No es razonable concluir que la media poblacional sea 2.2cm con un nivel de confianza del 95, ya que este valor no pertenece

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JUNIO 2016

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2

2.

.0

01

16

6

O

OppcciióónnAA

1

1..- - Dadas las matrices: A = (21 11

-2 3); B = ( -1 4 -3 1

0 4

) y C = (-2 -20 3

-1 0

).

a) Realiza la siguiente operación: (A−B)·CT (donde CT es la matriz transpuesta de C).

b) Explica la razón por la cual las dos matrices siguientes no tienen inversa: M = (-1 0 -1

0 2 0) y N = (

-2 0 -2

1 -1 0

2 4 6

)

A - B = (21 11 -2 3)-(

-1 4 -3 1

0 4)=( 3 -3

4 0

-2 -1) Ct = (-2 0 -1

-2 3 0)

→ (A - B)· Ct= (34 -30 -2 -1)·

(-2 0 -1 -2 3 0)=(

0 -9 -3 -8 0 -4 6 -3 2)

Para que una matriz tenga inversa tiene que ser cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero. En el caso de la matriz M no tiene inversa ya que la matriz no es cuadrada, sino de orden 2x3. La matriz N sí es cuadrada, vamos a estudiar su determinante:

|N| = |-21 -10 -20 2 4 6|=0 Por este motivo no tiene inversa, porque su determinante es nulo.

2

2..-- Cierto dulce tradicional está compuesto exclusivamente por tres ingredientes: harina de trigo, huevo y miel. El porcentaje de

harina es el triple de la suma de los porcentajes de los otros dos ingredientes. Además, la diferencia entre el porcentaje de harina y el de huevo es seis veces el porcentaje de miel.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el porcentaje de cada ingrediente en este dulce.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

X = % harina de trigo Y = % huevo Z = % miel

{

x + y + z = 100 x = 3(y + z)

x - y = 6z → {

x + y + z = 100 x - 3y - 3z = 0

x - y - 6z = 0 → (

1 1 1

1 -3 -3 1 -1 -6

100 0 0 ) →

E2=E1-E2 E3=E1-E3

→ (1 1 10 4 4 0 2 7

100 100

100) →E3=E2-2E3→ (

1 1 1

0 4 4

0 0 -10 100 100 -100)

→ {x + y + z = 100 4y + 4z = 100 -10z = -100

z = 10 y = 15 x = 75

Por tanto, el porcentaje de harina es del 75%, el de huevo del 15% y el de miel del 10%.

3

3..-- Se considera la función f(x)= {t

2+ t - 5x si x≤1

(x-3)2 + t si x>1

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 1?

b) Para t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (1,+∞).

c) Para t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (1,+∞).

Para que sea continua en x=1:

lim

x → 1-f(x)=x lim→ 1+f(x)=f(1)→ {

lim

x → 1-f(x)=t 2+t-5

lim

x → 1+f(x)= 4+t

f(1)= t2+t-5

→ t2+t-5 = 4+tt = ±3

Para t=0 en el intervalo (1, +∞), la función toma el valor: f(x) = (x – 3)2. Se trata de una parábola con vértice en (3, 0), por

tanto tiene un mínimo en (3, 0). Siendo los intervalos de crecimiento:

 Crece: (3, +∞)

 Decrece: (1, 3)

4

4..-- De la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sabemos que tiene un máximo relativo en el punto (1,2) y que tiene un punto de

inflexión en el punto (0,0). Con estos datos, halla los valores de los parámetros a, b, c y d.

Si tiene un máximo relativo en (1,2) significa que f’(1) = 0 y que f(1) = 2:  f’(x)= 3ax2 + 2bx + c 3a + 2b + c = 0

(2)

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha  f’’(x)= 6ax + 2b  2b = 0 b = 0

d = 0

Sabiendo ya los coeficientes b y d, podemos calcular a y c mediante un sistema:

{3aa++cc==20→ {a=2 - c→ {6 - 3c+c=0→ c = 3 a = -1

Por lo que la función queda: f(x) = -x3 + 3x

5

5..-- En una empresa de Toledo se producen dos modelos de vajillas: A y B. El 10% de las vajillas son del modelo A y el 90% del

modelo B. La probabilidad de que una vajilla del modelo A sea defectuosa es 0.02 y de que una vajilla del modelo B sea defectuosa es 0.01.

a) Elegida una vajilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

b) Se escoge al azar una vajilla y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo A?

 Suceso A = “modelo A”  P(A) = 0.1  Suceso B = “modelo B”  P(B) = 0.9

 P (D⁄ )A = 0.02

 P (D⁄ )B = 0.01

La probabilidad de que sea defectuosa: P(D)

P(D) = P(A) ·P(D⁄ ) A + P(B) ·P(D⁄ ) B = 0.1·0.02+ 0.9·0.01 →P(D) = 0.011

La probabilidad de que sea defectuosa: P(A⁄ )D

P(A⁄ ) D = P(PA∩D) (D) =

P(D⁄ )A ·P(A) P(D) =

0.02·0.1

0.011 →P(D) = 0.18

6

6..-- La longitud de un determinado insecto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ = 0.52

centímetros. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 40 y se calcula la media muestral, siendo esta igual a 2.47 centímetros.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%.

b) ¿Es razonable que la media de la longitud del insecto sea μ = 2.2, con un nivel de confianza del 95 %? Obtén un valor

razonable para la media de la longitud de este insecto μ con ese mismo nivel de confianza. Razona tus respuestas.

Nos piden un IC para la media de una población normal con desviación típica conocida: x̅± Zα

2

⁄·

σ

√n

Para calcular el valor de Z/2, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.95, le corresponde un nivel de

significación  = 0.05. Como el valor correspondiente a P(Z <0.025) no aparece en la tabla: P(Z<0.025) = 1 – P(Z<0.975)

Es decir, el valor buscado es 1.96. Por tanto, el IC pedido es:

(x̅±Zα

2

⁄· σ

√n) = (2.47 ± 1.96 · 0.52

√40) =(2.30, 2.63)

No es razonable concluir que la media poblacional sea 2.2cm con un nivel de confianza del 95%, ya que este valor no pertenece al intervalo que hemos calculado a un nivel de significación del 5%.

Cualquier valor que esté dentro del intervalo calculado será un valor razonable para la media de la longitud del insecto.

0.1 A

D D 0.02

0.98

B D

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JUNIO 2016

O

OppcciióónnBB

1

1..-- Un aficionado a la artesanía dedica su tiempo libre a decorar botijos y jarrones. Cada mes decora un máximo de 10 botijos y

un máximo de 10 jarrones. Dedica una hora a decorar un botijo y 2 horas a decorar un jarrón. Puede dedicar cada mes un máximo de 24 horas a esta afición. Vende toda su producción mensual, y cobra 6 euros por cada botijo y 18 euros por cada jarrón. Se propone obtener el máximo beneficio mensual posible con las condiciones mencionadas.

a) Expresa la función objetivo.

b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

c) Halla el número de botijos y jarrones que debe decorar cada mes para obtener un beneficio máximo e indica a

cuánto asciende ese beneficio máximo.

x: nº de botijos y: nº de jarrones

La función objetivo viene dada por: B(x, y) = 6x + 18y

Restricciones

{0 ≤ x ≤ 100 ≤ y ≤ 10 x + 2y ≤ 24→ {

10 + 2y = 24 →(10, 7)

x + 20 = 24 →(4, 10)

Para obtener el beneficio máximo:  B(0, 0) = 0€

 B(0, 10) = 180€  B(4, 10) = 204€  B(10, 7) = 186€  B(10, 0) = 60€

Por tanto, el beneficio máximo asciende a 204€. Y para ello debe decorar 4 botijos y 10 jarrones.

2

2..-- Los precios de mis tres frutos secos favoritos son: almendras a 6 euros/kg; avellanas a 16 euros/kg y cacahuetes a 10

euros/kg. En el supermercado he tomado algunos kilos de cada uno de estos frutos secos y he llenado una caja de 9 kilos, por la que he pagado 90 euros. En esta caja, la suma de los kilos de avellanas más los de cacahuetes es igual al doble de los kilos de almendras.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos kilos de cada fruto seco he comprado.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

 x = kg almendras  y = kg avellanas  z = kg cacahuetes

{

x + y + z = 9 6x + 16y + 10z = 90 2x = y + z

→ {

x + y + z = 9 6x + 16y + 10z = 90 2x - y -z = 0

→ (16 16 101 1 2 -1 -1

9 90

0) →E2=E2-6E1E3=2E1-E3→ (

1 1 1

0 10 4 0 3 3

9 36

18) →E3=3E2-10E3

→ (10 101 14 0 0 -18

9 54 -72) → {

x + y + z = 9 10y + 4z = 54 -18z = -18

z = 4y = 2x = 3

Es decir, he comprado 3 kg de almendras, 2 kg de avellanas y 4 kg de cacahuetes.

3

3..-- Se considera la función f(x)= {(x-t)

2

si x<0 1 si x=0

(x-1)2 si x>0

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 0.

b) Para t = −1, representa gráficamente la función f.

Para que sea continua:

lim

x → 0-f(x)=x lim→ 0+f(x)=f(0) → {

lim

x → 0-f(x)=x lim→ 0-(x-t) 2

= t2

lim

x → 0+f(x)=x lim→ 0+(x-1)

2 =

1

f(0)= 1

Es decir, f(x) es continua en x = 0 para t = ±1.

10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 – 0 – 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 –

B (0, 10)

A (0, 0)

C (4, 10)

(4)

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha

Para t = -1, la función queda: f(x)= {

(x+1)2 si x<0 1 si x=0 (x-1)2 si x>0

f(x) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 f(x) = (x - 1)2 = x2 - 2x + 1

 Vértice:

 Vx= -b2a=-22  Vy= -1

 (-1, 0)  Cortes con eje y:

(0, 1)

 Vértice:

 Vx= -b 2a=

2

2 Vy= 1

 (1, 0)  Cortes con eje y:

(0, 1)

4

4..-- Al comenzar el año ponemos en marcha el estudio de la evolución de la población de un tipo de insectos. Hemos llegado a la

conclusión de que esa población se ajusta a la función: f(x) = -301x4 + 2

5x

3 + 7 donde x está en meses, con 0 x 12 y f(x) está

en decenas de individuos.

a) Calcula cuántos insectos tenemos al comenzar el estudio (x = 0) y cuántos al terminarlo (x = 12).

b) Determina en qué intervalo la población crece y en cuál decrece.

c) Determina en qué momento la población de insectos es máxima y a cuántos individuos asciende.

Al comenzar el estudio tendremos:

 f(0) = 7 decenas de insectos = 70 insectos

Al finalizar el estudio:

 f(12) = 70 insectos

Para estudiar el crecimiento de la función, trabajamos con la primera derivada:

 f’(x) = -152x3+ 6 5x

2 f’(x) = 0 -2 15x

3+ 6 5x

2 = 0 x2(-2 15x+

6

5) = 0 → { x1 = 0

x2 = 9

 El primer intervalo no hace falta estudiarlo ya que no pertenece al dominio de la función. Por tanto, la función es creciente en (0, 9) y decreciente en (9, +).

La población será máxima para los valores de x e y dónde exista un máximo: (9, 799), es decir, en el noveno mes habrá 799 insectos, que es el número máximo de insectos que habrá en un año.

5

5..-- Se sabe que una máquina determinada tiene una probabilidad de tener una avería de 0.1. Tenemos una empresa con 4

máquinas como las anteriores que funcionan de forma independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro tengan una avería?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga una avería?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas tenga una avería?

La variable X: “que una máquina tenga una avería”, sigue una distribución binomial de tamaño 4 y probabilidad de éxito 0.1:

B ~(4, 0.1).

La probabilidad de que las cuatro tengan una avería:

P(X=4) = (44)·0.14·0.90P(X=4) = 0.001

La probabilidad de que ninguna esté averiada:

P(X=0) = (40)·0.10·0.94P(X=0) = 0.6561

La probabilidad de que al menos una tenga una avería:

P(X≥1) = 1 - P(X<1) = 1 - [P(X=0)] = 1 - 0.6561→ P(X≥1) = 0.3439

– – – – – – 1 – – – – –

– – –

-1

– – –

1

– – – –

| 9

f’(1) >0 f’(10) <0 |

(5)

JUNIO 2016

6

6..-- Se sabe que las puntuaciones de los alumnos en la PAEG siguen una distribución normal de desviación típica σ = 1. Los

siguientes datos representan las puntuaciones de 15 alumnos elegidos al azar: 7.8, 6.8, 6.7, 6.2, 7.4, 8.1, 5.9, 6.9, 7.5, 8.3, 7.5, 7.1, 6.1, 7.0 y 7.5.

a) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional de la puntuación en la PAEG con un nivel de

confianza del 97%.

b) ¿Sería razonable pensar que esta muestra proviene de una población normal con media μ= 6 con un nivel de

confianza del 97%? ¿Y con un nivel de significación igual a 0.08? Razona tus respuestas.

Nos piden el intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica conocida, es decir: IC = (x̅ ±Zα

2

⁄·

σ

√n).

Nos hace falta la media:

x̅ =7.8+6.8+6.7+6.2+7.4+8.1+5.9+6.9+7.5+8.3+7.5+7.1+6.1+7+7.5

15 →x̅ = 7.12

Para calcular el valor de Z/2, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.97, le corresponde un nivel de

significación  = 0.03. Como el valor correspondiente a P(Z <0.015) no aparece en la tabla: P(Z<0.015) = 1 – P(Z<0.985)

Es decir, el valor buscado es Z/2 = 2.17. Por tanto:

IC =(x̅ ±Zα

2

⁄· σ

√n) = (7.12 ±2.17 · 1

√15) → IC =(6.55, 7.68)

No sería razonable decir que la media poblacional sea 6, ya que está fuera del intervalo calculado para un nivel de confianza del 97%. Si el nivel de significación aumenta hasta 0.08, el valor de Z/2 disminuiría, por lo que el intervalo sería más estrecho, por

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