I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
SEPTIEMBRE - 2007
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El examen consta de tres bloques de ejercicios y cada bloque tiene dos opciones. De cada bloque debe escogerse uno sola de las opciones (A o B).
2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.
3.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. BLOQUE 1
1-A) a ) Calcula la expresión analítica de una función f :R→R que verifique las con-diciones siguientes:
a1 )
( )
3 26 2
' x x x
f = − para todo x∈R.
a2 ) El valor mínimo de
{
f( )
x :x∈R}
es −12.b ) Calcula los puntos de inflexión de la función f y en cada uno de ellos determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f.
c ) Justifica en cuántos puntos corta la gráfica de f a los ejes de coordenadas. Indicación: no es necesario calcular los puntos de corte.
--- a )
La función pedida f, según la condición a1) tiene que ser una función primitiva de la función
( )
3 26 2
' x x x
f = − , o sea:
( )
x(
x x)
dx x x C x x C f( )
xf =
∫
− = − + = 4 − 3 + =3 4
2 3
3 2
1 3
6 4 2 ·
6 2
( )
0 2 6 0 ;; 2(
3)
0 0 ;; 3' 1 2
2 2
3 − = − = ⇒ = =
⇒
= x x x x x x
x
f .
( )
(
)
( )
( )
= ⇒
> =
→ = ⇒
− =
− =
3 0
18 3 ' '
) inf
( 0 0 ' '
2 6
12 6
'
' 2
x para Mínimo
f
lexión de
punto para
f
x x x x
x f
Por ser -12 el valor de la función en el mínimo, tiene que cumplirse que f
( )
3 =12:( )
C C C Cf = − + = − + = = + = =
2 105 2
81 12 ;
; 12 3
· 2 1 ; ; 12 3
· 3 3 · 2 1
3 4 3 4
( )
2 105 3
2
1 4 − 3 +
= x x
x f
b )
Para que exista un punto de inflexión es condición necesaria que se anule la se-gunda derivada y que, para esos valores no se anule la tercera derivada.
( )
6 12 6(
2)
0 ;; 2'
' 1 2
2 − = − ⇒ = =
= x x x x x x
x f
( )
(
)
( )
( )
= →
≠ =
= →
≠ − = ⇒
− =
− =
2 .
. 0
12 2 ' ' '
0 .
. 0
12 0
' ' '
1 12 12 12 '
' '
x para I
P f
x para I
P f
x x
x f
( )
( )
( )
⇒ →
= +
− =
⇒ →
=
⇒ +
− =
2 73 , 2 .
. 2
73 2
105 24
8 2
2 105 , 0 .
. 2
105 0
2 105 3
2
1 4 3
B I
P f
A I
P f
x x x
f
La recta tangente a una función en un punto tiene como pendiente el valor de la derivada de la función en ese punto, por lo que las pendientes de las tangentes en los puntos A y B son las siguientes:
( )
( )
= − = − = −
=
= = =
⇒ −
=
B B
A A
m m
m f
m
x x x f
8 24 16 2 · 6 2 · 2
0 0 '
6 2 '
2 3
2 3
es y− y0 =m
(
x−x0)
, las ecuaciones de las tangentes pedidas son:(
0)
2 105 0· 0 2 105
0 2 105 , 0
1
1 ≡ − = − ⇒ ≡ − =
⇒
=
y t x
y t m
A
A
(
)
0 105 16
2
32 16
73 2
; ; 2 ·
8 2 73
8 2 73 , 2
2
2
= − + ≡ ⇒
⇒ +
− = − −
− = − ≡ ⇒
− =
t y t
x y
x y
t m
B
B
c ) Justifica en cuántos puntos corta la gráfica de f a los ejes de coordenadas.
Indicación: no es necesario calcular los puntos de corte.
Para justificar los puntos de corte con los ejes tenemos en cuenta que f(x) es con-tinua y derivable en su dominio, que es R.
Por tener un mínimo, carecer de máximo y tener dos puntos de inflexión, el mí-nimo M(3, -12) es absoluto y, en consecuencia, el recorrido de la función es el siguien-te: R
( )
f ⇒[
−12, +∞)
.De lo anterior se deduce que
La función corta al eje X en dos puntos y, lógicamente, al de ordenadas en uno.
1-B) Un hilo de 34 metros se divide en dos trozos para hacer un cuadrado y un rectán-gulo. Sabiendo que la base del rectángulo mide el doble que su altura y que se usa todo el hilo en las figuras geométricas indicadas, hallar las longitudes de los trozos de hilo para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.
---
La suma de los perímetros de las dos figuras es 34 metros:
(
)
2 3 17 ;
; 17 2
3 ; ; 34 4
6 4 2 ·
2 x x y x y x y y x
P
Perímetro= = + + = + = + = = −
La superficie total es ST =SR +SC = x x + y = x +
(
− x)
=ST 43 17 2
· 2
2 2
2
.
La superficie será mínima cuando su derivada sea cero:
(
) ( )
(
)
14 51 0
2 51 7
3 17 2 3 4 3 · 3 17 2 · 4 1 4
' = x+ − x − = x− − x = x− = ⇒ x =
S T
Sustituyendo el valor de x en la expresión de y, resulta:
y
y = =
− =
− =
28 85 2
14 153 238
2 14
51 · 3 17
Las longitudes de los trozos de hilo son las siguientes:
R
R x metros L
L = = = =
7 153 14
51 · 6
6 ;; LC = y = = metros =LC
7 85 28 85 · 4 4
**********
y
2x x
y
BLOQUE 2
2-A) Considera el sistema de ecuaciones lineales
(
)
+ = + +
= + − +
= + +
1 1
1
m z y x
m z y m mx
mz y x
, donde m∈R.
a ) Determina el carácter del sistema según los valores de m.
b ) Resuelve el sistema cuando sea compatible determinado.
c ) Modifica solamente un coeficiente de la última ecuación para que el sistema resul-tante sea compatible para cualquier valor de m.
--- a )
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
+ −
=
− =
1 1
1 1 1
1 1 1 1 '
1 1 1
1 1 1 1
m m m
m
m M
y m
m
m M
El rango de la matriz de coeficientes en función de m es el siguiente:
(
)
1 0
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
2 2 2
= ⇒ = − =
= − + − = − − − −
+ + − = −
=
m m
m m m m m
m m
m m
m
m
M
ado Deter
Compatible incóg
n M
Rango M
Rango m
Para ≠1⇒ = '=3= º .⇒ min
{
}
3 ' 0
1 2 1 1 1 2 1 1
1 0 1
1 1 1
' 2
1 1
1 1 1
1 0 1
1 1 1 '
1 1 3
= ⇒
≠ − = − − + = ⇒
⇒ ⇒
= ⇒
= ⇒
=
M Rango
M Rango C
C M
m Para
le Incompatib M
Rango M
Rango m
b )
Resolvemos en el caso de compatible determinado por la Regla de Cramer:
(
)
(
)
x m
m m
m m
m m
m m
m m m
m
m
m m
m m
m m
m m
m m
m
x
= −
+ − − − = −
− + + − = −
+ − + + + − =
= −
− − − −
+ + + − = −
+
−
=
1 1 2 1
1 2 1
1 2
1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
2 3 2
3 3
2
2 2
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
m(
m)
ym m m
m m
m m m
m m
m
m m m
m m
m m m m
m m m
m m m
m
y
= + =
− − +
= −
− =
− − =
= −
− − − + + = −
+ − − − + + +
= −
+ =
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
2 3
2 2
3 2
2
(
)(
)
(
)
(
)
z m
m m
m m m
m m
m
m m m m
m m m
m m
m m m
m
z
= − − = −
− − + − + − =
= −
+ −
− − − + + + −
= −
+ −
=
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1
1
2 2
c )
Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, basta con que el término independiente de la última ecuación sea 1, con lo cual la matriz ampliada tiene iguales la primera y la cuarta columnas y, en consecuencia, los rangos de la matriz de coeficientes y ampliada tienen el mismo rango, independientemente del valor de m.
(
)
= + +
= + − +
= + +
1 1
1 :
z y x
m z y m mx
mz y x Solución
2-B) Considera la matriz
=
1 0 1 1
2 1
m
m m
A , donde m∈R.
a ) Determina para qué valores de m la matriz A es regular (inversible).
b ) Para m = 2 resuelve los tres sistemas de ecuaciones siguientes: AX =e1, AY = e2 y
3
e
AZ = , donde e1, e2 y e3 son respectivamente la primera, segunda y tercera colum-na de la matriz unidad (identidad) de orden tres.
c ) Calcula la matriz B que cumple: AB− A= I 3
1
para m = 2.
(Indicación: con los vectores X, Y y Z del apartado anterior puedes construir A-1). ---
a )
Una matriz es inversible cuando su determinante es distinto de cero:
− = = ⇒
= − =
− − +
= =
1 1
0 1 ;
; 0 2 2
1
1 0 1 1
2 1
2 1 2
2 2
m m
m m
m
m
m m A
{
1, 1}
, ≠ ≠−
∈
∀m R m m
inversible es
A
b )
Este apartado puede resolverse de las dos formas siguientes: Primera forma: Utilizando de matriz inversa de A:
Para m = 2 es
=
1 0 2
2 1 1
2 2 1
A , ⇒ ⇒
= =
−
= 2 −1
1 2 2
0 1 2
2 1 1 ,
3 1
2 A A
A T
( )
− −
− − =
⇒
− −
− − =
−
− −
−
= −
3 1 3
4 3 2
3 2 3 2 3
1 1
0 1 1
1 4
2
0 3 3
2 2 1
1 2
1 1 0
2 2 1 0
1 2 1
2 2
1 1 1
2 2 1 1
2 2 1
2 2
1 2 1
2 0 2 1
2 0 1
A A
X X e A X e A X I e A X A A e AX = − = − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 2 3 1 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Y Y e A Y e A Y I e A Y A A e AY = − − = − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 4 3 2 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 0 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Z Z e A Z e A Z I e A Z A A e AZ = − = − − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = − − − − 3 1 3 2 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 0 1 0 0 · 0 1 1 · · · ; ; · · · ; ; Segunda forma: Siendo = + = + + = + + ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0 2 0 2 1 2 2 0 0 1 · 1 0 2 2 1 1 2 2 1 · 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x e X A x x x X
Resolviendo por Cramer:
− − = ⇒ = = − = = − = = 3 4 3 2 3 2 1 1 3 4 3 0 0 2 1 1 1 0 2 1 ; ; 1 3 1 0 2 2 1 1 2 0 1 ; ; 3 2 1 0 0 2 1 1 2 2 0 Y y y A y Siendo = + = + + = + + ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0 2 0 2 1 2 2 1 0 0 · 1 0 2 2 1 1 2 2 1 · 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 z z z z z z z z z z z e Z A z z z Z − = ⇒ − = = = = = = 3 1 3 2 3 2 1 0 3 1 3 1 0 2 0 1 1 0 2 1 ; ; 0 3 1 1 2 2 0 1 2 0 1 ; ; 3 2 1 0 1 2 1 0 2 2 0 Z z z A z c )
(
I A)
A I B A I A B A I A
AB− = ;; · −3 =3 ;; · =3 +3 =3 +
3 1
Multiplicando por la izquierda por A-1 en la última igualdad, queda:
BLOQUE 3
3-A) Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta. Para las afirmaciones que consideres que son falsas pon un ejemplo ilustrativo.
a ) Si tres vectores u , v y w cumplen u · v = u · w , entonces v = w .
b ) No existen dos vectores v y w cumpliendo v =1, w =2 y v · w =3.
c ) Si tres vectores u , v y w son linealmente independientes, entonces también lo son los vectores u + v , u − v y u − v + w .
--- a )
Es falso.
Por ejemplo, si u =
(
3, −2, 1)
, v =(
4, 1, −2)
y w =(
3, 0, −1)
se tiene que:(
) (
)
(
) (
)
w u v u
w u
v u
· ·
8 1 0 9 1 , 0 , 3 · 1 , 2 , 3 ·
8 2 2 12 2 , 1 , 4 · 1 , 2 , 3 ·
= ⇒
= − − = − −
=
= − − = − −
=
w v o emb
Sin arg ≠ . b )
Es cierto.
Teniendo en cuenta que v · w = v · w · cos
α
, siendoα
el ángulo quefor-man los vectores, sería:
R w
v w
v · = · · cos
α
= 1· 2· cosα
= 2· cosα
<3, ∀α
∈ .c )
Es cierto.
Vamos a demostrar que lo mismo se cumple con los vectores u + v , u − v y
w v
u − + .
(
)
·(
) (
·)
0· u + v +
β
u − v +γ
u − v + w =α
, o también lo siguiente:(
α
+β
+γ
)
· u +(
α
−γ
)
· v +(
−β
+γ
)
· w = 0Como u, v y w son linealmente independientes se tiene que cumplir que:
⇒
= + −
= −
= + +
0 0 0
λ
β
λ
α
λ
β
α
Sin embargo: 1 1 1 3 0
1 1 0
1 0 1
1 1 1
≠ − = − − − = −
− , con lo cual la
so-lución única del sistema es la trivial, o sea:
α
=β
=γ
=0, lo cual demuestra, en efecto, que los vectores u + v , u − v y u − v + w son linealmente independientes.3-B) Considera la recta y los planos siguientes:
1 4 2
1 3
2
− − = − = −
− y z
x
, π1 ≡−3x+2y−z+2=0 y π2 ≡2x+2y−2z+3=0.
a ) Determina la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos. b ) Determina la posición relativa de los dos planos.
c ) Calcula la distancia de la recta al plano π2.
--- a )
El vector director de la recta es v =
(
−3, 2, −1)
y los vectores normales de los planos son n1 =(
−3, 2, −1)
y n2 =(
1, 1, −1)
.Por ser el vector director de la recta el mismo que el vector normal del plano
π
1, 2π
plano al
es r recta
la ⊥ .
Observando que v · n2 =
(
−3, 2, −1) (
· 1, 1, −1)
=−3+2+1=0, indica que los vectores son perpendiculares y en consecuencia, la recta r es paralela al planoπ
1. b )Por ser v · n2 = n1 · n2 =0, los planos
π
1 yπ
2 son perpendiculares.c )
La distancia entre r y el plano
π
2 es la misma que la distancia de un punto cual-quiera de la recta al plano. Un punto de la recta r es, por ejemplo, P(2, 1, 4).Sabiendo que la distancia del punto P0
(
x0, y0)
al plano genérico de ecuación0 = + + +
≡ Ax By Cz D
π
es(
)
2 2 2
0 0 0 0,
C B A
D Cz By Ax P
d
+ +
+ + + =
π ; aplicándola al punto
(
2, 1, 4)
P y al plano
π
2 ≡2x+ 2y −2z+3=0 es:(
) (
)
( )
2(
2)
2 2 2
2 ,
6 3 12
1 4
4 4
3 8 2 4 2
2 2
3 4 · 2 1 · 2 2 · 2 ,
,
π
d Pπ
u d rπ
r
d = = =
+ +
+ − + = −
+ +
+ −
+ =
=