Ejercicios del Teorema de L’  Hopital

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(1)Sergio Yansen Núñez 1.. lim x→0. 2.. lim x→0. 3.. 4.. π x − cotx 2 cosx. lim. 1 − 12 x sin 2 x. lim x→0. 6.. lim x→0. 7. 8.. tanx + secx − 1 tanx − secx + 1. lim. x→ π2. x→0. 5.. x − sinx x3. lim. x→0 +. x − arcsinx sin 3 x x − arctanx x − arcsinx 1 x. arctan x  − 2 arctan. lim arcsinx cotx x→0. 9. 10.. lim lnx lnx − 1. x→1 +. lim x→1. 11.. x − 1 x−1 lnx. 1 lim e x + x x x→0. 12. 13.. 3 4 + lnx lim x. x→0 +. 1 lim 1 + x 2  x x→0. 14. 15.. 1 lnx lim cotx. x→0 +. lim tanx 2x−π. x→ π2. Teorema de L’Hopital. x 2.

(2) Sergio Yansen Núñez Resolución. 1.. x − sinx x3. lim x→0. = lim. 1 − cosx 3x 2. Forma indetermina da del tipo 0 0. = lim. sinx =lim 6x x→0. 1 ⋅ sinx x 6. L′H. L′H. 2.. Forma indeterminada del tipo 0 0. x→0. x→0. tanx + secx − 1 tanx − secx + 1. lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. = lim. sec 2 x + secx tanx sec 2 x − secx tanx. =lim. secxsecx + tanx secxsecx − tanx. L ′ H x→0. x→0. =lim x→0. secx + tanx =1 secx − tanx. Teorema de L’Hopital. = 1 ⋅1 = 1 6 6.

(3) Sergio Yansen Núñez 3.. π x − cotx 2 cosx. lim x→. π 2. = lim x→. π 2. = lim. 2x cosx − π cotx 2 cosx cotx cosx sinx cosx 2 cosx ⋅ sinx. 2x cosx − π ⋅. x→ π2. = lim. π sinx cosx 2 cosx sinx. cosx 2x −. x→ π2. = lim. Forma indetermina da del tipo ∞ − ∞. π sinx 2 cosx sinx. 2x −. x→ π2. 2x sinx − π sinx = lim 2 cosx π x→ 2 sinx = lim x→ π2. 2x sinx − π 2 cosx. = lim. π L ′ H x→ 2. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2 sinx + 2x cosx = −1 −2 sinx. Teorema de L’Hopital.

(4) Sergio Yansen Núñez. 4.. 1 − 12 x sin 2 x. lim x→0. =lim x→0. x 2 − sin 2 x x 2 sin 2 x. = lim. L ′ H x→0. =lim x→0. Forma indetermina da del tipo ∞ − ∞ Forma indeterminada del tipo 0 0. 2x − 2 sinx cosx 2x sin 2 x + 2x 2 sinx cosx. 2x − sin2x 2x sin 2 x + x 2 sin2x. = lim. L ′ H x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2 − 2 cos2x 2 sin x + 4x sinx cosx + 2x sin2x + 2x 2 cos2x 2. =lim. 1 − cos2x sin x + 2x sinx cosx + x sin2x + x 2 cos2x. =lim. 1 − cos2x sin x + x sin2x + x sin2x + x 2 cos2x. =lim. 1 − cos2x sin 2 x + 2x sin2x + x 2 cos2x. x→0. x→0. x→0. 2. 2. = lim. L ′ H x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2 sin2x 2 sinx cosx + 2 sin2x + 4x cos2x + 2x cos2x − 2x 2 sin2x. =lim. 2 sin2x sin2x + 2 sin2x + 6x cos2x − 2x 2 sin2x. =lim. 2 sin2x 3 sin2x + 6x cos2x − 2x 2 sin2x. x→0. x→0. = lim. L ′ H x→0. =lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 4 cos2x 6 cos2x + 6 cos2x − 12x sin2x−4x sin2x − 4x 2 cos2x. 4 cos2x = 1 3 12 cos2x − 16x sin2x − 4x 2 cos2x. Teorema de L’Hopital.

(5) Sergio Yansen Núñez 5.. x − arcsinx sin 3 x. lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 1 1 − x2 = lim 2 L ′ H x→0 3 sin x cosx 1−. 1 − x2 − 1 1 − x2 =lim 2 x→0 3 sin x cosx 1 − x2 − 1 3 sin 2 x cosx 1 − x 2. =lim x→0. 1 − x2 − 1 1 ⋅ sin 2 x 3 cosx 1 − x 2. =lim x→0. lim x→0. 1 = 1 2 3 3 cosx 1 − x 1 − x2 − 1 sin 2 x. lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 1 ⋅ −2x 2 1 − x2 = lim 2 sinx cosx L ′ H x→0 −x 1 − x2 =lim x→0 2 sinx cosx = lim x→0. =lim x→0. Luego, lim x→0. −x 2 sinx cosx 1 − x 2 −1 = −1 2 sinx 2 x cosx 1 − x 2 1 − x2 − 1 1 ⋅ 2 sin x 3 cosx 1 − x 2. Teorema de L’Hopital. = −1 ⋅ 1 = − 1 2 3 6.

(6) Sergio Yansen Núñez 6.. x − arctanx x − arcsinx. lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 1 1 + x2 = lim 1 L ′ H x→0 1 − 1 − x2 1−. 1 + x2 − 1 1 + x2 1 − x2 − 1 1 − x2. =lim x→0. x2 1 − x2 1 + x 2  1 − x 2 − 1. =lim x→0. 1 − x2 x2 ⋅ 1 + x2 1 − x2 − 1. =lim x→0. lim x→0. 1 − x2 =1 1 + x2 x2 1 − x2 − 1. lim x→0. = lim. L ′ H x→0. =lim x→0. Luego, lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2x 1 ⋅ −2x 2 1 − x2 −1 1 2 1 − x2. = −2. 1 − x2 x2 ⋅ 1 + x2 1 − x2 − 1. Teorema de L’Hopital. = −2 ⋅ 1 = −2.

(7) Sergio Yansen Núñez. 7.. 1 x. lim. x→0 +. = lim. arctan x  − 2 arctan x 2. arctan x  − 2 arctan. 1 ⋅ 1 −2 2 2 x 1+ x = lim. 1 1+. 1 8 2 x. + L ′ H x→0. 1 1 − 2 x 1 + x 2 x 1+ x 4 = lim 1 + x→0 2 x. x→0 +. = lim. x→0 +. Forma indeterminada del tipo 0 0. x. x→0 +. = lim. x 2. 1 2 x. 1 − 1 1+x 1+ x 4 1 2 x. 1 − 1 1+x 1+ x 4. Teorema de L’Hopital. =0. x 2. 2. ⋅ 1 ⋅ 1 2 2 x.

(8) Sergio Yansen Núñez 8.. lim arcsinx cotx x→0. =lim arcsinx x→0. Forma indeterminada del tipo 0 ⋅ ∞. cosx sinx. arcsinx ⋅ cosx sinx. =lim x→0. lim cosx = 1 x→0. lim x→0. arcsinx sinx. = lim. L ′ H x→0. Luego, lim x→0. Forma indeterminada del tipo 0 0 1 1 − x2 cosx. =1. arcsinx ⋅ cosx sinx. Teorema de L’Hopital. = 1⋅1 = 1.

(9) Sergio Yansen Núñez 9.. lim lnx lnx − 1. x→1 +. Forma indeterminada del tipo 0 ⋅ −∞. lnx − 1 1 lnx. = lim. x→1 +. 1 x − 1 = lim 1 + x→1 − 2 ⋅ 1 ln x x = lim. −x ⋅. x→1 +. ln 2 x x−1. lim −x = −1. x→1 +. lim. x→1 +. ln 2 x x−1. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2 lnx x = lim =0 1 + ′ x→1 LH Luego, lim. x→1 +. −x ⋅. ln 2 x x−1. Teorema de L’Hopital. = −1 ⋅ 0 = 0.

(10) Sergio Yansen Núñez lim. 10.. x→1. x − 1 x−1 lnx. =lim. x lnx − x + 1 x − 1 lnx. =lim. lnx + 1 − 1 ln x + x −x 1. =lim. lnx x ln x + x − 1 x. =lim. x lnx x ln x + x − 1. x→1. x→1. x→1. x→1. =lim. x⋅. x→1. Forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ Forma indeterminada del tipo 0 0. lnx x ln x + x − 1. lim x = 1 x→1. lim x→1. lnx x ln x + x − 1 = lim. L ′ H x→1. Luego, lim x→1. x⋅. Forma indeterminada del tipo 0 0. 1 x = 1 2 ln x + 2 lnx x ln x + x − 1. Teorema de L’Hopital. = 1⋅ 1 = 1 2 2.

(11) Sergio Yansen Núñez 1 lim e x + x x. 11.. Forma indeterminada del tipo 1 ∞. x→0. ln e x +x. 1 x. =lim e. Recuerde que a = e lna. x→0. 1 =lim e x. lne x +x. , exp es función continua en IR. x→0. lim. = e x→0 lim x→0. 1 x. lne x +x. lim. = e x→0. lne x + x x. lne x + x x. Forma indeterminada del tipo 0 0. ex + 1 x = lim e + x = 2 1 L ′ H x→0 1 Luego, lim e x + x x = e 2 x→0. Teorema de L’Hopital.

(12) Sergio Yansen Núñez. 12.. 3 4 + lnx lim x. Forma indeterminada del tipo 0 0. x→0 +. ln x. 3 4 + lnx. = lim e. Recuerde que a = e lna. x→0 +. 3 = lim e 4 + lnx. lnx. x→0 +. =e lim. x→0 +. lim. x→0 +. , exp es función continua en IR. 3 lnx 4 + lnx. 3 lnx 4 + lnx. Forma indeterminada del tipo ∞ ∞. 3 = lim x = lim 3 = 3 1 x→0 + + L ′ H x→0 x 3 4 + lnx = e 3 Luego, lim x x→0 +. Teorema de L’Hopital.

(13) Sergio Yansen Núñez 1 lim 1 + x 2  x. 13.. Forma indeterminada del tipo 1 ∞. x→0. ln. 1+x 2. 1 x. =lim e. Recuerde que a = e lna. x→0. 1 =lim e x. ln 1+x 2. , exp es función continua en IR. x→0. lim. = e x→0 lim x→0. ln1 + x 2  x. ln1 + x 2  x. Forma indeterminada del tipo 0 0. 2x 1 + x2 = 0 = lim 1 L ′ H x→0 1 Luego, lim 1 + x 2  x = e 0 = 1 x→0. Teorema de L’Hopital.

(14) Sergio Yansen Núñez. 14.. 1 lnx lim cotx. x→0 +. ln cotx. 1 lnx. = lim e. Recuerde que a = e lna. x→0 +. 1 = lim e lnx. lncotx. x→0 +. =e. lim. x→0 +. lim. x→0 +. Forma indeterminada del tipo 0 0. , exp es función continua en IR. lncotx lnx. lncotx lnx. Forma indeterminada del tipo +∞ −∞. − csc 2 x cotx = lim 1 + L ′ H x→0 x − sin12 = lim. x→0 +. = lim. x→0 +. = lim. x→0 +. x cosx sinx. 1 x −x sin x cos x −1 = −1 sin x cos x x. 1 lnx Luego, lim cotx = e −1 x→0 +. Teorema de L’Hopital.

(15) Sergio Yansen Núñez lim tanx 2x−π. 15.. x→. = lim e ln x→. tanx 2x−π. Recuerde que a = e lna. π 2. = lim e x→. Forma indeterminada del tipo ∞ 0. π 2. 2x−π lntanx. π 2. , exp es función continua en IR. lim 2x−π lntanx π. = e x→ 2. lim 2x − π lntanx. x→ π2. lim x→. π 2. lntanx 1 2x − π. Forma indeterminada del tipo 0 ⋅ ∞. Forma indeterminada del tipo ∞ ∞. sec 2 x tan x = lim 2 π ′ x→ − LH 2 2x − π 2 1 cos 2 x sinx cosx = lim 2 x→ π2 − 2x − π 2 = lim x→ π2. = lim x→ π2. = lim x→ π2. lim x→. π 2. lim. x→ π2. 1 sinx cosx. −. 2 2x − π 2. 2x − π 2 −2 sinx cosx 2x − π 2 1 ⋅ cosx −2 sinx 1 −2 sinx 2x − π 2 cosx = lim. π L ′ H x→ 2. = −1 2 Forma indeterminada del tipo 0 0. 42x − π =0 − sinx. Teorema de L’Hopital.

(16) Sergio Yansen Núñez. Luego, lim x→ π2. 2x − π 2 1 ⋅ cosx −2 sinx. Por lo tanto, lim tanx 2x−π = e 0 = 1 x→ π2. Teorema de L’Hopital. = 0⋅. −1 2. =0.

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