Un análisis de los problemas cognitivos de comprensión en el aprendizaje de las matemáticas. Raymond Duval. 2.

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Figura 11. Problema presentado a los de 14 años de edad (Mesquita, 1989, págs. 40, 68-69, 96). Hay dos formas de ver la figura en la declaración del problema, pero sólo una muestra la respuesta y da la razón (Figura 12).

Figura 12. Dos organizaciones figurativas.

De la organización figurativa (I) a la organización figurativa (II) hay un salto, que depende de los factores visuales. La visión espontánea que se produce tiene un único eje de simetría (Organización I), mientras que la solución requiere que se dé mayor importancia a otros dos ejes de simetría (organización II). Ahora, pasar de (I) a (II) constituye un salto, que más de la mitad de los estudiantes no hacen. En realidad, para ser capaz de ver la figura como teniendo ejes de simetría OB y OC uno debe romper el elemento de la figura simple (Organización I) consistente en el segmento BC en dos segmentos (organización II). Y para que la mayoría de los estudiantes obtengan hasta el punto de vista de la organización (II) en la figura de enunciado, el planteamiento del problema tuvo que ser modificado para describir la división del segmento BC: “sea el punto de intersección de la AO y BC; compare BI y CI” (Pluvinage, 1990, pág. 27).

Estos pocos ejemplos dan una buena ilustración de la complejidad de las matemáticas en el uso de figuras y el carácter no natural para la mayoría de los estudiantes en el acto de ver en geometría. ¿Cómo debería ser analizado? ¿Cómo debería ser introducido en los estudiantes? En cuanto a observaciones que pueden hacerse en todos los dominios de la geometría, existen dos posiciones posibles.

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Expresado de otra manera, sería la comprensión de propiedades matemáticas las que servirían de guía a la lectura y exploración de las figuras hacia la solución de un problema. Buena comprensión conceptual debería llevar a ver en una figura lo que tiene que ser visto para encontrar allí los elementos para la solución de un problema.

La segunda posición consiste en considerar que las figuras surgen de un sistema de representación que es independiente de los enunciados de las propiedades matemáticas a las que se refieren. Eso significaría que lo que uno ve en una figura depende de factores de organización visual: son estos factores los que determinan la discriminación, que es el reconocimiento, de ciertas formas de una, dos y tres dimensiones en una figura y a excluir la discriminación de otras configuraciones posibles y sub-figuras en la misma figura. Ahora “ver” en geometría frecuentemente requiere que uno pueda reconocer a una u otra de estas otras posibles configuraciones y sub-configuraciones. Lo que necesita ser reconocido en una figura original es una función del enunciado del problema, pero su “visibilidad”, es decir, el carácter más o menos espontáneo de su reconocimiento, depende de las operaciones visuales de reorganización.Hay muchos factores que pueden inhibir o favorecer esta discriminación de estas operaciones visuales. Ellas pueden estudiarse experimentalmente (Duval, 1995ª, 1998c; Rommevaux, 1998).

Otra observación hecha por Schoenfeld con estudiantes de más edad después de un semestre de trabajo en geometría muestra la independencia de figuras en relación al conocimiento conceptual y capacidades de demostración adquiridas.

Figura 13. La construcción del problema planteado por Schoenfeld.

La construcción de problema (Figura 13) fue propuesta a ellos. Los estudiantes pudieron resolverlo sin mucha dificultad, pero procediendo totalmente empíricamente. Pero para ellos, no había absolutamente ninguna relación con todas las propiedades matemáticas que sabían sobre el tema (Schoenfeld, 1986, pp. 243-244, 256).

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Ahora sólo podemos mencionar el importante caso de la lengua en la geometría. Podemos observar una gran diferencia entre un razonamiento deductivo válido utilizando teoremas y el uso común de argumentos. Los dos son tratamientos absolutamente opuestos, aunque a un nivel superficial las formulaciones lingüísticas parecen ser muy similares. Un razonamiento deductivo válido se ejecuta como un cálculo de proposiciones verbales, mientras que el uso de argumentos para convencer a otras personas corre como la progresiva descripción de un conjunto de creencias, hechos y contradicciones. Los estudiantes sólo pueden entender lo que es una demostración cuando empiezan a diferenciar estos dos tipos de razonamiento en lenguaje natural. Con el fin de hacerlos llegar a este nivel, el uso de actividad de representación transicional, tales como la construcción de gráficos proposicionales, es necesaria (Duval, 1991, 1995b, 1998b). Esta primera fuente de dificultades es bien conocida. Da lugar a observaciones recurrentes, que los profesores pueden hacer, no importa cuál sea su nivel de enseñanza. Además, es la razón de que en la enseñanza se tiende a marginar, en la medida de lo posible, el recurso a registros multifuncionales y permanecer dentro del monofuncional, donde los tratamientos pueden tomar la forma de algoritmos.

Sin embargo, el uso de la lengua natural no puede evitarse (Duval, 2000b, 2003) y surge la cuestión de la articulación con las representaciones producidas dentro los registros monofuncionales. Y eso requiere la conversión explícita o implícita de las representaciones.

3.2. Una segunda fuente de incomprensión: la conversión de representaciones o cambio de registro.

A diferencia de la primera, el segundo tipo de dificultad raramente se ha notado como tal porque apenas las dificultades de conversión aparecen son tomadas como un signo de incomprensión conceptual. Además, para poder ver realmente el tamaño de las dificultades ligadas a la conversión de las representaciones, uno debe establecer un mecanismo de observación que le permita manifestarse, lo que supone el comienzo de que uno ha adquirido conciencia de la diferencia entre el tratamiento y la conversión en un proceso matemático! En cualquier caso, este es el segundo tipo de dificultad que limita considerablemente la capacidad de los estudiantes para utilizar los conocimientos adquiridos, así como su capacidad para adquirir nuevos conocimientos en matemáticas. Y que muy rápidamente lleva a un límite en el progreso de la comprensión y el aprendizaje de muchos estudiantes.

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enseñanza. En estudios anteriores (1988, 1996b), di evidencia de un gran fracaso en convertir un gráfico cartesiano en la ecuación correspondiente. Y ese fracaso es bastante independiente de la comprensión del concepto de función. La figura 5 presenta un ejemplo de la tarea de reconocimiento que se utilizó. Por lo que podemos incrementar las observaciones acerca de los problemas de conversión para cada tipo de conversión y en todos los ámbitos de la enseñanza de las matemáticas. Metodología para que no sólo se requiera que los estudiantes sean colocados en una situación de resolución de problemas o en una actividad de aplicación. Se requiere que a los estudiantes les sean dadas las tareas que sean variadas sistemáticamente no sólo como una función del registro original, sino también como una función interna de las variaciones dentro de cada registro. Puede verse, pues, que no es sólo una cuestión de centrarse en los errores, que pueden ser observados directamente y que se repiten de un año a otro, sino que se debe profundizar más en dificultades para ser capaz de analizar los problemas de comprensión de los estudiantes de matemáticas. Cuando usted hace eso se enfrenta a muy profundos y asombrosos fenómenos acerca de la complejidad cognitiva de la conversión, en cualquier área de la educación matemática. Cuando varía sistemáticamente una representación dentro de una fuente de registro convierte a la representación en la meta del registro, puede observarse una variación sistemática de desempeños. Esto ocurre si el éxito o errores sistemáticos dependen de la distancia cognitiva entre la fuente de representación del contenido y el objetivo del contenido de representación. En algunos casos, es como una correlación uno a uno y la fuente de la representación es transparente para el objetivo de la representación. En estos casos, la conversión parece nada más que una codificación simple (Figura 3). Pero en otros casos, ya no se ejecuta en absoluto como eso (Figura 4). En otras palabras, entre una fuente de representación y su representación convertida en una meta de registro, existe congruencia o no congruencia. Y un análisis más detallado nos permite identificar tres factores para describir este fenómeno (Duval, 1995b, págs. 49-57):

 Una aplicación uno a uno entre todos los constituyentes significativos (símbolos, palabras, palabras o características visuales) del contenido de la fuente de representación y la meta de la representación es o no es posible.

 La elección de cada elemento constituyente significativo de la meta de la representación destino es o no es unívoco.

 Para los componentes significativos que se pueden asignar, el orden de la organización dentro de la representación de origen se mantiene o ha cambiado dentro del objetivo de la representación.

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dominio que parece dar a muchos estudiantes dificultades,el álgebra lineal, da un ejemplo notable (Figura 14). ¿La comprensión en álgebra lineal no presupone que los estudiantes sean capaces de cambiar los registros rápidamente de una manera implícita o explícita? ¿No sería su dificultad en la conversión uno de los principales obstáculos a superar? En cualquier caso, aquí es cómo uno puede ver la magnitud de este tipo de dificultades.

Podemos observar la magnitud de las variaciones en éxito cada vez que uno invierte el sentido de la conversión. Además, un registro considerado aisladamente no parece dominar mejor que otro: los desempeños varían según los pares origen, origen del registro meta del registro. Aquí llegamos a la raíz de los problemas en el aprendizaje de la matemática: la capacidad para comprender y para realizar por sí mismo, cualquier cambio de la representación registrada. Los problemas que muchos estudiantes tienen con el pensamiento matemático yacen en la especificidad y la complejidad cognitiva de conversión y cambio de representación. No es ni una materia de codificación ni un asunto de concepto matemático solamente.

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 La conversión de representación requiere la DISOCIACIÓN cognitiva del objeto representado y el contenido de la representación semiótica particular a través de la cual se ha introducido y utilizado en la enseñanza.

 Pero hay una IMPOSIBILIDAD COGNITIVA DE DISOCIAR cualquier contenido de representación semiótica y su primer objeto representado cuando no hay otro acceso posible al objeto matemático que la semiótica.

Ese conflicto conduce a la consideración de dos representaciones del mismo objeto como dos objetos matemáticos. La consecuencia es entonces la incapacidad para cambiar el registro y usar el conocimiento fuera de los estrechos contextos de aprendizaje. Los registros de las representaciones permanecen compartimentados y sólo la fragmentaria y monoregistralmente comprensión es posible. ¿En qué condiciones los alumnos pueden ser habilitados para hacer tal disociación?

3.3. ¿Cómo discriminar en cualquier representación de contenido, cualquiera que sea el registro utilizado, lo que es matemáticamente relevante y lo que no lo es?

Aquí, obviamente, está la cuestión más esencial para el aprendizaje de matemáticas.

Tomemos el ejemplo elemental de las funciones lineales que hemos dado (Figura 5). Viendo su expresión algebraica y su representación gráfica juntas, o saber cómo trazar el gráfico de su expresión algebraica, no es en absoluto suficiente para reconocer la misma función a través de estos dos tipos de representación. Una condición cognitiva más profundo es necesaria: ser capaces de discernir cómo dos gráficos que parecen iguales visualmente son matemáticamente diferentes.

Cuando se toman de dos en dos, ellas contrastan visualmente por una o varias características visuales. Cuando ellas contrastan por dos (o más) características visuales, estas se fusionan como si se tratara de una sola. La discriminación visual de los gráficos no es nada obvio, particularmente cuando parecen muy similares en su forma y contenido. De hecho, la capacidad para distinguir lo que es matemáticamente relevante en cada una de ellas depende de la construcción implícita de esa red cognoscitiva como en la siguiente figura 15.

En esta red, cada característica visual coincide con una categoría símbolo de expresión algebraica y = ax + b. Por “categoría símbolo” nos referimos a una oposición cualitativa(a> 1 ; a< 1; a = 1 o a = -1) y no meramente una variación numérica (a = 1,65 o a = 2,3). Dicha red puede ampliarse a todas las clases de representación de función y representaciones de relaciones que no son funciones (Duval, 1993, pág. 46).

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cualquier tarea de discriminación de representación ha de ser integrada en una tarea de conversión.

Figura 15. Conexiones tempranas de una red cognoscitiva para cualquier representación gráfica de discriminación.

Es sólo investigando las variaciones de representación en el registro de origen y variaciones de representación en un registro meta los estudiantes pueden al mismo tiempo realizar lo que es matemáticamente relevante en una representación, archivar su conversión en otro registro y disociar el objeto representado del contenido de estas representaciones.

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modalidad implícita, este tipo de conversión es necesaria continuamente en la enseñanza donde tenemos siempre una doble la producción semiótica: discurso oral para dar explicaciones en el lenguaje común y simbólico o diagramático escrito para el tratamiento matemático (Duval, 2000b, págs. 152-155). Lo más sorprendente es que las representaciones transicionales auxiliares, incluso las más icónicas o concretas, también necesitan ser integradas con tareas de covariación sistemáticas si queremos que sean eficientes!

De ese ejemplo podemos obtener una visión de los procesos de pensamiento específicos que se requieren en las matemáticas. No sólo deben utilizar sistemas de representación semiótica sino también, sobre todo, requiere su coordinación cognitiva.

Y por una razón obvia, un doble acceso semiótico debe compensar la limitación cognitiva de la falta de un verdadero acceso doble.

Esto significa que la disociación entre la representación de contenido y objeto representado necesariamente involucra la COORDINACIÖN entre diferentes registros de representación. La Comprensión matemática comienza cuando se inicia la coordinación de registros. El reconocimiento de los mismos objetos matemáticos a través de representaciones de dos registros diferentes no es una operación local u ocasional, sino el resultado del registro global de coordinación. Los procesos del pensamiento matemático dependen de una sinergia cognitiva de registros de representación. La coordinación de los registros de las representaciones semióticas proporciona algo así como una extensión de la capacidad mental. En esta perspectiva, la oposición hecha frecuentemente entre la comprensión como siendo conceptual o como puramente mental y representaciones semióticas como siendo externas parece ser una oposición engañosa. De hecho, las representaciones mentales que son útiles o pertinentes en matemáticas son siempre representaciones semióticas interiorizadas.

4. CONCLUSIÓN

Cuando analizamos la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo, tres características específicas, estrechamente relacionadas entre sí, deben tenerse en cuenta: (1) Se ejecuta a través de una transformación de las representaciones semióticas, que implica el

uso de algún sistema semiótico.

(2) Para llevar a cabo esta transformación, pueden ser utilizados bastante diferentes registros de representaciones semióticas.

(3) Los objetos matemáticos nunca debe ser confundidos con la representaciones semióticas utilizadas, aunque no haya acceso a ellos salvo usando la representación semiótica.

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ocurre en la etapa inicial de la construcción del conocimiento matemático puede ser cognitivamente complejo y requiere el desarrollo de una conciencia específica acerca de la coordinación de los registros

La distinción entre cuatro tipos de registros de representación destaca la variedad y la brecha cognitiva de la representación de la conversión según el origen del registro y la meta del registro. También hace posible definir algunas variables para analizar la complejidad cognitiva subyacente a cualquier actividad matemática, ya sea para un objetivo de investigación o para un propósito educativo.

Y la distinción entre registros monofuncional y multifuncional muestra cómo, para todas las transformaciones que son tratamientos, visualización y lenguaje puede ser usado en muchas formas completamente diferentes de la forma habitual dentro de las otras áreas del conocimiento y en la vida diaria. Las prácticas de estos registros que los estudiantes puedan tener fuera de las matemáticas muchas veces parecen descartar la forma en que deberían ser movilizadas en matemáticas.

Eso plantea una profunda ambigüedad en la enseñanza: por un lado, estos registros son evitados porque los estudiantes tienen una gran dificultad para llevar a cabo procesos matemáticos allí, y por otro lado, son usados para dar “significado” a los procesos matemáticos que se llevan a cabo dentro de registros monofuncionales. En la enseñanza, podemos observar prácticas totalmente opuestas de estos registros multifuncionales.

Es en el marco de tal modelo cognitivo de procesamiento del pensamiento matemático que podemos analizar en profundidad los obstáculos de la comprensión matemática. Tratamientos, principalmente, dentro de los registros multifuncional y conversiones son totalmente independientes de las fuentes de incomprensión. Pero la raíz de los problemas que muchos estudiantes tienen con el pensamiento matemático radica en la especificidad y la complejidad cognitiva de conversión y cambio de representación. No podemos analizar y entender profundamente el problema de la comprensión de las matemáticas para la mayoría de los estudiantes si no empezamos por separar los dos tipos de transformación de representación. Esto es raras veces, si acaso de hecho, o porque la conversión se considera un tipo de tratamiento o porque se cree que depende de la comprensión conceptual, o sea, puramente “mental”, es decir, una asemiótica actividad. Y siempre hay buenas razones para ello.

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En segundo lugar, la investigación en educación matemática casi siempre se lleva a cabo en las formas de enseñar contenidos conceptuales y procedimentales particulares para cada nivel del curriculum. Lo que concierne a la actividad matemática es empujada hacia atrás en la formación o explicada por la comprensión conceptual (o incomprensión) o por un marco pedagógico común acerca de la importancia de la actividad de los estudiantes y la función de sus representaciones mentales para la comprensión. Esto lleva a aniquilar la importancia de la diversidad de registros de representación y actuar como si todas las representaciones del mismo objeto matemático tuvieran el mismo contenido, o como si el contenido de uno podría ser visto desde otro por transparencia.

En otras palabras, algunos isomorfismos entre las representaciones de dos diferentes sistemas semióticos o entre procesos que se llevan a cabo dentro de dos sistemas semióticos se asume implícitamente. Recuérdese que Piaget asumió esta búsqueda de isomorfismos como uno de los principios clave de un análisis de la evolución de los conocimientos en los niños, aunque, más tarde, él se limitó a la búsqueda de “isomorfismos parciales” (Piaget, 1967, págs. 73-74, 262-266) e hizo gran uso teórico de ellos en el análisis de la epistemología genética como en ciertos estudios didácticos. ¿Pero el isomorfismo matemático envuelve al isomorfismo cognitivo entre las representaciones semióticas utilizadas? Empujando hacia atrás en el fondo las tres características específicas mencionadas anteriormente limita a la mayoría de los estudiantes en lo que se ha descrito como la “compartimentalización” del conocimiento matemático.

Cambiar el registro de la representación es el umbral de la comprensión matemática para los alumnos en cada etapa del curriculum. Depende de la coordinación de varios registros de representación y es sólo en matemáticas que ese registro de la coordinación es fuertemente necesaria. ¿Este requisito básico es realmente tomado en cuenta? Demasiado a menudo, las investigaciones se centran en lo que son representaciones correctas o lo que sería el registro más accesible con el fin de hacer que los alumnos entiendan realmente y utilicen algún conocimiento matemático particular. Con una preocupación de este tipo la enseñanza no va más allá de un nivel superficial. ¿Qué harán los estudiantes cuando sean confrontados por otras representaciones o situaciones completamente distintas? Incluso representaciones auxiliares e individuales, las más icónicas o concretas, deben ser articuladas con las representaciones semióticas producidas dentro de sistemas semióticos. El verdadero desafío de la enseñanza de las matemáticas es primero desarrollar la capacidad de cambiar de registro de representación.

Notas

1. Un primer bosquejo de este documento ha sido presentado en el Mediterranean Journal for Researc in Mathematics Education 2002, 1, 2, 1-16. Presentamos aquí una versión más desarrollada de los modelos cognitivos de la actividad matemática y pensamiento.

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2. La relación de un sujeto a un objeto es la distinción epistemológica básica para analizar el conocimiento (Kant, 1956, pág. 63, 296; Piaget, 1967, pág. 65 y 1973, p. 31). Por lo tanto “objeto” puede utilizarse con tres significados distintos:

(1) la invariante de un conjunto de fenómenos o la invariante de alguna multiplicidad de representaciones posibles. En ese sentido, los “objetos” son OBJETOS DE CONOCIMIENTO. (2) el objetivo de la atención centrada sobre tal o cual aspecto (forma, la posición, el tamaño, la

sucesión...) de lo que se ha dado. En ese sentido, “objetos” son transitoriamente OBJECTOS FENOMENOLÓGICOS.

(3) los datos dados por la percepción, o las cosas físicas. En ese sentido, los “objetos”son OBJETOS CONCRETOS.

Los objetos matemáticos (números, funciones, vectores, etc.) son objetos de conocimiento, y las representaciones semióticas que pueden admitir dos focos de atención bastante opuestos (ya sea los datos visuales dados o algún objeto representado que puede ser uno en concreto o alguna variante de objetos fenomenológica) son pasajeras. Si consideramos una ecuación algebraica y el gráfico de una línea, primero son diferentes representaciones semióticas. Son “objetos matemáticos” bajo la condición de que la atención puede centrarse en algunas invariantes (las relaciones asumidas representados) y no sólo en sus datos visuales y su organización perceptual (Duval, 1995b, págs. 53-54; 2002). Es sólo desde un estricto punto de vista formal que las representaciones semióticas pueden tomarse como objetos concretos (Duval, 1998ª, págs. 160-163).

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Laboratoire des Systemes Educatifs mutaciones ‘ Université du Littoral “ Maison de la Recherche 17 rue du Puits d’Amour B.P. 751 62231 Boulogne-sur-Mer Cedex Francia E-mail:

duval@wanadoo.fr REGISTROS

MULTIFUN-CIONALES: La mayoría de los procesos son

algoritmos

EN SISTEMAS SIMBÓLICOS

Sólo escrito:imposible decirlo oralmente de otra manera que por ortografía

cálculo, demostración

COMBINACIÓN D2 o D1 Y DO, FORMAS orientadas (flechas o no).

Diagramas, gráficos

Representaciónde Resultados de una de tres clases de

OPERACIONES DISCURSIVAS:

1. Denotación de objetos (nombres, marcas,…) 2. Enunciado de relaciones o propiedades 3. Inferencia (deducción, computación…)

No Discursivas REPRESENTACIÓN

(Forma de configuraciones 1D/ 1D, 2D/2D, 3D/2D

REGISTROS MULTIFUNCIO-NALES Los procesos NO PUEDEN hacerse algoritmos

Representaciones transicionalmente AUXILIAR

Sin reglas de combinación (soporte libre)

ICÓNICO:dibujo, esquema, patrón

---NO ICÓNICO:figuras

geométricas que pueden ser construidas con herramientas

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Figura 12. Dos organizaciones figurativas.

Figura 12.

Dos organizaciones figurativas . View in document p.1
Figura 11. Problema presentado a los de 14 años de edad (Mesquita, 1989, págs. 40, 68-69, 96).

Figura 11.

Problema presentado a los de 14 a os de edad Mesquita 1989 p gs 40 68 69 96 . View in document p.1
Figura 13. La construcción del problema planteado por Schoenfeld.

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Figura 14. Una tarea de reconocimiento (Pavlopoulou, 1993, p. 84).

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Una tarea de reconocimiento Pavlopoulou 1993 p 84 . View in document p.6
Figura 15. Conexiones tempranas de una red cognoscitiva para cualquier representación gráfica dediscriminación.

Figura 15.

Conexiones tempranas de una red cognoscitiva para cualquier representaci n gr fica dediscriminaci n . View in document p.8

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