PERMUTACIONES
En esta sección, usaremos el Principio de la Multiplicación para hallar fórmulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición de n elementos tomando todos a la vez o parte de ellos de cada vez; para ello partiremos de ejemplos y obtendremos las fórmulas para cada caso.
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS
TODOS A LA VEZ
Ejemplo 4: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320
Analizando el ejemplo anterior podemos definir las permutaciones u ordenaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez, de la siguiente forma :
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ
"Las ordenaciones o permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez es n! y se denotan con el símbolo:
ó
Ejemplo 5: ¿De cuántas formas se pueden colocar 5 libros diferentes en un anaquel?
Solución:5!
PERMUTACIONES CIRCULARES
Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?
Observemos los siguientes arreglos:
Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular.
Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente . En consecuencia se puede establecer
PERMUTACIONES CIRCULARES
"El número de permutaciones circulares de n elementos tomados todos a la vez es (n - 1) !" y lo denotaremos por
Pcir,n = (n - 1)!
Ejemplo 6: ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?
El número de formas en que podemos sentar a los 3 mujeres alrededor de una mesa circular, dejando un lugar
en medio es 2!. Obsérvese que el primer renglón de círculos, los seis arreglos diferentes tienen a M M M
siempre en la misma posición; y en el segundo renglón, los seis arreglos tienen a M M M siempre en la misma posición; por ello son sólo dos arreglos de las tres mujeres, dejando un lugar en medio. Hay 3! = 6 formas de sentar a los tres hombres por cada uno de los dos arreglos de mujeres; quedando así en forma alternada.
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS
DE r EN r,
donde (r
n)
Ejemplo 7: ¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25 pupitres?
Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24 lugares a escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de arreglos sin repetición de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:
Esto se simboliza por =
Ejemplo 8: ¿Cuántos números se 2 cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos 8, 2, 5, 4, 7?
Solución: = 5 4 = 20
Observemos que: = 6 5 4 3 = 360
= 8 7 6
Regresando al ejemplo 3.7, donde =
Para que aparezca 25!, tenemos que multiplicar por 19! pero para que la igualdad no se altere tendremos que dividir por 19!, por lo tanto:
=
En general en la fórmula: = n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) para que aparezca n! en el numerador,
necesitamos multiplicar por (n - r) (n - r - 1) (3) (2) (1) y para que no se altere la igualdad debemos dividir entre (n - r)(n - r - 1) (3) (2) (1) = (n - r)! de modo que
= n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) =
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r, donde (r n).
"Las permutaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r, denotadas por , son iguales a:
= n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) = "
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS
DE r EN r,
donde (r < n , r > n, r = n)
Veamos otra aplicación del principio de la multiplicación. Supongamos que tenemos 20
niños de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. ¿De cuántas formas
diferentes podemos servir un helado a 20 niños?
Al primer niño le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo niño también le
podemos servir los 10 sabores, al tercero también, y así sucesivamente. A cada uno de los
20 niños le podemos servir de los 10 sabores, por lo que
= nr
Observe que r es el número de veces que se repiten los n elementos.
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r, donde (r n ó r > n).
Ejemplo 9: ¿De cuántas formas podemos contestar un examen de 12 preguntas de opción múltiple, si cada pregunta tiene 5 alternativas de respuesta; pero no sabemos cual es la combinación correcta, ¿cuál es el número máximo de intentos que podemos realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?
Solución: Para responder cada una de las preguntas del examen, tenemos 5 alternativas, y son 12 preguntas, por lo que
5 5 5 5 ( doce veces el 5)
=
Este es el número total de formas de contestar el examen, sin embargo una de ellas es la que tendría las doce respuestas acertadas, de tal forma que hay 512 -1 formas de responder el examen donde hay al menos una incorrecta.
Ejemplo 10: ¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los siguientes dígitos 7, 4, 8, 5, 3?
Solución: Como se pueden repetir los dígitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posición de las centenas cualquiera de los cinco y en la posición de las decenas también 5 dígitos al igual que en la posición de las unidades, por lo tanto, el resultado es 53 ó
Ejemplo 11: Queremos abrir un candado de combinación de 4 anillos, cada uno marcado con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5; pero no sabemos cual es la combinación correcta,
Solución: En cada uno de los 4 anillos pueden ponerse los 5 dígitos. Así que n=5 y r=4, por lo que el número
total de posiciones es = 625. Pero como una de estas 625 es la correcta, el número máximo de incorrectos es 624.
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE LOS CUALES
p
1SON DE
UN TIPO,
p
2SON DE OTRO TIPO,
,
p
kSON DE OTRO TIPO, DONDE
p
1+p
2+...+p
k=n
Ejemplo 12: ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 5 banderas de las cuales 2 son amarillas y 3 son rojas?
diferentes tendríamos 3! formas de acomodarlas, y en total habría X 2! 3! señales con todas las banderas diferentes y de este número debería ser igual a 5! es decir, X 2! 3! = 5!. Despejando
= 10
Las 10 señales son: AARRR, ARARR, ARRAR, ARRRA, RAARR, RARAR, RARRA, RRAAR, RRARA, RRRAA.
Veamos esto en un diagrama de árbol:
De esta manera:
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE LOS CUALES p1 SON DE UN TIPO,p2 SON
DE OTRO TIPO, , pk SON DE OTRO TIPO, DONDE p1 + p2 + +pk = n
"Las permutaciones de n elementos de los cuales p1 son de un tipo, p2 son de otro tipo, , pk de
otro tipo; donde p1 + p2 + + pk = n se denota por:
Ejemplo13: Doce estudiantes van a ir a Veracruz en tres carros, 3 estudiantes en un carro, 4 estudiantes en el segundo carro, y 5 en el tercer carro. ¿De cuántas formas se pueden acomodar, si cualquiera puede conducir?
Solución: Aquí, n = 12, = 3, = 4, = 5, por consiguiente,
