PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2007 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2007

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El examen consta de tres bloques de ejercicios y cada bloque tiene dos opciones. De cada bloque debe escogerse uno sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. BLOQUE 1

1-A) a ) Calcula la expresión analítica de una función f :R→R que verifique las con-diciones siguientes:

a1 )

( )

3 2

6 2

' x x x

f = − para todo x∈R.

a2 ) El valor mínimo de

{

f

( )

x :x∈R

}

es −12.

b ) Calcula los puntos de inflexión de la función f y en cada uno de ellos determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f.

c ) Justifica en cuántos puntos corta la gráfica de f a los ejes de coordenadas. Indicación: no es necesario calcular los puntos de corte.

--- a )

La función pedida f, según la condición a1) tiene que ser una función primitiva de la función

( )

3 2

6 2

' x x x

f = − , o sea:

( )

x

(

x x

)

dx x x C x x C f

( )

x

f =

∫

− = − + = 4 − 3 + =

3 4

2 3

3 2

1 3

6 4 2 ·

6 2

( )

0 2 6 0 ;; 2

(

3

)

0 0 ;; 3

' 1 2

2 2

3 − = − = ⇒ = =

⇒

= x x x x x x

x

f .

( )

(

)

( )

( )

    

= ⇒

> =

→ = ⇒

− =

− =

3 0

18 3 ' '

) inf

( 0 0 ' '

2 6

12 6

'

' 2

x para Mínimo

f

lexión de

punto para

f

x x x x

x f

Por ser -12 el valor de la función en el mínimo, tiene que cumplirse que f

( )

3 =12:

( )

C C C C

f = − + = − + = = + = =

2 105 2

81 12 ;

; 12 3

· 2 1 ; ; 12 3

· 3 3 · 2 1

3 4 3 4

( )

2 105 3

2

1 4 − 3 +

= x x

x f

b )

Para que exista un punto de inflexión es condición necesaria que se anule la se-gunda derivada y que, para esos valores no se anule la tercera derivada.

( )

6 12 6

(

2

)

0 ;; 2

'

' 1 2

2 − = − ⇒ = =

= x x x x x x

x f

( )

(

)

( )

( )

    

= →

≠ =

= →

≠ − = ⇒

− =

− =

2 .

. 0

12 2 ' ' '

0 .

. 0

12 0

' ' '

1 12 12 12 '

' '

x para I

P f

x para I

P f

x x

x f

( )

( )

( )

  

   

 

   

  ⇒ →

= +

− =

   

  ⇒ →

=

⇒ +

− =

2 73 , 2 .

. 2

73 2

105 24

8 2

2 105 , 0 .

. 2

105 0

2 105 3

2

1 4 3

B I

P f

A I

P f

x x x

f

La recta tangente a una función en un punto tiene como pendiente el valor de la derivada de la función en ese punto, por lo que las pendientes de las tangentes en los puntos A y B son las siguientes:

( )

( )

    

= − = − = −

=

= = =

⇒ −

=

B B

A A

m m

m f

m

x x x f

8 24 16 2 · 6 2 · 2

0 0 '

6 2 '

2 3

2 3

es y− y₀ =m

(

x−x₀

)

, las ecuaciones de las tangentes pedidas son:

(

0

)

2 105 0

· 0 2 105

0 2 105 , 0

1

1 ≡ − = − ⇒ ≡ − =

⇒     

=    

 

y t x

y t m

A

A

(

)

0 105 16

2

32 16

73 2

; ; 2 ·

8 2 73

8 2 73 , 2

2

2

= − + ≡ ⇒

⇒ +

− = − −

− = − ≡ ⇒     

− =

   

 

t y t

x y

x y

t m

B

B

c ) Justifica en cuántos puntos corta la gráfica de f a los ejes de coordenadas.

Indicación: no es necesario calcular los puntos de corte.

Para justificar los puntos de corte con los ejes tenemos en cuenta que f(x) es con-tinua y derivable en su dominio, que es R.

Por tener un mínimo, carecer de máximo y tener dos puntos de inflexión, el mí-nimo M(3, -12) es absoluto y, en consecuencia, el recorrido de la función es el siguien-te: R

( )

f ⇒

[

−12, +∞

)

.

De lo anterior se deduce que

La función corta al eje X en dos puntos y, lógicamente, al de ordenadas en uno.

1-B) Un hilo de 34 metros se divide en dos trozos para hacer un cuadrado y un rectán-gulo. Sabiendo que la base del rectángulo mide el doble que su altura y que se usa todo el hilo en las figuras geométricas indicadas, hallar las longitudes de los trozos de hilo para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

---

La suma de los perímetros de las dos figuras es 34 metros:

(

)

2 3 17 ;

; 17 2

3 ; ; 34 4

6 4 2 ·

2 x x y x y x y y x

P

Perímetro= = + + = + = + = = −

La superficie total es S_T =S_R +S_C = x x + y = x +

(

− x

)

=S_T 4

3 17 2

· 2

2 2

2

.

La superficie será mínima cuando su derivada sea cero:

(

) ( )

(

)

14 51 0

2 51 7

3 17 2 3 4 3 · 3 17 2 · 4 1 4

' = x+ − x − = x− − x = x− = ⇒ x =

S _T

Sustituyendo el valor de x en la expresión de y, resulta:

y

y = =

− =

− =

28 85 2

14 153 238

2 14

51 · 3 17

Las longitudes de los trozos de hilo son las siguientes:

R

R x metros L

L = = = =

7 153 14

51 · 6

6 ;; L_C = y = = metros =L_C

7 85 28 85 · 4 4

**********

y

2x x

y

BLOQUE 2

2-A) Considera el sistema de ecuaciones lineales

(

)



   

+ = + +

= + − +

= + +

1 1

1

m z y x

m z y m mx

mz y x

, donde m∈R.

a ) Determina el carácter del sistema según los valores de m.

b ) Resuelve el sistema cuando sea compatible determinado.

c ) Modifica solamente un coeficiente de la última ecuación para que el sistema resul-tante sea compatible para cualquier valor de m.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

  

 

  

 

+ −

= 

 

 

  

 

− =

1 1

1 1 1

1 1 1 1 '

1 1 1

1 1 1 1

m m m

m

m M

y m

m

m M

El rango de la matriz de coeficientes en función de m es el siguiente:

(

)

1 0

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1

2 2 2

= ⇒ = − =

= − + − = − − − −

+ + − = −

=

m m

m m m m m

m m

m m

m

m

M

ado Deter

Compatible incóg

n M

Rango M

Rango m

Para ≠1⇒ = '=3= º .⇒ min

{

}

3 ' 0

1 2 1 1 1 2 1 1

1 0 1

1 1 1

' 2

1 1

1 1 1

1 0 1

1 1 1 '

1 1 3

= ⇒

≠ − = − − + = ⇒

⇒ ⇒

= ⇒

  

 

  

  = ⇒

=

M Rango

M Rango C

C M

m Para

le Incompatib M

Rango M

Rango m

b )

Resolvemos en el caso de compatible determinado por la Regla de Cramer:

(

)

(

)

x m

m m

m m

m m

m m

m m m

m

m

m m

m m

m m

m m

m m

m

x

= −

+ − − − = −

− + + − = −

+ − + + + − =

= −

− − − −

+ + + − = −

+

−

=

1 1 2 1

1 2 1

1 2

1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

2 3 2

3 3

2

2 2

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

_m

₍

_m

₎

_y

m m m

m m

m m m

m m

m

m m m

m m

m m m m

m m m

m m m

m

y

= + =

− − +

= −

− =

− − =

= −

− − − + + = −

+ − − − + + +

= −

+ =

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

2 3

2 2

3 2

2

(

)(

)

(

)

(

)

z m

m m

m m m

m m

m

m m m m

m m m

m m

m m m

m

z

= − − = −

− − + − + − =

= −

+ −

− − − + + + −

= −

+ −

=

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 2

c )

Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, basta con que el término independiente de la última ecuación sea 1, con lo cual la matriz ampliada tiene iguales la primera y la cuarta columnas y, en consecuencia, los rangos de la matriz de coeficientes y ampliada tienen el mismo rango, independientemente del valor de m.

(

)

    

= + +

= + − +

= + +

1 1

1 :

z y x

m z y m mx

mz y x Solución

2-B) Considera la matriz

  

 

  

  =

1 0 1 1

2 1

m

m m

A , donde m∈R.

a ) Determina para qué valores de m la matriz A es regular (inversible).

b ) Para m = 2 resuelve los tres sistemas de ecuaciones siguientes: AX =e₁, AY = e₂ y

3

e

AZ = , donde e₁, e₂ y e₃ son respectivamente la primera, segunda y tercera colum-na de la matriz unidad (identidad) de orden tres.

c ) Calcula la matriz B que cumple: AB− A= I 3

1

para m = 2.

(Indicación: con los vectores X, Y y Z del apartado anterior puedes construir A-1). ---

a )

Una matriz es inversible cuando su determinante es distinto de cero:

    

− = = ⇒

= − =

− − +

= =

1 1

0 1 ;

; 0 2 2

1

1 0 1 1

2 1

2 1 2

2 2

m m

m m

m

m

m m A

{

1, 1

}

, ≠ ≠−

∈

∀m R m m

inversible es

A

b )

Este apartado puede resolverse de las dos formas siguientes: Primera forma: Utilizando de matriz inversa de A:

Para m = 2 es

  

 

  

  =

1 0 2

2 1 1

2 2 1

A , ⇒ ⇒

  

 

  

  = =

−

= 2 −1

1 2 2

0 1 2

2 1 1 ,

3 1

2 A A

A T

( )

  

 

  

 

− −

− − =

⇒   

 

  

 

− −

− − =

      

 

      

 

−

− −

−

= −

3 1 3

4 3 2

3 2 3 2 3

1 1

0 1 1

1 4

2

0 3 3

2 2 1

1 2

1 1 0

2 2 1 0

1 2 1

2 2

1 1 1

2 2 1 1

2 2 1

2 2

1 2 1

2 0 2 1

2 0 1

A A

X X e A X e A X I e A X A A e AX =           − =                     − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 2 3 1 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Y Y e A Y e A Y I e A Y A A e AY =           − − =                     − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 4 3 2 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 0 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Z Z e A Z e A Z I e A Z A A e AZ =           − =                     − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 1 3 2 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 0 1 0 0 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Segunda forma: Siendo      = + = + + = + + ⇒           =                     ⇒ = ⇒           = 0 2 0 2 1 2 2 0 0 1 · 1 0 2 2 1 1 2 2 1 · 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x e X A x x x X

Resolviendo por Cramer:

          − − = ⇒ = = − = = − = = 3 4 3 2 3 2 1 1 3 4 3 0 0 2 1 1 1 0 2 1 ; ; 1 3 1 0 2 2 1 1 2 0 1 ; ; 3 2 1 0 0 2 1 1 2 2 0 Y y y A y Siendo      = + = + + = + + ⇒           =                     ⇒ = ⇒           = 0 2 0 2 1 2 2 1 0 0 · 1 0 2 2 1 1 2 2 1 · 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 z z z z z z z z z z z e Z A z z z Z           − = ⇒ − = = = = = = 3 1 3 2 3 2 1 0 3 1 3 1 0 2 0 1 1 0 2 1 ; ; 0 3 1 1 2 2 0 1 2 0 1 ; ; 3 2 1 0 1 2 1 0 2 2 0 Z z z A z c )

(

I A

)

A I B A I A B A I A

AB− = ;; · −3 =3 ;; · =3 +3 =3 +

3 1

Multiplicando por la izquierda por A-1 en la última igualdad, queda:

BLOQUE 3

3-A) Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta. Para las afirmaciones que consideres que son falsas pon un ejemplo ilustrativo.

a ) Si tres vectores u , v y w cumplen u · v = u · w , entonces v = w .

b ) No existen dos vectores v y w cumpliendo v =1, w =2 y v · w =3.

c ) Si tres vectores u , v y w son linealmente independientes, entonces también lo son los vectores u + v , u − v y u − v + w .

--- a )

Es falso.

Por ejemplo, si u =

(

3, −2, 1

)

, v =

(

4, 1, −2

)

y w =

(

3, 0, −1

)

se tiene que:

(

) (

)

(

) (

)

w u v u

w u

v u

· ·

8 1 0 9 1 , 0 , 3 · 1 , 2 , 3 ·

8 2 2 12 2 , 1 , 4 · 1 , 2 , 3 ·

= ⇒

    

= − − = − −

=

= − − = − −

=

w v o emb

Sin arg ≠ . b )

Es cierto.

Teniendo en cuenta que v · w = v · w · cos

α

, siendo

α

el ángulo que

for-man los vectores, sería:

R w

v w

v · = · · cos

α

= 1· 2· cos

α

= 2· cos

α

<3, ∀

α

∈ .

c )

Es cierto.

Vamos a demostrar que lo mismo se cumple con los vectores u + v , u − v y

w v

u − + .

(

)

·

(

) (

·

)

0

· u + v +

β

u − v +

γ

u − v + w =

α

, o también lo siguiente:

(

α

+

β

+

γ

)

· u +

(

α

−

γ

)

· v +

(

−

β

+

γ

)

· w = 0

Como u, v y w son linealmente independientes se tiene que cumplir que:

⇒     

= + −

= −

= + +

0 0 0

λ

β

λ

α

λ

β

α

Sin embargo: 1 1 1 3 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1

≠ − = − − − = −

− , con lo cual la

so-lución única del sistema es la trivial, o sea:

α

=

β

=

γ

=0, lo cual demuestra, en efecto, que los vectores u + v , u − v y u − v + w son linealmente independientes.

3-B) Considera la recta y los planos siguientes:

1 4 2

1 3

2

− − = − = −

− y z

x

, π₁ ≡−3x+2y−z+2=0 y π₂ ≡2x+2y−2z+3=0.

a ) Determina la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos. b ) Determina la posición relativa de los dos planos.

c ) Calcula la distancia de la recta al plano π2.

--- a )

El vector director de la recta es v =

(

−3, 2, −1

)

y los vectores normales de los planos son n1 =

(

−3, 2, −1

)

y n2 =

(

1, 1, −1

)

.

Por ser el vector director de la recta el mismo que el vector normal del plano

π

1, 2

π

plano al

es r recta

la ⊥ .

Observando que v · n2 =

(

−3, 2, −1

) (

· 1, 1, −1

)

=−3+2+1=0, indica que los vectores son perpendiculares y en consecuencia, la recta r es paralela al plano

π

₁. b )

Por ser v · n2 = n1 · n2 =0, los planos

π

1 y

π

2 son perpendiculares.

c )

La distancia entre r y el plano

π

₂ es la misma que la distancia de un punto cual-quiera de la recta al plano. Un punto de la recta r es, por ejemplo, P(2, 1, 4).

Sabiendo que la distancia del punto P0

(

x0, y0

)

al plano genérico de ecuación

0 = + + +

≡ Ax By Cz D

π

es

(

)

2 2 2

0 0 0 0,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π ; aplicándola al punto

(

2, 1, 4

)

P y al plano

π

₂ ≡2x+ 2y −2z+3=0 es:

(

) (

)

( )

₂

(

2

)

2 2 2

2 ,

6 3 12

1 4

4 4

3 8 2 4 2

2 2

3 4 · 2 1 · 2 2 · 2 ,

,

π

d P

π

u d r

π

r

d = = =

+ +

+ − + = −

+ +

+ −

+ =

=