T 01 Campo gravitatorio

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(1)2010-2011. Campo gravitatorio. Dinámica de la rotación Momento de un vector con respecto a un punto: M. El momento del vector F con respecto al punto O se    define como el producto vectorial M  r  F. O. Es un vector perpendicular al plano formado por los   vectores r y F y el sentido viene dado por la regla. r. F. P. del tornillo al pasar del primero al segundo. Se mide en N·m (nunca en J). Si en lugar de un punto tenemos un sólido que está girando alrededor de un eje, cada punto del sólido describe una circunferencia. El momento total será la suma de todos los momentos:. M   ri  Fi   ri  ma i   ri ·mr i   mri2 Si comparamos está expresión con la equivalente en traslación F  m·a vemos que el equivalente a la masa en rotación es el momento de inercia I .  mr. 2 i. . Si el sólido está formado por un número enorme de partículas de masa dm entonces I  r 2 dm Los momentos de inercia mas frecuentes son: Cilindro macizo Cilindro hueco Disco Aro. I. 1 MR 2 2. I  MR 2 I. 1 MR 2 2. I  MR 2. 1 2 ML 3 1 ML2 Varilla centro I  12 2 2 Esfera I  MR 5. Varilla extremo. I. Momento angular de una partícula de masa m que se mueve respecto al punto O se define    como L  r  mv . Si derivamos esa expresión con. L. O. r. mv. respecto al tiempo tenemos el principio de. F. conservación:       dL d  dr dv   r  mv    mv  r  m  dt dt dt dt         v  mv  r  F  r  F  M. P. - 1 -. Fco Javier Corral.

(2) 2010-2011. Campo gravitatorio. Esto nos dice que si sobre un cuerpo la suma de los momentos de las fuerzas exteriores es cero entonces el momento angular permanece constante. Energía de rotación: La energía cinética de un sistema de partículas en rotación es:. 1 1 1 1 EC   mi v i2   miri2 2  2  miri2  I·2 2 2 2 2 Las fórmulas en traslación y en rotación son las mismas, tan solo hay que cambiar cada magnitud en traslación por su correspondiente en rotación: TRASLACION. ROTACION. e, v, a. , , . 1 2 at 2 v  v 0  at. 1 2 t 2   0  t. e  eo  v ot .   o  o t . F  m·a dv dp Fm  dt dt. M  r  F  r·ma  r·mr  mr 2   I· d dL M I  dt dt I   mr 2. m. p  mv W  F·d 1 EC  mv 2 2. L  r  mv  I· W  M· 1 EC  I·2 2. Concepto de campo: Se define un campo como una zona del espacio en la que se deja sentir una magnitud (a cada punto del espacio se le puede dar un valor de esa magnitud en un instante determinado). Los campos pueden ser: Escalares: Si la magnitud que se deja sentir es escalar (p.ej: la temperatura) Vectoriales: Si la magnitud que se deja sentir es vectorial. Los campos gravitatorio, eléctrico y magnético son vectoriales (la magnitud que se deja sentir es una fuerza). Centrales: El vector de la magnitud que define el campo está dirigido siempre hacia el mismo punto. Conservativos: Si el trabajo para trasladar algo de un punto a otro depende solo de los puntos inicial y final y no del camino recorrido. Uniformes: Si la magnitud que define el campo permanece constante. Estacionarios: Si no dependen del tiempo.. - 2 -. Fco Javier Corral.

(3) 2010-2011. Campo gravitatorio. Leyes de Kepler Utilizando los datos sobre movimiento relativo de los planetas, recopilados por Tycho Brahe durante años, enuncia las tres leyes que explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Kepler 1: Ley de las órbitas Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que ocupa uno de los focos. Las órbitas son planas y su excentricidad es próxima a la de una circunferencia. La excentricidad de una elipse se define como el cociente F. a. F. b. e. c. c  a. a 2  b2 a. Varía entre 0 (circunferencia, a=b) y 1 (línea recta, b=0) . a. La excentricidad de la órbita terrestre es 0,0168.. Kepler 2: Ley de las áreas El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad del planeta es mayor cuando está cerca del Sol y menor cuando está lejos. El área del triángulo es dS . velocidad areolar como el área barrida por unidad de   dS 1  dr 1   tiempo: v A   r  rv dt 2 dt 2. S1. S2.  1 r  dr ; si definimos la 2. . . . recordando que el momento angular es L  r  mv y que se mantiene constante podemos decir que la velocidad. r+dr. dr. areolar se mantiene constante. vA . r. 1 L  cte 2m. Kepler 3: Ley de los periodos Para los cuerpos que dan vueltas alrededor de la misma estrella, el resultado de dividir el cuadrado del periodo entre el cubo del radio orbital es una constante. Las dos fuerzas que actúan sobre el planeta son iguales FA  FCF. FA. G. FCF. Mm v2 m 2 R R 2. G. - 3 -. M 4 2  2   v 2  (R)2   R   2 R 2 R T  T  2 2 T 4   cte 3 R GM. Fco Javier Corral.

(4) 2010-2011. Campo gravitatorio. Ley de Newton de la gravitación Deducida por Newton a partir de las leyes de Kepler dice que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al valor de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: m1. F21. F12. m2. FG. m1m2 d2. La constante G vale 6,67·10-11Nm2kg-2. d. Si un cuerpo gira alrededor del otro, la fuerza de atracción entre ellos es la fuerza centrípeta: 2. v 2 m  2d  4 2m  d3  4 2m FA  FCP  m   k     d d T  d2  T 2  d2. luego la fuerza de atracción depende del cuadrado de la distancia. Las fuerzas de atracción gravitatoria: Tienen como dirección la recta que une los centros de los cuerpos. Aparecen por pares F12  F21 (acción y reacción) Para masas discretas la fuerza es despreciable. Intensidad de campo gravitatorio Se representa por g y se define, en un punto del espacio, como la fuerza que actúa por unidad de masa:. g. F M G 2 m r. Es un vector que va dirigido hacia el centro del cuerpo que atrae y se mide en N·kg-1. El campo gravitatorio se representa por líneas de fuerza (cada una de las trayectorias seguidas por la unidad de masa cuando se abandona en un punto). Las líneas de fuerza no se cortan y el campo es más fuerte si las líneas están más juntas. Si el campo es uniforme las líneas son paralelas. Variación de la gravedad con la altura. Tenemos que tener en cuenta que estemos donde estemos quien nos va a atraer es la esfera que estamos pisando en cada momento. De acuerdo con esto: En el exterior de la Tierra:. - 4 -. Fco Javier Corral.

(5) 2010-2011. Campo gravitatorio El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Su. h. masa es la terrestre pero su radio es RT+h. RT. Luego g será: g  G. MT. R T  h . 2. Disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre y se hace cero en el infinito.. En el interior de la Tierra: El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Si suponemos que la densidad de la Tierra  es uniforme: 4  R 3 M V 4 gG 2 G 2 G 3 2  GR  cte·R R R R 3 La gravedad es una función lineal del radio de la esfera y. R h RT. varía desde cero en el centro de la Tierra hasta 9,8 ms-2 en la superficie.. Representando el valor de g frente a la distancia, tenemos que es cero en el centro de. g 9,8. la Tierra y crece linealmente hasta llegar a la superficie, donde alcanza el valor máximo. A partir de ahí la gravedad disminuye con la altura y se hace cero en el infinito.. RT. distancia. Variación de la gravedad con la latitud. Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta cada punto de la superficie describe una trayectoria circular de radio R T cos  y se mueve con una velocidad lineal v  R T cos  .. . La fuerza centrífuga hace que la fuerza neta de atracción de la Tierra sea menor. Esa disminución es máxima en el ecuador y mínima en los polos. Por lo que la gravedad en el ecuador (9,78 ms-2) es menor que en los polos (9,83 ms-2).. - 5 -. Fco Javier Corral.

(6) 2010-2011. Campo gravitatorio. Energía potencial gravitatoria El trabajo necesario para desplazar una masa m desde un punto A hasta un punto B es: W  F·x en donde F es la fuerza y x la distancia entre los dos puntos. Si la fuerza no es constante y varía con la distancia como es el caso de la. B. A. fuerza en un campo gravitatorio tendremos que integrar desde la posición inicial hasta la final: B. B. A. A. W   F·dx   G. B. B  1 Mm dx 1 1  ·dx  GMm  GMm   GMm     2 2  x x xA  xB x A  A. Si quisiéramos trasladar esa masa desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, el trabajo necesario sería: . .   1 M Tm M Tm dx 1 1  ·dx  GMm  GM Tm   GM Tm    G 2 2  x x x RT RT   RT  RT RT RT La energía potencial se define como el trabajo necesario para trasladar una masa desde el. W.  F·dx . . G. infinito hasta la posición que ocupa en un instante dado. Así la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado en la superficie terrestre será el trabajo anterior cambiado de signo puesto que el trabajo se realiza ahora a favor de las fuerzas del campo: M Tm RT La energía potencial de un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre la superficie terrestre EP  G. es: EP  G. M Tm R T  h . Esta energía siempre es negativa (suponemos el cero de energía potencial en el infinito). Potencial gravitatorio Se define como el trabajo necesario para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta la posición que ocupa. V. EP MT  G m R  T  h. V se mide en. J kg. Al lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial se le llama superficie equipotencial que tiene las siguientes características: Por un punto solo puede pasar una superficie equipotencial. En el caso del campo gravitatorio son esferas con centro en el centro del planeta. El vector intensidad de campo es perpendicular a la superficie equipotencial. El trabajo para mover un cuerpo de un punto a otro de la misma superficie es 0.. - 6 -. Fco Javier Corral.

(7) 2010-2011. Campo gravitatorio. Satélites Un satélite es cualquier cuerpo que da vueltas alrededor de un planeta. Los satélites pueden ser naturales o artificiales. Las dos fuerzas que actúan sobre el satélite son iguales: FA  FCF. h FA. G. FCF. M Tm. R T  h . 2. m. v2 R T  h . y despejando v, tenemos la velocidad orbital del satélite: v. GM T R T  h . El tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta alrededor del planeta (periodo) es: L 2 R T  h  T   v GM T. 4 2 R T  h . R T  h . 3. GM T. Un satélite geoestacionario es aquel que tiene un periodo de 24 h, gira a la misma velocidad que la Tierra y está siempre en la misma vertical. Los satélites geoestacionarios se encuentran a una altura de 36000 km. La energía cinética de un satélite en su órbita es: EC . GM T 1 1 1 GM Tm mv 2  m  2 2 R T  h  2 R T  h . La energía potencial es: EP  G. M Tm R T  h . La energía total de un satélite en su órbita será la suma de las dos: ET  EC  EP . GM Tm 1 GM Tm 1 GM Tm   2 R T  h  R T  h  2 R T  h . Velocidad de escape Se define como la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que no vuelva a caer sobre la superficie del planeta. Para el caso de la Tierra, sabemos que el trabajo necesario para enviar un cuerpo de masa m hasta el infinito es: . W. G. RT. . . M Tm M m dx 1 ·dx  GMm  2  GM Tm  G T 2 x x x RT RT RT. - 7 -. Fco Javier Corral.

(8) 2010-2011. Campo gravitatorio. Ese trabajo hay que comunicárselo al cuerpo en forma de energía cinética: WG. GM T m M Tm 1  11190  mv 2 , despejando: v  2 RT s RT 2. Podemos hacer el mismo razonamiento por energías: La energía cuando el cuerpo sale de la Tierra es ET  EC  EP . M m 1 mv 2  G T , cuando llega al 2 RT. infinito no tiene energía potencial (origen de energía potencial) ni cinética (podemos suponer que se para) por lo que la energía total será cero. Aplicando el principio de conservación, la energía total también será cero en la superficie terrestre y al igualar obtenemos: M m 1 mv 2  G T  0 2 RT M m 1 mv 2  G T 2 RT. ET  EC  EP . v 2. - 8 -. GM T RT. Fco Javier Corral.

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