UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2014-2015
MATEM ´ATICAS II
Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un dep´osito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13’5 metros c´ubicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del dep´osito para que el gasto en chapa sea el m´ınimo posible.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z
−x2 x2+x
−2dx.
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
λx+y−z = −1
λx +λz = λ x+y−λz = 0
a) [1’5 puntos] Discute el sistema seg´un los valores deλ.
b) [1 punto] Resuelve el sistema paraλ= 0.
Ejercicio 4.- Sean los puntosA(0,1,1), B(2,1,3), C(−1,2,0) yD(2,1, m).
a) [0’75 puntos] Calculam para queA, B, C yDest´en en un mismo plano.
b) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´on del plano respecto del cual los puntos AyB son sim´etricos.
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CURSO 2014-2015
MATEM ´ATICAS II
Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que lim x→0
ax2
+bx+ 1−cos(x) sen (x2
) es finito e igual a uno, calcula los
valores de ayb.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funci´on f : (0,∞) → R sabiendo que f′′
(x) = ln (x) y que su gr´afica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2) (ln denota la funci´on logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- Considera las matrices
A=
−1 2
2 m
y B =
1 2 0
−2 m 0
3 2 m
a) [1’5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los queA yB tienen el mismo rango.
b) [1 punto] Determina, si existen, los valores dempara los que AyB tienen el mismo determinante.
Ejercicio 4.- Sea el plano π ≡2x+y−z+ 8 = 0.
a) [1’5 puntos] Calcula el punto P′
, sim´etrico del punto P(2,−1,5) respecto del planoπ.
b) [1 punto] Calcula la rectar′
, sim´etrica de la recta r ≡ x−2 −2 =
y+ 1
3 =
z−5
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MATEM ´ATICAS II
Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere vallar un campo rectangular que est´a junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de ´area m´axima que puede vallarse con 28 800 euros.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula
Z
dx
(x−2)√x+ 2 (Sugerencia:
√
x+ 2 =t).
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla la matrizX que verifica la igualdadAXA−1
+B =CA−1
sabiendo que
A=
0 −1 0
−1 −3 0
1 4 1
, C =
1 −1 2
0 0 −1
1 0 −1
y BA=
1 1 0
1 1 −1
−1 −5 −3
.
Ejercicio 4.- Considera el puntoP(−3,1,6) y la recta r dada por (
2x−y−5 = 0
y−z+ 2 = 0
a) [1’25 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que pasa porP y es perpendicular ar.
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MATEM ´ATICAS II
Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determinaaybsabiendo que b >0 y que la funci´onf :R→Rdefinida como
f(x) =
acos(x) + 2x si x <0
a2ln (x+ 1) + b
x+ 1 si x≥0
es derivable. (ln denota la funci´on logaritmo neperiano).
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea g la funci´on definida por g(x) = ln (x) para x > 0 (ln denota la funci´on logaritmo neperiano). Calcula el valor de a >1para el que el ´area del recinto limitado por la gr´afica deg, el eje de abscisas y la recta x=a es 1.
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
λx+λy+λz = 0
λx+ 2y+ 2z = 0
λx+ 2y+z = 0
a) [1’75 puntos] Discute el sistema seg´un los valores deλ.
b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores deλpara los que el sistema tiene alguna soluci´on en la que z6= 0.
Ejercicio 4.- Los puntos A(0,1,1) y B(2,1,3) son dos v´ertices de un tri´angulo. El tercer v´ertice es un punto de la recta r dada por
(
2x+y = 0
z= 0
a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los posibles puntos C de r para que el tri´angulo ABC tenga un ´angulo recto en el v´ertice A.
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Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Halla los valoresa,bycsabiendo que la gr´afica de la funci´onf(x) = ax
2
+b x+c tiene una as´ıntota vertical en x= 1, una as´ıntota oblicua de pendiente2, y un extremo local en el punto de abscisa x= 3.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z π
0
x2sen (x)dx.
Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices:
A=
−1 2 2 −1
, B =
1 0 0
−2 1 0
3 2 1
y C=
1 0 0
−1 5 0
.
a) [1’5 puntos] Determina la matriz X para la que At
XB−1
=C, (At
es la traspuesta deA).
b) [1 punto] Calcula el determinante deB−1
(CtC
)B, (Ct
es la traspuesta deC).
Ejercicio 4.- Sear la recta definida por
x= 1
y= 1
z=λ−2
ysla recta dada por (
x−y= 1
z=−1
a) [1’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.
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MATEM ´ATICAS II
Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.
c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.
Opci´on B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un r´ıo. El terreno debe tener 180 000 m2
para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qu´e dimensiones tendr´a el terreno rectangular de modo que utilice la m´ınima cantidad de valla, si el lado que da al r´ıo no necesita vallado?
Ejercicio 2.- Sea f :R→R la funci´on definida por f(x) =x2 −4.
a) [0’75 puntos] Haz un esbozo de la gr´afica de f.
b) [1’75 puntos] Calcula el ´area del recinto limitado por la gr´afica de f y la recta y= 5.
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
2x+y+ (α−1)z = α−1
x−αy−3z = 1
x+y+ 2z = 2α−2
a) [1 punto] Resuelve el sistema para α= 1.
b) [1’5 puntos] Determina, si existe, el valor deαpara el que(x, y, z) = (1,−3, α) es la ´unica soluci´on del sistema dado.
Ejercicio 4.- Considera el planoπ de ecuaci´on mx+ 5y+ 2z= 0 y la recta r dada por
x+ 1
3 =
y n =
z−1 2
a) [1 punto] Calcula myn en el caso en el que la recta r es perpendicular al planoπ.