“Jesús María Semprum”
Programa de Contaduría Pública Prof. Pedro Quintela
Matemática II
Unidad IV. Integral Indefinida
La adición y la sustracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la división, además de la potenciación y la radicación. En esta unidad se estudiará la operación inversa de la derivación denominada antiderivación, la cual implica el cálculo de una antiderivada o primitiva.
1. Definiciones
La primitiva, es lo “opuesto” de la derivada y se dice que: La primitiva de una función, es otra función cuya derivada coincide con la función dada.
Sólo con lo anterior se puede intentar encontrar una primitiva para cada una de las siguientes derivadas:
Derivadas (Dados)
Primitivas (Encontrados) ( ) = 3 + 6 ( ) = + 6
( ) =1 ( ) = ln
ℎ( ) = 3 ( ) = 3
(Verificar si sus resultados son o no correctos es muy fácil pues basta con derivar lo obtenido y compararlo con la función de partida)
Definición: Antiderivada o Primitiva
Una función se denomina antiderivada o primitiva de la función en un intervalo si ´( ) = ( ) para todo valor de en .
Por ejemplo, la función ( ) = 2 + 3 es una primitiva de la función ( ) = 6 + 3. Pero también son primitivas de la función :
( ) = 2 + 3 − 7 ( ) = 2 + 3 − 4 ( ) = 2 + 3 − 1 ( ) = 2 + 3 + 1 ( ) = 2 + 3 + 2 ( ) = 2 + 3 + 5
En realidad, cualquier función determinada por
2 + 3 +
donde es una constante, es una primitiva de .
Teorema: Representación de Antiderivadas o Primitivas
Si es una antiderivada de en un intervalo , entonces es una primitiva de en el intervalo en el intervalo si y sólo si es de la forma ( ) = ( ) +
, para todo en , donde es una constante.
Esto es, si ( ) = ( ) + , ´( ) = ( ), y es una constante, entonces
´( ) = [ ( ) + ] = ´( ) + 0 = ( ) Este teorema representa la familia completa de las antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida. La constante recibe el nombre de constante de integración.
Por ejemplo, sabiendo que [ ] = 2 , es posible representar la familia de todas las primitivas de ( ) = 2 por
( ) = +
La familia de funciones representadas por es la primitiva general, es decir, la solución general de una ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial en e es una ecuación que incluye a e a las derivadas de . Por ejemplos,
´ = 3 e ´ = + 1.
Notación para Antiderivadas o Primitivas
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma
= ( )
Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente
= ( )
La solución general se denota mediante
= ( ) = ( ) +
Donde
( ): Integrando
: Variable de integración : Constante de integración
La integración es la operación inversa de la derivación y consiste en da una diferencial, hallar la función de que proviene.
2. Técnicas de Integración
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo ´( ) por ( ) en la solución general para obtener
´( ) = ( ) + La integración es la inversa de la derivación Además, si ∫ ( ) = ( ) +
( ) = ( ) La derivación es la inversa de la integración
Estas dos ecuaciones, permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen:
Fórmulas de derivación Fórmulas de integración
[ ] = 0 0 =
[ ] = 1 = +
[ ] = = +
[ ( )] = ´( ) ( ) = ( ) +
[ ( ) ± ( )] = ´( ) + ´( ) [ ( ) ± ( )] = ( ) ± ( )
[ ] = =
+ 1+ si y sólo si ≠ −1
[ln ] =1 1 = ln + si y sólo si > 0
[ ] = = +
[ ] = ln =
ln +
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2.1. Aplicación de las Reglas de Integración
Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. Sin embargo, como representa cualquier constante de integración, sólo se escribe una sola vez en la forma más simple, agregándola al final de la primitiva obtenida.
Ejemplos 1. Evaluar las siguientes integrales de funciones polinómicas
a) = 1 Se entiende que el integrando es uno
= + Integrando
b) ( + 2) = + 2 Separando
=
2 + 2 + Integrando
c) (3 − 5 + ) = 3
5 − 5 3 + 2 + Integrando =3
5 −
5
3 + 2 + Simplificando
∎ El patrón general de integración es similar al de la derivación.
Antes de hacer los ejercicios se debe reconocer que uno de los paso más importantes en la integración es reescribir el integrando en una forma que corresponda con las reglas básicas de integración.
Ejemplos 2. Reescribir antes de integrar
Integral original Reescribir Integrar Simplificar
a) 1 =
−2+ −
1
2 +
b) √ /
⁄
3/2 +
2√
3 +
c) 5 5 / 5
⁄
5 3⁄ + 3 +
d) 2
√ 2
/ 2 ⁄
1 2⁄ + 4√ +
e) ( + 1) [( ) + 2 + 1] = ( + 2 + 1)
5 + 2 3 + + 5 +
2
3 + +
f) + 3 + 3 = ( + 3 )
2 + 3 −1 + 2 −
3 + Integral
g) √ ( − 4) ⁄ ( − 4) = / − 4 /
⁄
7/3 − 4
⁄
4 3⁄ +
3√
7 − 3 +
∎ Procedimientos para adaptar los integrandos a las reglas básicas
En muchos casos se hace necesario aplicar procedimientos comunes para adaptar los integrandos a las reglas básicas de integración.
Técnica Ejemplo
Desarrollar (el numerador) 2 −3 = (2 ) − 2(2 ) 3 + 3 = 4 − 12 + 9/
Separar el numerador 1 + 3 + 7 − 2 = 1 +3 +7 −2 = +3+ 7 − 2
Completar el cuadrado 1
√2 − =
1
1 − (1 − 2 + )=
1 1 − ( − 1) Dividir la función racional impropia
+ 1= 1 − 1
+ 1 Sumar y restar términos en el numerador 1
1 + =
1 + −
1 + =
1 +
1 + −1 + = 1 −1 +
Usar propiedades de logaritmos ln = ln
Usar propiedades de los exponentes y radicales (2 − 1) = (2 − 1)
Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico
2 − 18 √ + 3 =
2( − 9) √ + 3 ∙
√ − 3 √ − 3=
2( − 9) √ − 3
√ − 3 =
=2( − 9) √ − 3
− 9 = 2(√ − 3)
3. Integración con Condiciones Iníciales
En muchas aplicaciones de la integración se da suficiente información para determinar una solución particular de la solución general. Para hacer esto, sólo se necesita conocer el valor de . Esta información recibe el nombre de condición inicial.
Ejemplo 3. Encontrar la solución general de ´( ) = ; > 0 y determinar la solución particular que satisface la condición inicial (1) = 0.
Hallando la solución general ( ) = 1
= Reescribiendo
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= −1+ Simplificando
Hallando la solución particular usando la condición inicial (1) y resolviendo para de la siguiente manera: (1) = −1
1+ = 0 ⇒ −1 + = 0 ⇒ = 1 De tal modo, ( ) = − + 1; > 0
Graficando
Figura 2.1.
Se ha observado que la ecuación = ∫ ( ) tiene muchas soluciones (cada una difiriendo de las otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos primitivas de son traslaciones verticales una de la otra. 4. Integración por Sustitución (cambio de variable)
Con el reconocimiento de ciertos modelos y con un cambio de variable adecuado, simplifican la evaluación de integrales indefinidas. La sustitución en la integración es comparable al de la regla de la cadena en la derivación. Recordando que para funciones derivables dadas por = ( ) y = ( ), la regla de la cadena establece que
[ ( ( ))] = ´ ( ) ´( )
De acuerdo con la definición de una primitiva, se sigue
´ ( ) ´( ) = ( ) +
Estos resultados se resumen en el siguiente teorema. Teorema: Primitiva de una Función Compuesta
Sean y funciones tales, que ° son continuas en el intervalo . Si es una primitiva de en , entonces
( ) ´( ) = ( ) +
Si = ( ), entonces = ´( ) y
( ) = ( ) +
= −1+ = −1 = 0 = 1 = 2 = 3
Este método depende de la habilidad para reconocer (o crear) integrandos de la forma ( ) ´( ). Cabe destacar que la función compuesta en el integrando tiene una función externa y una función interna . Además, la derivada ´( ) está presente como un factor del integrando.
Estrategia para realizar un cambio de variable
1) Elegir una sustitución = ( ). Usualmente, es mejor elegir la parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.
2) Calcular = ´( ) .
3) Reescribir la integral en términos de la variable .
4) Encontrar la integral resultante en términos de .
5) Reemplazar por ( ) para obtener una primitiva en términos de .
6) Verificar la repuesta por derivación.
Ejemplos 3. Reescribir las integrales en términos de un cambio de variable
( ( )) ´( ) = ( ) = ´( ) ( )
a) ( + 1) (2 ) = + 1 = 2
b) 3 − 2 = − 2 = 3 √
c) 5 = 5 − 1 = 5
d)
√ + 1 = + 1 = √ =
e) ln 2 = ln 2 =(2 )´
2 =
f)
4 + 1 = 4 + 1 4 =
1 4
g)
√ 1 + √ = 1 + √ 2 =√ 2
∎ 5. Integración por Partes
Este método de integración puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes, siempre y cuando no se pueda hacer un cambio de variable. La integración por partes está basada en la fórmula para la derivada de un producto
[ ] = +
[ ] = +
= +
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Teorema: Integración por Partes
Si y son funciones de y tienen derivadas continuas, entonces,
= −
Esta fórmula expresa la integral en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de y , puede ser más fácil de evaluar la segunda integral que la original. Por consiguiente, en la integración por partes hay que hacer una buena selección de la variable y para tal efecto se va utilizar el acrónimo denominada LIATE. En orden, se verifica el integrando:
¿Hay una parte logarítmica?
¿Hay una parte trigonométrica inversa?
¿Hay una parte algebraica?
¿Hay una parte trigonométrica?
¿Hay una parte exponencial?
Estrategia para integrar por partes
1) Intentar tomar como la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como el factor restante del integrando.
2) Intentar tomar como la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que , y como el factor restante del integrando.
Integrales comunes utilizando integración por partes
i) Para integrales de la forma
, sen , o cos
Sea = y sea = , sen , o cos .
ii) Para integrales de la forma
ln , arcsen , o arctg
Sea = ln , arcsen , o arctg y sea = .
iii) Para integrales de la forma
sen , o cos
Sea = sen , o cos y sea = . 6. Integración por Fracciones Simples o Parciales
El método de integración por fracciones simples o parciales es un procedimiento para descomponer una función racional en funciones racionales más simples para poder aplicar fórmulas básicas de integración.
Descomposición de ( )( ) en fracciones simples
1) Dividir en caso impropio: Si ( )/ ( ) es una fracción impropia (es decir, si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador en el numerador para obtener
( )
( )= ( ) +
( ) ( )
2) Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de los tipos ( + ) y ( + + )
donde + + es irreducible.
3) Factores lineales: Para cada factor lineal ( + ) , la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de fracciones.
+ +( + ) + ⋯ +( + )
4) Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático ( + + ) , la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de fracciones.
+
+ + +
+
( + + ) + ⋯ +
+
( + + )
Estrategia para resolver la ecuación básica
Factores lineales
1) Sustituir en la ecuación básica las raíces de los distintos factores lineales.
2) Para factores lineales repetidos, usar los coeficientes lineales determinados en la estrategia 1 para reescribir la ecuación básica. Entonces sustituir otros valores convenientes de y resolver para los coeficientes restantes.
Factores cuadráticos
1) Desarrollar la ecuación básica.
2) Agrupar términos atendiendo a las potencias de .
3) Igualar los coeficientes de cada potencia para obtener un sistema de ecuaciones lineales conteniendo , , , entre otros.
