Base teórica sobre serie de potencias
Recordemos que una sucesión Sn converge a un número
p o que es convergente
con el limite
p
, si para cada número positivo dado
Є
, se puede encontrar un
numero N tal que
│Sn - p│<
Є
para todo n>N
Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que Sn se encuentra
entre (Sn –
Є
) y (Sn –
Є
) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del
valor que se elija para Є.
Ahora para el caso que tratamos p=Sn – Rn. Por lo tanto, │Sn - p│= │Rn│ luego la
convergencia en x=x0
significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como
queramos.
Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que
│x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia.
El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la
serie, por medio de las siguientes formulas:
1
1
1
)
lim
n)
lim
nn
n n
n
C
A
c
B
R
R
c
Siempre y cuando existan los limites.
Ejemplo
1) Para
el
caso
de
la
serie
1
1
1
1
3
(
1)3
1
1
lim
lim
lim
( )(3
)
3
3
3
n n
n
n n n
n
m
m
m
m
R
m
m
, el radio de
convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1
2) Si tenemos la serie
, el radio de convergencia será:
1
1
1
1
3
(
1)3
1
1
lim
lim
lim
( )(3
)
3
3
n n
n
n n n
m
m
m
m
R
m
m
Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia
│X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3].
Soluciones mediante series de potencias
1Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden: las de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o aquellas de las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.
Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coeficientes variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física, como las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coeficientes polinómicos.
Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables en términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales,
trigonométricas, etc., o inversas de éstas). Otras veces, aun sabiendo resolver la
ecuación, había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.
Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones lineales de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.
En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de soluciones mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de Frobenius.
1.
SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO
ORDINARIO
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden:
1
0 y ) x R( y ) x Q( y ) x
P( 1
ó en forma canónica :
0
y
)
x
q(
y
)
x
p(
y
1´Definiciones.
Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones
p( )
Q( )
P( )
x
x
x
yq( )
R( )
P( )
x
x
x
son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie deTaylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y sólo si P(x0)
0 (siendo 1 no simplificable).
Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó 1´.
Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 1´ en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por 1´ y las condiciones: y(x0) = y0, y´(x0) = b0 con x0 I
¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la
forma :
... ) x x ( a ... ) x x ( a ) x x ( a a
y 0 1 0 2 0 2 n 0 n 2
En caso afirmativo:
¿Cómo se obtienen los coeficientes an?
¿Dónde converge la serie 2 ?
Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones de la forma 2, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.
Teorema:
Si x0 es un punto ordinario de 1 (ó 1’ ) entonces la solución general de 1 en un cierto
entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez:
)
x
(
y
a
)
x
(
y
a
)
x
x
(
a
y
0 1 1 20 n
n 0
n
Siendo a0, a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente
El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el
mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la
ecuación 1, sea dicho punto real o complejo)
Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la
serie genérica
0 n
n 0 n
(
x
x
)
a
y
en 1, (así como los desarrollos de p(x) y q(x) siP(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.
Observaciones:
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.
b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa :y p( )x y q( )x y h( )x , siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0, antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.
2.
EJEMPLOS
Ejemplo 1
Hallar la solución general de la ecuación diferencial y xyy0, determinando dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x. Campo de validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que y (0) = 1 y´(0) = 0.
_____________
Es p( )
q( )
x x
x
1 . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus
respectivos desarrollos
R
R
1
2
, es decir x0 = 0 es punto ordinario..Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de
x, válida para todo x R.
Sea y a xn n
n
0
. Por tanto :
y n a xn n
n
1 1
,
y n n a xn n
n
( 1) 2
2
En la ecuación diferencial:
n n
a x
n nn
(
)
1
22
-
n a x
n nn
1
-
a x
n nn
0
0 en
Término independiente:
2 1
a
2
a
0
0
a
2
a
02
Coeficiente de x:
3 2
a
3
a
1
a
1
0
a3 a1 3Coeficiente de xn:
n
2
n
1
a
n2
n
1
a
n
0
a
a
n
n n 22
Ley de recurrencia :
a
a
n
n
n n
2
2
Luego a0 y a1 son libres y
a
a
n
a
a
n
n n 2 0 2 1 12
2
1
(
)!!
(
)!!
Por tanto :
y x
a
x
x
x
n
a x
x
x
x
n
a y x
a y
x
x
n n
( )
!!
!!
...
(
)!!
...
!!
!!
...
(
)!!
...
( )
( )
02 4 2
1
3 5 2 1
0 1 1 2
1
2
4
2
3
5
2
1
Solución particular: y
y a a ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1
Luego
y x
x
n
n
( )
(
)!!
20
2
y x x
Hallar, por el método de series de potencias en torno a x0 = 0, la solución general de la
ecuación diferencial:
(
1
x
2)
y
2
x
y
2
y
0
_____________
Es
p( )
q( )
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
2
Ambas analíticas en x0 = 0 con R1 = R2 = 1
Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para x 1.
Sustituyendo y a xn n
n
0
en la ecuación diferencial:
n n
a x
n nn
(
)
1
22
+ n n a xn n
n
( )
12
+2 n a xn n
n
1
- 2
a x
n nn
0
0
Término independiente:
2
a
2
2
a
0
0
a
2
a
0Coeficiente de x: 6a3 2a12a1 0 a3 0
... ... ...
Coeficiente de xn :
n
2
n
1
a
n2
n n
1
a
n
2
n a
n
2
a
n
0
a
n n
n
n
n
a
n
n
n
n
a
n
n n
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
an
n a
n n
3
1 2 n 2
Como a3 = 0 a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0
a
2n =
2 3
2 1 1
2 3
2 1
2 5
2 3
3 5
1 3
1 1
2 2 0
n
n a
n n
n
n a
n
n
... ( ) ...
(
)
1
2
1
1
0 n
n
a
Por tanto :
y =
a
x
x
x
n
x
a x
x
n n 0
2 4 6 1
2
1
1
1
3
5
1
2
1
1
...
(
)
...
En este caso puede sumarse la serie :
y =
a
0x
x
x
x
x
a x
3 5 7
1
1
1
3
5
7
...
y
a
0
1
x
arctg
x
a
1x
Nota
En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero, pueden aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean más complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes
an. Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.
Hallar por el método de series de potencias en torno a x0 = 1 los términos hasta la potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación diferencial:
0
y
y
x
y
2
Se efectúa el cambio de variable: x - 1 = t ó x = t + 1.
Entonces
y
,
y
y
x
d
t
d
t
d
y
d
x
d
y
d
y
2
y
(
t
1
)
y
y
0
, t0 = 0p( )
q( )
t
t
t
1
2
1
2
Ambas analíticas en t = 0 con R1 = R2 =
Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t.
Sustituyendo
y
a t
n nn
0
en la ecuación diferencial:
2
1
22
n n
a t
n nn
(
)
+n a t
n nn
1
+
n a t
n nn
11
+ a tn n
n
0
0
Término independiente:
2 2 1
a
2
a
1
a
0
0
a2 a0 a1 4Coeficiente de t:
2 3 2
a
3
a
1
2
a
2
a
1
0
a3 a1 a2 6... ... ...
a n a n a n n a a n a a a n n
n n n n
n n n 2
1 1 2 1
1 1
2 1 2 2 2 2
( ) ( )
( )( ) ( )
Luego: a2 a0 a1 4
;
a
a
a
a
a
a
3 1 0 1 1 04
6
3
24
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
4
2 3
0 1 1 0
0 1 1 0 0 1
8
4
3
24
8
6
6
3
192
5
9
192
x ... ) 1 x ( 192 9 8 ) 1 x ( 4 ) 1 x ( ) 1 x ( a ... ) 1 x ( 192 5 24 ) 1 x ( 4 ) 1 x ( 1 a ) x ( y 4 3 2 1 4 3 2 0 Ejemplo 4Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:
y’’ – 2xy’ + 8y = 0 ; y(0) = 3 , y’(0) = 0.
Son p(x) = -2x y q(x) = 8 , ambas analíticas en xo = 0 , con R1 = R2 =
Sustituyendo y a xn n
n
0
en la ecuación diferencial:
n n
a x
n nn
(
)
1
22
- 2 n a xn n
n
1
+ 8
a x
n nn
0
0
Término independiente :
2
a
2
8
a
0
0
a
2
4
a
0Coeficiente de x :
6
a
3
2
a
1
8
a
1
0
a
3
a
1... ... ...
Coeficiente de xn :
n
2
n
1
a
n2
2
n
a
n
8
a
n
0
Luego : n 2
a
n)
2
n
)(
1
n
(
)
4
n
(
2
a
. De donde: n
a
n 2)
1
n
(
n
)
6
n
(
2
a
n 2Se pide la solución tal que: y(0) = 3 e y’(0) = 0, es decir, tal que ao = 3 y a1 = 0.
Luego:
0
...
a
a
0
a
4
12
a
4
a
0
...
a
a
12
a
0
a
3
a
10 8 6
2 4
5 3
2 1 0
Por tanto: y = 3 – 12 x2 + 4 x4
Ejemplo 5: Ecuación y polinomios de Legendre (1752-1833)
0 y ) 1 m ( m y x 2 y ) x 1
( 2 3
Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.
Es 2 2 x 1 ) 1 m ( m ) x ( q x 1 x 2 ) x ( p
Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los
respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1
Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x, válida, al menos para x 1.
Sea
0 n n nx a
y . Sustituyendo en la ecuación :
2 n 2 n nx a ) 1 n (n -
2 n n nx a ) 1 n (
n -2
1 n n nx a
n +
0 n n nx a ) 1 m (
m 0
Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.
x0 : 21a2m(m1)a00 2 a0 1 2 ) 1 m ( m a
x1 : 32a3 2a1m(m1)a10 3 1 a1
! 3 ) 2 m )( 1 m ( a 2 3 2 ) 1 m ( m
a
... ...
2 n
n a ) 1 n )( 2 n ( ) 1 n m )( n m (
a a n 2
) 1 n ( n ) 1 n m )( 2 n m (
an n 2
Luego: 1 x ... x ! 5 ) 4 m )( 2 m )( 1 m )( 3 m ( x ! 3 ) 2 m )( 1 m ( x a ... x ! 4 ) 3 m )( 1 m ( m ) 2 m ( x ! 2 ) 1 m ( m 1 a y 5 3 1 4 2 0
Es decir : ya0y1(x)a1y2(x)
Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn(x) son respectivamente :
p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x -
3 5
x3 ...
Se llamapolinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solución
polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m (o sea, el múltiplo de pn(x), tal que
Pm(1) = 1.
Será:
P0(x) = 1 P1(x) = x
2 1 x 2 3 ) x (
P2 2 x
2 3 x 2 5 ) x (
P3 3
...
Algunas propiedades: (Sin demostraciones)
n 2 n n
n (x 1)
x d
d ! )! n 2 (
1 ) x (
P
O mediante una función generadora, debida a Legendre :
1 2xt t2
2 P0(x) P1(x)t P2(x)t2 ... 1
También mediante fórmulas de recurrencia:
n 1
n 1 n
1 n n
1 n
P ) 1 n ( 2 P P
) x ( P 1 n
n ) x ( P x 1 n
1 n 2 ) x ( P
Cumplen la relación de ortogonalidad :
m n1 n 2
2
n m 0
x d ) x ( P ) x ( P
1
1 m n 4
La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría esférica.
Ejemplo 6: Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)
La ecuación de Hermite es:
0 y 2 y x 2
Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.
Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x0= 0.
El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación 5, pues p(x) = -2x y q(x) = 2 son
analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son
ambos infinitos. Luego existe solución de 5 , de la forma
0 n
n nx
a
y , válida para todo x
real.
Sustituyendo en la 5 :
x 0 x a 2 x na 2 x a ) 1 n ( n
2 n
n n 2
n
n n 2
n
2 n
n
Luego:
Coeficiente de 1 : 2a2 2a0 0 a2 a0
---
Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2an= 0
Relación de recurrencia:
) 1 n ( n
a ) n 2 ( 2
an n 2
n 2
x ... x ! 7 ) 5 )( 3 )( 1 ( 2 x ! 5 ) 3 )( 1 ( 2 x ! 3 ) 1 ( 2 x a ... x ! 6 ) 4 )( 2 ( 2 x ! 4 ) 2 ( 2 x ! 2 2 1 a ) x ( y 7 3 5 2 3 1 6 3 4 2 2 0
Para = 0, 1,2,... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn(x),
para = n = 0, 1,2,... son respectivamente:
... , x 3 2 -x = ) x ( h , x 2 -1 = ) x ( h , x ) x ( h , 1 ) x (
h0 1 2 2 3 3
Se llamapolinomio de Hermite de grado n, y se designa Hn(x), a la solución polinómica de
la ecuación de Hermite de parámetro = n ( o sea el múltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente
de xn es 2n. Será por tanto:
... , x 12 -x 8 = ) x ( H 2, -x 4 = ) x ( H , x 2 ) x ( H , 1 ) x (
H0 1 2 2 3 3
Algunas propiedades: (sin demostración)
Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :
2 2 x n n x n
n
e
e
x d d ) 1 ( ) x (
H
0 n
n n t
tx 2
t ! n
) x ( H
2
e
O mediante las fórmulas de recurrencia :
) x ( H n 2 ) x ( H
) x ( H n 2 ) x ( H x 2 ) x ( H
1 n '
n
1 n n
1 n
Cumplen la relación de ortogonalidad:
n m ! n 2
n m 0 x d ) x ( H ) x (
Hm n n
x2
