Sobre el Teorema de Gauss Bonnet y sus Aplicaciones

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(1)SOBRE EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET Y APLICACIONES. YUDY TATIANA PULIDO SÁNCHEZ DIRECTOR: CARLOS ANTONIO JULIO ARRIETA. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas 2017. 1.

(2) 2.

(3) A mi familia, mi apoyo incondicional.. 3.

(4) Agradecimientos. Agradezco a todos los docentes que hicieron parte de mi formación y en especial al profesor Carlos Julio Arrieta. A mis compañeros. Y en especial a mis padres.. 4.

(5) Í NDICE GENERAL 0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Preliminares 1.1. Variedades . . . . . . . 1.2. Campos Vectoriales . . 1.3. Conexión . . . . . . . . 1.4. Símbolos de Christoffel 1.5. Formas Diferenciales . 1.6. Curvatura . . . . . . . 1.7. Teorema de Stokes . .. 6. . . . . . . .. 7 7 7 10 12 13 16 17. 2. Triangulación de Superficies 2.1. Triangulación y Característica de Euler de Superficies Compactas . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 18. 3. Teorema de Gauss-Bonnet 3.1. Ecuaciones de Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Cambio de Referencial Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Teorema Gauss-Bonnet para Superficies sin Frontera por Referenciales Moviles 3.4. Teorema Gauss-Bonnet para Superficies sin Frontera por Triangulación . . . . . 3.5. Teorema Gauss Bonnet Para Superficies Con Borde . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 21 21 23 28 32 33. 4. Aplicaciones 4.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 36. 5. Conclusión. 39. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . ..

(6) 0.1.. I NTRODUCCIÓN. El siguiente trabajo tiene como fin establecer una relación entre la topología y la geometría diferencial, está se mostrará mediante el teorema de Gauss-Bonnet que nos relaciona la característica de Euler de una variedad diferenciable M con la integral sobre M de la curvatura de M. Es importante resaltar que basaremos nuestras demostraciones en variedades de dimensión 2 únicamente,aunque el teorema se puede extender a su versión más general en variedades de dimensión n para poder hacer esto se necesitaría dela teoría de homología y cohomología como concepto base. Para desarrollar está relación se estudiarán algunos conceptos básicos que son vistos durante la carrera de matemáticas tales como variedades,campos vectoriales, formas diferenciables, curvatura y teorema de Stokes, todo esto en el capítulo 1. Como vamos a necesitar en gran parte la característica de Euler estudiaremos en el capítulo 2 la triangulación de superficies compactas que nos da una definición bastante útil de característica de Euler, así mismo veremos en el capítulo 3 la definición de índice que junto con las ecuaciones de estructura serán la base para demostrar el teorema de Gauss- Bonnet para superficies compactas sin borde por referenciales móviles, en este capítulo también se demostrará una versión del teorema para superficies compactas sin borde utilizando tringulación y por último la versión para superficies con borde. En el último capítulo se observarán unas aplicaciones del teorema de Gauss- Bonnet .. 6.

(7) C APÍTULO 1. P RELIMINARES En este capítulo se presentaran algunos conceptos de geometría diferencial elementales y necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores, que son de uso común en los cursos introductorios de geometría, por lo tanto se presentan sin mayor justificación. Si se desea profundizar sobre los diferentes temas del capítulo se puede ver [2], [3], [8], [9].. 1.1.. VARIEDADES. Definición 1.1. Una variedad diferenciable de dimensión n es un conjunto M junto con una familia de funciones inyectivas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de conjuntos abiertos Uα de Rn sobre M tal que Uα xα (Uα ) = M. 1 Para cualquier par α y β con xα (Uα ) ∩ x β (Uβ ) = W 6= ∅, los conjuntos xα−1 (W ) y x − β son conjuntos 1 abiertos en Rn y las funciones x − β ◦ xα son diferenciables.. La familia {(Uα , xα )} es maximal relativo a las dos condiciones anteriores.. 1.2.. C AMPOS V ECTORIALES. Definición 1.2. Se define Tp ( M) como el conjunto de todas las funciones X p : C ∞ ( p) → R tal que para todo α, β ∈ R y f , g ∈ C ∞ ( p) se cumplen las siguientes condiciones 1. (Linealidad) X p (α f + βg) = α( X p f ) + β( X p g), 2. (Regla de Leibniz) X p ( f g) = ( X p f ) g( p) + f ( p)( X p g). Junto con las operaciones en el espacio vectorial Tp ( M ) definidas por 1. ( X p + Yp ) f = X p f + Yp f , 2. (αX p ) f = α( X p f ). Un vector tangente a M en p es cualquier X p ∈ Tp ( M ). Tp M tiene la misma dimensión de M y para un sistema coordenado (U, ϕ) en p ∈ M, con coordenadas x1 , · · · , x n ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ = ,··· , = ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn es una base para Tp M y recibe el nombre de referencial en ϕ(U ) ⊂ M. 7.

(8) Definición 1.3. Un campo vectorial X de clase Cr sobre M es una función que asigna a cada punto p de M un vector X p ∈ Tp ( M ) sobre una vecindad coordenada (U, ϕ). Si f es una función real definida sobre U ⊂ Rn , a partir del campo X se puede definir X ( f ) y se define ∂f X ( f )( p) = ∑ ai ( p) ∂xi p i Si definimos el campo X = 1e1 + 0e2 + · · · + 0en este campo vectorial se denota definimos otro campo 0e1 + · · · + 1e j + · · · + 0en será denotado por manera. n. X=. ∂ y análogamente si dx1. ∂ y el campo se escribirá de la siguiente ∂x j. ∂. ∑ ai ∂xi. i =1. Dado un campo X sobre U y una función f definida sobre U y de clase C ∞ se define f X como el campo sobre U dado por ( f X ) p = f ( p) X p Teorema 1.1. Sean X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M, entonces existe el campo vectorial Z, tal que Z p f = X p (Y f ) − Yp ( X f ) Para cada p en M. Este nuevo campo vectorial Z se denota con [ X, Y ] y es llamado el corchete de Lie. Así mismo [ X, Y ] = XY − YX. Proposición 1. Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables sobre M, a, b ∈ R y sean f , g : M −→ R funciones diferenciables, entonces 1. Anticonmutatividad. [ X, Y ] = −[Y, X ] 2. Linealidad. [ aX + bY, Z ] = a[ X, Z ] + b[Y, Z ] 3. Identidad de Jacobi. [[ X, Y ], Z ] + [[Y, Z ], X ] + [[ Z, X ], Y ] = 0 4.. [ f X, gY ] = f g[ X, Y ] + f X ( g)Y − gY ( f ) X Demostración.. 1.. [ X, Y ] = XY − YX = −(YX − XY ) = −[Y, X ] 2.. [ aX + bY, Z ] = ( aX + bY ) Z − Z ( aX + bY ) = aXZ + bYZ − aZX − bZY = a[ X, Z ] + b[Y, Z ]. 8.

(9) 3. Tenemos que,. [[ X, Y ], Z ] = [ XY − YX, Z ] = XYZ − YXZ − ZXY + ZYX [[Y, Z ], X ] = [YZ − ZY, X ] = YZX − ZYX − XYZ + XZY [[ Z, X ], Y ] = [ ZX − XZ, Y ] = ZXY − XZY − YZX + YXZ Con lo que. [[ X, Y ], Z ] + [[Y, Z ], X ] + [[ Z, X ], Y ] = 0 4.. [ f X, gY ] = = =. f X ( gY ) − gY ( f X ) f gXY + f X ( g)Y − g f YX − gY ( f ) X f g[ X, Y ] + f X ( g)Y − gY ( f ) X. Definición 1.4. Una métrica Riemanniana sobre una variedad diferenciable M es una correspondencia donde asocia a cada punto p de M un producto interno h, i p sobre Tp M, que varia diferenciablemente en el siguiente sentido. Si x : U ⊂ Rn → M es un sistema coordenado alrededor de p, con coordenadas x1 , · · · , xn y x ( x1 , x2 , · · · , x n ) entonces. *. = q ∈ x (U ) y. ∂ ∂ ( q ), (q) ∂xi ∂x j. ∂ (q) = dxq (0, · · · , 1, · · · , 0) ∂xi. +. = gij ( x1 , · · · , xn ) q. es una función diferenciable sobre U. Cabe resaltar que la definción no depende de la escogencia del sistema coordenado. Otra manera de expresar la diferenciabilidad de la métrica riemanniana es decir que para cada par de campos vectoriales X e Y, donde son diferenciables en una vecindad V de M, la función h X, Y i es diferenciable sobre V. La función gij = g ji es llamada la representación local de la métrica riemanniana en el sistema coordenado x : U ⊂ Rn → M. Una variedad diferenciable con una métrica riemanniana dada es llamada una variedad riemanniana. Veamos algunos ejemplos de variedades riemannianas. ∂ Ejemplo 1. El ejemplo más trivial sucede cuando M = Rn con identificada con ei = (0, · · · , 1, · · · , 0). La ∂xi métrica está dada por (ei , e j ) = δij . La geometría riemanniana de este espacio es la geometría euclidea. Ejemplo 2. (Inmersión de variedades) Sea f : Mn → N n+k una inmersión, esto es, f es diferenciable y d f p : Tp M → T f ( p) N es inyectiva para todo p en M. Si N tiene una estructura riemanniana, f induce una estructura riemanniana sobre M definida por. hu, vi p = (d f p (u), d f p (v)) f ( p) con u, v ∈ Tp M. Veamos que el producto interno es definido positivo, simétrico y bilineal. 1. (Definido Positivo) Ya que d f p es inyectiva, h, i p es definido positivo. 2. (Simétrico) como d f p (u), d f p (v) ∈ R entonces hu, vi p = hv, ui p 9.

(10) 3. (Bilineal). h u1 + u2 , v i p. = hd f p (u1 + u2 ), d f p (v)i f ( p) = hd f p (u1 ) + d f p (u2 ), d f p (v)i f ( p) = hd f p (u1 ), d f p (v)i f ( p) + hd f p (u2 ), d f p (v)i f ( p) = h u1 , v i + h u2 , v i p. Análogamente se comprueba hu, v1 + v2 i p = hu, v1 i + hu, v2 i p. hαu, vi p. = hd f p (αu), d f p (v)i f ( p) = hαd f p (u), d f p (v)h f ( p) = αhu, vi p. Análogamente se comprueba hu, αvi = αhu, vi Esta métrica sobre M es entonces llamada la métrica inducida por f y f es una inmersión isométrica. Un caso particular importante ocurre cuando se tiene una función diferenciable h : Mn+k → N k y q ∈ N es un valor regular de h. Esto es que h−1 (q) ⊂ M es una subvariedad de M de dimensión n; así se puede introducir una métrica riemanniana inducida por la inclusión. Por ejemplo, sea h : Rn → R dada por n. h ( x1 , · · · , x n ) =. ∑ xi2 − 1.. i =1. Entonces 0 es un valor regular de h y h−1 (0) = { x ∈ Rn : x12 + · · · + xn2 = 1} = Sn−1 la esfera unidad de Rn . La métrica inducida de Rn sobre Sn−1 es llamada la métrica canónica de Sn−1 .. 1.3.. C ONEXIÓN. Definición 1.5. Una conexión afín ∇ sobre una variedad diferenciable M es una función. ∇ : X( M) × X( M) −→ X( M) denotada por ( X, Y ) −→ ∇ X Y y satisface las siguientes propiedades: 1. ∇ f X + gY Z = f ∇ X Z + g∇Y Z 2. ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z 3. ∇ X ( f Y ) = f ∇ X Y + X ( f )Y Donde, X, Y, Z ∈ X( M ) y f , g ∈ D ( M ). Proposición 2. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Existe una única correspondencia que DX , llamado asocia a un campo vectorial X a lo largo de la curva diferenciable c : I −→ M otro campo vectorial dt derivada de X a lo largo de c, tal que. 1.. DX DY D (X + Y) = + dt dt dt. 2.. D df DX ( f X) = X+ f donde Y es un campo vectorial a lo largo de c y f es una función diferenciable sobre I. dt dt dt 10.

(11) 3. Si X es inducida por un campo vectorial Y ∈ X, es decir X (t) = Y (c(t)) entonces. DX = ∇ dc Y dt dt. Definición 1.6. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Un campo vectorial V a lo largo DV de una curva c : I → M se dice paralelo cuando = 0 para todo t ∈ I. dt Definición 1.7. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇ y una métrica riemanniana (, ). La conexión se dice que es compatible con la métrica (, ) cuando para cualquier curva suave c y cualquier par de campos vectoriales paralelos P y P0 a lo largo de c, se tiene que ( P, P0 ) es constante. Proposición 3. Sea M una variedad riemanniana, una conexión ∇ sobre M es compatible con una métrica si y sólo si para cualesquiera campos vectoriales X e Y a lo largo de una curva diferenciable c : I −→ M se tiene d ( X, Y ) = dt. . DX DY , Y + X, dt dt. (1.3.1). t ∈ I. Demostración. Supongamos que ∇ es compatible con (, ). Sea { P1 (t0 ), · · · Pn (t0 )} una base ortonormal de Tx(t0 ) , t0 ∈ I. Se puede extender por transporte paralelo los vectores Pi (t0 ), i = 1, · · · , n a lo largo de c. Ya que ∇ es compatible con la métrica y { P1 (t), · · · , Pn (t)} es una base ortonormal de Tc(t) ( M ), para cualquier t ∈ I. Así V=. ∑ vi Pi. W=. i. ∑ wi Pi. i = 1··· ,n. i. donde vi y wi sobre I. Ahora DV = dt. ∑ i. dvi DW P y = dt i dt. ∑ i. dwi P dt i. Por tanto, . DV ,W dt. . DW + V, = dt. = =. dvi dwi ∑ dt wi + dt vi i ( ) d vi wi dt ∑ i . . d (V, W ) dt. Ahora supongamos que se cumple (1.3.1) y sean V, W dos campos vectoriales paralelos a lo largo de c, enDV DW tonces =0y = 0 para todo t ∈ I. Y por tanto dt dt d (V, W ) = (0, W ) + (V, 0) = 0 dt e integrando respecto a t obtenemos (V, W ) = cte. Así ∇ es compatible con (, ). Corolario 1. Una conexión ∇ sobre una variedad riemanniana M es compatible con la métrica si y sólo si X (Y, Z ) = (∇ X Y, Z ) + (Y, ∇ X Z ). (1.3.2). con X, Y, Z ∈ X 11.

(12) 1.4.. S ÍMBOLOS DE C HRISTOFFEL. Dado un sistema coordenado (U, e), podemos definir las funciones Γijk sobre U por ∇ei e j =. ∑ Γijk ek , k. denominados los coeficientes de la conexión ∇sobre U o los símbolos de Christoffel de la conexión. Es conocido que, ! 1 ∂ ∂ ∂ m Γij = ∑ g + g − g gkm 2 k ∂ei jk ∂e j ki ∂ek ij Donde gkm es la matriz inversa de gkm y gij = hei , e j i. Esto vale para conexiones que son compatibles con la métrica riemanniana y simétricas. Es importante ver que nosotros siempre estamos trabajando con referenciales ortogonales por tanto ! ∂ ∂ ∂ 1 m g + g − g gmm Γij = 2 ∂ei jm ∂e j mi ∂ek ij y así mismo. ∇ei e j = Γijk ek Por lo que el coeficiente de ek es Γijk =< ∇ei e j , ek > Veamos un ejemplo del cálculo de los coeficientes de Christoffel Ejemplo 3. Consideremos el medio plano superior R2+ = {( x, y) ∈ R2 ; y > 0} con la métrica dada por g11 = g22 = Se tiene que gkm. 1 , g12 = 0 métrica de Lobatchevski´s para geometría no euclidea. y2   1 2 0  y2  y 0  y gkm = =  1  0 y2 0 2 y. Se observa que tanto gkm como gkm son diagonales entonces calcular los símbolos de Christoffel se reduce a Γ111. = = =. Γ212. = =. Γ211. = = =. 1 ∂ ∂ ∂ g11 + g11 − g11 g11 2 ∂x ∂x ∂x 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 + − ( y2 ) 2 ∂x y2 ∂x y2 ∂x y2 0 1 2 0. . ∂ 1 ∂ ∂ + 0 − 0 ( y2 ) ∂x y2 ∂y ∂x. 1 ∂ ∂ ∂ 1 ( y2 ) 0+ 0− 2 ∂x ∂y ∂y y2 1 2 − − 3 ( y2 ) 2 y 1 y 12.

(13) Γ112. = = =. Γ222. = = =. Así, Γ111 = Γ212 = 0, Γ211 =. ∂ 1 ∂ 1 ∂ 0+ − 0 ( y2 ) 2 ∂x ∂y y2 ∂x 1 2 − 3 ( y2 ) 2 y 1 − y 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 + − ( y2 ) 2 ∂y y2 ∂y y2 ∂y y2 1 2 − 3 ( y2 ) 2 y 1 − y. 1 1 y Γ112 = Γ222 = − . y y. 1.5.. F ORMAS D IFERENCIALES. Definición 1.8. Sea p ∈ Rn , Tp Rn el espacio tangente de Rn en p y ( Tp Rn )∗ su espacio dual. Sea Λk (Rnp )∗ el conjunto de todas las funciones k − lineales alternadas φ : Rnp × · · · × Rnp → R con las operaciones usuales entre funciones Λk (Rnp )∗ es un espacio vectorial. ( ) ∂ es la base estándar de Tp Rn , la base dual para Tp∗ Rn se denota {dxi } p . Si ei = ∂xi p i. Dado φ1 , · · · , φk ∈ (Rnp )∗ podemos obtener un elemento φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk de Λk (Rnp )∗ por. (φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk )(v1 , v2 , · · · , vk ) = det(φi (v j )) con i, j = 1, · · · , k. Por tanto de las propiedades de los determinantes tenemos que φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk es k − lineal y alternada. Definición 1.9. Una k − f orma exterior en Rn es una función ω que asocia a cada p ∈ Rn un elemento ω ( p) ∈ Λk (Rnp )∗ y podemos escribir a ω como ω ( p) =. ∑. i1 ···ik. ai1 ···ik ( p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ). con i j ∈ {1, · · · , n} , donde ai1 ···ik son funciones reales en Rn . Cuando ai1 ···ik son funciones diferenciables, ω se dice que es una k − f orma diferencial Definición 1.10. Si ω es una k − f orma y φ es una s − f orma podemos definir su producto exterior ω ∧ φ como una (s + k) − f orma como sigue. ∑ a I dx I con I = (i1 , · · · , ik ) y i1 < · · · < ik , item φ = ∑ b J dx J con I = ( j1 , · · · , js ) y j1 < · · · < js. ω=. 13.

(14) Entonces ω∧φ =. ∑ a I b J dx I ∧ dx J IJ. Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y su producto exterior (∧) se realiza punto a punto, esto es , si ω, ϕ ∈ Ω∗ ( M ) el conjunto de todas las formas diferenciables, c ∈ R y m ∈ M entonces 1. (ω + ϕ)m = ωm + ϕm 2. (cω )m = cωm 3. (ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm El producto exterior en Rn tiene las siguientes propiedades Proposición 4. Sea ω una k − f orma, φ una s − f orma y θ una r − f orma entonces 1. (ω ∧ φ) ∧ θ = ω ∧ (φ ∧ θ ) 2. (ω ∧ θ ) = (−1)ks (φ ∧ θ ) 3. ω ∧ (φ + θ ) = ω ∧ φ + ω ∧ θ esto cuando r = s Demostración. Sean ω. =. ϕ. =. ∑ a I dx I con I = (i1 , · · · , ik ) y i1 < · · · < ik I. ∑ a J dx J con J = ( j1 , · · · , js ) y j1 < · · · < js J. θ. =. ∑ a M dx M con (m1 , · · · , mr ) y m1 < · · · < mr M. 1.. (ω ∧ ϕ) ∧ θ. ∑ a I b J dx I ∧ dx J. =. IJ. =. !. ∧ ∑ c M dx M M. ∑ a I b J c M dx I ∧ dx J ∧ dx M. IJM. =. ∑ a I dx I ∧ ∑ b J c M dx J ∧ dx M I. JM. = ω ∧ ( ϕ ∧ θ) 2. ω∧ϕ. =. ∑ a I b J dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js IJ. =. ∑ b J a I (−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dx j1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dx js IJ. =. ∑ b J a I (−1)k dx j1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dx j2 ∧ · · · ∧ dx js I J]. Como J tiene s elementos se debe repetir el proceso s veces por tanto, ω∧ϕ. =. ∑ b J a I (−1)ks dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik IJ. = (−1)ks ϕ ∧ ω 14.

(15) 3. Cuando r = s se tiene, ω ∧ ( ϕ + θ). =. ∑ a I dx I ∧ ∑(b J + c J dx J ) I. =. J. ∑(a I )(b J )dx I ∧ dx J IJ. = =. ∑(a I b J + a I c J )dx I ∧ dx J ∑ a I b J dx I ∧ dx J + ∑ a I c J dx I ∧ dx J IJ. IJ. = (ω ∧ ϕ) + (ω ∧ θ ). Definición 1.11. Sea ω =. ∑ a I dx I una k − f orma en Rn . La diferencial exterior dω de ω esta definida por I. dω =. ∑ da I ∧ dx I . I. La diferencial exterior de una forma tiene las siguientes propiedades 1. d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 . Donde ω1 y ω2 son k − f ormas. 2. d(ω ∧ φ) = dω ∧ φ + (−1)k ∧ dφ donde ω es una k − f orma y φ es una s − f orma. 3. d(dω ) = d2 ω = 0. La siguiente proposición nos relaciona la derivada de una forma diferenciable evaluada en campos vectoriales, que serán de uso más adelante. Proposición 5. Sea ω una 1-forma diferenciable sobre M y sean e1 y e2 campos vectoriales diferenciables sobre M. Entonces dω (e1 , e2 ) = e1 ω (e2 ) − e2 ω (e1 ) − ω ([e1 , e2 ]) Demostración. Sea f : U → M una parametrización de M y X=. ∂. ∑ ai ∂xi , j. Y=. ∂. ∑ ∂x j j. las expresiones de X e Y en esta parametrización. Por hipótesis se tiene que dω (θX, ϕY ). = θ ϕdω ( X, Y ) = θ ϕ( Xω (Y ) − Yω ( X ) − ω ([ X, Y ])). Y,. (θX )ω ( ϕY ) − (θY )ω ( ϕX ) − ω ([θX, ϕY ]) = θX ( ϕ)ω (Y ) + (θ ϕX )ω (Y ) + (θ ϕX )ω (Y ) − ϕY (θ )ω ( X ) −( ϕθY )ω ( X ) − θ ϕω ([ X, Y ]) − θX ( ϕ)ω (Y ) + ϕY (θ )ω ( X ) = θ ϕ( Xω (Y ) − Yω ( X ) − ω ([ X, Y ])) = dω (θX, ϕY ) Y así vemos que si se cumple para X e Y también se cumple para θX e ϕY, donde θ, ϕ ∈ U son funciones diferenciables. 15.

(16) Como si se cumple para Xi e Yj se cumpliría para. ∑ Xi e ∑ Yj . Así mismo es suficiente probar para los i. j. ∂ ∂ vectores , . ∂xi ∂x j Si f ∈ C ∞ (Ω), entonces ". # ∂ ∂ ∂2 f ∂2 f , (f) = − =0 ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j. así será suficiente probar que dω. ∂ ∂ , ∂xi ∂x j. !. ∂ ω ∂x j. =. ∂ ∂x j. !. ∂ − ω ∂x j. . ∂ ∂xi. . Y si esta úlitma se cumple para ω1 y ω2 también se cumple para ω1 + ω2 , y por tanto será suficiente probar ! ! ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , = αdxk αdxk d(αdxk ) ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi Donde α es una función diferenciable. Por la definición de producto exterior se tiene, ! ∂ ∂ ∂α ∂α (dα ∧ dxk ) , = δkj − δki ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j. 1.6.. C URVATURA. Definición 1.12. La curvatura R de una variedad diferenciable M es una correspondencia que asocia a cada par X, Y ∈ X una función R( X, Y ) Z = ∇Y ∇ X Z − ∇ X ∇Y Z + ∇[ X,Y ] Z con Z ∈ X, donde ∇ es la conexión riemanniana sobre M. Algunas propiedades de la curvatura son Sean X, Y, Z, W ∈ X y f una función diferenciable 1. R es bilineal 2. R es lineal , esto es R( X, Y )( Z + W ). = R( X, Y ) f Z =. R( X, Y ) Z + R( X, Y )W f R( X, Y ) Z. 3. (Identidad de Bianchi ) R( X, Y ) Z + R(Y, Z ) X + R( Z, X )Y = 0 4. R( X, Y ) Z = − R(Y, X ) Z 5. R( f X, Y ) Z = R( X, f Y ) Z = R( X, Y )( f Z ) = f R( X, Y ) Z. 16.

(17) 1.7.. T EOREMA DE S TOKES. El teorema de Stokes es de gran importancia ya que nos permitirá probar el teorema de Gauus-Bonnet en una de sus versiones. Teorema 1.2. Teorema de Stokes Sea M una variedad diferenciable orientada compacta de dimensión n.Sea ω una (n − 1) − f orma diferenciable sobre M, i : ∂M → M la función inclusión. Entonces tenemos Z M. dω =. Z. i∗ω ∂M. Cuando ∂M = ∅, la integral sobre M desaparece.. 17.

(18) C APÍTULO 2. T RIANGULACIÓN DE S UPERFICIES En este capítulo se desarollará la noción básica de triangulación de superficies compactas y su relación con la característica de Euler que será vital para la demostración del teorema principal. Además se presentarán algunos ejemplos sencillos que nos ayuden a entender dicho tema.. 2.1.. T RIANGULACIÓN Y C ARACTERÍSTICA DE E ULER DE S UPERFICIES C OMPACTAS. Definición 2.1. Un triángulo curvilineo en una superficie es un subconjunto cerrado T ⊂ M homeomorfo a un triángulo cerrado T 0 ⊂ R2 Definición 2.2. una triangulación de una superficie M es una familia de triángulos curvilineos τ = { T1 , · · · , Tn } tal que 1. M =. n [. Ti. i =1. 2. Para cualquier par de triángulos Ti , Tj en τ se tiene sólo alguna de las siguientes a) Ti ∩ Tj = ∅ b) Ti ∩ Tj es un único vertice común a Ti y Tj c) Ti ∩ Tj es un único lado común Los siguientes son algunos casos que en una triangulación no son permitidos. Teorema 2.1. Toda superficie compacta tiene una triangulación con finitos polígonos. Definición 2.3. La característica de Euler de una triangulación de una superficie compacta M con finitos polígonos es χ( M) = V − E + F 18.

(19) Donde, V es el número total de vértices de la triangulación. E es el número total de bordes de la triangulación. F es el número total de polígonos de la triangulación. Es importante resaltar que χ( M ) es el mismo número sin importar la triangulación que se le haga a M. Veamos la triangulación de algunas superficies. 1. Toro (T) Hacemos la siguiente triangulación. Y se tiene que la cantidad de vértices, bordes y triángulos es V = 9, E = 27 y F = 18 respectivamente. Luego χ(T) = V + F − E = 9 + 18 − 27 = 0 2. Plano Proyectivo (P) Hacemos la siguiente triangulación. Y se tiene que la cantidad de vértices, bordes y triángulos es V = 9, E = 18 y F = 10 respectivamente. Luego χ(P) = V + F − E = 9 + 10 − 18 = 1 19.

(20) 3. Esfera (S2 ) Hacemos la siguiente triangulación. Y se tiene que la cantidad de vértices, bordes y triángulos es V = 6, E = 12 y F = 8 respectivamente. Luego χ(S2 ) = V + F − E = 6 + 8 − 12 = 2 Generalizando un poco la característica de Euler si conocemos la característica de una superficie podemos conocer fácilmente la de la suma conexa de n superficies. Veamos algunos casos Suma conexa de n toros → 2 − 2n. Suma conexa de n planos proyectivos →- 2 − n. Suma conexa de un plano proyectivo y n toros → 1 − 2n. Suma conexa de la botella de Klein y n toros → 2n. La prueba de los casos anteriores se puede ver en [7, Pág. 33] ya que en el trabajo no se hace necesario.. 20.

(21) C APÍTULO 3. T EOREMA DE G AUSS -B ONNET En este capítulo se demostrarán 2 casos del teorema de Gauss-Bonnet, el primero será para superficies compactas sin borde y el segundo para superficies compactas con borde, para superficies compactas con borde se desarrollará la prueba por dos caminos el primero por referenciales móviles y el segundo por triangulación de superficies compactas. De está manera se estudiarán las ecuaciones de estructura en Rn , símbolos de Christoffel, cambios de coordenadas y la noción de índice de una curva cerrada.. 3.1.. E CUACIONES DE E STRUCTURA. Definición 3.1. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y e1 , · · · , en , n campos vectoriales diferenciables tal que para cada p ∈ U, hei , e j i p = δij . Tal conjunto de campos vectoriales es llamado un referencial móvil ortonormal sobre U. De igual manera sobre superficies y variedades. Dado un referencial móvil ortonormal {ei }, i = 1, · · · , n podemos definir las 1-formas diferenciables ωi por la condición ωi (e j ) = δi,j , es decir para cada p la base {(ωi ) p } es la base dual de {(ei ) p }. El conjunto de formas {ωi } es llamado el coreferencial asociado a {ei } Cada campo vectorial ei es una función diferenciable ei : U ⊂ Rn → Rn , por tanto se puede escribir dei =. ∑ ωij e j j. Las n2 formas ωij son llamadas las formas de conexión de Rn en el referencial móvil {ei }. Se tiene que < ei , e j >= δij y derivando se obtiene 0. = hdei , e j i + hei , de j i = ωij + ω ji. De donde las fomas de conexión son antisimétricas respecto a i, j. Se observa que     de11 · · · de1n ω11 · · · ω1n  .. ..  =  .. ..   .. ..  . . . .   . .  den1. ···. denn. ωn1. ···. ωnn. e11 .. . en1. ··· .. . ···. Como la matriz eij es ortogonal se tiene que eij−1 = eijT = e ji .Por tanto,. 21.  e1n ..  .  enn.

(22) . de11  ..  . den1.  e11 de1n ..   .. .  . e1n denn. ··· .. . ···.   ω11 en1 ..  =  .. .   . ωn1 enn. ··· .. . ···. Así ,. ··· .. . ···.  ω1n ..  .  ωnn. n. ωij =. ∑ e jk deik. k =1. Definición 3.2. Sea M una variedad riemanniana y Y un campo vectorial diferenciable sobre M. Sea p ∈ M, x ∈ Tp M y consideremos una curva α : (−e, e) → M con α(0) = p, α0 (0) = x. Se define la derivada covariante (∇ x Y )( p) de Y relativa a x en p, escogiendo un referencial móvil {ei } alrededor de p, expresando Y (α(t)) en ese referencial 2. Y (α(t)) =. ∑ y i ( t ) ei. i =1. y 2. (∇ x Y )( p) =. ∑. i =1. 2 dti (0) + ∑ ω ji ( x )y j (0) dt j =1. ! ei. Donde ωii = 0. 2. Si hacemos e1 = 1e1 + 0e2 =. ∑ yi (t)ei , por la anterior definición se tiene. i =1. . ∇ x e1. = =. d (1) d (0) + ω12 ( x )(0) e1 + + ω12 ( x )(1) e2 dt dt ω12 ( x )e2. y por tanto, ω12 ( x ) = h∇ x e1 , e2 i La forma conexión ω12 asociada al referencial móvil {e1 , e2 } aplicada en el vector x es la e2 componente de la derivada covariante ∇ x e1 . Con lo anterior tenemos que para cada campo vectorial X y el referencial móvil {e1 , e2 } asociado las formas conexión nos quedan identficadas de la siguiente manera ωij ( X ) = h∇ X ei , e j i Teorema 3.1. [Las ecuaciones de estructura en Rn ] Sea {ei } un referencial móvil en un conjunto abierto U ⊂ Rn . Sea {ωi } el coreferencial asociado a {ei } y ωij la forma conección de U en el referencial ei . Entonces dωi =. ∑ ωk ∧ ωki k. dωij =. ∑ ωik ∧ ωkj k. . Demostración. Sea ei con i = 1, · · · , n la base canónica de Rn y sea xi : U −→ R. ( x1 , · · · , xn ) 7−→ xi. 22.

(23) Entonces dxi es una 1 − f orma diferencial sobre U y como dx j ( a j ) = δij entonces {dxi } es el coreferencial asociado a ai . Escribimos ei = ∑ β ij aij j. donde β ij es una función diferenciable sobre U y , para cada p ∈ U, la matriz β ij ( p) es una matriz ortogonal. como ωi (e j ) = δij ωi = ∑ β ij dx j j. Se probará que dβ ij =. ∑ ωik βkj . k. dei =. ∑ ωik ek = ∑ ωik ∑ β kj a j k. Como dei =. !. j. k. = ∑ ωik β kj a j jk. ∑ dβij a j obtenemos dβ ij =. ∑ ωik βkj k. y dωi =. ∑ dβij ∧ dx j = ∑ ωik βkj ∧ dx j = ∑ ωk ∧ ωki . j. jk. k. Para la segunda ecuación de estructura tenemos 0=. ∑ dωik βkj − ∑ ωik ∧ dβkj k. esto es,. k. ∑ dωik βkj = ∑ ωik ∧ ∑ ωks βsj k. k. s. y finalmente multiplicando por la matriz inversa de β kj dωie =. ∑ ωik ∧ ωke k. 3.2.. C AMBIO DE R EFERENCIAL M ÓVIL. Queremos ver como se comporta el cambio de referencial {e1 , e2 } a otro referencial {e1 , e2 } , para ello sean f = cos θ y g = sen θ dos funciones diferenciables. Definimos a τ como la diferencial del ángulo entre los dos referenciales, por tanto g θ = arcotan f con f 6= 0. Diferenciando θ tenemos. dθ. =. =. f dg − gdg f2 2 f 1+ g f dg − gd f f 2 + g2 23.

(24) De lo anterior f 2 + g2 es el determinante de la matriz de rotación que es ortogonal y como los referenciales preservan la orientación es igual a 1. Así τ = f dg − gd f Ahora debemos escribir a cada referencial en términos del otro, para ello se tiene en cuenta que cada referencial es una rotación del otrol. Por ello, e1 = f e1 − ge2 e2 = ge1 + f e2 e1 = f e1 + ge2 e2 = f e2 − ge1 Ahora si suponemos que los referenciales tienen la misma orientación, se tiene ω1 = f ω1 − gω2 ω2 = gω1 + f ω2 ω1 = f ω1 + gω2 ω2 = f ω2 − gω1 donde ω1 , ω2 , ω1 , ω2 son las formas asociadas al coreferencial de {e1 , e2 } y {e1 , e2 } respectivamente. Lema 1. Dados {e1 , e2 } y {e1 , e2 } con la misma orientación se tiene que ω12 = ω12 − τ Demostración. Tenemos que ω1 = f ω1 + gω2 , diferenciando tenemos dω1 = d f ∧ ω1 + f dω1 + dg ∧ ω2 + gdω2 Por otra parte, utilizando las ecuaciones de estructura tenemos que dω1 = ω2 ∧ ω21 dω2 = ω1 ∧ ω12 dω1 = ω2 ∧ ω21 con lo que dω1. = d f ∧ ( f ω1 − gω2 ) + f (ω2 ∧ ω21 ) + dg ∧ ( gω1 + f ω2 ) + g(ω1 ∧ ω12 ) = f d f ∧ ω1 − gd f ∧ ω2 + gdg ∧ ω1 + f dg ∧ ω2 + f (( gω1 + f ω2 ) ∧ ω21 ) + g(( f ω1 − gω2 ) ∧ ω12 ) =. f d f ∧ ω1 − gd f ∧ ω2 + gdg ∧ ω1 + f dg ∧ ω2 + f gω1 ∧ ω21 + f 2 ω2 ∧ ω21 + f gω1 ∧ ω12 − g2 ω2 ∧ ω12. = ( f d f + gdg) ∧ ω1 + ( f dg − gd f ) ∧ ω2 + f gω1 ∧ ω21 − f gω1 ∧ ω21 + ( f 2 + g2 )ω2 ∧ ω21 = ( f d f + gdg) ∧ ω1 + ( f dg − gd f ) ∧ ω2 + ( f 2 + g2 )ω2 ∧ ω21 Tenemos que f 2 + g2 = 1 y de aqui f d f + gdg = 0, luego dω1 = ( f dg − gd f ) ∧ ω2 + ( f 2 + g2 )ω2 ∧ ω21 = (τ + ω21 ) ∧ ω2 por las ecuaciones de estructura tenemos que dω1 = ω2 ∧ ω21 , utilizando que ω12 = −ω21 y por la unicidad de la forma tenemos que ω21. −ω12 ω12. = τ + ω21 = τ − ω12 = ω12 − τ. Como queríamos demostrar. 24.

(25) Cabe resaltar que si la orientación de {e1 , e2 } y {e1 , e2 } son opuestas tendremos que ω12 = −ω12 − τ. Los cálculos para ver esto son análogos a la demostración anterior, como en nuestra prueba utilizaremos sólo el hecho de que los referenciales tienen la misma orientación no hacemos el proceso. Proposición 6. si {e1 , e2 } es un referencial móvil sobre U ⊂ M y ω12 es la forma asociada al coreferencial {ω1 , ω2 }, entonces dω12 = −Kω1 ∧ ω2 = −K Además K no depende de la escogencia de los referenciales. K así definido es llamada la curvatura Gaussiana de M sobre U. Demostración. Tenemos ω1 ∧ ω2 (e1 , e2 ) = det(ωi (ei )) = 1 y dω12 (e1 , e2 ). = e1 (ω12 (e2 )) − e2 (ω12 (e1 )) − ω12 ([e1 , e2 ]) = e1 h∇e2 e1 , e2 i − e2 h∇e1 e1 , e2 i − h∇[e1 ,e2 ] e1 , e2 i = h∇e1 ∇e2 e1 , e2 i + h∇e2 e1 , ∇e1 e2 i − h∇e2 ∇e1 e1 , e2 i − h∇e1 e1 , ∇e2 e2 i − h∇[e1 ,e2 ] e1 , e2 i = −h∇e2 ∇e1 e1 , e2 − ∇e1 ∇e2 e1 + ∇[e1 ,e2 ] e1 , e2 i + h∇e2 e1 , ∇e1 e2 i − h∇e1 e1 , ∇e2 e2 i = −h R(e1 , e2 )e1 , e2 i + h∇e2 e1 , ∇e1 e2 i − h∇e1 e1 , ∇e2 e2 i = −K + hΓ221 e2 , Γ112 e1 i − hΓ211 e2 , Γ122 e1 i = −K. Para ver que K no depende del referencial, sea {e1 , e2 } otro referencial móvil sobre U, tenemos dos casos 1. Los referenciales móviles tienen la misma orientación. En este caso tenemos ω12 = ω 12 − τ y ya que τ = f dg − gd f , dτ = 0 entonces dω12 = dω 12 Así,. −Kω1 ∧ ω2. = = = =. dω12 dω 12. −Kω 1 ∧ ω 2 −Kω1 ∧ ω2. Luego k = K 2. Los referenciales móviles tienen diferente orientación. En este caso tenemos ω12 = −ω 12 − τ y dω12 = −dω 12 . Por tanto,. −Kω1 ∧ ω2. = = = =. dω12. −dω 12 Kω 1 ∧ ω 2 −Kω1 ∧ ω2. Luego k = K. 25.

(26) Lema 2. (Lemma de Cartan) Sea V n un espacio vectorial de dimensión n, y sea ω1 , · · · , ωr : V n → R con r ≤ n, formas lineales en V que son linealmente independientes. Asumimos que hay formas θ1 , · · · , θr : V → R tal que r. ∑ ωi ∧ θi = 0, entonces. i =1. θi =. ∑ aij ω j j. con aij = a ji Ahora veamos un ejemplo utilizando las ecuaciones de estructura y lemma de Cartan Ejemplo 4. Consideremos el campo vectorial en coordenadas esféricas { F1 , F2 , F3 }, donde F1 = cos v cos ϕu1 + sen v cos ϕu2 + sen ϕu3 , F2 = − sen vu1 + cos vu2 , F3 = − cos v sen ϕu1 − sen v sen ϕu2 + cos ϕu3 , Y U1 = (1, 0, 0), U2 = (0, 1, 0) y U3 = (0, 0, 1). Tenemos que las coordenadas esféricas están dadas por x1 = r cos ϕ cos v, x2 = r cos ϕ sen v, x3 = r sen ϕ. Derivandolas se obtiene, dx1 = cos ϕ cos vdr − r sen ϕ cos vdϕ − r cos ϕ sen vdv, dx2 = cos ϕ sen vdr − r sen ϕ sen vdϕ + r cos ϕ cos vdv, dx3 = sen ϕdr + r cos ϕdϕ. 3. Y así Fi =. ∑ aij u j. j =1. Escrito matricialemente tenemos,  cos ϕ cos v  − sen v − cos v sen ϕ. sen v cos ϕ cos v − sen v sen ϕ.   sen ϕ u1 0   u2  cos ϕ u3. 3. θi =. ∑ aij dx j con i = 1, 2, 3. j =1. 26.

(27) Luego, 3. θ1. ∑ a1j dx j. =. j =1. = a11 dx1 + a12 dx2 + a13 dx3 = (cos v cos ϕ)(dr cos ϕ cos v − r sen ϕ cos vdϕ − r cos ϕ sen vdv) + (sen v cos ϕ)(dr cos ϕ sen v − r sen ϕ sen vdϕ + r cos ϕ cos vdv) + (sen ϕ)(dr sen ϕ + r cos ϕdϕ) = dr (cos2 v cos2 ϕ + cos2 ϕ sen2 v + sen2 ϕ) + dϕ(−r sen ϕ cos2 v cos ϕ − r sen2 v sen ϕ cos ϕ + r cos ϕ sen ϕ) + dv(−r cos2 ϕ sen v cos v + r cos2 ϕ sen v cos v). = dϕ(−r sen ϕ cos ϕ(cos2 v + sen2 v)) + dr ((cos2 ϕ)(cos2 v + sen2 v) + sen2 ϕ) = dϕ(−r sen ϕ cos ϕ + r sen ϕ cos ϕ) + dr = dr Análogamente tenemos que, θ2 = r cos ϕdv. y. θ3 = rdϕ. 3. Ahora hallamos ωij =. ∑ a jk daik. k =1. .  − sen v cos ϕdv − cos v sen ϕdϕ cos v cos ϕdv − sen v sen ϕdϕ cos ϕdϕ − sen vdv 0  daij =  − cos vdv sen v sen ϕdv − cos v cos ϕdϕ − cos v sen ϕdv − sen v cos ϕdϕ −senϕdϕ 3. ω12. =. ∑ a2k da1k. k =1. = a21 da1 1 + a22 da12 + a23 da13 = (− sen v)(− sen v cos ϕdv − cos v sen ϕdϕ) + (cos v)(cos v cos ϕdv − sen v sen ϕdϕ) + (0)(cos ϕdϕ) = sen2 v cos ϕdv + cos v sen v sen ϕdϕ + cos2 v cos ϕdv − sen v cos v sen ϕdϕ = cos ϕdv Analogamente se tiene que ω11 = ω22 = 0, ω13 = dϕ, y ω32 = − sen ϕdv. Y ahora podemos hallar dω12 3. dω12. =. ∑ ω1k ∧ ωk2. k =1. = ω11 ∧ ω12 + ω11 ∧ ω22 + ω13 ∧ ω32 = 0 ∧ cos ϕdv + cos ϕdv ∧ 0 + dϕ ∧ (− sen ϕdv) = sen ϕdv ∧ dϕ Con esto tenemos que −K = sen ϕ 27.

(28) En una superficie orientada la 2-forma ω1 ∧ ω2 = ω 1 ∧ ω 2 = σ no depende de la escogencia del referencial y esta definida en M2 . El significado geométrico de la forma σ es obtenido de la siguiente manera. Si v1 = a11 e1 + a12 e2 y v2 = a − 21e1 + a22 e2 son vectores linealmente independientes en un punto p ∈ M, entonces σ ( v1 , v2 ). = det( aij ) = área(v1 , v2 ). donde (v1 , v2 ) denotal el paralelogramo generado por v1 y v2 , así σ es llamado el elemento de área de M. 3.3.. T EOREMA G AUSS -B ONNET PARA S UPERFICIES SIN F RONTERA POR R EFERENCIALES M OVILES. Proposición 7. Si M es compacta el número de puntos aislados singulares es finito. Demostración. Supongamos que el número de puntos aislados singulares no es finito, sean p1 , p2 , · · · estos puntos entonces podemos encontrar una vecindad Vpi para cada uno de ellos y además tendremos que ∞ [. Vpi forman una cubierta abierta de M, pero para esta cubierta no podemos encontrar una subcubierta. i =1. abierta finita tal que M ⊂. n [. Vpi porque cada vecindad sólo contiene un pi luego esto contradice el hecho. i =1. de que M es compacta. Por tanto, el número de puntos aislados singulares debe de ser finito. Definición 3.3. Sea X un campo vectorial sobre M. Sea p ∈ M una singularidad aislada de X y C una curva simple cerrada en V ⊂ M . Entonces el número I=. 1 2π. Z C. τ. es el índice de X en el punto p. Se entiende como índice el número de vueltas que da la curva C alrededor del punto singular aislado p. Definición 3.4. Una curva se dice cerrada simple si no se corta a si misma, es decir si admite una parametrización inyectiva. Se seguiran los siguientes para demostrar el teorema de Gauss Bonnet 1. A cada punto singular aislado del campo vectorial X le escogemos una métrica riemanniana g sobre X M y consideramos el referencial móvil {e1 , e2 } donde e1 = y e2 es un campo vectorial unitario |X| ortogonal a e1 y en la orientación de M. 2. Se determinan las formas diferenciales ω 1 , ω 2 , ω 12 en V − { p} 3. Se escoge otro referencial móvil {e1 , e2 } en la misma orientación y definido en V, así mismo se determinan las formas ω1 , ω2 , ω12 en V y la diferencia ω 12 − ω12 = τ que es definida en V − { p}.. 28.

(29) 4. Consideramos una curva simple cerrada C que límita una región compacta de V y contiene a p, C estará orientada en el mismo sentido de la región acotada. Lema 3. El índice no depende de la curva cerrada simple C. Demostración. Sean C1 y C2 dos curvas cerradas simples alrededor del punto singular aislado p. Tenemos dos casos Caso I: C1 y C2 no se intersecan. Sea δ la región delimitada por las curvas C1 y C2 y I1 , I2 sus respectivos índices, por el teorema de stokes tenemos que I1 − I2. 1 1 τ− 2π C1 2π Z 1 dτ 2π δ 0 Z. = = =. Z C2. τ. La última igualdad ya que ω 12 − ω12 = τ, es decir τ es constante luego dτ = 0. con esto I1 = I2 . Caso II: C1 y C2 se intersecan. Escogemos la curva C3 que no interseca ni a C1 ni a C2 y su índice como I3 . Así tendremos por el caso I que, I1 − I3 = 0 y I2 − I3 = 0 entonces, I1 = I2 = I3 .. Lema 4. La definición del índice no depende de la escogencia del referencial {e1 , e2 }. Más precisamente sea Sr = ∂Br el borde del disco de radio r y centro p, y consideramos {e1 , e2 } entonces lı́m. 1 2π. Z Sr. ω 12 = I. existe, y I = I Demostración. Sean Sr1 y Sr2 los bordes de los discos de radios r1 y r2 respectivamente con r2 < r1 y ∆ la región acotada por los bordes de estos dos discos. Por el teorema de stokes tenemos Z Sr 1. ω 12 −. Z. = Sr 2. Z ∆. dω 12. si hacemos tender r1 , r2 a cero tendremos así mismo que la región ∆ tiende a cero por tanto Z ∆. Si definimos la sucesión. Z Sr 1. dω 12 → 0. ω 12 , · · · ,. Z Sr n. ω 12 29.

(30) con {rn } → 0. Vemos que para todo e > 0 y m, n ∈ N Z Sr n. ω 12 −. Z Sr m. ω 12 < e. Luego la sucesión definida así es una sucesión de Cauchy en R y como R es completo la sucesión converge. Por tanto, 1 r →0 2π. Z. lı́m. Sr. ω 12 = I. existe. Veamos ahora que I = I Haciendo fijo r1 y r2 → 0, se tiene Z Sr 1. ω 12 − 2π I. y aplicando teorema de stokes Z Sr 1. ω 12 − 2π I =. Z Br1. dω 12 − 2π I. donde Br1 es el disco de radio r1 , y a su vez Z Br1. dω 12 = −. Z Br1. K ω̄12 ∧ ω 12 − 2π Ī. Por otra parte, ω 12 = ω12 + τ, luego Z Sr 1. ω 12. =. Z Sr 1. =. Z Br1. = −. ω12 +. Z Sr 1. dω12 +. Z Br1. τ. Z Sr 1. τ. Kω1 ∧ ω2 + 2πI. Así,. −. Z Br1. K ω̄12 ∧ ω 12 − 2π Ī = −. Z Br1. Kω1 ∧ ω2 + 2π I. de donde, I=I. Lema 5. El índice I no depende de la métrica. Demostración. Sean h, i0 y h, i1 dos métricas riemannianas sobre M. Para t ∈ [0, 1] definamos,. h, it = th, i1 + (1 − t)h, i0. 30.

(31) Veamos que h, it así definido es un producto interno positivo sobre M. 1. hu + v, wit = hu, wit + hv, wit. hαu + v, wit. = = = = =. thαu + v, wi1 + (1 − t)hαu + v, wi0 t(hαu, wi1 + hv, wi1 ) + (1 − t)(hαu, wi0 + hv, wi0 ) t(αhu, wi1 + hv, wi1 ) + (1 − t)(αhu, wi0 + hv, wi0 ) thu, wi1 + (1 − t)hu, wi0 + thv, wi1 + (1 − t)hv, wi0. hu, wit + hv, wit. 2. hu, uit ≥ 0. hu, uit. = thu, ui1 + (1 − t)hu, ui0. Como h, i0 y h, i1 son métricas tenemos que hu, ui0 ≥ 0 y hu, ui1 ≥ 0, además t ≥ 0 y 1 − t ≥ 0 luego,. hu, uit = thu, ui1 + (1 − t)hu, ui0 ≥ 0 3. hu, uit = 0 si y sólo si u = 0 Si,. hu, uit = thu, ui1 + (1 − t)hu, ui0 = 0 Se tienen los siguientes casos Caso I. Si t = 0 entonces hu, ui0 = 0 y como h, i0 es métrica se tiene u = 0. Caso II. Si t = 1 entonces hu, ui1 = 0 y como h, i1 es métrica se tiene u = 0. Caso III. Si t ∈ (0, 1) entonces se debe tener que hu, ui0 = 0 y hu, ui1 = 0 con lo que u = 0. Ahora si u = 0 como h, i0 y h, i1 son métricas se tiene hu, ui0 = 0 y hu, ui1 = 0 con lo que,. hu, uit = thu, ui1 + (1 − t)hu, ui0 = 0 Con esto tenemos que h, it es un producto interno positivo sobre M y además h, i0 y h, i1 varian diferenciablemente con p entonces h, it también lo hace. Así h, it es una familia uno-paramétrica de métricas sobre M que inicia con h, i0 y termina con h, i1 . Sean I0 , I1 e It los índices correspondientes a cada métrica.Se tiene que It es una función continua en t. Siendo el índice un entero tenemos que It es constante para t ∈ [0, 1]. Así I0 = I1 Teorema 3.2. Sea M una 2− superficie diferenciable orientada y compacta. Sea X un campo vectorial diferenciable sobre M con p1 , · · · , pk singularidades aisladas y I1 , · · · , Ik sus respectivos índices. Entonces, para cualquier métrica riemanniana sobre M k. Z M. Kσ = 2π ∑ Ii i =1. donde K es la curvatura Gausiana de la métrica y σ es su elemento de área. Demostración. Consideremos en M −. [. { pi } el referencial {e1 =. X ,e } |X| 2. donde e2 es un campo vectorial. i. unitario ortogonal a e1 en la orientación de M. Sean Bi las bolas centradas en pi tal que no contiene otro punto singular.. 31.

(32) Tenemos Z M−∪i Bi. Kω1 ∧ ω2. = −. Z M−∪i Bi. Z. =. ∪i (∂Bi ). dω12. ω12 (Por teorema de Stokes). k Z. ∑. =. ω12. i =1 ∂Bi. Donde ∂Bi tiene la orientación inducida por Bi , tomando límite cuando Bi tiende a cero y usando el lema 3 nos queda. lı́m. Z. Bi →0 M −∪i Bi. k Z. ∑. Kω1 ∧ ω2 = lı́m. Bi →0. ω12. i =1 ∂Bi. k. Z M. Kω1 ∧ ω2 = 2π ∑ Ii i =1 k. Z M. Kσ = 2π ∑ Ii i =1. Teorema 3.3. (Hopf-Poincare) Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y e1 un campo vectorial sobre M con ceros aislados. Si M tiene borde , e1 esta apuntando en dirección normal hacia afuera a lo largo del borde. Entonces,. ∑ I x i ( e1 ) = χ ( M ) i. Donde Ixi es el índice del cero aislado xi . Note que χ( M) es invariante bajo difeomorfismos.. 3.4.. T EOREMA G AUSS -B ONNET PARA S UPERFICIES SIN F RONTERA POR T RIANGULACIÓN. Teorema 3.4. Sea M una superficie compacta y orientable. Entonces para cualquier triangulación de M Z M. KdA = 2πχ( M ). Donde χ( M ) es la caracteristica de Euler de la triangulación. Demostración. Como M es orientable se tiene que en cada punto de M hay un vector normal unitario N. Fijando una triangulación de M con polígonos Pi cada uno de los cuales esta contenido en la imagen de alguna curva σi : Ui → R3 en la paramerización de M es decir Pi = σi ( Ri ) donde Ri ⊂ Ui . Asumimos que N es la unidad estándar de cada σi , si tomamos una base ortonormal {e1 , e2 } para el plano tangente en cada punto de la superficie se tiene que { N, e1 , e2 } es una base para R3 y por tanto, Z Ri. KdAσi = ∠i − (ni − 2)π +. Z l (γ ) i 0. K g ds. 32.

(33) Donde ni es el número de vertices de Pi , γi es el polígono curvilíneo que forma la frontera de Pi , l (γi ) es la longitud de γi y ∠i es la suma de los ángulos interiores de γi . Luego, Z M. KdA. =. ∑ i. =. Z Ri. KdAσi. ∑ ∠i − ∑ π ( n i − 2 ) + ∑ i. i. i. Z l (γ ) i 0. K g ds. Para hallar el valor de esta integral evaluaremos por separado cada uno de los términos del lado derecho. 1.. ∑ ∠i , en cada vértice se encuentran varios polígonos pero sabemos que la suma de los ángulos en el i. vertice es 2π por tanto,. ∑ ∠i = 2πV i. Donde V es el número de vértices de la triangulación. ! 2.. ∑ ( n i − 2) π = π ∑ n i − ∑ 2 i. i. i. Tenemos que por cada Pi hay 3 vértices luego ∑ ni = 3Pi , pero por otra parte por cada Pi hay 3 bordes i. 3P donde cada borde es compartido por dos Pi luego el número de bordes es E = i . Con esto tenemos 2 que π ∑ ni = 2πE i. ∑ 2 depende de i y este depende de la cantidad de polígonos luego la sumatoria es 2πF i. Así,. ∑(ni − 2)π = 2πE − 2πF i. 3.. ∑ i. Z l (γ ) i 0. K g dM , en este caso estamos integrando dos veces a lo largo de cada borde y cada vez en. diferentes direcciones se tiene,. ∑ i. Z l (γ ) i 0. K g ds = 0. Luego, Z M. 3.5.. KdA = 2πV + 2πE − 2πF = 2π (V + E − F ) = 2πχ( M ). T EOREMA G AUSS B ONNET PARA S UPERFICIES C ON B ORDE. Sobre una superficie se pueden hallar diferentes curvaturas, tales como la curvatura gaussiana, curvatura media y curvatura geodésica. La curvatura de nuestro interés es la curvatura gaussiana sin embargo necesitaremos de la definción de curvatura geodésica.. 33.

(34) Definición 3.5. Sea M una superficie orientada y sea α : I → M una curva diferenciable parametrizada por la longitud de arco s con α0 (s) 6= 0, s ∈ I. En una vecindad del punto α(s) ∈ M, se considera un referencial móvil {e1 , e2 } en la orientación de M tal que restringido a α, e1 (s) = α0 (s). La curvatura geodésica K g de α en M esta definida por d K g = (α ∗ ω12 ) ds Donde. d es la base canónica de R. ds. Ahora veamos el teorema de Gauss Bonnet para superficies con borde Teorema 3.5. Sea M una variedad diferenciables 2- dimensional orientada, compacta con borde ∂M y sea X un campo vectorial diferenciable sobre M tal que es transversal a ∂M, con singularidades p1 , · · · , pk aisladas, ninguna en ∂M y con indices I1 , · · · , Ik respectivamente. Entonces para cualquier métrica riemanniana sobre M, Z M. Kσ +. k. Z ∂M. K g ds = 2π ∑ Ii i =1. Donde K g es la curvatura geodesica de ∂M y ds el elemento de arco de ∂M Demostración. sobre M escogemos una métrica riemanniana y consideramos el referencial ortonormal orienX tado e1 = , e . En una vecindad V ⊂ M de ∂M escogemos otro referencial móvil orientado {e1 , e2 } tal |X| 2 que, restringido a ∂M, e1 es tangente a ∂M. Entonces como ya lo habíamos definido antes, i ∗ ω 12 = i ∗ ω12 + dϕ Donde i ∗ : ∂M → M es la función inclusión y ϕ es el angulo entre e1 y e1 a lo largo de ∂M. Sea Bi una bola con centro en pi con i = 1, · · · , k tal que Bi no contiene un punto singular diferente a pi . entonces Z M −∪ Bi. Kω 1 ∧ ω 2. = − = =. Z M−∪ Bi. Z ∪∂Bi. dω 12. ω 12 −. Z. i ∗ ω 12 (Por teo. Stokes) ∂M. k Z. ∑. ω 12 −. Z. i =1 ∂Bi. =. k Z. ∑. ω 12 −. Z. i =1 ∂Bi. =. k Z. ∑. i ∗ ω 12 ∂M. i ∗ ω12 −. Z. ∂M. ω 12 −. Z. i =1 ∂Bi. dϕ ∂M. K g ds −. Z. ∂M. dϕ(Def. Curvatura Geodesica) ∂M. Como e1 no es tangente a ∂M en ninguna parte se tiene que. Z. dϕ = 0 ∂M. Luego, Z M −∪ Bi. Kω 1 ∧ ω 2 =. k Z. ∑. ω 12 −. i =1 ∂Bi. Z. K g ds ∂M. Ahora tomando límite cuando Bi tiende a cero a esta última igualdad y usando el lema 3 nos queda Z M. Kσ +. Z ∂M. K g ds = 2π ∑ Ii i. 34.

(35) Definición 3.6. Sea M una superficie orientada, una región R ⊂ M es llamda una región simple si R es homeomorfa a un disco y su borde ∂R es la traza de una curva parametrizada α : I → s simple, cerrada y regular. Como la característica de Euler de la una región simple es 1, se tiene Corolario 2. Si R es una región simple de M, entonces Z R. Kσ +. Z. K g ds = 2π ∂R. 35.

(36) C APÍTULO 4. A PLICACIONES En este capítulo se verán algunas aplicaciones del teorema de Gauss-Bonnet y la característica de Euler.. 4.1.. A PLICACIONES. Proposición 8. Una superficie compacta de curvatura positiva es homeomorfa a la esfera. Demostración. Por el teorema 5 se tiene que la caracteristica de euler de esta superficie es positiva y la única superficie compacta que cumple esto en R3 es la esfera.. Definición 4.1. Una curva parametrizada γ : I → M y no constante se dice que es una geodesica para t ∈ I si el campo de sus vectores tangentes γ0 (t) es paralelo a lo largo de γ en t; esto es, Dγ0 (t) =0 dt γ es una geodesica parametrizada si es una geodesica para todo t ∈ I Proposición 9. Si hay dos geodesicas simples cerradas Γ1 y Γ2 sobre una superficie compacta de curvatura positiva entonces Γ1 y Γ2 seintersecan. Demostración. Por la proposición anterior como M es una superficie compacta con curvatura positiva es homeomorfa a una esfera. Supongamos que Γ1 y Γ2 no se intersecan entonces el conjunto formado por las 2 geodesicas sería el borde de una región R y tendríamos que la caracteristica de euler de esta región es 0 y así Z R. Kσ = 0. Lo cual es una contradicción ya que K > 0.. Teorema 4.1 (Hilbert-Liebmann ). Sea M ⊂ R3 un superficie compacta y conexa con curvatura de Gauss constante, Entonces M es una esfera.. 36.

(37) El problema de los colores. En el contexto de la aplicación se tiene que una triangulación M es llamada mapa y los poligonos son llamados países. Dos países son vecinos si tienen un borde en común. Se resalta que un vértice no es suficiente para ser vecinos. La pregunta es si n es un entero positivo y se le asigna un color a cada uno de los países tal que ningún par de vecinos pueden tener el mismo color , cual es el minímo n. Conjetura de Heawood El número cromatico de cualquier superficie compacta con caracteristica de Euler X ≤ 0 es h( X ). Para una superficie compacta M cual es el entero positivo más pequeño tal que todo mapa sobre M puede ser n − coloreado. Para una superficie compacta de caracteristica de euler X , sea N (X) =. √ 1 (7 + 49 − 24X ) 2. resolviendo se tienen que los posibles valores de X son 2, 0, −2, −4, · · · N ( X ) es un número real positivo. Sea h( X ) es entero más grande menor que N ( X ). Teorema 4.2. Cualquier superficie compacta con caracteristica de euler X ≤ 0 puede ser h( X ) − coloreada. Demostración. Primero cuando tenemos que en vértice se encuentran sólo dos bordes este vértice se puede eliminar sin afectar la coloración , tal como se ve en la siguiente imagen.. Por ello asumiremos que en cada vértice se encuentran a lo menos 3 bordes.También vamos a suponer que el número de países F es más grande que N ( X ) ya que si tuviesemos F ≤ N ( X ) tendríamos F ≤ h( X ) y habrían más colores que países logrando que la coloración deseada. Se probará que al menos un país C tiene bordes menores o iguales a h( X ) − 1. Para ello supongamos que cada país tiene bordes mayores o iguales h( X ). Tenemos que cada borde es compartido por exactamente dos países por tanto E≥. 1 h( X ) F 2. y como al menos 3 bordes se encuentran en cada vértice 2E ≤ 3V De esta última desigualdad, E. ≤ 3( E − V ) = 3( F − X )(Def. caracteristica de Euler) 37.

(38) De las anteriores desigualdades 3( F − X ) 6−. De donde,. 6X F. ≥E ≥. 2E F. ≥. 1 h( X ) F 2. ≥ h( X ). X h( x ) ≤ 6 1 − F. Como F ≥ N ( X ) y X ≤ 0 obtenemos h( X ) ≥ 6 1 −. X N (X). . Pero N ( X ) es la raíz cuadrada de la ecuación N 2 − 7N + 6X = 0 de donde, X 6 1− = N (X) − 1 N (X) Luego h( X ) ≤ N ( X ) − 1 que es una contradicción por tanto al menos un país tiene número de lados menores o iguales que h( X ) − 1. Ahora hagamos inducción sobre F. Supongamos que un mapa tiene F países, a uno de ellos C le removemos un borde haciendo que C se fucione con otro y nos quedarían F − 1 países. Por hipotesis de inducción este mapa puede ser h( X ) − coloreado, luego de pintar el mapa se agrega de nuevo el borde que se había eliminado, pero C tiene como máximo h( X ) − 1 vecinos por tanto podemos colorear C con un color diferente al de su vecinos. Así tenemos una h( X ) coloración a nuestro mapa.. 38.

(39) C APÍTULO 5. C ONCLUSIÓN En muchas ocasiones desarrollar integrales dobles y triples sobre superficies no es sencillo, el teorema de Gauss-Bonnet nos puede simplificar los cálculos ya que es más sencillo encontrar la característica de Euler de la superficie que muchas veces hacer un cambio de variables o aplicar cualquier otro método. De hecho se puede obsevar en la prueba como el teorema de Stokes es indispensable para finalizarla. Se trabaja sobre superficies compactas ya que para estás podemos asegurar que la cantidad de puntos singulares aisaldos es finita y por tanto tiene sentido definir el índice. Así mismo para superficies compactas se tiene que se puede triangular por finitos triángulos.Sin embargo, el teorema se puede demostrar para variedades riemannianas de dimensión n sólo que ya usará los conceptos de homología y cohomología pues no sera tan sencillo definir una triangulación o índice. Por otra parte si una variedad se deforma bajo homeomorfismos su carcaterística de Euler no cambia por el contrario si su curvatura. Por tanto la integral sobre las diferentes curvaturas no cambia sigue siendo igual.. 39.

(40) B IBLIOGRAFÍA [1] A LLENDOERFER , C ARL B, The Euler number of a Riemann manifold, American Journal of Mathematics,Vol. 62,Pág. 243-248, 1940. [2] D O C ARMO , M ANFREDO P, Differential forms and applications, Springer Science & Business Media, 2012. [3] D O C ARMO , M ANFREDO P, Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition,Courier Dover Publications, 2016. [4] D O C ARMO , M ANFREDO P ERDIGAO AND F LAHERTY F RANCIS , J, Riemannian geometry, Birkhäuser Boston, 1992. [5] E SCALAR , A NDRÉS V IÑA, Geometría diferencial,Universidad de Oviedo, 2000. [6] L EFSCHETZ , S OLOMON, Introduction to topology, Princeton University Press, 2015. [7] M ASSEY, W ILLIAM S, Algebraic topology: an introduction,Springer New York, 1967. [8] P RESSLEY, A NDREW N, Elementary differential geometry, Springer Science & Business Media, 2010. [9] WARNER , F RANK W, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups,Springer Science & Business Media, Vol. 94, 2013.. 40.

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