Examenes de Selectividad 2015 Andalucía

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UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2014-2015

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un dep´osito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13’5 metros c´ubicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del dep´osito para que el gasto en chapa sea el m´ınimo posible.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z

−x2 x2+x

−2dx.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

 

λx+yz = 1

λx +λz = λ x+yλz = 0

a) [1’5 puntos] Discute el sistema seg´un los valores deλ.

b) [1 punto] Resuelve el sistema paraλ= 0.

Ejercicio 4.- Sean los puntosA(0,1,1), B(2,1,3), C(1,2,0) yD(2,1, m).

a) [0’75 puntos] Calculam para queA, B, C yDest´en en un mismo plano.

b) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´on del plano respecto del cual los puntos AyB son sim´etricos.

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CURSO 2014-2015

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que lim x→0

ax2

+bx+ 1cos(x) sen (x2

) es finito e igual a uno, calcula los

valores de ayb.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funci´on f : (0,) R sabiendo que f′′

(x) = ln (x) y que su gr´afica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2) (ln denota la funci´on logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A=

−1 2

2 m

y B =

1 2 0

−2 m 0

3 2 m

a) [1’5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los queA yB tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores dempara los que AyB tienen el mismo determinante.

Ejercicio 4.- Sea el plano π 2x+yz+ 8 = 0.

a) [1’5 puntos] Calcula el punto P′

, sim´etrico del punto P(2,1,5) respecto del planoπ.

b) [1 punto] Calcula la rectar′

, sim´etrica de la recta r x−2 −2 =

y+ 1

3 =

z5

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere vallar un campo rectangular que est´a junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de ´area m´axima que puede vallarse con 28 800 euros.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula

Z

dx

(x2)√x+ 2 (Sugerencia:

x+ 2 =t).

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla la matrizX que verifica la igualdadAXA−1

+B =CA−1

sabiendo que

A=

0 1 0

−1 3 0

1 4 1

, C = 

1 1 2

0 0 1

1 0 1

 y BA= 

1 1 0

1 1 1

−1 5 3

.

Ejercicio 4.- Considera el puntoP(3,1,6) y la recta r dada por (

2xy5 = 0

yz+ 2 = 0

a) [1’25 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que pasa porP y es perpendicular ar.

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Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determinaaybsabiendo que b >0 y que la funci´onf :R→Rdefinida como

f(x) =

 

acos(x) + 2x si x <0

a2ln (x+ 1) + b

x+ 1 si x≥0

es derivable. (ln denota la funci´on logaritmo neperiano).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea g la funci´on definida por g(x) = ln (x) para x > 0 (ln denota la funci´on logaritmo neperiano). Calcula el valor de a >1para el que el ´area del recinto limitado por la gr´afica deg, el eje de abscisas y la recta x=a es 1.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

 

λx+λy+λz = 0

λx+ 2y+ 2z = 0

λx+ 2y+z = 0

a) [1’75 puntos] Discute el sistema seg´un los valores deλ.

b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores deλpara los que el sistema tiene alguna soluci´on en la que z6= 0.

Ejercicio 4.- Los puntos A(0,1,1) y B(2,1,3) son dos v´ertices de un tri´angulo. El tercer v´ertice es un punto de la recta r dada por

(

2x+y = 0

z= 0

a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los posibles puntos C de r para que el tri´angulo ABC tenga un ´angulo recto en el v´ertice A.

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b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Halla los valoresa,bycsabiendo que la gr´afica de la funci´onf(x) = ax

2

+b x+c tiene una as´ıntota vertical en x= 1, una as´ıntota oblicua de pendiente2, y un extremo local en el punto de abscisa x= 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula Z π

0

x2sen (x)dx.

Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices:

A=

−1 2 2 1

, B =

1 0 0

−2 1 0

3 2 1

 y C=

1 0 0

−1 5 0

.

a) [1’5 puntos] Determina la matriz X para la que At

XB−1

=C, (At

es la traspuesta deA).

b) [1 punto] Calcula el determinante deB−1

(CtC

)B, (Ct

es la traspuesta deC).

Ejercicio 4.- Sear la recta definida por   

 

x= 1

y= 1

z=λ2

ysla recta dada por (

xy= 1

z=1

a) [1’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

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Instrucciones: a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un r´ıo. El terreno debe tener 180 000 m2

para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qu´e dimensiones tendr´a el terreno rectangular de modo que utilice la m´ınima cantidad de valla, si el lado que da al r´ıo no necesita vallado?

Ejercicio 2.- Sea f :R→R la funci´on definida por f(x) =x2 −4.

a) [0’75 puntos] Haz un esbozo de la gr´afica de f.

b) [1’75 puntos] Calcula el ´area del recinto limitado por la gr´afica de f y la recta y= 5.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

 

2x+y+ (α1)z = α1

xαy3z = 1

x+y+ 2z = 2α2

a) [1 punto] Resuelve el sistema para α= 1.

b) [1’5 puntos] Determina, si existe, el valor deαpara el que(x, y, z) = (1,3, α) es la ´unica soluci´on del sistema dado.

Ejercicio 4.- Considera el planoπ de ecuaci´on mx+ 5y+ 2z= 0 y la recta r dada por

x+ 1

3 =

y n =

z1 2

a) [1 punto] Calcula myn en el caso en el que la recta r es perpendicular al planoπ.

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Referencias