UNIDAD : LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS
1.
LÍMITES
Propiedades:
f
x
g
x
f
x
g
x
a x a
x a
x
(
)
lim
lim
lim
f
x g x f
x g
xa n a
x a
x ( )lim lim
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a x
a x a
x
lim
lim
)
(
lim
g
x ax x
g
a x
a x
x
f
x
f
lim
lim
)
(
lim
Para calcular un límite sólo hay que sustituir n por “∞”
TABLA DE OPERACIONES
+ a +∞ -∞ B a+b +∞ -∞ +∞ +∞ +∞ Ind. -∞ -∞ Ind. -∞
· 0 a ± ∞ 0 0 0 Ind. b 0 a·b ± ∞
± ∞ Ind. ± ∞ ± ∞
OJO: primero
multiplicar los signos
: 0 a ± ∞ 0 Ind ± ∞ ± ∞
b 0 a/b ± ∞
± ∞ 0 0 Ind. OJO: primero
multiplicar los signos
1 0
1
1 0
1 0
0
1
1
p si
p si Ind
p si p
p si
p si Ind
p si p
Pero el problema es cuando sale alguna INDETERMINACIÓN, que hay que resolverla de algún modo.
0 0
;
0
;
1
;
0
0
;
;
0
;
2.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Caben distinguir cuando hablamos de límite de una función en un punto (lim f(x))
a
x ,
podemos distinguir los límites laterales, por la izquierda (lim f(x))
a
x (toma valores menores que el punto), y por la derecha ( lim f(x))
a
x (toma valores mayores que el punto).
Cuando los límites laterales coinciden existirá el límite en el punto.
A. CÁLCULO DE LÍMITES EN UN PUNTO
Caso inmediato: Sustituir la x por el valor del punto. lim f(x) f(a)
a
x
Ejemplo: lim(2 2 4 1) 2·32 4·3 1 18 12 1 7
3
x x
x
0 6 6
1 ) 2 ·( 3 ) 2 2 (
1 )
3 ) 2 (
1 ( lim
2 2
2
x x
x
Indeterminación del tipo 0/0 con cociente de polinomios: Simplificamos la fracción algebraica y sustituimos.
Ejemplo:
2 1 2 1 lim )
1 ·(
) 1 )·( 1 ( lim 1 lim ación
Indetermin
0 0 1 lim (
1 1
2 2 1 2
2 1
x
x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
Indeterminación del tipo : Realizamos la operación y simplificamos. Ejemplo:
( 3)
6 lim
) 3 ·( ) 3 ·(
6 lim
ación Indetermin 0
1 0 3 3 1 ) 3 ·(
6 lim
2 3 2
3 2
3 x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x
3 5 2 lim )
3 (
) 2 )·( 3 ( lim
3 3
x
x x
x x x
x x
B. CÁLCULO DE LÍMITES EN FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Ejemplos:
4 ) ( lim 4
2 6 ) 6 ( lim ) ( lim
4 2 2 · 3 ) 2 3 ( lim ) ( lim 2 si 6
2 si 2 3 ) (
2 x 2
x 2
x
2 x 2
x -
-
x f x
x f
x x
f
x x
x x
x f
) ( lim 5
1 2 · 2 ) 1 2 ( lim ) ( lim
3 1 2 ) 1 ( lim ) ( lim 2 si 1 x 2
2 si 1 -)
(
2 x 2
x 2
x
2 2
2 x 2
x 2
-x f x
x f
x x
f
x x x
x f
No existe el límite
3.
LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
A) POLINOMIOS
Estrategia: Sacar factor común la “n” de mayor grado:
8
3
2
·
2
lim
n
3n
2n
n INDETERMINACIÓN
=
·
(
1
0
0
0
)
1
2
3
8
1
lim
3 2 3n
n
n
n
n
REGLA:
P
n
n
lim
El signo es el del coeficiente principal del polinomioEjemplos:
n
n
n
6
8
lim
3
n
n
n
3
4
lim
2
3
2
lim
n
n
3 3
3
lim
n
n
n
2 2
2
8
lim
n
n
B) FRACCIONES ALGEBRÁICAS
Estrategia: Dividir numerador y denominador por la “n” de mayor grado:
3
5
1
4
2
lim
22
n
n
n
n INDETERMINACIÓN
=
3
2
0
0
3
0
2
1
5
3
4
2
lim
1
5
3
4
2
lim
2 2
2 2 2
2
2 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
REGLA DE LOS GRADOS
Grado numerador > Grado denominador límite es ±∞
Grado numerador < Grado denominador límite es 0
3
5
1
4
2
lim
23
n
n
n
n
3
5
1
4
2
lim
42
n
n
n
n
5
2
1
5
3
4
2
lim
2 55
n
n
n
n
3
5
1
4
2
lim
2 2
n
n
n
n
3
2
1
5
3
4
2
lim
2
n
n
n
n
Otro método: Utilizando términos dominantes.
lim
𝑛→∞
2𝑛5− 4
3𝑛2− 5𝑛5+ 1= lim𝑛→∞
2𝑛5 −5𝑛5 =
−2 5
C) OTRAS INDETERMINACIONES
∞-∞
n
n
n
n
3
1
lim
2
INDETERMINACIÓN Realizamos la operación
=
3
1
2
lim
1
3
3
lim
1
3
)
1
3
(
1
3
lim
2 2
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
2
lim
INDETERMINACIÓN Multiplicamospor el conjugado =
2
1
1
1
1
lim
)
(
lim
lim
2 2
2 2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
0/0
0
:
0
1
2
:
3
lim
2
n
n
n
n INDETERMINACIÓN Realizamos la
operación =
2
3
2
3
3
lim
1
2
:
3
lim
22
2
n
n
n
n
n
nn
∞·0
0
1
2
·
2
lim
2 2
n
n
n
=
1
4
lim
23
n
n
n
1
∞
Estas son del tipo “e”
1
2
lim
2
lim
3 lim
3 n
n n
n
n
n
n
n
n
INDETERMINACIÓN
Se resuelven haciendo
onente base
n
e
lim( 1)exp
=
6 6
lim 3
2 lim 3
2 lim 3
1 2 lim
e
e
e
e
e
nn n
n n
n n n n
n n
n n
n
n
Importante: Comprobar que son del tipo 1
∞
5
2
2
2
lim
3
2
2 n
n
n
n
n
0
5
2
3
5
2
2
lim
1
2
n
n
n
n
0
2
3
5
2
2
3
lim
3
3 3
n
n
n
n
n
4.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x
+
Cuando x+
la función puede comportarse de varias formas:l x f
x
) (
lim
( )
lim f x
x
) ( lim f x
x
) ( lim f x
x
Hay tres tipos de funciones conocidas que tienen límite infinito en el más infinito; son polinómicas (potencias), exponenciales con base mayor que 1 y logaritmos.
El orden de comparación de infinitos es el siguiente, de mayor a menor: EXPONENCIALES (mayor la que tiene mayor base)
POTENCIAS (mayor la que tiene mayor exponente) LOGARITMOS (mayor la que tiene menor base)
Ejemplo: Ordenar de mayor a menor orden los siguientes infinitos:
5 4 2
2
; 5 1 ; log ; ; 2 ; ln ;
Mayores Exponenciales 2x 1´5x , después Potencias 3x25 x4 x por último
logaritmos log2xlnx
Para el cálculo de límites debemos tener en cuenta el orden de los infinitos y los coeficientes de estos. Si tenemos los infinitos en una fracción, si el infinito más grande está en el numerador el límite será infinito ,si está en el denominador el límite es cero (0), y si son iguales el límite es el cociente de los coeficientes.
Ejemplos:
10 7 3
1 2 3 lim 2 3 x x x x x
Infinito más grande en el numerador y cociente de signos +/+=+. 2 1 6 3 7 6 1 5 3 lim 2 3 2 3
x x
x x
x Mismo grado, dividimos coeficientes.
2 3 4 3 5 4 5 3 lim 2 x x x x 0 2 2 5 3 lim x x x
Infinito más grande en el denominador. x x x 3 2
lim Infinito más grande 3x.
x x
xlim log
3 2 4 2 5 3 lim 3 3 x x x x x x
(los dos son de grados 3-1=2) Realizamos la operación: = 4 10 7 14 lim 4 2 8 4 10 5 6 3 lim ) 2 )·( 2 ( ) 2 )·( 4 ( ) 2 )·( 2 ( ) 2 )·( 5 3 ( lim 2 2 3 4 2 2 3 4 3 4 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
5.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x
-
Los casos posibles son los mismos que para +, y el cálculo es muy parecido. Podemos aplicar las mismas reglas si cambiamos x por –x, y así cambiar el límite en menor infinito por el límite en más infinito.
¡¡CUIDADO CON LAS FUNCIONES EXPONENCIALES¡¡
Ejemplos:
10 7 3
1 2 3 lim 2 3 x x x x
x Infinito más grande en el numerador y cociente de signos -/+=-. 2 1 6 ) 3 ( 7 6 1 5 3 lim 2 3 2 3
x x
x x
x
Mismo grado, dividimos coeficientes.
2 3 4 3 5 4 5 3 lim 2
x x
x
2 2 2 0
5 3 lim
x x
x
lim 2 3 000
x x
x
.
x x
x
log
lim No tiene sentido, no se puede hacer la raíz cuadrada a un número negativo, ni tampoco un logaritmo.
6.
CONTINUIDAD
A.CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Se dice que una función f es continua en un punto a cuando cumple las siguientes condiciones.
i) Existe la función en a f(a)
ii) Existe el límite de la función cuando x tiende a a f
xa x
lim iii) Los dos valores anteriores coinciden. lim f
x f(a)a
x
B.CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.
Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo. Generalmente todas las funciones son continuas en su dominio, el problema es estudiar estos puntos y en las funciones definidas a trozos hay que estudiar los puntos de unión.
Ejemplos:
Estudia la continuidad de la función
2 2 )
( 2
2 3
x x
x x x f
Dominio es {1,2} (soluciones de la ecuación x2x20) Es CONTINUA en
} 2 , 1 {
Vamos a clasificar las discontinuidades.
0
3 2 2 lim
2 2 3 1x x
x x
x
Discontinuidad de salto infinito en x=-1 (ASÍNTOTA VERTICAL)
3 4 ) 1 ·( lim ) 2 )·( 1 (
) 2 ( lim .
0 0 2 2 lim
2 2 2
2 2
2 3
2
x
x x
x x x Indt
x x
x x
x x
x (Discontinua por
falta de definición)
Estudia la continuidad de la función
3 si 2
3 0
si 1
0 si
2
x x x
x x
x e
x f
x
Los tres trozos son continuos porque son: una función exponencial, una recta y una parábola.
Continuidad en x=0
1 ) 0 ( f
Continuidad en x=3
1 ) 1 ( lim
1 lim
0
0 0
x e e
x x
x Son iguales
Continua en x=0
3 6 9 ) 2 ( lim
4 1 3 ) 1 ( lim
2 3 3
x x x
x x
No son
iguales No es continua en x=3 (Discontinuidad de Salto Finito)
La Función es continua en {3}
Calcula el valor de los parámetros a y b para que sea continua:
1
si
2
1
2
si
2
si
2
x
x
x
b
x
ax
x
a
x
y
Continua en cada trozo por ser rectas y parábola. Continuidad en x=-2
b a
f(2)4 2
b a
b x ax
a a
x
x x
2 4 ) (
lim
2 lim
2 2
2
Para ser
continua debe cumplir
0 5
2 2
4a b a ab
Continuidad en x=1
3 1 2 ) 1
( f
3 ) 2 ( lim
1 )
( lim
3 2 3
x
b a b x ax
x
x Para ser
continua debe cumplir
2 3
1
b a b
a
Resolviendo el sistema de ecuaciones nos sale de solución ; 2
1
a y
3 5 b
C.TIPOS DE DISCONTINUIDADES.
Discontinuidad evitable
Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y éste es finito, pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos "hacerla continua" dándole a la función en el punto el valor del límite. (En realidad se construye una nueva función que coincide con la anterior en todos los puntos salvo en el punto de discontinuidad. En ese punto, a la nueva función se le da el valor del límite).
Discontinuidad de 1ª especie o de salto
Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto: Existen los límites laterales en el punto, pero toman valores diferentes o infinito. El salto puede ser finito o infinito.
Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.
7.
ASÍNTOTAS
A.
ASÍNTOTAS VERTICALES
Una función
f
x
tiene una asíntota vertical enx
=
a
si:lim
"
"
a
f
x
x .
Hay que calcular los límites en aquellos puntos que no están en el dominio.
Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (signo de la función a la izquierda y la derecha de la asíntota)
B.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Una función
f
x
tiene una asíntota horizontal eny
=
b
si:f
x
b
x
lim
.Hay que calcular los límites en ± ∞. Normalmente calculamos el límite en ∞(sin signo), pero cuando tengamos alguna función exponencial debemos calcularlo en + ∞ y - ∞ por separado.
Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (valor de la función en un número grande (100) y en un número pequeño (-100))
C.
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Una función
f
x
tiene una asíntota horizontal eny
=
mx+n
si:
x
mx
n
f
x
x
lim
lim
.Cálculo de asíntotas oblicuas:
n
f
x
mx
x
x
f
m
x
x
lim
lim
Si m=0 ó ∞ no hay asíntota oblicua, si n= ∞ tampoco hay.
Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (valor de la función y de la asíntota oblicua en un número grande (100) y en un número pequeño (-100))
Ejemplos:
3
4
1
)
(
2
x
x
x
x
f
Dom
1
,
3
Asíntotas verticales: Hay A.V. en x=3
2
1
3
1
1
lim
.
0
0
3
4
1
lim
1 2
1
x
x
x
Ind
x
x
x
x
x (No hay)
0
2
3
4
1
lim
23
x
x
x
x
0
3
4
1
lim
2
x
x
x
x ;
9603
0
´
01
0
99
)
100
(
f
;0
009
´
0
10403
101
)
100
(
f
Ejemplos:
3
1
2
)
(
2
x
x
x
x
f
Dom
13
Asíntotas verticales:
0
2
3
1
2
lim
2
3
x
x
x
x Hay A.V. en x=3
Asíntotas horizontales:
3
1
2
lim
2
x
x
x
x No hay asíntota horizontal
Asíntota oblicua:
1
3
1
2
lim
:
3
1
2
lim
lim
22 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
x x
x
1
3
1
lim
3
3
3
1
2
lim
3
1
2
lim
lim
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
mx
x
f
n
x x
x x
Hay una asíntota oblicua en