PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE – 2010 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

SEPTIEMBRE – 2010 (GENERAL)

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

OPCIÓN A

1º) Determine la ecuación en forma continua de la recta r que pasa por el punto

(

1, 1, 1

)

P y es paralela a la recta r1 de ecuaciones implícitas:   

= − −

= + − + − ≡

0 3 2

0 12 3

1

z y x

r .

Expresar la recta r de forma vectorial, por unas ecuaciones paramétricas y por unas ecuaciones implícitas.

---

El vector director de la recta r1 es cualquier vector que sea linealmente dependien-te del vector resultandependien-te del producto vectorial de los dos vectores normales de los planos que la determinan, que son n1 =

(

−3, 1, −1

)

y n2 =

(

1, −2, −3

)

:

3 6 2 9 5 10 5

(

5, 10, 5

)

3 2 1

1 1 3

' 1 2 =− − + − − − = − − + = − −

− −

= ∧

= i j k k i j i j k

k j i n

n

u .

Un vector director de r1 es u =

(

1, 2, −1

)

.

La recta r expresada de las formas que se pide es: Forma vectorial:

(

, ,

) (

= 1, 1, 1

) (

+ 1, 2, −1

)

≡ x y z λ

r

Por unas ecuaciones paramétricas:

    

− =

+ =

+ = ≡

λ λ λ

1 2 1 1

(2)

Por unas ecuaciones implícitas:

  

− = + −

− = − ≡ −

− = − = − ≡

1 1

1 2

2 ;

; 1

1 2

1 1

1

z x

y x

r z

y x

r .

  

= − +

= − − ≡

0 2

0 1 2

z x

y x r

(3)

2º) Calcule los valores reales de m para los cuales la matriz           = 1 2 2 0 0 1 2 3 m m

A no tenga

inversa. Si m = 2 calcule, si es posible, la inversa de la matriz A y resuelva el sistema de

ecuaciones           =           −           0 0 0 3 2 1 · z y x A . ---

Una matriz carece de inversa cuando su determinante es cero.

= − ± = = + − = − + = = 2 12 16 4 ; ; 0 3 4 ; ; 0 4 3 1 2 2 0 0 1 2 2 2 3 m m m m m m m A 3 ; ; 1 1 2 2 2 4 2 4 4 2

1 = =

⇒ ± = ± = ±

= m m .

La matriz A no tiene inversa para los valores m = 1 y m = 3.

Para m = 2 la matriz A es

          = 1 2 2 2 0 0 1 2 2 3

A y su inversa la hallamos a continuación.

1 3 8 4 3 2 · 4 2 ; ; 1 2 0 2 2 1 0 2 2 2 3 − = + − = + − =           = A

AT .

          − − − − = ⇒           − − − − − =                   − − − − = − 4 3 4 2 3 2 1 2 4 3 4 2 3 2 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 2 0 2 0 0 2 1 0 2 1 2 0 2 0 2 1 1 0 2 1 1 2 2 2 2 5 1 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 A A Adj t .

Resolvemos la ecuación:

          =                     =           −           3 2 1 · ; ; 0 0 0 3 2 1 · z y x A z y x A .

(4)

⇒   

 

  

  =

  

 

  

 

  

 

  

  =

  

 

  

 

  

 

  

  =

  

 

  

 

− −

3 2 1

· ;

; 3 2 1

· ·

; ; 3 2 1

· ·

· 1 1 1

1

A z y x

I A

z y x

A A

4 ;

; 5 ; ; 2 4

5 2

12 5 3

12 4 3

6 2 2

3 2 1 · 4 3

4 2 3

2 1 2

2 5

− = =

− = ⇒   

 

  

 

− − =   

 

  

 

− +

+ − −

− + =   

 

  

 

  

 

  

 

− − −

− =

  

 

  

 

z y

x z

y x

.

(5)

3º) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente fun-ción: f

( ) (

x = x−3

) (

4 x−1

)

.

---

Una función es creciente o decreciente cuando lo es su primera derivada:

( ) (

= 4 −3

) (

−1

) (

+ −3

)

·1=

(

−3

) (

[

4 −1

) (

+ −3

)

]

=

(

−3

) (

4 −4+ −3

)

=

' x x 3 x x 4 x 3 x x x 3 x x

f

(

x−3

) (

3 5x−7

)

= f'

( )

x

= .

( )

0

(

3

) (

5 7

)

;; ;; 3

' 5 2

7 3

= =

− −

⇒

= x x x x

x

f .

Por ser f(x) polinómica es continua en su dominio, que es R, por lo cual los valo-res que anulan su derivada dividen el dominio en tvalo-res intervalos alternativos de creci-miento y decrecicreci-miento. Para diferenciarlos estudiamos un valor sencillo de uno los in-tervalos, por ejemplo, para x = 0, que es f'

( ) (

0 = 0−3

) (

3 0−7

)

>0.

Teniendo en cuenta lo anterior los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

(

) (

)

f

( )

x Creciente x

Para ∈ −∞, 5 ∪ 3, +∞ ⇒ ' >0 ⇒

7

(

)

f

( )

x Decreciente x

Para ∈ ₅7, 3 ⇒ ' <0 ⇒

Una función tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) para los valores que anulan la primera derivada; para diferenciar los máximos de los mínimos se recurre a la segunda derivada: según que sea negativa o positiva para los valores que anulan la pri-mera, se tratará de un máximo o de un mínimo, respectivamente.

( ) (

=3 −3

) (

5 −7

) (

+ −3

)

·5=

(

−3

) (

[

35 −7

) (

+5 −3

)

]

=

'

' x x 2 x x 3 x 2 x x

f

(

x−3

) (

2 15x−21+5x−15

) (

= x−3

) (

2 20x−36

) (

=4 x−3

) (

2 5x−9

)

= f''

( )

x

= .

( ) (

) (

)

5

7 5

7 2 5 7 5

7 ₄ ₃ ₅ _· ₉ ₀

'

' = − − < ⇒ Máximo para x=

f .

( )



  

  ⇒

=             − =      

−      

−

= 13₅ 13₅

4 4

5 7

5 2 , 5 7 : 5

2 5 2 5 8 1

5 7 3 5 7

A relativo Máximo

f .

( ) (

3 ₌4 3₋3

) (

5· ₋9

)

₌0 ⇒

'

' 2 7₅

f No hay ni máximo ni mínimo relativo para x = 3.

(6)

( )

0 4

(

3

) (

5 9

)

0 ;; 3 '

' _x = ⇒ _x− 2 _x− = ⇒ _x = ₅9 _x₂ =

f

( )

=4

[

2

(

−3

)(

5 −9

) (

+ −3

)

·5

]

=4

(

−3

) (

[

2 5 −9

) (

+ −3

)

· 5

]

=

' '

' x x x x 2 x x x

f

(

x 3

)(

10x 18 5x 15

) (

4 x 3

)(

15x 33

)

12

(

x 3

)(

5x 11

)

f'''

( )

x

4 − − + − = − − = − − =

= .

( )

(

)(

)

5

9 5

9 ₁₂ ₃ ₅ _· ₁₁ ₀ _inf

' '

' = − − ≠ ⇒ Punto de lexión para x=

f .

( )



  

  ⇒

=            

− =      

−      

−

= 5 ₅ 4 5 ₅ 4

4 4

5 9

5 3 · 2 , 5 9 : inf

5 3 · 2 5 4 5 6 1

5 9 3 5 9

B lexión Punto

f ,

( )

3 12

(

3 3

)(

5· 3 11

)

0 inf 3

' '

' = − − = ⇒ No hay Punto de lexión para x =

f .

Una función es cóncava

( )

∩ o convexa

( )

∪ en un intervalo cuando su segunda derivada es negativa o positiva, respectivamente.

Por ser f(x) polinómica es continua en su dominio, que es R, por lo cual los valo-res que anulan su segunda derivada

(

5 2 3

)

9

1 = y x =

x dividen el dominio en tres interva-los alternativos de concavidad y convexidad. Para diferenciarinterva-los estudiamos un valor sencillo de uno los intervalos, por ejemplo, para x = 0, que es f'

( ) (

0 =4 0−3

) (

2 0−9

)

<0.

Teniendo en cuenta lo anterior los intervalos de concavidad y convexidad son:

(

₋_∞

) (

_∪ ₊_∞

)

⇒

( )

_< ⇒

( )

∩

∈ f x Concavidad

x

Para , ₅9 3, '' 0

(

)

⇒

( )

_> ⇒

( )

∪

∈ f x Convexidad

x

Para 5, 3 '' 0

9

(7)

4º) Haga un dibujo del recinto limitado por las parábolas y= x2 −6x e 2

2x x

y = − . Cal-cule el área de ese recinto.

---

Los puntos de corte de cada parábola con los ejes son los siguientes:

(

₋

)

₌ ⇒ ⇒

= −

= x2 6x 0 x x 6 0

y

(

)

(

)

    → = → = ⇒ 0 , 6 6 0 , 0 0 2 1 A x O x .

(

₋

)

₌ ⇒ ⇒ = −

=2 2 0 2 0

x x x x y

(

)

(

)

    → = → = ⇒ 0 , 2 2 0 , 0 0 2 1 B x O x .

Los puntos de corte de las dos funciones se obtienen igualándolas:

(

₋

)

₌ ⇒ = − − =

−6 2 2 ;; 2 2 8 0 ;; 2 4 0

2 x x x x x x x x

( )

(

)

     − → = → = ⇒ 8 , 4 4 0 , 0 0 2 1 C x O x .

Los vértices de las parábolas son los siguientes:

( )

(

)

     − ⇒ = ⇒ > = − = − = − = ⇒ = → = − = ⇒ − = 9 , 3 3 0 2 '' 9 18 9 3 · 6 3 3 3 0 6 2 ' 6 2 2 D x para Mìnimo x f f x x x f x x x f

( )

     ⇒ = ⇒ < − = = − = − = ⇒ = → = − = ⇒ − = 1 , 1 1 0 2 '' 1 1 2 1 1 · 2 1 1 0 2 2 ' 2 2 2 E x para Máximo x g g x x x g x x x g

La representación gráfica de la situación es la de la figura.

Para el cálculo del área tendremos en cuenta que las ordenadas de la función g(x) son iguales o mayores que las correspondientes a la función f(x).

[

]

[

(

) (

)

]

(

)

_ =      + − = + − = − − − = − =

_∫

4 0 2 3 4 0 2 4 2 2 2 4 0 2 8 3 2 · 8 2 · 6 2 · ) ( )

(x f x dx x x x x dx x x dx x x

g S

A

X O

y = x2_{– 6x}

C E

Y

D

y = 2x - x2

S

1

B

2 4

1

(8)

S u x

x

= =

+ − = + − = −    

 

+ −

=    

 

+ −

= 2 2

3 4

0 2 3

3 64 3

192 128 64

3 128 0

4 · 4 3

4 · 2 4

3 2

.

(9)

OPCIÓN B

1º) Determine la ecuación en forma continua de la recta r que pasa por el punto

(

3, 4, 7

)

P y es perpendicular a las rectas r1 y r2 dadas por:

2 4 3

3 2

1

− = − = −

≡ x y z

r y

4 3 2

1

2

− = − = −

≡ x y z

r . Expresar la recta r en forma vectorial, por unas ecuaciones pa-ramétricas y de forma implícita.

---

Los vectores directores de las rectas r1 y r2 son v1 =

(

2, 3, 2

)

y v2 =

(

1, 1, 4

)

.

El vector de la recta r puede ser cualquiera que sea linealmente dependiente del producto vectorial de los vectores v1 =

(

2, 3, 2

)

y v2 =

(

1, 1, 4

)

.

12 2 2 3 2 8 10 6

(

10, 6, 1

)

4 1 1

2 3 2

' = 1 ∧ 2 = = i+ j+ k− k − i− j = i− j−k = − −

k j i v v

v .

Un vector director de r es v =

(

10, −6, −1

)

.

La recta r expresada en forma continua es:

1 7 6

4 10

3

− − = −

− = −

≡ x y z

r

La recta r expresada en forma vectorial es:

(

, ,

) (

= 3, 4, 7

) (

+ 10, −6, −1

)

≡ x y z λ

r

La recta r expresada por unas ecuaciones paramétricas es:

    

− =

+ = ≡

λ λ

λ

7 6 4

10 2

z y x r

La recta r expresada por unas ecuaciones continuas es:

  

= − +

= − + ≡ 

 

− = + −

− = + − ≡

0 73 10

0 29 5 3 ;

; 70 10 3

20 5 9 3

z x

y x r z

x

y x

r

(10)

2º) Discutir el rango de la matriz           − = a M 1 5 3 1 2 2 1 1

en función de los diferentes valores

de α. Resuelva el sistema

          =           3 2 1 · z y x

A para los valores de α para los cuales el rango de

A es 3.

--- 8 ; ; 0 8 ; ; 0 24 3 2 3 10 15 4 1 5 3 1 2 2 1 1 = = − = − = + − − − + = −

= a a a a a

a M . 2 8 ; ; 3

8 ⇒ = = ⇒ =

≠ Rango M Para a Rango M a

Para

Resolvemos el sistema

          =           3 2 1 · z y x

A para α ≠ 8, que resulta compatible

determi-nado. Resolviendo por la regla de Cramer:

(

)

(

)

(

a

)

x

a a a a a a x = − − = − + − − − + = − − = 8 3 14 3 8 3 2 3 6 9 4 8 3 1 3 3 1 2 2 1 1 .

(

)

(

)

(

)

y

a a a a a a y = − − = − − − − + + = − = 8 3 2 8 3 2 9 20 15 12 2 8 3 3 5 3 2 2 2 1 1 .

(

)

(

)

(

) (

)

z

(11)

3º) Calcule los valores de los parámetros α, b y c de la función f

( )

x = x3 +ax2 +bx+c de manera que la función f(x) tenga un máximo para x = -1, un mínimo para x = 3 y pase por el punto P(0, 5).

---

Por pasar por P(0, 5): f

( )

0 =5 ⇒ c=5.

Por tener un máximo para x = -1, su derivada tiene que anularse para este valor:

( )

3 2 '

( )

1 0 3 ·

( )

1 2 ·

( )

1 0 ;; 2 3

' x = x2 + ax+b ⇒ f − = ⇒ − 2 + a − +b= a−b=

f .

Por tener un mínimo para x = 3, su derivada tiene que anularse para este valor:

( )

3 2 '

( )

3 0 3 ·3 2 ·3 0 ;; 6 27

' x = x2 + ax+b ⇒ f = ⇒ 2 + a +b= a+b= −

f .

Resolviendo el sistema formando por las dos ecuaciones anteriores:

b a

b b

a a

a b

a b a

= − = − − = − = =

− −

= −

= ⇒    − = +

= −

9 3 6 3 2 ; ; 3 2

; ; 3 ;

; 24 8

27 6

3 2

.

La función resulta ser:

( )

x = x3 −3x2 −9x+5

f

(12)

4º) Demostrar que la ecuación tag x= 2x tiene una única raíz real en el intervalo 

 

 −

4 , 4

π π

.

---

Demostrar que la ecuación tag x =2x tiene una única raíz real en _− _

4 , 4

π

π _es

equivalente a demostrar que la función f

( )

x =2x−tag x tiene una única raíz en el inter-valo anterior.

La función f

( )

x = 2x−tag x es continua y derivable en el intervalo _− _

4 , 4

π

π _{, por}

lo cual le es aplicable el Teorema de Bolzano en este intervalo.

El teorema de Bolzano dice que: “Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c∈