CD n a DA m a CE n b EB mb

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(1)

PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe

b a

y se lee: a es a b.

PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. d c b a

, y se lee: a es a b como c es a d. a y c se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes.

c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos.

Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres.

Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.

x z y x

, x es la media proporcional entre y z;

3 6 6 12

; 6 es la media proporcional entre 12 y 3

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:

1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

2 10 5 4 5 2 10 4 ; d c b a d c b a

2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción 5 15 7 21 21 15 7 5 ; 8 12 2 3 8 2 12 3 ; a c b d d c b a d b c a d c b a

3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.

6 9 2 3 9 6 3 2 ; c d a b d c b a 4. 10 24 5 12 10 10 14 5 5 7 10 14 5 7 ; d d c b b a d c b a 5. 10 4 5 2 10 10 14 5 5 7 10 14 5 7 ; d d c b b a d c b a

6. k

(2)

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD.

Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.

HIPOTESIS: DEAB

A – D – C y B – E – C

TESIS: CD CE DA EB

1. Sobre

CD

se toman n segmentos

congruentes de longitud

a

y sobre

DA

se toman

m

segmentos congruentes de longitud

a

1. Construcción

2. Se trazan paralelas por esos puntos a

AB

2. Construcción 3. En

CE

se determinan n segmentos s de

longitud

b

y en

EB

se determinan m segmentos congruentes de longitud

b

.

3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas

4.

CD

n a DA

;

m a CE

;

n b EB

;

m b

4. De 1 y 3. Adición de segmentos 5.

m n a m

a n DA CD

5. De 4

6.

m n b m

b n EB CE

6. De 4

7.

EB CE DA CD

7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1:

CE CB DA CA

COROLARIO 2:

EB CB DA CA

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)

Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración)

TEOREMA DE THALES

(3)

HIPOTESIS: m n s   

t1 y t2 son transversales

TESIS: AB BC DE EF

1. Trazamos

DK t

1

, tal que B – L – E y C – K – F

1. Construcción

2.

EL KF

2. De 1 y de hipótesis 3.

KL DL EF DE

3. De 2. Teorema fundamental de la proporcionalidad en DKF 4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición de

paralelogramo

5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 6.

BC AB EF DE

6. Sustitución de 5 en 3

7.

DE AB EF BC

7. De 6. Propiedad de las proporciones.

TEOREMA

En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A – D – B

TESIS: AD DB

AC BC

1. Por B se traza

BE



, tal que

BE DC

;

y

BE

AC

 

se cortan en E

1. Construcción

2.

CE DB AC AD

(4)

3.   3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas

4.   4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas

5.   5. De Hipótesis.

CD

es bisectriz 6.   6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.

CE

BC

7. De 6. En un triangulo a ángulos s se

oponen lados congruentes

8.

AD

DB

AC

BC

8. Sustitución de 7 en 2

TEOREMA:

La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.

HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE

TESIS: AP BP

AC BC

1. Se traza

BD PC

, que corta a

AC

en D 1. Construcción 2.

DC AC BP AP

2. De 1. Teorema fundamental de la proporcionalidad en ACP

3.   3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas. 4.   4. De 1. Por ser correspondientes entre

paralelas

5.   5. De hipótesis.

PC

es bisectriz 6.   6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.

DC

BC

7. De 6. En un triangulo a ángulos s se

oponen lados congruentes 8.

BC AC BP AP

8. Sustitución de 7 en 2

9.

BC BP AC AP

(5)

EJERCICIOS

1)

DEAC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes)

6 4 96

96 24

4 2

AB x

x x x BC BE BA BD

2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿

ED AC

?

Si fueran paralelas se debería cumplir que

14 21 5 12 BA BC

BD BE , lo cual es falso porque no se cumple

que producto de medios es igual a producto de medios y por lo tanto ED no es paralelo a AC

3)

TESIS:

b c

b a EC c b

b a

(6)

b c b a EC b a b c EC b b c EC a AC AC AB EC EC BE AC AB EC BE AC EC AB BE c b b a DC b a c b DC b b c DC a AC AC AB DC DC BD AC AB DC BD . 11 ) ( . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 ) ( . 4 . 3 . 2 . 1

SEMEJANZA DE POLIGONOS.

Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

'; '; '; '; '

A A B B C C D D E E

         

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC CD DE EA

k

A B B C C D D E E A

Donde k, se llama constante de proporcionalidad

Se escribe ABCDE A’B’C’D’E’; se lee: “semejante a “

SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma.

(7)

;

;

A

D

B

E

C

F

 

 

AB

AC

BC

DE

DF

EF

La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple: 1. Propiedad reflexiva:

ABC

ABC

2. Propiedad simétrica:

ABC

DEF

DEF

ABC

3. Propiedad transitiva:

ABC

DEF

y DEF

PQR, entonces ABC

PQR

Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres

TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – A

Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.

HIPOTESIS:

;

;

A

R

B

S

C

T

 

 

TESIS:

ABC

RST

1. Sean D y E, puntos sobre

CA

y

CB

, tales que

CD

TR

y

CE

TS

1. Construcción

2. CT 2. De hipótesis

3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L – A – L

4. CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos s

5. RA 5. De hipótesis

6. CDE  A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva

7.

DE AB

7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes. 8.

CB CE CA CD

8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad

9.

CB TS CA TR

9. Sustitución de 1 en 8.

10. De igual modo, tomando F y G en AB y

BC, tal que

BF

SR

y

BG

ST

, puede demostrarse que

(8)

AB

CB

RS

TS

RS

TS

AB

CB

(hágalo)

11.

AB RS CB TS CA TR

11. De 9 y 10

12.

A

 

R

;

B

 

S

;

C

T

12. De hipótesis

13.

ABC

RST

13. De 11 y 12. Definición de triángulos semejantes.

COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A – A)

COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes.

COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes.

ST BC RS AB RT AC TH CE

COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero.

Si

DE AB

, entonces

ABC

DEC

TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – L

Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos

comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

HIPOTESIS:

CA

CB

NE

NL

C

N

(9)

1. En

CA

y en

CB

, existen los puntos D y E tales que

CD

NE

y

CE

NL

1. Construcción

2. C N 2. De hipótesis

3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L – A – L 4.

NL CB NE CA

4. De hipótesis

5.

CE CB CD CA

5. Sustitución de 1 en 4

6.

DE AB

6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

7.

CDE

ABC

7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante

al primero. 8.

ABC

ELN

8. Sustitución de 3 en 7.

COROLARIO

Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

EJERCICIO

HIPOTESIS:

AF BD CE

,

,

son alturas.

TESIS:

ABC

FCD

FEB

ADE

1. C C 1. Propiedad reflexiva

2. CFA y CDB son rectángulos 2. De hipótesis. Definición de altura 3.

CFA

CDB

3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudo

congruente 4.

AC BC CF CD

4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales

5.

FCD

ABC

5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A – L

6. A A 6. Propiedad reflexiva

7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura. 8.

CAE

DAB

8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo

congruente 9.

AE AD AC AB

(10)

11. B B 11. Propiedad reflexiva

12. AFB y CBE son rectángulos 12. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo.

13.

AFB

CBE

13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo congruente.

14.

FB EB AB CB

14. De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes. 15.

ABC

FEB

15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L 16.

ABC

FCD

FEB

ADE

16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva

NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal.

TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – L

Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

HIPOTESIS:

EF BC DE

AB FD CA

TESIS:

ABC

DEF

1. En

CA

existe un punto G, tal que

CG

FD

y en

CB

existe H, tal que

CH

FE

1. Construcción

2. Se traza

GH

2. Construcción 3.

EF BC FD CA

3. De hipótesis

4.

GH

AB

4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

5.

CGH

CAB

5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero.

6.

GH AB CG CA

6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales

7.

GH AB FD CA

7. Sustitución de 1 en 6.

8.

DE AB FD CA

8. De hipótesis.

9.

DE AB GH

AB

(11)

10.

DE GH AB AB

10. De 9. Propiedad de las proporciones.

11.

1

GH

GH

DE

DE

11. De 10.

12.

CGH

DEF

12. De 11 y 1. L – L – L 13.

ABC

DEF

13. Sustitución de 12 en 5.

COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.

COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruentes, entonces son semejantes.

EJERCICIOS RESUELTOS

DATOS: ABC es rectángulo en C

DEA es rectángulo en E

HALLAR el valor de x.

ABC

DEA

por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A)

8 160

20 20 10

16 x x

x

2)

HIPÓTESIS: A CBD TESIS: BD2 DC AD

1. A CBD 2. 1. De hipótesis 3. D D 3. Propiedad reflexiva 4.

ADB

BDC

4. De 1 y 2. A – A 5.

BD DC AD BD

5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes

(12)

3)

HIPOTESIS:

y

son medianas

ABC

HFE

AD

HL

TESIS:

AD

BC

HL

FE

1. B F 1. De hipótesis.

ABC

HFE

2.

FL FE

FE FL

BD BC

BC BD

2 2

2

2

2. De hipótesis. D y L son puntos medios

3.

FE BC HF

AB

3. De hipótesis. Los lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

4.

FL BD HF

AB 2 2

4. Sustitución de 2 en 3

5.

FL BD HF

AB

5. De 4. Simplificación

6.

ABD

HFL

6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L 7.

HF AB HL AD

7. De 6. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

8.

FE BC HF

AB

8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos semejantes

9.

FE BC HL AD

9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes.

HIPÓTESIS:

A

D

ABC

es isósceles con

CA

CB

DEF

es isósceles con

FD

FE

TESIS:

ABC

DEF

1.

CA

CB

1. De hipótesis

2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

3.

FD

FE

3. De hipótesis

(13)

ángulos congruentes. 5. A D 5. De hipótesis

6.

A

B

D

E

6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva 7.

ABC

DEF

7. De 6. A – A

II CASO:

HIPÓTESIS:

C

F

ABC

es isósceles con

CA

CB

DEF

es isósceles con

FD

FE

TESIS:

ABC

DEF

1.

CA

CB

1. De hipótesis 2. m (A) = m (B) 2. De1. En un triangulo a lados

congruentes se oponen ángulos congruentes

3. m (A) + m (B) + m (C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º

4. 2m(A) + m(C) = 180º 4. Sustitución de 2 en 3 5.

FD

FE

5. De hipótesis.

6. m (D) = m (E) 6. De 5. Ver la razón 2.

7. m (D) + m (E) + m (F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º

8. 2m (D) + m(F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 7

9. 2m(A) + m(C) = 2m (D) + m(F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. m (C) = m (F) 10. De hipótesis

11. 2m (A) + m (C) = 2m (D) + m (C) 11. Sustitución de 10 en 9

12. 2m (A) = 2m (D) 12. De 11. Propiedad cancelativa. 13. m (A) = m (D) 13. De 12

14.

ABC

DEF

14. De 13 y 10. A – A

RELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMA

Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E

(14)

1. Se trazan

AD

y

CB

1. Construcción

2. CA 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD 3. BD 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC 4.

CEB

AED

4. De 2 y 3. A – A

5.

DE EB AE CE

5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes 6. AE EB CE DE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.

DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE

BC: Segmento externo de la secante

AB: Segmento interno de la secante

TEOREMA:

Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo.

HIPÓTESIS:

PA



Tangente.

PC



secante a la circunferencia y la corta en B y C.

TESIS:

PA PB PC PA

1. Se trazan

AC

y

AB

1. Construcción 2.

2

m arcoAB

m

C

2. Por ser un ángulo inscrito.

3.

2

m arcoAB

m

BAP

3. Por ser un ángulo semiinscrito.

4. m(C) = m(BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva. 5. m(P) = m(P) 5. Propiedad reflexiva

6.

CAP

ABP

6. De 4 y 5. A – A

7.

PA PB PC PA

(15)

TEOREMA:

Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

HIPÓTESIS: PA y PC son secantes

PA corta a la circunferencia en B y A PC corta a la circunferencia en D y C

TESIS: PA PB PC PD

La demostración se deja como tarea.

EJEMPLO

Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x – 4

40 ) 4 2 ( 4 5 8 4 ) 4

(x x x

DC AD DB FD

Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7

PROYECCIONES:

La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.

(16)

CD

es la proyección de

AB

sobre recta m

EL

es la proyección de

EN

sobre la recta n

La proyección de

AC

sobre

AB

es

AH

(sobre la prolongación de

AB

)

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO

TEOREMA DE PITAGORAS:

En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C AB c BC; a AC; b

TESIS: c2 = a2 + b2

1. Se traza la altura

CH

sobre la hipotenusa.

1. Construcción

2. El complemento de  es A 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA

3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA

4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A

5.

CHA

CHB

5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes.

6. AA 6. Propiedad Reflexiva.

7.

CHA

ABC

7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente

(17)

9.

b c m

b

9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA 10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones 11.

a c n a

11. De 8.

CHA

ABC

CHB

12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adición de 10 y 12

14. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor común

15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adición de segmentos.

COROLARIOS:

1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejantes al original.

2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.

3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la hipotenusa

5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.

AB CB AC AH

6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.

TEOREMA

En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al producto de otro lado por su altura correspondiente.

HIPOTESIS:

CE

altura sobre

AB

,

AD

altura sobre

CB

, CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a

TESIS: c h1 a h2

1.

ADB

y CEB

son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura 2. BB 2. Propiedad reflexiva

(18)

4.

2 1 h h c a

4. De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

5. c h1 a h2 5. De 4. Propiedad de las proporciones

TEOREMA

En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

HIPOTESIS:

ABC

es acutángulo.

AD = m, proyección de

AC

sobre

AB

DB = n, proyección de

BC

sobre

AB

TESIS:

a

2

b

2

c

2

2

cm

1. a2 = h2 + n2 1. Pitágoras en

CDB

2. a2 = h2 + (c – m)2 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 3. De 2. Algebra

4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitágoras en

CDA

5. a2 = b2 + c2 – 2cm 5. Sustitución de 4 en 3.

TEOREMA:

En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

TESIS: b2 a2 c2 2c BD

La demostración se deja como tarea.

EJERCICIOS

1)

(19)

DEMOSTRACION:

1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitágoras en

CDB

2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitágoras en

CDA

3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. a2 - b2 = n2 – m2 4. De 3. Álgebra.

2)

HIPÓTESIS: ABC cualquiera CE h es altura CD d es mediana

n es la proyección de CD sobre AB

CDA es obtuso A – D - E – B

TESIS: b2 a2 2 c n

DEMOSTRACION:

1. AD = DB =

2

c

. 1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana 2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones métricas en el triangulo

obtusángulo ADC

3. b c d c n b c d2 c n

2 2 2

2 2

4 2

2

2

3. Sustitución de 1 en 2.

4. a2 = (DB)2 + d2 – 2(DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB

5. a c d c n a c d2 c n

2 2 2

2 2

4 2

2

2

5. Sustitución de 1 en 4.

6. b2 a2 2 c n 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5. 3)

HIPÓTESIS:

CAB

rectángulo en A

;

;

;

;

;

AD

CB DF

AB DE

CA

CE

p FB

q AC

b AB

c

TESIS:

q p c b 3 3

1.

En

CDA

:

DE p AE DE

p AE

DE 2

(20)

los segmentos que determina sobre ella. 2. En

ADB

:

DF Q AF

DF q AF

DF 2

2. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. AF q AE p DF DE 2 2

3. División de 1 y 2.

4.

DE FA

4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC.

5.

CA DF

5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB

6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados

opuestos son congruentes

8. q p DF DE q p DF DE DE q DF p DF DE 3 3 3 2 2

8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra.

9. El complemento de  3 es  1 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios

10. El complemento de  2 es  1 10. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios

11.

3

2

11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento.

12.

ADB

ADC

12. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.

13.

c b DF DE

13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.

14. q p c b q p c b 3 3 3

14. Sustitución de 13 en 8.

4)

HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A

FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo.

; ; ;

AH h BC a AB c AC b

AH es altura; B – F – H – L – C

TESIS: x h a

h a

Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.

5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 12 12 12

(21)

EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.

1.

HIPOTESIS:

CD

es bisectriz de

ACB

AP

CD BQ

;

CD



C – P – D – Q

TESIS:

AD

DB

AC

BC

NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo.

2.

DE AC

a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB

3.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con

AB CD

. Las diagonales se cortan en O.

TESIS:

OC

OA

OD

OB

4.

HIPÓTESIS:

ABC

es isósceles con

CA

CB

EF

CB ED

;

AC

TESIS:

AD EF

ED BF

5.

HIPOTESIS: A – D – B;

CD

es bisectriz de  ACB

m

ACB

2

m

A

(22)

6.

HIPÓTESIS: ACBD

TESIS: AB AD CB DB

7.

HIPÓTESIS: ABCHEF

AD y HL son medianas

TESIS: AD BC HL FE

8.

Si

QR MN

completar:

)

b)

c)

)

e)

f)

PM

PQ

QM

a

PQ

PM

PM

PR

PQ

PN

d

RN

PR

PM

9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triangulo dado.

10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor.

11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.

12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEFCEB 2) EB es media proporcional entre EG y EF.

(23)

14. Para cuales conjuntos de longitudes será

ED AC

15.

HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C EFHD es un cuadrado

TESIS: EDACHDFBH

16.

HIPÓTESIS: AE y BD son alturas

TESIS: 1) AECBDC 2) ACBECD 3) AC DC BC CE

17.

HIPÓTESIS: DF AB CB; AB CE; DF AC; CD

TESIS: 1) DECABC 2) DE AB DC

AC

18.

HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF DE CF ; C – B – F

TESIS: CB DE

(24)

19.

HIPÓTESIS:

rectangulo en A

bisectriz de CAB

;

ABC

AD

EB AD

AC

b AB

c

TESIS:

2

2

BE

c

b c

AD

b

c

20.

HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A

AF

es bisectriz

KB AF

TESIS:

AF

b c

2

b

c

21.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo MF AD ME; AB; A – M – C

TESIS: ME AD

MF AB

AYUDA: Trazar MLAB y HMAD

22.

HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: x a 29 CAB es rectángulo

AB 4 ;a AC 3 ;a CE x

F es punto medio de AB

23.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a;

m( A) = 60°

;

;

3

:

DN

NC AM

MB AB

a

NM

y CB

x

(25)

24.

HIPOTESIS:

;

;

y

son medianas perpendiculares.

BC

a AC

b BA

c

BE

AD

TESIS:

2 2 2

5

a

b

c

25.

26.

a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n b) Si

b

4 3,

m

4

; hallar el valor de a, c, h, n. c) Si

c

6 2,

m

4

; hallar el valor de a, b, h, n. d) Si

b

3 10,

n

13

; hallar el valor de a, c, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.

27.

DATO: CADCBA

HALLAR el valor de x.

(26)

29.

AC

es bisectriz de DAB.

24;

25;

20;

16;

?

AD

AB

AE

BE

DC

x

30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana

CD

.

CDB

es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC.

31.

32.

33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:

CDBBDA es un diametro

es tangente en A AD

(27)

34.

HIPÓTESIS: AB es un diámetro A – O – B – D DE DA

TESIS: ADEACB

35.

36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que PT 2 PS PR

37. Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que AC 3 AD. Se traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB

en F. Demostrar que DE EF

38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que

2

CA CB

AD DB

CD

39.

ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo.

1) Demostrar que EFGH es un cuadrado

(28)

SOLUCION DEL 38: Colocar las razones.

1. ACD PCB 2. A P

3. ADP

PBC

4.

2

CA

CD

CA CB

CD CP

CP

CB

CA CB

CD CD

DP

CA CB

CD

CD DP

5.

CD DP

AD DB

6.

CA CB

CD

2

AD DB

40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide a los lados en la razón 2

3 . Calcular la longitud del segmento.

Se traza ACque corta a EFen R. 2

3 DE CF

EA FB de hipótesis

12 12 12 2

3

AD ER AD EA ER DE

ER DC ADC AER

ER EA ER EA ER EA

 

Resolviendo12 2

3 ER

ER , se tiene que

36 5 ER

20 20 20 2

3

BC RF BC FB RF CF

RF AB ABC RFC

RF FB RF FB RF FB

 

Resolviendo20 2

3

RF

RF , se tiene que RF 12 De donde se tiene que 36 12 96

5 5

EF

41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA.

42. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distancia de M a la recta AC

(29)

el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos

determinados por ella sobre el lado AB. AYUDA. Demuestre primero que: ADCEBC y después que CDABDE. Tener en cuenta que CE = CD + DE.

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS

1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( )

2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes opuestos son congruentes. ( )

3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados correspondientes son congruentes. ( )

4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( )

5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los

segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( )

7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al

tercer lado. ( )

9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( )

11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad del tercer lado. ( )

12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados correspondientes. ( )

13. Triángulos congruentes son semejantes. ( )

14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( )

COMPLETAR:

1. Si

d a entonces d

c b

a , ,

2. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es: 4. entoces x

x x

, ,

3 4 4

3

5. ,

1 5 3 2

8 3

x x x

x

entonces el valor de x es:

6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y

NT

la altura sobre

NP

, entonces

NP

es la media proporcional entre _____________ y MP.

7. La igualdad de dos razones se llama ____________________

8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es ________________ cm.

9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto.

10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos _______________

(30)

12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al

___________________________________________

13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.

14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella.

15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente.

16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.

Ejercicios tomados de los siguientes textos:

 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño

 Geometría Euclidiana de Hemmerling

 Curso de Geometría. Reunión de profesores

 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli

 Geometría de Edwin E. Moise

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