APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Página 281

REFLEXIONA Y RESUELVE

Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada

■ Analiza la curva siguiente:

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada

■ Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:

CD 8 f convexa 8 f ' decreciente 8 f"< 0 DE 8 f cóncava 8 f ' creciente 8 f"> 0 EF 8 f convexa 8 f ' decreciente 8 f"< 0 FG 8 f cóncava 8 f ' creciente 8 f"> 0

A

B C

D E

F

G

f convexa

f ' decreciente

f '' < 0

f cóncava

f ' creciente

f '' > 0

f crece

f' > 0

f crece

f' > 0

f decrece

f' < 0

f decrece

f' < 0

f decrece

f' < 0

■ Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: • La función está definida en [0, 7].

• Solo toma valores positivos.

• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).

• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.

• En el intervalo (2, 4), f ''> 0.

• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.

• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

Página 282

1. Halla las rectas tangentes a la curva:

y=

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.

Calculamos la derivada de la función:

y'= =

Ordenadas de los puntos:

y(0) = 0; y(1) = 4; y(3) = 150

• Recta tangente en (0, 0): y '(0) = 8 y= 8x

• Recta tangente en (1, 4): y '(1) = – 9 y= 4 – 9 (x– 1) = – 9x+ 13

• Recta tangente en (3, 150): y '(3) = 11 y= 150 + 11 (x– 3) = 11x+ 117

10x3– 23x2– 28x+ 32 (x– 2)2 (15x2+ 14x– 16) (x– 2) – (5x3+ 7x2– 16x)

(x– 2)2

5x3_{+ 7x}2_{– 16x}

x– 2

0 1

1

2. Halla las rectas tangentes a la circunferencia:

x2_+y2_{– 2x+ 4y– 24 = 0}

en los puntos de abscisa x₀= 3.

Obtención de las ordenadas correspondientes:

32_{+ y}2_{– 2 · 3 + 4y– 24 = 0} 9 +y2– 6 + 4y– 24 = 0 y2_{+ 4y– 21 = 0}

y= = =

Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente:

2x+ 2y y' – 2 + 4y'= 0 y'(2y+ 4) = 2 – 2x

y'= =

Así: y'(3, 3) = – ; y'(3, –7) =

• Recta tangente en (3, 3): y= 3 – (x– 3) = – x+

• Recta tangente en (3, –7): y= –7 + (x– 3) = x–

Página 283

1. Dada la función y= x3– 3x2– 9x+ 5, averigua:

a) Dónde crece. b) Dónde decrece.

y'= 3x2_{– 6x– 9 = 3 (x}2_{– 2x– 3) = 3 (x– 3) (x+ 1)}

a)x< –1 8 y'> 0 8 f es creciente en (–@, –1) x> 3 8 y'> 0 8 f es creciente en (3, +@)

b) –1 < x< 3 8 y'< 0 8 f es decreciente en (–1, 3)

Página 285

2. Comprueba que la función y= x3_{/(x– 2)}2 _{tiene solo dos puntos singulares,}

en x= 0 y en x= 6.

Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares; para ello, de-bes estudiar el signo de la derivada.

41 5 2 5 2

5

21 5 2 5 2

5 2 5 2

5

1 – x

y+ 2

2 – 2x 2y+ 4

y= 3 8 Punto (3, 3) y= –7 8 Punto (3, –7) – 4 ± 10

2 – 4 ±√100

2 – 4 ±√16 + 84

y'= = =

= =

y'= 0 8 x2(x– 6) = 0

En x= 0 hay un punto de inflexión.

En x= 6 hay un mínimo relativo.

3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = –3x4 _{+ 4x}3_{. Mediante una representación adecuada, averigua de qué}

tipo es cada uno de ellos.

b) Ídem para y= x4+ 8x3+ 22x2+ 24x+ 9.

a)y'= –12x3+ 12x2= 12x2(–x+ 1)

y'= 0 Dos puntos singulares.

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5], donde la función es derivable.

Además, f(–1) = –7 y f(1,5) = –1,7.

• En (0, 0) hay un punto de inflexión.

• En (1, 1) hay un máximo relativo.

b)y'= 4x3_{+ 24x}2_{+ 44x+ 24 = 4 (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)}

y'= 0 Tres puntos singulares.

Los tres puntos están en el mismo intervalo [– 4, 0], donde la función es derivable.

Además, f(– 4) = f(0) = 9.

• Hay un mínimo relativo en (–3, 0), un má-ximo relativo en (–2, 1) y un mínimo relati-vo en (–1, 0).

° § ¢ § £

x= –1 8 Punto (–1, 0) x= –2 8 Punto (–2, 1) x= –3 8 Punto (–3, 0)

° ¢ £

x= 0 8 Punto (0, 0) x= 1 8 Punto (1, 1)

° ¢ £

f '(5,99) < 0 f '(6,01) > 0

° ¢ £

f '(– 0,01) > 0 f '(0,01) > 0

x= 0

x= 6

x2_{(x– 6)} (x– 2)3 x2_{(3x– 6 – 2x)}

(x– 2)3

x2_{(x– 2)}

₍

_{3 (x– 2) – 2x}

₎

(x– 2)4

3x2_{(x– 2)}2_{– 2 (x– 2)x}3 (x– 2)4

1

1

1 9

Página 287

1. Estudia la curvatura de esta función:

y= 3x4_{– 8x}3_{+ 5}

f '(x) = 12x3_{– 24x}2_{; f ''(x) = 36x}2_{– 48x}

f ''(x) = 0 8 12x(3x– 4) = 0

(

f '''(x) = 72x– 48; f '''(0) ?0; f '''

( )

? 0

)

Los puntos (0, 5) y

(

, –

)

son puntos de inflexión.

• La función es cóncava en (–@, 0) «

(

, +@

)

, pues f ''(x) > 0.

• La función es convexa en el intervalo

(

0,

)

, pues f ''(x) < 0.

2. Estudia la curvatura de la función siguiente:

y= x3– 6x2+ 9x

f '(x) = 3x2_{– 12x+ 9; f ''(x) = 6x– 12}

f ''(x) = 0 8 6x– 12 = 0 8 x= 2 8 Punto (2, 2)

(

f '''(x) = 6; f '''(2) ?0

)

El punto (2, 2) es un punto de inflexión.

• La función es convexa en (–@, 2), pues f ''(x) < 0. • La función es cóncava en (2, +@), pues f ''(x) > 0.

Página 289

1. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mí-nima.

Llamamos x al número que buscamos. Ha de ser x> 0. Tenemos que minimizar la función:

f(x) = x+

f '(x) = 1 – = = 0

(Como f(x) = +@, f(x) = +@, y la función es continua en (0, +@); hay un mínimo en x= 5).

Por tanto, el número buscado es x= 5. El mínimo es 10. lím

x8 +@

lím

x8 0+

x= 5 8 f(5) = 10

x= –5 (no vale, pues x> 0) x2_{– 25}

x2 25

x2 25 x

4 3 4 3 121

27 4 3

4 3

x= 0 8 Punto (0, 5)

4 4 121

x= — 8 Punto

(

—, – —

)

2. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las di-mensiones de aquel cuya área es máxima.

x+y= 10 8 y= 10 – x

Área= = = , 0 < x< 10

Tenemos que maximizar la función:

f(x) = , 0 < x< 10

f '(x) = = 5 – x= 0 8 x= 5 8 y= 10 – 5 = 5

(

f(0) = 0; f(10) = 0; f(5) = ; y f es continua. Luego en x= 5 está el máximo

)

. Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máxima es de 12,5 cm2.

3. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diago-nal menor?

d= , 0 < x< 6 Tenemos que minimizar la función:

f(x) = , 0 < x< 6

f '(x) = = =

f '(x) = 0 8 – 6 + 2x= 0 8 x= 3

(f(0)= 6; f(6) = 6; f(3) = = 3 앓4,24; y f(x) es continua. Luego en x= 3 hay un mínimo).

El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado 3 m.

4. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volu-men igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la volu-menor cantidad po-sible de hojalata.

Suponemos el recipiente con dos tapas:

Área total= 2πrh + 2πr2₌ = 2πr(h + r)

V= 6,28 l= 6,28 dm3

√2 √18

– 6 + 2x

√(6 – x)2+ x2 –12 + 4x

2√(6 – x)2+ x2 –2 (6 – x) + 2x

2√(6 – x)2+ x2 √(6 – x)2_{+ x}2 √(6 – x)2_{+ x}2 25

2 10 – 2x

2

10x– x2 2

10x– x2 2 x· (10 – x)

2 x· y

2

x

y

6 – x

d

x

h h

2πr

Como V= π· r2· h = 3,14 · r2· h = 6,28 8 h = =

Así: Áreal total= 2πr

(

+ r

)

= 2π

(

+r2

)

Tenemos que hallar el mínimo de la función:

f(r) = 2π

(

+r2

)

_{, r> 0}

f '(r) = 2π

(

– + 2r

)

= 2π

(

)

= 0 8 –2 + 2r3_{= 0 8 r= = 1}

(Como f(r) = +@, f(r) = +@, y f es continua en (0, +@); en r= 1

hay un mínimo).

r= 1 8 h = = = 2

El cilindro tendrá radio 1 dm y altura 2 dm.

Página 290

1. Calcula, aplicando L’Hôpital:

a) b)

a) =

( )

= = 2

b) =

( )

= = 2

2. Calcula:

a) b)

a) =

( )

= =

( )

= =

b) =

( )

= =

( )

=

= = = 1

2 –2 – 4 6x+ 4 6x+ 2 lím

x8 –1

0 0 3x2_{+ 4x+ 1} 3x2_{+ 2x– 1} lím

x8 –1 0

0 x3_{+ 2x}2_{+ x} x3_{+ x}2_{– x– 1} lím

x8 –1

1 2 e–x

2 lím

x8 0 0

0 –e–x_{+ 1}

2x lím

x8 0 0

0 e–x_{+ x– 1}

x2 lím

x8 0

x3_{+ 2x}2_{+ x}

x3+ x2_{– x– 1}

lím x8–1

e–x_{+ x– 1} x2 lím

x80

ex_{+ e}–x

cos x lím

x8 0 0

0 ex_{– e}–x

sen x lím

x8 0

cos x(1 + cos x) + sen x(–sen x) cos x+ x(–sen x) lím

x8 0 0

0 sen x(1 + cos x)

x cos x lím

x8 0

ex– e–x sen x lím

x80

sen x(1 + cos x) x cos x lím

x80

2 1 2 r2

lím

r8 +@

lím

r8 0+

3

√1 –2 + 2r3

r2 2 r2 2 r 2 r 2 r2 2 r2 6,28

Página 291

3. Aplica L’Hôpital:

(cos x+ sen x)1/x

Para poner (cos x + sen x)1/x _{en forma de cociente, tomamos logaritmos en}

f(x) = (cos x+sen x)1/x_.

(

ln[f(x)]

)

=

(

ln(cos x+sen x)

)

= =

( )

=

= = 1 8 f(x) = e1= e

4. Calcula:

(1 – 21/x_)x

(

1 – 21/x

₎

_{x= =}

( )

_{= =}

= (–21/x_{· ln2) = –ln2 = ln}

Página 293

1. a) Explica por qué y= sen x cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,π].

b) ¿En qué punto se verifica la tesis del teorema de Rolle?

a)y= sen x es derivable (y, por tanto, continua) en todo

Á

.

Además, f(0) = f(π) = 0. Por tanto, cumple las hipótesis del teorema de Rolle.

b) ₈

x=

2. Demuestra que f(x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿En qué punto cumple la tesis?

f(x) =

f(x) = (2x– 3) = 5

f(x) = (–x2_{+ 10x– 19) = 5} f(x) es continua en x= 4.

f(4) = 5

lím

x8 4 lím

x8 4+

lím

x8 4 lím

x8 4–

2x– 3 si x< 4 –x2+ 10x– 19 si xÓ4 °

¢ £

π 2

° ¢ £

y'= cos x= 0 xé(0, π)

1 2 lím

x8+@

–21/x· (–1/x2) · ln2 (–1/x2) lím

x8+@ 0

0 1 – 21/x

1/x lím

x8+@

lím

x8+@

lím x8+@

lím

x8 0 (–sen x+cos x) / (cos x+sen x)

1 lím

x8 0

0 0 ln(cos x+sen x)

x lím

x8 0 1

x lím

x8 0 lím

x8 0

lím

x8 0

lím x80

Luego f(x) es continua en el intervalo [2, 6]. (Para x ? 4 está formada por dos polinomios).

Veamos si es derivable:

f '(x) =

En x = 4, tenemos que f '(4–) = f '(4+) = 2. Por tanto, la función es derivable en (2, 6). Su derivada es:

f '(x) =

Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio.

Veamos dónde cumple la tesis:

= = = 1

f '(c) = 1 8 –2x+ 10 = 1 8 x=

La tesis se cumple en c= .

3. Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función:

f(x) = x2_{– 3x+ 2 en [–2, –1]}

Calcula el valor correspondiente a c.

f(x) es derivable (y, por tanto, continua) en todo

Á

. En particular, es continua en [–2, –1] y derivable en (–2, –1).

Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.

Veamos dónde cumple la tesis:

= = = – 6

f '(x) = 2x– 3 = – 6 8 x=

La tesis se cumple en c= .

4. Repite el ejercicio anterior para la función:

g(x) =x3– x2– x+ 1

g(x) es derivable (y, por tanto, continua) en todo

Á

. En particular, es continua en [–2, –1] y derivable en (–2, –1).

Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. –3

2

–3 2

6 – 12 –1 + 2 f(–1) – f(–2)

–1 – (–2) f(b) – f(a)

b– a

9 2

9 2 4

4 5 – 1

4 f(6) – f(2)

6 – 2

2 si x≤4

–2x+ 10 si x> 4 °

¢ £

2 si x< 4 –2x+ 10 si x> 4 °

Veamos dónde cumple la tesis:

= = = 9

g'(x) = 3x2_{– 2x– 1 = 9 8 3x}2_{– 2x– 10 = 0}

x= = = =

Por tanto, se cumple la tesis en c= .

5. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que x3_{– 3x+ b= 0 no puede}

te-ner más de una raíz en el intervalo [–1, 1] cualquiera que sea el valor deb. (Hazlo por reducción al absurdo: empieza suponiendo que hay dos raíces en ese intervalo).

• f(x) = x3– 3x+ b es continua en [–1, 1] y derivable en (–1, 1).

f '(x) = 3x2_{– 3 = 0}

La derivada solo se anula en x= –1 y en x= 1.

• Supongamos que f(x) tiene dos raíces en [–1, 1], sean c₁ y c₂. Por el teorema de Rolle, como f(c₁) = f(c₂) = 0, existiría un cé(c₁, c₂) tal que f '(c) = 0. Pero f '(x) solo se anula en x = –1 y en x = 1, que no están incluidos en (c₁, c₂), pues –1 Ìc₁, c₂Ì1.

Hemos llegado a una contradicción.

• Por tanto, x3_{– 3x+ b= 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [–1, 1],} cualquiera que sea el valor de b.

6. Calcula p, m y n para que

f(x) =

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [–1, 5]. ¿Dónde cumple la tesis? Represéntala.

• Si x?3, la función es continua, pues está formada por polinomios. Su dominio es [–1, 5].

• En x= 3, para que sea continua, ha de ser:

f(x) = (–x2_{+ p x) = – 9 + 3p}

f(x) = (m x+n) = 3m+ n – 9 + 3p= 3m+n

f(3) = 3m+ n= – 9 + 3p lím

x8 3 lím

x8 3+

lím

x8 3 lím

x8 3–

– x2_{+ px si –1 ÌxÌ3}

mx+ n si 3 ÌxÌ5 °

¢ £

x= –1

x= 1

1 – √31 3

x≈2,19

x≈–1,52 1 ±√31

3 2 ± 2√31

6 2 ±√124

6 2 ±√4 + 120

6

0 – (–9) –1 + 2 g(–1) – g(–2)

–1 – (–2) g(b) – g(a)

b– a

• Si xé(–1, 5) y x?3, su derivada es:

f '(x) =

• Para que f(x) sea derivable en x= 3, ha de ser:

6 + p= m

• Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle, además, debe tenerse que f(–1) = f(5); es decir:

– 1 – p= 5m+ n

• Uniendo las tres condiciones anteriores, tenemos que:

m= – ; n= 9; p=

• Con estos valores:

f '(x) =

–2x+ = 0 8 x= é(–1, 5)

La tesis se cumple en c= .

f(x) =

1 5_—

3

2 3 4 5

–1

–4 1 2 3 2,8

4,3

10

–x2+ —x si –1 ÌxÌ3 3

8

– —x+ 9 si 3 ÌxÌ5 3

° § ¢ § £

5 3 5 3 10

3

10

–2x+ — si –1 < x< 3 3

8

– — si 3 Ìx< 5 3

° § ¢ § £

10 3 8

3

° § ¢ § £

–9 + 3p= 3m+n – 6 + p= m – 1 – p= 5m+n

° ¢ £

f(–1) = – 1 –p f(5) = 5m+n

° ¢ £

f '(3–_{) = – 6 +p} f '(3+_{) = m}

–2x+p si –1 < x< 3 m si 3 < x< 5 °

Página 297

1. Demuestra que: “Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f'(x) < 0 para xé(a, b), entonces f es decreciente en [a, b]”.

Si tomamos dos puntos cualesquiera x₁< x₂ de [a, b], se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [x₁, x₂] y, por tanto, su tesis:

= f '(c) < 0

Se deduce que f(x₂) – f(x₁) < 0 y, por tanto, f(x₂) < f(x₁). La función es, pues, decreciente en [a, b].

2. Demuestra que: “Si f'(x₀) = 0 y f''(x₀) < 0, entonces f presenta un máximo en x₀”.

f ''(x₀) = = < 0

Si h < 0, entonces:

f '(x₀+ h) > 0 8 f es creciente a la izquierda de x₀ (1)

Si h > 0, entonces:

f '(x₀+ h) < 0 8 f es decreciente a la derecha de x₀ (2)

Por (1) y (2), f presenta un máximo en x₀, ya que es creciente a la izquierda de x₀ y decreciente a su derecha.

f '(x₀+ h) h lím h 8 0 f '(x₀+ h) – f '(x₀)

h lím

h 8 0 f(x₂) – f(x₁)

Página 304

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Recta tangente

1 Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican:

a) y= ln(tg2x) en x= b) y= en x= c) x2_{+ y}2_{– 2x– 8y+ 15 = 0 en x= 2 d)y= (x}2_{+ 1)}sen x _{en x= 0}

a) • Ordenada en el punto: x= 8 y= 0

• Pendiente de la recta: y'= 8 y'

( )

= 4

• Recta tangente: y= 4

(

x–

)

= 4x–

b) • Ordenada en el punto: x= 8 y=

• Pendiente de la recta:

y'= 8 y'

( )

= = =

• Recta tangente: y= –

(

x–

)

c) • Ordenadas en los puntos:

4 +y2– 4 – 8y+ 15 = 0 8 y2– 8y+ 15 = 0

y= =

• Pendiente de las rectas:

2x+ 2y y' – 2 – 8y'= 0

y'(2y– 8) = 2 – 2x 8 y'= =

y'(2, 5) = = –1

y'(2, 3) = 1 – 2 = 1 3 – 4 1 – 2 5 – 4

1 – x y– 4 2 – 2x

2y– 8

y= 5 8 Punto (2, 5) y= 3 8 Punto (2, 3) 8 ± 2

2 8 ±√64 – 60

4

π 6 5√6

4

√2 2

–5√—6 4 –5√—3

2√—2 5

(

–√—3 / 2

)

2√—2 / 2 π

6 5 cos 5x

2√sen5x

√2 2 π

6

π 2 π

8

π 8 2 (1 +tg2_2x)

tg2x π 8

π 6 √sen5x

π 8

• Recta tangente en (2, 5): y= 5 – 1 · (x– 2) 8 y= –x+ 7 • Recta tangente en (2, 3): y= 3 + 1 · (x– 2) 8 y= x+ 1

d) • Ordenada en el punto: x= 0 8 y= (0 + 1)sen0_{= 1}0_{= 1 8 P(0, 1)} • Pendiente de la recta tangente:

y= (x2_{+ 1)}sen x _{8 ln y= sen x· ln(x}2_{+ 1) 8}

8 = cos x ln(x2_{+ 1) +sen x· 8}

8 y '= cos x ln(x2+ 1) + (x2+ 1)sen x

m= [cos0 · ln1 + 0] · 10_{= (1 · 0 + 0) · 1 = 0} • Recta tangente: y= 1 + 0(x– 0) 8 y= 1

s2 Halla las tangentes a la curva y= paralelas a la recta 2x+ y= 0.

La pendiente de la recta 2x+ y= 0 es m= –2.

Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a –2:

y'= = =

y'= –2 8 = –2 8 –2 = –2 (x2– 2x+ 1)

x2_{– 2x+ 1 8 x}2_{– 2x= 0 8 x(x– 2) = 0}

Recta tangente en (0, 0): y= –2x

Recta tangente en (2, 4): y= 4 – 2 (x– 2) 8 y= –2x+ 8

3 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas:

a) y= x ln x b) y= x2_ex _{c)y= sen2x}

Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero.

a)y'= ln x+x· = ln x+ 1

y'= 0 8 ln x+ 1 = 0 8 ln x= –1 8 x= e–1_{= 8 y=}

La recta tangente en el punto

(

,

)

es: y= –1 e –1

e 1 e

–1 e 1

e 1

x

x= 0 8 Punto (0, 0) x= 2 8 Punto (2, 4) –2

x2– 2x+ 1

–2 x2_{– 2x+ 1} 2x– 2 – 2x

x2_{– 2x+ 1} 2 (x– 1) – 2x

(x– 1)2

2x x– 1

]

2x sen x

x2+ 1

[

2x x2+ 1 y '

b)y'= 2x ex_+x2_ex_{= (2x+x}2_)ex_{. Como e}x_{?0 para todo x:}

y'= 0 8 2x+x2_{= 0 8 x(2 +x) = 0}

• En el punto (0, 0), la recta tangente es: y= 0

• En el punto

(

–2,

)

, la recta tangente es: y=

c)y'= 2 cos2x

y'= 0 8 2 cos2x= 0

2x= + 2πk 8 x= + πk 8 y= 1

2x= + 2πk 8 x= + πk 8 y= –1

• En los puntos

(

+ πk, 1

)

, con ké

Z

, la recta tangente es: y= 1

• En los puntos

(

+ πk, –1

)

, con k é

Z

, la recta tangente es: y= –1

4 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva xy_·yx_{= 1 en el punto (1, 1).}

Para hallar la derivada, tomamos logaritmos:

xy_{· y}x_{= 1 8 y ln x+x ln y= ln1 8 y ln x+x ln y= 0}

Derivamos:

y' ln x+y· + ln y+x· = 0

y' xy ln x+y2+xy ln y+x2y'= 0 y'(xy ln x+x2_{) = –y}2_{– xy ln y}

y'=

y'(1, 1) = –1

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (1, 1) es:

y= 1 – (x– 1); es decir, y= –x+ 2

5 Halla el punto de la gráfica de y= 2√—x en el que la tangente forma un án-gulo de 60° con el eje X. Escribe la ecuación de esa tangente.

• Si la recta tangente forma un ángulo de 60° con el eje X, su pendiente es tg 60° = .√3

–y2– xy ln y xy ln x+x2

y' y 1

x 3π

4 π 4

3π 4 3π

2

π 4 π

2

4 e2 4

e2

• Buscamos un punto en el que la derivada valga :

y'= =

y'= 8 = 8 1 = 3x 8 x= 8 y= =

El punto es , .

• La recta tangente en ese punto será:

y= + x– 8 y= + x– 8 y= x+

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión

s6 Halla los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y=x3– 6x2_{+ 9x b) y=}

c) y= x4_{– 2x}3 _{d) y= x}4_{+ 2x}2

e) y= f ) y= ex_{(x– 1)}

a)f '(x) = 3x2_{– 12x+ 9}

f '(x) = 0 8 3 (x2_{– 4x+ 3) = 0 8 x= =}

=

Signo de la derivada:

Hay un mínimo en (3, 0) y un máximo en (1, 4).

Puntos de inflexión:

f ''(x) = 6x– 12 = 0 8 x= 2 8 y= 2

Como f ''(x) < 0 para x< 2 y f ''(x) > 0 para x> 2, el punto (2, 2) es un punto de inflexión.

1 3

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

x= 3 8 y= 0 x= 1 8 y= 4 4 ± 2

2

4 ±√16 – 12 2

1 x2+ 1

x3(3x– 8) 12

√3 3 √3

√3 3 √3 2√3

3

)

1 3

(

√3 2√3

3

)

2√3

3 1 3

(

2√3 3 2

√3 1

3 √3

1

√x √3

1

√x 2

2√—x

b)y=

f '(x) = = x3_{– 2x}2

f '(x) = 0 8 x2_{(x– 2) = 0}

Hay un mínimo en

(

2,

)

.

f ''(x) = 3x2_{– 4x= 0 8 x(3x– 4) = 0}

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y otro en

(

,

)

.

c)f '(x) = 4x3_{– 6x}2

f '(x) = 0 8 x2_{(4x– 6) = 0}

Hay un mínimo en

(

,

)

.

f ''(x) = 12x2_{– 12x= 12x(x– 1) = 0}

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y otro en (1, –1).

d)f '(x) = 4x3– 4x

f '(x) = 0 8 4x(x2_{+ 1) = 0 8 x= 0 8 y= 0}

0

f ' < 0 f ' > 0

0 1

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

x= 0 8 y= 0 x= 1 8 y= –1 – 27

16 3 2

0

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

3 — 2

x= 0 8 y= 0 x= 3/2 8 y= –27/16

– 64 81 4 3

0 _—4

3

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

x= 0 8 y= 0

x= 4/3 8 y= –(64/81) – 4

3

1 3

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

x= 0 8 y= 0 x= 2 8 y= – 4/3 12x3– 24x2

12 3x4_{– 8x}3

Hay un mínimo en (0, 0).

f ''(x) = 12x2_{+ 4 ?0 para todo x.} No hay puntos de inflexión.

e)f '(x) =

f '(x) = 0 8 –2x= 0 8 x= 0 8 y= 1

Hay un máximo en (0, 1).

f ''(x) = = =

f ''(x) = 0 8 x= ± = ± = ± 8 y=

Hay un punto de inflexión en

(

– ,

)

y otro en

(

,

)

.

f ) f '(x) = ex_{(x– 1) + e}x_{= e}x_{(x– 1 + 1) = xe}x

f '(x) = 0 8 xex_{= 0 8 x= 0 (pues e}x_{?0 para todo x) 8 y= –1}

Hay un mínimo en (0, –1).

f ''(x) = ex_{+ xe}x_{= e}x_{(1 + x)}

f ''(x) = 0 8 x= –1 8 y=

Hay un punto de inflexión en

(

–1, –2

)

. e

–1

f '' < 0 f '' > 0

–2 e

0

f '' < 0 f '' > 0

3 4

√3 3 3

4

√3 3

–√–3

—

3 √

– 3 — 3

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

3 4

√3 3 1

√3

√

1

3

6x2_{– 2} (x2_{+ 1)}3 –2 (x2_{+ 1) + 8x}2

(x2_{+ 1)}3 –2 (x2_{+ 1)}2_{+ 2x· 2 (x}2_{+ 1) · 2x}

(x2_{+ 1)}4

0

f ' > 0 f ' < 0

s7 Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de las siguientes funciones:

a) y= b) y= c) y=

d) y= e) y= f ) y=

a)y= = . Dominio=

Á

– {0, 2}

f '(x) = = =

=

f '(x) = 0 8 3x2– 16x+ 16 = 0 8 x= = =

=

Signo de la derivada:

La función: es creciente en (–@, 0) «

(

0,

)

«(4, +@).

es decreciente en

(

, 2

)

«(2, 4).

tiene un máximo en

(

, –

)

.

tiene un mínimo en

(

4, –

)

.

b)y= . Dominio=

Á

– {–1, 1}

f '(x) = = =

f '(x) = 0 8 – 4x= 0 8 x= 0 Signo de la derivada:

–1 0 1

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

– 4x (x2_{– 1)}2 2x3– 2x– 2x3– 2x

(x2– 1)2 2x(x2– 1) – (x2+ 1) · 2x

(x2– 1)2 x2_{+ 1}

x2_{– 1}

1 2 9 2 4 3 4 3

4 3

0 2 4

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

4 — 3

f ' > 0

x= 4

x= 4/3 16 ± 8

6

16 ±√64 6 16 ±√256 – 192

6 –3x2_{– 16x+ 16}

(x2_{– 2x)}2

–3x2+ 6x– 16x+ 16 + 6x2– 6x (x2– 2x)2

–3 (x2– 2x) – (8 – 3x) · (2x– 2) (x2– 2x)2

8 – 3x x2_–2x 8 – 3x

x(x– 2)

8 x2_{(x– 3)}

x2– 1 x 2x2– 3x

2 – x

x3

x2_{– 1}

x2_{+ 1}

x2_{– 1}

La función: es creciente en (–@, –1) «(–1, 0).

es decreciente en (0, 1)«(1, +@).

tiene un máximo en (0, –1).

c)y= . Dominio=

Á

– {–1, 1}

f '(x) = = = =

f '(x) = 0 8 x2(x2– 3) = 0

Signo de la derivada:

La función: es creciente en (–@, –√—3 ) « (√—3 , +@).

es decreciente en (–√—3 , –1)«(–1, 1)«(1, √—3 ).

tiene un máximo en

(

–√—3 , –

)

.

tiene un mínimo en

(

√—3 ,

)

.

tiene un punto de inflexión en (0, 0).

d)y= . Dominio=

Á

– {2}

f '(x) = = =

= =

f '(x) = 0 8 x2 _{– 4x+ 3 = 0 8 x= = =}

=

Signo de la derivada:

1 2 3

f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0

x= 3

x= 1

4 ± 2 2

4 ±√4 2 4 ±√16 – 12

2 –2 (x2 – 4x + 3 )

(2 – x)2 –2x2+ 8x– 6

(2 – x)2

8x– 4x2_{– 6 + 3x+ 2x}2_{– 3x} (2 – x)2

(4x– 3) · (2 – x) – (2x2_{– 3x) · (–1)} (2 – x)2

2x2_{– 3x} 2 – x

3√3 2

3√3 2

–1 0 1

f ' < 0

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

√–3

–√–3

x= 0

x= –√—3 x= √—3

x2_(x2_{– 3)} (x2_{– 1)}2 x4_{– 3x}2

(x2_{– 1)}2 3x4_{– 3x}2_{– 2x}4

(x2_{– 1)}2 3x2_(x2_{– 1) – x}3_{· 2x}

(x2_{– 1)}2 x3

La función: es creciente en (1, 2) « (2, 3).

es decreciente en (–@, 1)«(3, +@).

tiene un mínimo en (1, –1).

tiene un máximo en (3, –9).

e)y= . Dominio=

Á

– {0}

f '(x) = = =

f '(x) = 0 8 = 0. No tiene solución.

Signo de la derivada:

La función es creciente en todo su dominio.

f ) y= = . Dominio=

Á

– {0, 3}

f '(x) = = =

f '(x) = 0 8 3x– 6 = 0 8 x= 2 Signo de la derivada:

La función: es creciente en (0, 2).

es decreciente en (–@, 0) « (2, 3) «(3, +@).

tiene un máximo en (2, –2).

s8 Estudia la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión de las si-guientes funciones:

a) y= x3_{– 3x+ 4 b) y= x}4_{– 6x}2 _{c) y= (x– 2)}4

d) y= x ex _{e) y= f ) y= ln(x+ 1)}

a)y= x3– 3x+ 4. Dominio=

Á

f '(x) = 3x2_{– 3; f ''(x) = 6x} f ''(x) = 0 8 6x= 0 8 x= 0

2 – x x+ 1

0 2

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

3

f ' < 0

– 8 (3x– 6) x3(x– 3)2 – 8x(3x– 6)

x4(x– 3)2 – 8 (3x2_{– 6x)}

x4_{(x– 3)}2 8 x3– 3x2 8

x2(x– 3)

0

f ' > 0 f ' > 0

x2– 1 x2

x2_{+ 1} x2 2x2_{– x}2_{+ 1}

x2 2xx– (x2_{– 1) · 1}

x2 x2– 1

Signo de f ''(x):

La función: es convexa en (–@, 0).

es cóncava en (0, +@).

tiene un punto de inflexión en (0, 4).

b)y= x4– 6x2. Dominio=

Á

f '(x) = 4x3_{– 12x; f ''(x) = 12x}2_{– 12}

f ''(x) = 0 8 12 (x2– 1) = 0

Signo de f ''(x):

La función: es cóncava en (–@, –1) «(1, +@).

es convexa en (–1, 1).

tiene un punto de inflexión en (–1, –5) y otro en (1, –5).

c)y= (x– 2)4_{. Dominio=}

_Á

f '(x) = 4 (x– 2)3_{; f ''(x) = 12 (x– 2)}2 f ''(x) = 0 8 x= 2

f ''(x) > 0 para x?2

Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de inflexión.

d)y= x ex_{. Dominio=}

_Á

f '(x) = ex+x ex= (1 + x)ex; f ''(x) = ex+ (1 +x)ex= (2 + x)ex f ''(x) = 0 8 x= –2 (ex_{?0 para todo x)}

Signo de f ''(x):

La función: es convexa en (–@, –2).

es cóncava en (–2, +@).

tiene un punto de inflexión en

(

–2, – 2

)

. e2

–2

f '' < 0 f '' > 0

–1 1

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

x= –1

x= 1

0

e)y= . Dominio=

Á

– {–1}

f '(x) = = =

f ''(x) =

f ''(x) ?0 para todo x. Signo de f ''(x):

La función: es convexa en (–@, –1).

es cóncava en (–1, +@).

no tiene puntos de inflexión.

f ) y= ln(x+ 1). Dominio= (–1, +@)

f '(x) =

f ''(x) =

f ''(x) < 0 para xé(–1, +@)

Por tanto, la función es convexa en (–1, +@).

9 Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de inflexión en el punto de abscisa x= 1:

a) y= 1 + (x– 1)3

b) y= 2 + (x– 1)4

c) y= 3 – (x– 1)6

d) y= –3 + 2(x– 1)5

a) • Máximos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '(x) = 0. f '(x) = 3(x– 1)2 _{8 3(x– 1)}2_{= 0 8 x= 1, f(1) = 1}

Estudiamos el signo de la derivada:

La función crece a la izquierda y a la derecha de x= 1. No hay ni un máximo ni un mínimo.

1

f ' > 0 f ' > 0

–1 (x+ 1)2

1

x+ 1

–1

f '' < 0 f '' > 0

6 (x+ 1)3

–3 (x+ 1)2 –x– 1 – 2 + x

(x+ 1)2 –1 (x+ 1) – (2 – x)

(x+ 1)2 2 – x

• Puntos de inflexión: buscamos los puntos en los que f ''(x) = 0. f ''(x) = 6(x– 1) 8 6(x– 1) = 0 8 x= 1, f(1) = 1

Estudiamos el signo de f ''(x):

Es convexa a la izquierda de x= 1 y cóncava a su derecha. Hay un punto de inflexión en (1, 1).

b) • Máximos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '(x) = 0. f '(x) = 4(x– 1)3 _{8 4(x– 1)}3_{= 0 8 x= 1, f(1) = 2}

Estudiamos el signo de la derivada:

La función decrece a la izquierda de x= 1 y crece a su derecha. Hay un mínimo en (1, 2).

• Podemos comprobar que no hay puntos de inflexión con el signo de f ''(x): f ''(x) = 12(x– 1)2 _{8 f ''(x) Ó0 para cualquier x.}

La función es cóncava en todo su dominio.

c) • Máximos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '(x) = 0. f '(x) = – 6(x– 1)5 _{8 – 6(x– 1)}5_{= 0 8 x= 1, f(1) = 3} Estudiamos el signo de la derivada:

La función crece a la izquierda de x= 1 y decrece a su derecha. Hay un máximo en (1, 3).

• Como f ''(x) = –30(x– 1)4_{Ì0, la función es convexa en todo su dominio.} d) • Máximos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '(x) = 0.

f '(x) = 10(x– 1)4 8 10(x– 1)4= 0 8 x= 1, f(1) = –3

Como f '(x) = 10(x – 1)4 _{Ó0, la función es creciente en todo su dominio.} No hay máximos ni mínimos.

• Estudiamos el signo de f ''(x) = 40(x– 1)3

La función es convexa a la izquierda de x= 1 y cóncava a su derecha. Hay un punto de inflexión en (1, –3).

1

f '' < 0 f '' > 0

1

f ' > 0 f ' < 0

1

f ' < 0 f ' > 0

1

Problemas de optimización

10 Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

Llamamos x e y a los números que buscamos. x+y= 10 8 y= 10 – x

Producto de sus cuadrados:

P= x2· y2= x2 · (10 – x)2= x2(100 +x2– 20x) = x4– 20x3+ 100x2, con 0 < x< 10.

Tenemos que maximizar la función:

P= x4_{– 20x}3_{+ 100x}2_{, 0 < x< 10}

P'(x) = 4x3– 60x2+ 200x; 4x3– 60x2+ 200x= 0 8

8 4x(x2– 15x+ 50) = 0

(f(0) = 0; f(10) = 0; f(5) = 625; y f es continua. Luego en x= 5 está el máximo). Los dos números son el 5. El producto de sus cuadrados es 625.

11 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

☛V = R2h

h2_+R2_{= 100 8 R}2_{= 100 – h}2

Volumen= πR2h = π(100 – h2) h = π(100h – h3)

Tenemos que maximizar la función volumen:

f(h) = π(100h – h3₎

f '(h) = π(100 – 3h2)

f '(h) = 0 8 100 – 3h2_{= 0 8 h = ±}

(consideramos la raíz positiva, pues h Ó0).

(

f '(h) > 0 a la izquierda de h = y f '(h) < 0 a la derecha de h = . Luego en h =

√

100 hay un máximo

)

.

3

√

100 3

√

100

3

√

100 3 1

3 1 3

1 3 1

3 1

3

π

3

x= 0 no vale, pues 0 <x< 10 x= 5 8 y= 10 – 5 = 5

x= 10 no vale, pues 0 < x< 10

R

Por tanto, el radio de la base será:

R2_{= 100 – h}2_{= 100 – = 8 R=}

s12 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3_{. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior}

sea mínima.

Volumen= x2_{y= 8 dm}3 _{8 y=}

Superficie= 4xy+ 2x2_{= 4x + 2x}2_{= + 2x}2

Tenemos que hallar el mínimo de la función superficie:

f(x) = + 2x2 8 f '(x) = + 4x=

f '(x) = 0 8 –32 + 4x3_{= 0 8 x}3_{= 8 8 x= 2 8 y= 2}

(En x= 2 hay un mínimo, pues f '(x) < 0 para x< 2 y f '(x) > 0 para x> 2). Por tanto, la caja ha de ser un cubo de lado 2 dm.

s13 Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

☛Llama 2b a la base del triángulo. Llamemos 2b a la base:

Perímetro= 2x+ 2b= 30 8 x+ b= 15 8 b= 15 – x

Altura= h = = =

Área= = (15 – x) = =

=

Tenemos que maximizar la función área:

f(x) =

f '(x) =

f '(x) = 0 8 90x2_{– 2 250x+ 13 500 = 0} 90 (x2– 25x+ 150) = 0

x= = =

= x= 15 (no vale)

x= 10 8 b= 15 – 10 = 5 8 2b= 10 25 ± 5

2

25 ±√25 2 25 ±√625 – 600

2

90x2_{– 2 250x+ 13 500} 2√30x3_{– 1 125x}2_{+ 13 500x– 50 625}

√30x3_{– 1 125x}2_{+ 13 500x– 50 625}

√30x3_{– 1 125x}2_{+ 13 500x– 50 625}

√(15 – x)2(30x– 225)

√30x– 225 2b· h

2

√30x– 225

√x2_{– (15 – x)}2

√x2_{– b}2

–32 + 4x3 x2 –32

x2 32

x

32 x 8

x2 8 x2

√

200 3 200

3 100

3

x x

y

b b

x x

(x= 15 no vale, pues quedaría b= 0, al ser perímetro = 30)

(f '(x) > 0 a la izquierda de x= 10 y f '(x) < 0 a la derecha de x= 10. Por tan-to, en x= 10 hay un máximo).

Luego, el triángulo de área máxima es el equilátero de lado 10 cm, cuya área es

25 ≈43,3 cm2_.

s14 Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.

☛A_T= 2πRh+ 2πR2_{; V = πR}2_h

Área total= 2πrh + 2πr2= 54 cm2

h =

Volumen= πr2_{h = πr}2_{· = r(27 – πr}2_{) = 27r– πr}3

Tenemos que maximizar la función V(r) = 27r– πr3_: V '(r) = 27 – 3πr2

V '(r) = 0 8 27 – 3πr2= 0 8 r2= = 8 r=

(En r= hay un mínimo, pues V '(r) < 0 a la izquierda de este valor y V '(r) > 0

a su derecha).

Para r= 8 h = , dimensiones del cilindro de volumen máximo.

15 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volu-men máximo.

Perímetro cartulina= 2x+ 2y= 60 8 x+y= 30 8

8 x= 30 – y Volumen= πy2_{x= πy}2_{(30 – y) = π(30y}2_{– y}3₎

Tenemos que maximizar la función:

V(y) = π(30y2– y3) V'(y) = π(60y – 3y2₎

V'(y) = 60y– 3y2_{= 0 8 3y(20 – y) = 0} y= 0 (no vale) y= 20 8 x= 10 6

√π 3

√π 3

√π

3

√π 9

π 27 3π 54 – 2πr2

2πr 54 – 2πr2

2πr √3

r h

x

(En y = 20 hay un máximo, pues V'(y) > 0 a la izquierda de este valor y V'(y) < 0 a su derecha).

Los lados de la cartulina medirán 20 cm y 10 cm.

Página 305

Regla de L'Hôpital

s16 Calcula, utilizando la regla de L’Hôpital, los siguientes límites, que son del

tipo :

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)

k) l)

a) = = = –

b) = = 1

c) =

Hallamos los límites laterales:

= –@; = +@

d) = = ln a– ln b= ln

e) = = = = –2

6x2_{– 2} —— (1 + x2₎3

cos x lím

x8 0

–2x —— (1 + x2)2

sen x lím

x8 0

1 —— – 1

1 + x2 1 – cos x lím

x8 0

arctg x – x x– sen x lím

x8 0

a b axln a– bxln b

1 lím

x8 0

ax– bx x lím

x8 0

cos x sen x lím

x8 0+

cos x sen x lím

x8 0–

cos x sen x lím

x8 0

sen x 1 – cos x lím

x8 0

ex_{+ 3x}2 ex_{+ x}3 lím

x8 0

ln(ex_{+ x}3₎ x lím

x8 0

3 5 3 –5 3x2 2x– 3 lím

x8 –1

x3+ 1 x2_{– 3x– 4} lím

x8 –1

tg x– 8 sec x+ 10 lím

x8 π/2

1 – cos x ex– 1 lím

x8 0

)

x– sen x x sen x

(

lím

x8 0

1 – cos2_(2x)

3x2

lím

x8 0

ln(1 + x)

4

√x3

lím

x8 0

ln(cos3x) x2 lím

x8 0

ex– esen x 1 – cos x lím

x8 0

arctg x – x x– sen x lím

x8 0

ax_{– b}x x lím

x8 0

sen x 1 – cos x lím

x8 0

ln(ex_{+ x}3₎

x lím

x8 0

x3+ 1 x2– 3x– 4 lím

x8 –1

)

0 0

f ) = =

= = 0

g) = = =

= = –

h) = = = 0

i ) = = =

= = =

j )

(

)

= = = 0

k) = = 0

l) = = = 1

Coeficientes de una función

17 Dada la función y= ax4_{+ 3bx}3_{– 3x}2_{– ax, calcula los valores de a y b}

sabiendo que la función tiene dos puntos de inflexión, uno en x= 1 y otro en x= 1/2.

f '(x) = 4ax3_{+ 9bx}2_{– 6x– a} f ''(x) = 12ax2+ 18bx– 6

Restando las igualdades: a+ 1 = 0 8 a= –1 Sustituyendo en la 2.a ecuación: 3b– 3 = 0 8 b= 1

° ¢ £

2a + 3b– 1 = 0 a + 3b– 2 = 0

° ¢ £

f ''(1) = 0 8 12a+ 18b– 6 = 0 f ''(1/2) = 0 8 3a+ 9b– 6 = 0

1 sen x lím

x8 π/2

1 —— cos2x

sen x ——

cos2_x lím

x8 π/2

tg x– 8 sec x+ 10 lím

x8 π/2

sen x ex lím

x8 0

1 – cos x ex– 1 lím

x8 0

sen x

cos x+ cos x–x sen x lím

x8 0

1 – cos x sen x+x cos x lím

x8 0

x– sen x x sen x lím

x8 0

4 3 4 cos 4x

3 lím

x8 0

sen 4x 3x lím

x8 0

2 sen 4x 6x lím

x8 0

2 cos (2x) sen (2x) · 2 6x

lím

x8 0

1 – cos2_(2x) 3x2 lím

x8 0

4 4√x 3 (1 +x) lím

x8 0

1 ——

1 + x 3 ——

44√—x lím

x8 0

ln(1 + x)

4 √x3 lím

x8 0

9 2 –9 (1 + tg2_3x)

2 lím

x8 0

–3 tg3x 2x lím

x8 0

–3 sen 3x ——

cos3x 2x lím

x8 0

ln(cos3x) x2 lím

x8 0

ex_{– e}sen x_cos2_{x+ e}sen x_{sen x}

cos x lím

x8 0

ex_{– e}sen x_{· cos x}

sen x lím

x8 0

ex_{– e}sen x

1 – cos x lím

s18 Sea f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx+ d un polinomio que cumple f(1) = 0, f '(0) = 2}

y tiene dos extremos relativos para x= 1 y x= 2. Halla a, b, c y d.

f(x) = ax3+bx2+cx+d f '(x) = 3ax2_{+ 2bx+c}

f(1) = 0 8 a+b+c+d= 0 a+b+d= –2 a=

f '(0) = 2 8 c= 2 c= 2 b=

f '(1) = 0 8 3a+ 2b+c= 0 3a + 2b= –2 c= 2

f '(2) = 0 8 12a+ 4b+c= 0 6a+ 2b= –1 d=

Así: f(x) = x3– x2+ 2x– ; f '(x) = x2– 3x+ 2 = (x– 1) · (x– 2)

19 De la función f(x) = ax3+ bx sabemos que pasa por (1, 1) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x+ y= 0. Halla a y b.

f(x) = ax3+bx; f '(x) = 3ax2+b

f(x) = –2x3+ 3x

s20 La curva y= x3_{+ ax}2_{+ bx+ c corta al eje de abscisas en x= –1 y tiene un}

punto de inflexión en (2, 1). Calcula a, b y c.

y= x3_+ax2_+bx+c f '(x) = 3x2+ 2ax+ b f ''(x) = 6x+ 2a

f(–1) = 0 8 –1 + a– b+c= 0 a–b+c= 1 a= – 6

f(2) = 1 8 8 + 4a+ 2b+c= 1 4a+ 2b+c= –7 b=

f ''(2) = 0 8 12 + 2a= 0 a = – 6 c=

21 La función f(x) = x3+ ax2+ bx+ c verifica que f(1) = 1, f '(1) = 0 y que f no tiene extremo relativo en x= 1. Calcula a, b y c.

☛Si es f ' (1) = 0 y no hay extremo relativo, tiene que haber una inflexión en x = 1.

f(x) = x3_+ax2_+bx+c f '(x) = 3x2_{+ 2ax+ b} f ''(x) = 6x+ 2a

31 3 10

3

° ¢ £

a= –2

b= 3

° ¢ £

f(1) = 1 8 a+b= 1 f '(1) = –3 8 3a+b= –3

5 6 3

2 1 3

–5 6 –3 2 1 3

° § § § § ¢ § § § § £

° § § § ¢ § § § £

f(x) = x3_{– 3x}2_{+ 3x}

s22 Sea f(x) = x3_{+ ax}2_{+ bx+ 5. Halla a y b para que la curva y= f(x)}

ten-ga en x= 1 un punto de inflexión con tangente horizontal.

Si la curva tiene un punto de inflexión en x= 1, debe ser f ''(1) = 0.

f '(x) = 3x2_{+ 2ax+b 8 f ''(x) = 6x+ 2a 8 f ''(1) = 6 · 1 + 2a 8 6 + 2a= 0} Si en x= 1 la tangente es horizontal, su pendiente será 0; y, por tanto, f '(1) = 0. f '(1) = 3 · 12+ 2a· 1 +b= 3 + 2a+b= 0

Resolvemos:

La curva será f(x) = x3_{– 3x}2_{+ 3x+ 5.}

23 Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y= en el punto 3, .

Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia.

f '(x) = ; f '(3) =

• Ecuación de la recta tangente en

(

3,

)

:

y= – (x– 3)

• Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados:

x= 0 8 y= 8 Punto

(

0,

)

y= 0 8 x= 6 8 Punto (6, 0)

dist

[

(

3,

)

,

(

0,

)

]

= (3 – 0)2₊

(

_–

)

2₌

dist

[

(

3,

)

, (6, 0)

]

= (6 – 3)2₊

(

_{0 –}

)

2₌ √82 3 1

3 1

3

√82 3 2

3 1 3 2

3 1 3

2 3 2

3 1 9 1 3

1 3 –1

9 –1

x2

)

1 3

(

1 x

PARA RESOLVER

6 + 2a= 0 8 a= –3

3 + 2a+b= 0 8 b= –3 – 2(–3) = 3 °

¢ £

° § ¢ § £

a = –3

b= 3

c= 0

° § ¢ § £

f(1) = 1 8 1 + a + b+ c= 1 f '(1) = 0 8 3 + 2a+ b= 0 f ''(1) = 0 8 6 + 2a = 0

° § § § ¢ § § § £