 1− n + 1 j=−n Por definición Kn es un polinomio trigonométrico, pero para efectos prácticos, podemos reducir esta expresión Lema 1.1. para t 6= 0, 2π 1 Kn (t) = n+1. . sin(t n+1 ) 2 t sin( 2 ). 2. Demostración. sabemos que 1 e−it 1 eit t + − sin2 ( ) = (1 − cos(t)) = − 2 2 4 2 4 luego −it n e 1 eit X |j| − + − 1− eitj = 4 2 4 j=−n n+1. n X j=−n n X. |j| 1− n+1. e. itj. . e−it 1 eit − + − 4 2 4. . it(j−1) |j| e eijt eit(j+1) = 1− − + − n+1 4 2 4 j=−n −it(n+1) 1 e 1 eit(n+1) = − + − n+1 4 2 4. En la gráfica podemos apreciar como se comporta el núcleo de Fejer cuando hacemos n → ∞. veamos que {Kn } es un núcleo sumable, sea n ∈ N entonces. Z. 1 2π. 1 2π. 2π. 0. Z 0. 2π. Z 2π n X |j| 1 Kn (t)dt = 1− eitj dt n + 1 2π 0 j=−n Z 2π 0 1 = 1− dt = 1 n + 1 2π 0. Z 2π n X |j| 1 |Kn (t)|dt ≤ 1− |eitj |dt n + 1 2π 0 j=−n n X |j| 1− = n+1 j=−n = 2n + 1 −. n(n + 1) =n+1 n+1.

(28) 20 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos. Figura 1.1: K5 (t), K15 (t), y K30 (t) sea 0 < δ < π 2 Z 2π−δ Z 2π−δ sin(t n+1 ) 1 1 2 |Kn (t)|dt = | |dt 2π δ 2π(n + 1) δ sin( 2t ) Z 2π−δ 1 1 ≤ dt 2π(n + 1) δ | sin( 2t )2 | Z 2π−δ 1 1 dt ≤ δ 2π(n + 1) δ )|} mı́n{| sin( 2 )|, | sin( 2π−δ 2 Cδ = (n + 1) ası́, 1 lı́m n→∞ 2π. 2π−δ. Z. |Kn (t)|dt = 0 δ. Ahora, sea f ∈ L1,λ (T), definimos n X. σn (f, t) = Kn ∗ f (t) =. j=−n. |j| 1− n+1. luego, tomando a las sumas parciales de f es decir Sn [f ](t) =. n X j=−n. fe(j)eitj. . fb(j)eitj.

(29) 1. preliminares 21. no es difı́cil ver que n. 1 X σn (f, t) = Sj [f ](t) n + 1 j=0 Por ello se denomina a σn (f, t) como las medias aritmética de f . Proposición 1.3. Las siguientes afirmaciones son validas para Kn Kn (t) = Kn (−t) para 0 < δ < π lı́m. n→∞. sup. Kn (t) = 0. δ<t<2π−δ. Demostración. Por el lema anterior 1 Kn (−t) = n+1. . ) sin(−t n+1 2 −t sin( 2 ). 2. 1 = n+1. . ) − sin(t n+1 2 t − sin( 2 ). 2 = Kn (t). para 0 < δ < π y δ < t < 2π − δ tenemos que Kn (t) = ≤ ≤ ≤. 2 sin(t n+1 ) 1 2 n+1 sin( 2t ) 1 1 n + 1 sin( 2t )2 1 1 δ n + 1 mı́n{sin( 2 )2 , sin( 2π−δ )2 } 2 Cδ (n + 1). por tanto lı́m. n→∞. sup δ<t<2π−δ. Kn (t) ≤ lı́m. Cδ =0 n→∞ (n + 1). Teorema 1.15. ( [5], pg 10) Sea {kn } una aproximación de la identidad, ϕ una función continua y 2π−periódica. Entonces Z 2π 1 kn (t)ϕ(t)dt = ϕ(0) lı́m n→∞ 2π 0 Demostración. Sea 0 < δ < π luego, por definición de aproximación de la identidad Z 2π Z 2π 1 1 kn (t)ϕ(t)dt − ϕ(0) = kn (t)(ϕ(t) − ϕ(0))dt 2π 0 2π 0 Z δ Z 2π−δ 1 + kn (t)(ϕ(t) − ϕ(0))dt = 2π −δ δ.

(30) 22 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Ahora Z. δ. kn (t)(ϕ(t) − ϕ(0))dt ≤ máx |ϕ(t) − ϕ(0)|kkn kL1 |t|<δ. −δ. y además 2π−δ. Z δ. 1 kn (t)(ϕ(t) − ϕ(0))dt ≤ máx |ϕ(t) − ϕ(0)| |t|≤π 2π. Z. 2π−δ. |kn (t)|dt δ. Luego, dado > 0 existe δ tal que si |t| < δ entonces |ϕ(t) − ϕ(0)| <. . 2kkn kL1. Por tanto máx |ϕ(t) − ϕ(0)| ≤ |t|<δ. . 2kkn kL1. Para δ existe Nδ ∈ N tal que para n ≥ Nδ entonces 1 2π. Z. 2π−δ. |kn (t)| < δ. . máx|t|≤π |ϕ(t) − ϕ(0)|. Para n ≥ Nδ 1 2π. Z. 2π. kn (t)ϕ(t)dt − ϕ(0) 0. ≤ máx |ϕ(t) − ϕ(0)|kkn kL1 |t|≤δ Z 2π−δ 1 |kn (t)|dt + máx |ϕ(t) − ϕ(0)| |t|≤π 2π δ + = < 2 2. Para finalizar, enunciaremos uno de los resultados mas importantes respecto al núcleo de Fejer, tomados de [5], pg 20 Teorema 1.16 (Lebesgue). Sea f ∈ L1 (T) entonces σn (f, t) → f (t) en c.t.p..

(31) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 2. 23. Espacios de Hardy e Interpolación de Operadores en Espacios Lp. 2.1 Espacios de Hardy. 2.1.1 Núcleo de Poisson. Nosotros podemos identificar a T con la circunferencia unitaria {z ∈ C : z = eit } gracias a la biyección con el intervalo [0, 2π), por tanto para f ∈ L1,λ (T) es válido notar a f (eit ) al momento de evaluar la función. En esta sección notaremos al disco unitario {z ∈ C : |z| < 1} como D. Nuestro objetivo principal es llegar a ver los espacios de funciones analı́ticas como subespacios de las funciones integrables, para ello haremos uso de muchas herramientas anteriores una de ellos es el Núcleo de Poisson:. Definición 2.1.. Sea 0 ≤ r < 1 se define al Núcleo de Poisson a la función. Pr (t) =. ∞ X n=−∞. r|n| eint. (2.1).

(32) 24 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos De la serie anterior, podemos comprobar que converge uniformemente para 0 ≤ r < 1, y ademas ∞ X. |n| int. r e. = 1+. n=−∞. ∞ X. n int. r e. n=1 ∞ X. = 1+2 = = = = =. +. ∞ X. rn ei−nt. n=1. rn cos(nt). ( n=1 ∞ ) 1 X n 2< + z 2 n=1 1+z 2< 2(1 − z) (1 + z)(1 − z̄) 2< 2|1 − z|2 (1 − |z|2 ) 2 2|1 − z|2 1 − r2 1 − 2r cos(t) + r2. Figura 2.1: P9/10 (t), P1/2 (t), y P1/4 (t).

(33) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 25. En la gráfica podemos notar que a medida que r → 1, Pr (t) → δ pero de forma mas simple que Kn (t). Ahora, sea f ∈ L1,λ (T) definimos a la integral de Poisson de f por it. f [re ] = (Pr ∗ f )(t) =. ∞ X. fb(n)r|n| eint. n=−∞. Usando el criterio de Weierstrass, teniendo en cuenta que fb(n) → 0 cuando n → ∞ tenemos que la serie anterior converge uniformemente en todo compacto en D, y al ser una sucesión de funciones armónicas f [reit ] es armónica en D. Algo que podemos notar del núcleo de Poisson cuando r → 1 es que se comporta como una aproximación de la identidad , veamos que es ası́ sea 0 < r < 1 entonces Pr (t) =. 1 − r2 . 1 − 2r cos(t) + r2. Luego 1 − r2 > 0 y 1 − 2r cos(t) + r2 ≥ 1 − 2r + r2 = (r − 1)2 ≥ 0 Ası́ Pr (t) > 0 por tanto Z. 1 2π. 2π. 0. 1 Pr (t)dt = 2π 1 = 2π =. Z. ∞ X. 2π. 0. r|n| eint dt. n=−∞. ∞ X. r. |n|. n=−∞. Z. 2π. eint dt. 0. 1 0 r 2π = 1 2π. Sea 0 < δ < π entonces Z 2π−δ Z 2π 1 1 1 − r2 Pr (t)dt = dt 2π δ 2π 0 1 − 2r cos(t) + r2 Z 2π−δ 1 1 − r2 ≤ dt 2π δ 1 − 2r máx{cos(δ), cos(2π − δ)} + r2 2(π − δ) 1 − r2 = 2π 1 − 2rpδ + r2 ası́ 1 lı́m− r→1 2π. Z δ. 2π−δ. Pr (t)dt ≤ lı́m− r→1. 2(π − δ) 1 − r2 =0 2π 1 − 2rpδ + r2.

(34) 26 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos no es difı́cil demostrar que al igual que el núcleo de Fejér, para el núcleo de Poisson se cumple lı́m− sup Pr (t) = 0 r→1. δ<t<2π−δ. para 0 < δ < π. En dualidad con la proposición (1.3), para ϕ continua y 2π−periódica entonces Z 2π 1 lı́m Pr (t)ϕ(t)dt = ϕ(t) r→1− 2π 0 Dado lo anterior, es natural pensar que el núcleo de Poisson, al comportarse como el de Fejér, se tenga un resultado análogo al teorema de Lebesgue (1.16). Este resultado se conoce como el Teorema de Fatou, pero primero veremos un concepto que nos ayudaran a entender mejor el teorema Definición 2.2 (Lı́mite radial). Sea f : D → C decimos que f tiene lı́mite radial en θ ∈ [0, 2π] si lı́m f (reiθ ). r→1−. existe. Ahora, vamos a enunciar el teorema de Fatou tomado de [5], pg 21. Teorema 2.1. Sea f ∈ L1,λ (T), entonces lı́m−. r→1. ∞ X. fb(n)r|n| eint = f (t). n=−∞. para t en c.t.p Gracias al Teorema de Fatou sabemos que para t en c.t.p. el lı́mite radial existe. Es decir f (eit ) = lı́m f [reit ]. r→1. Es importante resaltar que la convergencia no tangencial, no implica la convergencia usual, incluso de forma global, consideremos la función X 1 f (z) = z − eiq q∈Q∩T En la grafica 2.2 se ve una aproximación de f (z). Ya que g(t) = eit es continua, entonces g[Q] es denso en T, por tanto, si |z0 | = 1 entonces lı́mz→z0 f (z) no existe, pero para z = eit con t ∈ I el limite radial existe. Dada una función armónica, existe una única conjugada armónica fe que es de la forma (ver [5], pg 72): ∞ X e f = −i sign(n)fb(n)r|n| eint n=−∞. a la función fe se le llama la función conjugada de f . Ahora veremos como la integral de Poisson con las funciones armónicas.

(35) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 27. Figura 2.2: f(z) Teorema 2.2. Toda función armónica y acotada en D es la integral de Poisson de alguna función en L∞,λ (T) Demostración. Sea F armónica y acotada en D, y sea{rn } una sucesión real de números positivos tal que rn % 1. Sea la sucesión {fn } tal que fn [eit ] = F (rn eit ). La sucesión {fn } es una sucesión acotada en L∞,λ (T) por tanto existe una subsucesión {fnj } que converge ∗−débilmente a alguna función f (t). Sea ρeiτ ∈ D entonces Z Z 1 1 Pρ (τ − t)f (t)dt = lı́m Pρ (τ − t)fnj (t)dt j→∞ 2π 2π = lı́m fnj [ρeiτ ] j→∞. =. lı́m F (rnj ρeiτ ) = F (ρeiτ ). j→∞. Definición 2.3. Si 1 ≤ p ≤ +∞ H p representa al conjunto de todas las funciones analı́ticas φ(z) en el circulo z < |1|.Para φ ∈ H p se define la norma: kφkp = sup r∈[0,1). 1 2π. Z. 2π. 1/p . |φ(re )| dt it. p. 0. Para p ≥ 1 veamos que H p es un espacio normado Dado que |φ(reit )|p ≥ 0 para todo r ∈ [0, 1)se tiene que 0≤. 1 2π. Z. 2π. 1/p |φ(re )| dt ≤ kφkp it. p. 0. k0kp = 0. Si kφkp = 0 implica que para r ∈ (0, 1) |φ(reit )| = 0. Por tanto, al ser holomorfa y anularse en un conjunto con un punto de acumulación, φ es idénticamente 0 en D..

(36) 28 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Sea α ∈ C kαφkp =. sup r∈[0,1). 1 2π . = |α| sup r∈[0,1). Z. 1/p |α| |φ(re )| dt. 2π. p. it. p. 0. 1 2π. Z. 2π. 1/p |φ(re )| dt it. p. 0. = |α|kφkp . Sean φ, ψ ∈ H p , por desigualdad de Minkowsky Z. 2π. 1/p Z |φ(re ) + ψ(re )| dt ≤ it. it. p. 0. 2π. 1/p Z |φ(re )| dt + it. p. 0. 2π. 1/p |ψ(re )| dt it. p. 0. Para r ∈ [0, 1). Entonces kφ + ψkp ≤ kφkp + kψkp Tenemos que H p es un espacio normado para p ≥ 1. Además, usando desigualdad de Hölder, tenemos para todo r ∈ [0, 1) si φ ∈ H p y p > q . 1 2π. Z. 2π. 0. 1/q Z 2π 1/p 1 p it p ≤ |φ(re )| dt |α| |φ(re )| dt 2π 0 it. q. Por propiedades del supremo kφkq ≤ kφkp . Hemos demostrado que H p ⊆ H q .. Propiedades de los Espacios de Hardy Cuando observamos con detenimiento la definición de los espacios de Hardy, surgen ciertas interrogantes casi de forma inmediata. Una de ellas, y la que mas nos interesa, es respecto a la frontera. 1 Basta considerar la función φ(z) = 1−z en H 1 . Pero no podemos extenderla a todo el disco, o de otra it forma, la función φ(e ) no está definida en t = 0. El objetivo de esta sección será mostrar que toda función en un espacio de Hardy se puede representar como cierto subespacio de Lebesgue. Antes necesitaremos unos resultados previos. Sea 0 < |ζ| < 1 la función ζ(ζ − z) b(ζ, z) = (2.2) |ζ|(1 − zζ) Vemos que b(ζ, z) solo se anula en z = ζ y es analı́tica para |z| < 1/|ζ|. Por la forma como fue escogido ζ, en general es analı́tica para |z| < 1. Además, mediante un calculo sencillo vemos que |b(ζ, z)| = 1 si |z| = 1. Ahora, para 0 < r, del análisis ánterior podemos escribir ζ z ζ(ζ − z) , =r b r r |ζ|(r2 − zζ).

(37) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 29. Para 0 < |ζ| < r la función será analı́tica en |z| < r y |b( ζr , zr )| = 1 cuando |z| = r. Sea φ una función analı́tica en |z| < r y sean ζ1 , ζ2 , . . . , ζn los ceros de φ, repitiéndose conforme al orden que tengan, por tanto la función !−1 n Y ζk z , φ1 (z) = φ(z) b r r k=1 Será analı́tica (o regular) y no tendrá ceros en |z| < r. Por el razonamiento anterior vemos que |φ1 | ≥ |φ| para |z| ≤ r. Al producto de la de la forma: B(z) =. ∞ Y. b(ζn , z). n=1. Se le llama producto de Blaschke asociado a la sucesión {ζn }. Una propiedad de estos productos es la convergencia uniforme. Lema 2.1. Sea {ζn } una sucesión de números complejos tales que |ζn | < 1 para todo n ∈ N y ∞ X. (1 − |ζn |) < ∞. n=1. entonces el producto de Blaschke B(z) =. ∞ Y. b(ζn , z) = z m. n=1. ζ¯n (ζ − z) |ζ |(1 − z ζ¯n ) 6 0 n =. Y ζn. converge absoluta y uniformemente en todo disco Dr = {z : |z| ≤ r} con r < 1 Demostración. Por teorema de convergencia de productos(ver [2], pg 196). Es suficiente comprobar que la serie ∞ X ζ¯n (ζ − z) |1 − | |ζn |(1 − z ζ¯n ) n=1 converge uniformemente en |z| ≤ r < 1, en efecto, ya que 1−. ζ¯n (ζ − z) |ζn |(1 − z ζ¯n ). (|ζn | + z ζ¯n )(1 − |ζ|) |ζn |(1 − z ζ¯n ) 1+r ≤ (1 − |ζn |), 1−r =. por criterio de Weierstrass,la serie converge uniformemente para todo r < 1. Continuamos introduciendo la formula de Jensen tomada de [2], pg 235. Teorema 2.3. Sea φ una función holomorfa para |z| < r y sean ζ1 , ζ2 , . . . , ζn los ceros de φ para |z| < r, contados tantas veces como lo indique su multiplicidad, entonces log |φ(z)| es armónica salvo los ceros y además Z 2π n X 1 −1 log |f (0)| + log(r|ζi | ) ≤ log |f (reit )|dt 2π 0 i=1.

(38) 30 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos En la sección anterior establecimos que R. e. f dµ. Z. ef dµ. ≤. Luego, si φ ∈ H p y hacemos f = log+ |φ(reit )|p y sea Er = {t ∈ [0, 2π] : |φ(reit )| < 1}, entonces por propiedades de la integral de Lebesgue: Z 2π Z 2π 1 1 + it p + it p exp log |φ(re )| dt ≤ elog |φ(re )| dt 2π 0 2π 0 Z Z 1 it p dt + |φ(re )| dt = 2π Er Erc Z 2π Z 2π 1 1 dt + |φ(reit )|p dt ≤ 2π 0 2π 0 Z 2π 1 = 1+ |φ(reit )|p dt 2π 0 y ya que la desigualdad es valida para todo r ∈ [0, 1), entonces . 1 sup exp 2π r∈[0,1). 2π. Z. log |φ(re )| dt ≤ 1 + kφkpp < ∞. +. it. p. 0. Esto implica que Z. 2π. sup p r∈[0,1). log+ |φ(reit )|dt < ∞.. 0. A las funciones holomorfas en el disco φ tales que Z kφkN = sup r∈[0,1). 2π. log+ |φ(reit )|dt < ∞. 0. se les llama funciones de Nevanlinna. Por simplicidad notamos que φ ∈ N . Ası́, hemos verificado la contenencia Hp ⊆ N . Lema 2.2. Sea φ ∈ N y sean {ζn } los ceros de φ en D, contados tantas veces como lo indique su multiplicidad, entonces ∞ X (1 − |ζn |) < ∞. n=1. Demostración. por teorema de convergencia de productos (ver [2], pg 168) sabemos que ∞ ∞ X Y (1 − |ζn |) < ∞ ⇐⇒ |ζn | < ∞. n=1. n=1.

(39) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 31. La convergencia del producto es garantizada por la convergencia de la serie ∞ X. log |ζn |.. n=1. Basta demostrar que está última serie converge. Al ser |ζn | < 1 , log |ζn | < 0. Por tanto, basta probar que ∞ X log |ζn | > −∞. n=1. Sin perdida de generalidad asumamos que φ(0) 6= 0. Por desigualdad de Jensen para todo M fijo, existe r tal que M X. r 1 log |φ(0)| + log | | ≤ ζn 2π n=1. Z. 2π. 0. 1 log |φ(re )|dt ≤ 2π it. Z. 2π. log+ |φ(reit )|dt.. 0. Ası́ log |φ(0)| + M log(r) −. M X. log |ζn | ≤ kφkN. n=1. log |φ(0)| − kφkN. ≤. M X. log |ζn | − M log(r). n=1. Haciendo r → 1 obtenemos log |φ(0)| − kφkN ≤. M X. log |ζn |. n=1. para todo M . De lo cual se concluye que −∞ <. ∞ X. log |ζn |. n=1. Si combinamos el Lema 2.1 con el Lema 2.2 podemos ver que si φ ∈ N entonces el producto de Blaschke B asociado a los ceros de φ está bien definido y es una función holomorfa en D con los mismos ceros que φ en D y satisface que |B(z)| < 1 para z ∈ D. Si hacemos Φ(z) = φ(z)(B(z))−1 sabemos que Φ es holomorfa y |Φ(z)| > φ(z) para z ∈ D. Al producto BΦ = φ se le llama la factorización canónica de f . Ahora, definamos la función Z 2π 1 hp (φ, r) = |φ(reit )|p dt 2π 0.

(40) 32 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Nuestro principal interés es ver que dada p y φ holomorfa, hp (φ, r) es una función creciente respecto a r. Para el caso p = 2 esto se tiene de forma particularmente directa, es decir mediante un cálculo sencillo. En efecto sea ∞ X φ(z) = an z n . n=0. Entonces 1 h2 (φ, r) = 2π. Z. 1 = 2π. Z. 1 = 2π. Z. 1 = 2π. Z. 2π. |φ(reit )|2 dt. 0 2π. 0 2π. 0 2π. ∞ X. 2 n int. n=0 ∞ X n X n=0 k=0 ∞ X n X. 0. dt. an r e. ! ak rk eitk an−k rn−k eit(k−n) dt ! ak an−k rn eitn dt. n=0 k=0. ∞ X n X. 1 = ak an−k r 2π n=0 k=0 n. Z. 2π. eit(2k−n) dt.. 0. Podemos intercambia la integral con la serie ya que es un producto de series uniformemente convergentes. La ultima integral no se anula para los k tales que 2k = n, es decir, la suma solo es válida para los números pares. Por tanto ∞ ∞ X X 2n an a2n−n r = h2 (φ, r) = |an |2 r2n n=0. n=0. que claramente es creciente. Ahora mostraremos lo mismo para p > 1 Teorema 2.4. Sean φ holomorfa en D y p > 0 entonces hp (φ, r) es creciente. Demostración. Sean r1 < r < 1. asumamos que φ no tiene ceros en |z| ≤ r entonces consideremos a g(z) = (φ(z))p/2 , notemos que al no tener ceros, g(z) es analı́tica para |z| ≤ r y cualquier rama de z 1/2 . Entonces Z 2π Z 2π 1 1 it p |φ(r1 e )| dt = |g(r1 eit )|2 dt 2π 0 2π 0 Z 2π 1 ≤ |g(reit )|2 dt 2π 0 Z 2π 1 = |φ(reit )|p dt. 2π 0 Supongamos que φ tiene ceros en |z| < r pero no en |z| = r. Sean los ceros de φ {ζ1 , ζ2 , . . . , ζn } contados tantas veces como su multiplicidad. Sea !−1 n Y ζk z , φ1 = φ(z) b , r r k=1.

(41) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 33. tenemos que |φ(z)| < |φ1 (z)| para |z| < r y |φ(z)| = |φ1 (z)| para |z| = r. Sabemos que φ1 no tiene ceros en |z| ≤ r, de lo cual se sigue que hp (φ, r1 ) < hp (φ1 , r1 ) ≤ hp (φ1 , r) = hp (φ, r). Este teorema nos da la siguiente equivalencia Z. p. φ ∈ H ⇔ lı́m− r→1. 2π. |φ(reit )|p dt < ∞.. 0. En particular para p = 2: φ(z) =. ∞ X. n. 2. an z ∈ H ⇔ lı́m− r→1. n=0. ∞ X. 2 2n. |an | r. =. n=0. ∞ X. |an |2 < ∞. n=0. Teorema 2.5. Sean φ ∈ H p con p > 0 y φ = ΦB la factorización canónica de φ. Entonces Φ ∈ H p y kΦkH p = kφkH p Demostración. El producto de Blaschke es de la forma B(z) = lı́m z. m. n→∞. N Y. b(ζn , z). n=1. con m ≥ 0. Sea ΦN (z)) = φ(z). N Y. !−1 b(ζn , z). .. n=1. Sabemos que Φn converge uniformemente a Φ en |z| < r. Sea r < 1, luego que N Y. !−1 ∞. − →1. b(ζn , z). n=1. cuando |z| → 1. Por tanto kΦN kpH p =. Z lı́m−. r→1. =. lı́m. |φ(reit )|p. 0. Z =. 2π. r→1− 0 kφkpH p .. N Y. !−1 b(ζn , z). dt. n=1 2π. |φ(reit )|p dt. Sea r < 1 hp (Φ, r) = lı́m hp (ΦN , r) ≤ lı́m kΦn kpH p = kφkpH p N →∞. N →∞.

(42) 34 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos por tanto hp (Φ, r) ≤ kφkpH p para todo r < 1, por tanto kΦkpH p ≤ kφkpH p . Luego |Φ(z)| > |φ(z)| para |z| < 1 entonces kφkpH p ≤ kΦkpH p. Corolario 2.1.. Sea B un producto de Blaschke, entonces |B(eit )| = 1 en c.t.p. Demostración. Dado que B(z) < 1 y es holomorfa en D, por el Teorema 2.1 el lı́mite radial (o si se quiere no tangencial) B(eit ) existe para casi todo t ∈ T. Por la factorización canónica φ = B tenemos que Φ es idénticamente 1 y Z Z 2π 1 1 2 it 2 kBkH 2 = dt = 1. |B(e )| dt = 2π 2π 0 Como |B(eit )| ≤ 1 la igualdad se tiene si y solo sı́ |B(eit )| = 1 en c.t.p. Teorema 2.6. Sea φ ∈ H p , p > 0, entonces el lı́mite lı́m φ(reit ). r→1−. existe para t ∈ T en c.t.p. y denotándolo por φ(eit ) tenemos que Z 1 p kφkH p = |φ(eit )|p dt. 2π Demostración. Para el caso p = 2 se tiene que Z ∞ X 1 |an |2 = kφk2H 2 |φ(eit )|2 dt = 2π n=0 donde {an } son los coeficientes de la serie de potencias de φ.Sean p > 0 y ΦB = φ la factorización canónica de φ. Haciendo G(z) = (Φ(z))p/2 , G ∈ H 2 y consecuentemente G(reit ) → G(eit ) para t ∈ T en c.t.p. Ası́, Φ(reit ) converge a algún Φ(eit ), tal que |Φ(eit )|p/2 = |G(eit )|. Del mismo modo, sabemos que B tiene lı́mite radial en c.t.p. y ya que la unión numerable de conjuntos de medida cero da un conjunto de medida cero, tenemos que lı́m φ(reit ) = φ(eit ).. r→1−. Gracias al corolario anterior |φ(eit )|p/2 = |G(eit )| en c.t.p. Esto implica que kφkpH p = kΦkpH p = kGk2H 2 , de donde kGk2H 2. 1 = 2π. Z. 1 |G(e )| dt = 2π it. 2. Z. |φ(eit )|p dt..

(43) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 35. Ya con este teorema vemos que dada φ ∈ H p existe φ(eit ) ∈ Lp,λ (T). Aún debemos ver que los espacios H p se identifican con un subespacio cerrado de Lp,λ (T). El siguiente teorema nos será de gran utilidad mas adelante Teorema 2.7.. Sea f ∈ L1,λ (T) y asumamos que fe ∈ L1,λ (T) entonces(f + ife) ∈ H 1. Demostración. Sabemos que f [z] es una función armónica en D con conjugada armónica fe[z], por tanto (f + ife)[z] es holomorfa en D. Para r ∈ [0, 1) se tiene que Z Z Z it it e |(f + if )[re ]|dt ≤ |f [re ]|dt + |fe[reit ]|dt Z Z it ≤ |f (e )|dt + |fe(eit )|dt. Ası́ k(f + ife)kH p ≤ kf kL1 + kfekL1 .. Teorema 2.8.. Toda función φ ∈ H 1 se puede factorizar como φ = φ1 φ2 , con φ1 , φ2 ∈ H 2. Demostración. sea φ = BΦ la factorización canónica de φ. Podemos tomar φ1 = (Φ)1/2 y φ2 = B(Φ)1/2 . Notemos que por el Corolario 2.1, B(z) está acotada en c.t.p. Por tanto B ∈ H p para todo p>0 Ahora podemos demostrar Teorema 2.9. sea φ ∈ H 1 y sea φ(eit ) la función definida por los lı́mites radiales. Entonces φ es la integral de Poisson de φ(eit ) Demostración. La prueba se reduce a mostrar que φ(reit ) converge a φ(eit ) en la norma de L1,λ (T). Si ∞ X an z n , φ(z) = n=0. entonces an son los coeficientes de Fourier de φ(eit ). Esto es equivalente a ver que φ es la integral de Poisson de φ(eit ). Sea φ = φ1 φ2 con φ1 , φ2 ∈ H 2 . Entonces para r ∈ [0, 1) φ(reit ) − φ(eit ) = φ1 (reit )φ2 (reit ) − φ1 (eit )φ2 (eit ). Sumando y restando al lado derecho de la igualdad φ1 (eit )φ2 (reit ) y usando la desigualdad de CauchySchwarz kφ(reit ) − φ(eit )kL1 ≤ kφ2 kL2 kφ1 (reit ) − φ1 (eit )kL2 + kφ1 kL2 kφ2 (reit ) − φ2 (eit )kL2 Luego en L2,λ (T) sabemos que kφi (reit ) − φi (eit )kL2 → 0 cuando r → 1 para i = 1, 2 ya que r2n |an |2 → |an |2 cuando r → 1. Ası́ φ(z) es la integral de Poisson de φ(eit ). Finalizamos esta sección con la caracterización de los espacios de Hardy.

(44) 36 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Teorema 2.10. Sea p ≥ 1. Una función φ ∈ H p si y solo sı́ es la integral de Poisson de alguna φ(eit ) ∈ Lp,λ (T) tal que b φ(n) =0 para todo n < 0 Demostración. Sea φ ∈ H p , entonces φ ∈ H 1 . Por teorema 2.8 φ es la integral de Poisson de φ(eit ) y se tiene que si ∞ X φ(z) = an z n , n=0. entonces b φ(n) = an . Es decir b φ(n) =0. para todo n < 0.. Ahora, sea φ ∈ Lp,λ (T) y asumamos que sus coeficientes de Fourier se anulan para enteros negativos. La integral de Poisson de φ viene dada por φ[reit ] =. ∞ X. n it b e = φ(n)r. n=0. ∞ X. n b . φ(n)z. n=0. Luego, por la convergencia uniforme, sabemos que φ[reit ] es holomorfa en D y que kφ(reit )kLp ≤ kφ(eit )kLp por tanto φ[z] ∈ H p . Corolario 2.2. Sea φ ∈ H p entonces fr (t) = <(φ(reit )) y fer (t) = =(φ(reit )), entonces existen f, fe ∈ Lp (0, 2π) tales que lı́m fr (t) = f (t);. r→1−. lı́m fer (t) = fe(t). r→1−. en c.t.p. Demostración. Dada φ ∈ H p . Por el Teorema (2.10) sabemos que existe F = f + ife tal que lı́m φ(reit ) = F (t). r→1−. en c.t.p. de lo cual se verifica casi de inmediato lo establecido en el corolario Hemos identificado los espacios H p con las funciones en Lp,λ (T) tales que sus coeficientes de Fourier se anulan para enteros negativos, veamos que estas funciones conforman un subespacio cerrado. En efecto sean f, g ∈ Lp,λ (T) tales que gb(n) = fb(n) = 0. para todo n < 0. Es decir, hemos probado que Λ : H p → Lp φ → f = φ(eit ).

(45) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 37. es una aplicación lineal continua, y biyectiva. Luego por la linealidad de los coeficientes g\ + αf (n) = gb(n) + αfb(n) = 0. para todo n < 0. Tenemos que estas funciones constituyen un subespacio de Lp,λ (T), al cual llamaremos C p . Ahora veamos que es cerrado. Sea {fn } una sucesión en C p tal que kfn − f kLp → 0. Esto implica que kfn − f kL1 → 0. Por tanto fbn converge uniformemente a fb. Sea > 0, entonces existe N ∈ N tal que para n ≥ N |fbn (m) − fb(m)| < . Para m ∈ Z. Para m < 0, |fb(m)| < . ası́ f ∈ C p . Como Lp,λ (T) es un espacio de Banach y C p es un subespacio cerrado que es completo. Hemos probado que los espacios H p son completos.. 2.2 Operadores fuertes y débiles de tipo (a, b) La teorı́a de interpolación nos ofrece una visión distinta para abordar el problema ya que en muchos de los teoremas necesarios para llegar a nuestro objetivo, tendremos que ver algunos de nuestros elementos como funciones transformadas a partir de operadores. Ahora, debemos definir los distintos tipos de operadores y su relación, pero no sin antes mencionar que ya que los operadores lineales son muy restringidos, vamos a trabajar sobre operadores cuasi-lineales Definición 2.4. Sean H1 , H2 dos espacios normados. Un operador h = T (f ) es llamado cuasi-lineal si, para toda f1 , f2 ∈ D(T ) se tiene que: |T (f1 + f2 )| ≤ k(|T (f1 )(x) + T (f2 )(x)|) Donde k es una constante que no depende de f1 y f2 . si k = 1 diremos que T es sublineal Antes de ejemplificar, definiremos los tipos de operadores que hay entre los espacios de Lebesgue. Definición 2.5 (operadores Tipo (a, b)). Sean X1 y X2 dos espacios de medida con medidas µ y υ respectivamente y consideremos un operador cuasilineal h = T (f ) definido sobre Ω1 y h sobre Ω2 . Sean r, s ∈ R tales que: 1 ≤ r ≤ ∞, 1 ≤ s ≤ ∞. Decimos que T es de tipo (r, s), si T (f ) está definido en Lr,µ (Ω1 ) y khks,υ ≤ M kf kr,µ con M independiente de f .. (2.3).

(46) 38 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos La condición (2.3) no parece muy restrictiva, pero no debemos buscar demasiado para darnos cuenta que sı́ lo es (como veremos un poco mas adelante). Pero antes veamos que podemos definir una condición más débil. Sea Ey [h] := {x ∈ Ω2 /|h(x)| > y > 0}. Definición 2.6 (Operadores Débiles). Decimos que T es un operador débil de tipo (r, s) si para toda y > 0: s M υ(Ey [h]) ≤ kf kr,µ (2.4) y para s < ∞ y M que no depende de f y y. Al ı́nfimo de los M tal que se cumpla (2.4) se le llama la norma débil de T . La denominación de débil es por que un operador de tipo (r, s) es siempre un operador débil. Se puede ver que (2.3) implica (2.4). Con frecuencia se le suelen llamar a los operadores de tipo (r, s) como operadores fuertes tipo (r, s). Es casi natural preguntarse si la definición de operador débil es equivalente a la de operador fuerte, A continuación veremos un operador débil pero que no es fuerte Ejemplo 2.1. Consideremos X1 = (0, 2π), µ la medida usual de Lebesgue, X2 = R y  1  n2 si E = {n} υ(E) =  0 si E ∩ N = ∅. (2.5). Ahora tomemos al operador T definido en Lr (a, b) con r ≤ 2 de la siguiente forma  si x=n n∈N  ncn h(x) = T [f ](x) =  0 en otro caso donde cn es el enésimo coeficiente de Fourier. Por definición tenemos que Z khks,υ =. 1s. s. |h| dυ R. =. ∞ X |h(n)|s n=1. =. n2. ∞ X |cn |s n=1. ! 1s. n2−s. ! 1s .. Por desigualdad de Bessel se tiene que T es de tipo (2, 2), pero, en general no es de tipo (1, 1). Por ejemplo, consideremos al sistema exponencial en el intervalo (−π, π). La sucesión de funciones en.

(47) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 39. L1,µ (−π, π) fk (x) =.   k si −π + 0. . 1 2k. <x<π−. 1 2k. en otro caso. (k). Notemos que kfk k1 = 1 para k ∈ N. Sean cn los coeficientes de fourier de fk . Entonces, ya que son todas funciones pares, tenemos que Z π 1 (k) cn = kcos(nt)dt 2π 0 Z π− 1 2k 1 = kcos(nt)dt 2π 0 n k (sin(0) − sin(nπ − )) = 2nπ 2k n k sin(nπ − 2k ) = − 2nπ n k sin( 2k ) = 2nπ n ) 1 sin( 2k . = n 2π 2k Por la continuidad de las funciones lı́m. n sin( 2k ). k→∞. n 2k. sin(u) = 1. u→0 u. = lı́m. (k). Ası́ {cn } → 1. Por tanto: lı́m kh(fk )k1,υ = lı́m. k→∞. k→∞. ∞ (k) X |cn | n=1. n. →∞. Hemos visto que T no es un operador fuerte de tipo (1,1). Pero T si es un operador débil de tipo (1,1). Sea y > 0, entonces Ey [h] está dado por los n tales que |h(n)| = |ncn | > y. Por tanto: Z y < |ncn | ≤ n. b. |f (t)||φ(t)|dt ≤ nM kf k1 . a. Ası́ Ey [h] está dado por los n tales que: n>. y . M kf k1. Supongamos que y > 1. M kf k1.

(48) 40 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos Entonces υ(Ey [h]) = ≤ ≤ = ≤. X 1 n2 n>w ∞ X 1 n2 n=dwe Z ∞ 1 1 + dt 2 dwe w t 1 1 + dwe w 2 2M kf k1 = . w y. Para entender un poco mejor el comportamiento de los operadores débiles, debemos introducir el concepto de distribución, que como veremos, coincide con la idea probabilista. Definición 2.7. Sean (X, X , µ) un espacio de medida y f una función µ−medible, definida en X. Definimos a la distribución de f con respecto a µ f∗ (y) = µ(Ey [f ]) para y > 0 Ejemplo 2.2.. Sea X = R y µ la medida de Lebesgue y f (x) = x, entonces Ey [f ] = (y, ∞). por tanto f∗ (y) = ∞ para todo y > 0 Sea X = R y µ la medida de Lebesgue y f (x) ≡ 1, entonces   R si x ≤ 1 Ey [f ] =  ∅ si x > 1 por tanto f∗ (y) =.   ∞ si x ≤ 1 . Teorema 2.11. para p ≥ 1. 0. si x > 1. Sea X un espacio de medida finita y f definida sobre X y no negativa entonces Z. p. Z. f =− X. ∞ p. Z. y df∗ (y) = p 0. ∞. y p−1 f∗ (y)dy. 0. Demostración. Sean u > 0, para la primera igualdad consideremos el conjunto F [f ≤ u] = {x ∈ X : f (x)p ≤ u}, y sea una sucesión de particiones Pn del intervalo [0, u], de la forma Pn = {0, u1 , . . . , un−1 , u}.

(49) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 41. tales que kPn k → 0. Cuando n → ∞. Para cada Pn , definamos los conjuntos Gk = F [uk−1 ≤ f ≤ uk ] Para n ≥ 1 es claro que n [. Gk = F [f ≤ u].. k=1. Ahora, sea {φn } una sucesión de funciones definida por φn =. n X. upk χGk+1. k=0. notemos que φn → f p χF [f ≤u] . Por Teorema de Convergencia Monótona Z Z p f dµ = lı́m φn dµ n→∞. F [f ≤u]. = =. n X. lı́m. n→∞. k=0 n X. lı́m. n→∞. upk µ[Gk+1 ] upk (µ[Euk [f ] − µ[Euk+1 [f ]]). k=0 n X. = − lı́m. n→∞. = − lı́m. n→∞. k=0 n X. upk (µ[Euk+1 [f ] − µ[Euk [f ]]) upk (f∗ (uk+1 ) − f∗ (uk )). k=0. u. Z. y p df∗ (y).. = − 0. Haciendo tender u → ∞:. Z. Z. p. f dµ = − X. ∞. y p df∗ (y). 0. p. Dado que f∗ (y) es decreciente y y es derivable en todo R, podemos aplicar integración por partes. Es decir Z u Z ∞ ∞ p p − y df∗ (y) = − y f∗ (y)|0 + py p−1 f∗ (y)dy 0 0 Z ∞ p = − lı́m y f∗ (y) + py p−1 f∗ (y)dy. y→∞. 0. Notemos que p. y f∗ (y) =. Z. p. Z. y dµ ≤ Eyp [f p ]. Eyp [f p ]. f p dµ,.

(50) 42 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos por tanto Z. p. lı́m y f∗ (y) ≤ lı́m. y→∞. y→∞. f p dµ = 0.. Eyp [f p ]. Con lo cual se prueba la última igualdad En base a la prueba anterior podemos demostrar el siguiente resultado. Teorema 2.12. Sea φ una función continua, creciente para u ≥ 0 y tal que φ(0) = 0. Entonces Z Z ∞ Z ∞ φ(f )dµ = − φ(y)df∗ (y) = f∗ (y)dφ(y) X. 0. 0. 2.2.1 Teorema de Riesz-Thorin Hemos visto que la transformación que enviá cada función a su correspondiente sucesión de Fourier es un operador débil de tipo (1, 1) y fuerte de tipo (2, 2). Una interrogante a este hecho es que se puede decir de este operador considerándolo de Lp (a, b) a Lq (N) con 1 ≤ p ≤ 2 y 1 ≤ q ≤ 2. Para ello son los teoremas de interpolación, comenzaremos considerando el caso mas ”‘ideal”’ en el que T sea un operador lineal y acotado (es decir fuerte). El teorema de Riesz-Thorin tiene varias formas de demostrarlo, en este documento abordaremos el método complejo. Al siguiente teorema se le conoce como el Principio del Máximo de Phragmén Lindelöf tomado de [1], pg 93. Teorema 2.13. Sea f (z), z = x + yi una función continua y acotada en la región B = {z ∈ C : α ≤ x ≤ β} y regular en el interior de B. Si |f (z)| ≤ M sobre las rectas L1 = {z ∈ C : x = α} y L2 = {z ∈ C : x = β}, entonces |f (z)| ≤ M en el interior de B. Además si existe z0 ∈ B tal que |f (z0 )| = M entonces f es constante. Demostración. Supongamos que f (x + iy) → 0 cuando y → ±∞, uniformemente sobre B. Entonces, para M existe N tal que si |y| > N entonces |f (x + iy)| < M . Consideremos el rectángulo R = {z ∈ C : α ≤ x ≤ β, |y| ≤ N + 1} Por el Principio del Modulo Máximo (ver [2], pg 138 ), el máximo de f está en su frontera, entonces |f (z)| ≤ M. z ∈ ∂R.. Ası́ |f (z)| ≤ M para z ∈ B. Ahora, si f no tiende a 0, entonces consideremos la siguiente sucesión {fn } de funciones definidas sobre B x2 −y 2 2iyx z2 fn (z) = f (z)e n = f (z)e n e n ..

(51) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 43. Observemos que para toda z ∈ B, fn (z) → f (z). Dado que f es acotada y ex creciente tenemos que |fn (z)| ≤ |f (z)|e. x2 −y 2 n. ≤ Le. sup{α2 ,β 2 } n. y2. e− n .. Ası́, cuando y → ±∞, |fn (z)| → 0 uniformemente sobre B, entonces tenemos que e. x2 −y 2 n. ≤e. sup{α2 ,β 2 }−y 2 n. ≤e. sup{α2 ,β 2 } n. .. por tanto |fn (z)| ≤ M e. sup{α2 ,β 2 } n. para z ∈ L1 ∪ L2 . de lo cual se deduce que esta desigualdad es válida en B. Ası́, para z ∈ B lı́m |fn (z)| ≤. lı́m M e. n→∞. sup{α2 ,β 2 } n. n→∞. |f (z)| ≤ M.. De este teorema se obtiene el siguiente corolario. Corolario 2.3. Sea f una función continua y acotada en una región como la antes definida B regular en su interior y tal que |f (α + iy)| ≤ M1 , |f (β + iy)| ≤ M2 para toda y. Entonces, para todo z = x + iy en el interior de B tenemos que L(x). |f (x + iy)| ≤ M1. 1−L(x). M2. donde L(x) es la recta que pasa por los puntos (α, 1) y (β, 0). Es decir x β − . α−β α−β. L(x) = Si se tiene la igualdad entonces. f (z). F (z) =. L(x). M1. z = x + iy. 1−L(x). M2. es una constante de norma 1. Demostración. Notemos que para F (z) =. f (z) L(β). M1 se tiene sobre L1 |F (α + iy)| =. 1−L(β). ,. M2. |f (α)| L(β) 1−L(β) M1 M2. L(α)−1. ≤ M2. =1.

(52) 44 uso del análisis complejo para encontrar una cota inferior para polinomios trigonométricos y sobre L2 |F (β + iy)| =. |f (β)|. L(β). L(β) 1−L(β) M1 M2. ≤ M1. = 1.. Por tanto cumple las hipótesis del teorema 2.10 con M = 1. Ası́ L(x). |f (x + iy)| ≤ M1. 1−L(x). M2. Ahora podemos establecer el teorema de Riesz-Thorin Teorema 2.14 (Riesz-Thorin). Sea R1 y R2 dos espacios de medida con medidas µ y ν respectivamente. Sea T un operador lineal definido para todas las funciones simples f sobre R1 . Suponga que T es simultáneamente de tipo ( α11 , β11 ) y ( α12 , β12 ) con normas M1 , M2 kT f k1/β1 ≤ M1 kf k1/α1 ,. kT f k1/β2 ≤ M1 kf k1/α2. donde los puntos (α1 , β1 ) y (α2 , β2 ) pertenecen al cuadrado C = {(α, β) ∈ R2 : 0 < α ≤ 1, 0 < β ≤ 1}. Entonces T es de tipo (1/α, 1/β) para todo α = (1 − t)α1 + tα2 ,. β = (1 − t)β1 + tβ2. (0 < t < 1). Además kT f k1/β ≤ M11−t M2t kf k1/α .. (2.6). En particular, si α > 0 el operador T puede extenderse de manera única a todo el espacio L1/α,µ , manteniendo la desigualdad anterior. Demostración. Supongamos que α1, β1 6= 0 y Sea t ∈ (0, 1), y sean α = (1 − t)α1 + tα2 ,. β = (1 − t)β1 + tβ2 .. Consideremos las funciónes α(z) = (1 − z)α1 + zα2 ,. β(z) = (1 − z)β1 + zβ2 .. Entonces α(0) = α1 ,. β(0) = β1. α(1) = α2 ,. β(1) = β2. α(t) = α,. β(t) = β. Sea B := {z = x + iy ∈ C : 0 ≤ x ≤ 1} y sean f y g funciónes simples en L1/α,µ y L1/(1−β),ν respectivamente, tales que kf k1/α,µ = kgk1/α,ν = 1. Consideremos la integral Z T (f )gdν = I < ∞..

(53) 2. espacios de hardy e interpolación de operadores en espacios lp. 45. Como funciones complejas podemos ver a f y g f = |f |eiu ,. g = |g|eiv. e introducimos las funciones Fz = |f |. α(z) α. eiu. 1−β(z). Gz = |f | 1−β eiv Z Φ(z) = T (Fz )Gz dν. Esta integral es igual a I cuando z = t. Ahora ya que f es simple, existen c1 , c2 , . . . cn complejos diferentes de 0 y χ1 , χ2 , . . . , χn tales que f=. n X. eiuj |cj |χj ,. j=1. por tanto Fz =. n X. eiuj |cj |α(z)/α χj .. j=1. Procediendo de forma análoga para Gz . Si reemplazamos χj por T (χj ) en la suma que define Fz obtendrı́amos T Fz . Si reemplazamos en Φ(z), podemos ver que Φ(z) es una combinación lineal finita, con coeficientes constantes de exponenciales az con a > 0. Por tanto Φ(z) es es acotada en B. Ahora sea z = iy, entonces <(α(z)) = α1 . Por desigualdad de Hölder |Φ(z)| ≤ kT (Fz )k1/β1 ,ν kGz k1/(1−β1 ),ν ≤ M1 kFz k1/α1 ,µ kGz k1/(1−β1 ),ν , pero por como definimos a Fz tenemos que α /α. 1 = 1. kFz k1/α1 ,µ = k|f |α1 /α k1/α1 ,µ = kf k1/α,µ. De forma análoga 1−β1. 1−β1. kGz k1/α1 ,ν = k|g| 1−β k. 1 ,ν 1−β1. = kgk 1−β = 1. 1 ,ν 1−β. Ası́ |Φ(z)| ≤ M1 para z = iy. Sea z = 1 + iy entonces <(α(z)) = α2 . Siguiendo el razonamiento anterior, tendremos que |Φ(z)| ≤ M2 para z = 1 + iy. Por el corolario 2.2, tenemos que |I| = |Φ(t)| ≤ M11−t M2t y por (1.1) kT (f )k1/β,ν = sup |I| ≤ M11−t M2t . g. La extensión de T a todo L1/α,mu se deduce del hecho que las funciones simples son densas en Lp,mu para toda 1 ≤ p. Por el Teorema de extensión (ver [6], pg 100), existe un único operador lineal Te definida en todas las funciones de L1/α,mu tal que Te(f ) = T (f ).