PROPORCIONES Y SEMEJANZA
LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe
b a
y se lee: a es a b.
PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. d c b a
, y se lee: a es a b como c es a d. a y c se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes.
c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos.
Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres.
Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.
x z y x
, x es la media proporcional entre y z;
3 6 6 12
; 6 es la media proporcional entre 12 y 3
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2 10 5 4 5 2 10 4 ; d c b a d c b a
2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción 5 15 7 21 21 15 7 5 ; 8 12 2 3 8 2 12 3 ; a c b d d c b a d b c a d c b a
3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.
6 9 2 3 9 6 3 2 ; c d a b d c b a 4. 10 24 5 12 10 10 14 5 5 7 10 14 5 7 ; d d c b b a d c b a 5. 10 4 5 2 10 10 14 5 5 7 10 14 5 7 ; d d c b b a d c b a
6. k
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD.
Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.
HIPOTESIS: DEAB
A – D – C y B – E – C
TESIS: CD CE DA EB
1. Sobre
CD
se toman n segmentoscongruentes de longitud
a
y sobreDA
se tomanm
segmentos congruentes de longituda
1. Construcción
2. Se trazan paralelas por esos puntos a
AB
2. Construcción 3. EnCE
se determinan n segmentos s delongitud
b
y enEB
se determinan m segmentos congruentes de longitudb
.3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas
4.
CD
n a DA
;
m a CE
;
n b EB
;
m b
4. De 1 y 3. Adición de segmentos 5.m n a m
a n DA CD
5. De 4
6.
m n b m
b n EB CE
6. De 4
7.
EB CE DA CD
7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.
COROLARIO 1:
CE CB DA CA
COROLARIO 2:
EB CB DA CA
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración)
TEOREMA DE THALES
HIPOTESIS: m n s
t1 y t2 son transversales
TESIS: AB BC DE EF
1. Trazamos
DK t
1
, tal que B – L – E y C – K – F1. Construcción
2.
EL KF
2. De 1 y de hipótesis 3.KL DL EF DE
3. De 2. Teorema fundamental de la proporcionalidad en DKF 4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición de
paralelogramo
5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 6.
BC AB EF DE
6. Sustitución de 5 en 3
7.
DE AB EF BC
7. De 6. Propiedad de las proporciones.
TEOREMA
En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.
HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A – D – B
TESIS: AD DB
AC BC
1. Por B se traza
BE
, tal queBE DC
;y
BE
AC
se cortan en E
1. Construcción
2.
CE DB AC AD
3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas
4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas
5. 5. De Hipótesis.
CD
es bisectriz 6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.CE
BC
7. De 6. En un triangulo a ángulos s seoponen lados congruentes
8.
AD
DB
AC
BC
8. Sustitución de 7 en 2
TEOREMA:
La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.
HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE
TESIS: AP BP
AC BC
1. Se traza
BD PC
, que corta aAC
en D 1. Construcción 2.DC AC BP AP
2. De 1. Teorema fundamental de la proporcionalidad en ACP
3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas. 4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre
paralelas
5. 5. De hipótesis.
PC
es bisectriz 6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.DC
BC
7. De 6. En un triangulo a ángulos s seoponen lados congruentes 8.
BC AC BP AP
8. Sustitución de 7 en 2
9.
BC BP AC AP
EJERCICIOS
1)
DE AC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes)
6 4 96
96 24
4 2
AB x
x x x BC BE BA BD
2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿
ED AC
?Si fueran paralelas se debería cumplir que
14 21 5 12 BA BC
BD BE , lo cual es falso porque no se cumple
que producto de medios es igual a producto de medios y por lo tanto ED no es paralelo a AC
3)
TESIS:
b c
b a EC c b
b a
b c b a EC b a b c EC b b c EC a AC AC AB EC EC BE AC AB EC BE AC EC AB BE c b b a DC b a c b DC b b c DC a AC AC AB DC DC BD AC AB DC BD . 11 ) ( . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 ) ( . 4 . 3 . 2 . 1
SEMEJANZA DE POLIGONOS.
Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.
'; '; '; '; '
A A B B C C D D E E
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AB BC CD DE EA
k
A B B C C D D E E A
Donde k, se llama constante de proporcionalidad
Se escribe ABCDE A’B’C’D’E’; se lee: “semejante a “
SEMEJANZA DE TRIANGULOS.
Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma.
;
;
A
D
B
E
C
F
AB
AC
BC
DE
DF
EF
La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple: 1. Propiedad reflexiva:
ABC
ABC
2. Propiedad simétrica:
ABC
DEF
DEF
ABC
3. Propiedad transitiva:
ABC
DEF
y DEF
PQR, entonces ABC
PQR
Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres
TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – A
Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.
HIPOTESIS:
;
;
A
R
B
S
C
T
TESIS:
ABC
RST
1. Sean D y E, puntos sobre
CA
yCB
, tales queCD
TR
y
CE
TS
1. Construcción
2. C T 2. De hipótesis
3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L – A – L
4. CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos s
5. R A 5. De hipótesis
6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva
7.
DE AB
7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes. 8.CB CE CA CD
8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad
9.
CB TS CA TR
9. Sustitución de 1 en 8.
10. De igual modo, tomando F y G en AB y
BC, tal que
BF
SR
y
BG
ST
, puede demostrarse queAB
CB
RS
TS
RS
TS
AB
CB
(hágalo)11.
AB RS CB TS CA TR
11. De 9 y 10
12.
A
R
;
B
S
;
C
T
12. De hipótesis13.
ABC
RST
13. De 11 y 12. Definición de triángulos semejantes.COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A – A)
COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes.
COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes.
ST BC RS AB RT AC TH CE
COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero.
Si
DE AB
, entoncesABC
DEC
TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – L
Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos
comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
HIPOTESIS:
CA
CB
NE
NL
C
N
1. En
CA
y enCB
, existen los puntos D y E tales queCD
NE
y
CE
NL
1. Construcción
2. C N 2. De hipótesis
3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L – A – L 4.
NL CB NE CA
4. De hipótesis
5.
CE CB CD CA
5. Sustitución de 1 en 4
6.
DE AB
6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad7.
CDE
ABC
7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejanteal primero. 8.
ABC
ELN
8. Sustitución de 3 en 7.COROLARIO
Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
EJERCICIO
HIPOTESIS:
AF BD CE
,
,
son alturas.TESIS:
ABC
FCD
FEB
ADE
1. C C 1. Propiedad reflexiva
2. CFA y CDB son rectángulos 2. De hipótesis. Definición de altura 3.
CFA
CDB
3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudocongruente 4.
AC BC CF CD
4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales
5.
FCD
ABC
5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A – L6. A A 6. Propiedad reflexiva
7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura. 8.
CAE
DAB
8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudocongruente 9.
AE AD AC AB
11. B B 11. Propiedad reflexiva
12. AFB y CBE son rectángulos 12. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo.
13.
AFB
CBE
13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo congruente.14.
FB EB AB CB
14. De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes. 15.
ABC
FEB
15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L 16.ABC
FCD
FEB
ADE
16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitivaNOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal.
TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – L
Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
HIPOTESIS:
EF BC DE
AB FD CA
TESIS:
ABC
DEF
1. En
CA
existe un punto G, tal queCG
FD
y enCB
existe H, tal queCH
FE
1. Construcción
2. Se traza
GH
2. Construcción 3.EF BC FD CA
3. De hipótesis
4.
GH
AB
4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad5.
CGH
CAB
5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero.6.
GH AB CG CA
6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales
7.
GH AB FD CA
7. Sustitución de 1 en 6.
8.
DE AB FD CA
8. De hipótesis.
9.
DE AB GH
AB
10.
DE GH AB AB
10. De 9. Propiedad de las proporciones.
11.
1
GH
GH
DE
DE
11. De 10.
12.
CGH
DEF
12. De 11 y 1. L – L – L 13.ABC
DEF
13. Sustitución de 12 en 5.COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.
COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruentes, entonces son semejantes.
EJERCICIOS RESUELTOS
DATOS: ABC es rectángulo en C
DEA es rectángulo en E
HALLAR el valor de x.
ABC
DEA
por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A)8 160
20 20 10
16 x x
x
2)
HIPÓTESIS: A CBD TESIS: BD2 DC AD
1. A CBD 2. 1. De hipótesis 3. D D 3. Propiedad reflexiva 4.
ADB
BDC
4. De 1 y 2. A – A 5.BD DC AD BD
5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes
3)
HIPOTESIS:
y
son medianas
ABC
HFE
AD
HL
TESIS:
AD
BC
HL
FE
1. B F 1. De hipótesis.
ABC
HFE
2.
FL FE
FE FL
BD BC
BC BD
2 2
2
2
2. De hipótesis. D y L son puntos medios
3.
FE BC HF
AB
3. De hipótesis. Los lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
4.
FL BD HF
AB 2 2
4. Sustitución de 2 en 3
5.
FL BD HF
AB
5. De 4. Simplificación
6.
ABD
HFL
6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L 7.HF AB HL AD
7. De 6. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
8.
FE BC HF
AB
8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos semejantes
9.
FE BC HL AD
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes.
HIPÓTESIS:
A
D
ABC
es isósceles conCA
CB
DEF
es isósceles conFD
FE
TESIS:ABC
DEF
1.
CA
CB
1. De hipótesis2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
3.
FD
FE
3. De hipótesisángulos congruentes. 5. A D 5. De hipótesis
6.
A
B
D
E
6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.ABC
DEF
7. De 6. A – A
II CASO:
HIPÓTESIS:
C
F
ABC
es isósceles conCA
CB
DEF
es isósceles conFD
FE
TESIS:ABC
DEF
1.
CA
CB
1. De hipótesis 2. m (A) = m (B) 2. De1. En un triangulo a ladoscongruentes se oponen ángulos congruentes
3. m (A) + m (B) + m (C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º
4. 2m(A) + m(C) = 180º 4. Sustitución de 2 en 3 5.
FD
FE
5. De hipótesis.6. m (D) = m (E) 6. De 5. Ver la razón 2.
7. m (D) + m (E) + m (F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º
8. 2m (D) + m(F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 7
9. 2m(A) + m(C) = 2m (D) + m(F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. m (C) = m (F) 10. De hipótesis
11. 2m (A) + m (C) = 2m (D) + m (C) 11. Sustitución de 10 en 9
12. 2m (A) = 2m (D) 12. De 11. Propiedad cancelativa. 13. m (A) = m (D) 13. De 12
14.
ABC
DEF
14. De 13 y 10. A – ARELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.
TEOREMA
Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.
HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E
1. Se trazan
AD
y
CB
1. Construcción2. C A 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD 3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC 4.
CEB
AED
4. De 2 y 3. A – A5.
DE EB AE CE
5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes 6. AE EB CE DE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.
DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE
BC: Segmento externo de la secante
AB: Segmento interno de la secante
TEOREMA:
Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo.
HIPÓTESIS:
PA
Tangente.
PC
secante a la circunferencia y la corta en B y C.TESIS:
PA PB PC PA
1. Se trazan
AC
yAB
1. Construcción 2.2
m arcoAB
m
C
2. Por ser un ángulo inscrito.
3.
2
m arcoAB
m
BAP
3. Por ser un ángulo semiinscrito.
4. m(C) = m(BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva. 5. m(P) = m(P) 5. Propiedad reflexiva
6.
CAP
ABP
6. De 4 y 5. A – A7.
PA PB PC PA
TEOREMA:
Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.
HIPÓTESIS: PA y PC son secantes
PA corta a la circunferencia en B y A PC corta a la circunferencia en D y C
TESIS: PA PB PC PD
La demostración se deja como tarea.
EJEMPLO
Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x – 4
40 ) 4 2 ( 4 5 8 4 ) 4
(x x x
DC AD DB FD
Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7
PROYECCIONES:
La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.
CD
es la proyección deAB
sobre recta mEL
es la proyección deEN
sobre la recta nLa proyección de
AC
sobreAB
esAH
(sobre la prolongación deAB
)RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO
TEOREMA DE PITAGORAS:
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C AB c BC; a AC; b
TESIS: c2 = a2 + b2
1. Se traza la altura
CH
sobre la hipotenusa.1. Construcción
2. El complemento de es A 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA
3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA
4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A
5.
CHA
CHB
5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes.6. A A 6. Propiedad Reflexiva.
7.
CHA
ABC
7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente9.
b c m
b
9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA 10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones 11.
a c n a
11. De 8.
CHA
ABC
CHB
12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adición de 10 y 12
14. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor común
15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adición de segmentos.
COROLARIOS:
1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejantes al original.
2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.
3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la hipotenusa
5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.
AB CB AC AH
6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
TEOREMA
En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al producto de otro lado por su altura correspondiente.
HIPOTESIS:
CE
altura sobreAB
,AD
altura sobreCB
, CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = aTESIS: c h1 a h2
1.
ADB
y CEB
son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura 2. B B 2. Propiedad reflexiva4.
2 1 h h c a
4. De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
5. c h1 a h2 5. De 4. Propiedad de las proporciones
TEOREMA
En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.
HIPOTESIS:
ABC
es acutángulo.AD = m, proyección de
AC
sobreAB
DB = n, proyección deBC
sobreAB
TESIS:a
2b
2c
22
cm
1. a2 = h2 + n2 1. Pitágoras en
CDB
2. a2 = h2 + (c – m)2 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 3. De 2. Algebra
4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitágoras en
CDA
5. a2 = b2 + c2 – 2cm 5. Sustitución de 4 en 3.
TEOREMA:
En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.
TESIS: b2 a2 c2 2c BD
La demostración se deja como tarea.
EJERCICIOS
1)
DEMOSTRACION:
1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitágoras en
CDB
2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitágoras en
CDA
3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. a2 - b2 = n2 – m2 4. De 3. Álgebra.2)
HIPÓTESIS: ABC cualquiera CE h es altura CD d es mediana
n es la proyección de CD sobre AB
CDA es obtuso A – D - E – B
TESIS: b2 a2 2 c n
DEMOSTRACION:
1. AD = DB =
2
c
. 1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana 2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones métricas en el triangulo
obtusángulo ADC
3. b c d c n b c d2 c n
2 2 2
2 2
4 2
2
2
3. Sustitución de 1 en 2.
4. a2 = (DB)2 + d2 – 2(DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB
5. a c d c n a c d2 c n
2 2 2
2 2
4 2
2
2
5. Sustitución de 1 en 4.
6. b2 a2 2 c n 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5. 3)
HIPÓTESIS:
CAB
rectángulo en A
;
;
;
;
;
AD
CB DF
AB DE
CA
CE
p FB
q AC
b AB
c
TESIS:
q p c b 3 3
1.
En
CDA
:
DE p AE DEp AE
DE 2
los segmentos que determina sobre ella. 2. En
ADB
:
DF Q AFDF q AF
DF 2
2. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. AF q AE p DF DE 2 2
3. División de 1 y 2.
4.
DE FA
4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC.5.
CA DF
5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados
opuestos son congruentes
8. q p DF DE q p DF DE DE q DF p DF DE 3 3 3 2 2
8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra.
9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios
10. El complemento de 2 es 1 10. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios
11.
3
2
11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento.12.
ADB
ADC
12. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.13.
c b DF DE
13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.
14. q p c b q p c b 3 3 3
14. Sustitución de 13 en 8.
4)
HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A
FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo.
; ; ;
AH h BC a AB c AC b
AH es altura; B – F – H – L – C
TESIS: x h a
h a
Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.
5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 12 12 12
EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.
1.
HIPOTESIS:
CD
es bisectriz de
ACB
AP
CD BQ
;
CD
C – P – D – Q
TESIS:
AD
DB
AC
BC
NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo.
2.
DE AC
a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB
3.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con
AB CD
. Las diagonales se cortan en O.TESIS:
OC
OA
OD
OB
4.
HIPÓTESIS:
ABC
es isósceles conCA
CB
EF
CB ED
;
AC
TESIS:
AD EF
ED BF
5.
HIPOTESIS: A – D – B;
CD
es bisectriz de ACBm
ACB
2
m
A
6.
HIPÓTESIS: A CBD
TESIS: AB AD CB DB
7.
HIPÓTESIS: ABC HEF
AD y HL son medianas
TESIS: AD BC HL FE
8.
Si
QR MN
completar:)
b)
c)
)
e)
f)
PM
PQ
QM
a
PQ
PM
PM
PR
PQ
PN
d
RN
PR
PM
9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triangulo dado.
10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor.
11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.
12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional entre EG y EF.
14. Para cuales conjuntos de longitudes será
ED AC
15.
HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C EFHD es un cuadrado
TESIS: EDA CHD FBH
16.
HIPÓTESIS: AE y BD son alturas
TESIS: 1) AEC BDC 2) ACB ECD 3) AC DC BC CE
17.
HIPÓTESIS: DF AB CB; AB CE; DF AC; CD
TESIS: 1) DEC ABC 2) DE AB DC
AC
18.
HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF DE CF ; C – B – F
TESIS: CB DE
19.
HIPÓTESIS:
rectangulo en A
bisectriz de CAB
;
ABC
AD
EB AD
AC
b AB
c
TESIS:
2
2
BE
c
b c
AD
b
c
20.HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A
AF
es bisectriz
KB AF
TESIS:
AF
b c
2
b
c
21.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo MF AD ME; AB; A – M – C
TESIS: ME AD
MF AB
AYUDA: Trazar ML AB y HM AD
22.
HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: x a 29 CAB es rectángulo
AB 4 ;a AC 3 ;a CE x
F es punto medio de AB
23.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a;
m( A) = 60°
;
;
3
:
DN
NC AM
MB AB
a
NM
y CB
x
24.
HIPOTESIS:
;
;
y
son medianas perpendiculares.
BC
a AC
b BA
c
BE
AD
TESIS:
2 2 2
5
a
b
c
25.
26.
a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n b) Si
b
4 3,
m
4
; hallar el valor de a, c, h, n. c) Sic
6 2,
m
4
; hallar el valor de a, b, h, n. d) Sib
3 10,
n
13
; hallar el valor de a, c, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.27.
DATO: CAD CBA
HALLAR el valor de x.
29.
AC
es bisectriz de DAB.24;
25;
20;
16;
?
AD
AB
AE
BE
DC
x
30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana
CD
.
CDB
es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC.31.
32.
33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:
CDB BDA es un diametro
es tangente en A AD
34.
HIPÓTESIS: AB es un diámetro A – O – B – D DE DA
TESIS: ADE ACB
35.
36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que PT 2 PS PR
37. Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que AC 3 AD. Se traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB
en F. Demostrar que DE EF
38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que
2
CA CB
AD DB
CD
39.
ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo.
1) Demostrar que EFGH es un cuadrado
SOLUCION DEL 38: Colocar las razones.
1. ACD PCB 2. A P
3. ADP
PBC4.
2
CA
CD
CA CB
CD CP
CP
CB
CA CB
CD CD
DP
CA CB
CD
CD DP
5.
CD DP
AD DB
6.
CA CB
CD
2AD DB
40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide a los lados en la razón 2
3 . Calcular la longitud del segmento.
Se traza ACque corta a EFen R. 2
3 DE CF
EA FB de hipótesis
12 12 12 2
3
AD ER AD EA ER DE
ER DC ADC AER
ER EA ER EA ER EA
Resolviendo12 2
3 ER
ER , se tiene que
36 5 ER
20 20 20 2
3
BC RF BC FB RF CF
RF AB ABC RFC
RF FB RF FB RF FB
Resolviendo20 2
3
RF
RF , se tiene que RF 12 De donde se tiene que 36 12 96
5 5
EF
41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA.
42. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distancia de M a la recta AC
el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos
determinados por ella sobre el lado AB. AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y después que CDA BDE. Tener en cuenta que CE = CD + DE.
DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS
1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( )
2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes opuestos son congruentes. ( )
3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados correspondientes son congruentes. ( )
4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( )
5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los
segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( )
7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al
tercer lado. ( )
9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( )
11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad del tercer lado. ( )
12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados correspondientes. ( )
13. Triángulos congruentes son semejantes. ( )
14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( )
COMPLETAR:
1. Si
d a entonces d
c b
a , ,
2. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es: 4. entoces x
x x
, ,
3 4 4
3
5. ,
1 5 3 2
8 3
x x x
x
entonces el valor de x es:
6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y
NT
la altura sobreNP
, entoncesNP
es la media proporcional entre _____________ y MP.7. La igualdad de dos razones se llama ____________________
8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es ________________ cm.
9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto.
10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos _______________
12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al
___________________________________________
13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.
14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella.
15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente.
16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores
Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
Geometría de Edwin E. Moise
