Demostrar es hacer matemática y hacer matemática es demostrar

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Demostrar es hacer matemática y hacer

matemática es demostrar

William Campillay Llanos

Instituto de Matemática Universidad de Talca

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Contenido

1 _Experiencia

Breve introducción a la lógica matemática

2 _{¿Qué es demostrar?}

3 _{La demostración en el contexto nacional}

Último teorema de Fermat Una pequeña propuesta No caer en modas

4 _{Maturana y la Educación Matemática}

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Para comenzar

Demuestre las siguientes proposiciones:

1 _{Sean a y b son dos números reales tales que a}_<_{2 y}

b<3.Demostrar que 3a+5b<21.

2 _{Sea u}

n=sin(nα),dondeαes un real tal que la sucesión

{u2

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Breve introducción a la lógica matemática Implicación

Ejemplo: Examinemos el enunciado siguiente:

« Si ABC es un triangulo isósceles en A,entonces los ángulos

[

CBA yBCA son iguales.»[

Otra manera de decir, cuando la proposición(P):« Si ABC es

un triángulo isósceles » es verdad entonces la proposición

(Q):« los ángulosCBA y[ BCA son iguales » es verdadera[

también. Decimos que(P)implica(Q).(Decimos también: es

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Breve introducción a la lógica matemática Vocabulario. Notaciones

Notación: Para significar que «(P)implica(Q),» podemos

escribir P _⇒Q.Usualmente la implicación puede ser traducida

por la formulación siguiente:

Si(P),entonces(Q).

Ejemplos:

Si x =2,entonces x2=4.

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Breve introducción a la lógica matemática Unas implicaciones ocultas

Ejemplo:

«En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los lados que forman el ángulo recto»

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Breve introducción a la lógica matemática Implicaciones recíprocas

Ejemplos:

Si x =2,entonces x2=4.En este ejemplo, el recíproco

del enunciado es : Si x2₌₄_,_{entonces x} ₌₂_._{Es fácil ver}

que este recíproco es falso, pues(₋2)2₌_{4 y}₋₂₆₌₂

.

Consiremos la implicaión siguiente: Si ABC es equilatero, entoncesAb =Bb =Cb =60◦_._{En este caso la la implicación}

recíproca es verdadera. SiAb =Bb =Cb =60◦_,_entonces

ABC es equilatero.

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Como demostrar una impliación

Ejemplo: a y b son dos números reales tales que a <2 y

b <3.Demostrar que 3a+5b<21.Finalmente debemos

demostrar la implicación siguiente:

Si a y b son dos números reales tales que a<2 y b<3,

entonces 3a+5b<21.

Una solución: Sabemos que a<2 y que 3>0.Entonces

multiplicando los dos miembros de esta desigualdad por 3,

obtenemos: 3a<6.de la misma manera como 5>0;donde,

multiplicamos los dos miembros de la inigualdad b<3 por 5,

obtenemos 5b<15.y sumamos los dos miembros de las

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Breve introducción a la lógica matemática Equivalencia

(P)equivalente a(Q) (P)si y solamente si(Q).

Notación: La equivalencia entre(P)y(Q)se denota por

(P)_⇔(Q).

Ejemplo: SeaC_{un circulo de diametro AB y M un punto}

distinto de A y B,

[

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Cómo demostrar una equivalencia

Ejemplo:Demostrar que:

a2=b2_⇔a=b o a=₋b (a y b dos números reales).

Una Solución: a2=b2es equivalente a a2₋b2=0,es decir

(a₋b)(a+b) =0.Como(a−b)(a+b) =0.es equivalente a

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Breve introducción a la lógica matemática Dos métodos muy útiles

1.- Demostrar por transformación de la Tesis Para

demostrar que(P)implica(Q),a veces es muy cómodo

proceder como sigue: Comenzamos por reemplazar(Q)por la

proposición(Q′₎_{que es equivalente; y después demostramos}

que(P)implica(Q′₎_.

Ejemplo: Demostrar que, siendo x un número real, si x2_>₂

entonces(x+3)(x +2)>5x +7.

Una solución: (x+3)(x +2) =x2+5x +6.Entonces la

conclusión(Q)es equivalente a : x2₊_5x₊₆_>_5x ₊₇_,_es

decir(Q′_{) :}_x2

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2.-Demostrar un igualdad Para demostrar una igualdad entre

números, entre vectores, etc. disponemos de al menos tres maneras. Escribimos la igualdad a demostrar de la forma

A=B.

1 _{Primera forma: Transfromamos la escritura de A para}

obtener B.

2 Segunda forma: Transformamos la escritura de B para

obtener A.

3 _{Tercera forma: Transfromamos a la vez A y B y}

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Breve introducción a la lógica matemática Noción de Contra-ejemplo

Para mostrar que una proposición no es siempre verdadera, es suficiente exhibir un caso para el cual no es verdadero. Un tal caso particular se llama Contra-ejemplo.

Ejemplo: ¿Es cierto que x2_≥x para todo real x _≥0? Una solución: Será cierto que para todos los números x positivos,

tenemos x2_≥_{x . La respuesta es No. En efecto, cuando x} ₌ 1

2,

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Ejemplo: La raíz cuadrada de la suma de dos números A y B

positivos o nulos es siempre igual a la suma de las raíces cuadradas de estos números» En otros términos, los dos

números√A+B y(√A+√B)son iguales cualequieran sean

los números positivos o nulos A y B.La respuesta es No. En

efecto, si A=16 y B =9,√A+B=√25 y

(√A+√B) =√16+√9=7.El caso A=16 y B =9 es un

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Razonamiento por el absurdo

Supongamos que queremos demostrar que una propiedad(C)

es verdadera bajo ciertas hipótesis. Este caso consiste en utilizar el razonamiento por el absurdo:

1 _{Suponemos que la conclusión C es falsa y que todas las}

hipótesis son verdaderas.

2 _{Entonces debemos llegar a una contracción o un absurdo,}

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Ejemplo: Sea un=sin(nα),dondeα es un real tal que la

sucesión_{u2

n}no admite un límite. Sea vn=cos(nα).

Demostraremos entonces la propiedad(C)siguiente: «_{vn}no

tiene límite»

Una solución:

Supongamos que la propiedad C sea falsa (es decir que

{vn}converge) y todas las hipótesis son verdaderas.

Denotemos por_Lel límite de_{vn}.sabemos que

sin2(nα) +cos2(nα) =1.donde sin2(nα) =1−cos2(nα).

Por consecuencia la sucesión de término general

{u2

n}=sin2(nα)converge hacia 1−(L)2;y esto es

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¿Qué es demostrar? Busquemos al culpable que no enseña esto

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El tema de la demostración no me entra en la cabeza. ¡Nunca lo he visto!

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Para demostrar en matemática hay que usar inducción.

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Para demostrar en matemática hay que usar inducción.

Es importante saber el origen de las cosas, para eso sirve la demostración, pero a los ingenieros no nos sirve.

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En otra cultura, ¿Qué es demostrar?

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Demostrar, no es mostrar.

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Razonar, es reflexionar. Demostrar es explicar. Hacer Matemática, es hacer las dos.

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Razonar, es reflexionar. Demostrar es explicar. Hacer Matemática, es hacer las dos.

Para mi, razonar es como reflexionar, pero de manera lógica.

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La demostración en el contexto nacional

No debemos olvidar que lo que constituye una

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demostración varia de una cultura a otra, así como de una época a otra. (Wilder)

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demostración varia de una cultura a otra, así como de una época a otra. (Wilder)

Todo conocer es hacer y todo hacer es conocer. (Maturana)

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Parece que estamos convencidos

Objetivos fundamentales transversales: Buscan que el

estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento tales como son la exploración de estrategias cognitivas en la resolución de problemas, la anticipación de resultados y la utilización de los sistemas y el instrumental de las matemáticas en la interpretación del mundo circundante.

Crecimiento y Autoafirmación Personal: Corresponden al

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Seguimos convencidos: Quinto básico

Se destacan las siguientes actividades: Explorar, Probar, Desarrollar procesos ordenados y sistemáticos, Justificar, argumentar y fundamentar, Buscar y establecer regularidades y patrones, Comunicar procesos, resultados y conclusiones, incorporando, progresivamente, el uso de lenguaje matemático

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Último teorema de Fermat

Último teorema de Fermat

Teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros a, b y c distintos de 0, tales que se cumpla la igualdad:

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Una pequeña propuesta

Quinto y Sexto: Etapa I

En etapa se encuentran los estudiantes que cursan quinto y sexto básico, en general tienen desde 10 a 12 años, es en este periodo donde los estudiantes deben observar construcciones geométricas para establecer algunas conjeturas, argumentar acerca de figuras, en esta etapa se debe poner énfasis a la geometría observativa. Esta división del programa es

coherente con los estadios cognitivos propuestos por Piaget, que corresponde al de operaciones concretas (7-11 años). El sujeto educativo en esta fase no sólo usa el símbolo, sino es capaz de usar los estos símbolos de una manera lógica y, a través de la capacidad de conservar y llegar a

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Séptimo-Octavo-Primero: Etapa II

Esta segunda etapa que hemos considerado como fundamental para motivar la actividad matemática de

demostrar, los estudiantes tienen desde 12 a 15 años y es la etapa donde se le debe presentar la necesidad de demostrar con situaciones interesantes que permitan motivar e insertar al estudiante en la investigación para que conjeture y pueda aventurarse a demostrar. A diferencia de la etapa anterior, donde el sujeto presentaba dificultades al aplicar sus

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Una pequeña propuesta Etapa II

Es aquí que se deben presentar actividades, a los estudiantes, para que comprendan la utilidad del razonamiento deductivo y los principales objetivos a alcanzar serán:

Conocer un contra ejemplo suficiente para invalidar un enunciado.

Comprender que unos ejemplos no son suficientes para comprobar la veracidad de una proposición.

Una constatación de medidas sobre un dibujo no es suficiente para probar que un enunciado de geometría es verdadero.

Saber enunciar el reciproco de una propiedad de la forma: Si...entonces...

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Segundo-Tercero: Etapa III

Los estudiantes tienen entre 15 y 17, es en este periodo que se puede presentar a los estudiantes el genero de tarea como necesario e importante dentro de las actividad matemática, para convencerse de las técnicas utilizadas en matemáticas que ha ocupado durante su proceso de formación, esto va acompañado con las unidades que facilitan este proceso, principalmente como Lenguaje Algebraico, Transformaciones Isométricas, Congruencia de Figuras Planas, Semejanza de figuras Planas, La circunferencia y sus ángulos, Más sobre triángulos rectángulos.

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Una pequeña propuesta Cuarto: Etapa IV

Esta cuarta etapa los estudiantes tienen entre 17 y 18, esta corresponde a una etapa de reflexión, más bien evaluativa, la cuál corresponde al último año de formación del ciudadano en su etapa escolar, es por eso que en esta fase se debe motivar y presentar demostraciones que sean útiles y que

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No caer en modas

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No caer en modas

Tenemos que tener identidad

1 _{Historia de la Matemática Chilena: Evidenciar el quehacer}

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No caer en modas

matemático

2 _{Reconocer la actividad matemática de demostrar como un}

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No caer en modas

matemático

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No caer en modas

matemático

aspecto cultural. ¿Es posible?

1 _{Tecnologías y la demostracion}

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Maturana y la Educación Matemática: el conversar

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Lo humanos surgió cuando nuestros ancestros comenzaron a vivir en el conversar como una manera cotidiana de vivir que se conservo generación tras generación.

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Lo humanos surgió cuando nuestros ancestros comenzaron a vivir en el conversar como una manera cotidiana de vivir que se conservo generación tras generación.

Lo que nos constituye como seres humanos es nuestro existir en el conversar.

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Entender nuestra cultura

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Entender nuestra cultura

Ninguna acción particular, define una cultura, porque una cultura es una red de conversaciones es una configuración de coordinaciones de acciones y emociones.

Una cultura surge cuando una comunidad humana comienza a conversar generación tras generación una nueva red de coordinaciones de coordinaciones de

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La Transformación Pedagógica

Transformación Pedagógica, ¿Qué es esto?

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La Transformación Pedagógica

Transformación Pedagógica, ¿Qué es esto?

Pedagogía Bonsai.

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La Transformación Pedagógica Reflexiones Finales

1 _{Farandularizar la Matemática. ¿Como aprovechar el}

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material humano y los recursos?

2 _{Reconocer socialmente a los profesores como}

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profesionales.

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profesionales.

3 _{La matemática es nuestra.}

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La Transformación Pedagógica Fin

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Todo hacer es conocer y todo conocer es hacer.

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Todo hacer es conocer y todo conocer es hacer.

Ustedes deben comer matemática, dormir matemática, e ir al baño haciendo matemática.

Demostrar es hacer matemática y hacer matemática es demostrar