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Ecuaciones de tercer y cuarto grado.
Forma general de la ecuación cúbica
ax
3+bx
2+cx+d
=0
Forma general de una
Ecuación de cuarto grado
ax
4+bx
3+cx
2+dx+e
=0
Autor:
Página 2
Ecuaciones de tercer grado.
Una ecuación cubica o de tercer grado es aquella que posee la incógnita elevada a la tercera potencia.
La ecuación general de tercer grado tiene la forma a.x³+ b.x²+ c.x +d = 0. Ejemplos.
a. 3x3
+
2x2−5x+
10=0b. 8x3
+8x
2+6x
+
9=0c. 10x3
+
12x2+
10x −8=0Solución de una ecuación cúbica Ejemplo 1.
Resolver la ecuación 25x3+15x2-9x+1=0
Buscamos los ceros del polinomio tomando como referencia los divisores del término independiente.
Estos divisores son: 1 y -1
Probamos ahora cuál de estos divisores es un cero del polinomio 25x3+15x2-9x+1
25(-1)3+15 (-1)2-9(-1)+1=0
25(-1)+15(1)+9+1=0 -25+15+10=0
0=0
Como se observa -1 es un cero del polinomio. Ahora aplicamos el teorema del factor de Ruffini.
Esto nos muestra que los factores del polinomio 25x3+15x2-9x+1 son:
(x+1) (25x2-10x+1)
Luego la ecuación toma la forma: (x+1) (25x2-10x+1)=0
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Como se observa se obtienen dos ecuaciones, una de primer grado y la otra de 2do grado.
Resolviendo la primera ecuación nos queda que: X+1=0
X+1-1=0-1 X= -1
Se resuelve la ecuación de segundo grado 25x2-10x+1=0 por la fórmula general
X= −𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
𝒙
𝟏=
−(−𝟏𝟎)+√(−𝟏𝟎)𝟐−𝟒(𝟐𝟓)(𝟏)𝟐 (𝟐𝟓)
𝒙
𝟏=
𝟏𝟎+√𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎
=
𝟏𝟎+𝟎 𝟓𝟎
=
𝟏𝟎 𝟓𝟎
=
𝟏 𝟓
𝒙
𝟏=
𝟏𝟓
X= −𝐛−√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
𝒙
𝟐=
−(−𝟏𝟎)−√(−𝟏𝟎)𝟐−𝟒(𝟐𝟓)(𝟏)𝟐 (𝟐𝟓)
𝒙
𝟐=
𝟏𝟎+√𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎
=
𝟏𝟎−𝟎𝟓𝟎
=
𝟏𝟎 𝟓𝟎=
𝟏 𝟓
𝒙
𝟐=
𝟏𝟓
El conjunto solución de esta ecuación es:
{ 𝒙𝟏= −𝟏, 𝒙𝟏= −𝟏, 𝒙𝟏= 𝟏
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Ejemplo 2.
Resolver la ecuación 2x3 − 3x2 +1=0
Se buscan los ceros del polinomio 2x3 − 3x2 +1
2(1)3 – 3(1)2 +1=0
2(1) – 3(1) +1=0 2-3+1=0
0=0
Se observa que 1 es un cero o raíz del polinomio.
Aplicando la regla de Ruffini para hallar los factores de un polinomio, tenemos que:
Los factores del polinomio 2x3 − 3x2 +1 son: (x-1) (2x2-x-1)
Luego la ecuación toma la forma: (x-1) (2x2-x-1)=0
Si el producto de dos factores es cero, se dan las siguientes condiciones: 1. Uno de los factores es cero
2. Los dos factores son ceros.
Por esa razón se iguala cada factor a cero. X-1=0 y 2x2-x-1=0
Como se observa, tenemos dos ecuaciones, una de primer grado y la otra cuadrática.
Se resuelve primero la ecuación lineal X-1=0
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Se resuelve ahora la ecuación cuadrática 2x2-x-1=0
Aplicando el método de factorización tenemos que: 2(2x2)-2(x)-2(-1)=0
Esta expresión puede escribirse como: (2x)2-2x-1=0
Asumiendo que m=2x, tenemos que: a2 –a+2=0
(a-2) (a+1)=0
Pero como m=2x, tenemos que: (2x-2) (2x+1)=0
Como se multiplicó por dos, se divide por dos para volver el trinomio a su forma original
(𝟐𝐱−𝟐) (𝟐𝐱+𝟏)
𝟐
=0
Los factores buscados son: (x-1) (2x+1)
Por tanto los valores de x son: x-1+1=0
x=0+2 x=2
La ecuación 2x3 − 3x2 +1=0 tiene como conjunto solución:
{𝒙𝟏 = 𝟏, 𝒙𝟐= 𝟐, 𝒙𝟑= − 𝟏𝟐} 2x+1=0
2x+1-1=0-1 2x= -1 𝟐𝒙
𝟐
=
−𝟏𝟐 x
=
−
𝟏Página 6
Ejemplo 3.
Hallar la solución de la ecuación 3x3 - 4x2 – 5x+2 = 0
Buscamos los ceros o raíces del polinomio tomando los divisores del término independiente.
Los divisores de 2 son: -1, 1, 2 y -2. Se sustituye x por -1
3(-1)3 – 4(-1)2 – 5(-1)+2=0
3(-1)-4(1)+5+2=0 -3-4+7=0
0=0
En este caso se ve que -1 es un cero o raíz del polinomio 3x3 - 4x2 – 5x+2 =0
Se aplica la regla de Ruffini para hallar los factores de un polinomio.
Esto muestra que los factores del polinomio 3x3 - 4x2 – 5x+2 son:
(x+1) (3x2 -7x +2)
Luego la ecuación toma la forma: (x+1) (3x2 -7x +2)=0
Se iguala cada factor a cero X+1=0 y 3x2 -7x +2=0
Resolviendo estas ecuaciones tenemos que: X+1=0
X+1-1=0-1 X= -1
La ecuación de 2do grado 3x2 -7x +2=0 puede ser resuelta por la fórmula general
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Resolviendo la ecuación 3x2 -7x +2=0 por la fórmula general nos queda que:
X= −𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜 𝟐𝐚
𝒙
𝟏=
−(−𝟕)+√(−𝟕)𝟐−𝟒(𝟑)(𝟐) 𝟐 (𝟑)𝒙
𝟏=
𝟕+√𝟒𝟗−𝟐𝟒 𝟔=
𝟕+√𝟐𝟓 𝟔=
𝟕+𝟓 𝟔=
𝟏𝟐 𝟔𝒙
𝟏=
2X= −𝐛−√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
𝒙
𝟐=
−(−𝟕)−√(−𝟕)𝟐−𝟒(𝟑)(𝟐) 𝟐 (𝟑)𝒙
𝟐=
𝟕−√𝟒𝟗−𝟐𝟒 𝟔=
𝟕−√𝟐𝟓 𝟔=
𝟕−𝟓 𝟔=
𝟐 𝟔𝒙
𝟐=
𝟏 𝟑El conjunto solución de la ecuación es:
{𝒙𝟏 = −𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒚 𝒙𝟑 = 𝟏 𝟑 }
Ejemplo 4.
Hallar las raíces o soluciones de la ecuación 27x3 + 53x2 + 27x +1=0
En este caso los divisores del término independiente son: 1, -1 Sustituyendo x por -1, tenemos que:
27(-1)3 + 53(-1)2 + 27(-1) +1=0
27(-1)+53(1)-27+1=0 -27+53-27+1=0 0=0
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Aplicando el teorema del factor, tenemos que:
Los factores del polinomio 27x3 + 53x2 + 27x +1 son:
(x+1) (27x2+26x+1)
La ecuación 27x3 + 53x2 + 27x +1=0 queda transformada en:
(x+1) (27x2+26x+1)=0
Igualando cada factor a cero, tenemos que: X+1=0 y 27x2+26x+1=0
Resolviendo estas ecuaciones, nos queda que: X+1=0
X+1-1=0-1 X= -1
Se resuelve ahora la ecuación 27x2+26x+1=0 por la fórmula general.
𝒙
𝟏=
−𝟐𝟔+√(𝟐𝟔)𝟐−𝟒(𝟐𝟕)(𝟏) 𝟐 (𝟐𝟕)𝒙
𝟏=
−𝟐𝟔+√𝟔𝟕𝟔−𝟏𝟎𝟖 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔+√𝟓𝟔𝟖 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔+√𝟒𝒙𝟏𝟒𝟐 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔+𝟐√𝟏𝟒𝟐 𝟓𝟒𝒙
𝟏=
−𝟏𝟑+√𝟏𝟒𝟐 𝟐𝟕𝒙
𝟐=
−𝟐𝟔 − √(𝟐𝟔)𝟐−𝟒(𝟐𝟕)(𝟏) 𝟐 (𝟐𝟕)𝒙
𝟐=
−𝟐𝟔−√𝟔𝟕𝟔−𝟏𝟎𝟖 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔−√𝟓𝟔𝟖 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔 − √𝟒𝒙𝟏𝟒𝟐 𝟓𝟒=
−𝟐𝟔 − 𝟐√𝟏𝟒𝟐 𝟓𝟒𝒙
𝟐=
−𝟏𝟑 − √𝟏𝟒𝟐 𝟐𝟕El conjunto solución es igual a:
{ 𝒙𝟏= −𝟏, 𝒙𝟐= −𝟏𝟑+√𝟏𝟒𝟐
𝟐𝟕 , 𝒙𝟑=
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Resolver la ecuación 2x3-14x-12=0
Solución:
Se buscan los divisores del término independiente -1,1,2,-2,3,-3,-4,4,6,-6,12,-12
Tomando el 3 tenemos que: 2(3)3-14(3)-12=0
54-42-12=0 54-54=0 0=0
Aplicando el teorema del factor
Esto nos indica que los factores del polinomio 2x3-14x-12 son:
(x-3) (2x2+6x+4)
Ahora la ecuación toma la forma: (x-3) (2x2+6x+4)=0
Se iguala cada factor a cero x-3=0 y 2x2+6x+4=0
Resolviendo estas ecuaciones, tenemos que: a. x-3=0
x-3+3=0+3 x=3
b. 2x2+6x+4=0
Factorizando este trinomio nos queda que: 2(2x2)+2(2x)+2(4)=0
(2x)2+2(2x)+8=0
Asumiendo que m=2x m2+2m+8=0
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Sustituyendo m=2x (2x+4) (2x+2)=0
Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original.
(𝟐𝐱+𝟒) (𝟐𝐱+𝟐)
𝟐 =0
(x+2) (2x+2)=0
De aquí x+2=0
x+2-2=0+2 x=2
El conjunto solución o raíces de la ecuación son:
{𝒙𝟏 = −𝟑, 𝒙𝟐 = 𝟐, 𝒙𝟑 = −𝟏, }
2x+2=0 2x+2-2=0-2 2x= -2
𝟐𝒙 𝟐 =
−𝟐 𝟐
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Ecuaciones Bicuadradas.
Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita, es una ecuación algebraica1 que se puede poner bajo la forma canónica:
ax4+bx3+cx2+dx+e=0
Solución de una ecuación bicuadrada. Ejemplo 1.
Resolver la ecuación x4-10x2+9=0
Hacemos m=x2, luego:
m2-10m+9=0
Factorizando tenemos que: (m-9) (m-1)=0
Igualando cada factor a cero, nos queda que: m-9=0
m-9+9=0+9 m=9
Puesto que m=x2
X2=9
√𝒙𝟐 = √𝟗
X= ±3
El conjunto solución de esta ecuación es:
{𝒙𝟏= 𝟑, 𝒙𝟐= −𝟑, 𝒙𝟑= −𝟏, 𝒙𝟒= −𝟏}
m-1=0 m-1+1=0+1 m=1
Como m=x2
X2=1
Página 12 Ejemplo 2.
Resolver la ecuación x4-13x2+36=0
Hacemos m=x2, luego la ecuación toma la forma:
m2-13m+36=0
Factorizando esta expresión, nos queda que: (m-9) (m-4)=0
Se iguala cada factor a cero m-9=0
m-9+9=0+9 m=9
Luego: x2 = 9
√𝒙𝟐 = √𝟗
x = ± 𝟑
El conjunto solución de la ecuación x4-13x2+36=0 es igual a
{ 𝒙𝟏= 𝟑, 𝒙𝟐 = −𝟑, 𝒙𝟑= 𝟐 𝒚 𝒙𝟒 = −𝟐 }
m-4 =0 m-4+4=0+4 m=4
Luego: x2 = 4
Página 13 Ejemplo 3.
Resolver la ecuación x4-6x2+8=0
Haciendo a=x2 tenemos que:
a2-6a+8=0
Factorizando esta expresión nos queda que: (a-4) (a-2)=0
Se iguala cada factor a cero a-4=0 y a-2=0
De aquí: a-4=0 a-4+4=0+4 a=4
Como a=x2, tenemos que:
x2= 4
√𝒙𝟐 =√𝟒
x = ± 𝟐
El conjunto solución de la ecuación x4-6x2+8=0 es igual a
{ 𝒙𝟏= 𝟐, 𝒙𝟐= −𝟐, 𝒙𝟑= √𝟐 𝒚 𝒙𝟒= − √𝟐 }
a-2=0 a-2+2=0+2 a=2
Como se estableció que a=x2
Tenemos que: x2 = 2
√𝒙𝟐 = √𝟐
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Hallar el conjunto solución o raíces de la ecuación: 4x4+32x3+91x2+108x+45=0
Solución:
Se toma el -1, que es uno de los divisores de 45 y se prueba si este número es una raíz o cero del polinomio.
4(-1)4+32(-1)3+91(-1)2+108(-1)+45=0
4-32+91-108+45=0 140-140=0
0=0
Puesto que -1 es un cero del polinomio, se aplica el teorema del factor para hallar sus factores.
Estos resultados muestran que los factores del polinomio son: (x+1) (4x3+28x2+63x+45)
De igual manera se buscan los ceros o raíces del polinomio 4x3+28x2+63x+45
para luego hallar sus factores.
Para el polinomio 4x3+28x2+63x+45 -3 es un cero o raíz.
Luego:
Este resultado muestra que los factores del 4x3+28x2+63x+45 -3 son:
(x+3) (4x2+16x+15)
Se factoriza ahora el trinomio 4x2+16x+15
4(4x2)+4(16x)+4(15)
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Haciendo y= 4x tenemos que: y2+16y+60, luego:
(y+10) (y+6)
Sustituyendo y=4x nos queda que: (4x+10) (4x+4)
Como multipliqué por 4 divido por 4
(𝟒𝒙+𝟏𝟎)(𝟒𝒙+𝟒)
𝟐𝒙𝟐 = (2x+5) (2x+2)
Luego de hallar los factores del polinomio 4x4+32x3+91x2+108x+45, la ecuación
4x4+32x3+91x2+108x+45=0 puede ser escrita como:
(x+1) (x+3) (2x+5) (2x+2)=0 De aquí:
x+1=0, x+3=0, 2x+5=0 y 2x+2=0 Luego:
x= -1, x= -3, x=
−
𝟓𝟐
y x= -1
Conjunto solución o raíces:
