Estudio del reductor de tipo centroide usando aproximación por polinomios de Bernstein

(1)

Proyecto de Grado

Estudio Del Reductor De Tipo Centroide Usando Aproximaci´

on Por

Polinomios De Bernstein

Por:

Pedro Iv´

an Piza Rodr´ıguez

Dirigido por:

J. Humberto Serrano D.

Codirigido por:

Omar Salazar M.

Proyecto para aspirar al grado de

Ingeniero Electr´

onico

Ingenier´ıa Electr´

onica

Universidad Distrital Francisco Jos´

e De Caldas

Bogot´

a D. C.

(2)

´

_Indice

1. Introducci´on 1

2. Formulaci´on del problema 2

3. Justificaci´on 3

4. Objetivos 3

4.1. Objetivo general . . . 3

4.2. Objetivos espec´ıficos . . . 3

5. Marco te´orico 4 5.1. El reductor de tipo propuesto por Karnik y Mendel . . . 4

5.2. M´etodo de Nie-Tan . . . 5

5.3. Funciones mon´otonas crecientes y decrecientes . . . 6

5.4. Normalizaci´on al intervalo unidad . . . 6

5.5. Definici´on de los polinomios de Bernstein . . . 7

5.6. Definición del tamaño de la muestra en una población . . . 7

6. Desarrollo del problema 8 6.1. Simplificaci´on deϕ∗(z) yω∗(z) para implementaci´on del uso de los poli-nomios de Bernstein . . . 8

6.2. Polinomios de Bernstein para las funciones ϕ∗(z) y ω∗(z) . . . 9

6.3. Algoritmo propuesto a partir de los polinomios de Bernstein . . . 12

6.4. Codificaci´on del algoritmo presentado en el cuadro (5) en MATLAB® 12 6.4.1. Declaraci´on de variables . . . 12

6.4.2. Construcci´on de Bernstein . . . 14

6.4.3. Ra´ıces como Cl, Cr y Cm . . . 15

6.5. Experimento del m´etodo por polinomios de Bernstein versus el m´etodo de Karnik-Mendel y el de Nie-Tan . . . 15

6.6. Aplicación y comparación del método por polinomios de Bernstein sobre los ejemplos numéricos de Mendel y Liu . . . 16

6.7. Aplicación y comparación del método por polinomios de Berstein sobre una población escogida seudo aleatoriamente . . . 22

7. Análisis de resultados 25 7.1. Análisis basado en el incremento de la resolución de una función versus el incremento del grado de Bernstein . . . 25

7.2. Análisis de los casos de Liu y Mendel de la función de membresia A∗₄ . 26 7.3. Análisis de los casos de Liu y Mendel de las funciones de membres´ıa con componentes Gaussianas . . . 26

7.4. Error absoluto promedio y raz´on de errores promedio para 1068 conjuntos difusos . . . 26

7.5. An´alisis sobre toda la poblaci´on seleccionada seudo aleatoriamente . . . 27

(3)

8. Conclusiones 29

9. Trabajos futuros 30

9.1. Análisis del reductor de tipo para funciones trapezoidales, triangulares, sigmoidales y sus combinaciones . . . 30 9.2. Sistema difuso tipo 2 con reductor de tipo usando el método de Bernstein 30 9.3. Conexión del reductor de tipo por implementado por aproximaciones de

Bernstein con el m´etodo propuesto por Mendel y Liu . . . 30 9.4. Recopilaci´on de todos los casos en donde se implementa el reductor de

tipo como un problema de determinaci´on de ra´ıces . . . 31

Ap´endices 33

A.C´odigo para EKM 33

B. C´odigo para el experimento 34

C. Pequeña biograf´ıa de Sergei Natanovich Bernstein (5 de marzo de 1880 Odesa, imperio Ruso - 26 de octubre de 1968 Moscú Unión Soviética y creador de los

(4)

´

_{Indice de cuadros}

1. S´ımbolos y signos . . . 5 2. Algoritmo de Karnik-Mendel [18] [32] . . . 5 3. Polinomios de Bernstein de grados n= 1, 2, 3, 4 para ϕ∗(z). En la

co-lumna 2 se muestran los polinomios de Bernstein a partir de la funci´on

ϕ∗(z). En la columna 3 se indican los mismos polinomios de Bernstein expandidos en constantes. En la columna 4 se definen las constantes que satisfacen las funciones de la columna 3. . . 10 4. Polinomios de Bernstein de grados n= 1, 2, 3, 4 para ω∗(z). En la

co-lumna 2 se destacan los polinomios de Bernstein a partir de la funci´on

ω∗(z). En la columna 3 se indican los mismos polinomios de Bernstein expandidos en constantes. En la columna 4 se definen de las constantes que satisfacen las funciones de la columna 3. . . 11 5. Algoritmo por aproximaciones de Bernstein para hallar Cl, Cr y CP BT . 13

6. Ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu, junto con los ejemplos de Mendel y Liu transformados al intervalo [0, 1] . . . 18 7. Resultados de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu en

el intervalo [0, 1]. Centroides izquierdo y derecho en Karnik-Mendel y polinomio de Bernstein de grados n= 2, 3, 4, fuente: propia . . . 19 8. Resultados de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu en

el intervalo [0, 1]. Evaluaci´on de los centroides sobre Nie-Tan, Karnik-Mendel y polinomio de Bernstein de grados n= 2, 3, 4, fuente: propia . 20 9. Resultados de los errores absolutos para Nie-Tan y el m´etodo por

po-linomios de Bernstein de grados n= 2, 3, 4, basado en los centroides obtenidos de los casos de Mendel y Liu, el valor real es tomado de m´ eto-do de Karnik-Mendel; fuente: propia. . . 20 10. Resultados de los errores relativos de Nie-Tan y de polinomio de

Berns-teinn=2, n=3, n=4. Los resultados son basados en los centroides obteni-dos de la tabla8. El valor real es tomado del m´etodo de Karnik-Mendel; fuente: propia . . . 21 11. Resultados de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu en el

intervalo [0, 1] para comparar la diferencia de errores entre el método de polinomio de Bernstein y el método de Nie-Tan, fuente: propia . . . 21 12. Resultados de los ejemplos numéricos propuestos por Mendel y Liu en

el intervalo [0, 1] para la razón de errores entre el método de polinomio de Bernstein y el método de Nie-Tan usando como referencia el método mejorado de Karnik-Mendel, fuente: propia . . . 22 13. Centroide máximo y Centroide m´ınimo en cada uno de métodos. . . 23 14. Error absoluto máximo y error absoluto m´ınimo en cada uno de métodos. 24 15. Error relativo máximo y error relativo m´ınimo en cada uno de los métodos. 24 16. Diferencia de error absoluta máxima y diferencia de error absoluta

m´ıni-ma en cada uno de los métodos. . . 25 17. Razón de errores máximos y razón de errores m´ınimos en cada uno de

(5)

´

_{Indice de figuras}

1. Gráfica del reductor de tipo más defusificador . . . 4 2. Diagrama de bloques para el algoritmo por aproximaciones de Bernstein 12 3. Diagrama para el experimento propuesto contra el método aproximado

de Nie-Tan . . . 16 4. Gr´aficas de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu

norma-lizados al intervalo unitario . . . 19 5. Construcción de funciones de membres´ıa tipo 2 de forma aleatoria. . . . 23 6. Análisis ordenando el error relativo de Nie-Tan. . . 27 7. Histograma de la razón de errores con cada uno de los grados de Bernstein. 28 8. Diferencia de tiempos ordenada por el caso cuando el grado de Bernstein

(6)

Indice de Signos y S´ımbolos

Simbolo Descripci´on

SDT2 Sistemas difusos tipo 2.Sistemas difusos tipo 2.Sistemas difusos tipo 2.

SDT1 Sistemas difusos tipo 1.Sistemas difusos tipo 1.Sistemas difusos tipo 1.

CDT2 Controladores difusos tipo 2.Controladores difusos tipo 2.Controladores difusos tipo 2.

MIMO Multi-input multi-output.Multi-input multi-output.Multi-input multi-output.

Cl Centroide izquierdo.Centroide izquierdo.Centroide izquierdo.

Cr Centroide derecho.Centroide derecho.Centroide derecho.

EKM M´M´M´etodo mejorado de Karnik-Mendel.etodo mejorado de Karnik-Mendel.etodo mejorado de Karnik-Mendel.

ξ

ω(ξ) Funci´Funci´Función monón monón monótona decreciente.otona decreciente.otona decreciente.

ϕ(ξ) Funci´Funci´Función monón monón monótona creciente.otona creciente.otona creciente.

z en [0, 1].en [0, 1].en [0, 1].

ω∗(z) Funci´Funci´Función monón monón monótona decrecienteotona decrecienteotona decreciente

en el intervalo [0, 1].en el intervalo [0, 1].en el intervalo [0, 1].

ϕ∗(z) Funci´Funci´Función monón monón monótona crecienteotona crecienteotona creciente

en el intervalo [0, 1].en el intervalo [0, 1].en el intervalo [0, 1].

C_{P BT}∗ Centroide por el mĆentroide por el mĆentroide por el método de polinomiosetodo de polinomiosetodo de polinomios

de Bernstein.

de Bernstein.de Bernstein.

CP BT2 Centroide por el mĆentroide por el mĆentroide por el método de polinomiosetodo de polinomiosetodo de polinomios

de Bernstein con gradode Bernstein con gradode Bernstein con gradon=2n=2n=2...

CN T Centroide por el mĆentroide por el mĆentroide por el método de Nie-Tan.etodo de Nie-Tan.etodo de Nie-Tan.

CKM E Centroide por el mĆentroide por el mĆentroide por el método mejorado de Karnik-Mendel.etodo mejorado de Karnik-Mendel.etodo mejorado de Karnik-Mendel.

NT M´M´M´etodo de Nie-Tan.etodo de Nie-Tan.etodo de Nie-Tan.

µ∗(x) Funci´Funci´Funci´on de membres´ıa superior.on de membres´ıa superior.on de membres´ıa superior.

µ∗(x) Funci´Funci´Funci´on de membres´ıa inferior.on de membres´ıa inferior.on de membres´ıa inferior.

µ∗

m Funci´Funci´Funci´on de membres´ıa media.on de membres´ıa media.on de membres´ıa media.

E∗_{N T} Error absoluto por Nie-Tan.Error absoluto por Nie-Tan.Error absoluto por Nie-Tan.

E_{P BT}∗ Error absoluto por polinomios de Bernstein.Error absoluto por polinomios de Bernstein.Error absoluto por polinomios de Bernstein.

RE_{N T}∗ Error relativo para Nie-Tan.Error relativo para Nie-Tan.Error relativo para Nie-Tan.

RE_{P BT}∗ Error relativo para polinomios de Bernstein.Error relativo para polinomios de Bernstein.Error relativo para polinomios de Bernstein.

(7)

1. Introducci´

on

Los conceptos de Sistemas Difusos Tipo 2 (SDT2) fueron introducidos por Zadeh en [1]. Estos Sistemas de lógica difusa tipo 2 permiten modelar la incertidumbre, donde esta se puede considerar como múltiples significados de las etiquetas lingü´ısticas [2]. Adicionalmente, para fenómenos no-lineales es mucho mejor usar SDT2 que Sistemas Difusos Tipo 1 (SDT1). Por ejemplo, el ruido es motivo de estudio en diferentes sistemas. En [4] se utilizan modelos de SDT2 para reducir la incertidumbre, donde los sistemas de medición de ruido se consideran como un tipo de medición de incertidumbre. Una de las principales aplicaciones de los sistemas de lógica difusa tipo 2 es el controlador difuso tipo 2 (CDT2). A diferencia de los controlados tradicionales, estos se enriquecen de la lógica difusa tipo 2 para formular variables lingü´ısticas, las cuales son interpretadas para finalmente generar una respuesta del sistema. En [3] se tiene un CDT2 para la temperatura y la intensidad de agua en una planta no lineal en un sistema MIMO. Los CDT2 están compuestos por diferentes etapas que procesan un conjunto de señales de entrada para dar una respuesta. Una de las etapas que ha tenido más interés es la reducción de tipo, en aplicaciones de tiempo real se convierten en un cuello de botella que vuelve más lenta la respuesta del controlador. En [5] se estudia la clasificación de varios reductores de tipo. El primer reductor de tipo por métodos iterativos fue desarrollado por Karnik y Mendel (algoritmo KM por Karnik y Mendel)[18], all´ı se considera de varios métodos aproximados para hallar el centroide en un Conjunto Difuso tipo 2. En [18] también se introduce el significado de Cl y Cr los cuales corresponden

a los extremos de un conjunto difuso tipo 1 que nace a partir de todos los centroides embebidos en un conjunto difuso tipo 2. Posteriormente en [24] se propuso una mejora para este algoritmo (EKM), pero estas herramientas no han resultado eficientes en aplicaciones de tiempo real. Nie y Tan propusieron una aproximación a los reductores de tipo, con experimentos mostraron márgenes de error pequeños usando como referencia el algoritmo KM. En [7] y en [12] determinan que las constantes Cl y Cr transforman

el problema iterativo al problema de encontrar las ra´ıces en las funciones ω(ξ) y ϕ(ξ), creciente y decreciente respectivamente.

Esta monograf´ıa tiene como objetivo el estudio del reductor de tipo centroide usando polinomios de Bernstein buscando mejoras en el costo computacional y de ejecución. Esto es posible debido a que la mayor´ıa de métodos son iterativos y por lo tanto los tiempos de ejecución son altos para aplicaciones en tiempo real. En [7], [20] y [17] se destaca el hecho de que el problema de encontrar Cl y Cr por métodos iterativos, se

transforma al problema de encontrar las ra´ıces en dos ecuaciones. En [7], se utilizan m´etodos de optimizaci´on para obtener las constantes Cl y Cr. En este trabajo utilizan

aproximaciones por polinomios Bernstein.

(8)

secciones tres y cuatro se proponen la justificación y los objetivos. En la sección cinco, marco teórico, se describen temas como polinomios de Bernstein, normalizaciones al intervalo unidad y los tamaños de la muestra de una población para realizar un ex-perimento computacional. En la sección 6, desarrollo del problema, se muestra como primero se normalizan las funcionesω(ξ) y ϕ(ξ) al intervalo [0, 1] para posteriormente usar aproximaciones por polinomios de Bernstein y aproximar las mismas con diferentes exponentes de Bernstein. también se propone un algoritmo a partir de esta aproxima-ción para encontrar los valores Cl, Cr, y su valor defusificado CP BT. Se aplica dicho

algoritmo sobre los conjuntos difusos propuestos por Mendel y Liu [6], y por último, se propone un experimento para evaluar el método por aproximaciones por polinomios de Bernstein sobre 1068 conjuntos escogidos seudo-aleatoriamente y donde se obtendrán los valores defusificados CP BT2, CP BT3 y CP BT4. Se obtuvieron diferentes métricas de

errores. En la sección 7 se hace un análisis de resultados a partir de los resultados ob-tenidos tanto en los casos de Mendel y Liu como en el experimento de 1068 conjuntos difusos. Por último, se concluye que el método por aproximaciones de Bernstein es un método valido para utilizar como reductor de tipo.

2. Formulaci´

on del problema

En los últimos 10 años Los Sistemas Difusos Tipo 2 han tomado mucha fuerza, gracias a su virtud de manejar la incertidumbre, y de trabajar con sistemas no lineales. También gracias a su gran variedad en componentes y opciones, por lo que abren el espectro para un diseño más personalizado. Una de las etapas mas importantes y de mas estudio es la etapa de salida en un SDT2, la cual está compuesta por un reductor de tipo y un defusificador.

El reductor de tipo tiene como objetivo convertir los conjuntos difusos tipo 2 en con-juntos difusos tipo 1. El defusificador entrega un número como salida. El Reductor de tipo es la etapa que más estudios ha tenido en los Sistemas Difusos Tipo-2 gracias a que su comportamiento genera mucho gasto computacional. En otros casos se desea tener mayor precisión. Esto implica que el Reductor de Tipo se convierte en un cuello de botella para aplicaciones en tiempo real. Existe una gran variedad de Reductores de tipo entre los cuales se encuentra el propuesto por Nie y tan (método de NT), el propuesto por Karnik-Mendel, o el método de Constantes de Karnik-Mendel (CKM).

En [7], [20] destaca el problema de hallar los valoresCl yCr equivalente al de encontrar

las ra´ıces en las funciones convexasϕ(ξ) yω(ξ). Esto conduce a un problema de optimi-zaci´on debido a que se desea encontrar la mejor forma de hallar dichas ra´ıces. En este caso por medio de la aproximaci´on por polinomios de Bernstein se busca aproximar dichas funciones y as´ı hallar las ra´ıces en el intervalo [0, 1], equivalentes a Cl y Cr.

(9)

3. Justificaci´

on

Los sistemas construidos sobre lógica difusa tipo 2 se encuentran actualmente en una etapa de crecimiento, ya que se han observado ventajas, como la interpretación de sistemas MIMO (multi-input, multi-output), interpretar sistemas no lineales ó in-terpretar la incertidumbre gracias a sus funciones de pertenencia tipo 2. Pese a estas ventajas, existen también desventajas, como por ejemplo el gasto computacional que se encuentra en su reductor de tipo. Por ejemplo, si se llega a usar un reductor de tipo centroide, puede retrasar la respuesta, dejándolo de lado como opción para los sistemas que requieran aplicaciones en tiempo real.

Este trabajo propone el estudio del reductor de tipo centroide usando polinomios de Bernstein para los Sistemas Difusos Tipo-2.

4. Objetivos

4.1. Objetivo general

El proposito es realizar un estudio detallado del reductor de tipo centroide usando la aproximaci´on por polinomios de Bernstein para obtener propiedades que llevan a mejorar el costo computacional y de ejecuci´on de este tipo de reductor de tipo.

4.2. Objetivos espec´ıficos

1. Describir el problema del reductor de tipo centroide como un problema de encon-trar las ra´ıces a partir de la funciones convexas ϕ(ξ) yω(ξ).

2. Plantear las aproximaciones de Bernstein para las funciones Convexasϕ(ξ) yω(ξ) con grados menores a 5.

3. Proponer un algoritmo con el cual se puedan determinar Cl y Cr a partir de las

aproximaciones de Bernstein obtenidas sobre las funciones Convexasϕ(ξ) yω(ξ).

4. Implementar en MATLAB® o en un software de an´alisis de datos el algoritmo propuesto.

5. Diseñar un experimento que evalúe el algoritmo implementado en costo compu-tacional y precisión comparándolo contra el algoritmo de Karnik-Mendel y Nie-Tan.

6. Comparar la precisi´on de Cl, Cr y su salida defusificada CP BT con base en el

(10)

7. Evaluar los resultados del experimento propuesto para determinar si es viable proponer un reductor de tipo centroide usando polinomios de Bernstein.

5. Marco te´

orico

El primer método de reducción de tipo, junto con la defusificación por centroide fue desarrollado por Karnik y Mendel en [8]. All´ı se le da un rango de medición a la incertidumbre. Muchos cient´ıficos lo utilizan para la toma de decisiones, por ejemplo, Wu y Mendel en [19]. El método del centroide se resume en la Figura 1.

Figura 1: El reductor de tipo genera los valores Cl y Cr. El

defusificador saca el promedio de dichas constantes.

El reductor de tipo centroide se describe a partir del centroide encontrado en siste-mas difusos tipo 1, donde dada una funci´on de pertenencia u(x) con dominio en X, el centroide del conjunto tipo 1 se calcula mediante la expresi´on usual:

C(u(x)) = Z

X

xu(x)dx

Z

X

u(x)dx

(1)

En la ecuación (1) se observa una similitud con la función de densidad de probabilidad [18]. De la misma forma que la varianza proporciona una medida de dispersión alrededor de la media, el defusificador por centroide obtiene una medida de la incertidumbre generada en un valor puntual.

5.1. El reductor de tipo propuesto por Karnik y Mendel

El Reductor de Tipo propuesto por Karnik-Mendel, como cualquier reductor de tipo, trabaja con infinitas funciones de pertenencia limitadas por una función de pertenencia superior y una inferior. Karnik y Mendel propusieron obtener el cálculo del centroide a cada una de estas funciones de pertenencia, que posteriormente obtienen un conjunto de centroides. Por último, del conjunto de tipo reducido [Cl, Cr], la constante Cl se

toma como el m´ınimo de dicho conjunto de centroides, y Cr se toma como el m´aximo

de dicho conjunto [18]. Una funci´on de pertenencia tipo 2 representada por A y sus funciones empotradas se representan en la forma A1, A2· · ·Aj ,

C(A) = [

∀Aj

(11)

Cl(A) =minCA(Aj)≡Cl, ∀Aj (3)

Cr(A) = maxCA(Aj)≡Cr, ∀Aj (4)

Cr(A) yCl(A) no pueden ser computados en una forma cerrada. El algoritmo de

Karnik-Mendel no computa el exacto valor deCl y Cr; a cambio esto es llevado a aproximados

valores. De [18] y [32] se observa que las funciones (4) y (3) son equivalentes a:

Cl(L) = L

X

i=1

xiµA(xi) + N

X

i=L+1

xiµ_A(xi)

L

X

i=1

µ_A(xi) + N

X

i=L+1 µ

A(xi)

≈Cl, (5)

Cr(R) = R

X

i=1

xiµ_A(xi) + N

X

i=R+1

xiµA(xi)

R

X

i=1 µ

A(xi) + N

X

i=R+1

µ_A(xi)

≈Cr (6)

De las ecuaciones (5) y (6), Karnik-Mendel presentan el algoritmo en la tabla 2.

Paso ParaCl ParaCr

(1) Se inicializaθi,θi= [µ_A+µA]/2

entonces se computa:

c0₌_c₍_θ

1,· · ·, θN) =

N

X

i=1

xiθi

.XN

i=1

θi

(2) Encontrark(1≤k≤N−1) tal quexk≤c0≤xk+1

(3) Cl(k) =

k

X

i=1

xiµA(xi) + N

X

i=k+1

xiµ_A(xi)

k

X

i=1

µA(xi) + N

X

i=k+1

µ

A(xi)

, Cr(k) = k

X

i=1

xiµ_A(xi) + N

X

i=k+1

xiµA(xi)

k

X

i=1

µ

A(xi) + N

X

i=k+1

µA(xi)

(4) Verificar siCl(k) =c0. Si son

iguales, parar y establecer

Cl(k) =cly asignarL=k. Si no

son iguales ir al paso 5.

Verificar siCr(k) =c0. Si son

iguales, parar y establecer

Cr(k) =cry asignarR=k. Si

no son iguales ir al paso 5.

(5) Establecerc0₌_C

l(k) e ir al paso

2.

Establecerc0₌_C

r(k) e ir al paso

2.

Cuadro 2: Algoritmo de Karnik-Mendel [18] [32]

5.2. M´

etodo de Nie-Tan

(12)

y µ, es decir, µN T(x) = (µ+µ)/2, entonces el defusificador es:

CN T =

Z b a

xµN T(x)

Z b

a

µN T(x)

(7)

5.3. Funciones mon´

otonas crecientes y decrecientes

En [7] y [12] se muestra que hallar las constantesCl y Cr es equivalente a encontrar

los ceros en las funcionesϕ(ξ) yω(ξ). Por lo tanto, el problema computacional de hallar el centroide en un Sistema Difuso tipo 2 se transforma en encontrar dos puntos de corte en dos funciones:

ϕ(ξ) = Z ξ

a

(ξ−x)µ(x)dx+ Z b

ξ

(ξ−x)µ(x)dx, a₆ξ ₆b (8)

y,

ω(ξ) = Z ξ

a

(ξ−x)µ(x)dx+ Z b

ξ

(ξ−x)µ(x)dx, a₆ξ ₆b (9)

5.4. Normalizaci´

on al intervalo unidad

Suponiendo que el dominio de µ(x) y de µ(x) es el intervalo X = [a, b], con a < b, se define la funci´on biyectiva [a, b]−→[0, 1], dada por:

y= x−a

b−a. (10)

La funci´on inversa [0, 1]−→[a, b] :y−→x est´a dada por:

x=a+y(b−a). (11)

De (11), se normalizan µ(x) y µ(x) al intervalo unitario:

µ∗₍_y_{) =}_µ₍_a₊_y₍_b₋_a₎₎ ₍₁₂₎

µ∗(y) = µ(a+y(b−a)), (13) donde µ∗(y)₆µ∗₍_y_{), para todo} _y_∈_[0_, _1].

Por lo tanto, para las funciones ϕ(ξ) yω(ξ) se utiliza (12) y (13), para obtener:

ϕ∗(z) = Z z

0

(z−x)µ∗(x) dx+ Z 1

z

(z−x)µ∗(x)dx, z ∈[0, 1] (14)

y,

ω∗(z) = Z z

0

(z−x)µ∗(x) dx+ Z 1

z

(z−x)µ∗(x)dx, z ∈[0, 1] (15)

Por lo tanto,

(13)

5.5. Definici´

on de los polinomios de Bernstein

El teorema de aproximaci´on de Bernstein [31] afirma que una funci´on f continua en [0, 1], puede ser aproximada en [0, 1] usando aproximaciones por polinomios de Bernstein. El polinomio de Bernstein de grado n de f esta definido por:

Bn(x, f) = n

X

k=0 f

k n

n k

xk(1−x)n−k, 0≤x≤1 (17)

Se observa que f solo puede tomar un n´umero finito en el intervalo [0, 1], donde:

n k

= n·(n−1)· · ·(n−k+ 1)

k·(k−1)· · ·3·2·1 =

n!

k!(n−k)!, y (18)

f es una funci´on continua definida en [0, 1].

Si n tiende a infinito, la sucesi´onBn(x, f) converge uniformemente a f(x), esto es:

l´ım

n→∞Bn(x) =f(x), para todo x (19)

Existen muchas áreas de aplicación de las aproximaciones de Bernstein, entre las cuales se encuentran, procesamiento de señales [4], solución de ecuaciones diferenciales no lineales [5], entre otros [6].

En este proyecto se realizar´a un experimento computacional para validar el estudio hecho sobre (8) y (9), demuestra que los ceros de estas funciones son los valores Cl

y Cr. Debido a que las funciones (8) y (9) son complejas de computar, se genera la

idea de aproximar dichas funciones usando polinomios de Bernstein. El experimento consiste en tomar las funciones (14) y (15), que son las representaciones de (8) y (9) en el intervalo [0, 1], y aproximarlas con polinomios de Bernstein de grado n = 1,2,3,4. Con base en los resultados obtenidos se evaluará la viabilidad de proponer un reductor de tipo centroide usando aproximaciones por polinomios de Bernstein comparándolos versus los métodos de Karnik-Mendel y de Nie-Tan.

5.6. Definici´

on del tama˜

no de la muestra en una poblaci´

on

En [28] [30] el tama˜no de la muestra adecuado es la cantidad aleatoria necesaria para garantizar que el caso de estudio aplica en toda una poblaci´on. Una formula usada para calcularlo es la siguiente:

n= Zα

2 N pq e2₍_N ₋_{1) +}_Z

α2pq

, (20)

donde,

N= el tama˜no de la poblaci´on.

Zα= una constante que depende del nivel de confianza que se asigna, Zα se obtiene

de la tabla de distribuci´on normal.

e = el error muestral deseado.

p = proporci´on de individuos que poseen la caracter´ıstica particular de estudio.

(14)

Normalmente p=q = 0.5.

Para una poblaci´on infinita se calcula a partir de un limite de la funci´on (20) cuando

N tiende a infinito:

n = l´ım

N→∞

Zα2N pq

e2₍_N ₋_{1) +}_Z α2pq

= Zα

2 pq

e2 (21)

6. Desarrollo del problema

6.1. Simplificaci´

on de

ϕ

∗

(

z

)

y

ω

∗

(

z

)

para implementaci´

on del

uso de los polinomios de Bernstein

A partir de (14) y de (15) se propone una forma equivalente de plantear dichas ecua-ciones, con la finalidad de conseguir mayor facilidad en la construcci´on de los polinomios de Bernstein y para simplificar la escritura de [12]:

A= Z 1

0

xu∗(x)dx, B = Z 1

0

u∗(x)dx, C = Z 1

0

xu∗(x)dx, D= Z 1

0

u∗(x)dx. (22)

De (22) podemos reescribir cada una de las funciones mon´otonas ϕ∗(z) y ω∗(z). Para

ϕ∗(z) se tiene que:

ϕ∗(z) = zB−A+ Z 1

z

(x−z)(u∗(x)−u∗(x))dx. (23)

De lo anterior se infiere que, dado quez ₆x, y adicionalmente como u∗(x)₆u∗(x), la integral que va desde [z, 1] es positiva y de all´ı se tiene que zB −A₆ϕ∗(z). Por otro lado se puede expresar la misma funci´on con otras constantes:

ϕ∗(z) = zD−C+ Z z

0

(z−x)(u∗(x)−u∗(x))dx. (24)

En relaci´on con el caso anterior, en este la integral del segundo t´ermino es positiva por lo que se tiene quezD−C ₆ϕ∗(z) para todo z ∈[0, 1].

Ahora para ω∗(z) se tiene que:

ω∗(z) = zD−C+ Z 1

z

(z−x)(u∗(x)−u∗(x))dx. (25)

De (25) se infiere que, dado quez ₆x, y adicionalmente comou∗(x)₆u∗(x), la integral que va desde [z, 1] es negativa y de all´ı se tiene que ω∗(z)₆zD−C. De igual forma se puede expresar la funci´on (25) con otras constantes:

ω∗(z) =zB −A+ Z z

0

(x−z)(u∗(x)−u∗(x))dx, (26)

y de (26), en este la integral del segundo t´ermino es negativa, por lo anterior se tiene

(15)

6.2. Polinomios de Bernstein para las funciones

ϕ

∗

(

z

)

y

ω

∗

(

z

)

A partir de (17) y con un grado n=1 se construye el polinomio de Bernstein para ϕ(z) de la siguiente forma:

B1(ϕ∗(z)) = 1

X

k=0 ϕ∗

k

1

k

xk(1−x)1−k, x∈[0, 1]. (27)

En (29), k solo puede tomar los valores 0 y 1. Al resolver las sumatoria nos da:

B1(ϕ∗(z)) =ϕ∗

0 1

1 0

x0(1−x)1+ϕ∗

1 1

x1, x∈[0,1]. (28)

Despejando (28) se obtiene:

B1(ϕ∗(z)) = ϕ∗(1)−ϕ∗(0)

x+ϕ∗(0), x∈[0, 1], (29)

y usando las constantes (22):

B1(ϕ∗(z)) = [B−A+C]x−C, x∈[0, 1]. (30)

Ahora para un polinomio de Bernstein de grado igual a 2 sobre ϕ∗(z) se obtiene lo siguiente:

B2(ϕ∗(z)) =

ϕ∗(0)−2ϕ∗

1 2

+ϕ∗(1)

x2+

−2ϕ∗(0) + 2ϕ∗

1 2

x +

ϕ∗(0), x∈[0, 1]

(31)

S´ı evaluamos (23) en 0 y en 1 obtenemos:

ϕ∗(0) =−C, x∈[0, 1] (32)

ϕ∗(1) =B −A, x∈[0, 1] (33) Se observa en la ecuaci´on (31) que no es posible construirla por las constantes en (22), a causa de esto, se procede a proponer nuevas constantes partiendo de la siguiente funci´on:

u∗_m(x) = (u

∗₍_x₎₋_u∗₍_x₎₎

2 , x∈[0, 1]. (34) Para este caso son:

E = Z 1

1/2

xu∗_m(x)dx, F = Z 1

1/2

um∗(x)dx, (35)

Por ´ultimo, se construye el polinomio de Bernstein paraϕ(z) de grado 2:

B2(ϕ∗(z)) = [−C+A−4E−2F]x2+ [2C+B−2A+ 4E−2F]x+ [−C] (36)

(16)

Exp onen te P olinomio P olinomio de de de Bernstein usando Constan tes Bernstein Bernstein las constan tes A,B,C,E,F,I,J,K,L,M,N,P ,Q B1 ( ϕ ( z )) = ϕ ∗(1) − ϕ ∗(0) x + ϕ ∗(0) [ B − A + C ] x − C A = Z 1 0 x u ∗( x ) dx, B = Z 1 0 u ∗( x ) dx, C = Z 1 0 xu ∗( x ) dx. B2 ( ϕ ( z )) = ϕ ∗(0) − 2 ϕ ∗ 1 2 + ϕ ∗(1) x 2+ − 2 ϕ ∗(0) + 2 ϕ ∗ 1 2 x + ϕ ∗(0) [ A − C − 4 E + 2 F ] x 2+ [ − 2 A + B + 2 C + 4 E − 2 F ] x + [ − C ] E = Z 1 1 / 2 xu

∗(m

x ) dx, F = Z 1 1 / 2 u

∗(m

x ) dx B3 ( ϕ ( z )) = − ϕ (0) + 3 ϕ (1 / 3) − 3 ϕ (2 / 3) + ϕ (1) x 3 [ − A + C − 2 I + 6 J + 4 K − 6 L ] x 3 I = Z 1 1 / 3 u

∗(m

x ) dx, + + J = Z 1 1 / 3 xu

∗(m

x ) dx, 3 ϕ (0) − 6 ϕ (1 / 3) + 3 ϕ (2 / 3) x 2 [3 A − 3 C + 4 I − 12 J − 4 K + 6 L ] x 2 K = Z 1 2 / 3 u

∗(m

x ) dx, + + L = Z 1 2 / 3 xu

∗(m

x ) dx. − 3 ϕ (0) + 3 ϕ (1 / 3) x + [ ϕ (0)] [ − 3 A + B + 3 C − 2 I + 6 J ] x + [ − C ] B4 ( ϕ ( z )) = ϕ (0) − 4 ϕ (1 / 4) + 6 ϕ (1 / 2) − 4 ϕ (3 / 4) + ϕ (1) x 4 A − C + 12 E − 6 F + 2 M − 8 N + 6 Q − 8 P x 4 + + − 4 ϕ (0) + 12 ϕ (1 / 4) − 12 ϕ (1 / 2) + 4 ϕ (3 / 4) x 3 − 4 A + 4 C − 24 E + 12 F − 6 M + 24 N − 6 Q + 8 P x 3 M = Z 1 1 / 4 u

∗(m

x ) dx + + N = Z 1 1 / 4 xu

∗(m

x ) dx 6 ϕ (0) − 12 ϕ (1 / 4) + 6 ϕ (1 / 2) x 2 6 A − 6 C + 12 E − 6 F + 6 M − 24 N x 2 P = Z 1 3 / 4 xu

∗(m

x ) dx + + Q = Z 1 3 / 4 u

∗(m

(17)

Exp onen te P olinomio P olinomio de Nuev as de de Bernstein en Bernstein Bernstein Constan tes Constan tes B1 ( ω ( z )) = ω ∗(1) − ω ∗(0) x + ω ∗(0) [ A + D − C ] x − A A = Z 1 0 x u ∗( x ) dx, C = Z 1 0 xu ∗( x ) dx, D = Z 1 0 u ∗( x ) dx B2 ( ω ( z )) = ω ∗(0) − 2 ω ∗ 1 2 + ω ∗(1) x 2+ − 2 ω ∗(0) + 2 ω ∗ 1 2 x + ω ∗(0) [ − A + C + 4 E − 2 F ] x 2+ [2 A − 2 C + D − 4 E + 2 F ] x + [ − A ] E = Z 1 1 / 2 xu ∗ m ( x ) dx, F = Z 1 1 / 2 u

∗(m

x ) dx B3 ( ω ( z )) = − ω (0) + 3 ω (1 / 3) − 3 ω (2 / 3) + ω (1) x 3 [ A − C + 2 I − 6 J − 4 K + 6 L ] x 3 I = Z 1 1 / 3 u

∗(m

x ) dx + + J = Z 1 1 / 3 xu ∗ m ( x ) dx 3 ω (0) − 6 ω (1 / 3) + 3 ω (2 / 3) x 2 [ − 3 A + 3 C − 4 I + 12 J + 4 K − 6 L ] x 2 K = Z 1 2 / 3 u

∗(m

x ) dx + + L = Z 1 2 / 3 xu

∗(m

x ) dx − 3 ω (0) + 3 ω (1 / 3) x + [ ω (0)] [3 A + D − 3 C + 2 I − 6 J ] x + [ − A ] B4 ( ω ( z )) = ω (0) − 4 ω (1 / 4) + 6 ω (1 / 2) − 4 ω (3 / 4) + ω (1) x 4 − A + C − 12 E + 6 F − 2 M + 8 N − 6 Q + 8 P x 4 + + − 4 ω (0) + 12 ω (1 / 4) − 12 ω (1 / 2) + 4 ω (3 / 4) x 3 4 A − 4 C + 24 E − 12 F + 6 M − 24 N + 6 Q − 8 P x 3 M = Z 1 1 / 4 u ∗ m ( x ) dx + + N = Z 1 1 / 4 xu

∗ (m

x ) dx 6 ω (0) − 12 ω (1 / 4) + 6 ω (1 / 2) x 2 − 6 A + 6 C − 12 E + 6 F − 6 M + 24 N x 2 P = Z 1 3 / 4 xu

∗(m

x ) dx + + Q = Z 1 3 / 4 u

∗(m

(18)

6.3. Algoritmo propuesto a partir de los polinomios de

Berns-tein

Un algoritmo se representa como el conjunto de pasos usados para transformar una entrada en una salida deseada. Afirmamos que es una herramienta útil que asiste el problema computacional. Un algoritmo es correcto, s´ı se detiene con la salida correcta y se dice incorrecto, s´ı no se detiene con la solución correcta o incluso s´ı en algunos casos genera una respuesta incorrecta [27]. A continuación, planteamos un algoritmo el cual va a recibir como entrada un conjunto tipo 2 definido sobre el dominio [0, 1] y la salida va a ser la constante defusificada CP BT, de la figura [12]. En el cuadro 5 se

denota el algoritmo propuesto.

6.4. Codificaci´

on del algoritmo presentado en el cuadro (5) en

MATLAB

®

En la siguiente imagen se indica las caracter´ısticas de entrada y salida del algoritmo por aproximaciones de Bernstein:

Figura 2: Diagrama de bloques en donde se indica que se requiere para la entrada un vector del universo X, un vector de la funci´on de pertenencia superior (Us), un vector de la funci´on

de pertenencia inferior (Ui) y un grado del polinomio de Bernstein (n). Para fines de an´alisis de resultados en la salida se

va a obtener las constantes C_l∗, C_r∗ y C_{P BT}∗ .

Con base en la figura 2, se plantea un código en MATLAB® el cual esta dividido en 3 etapas; declaración de variables, construcción de Bernrstein y ra´ıces como C_l∗, C_r∗

y C_{P BT}∗ , e algoritmo se puede ver en la tabla 5.

6.4.1. Declaraci´on de variables

(19)

Paso ParaCl ParaCr

(1) Se inicializa con una funci´on de pertenencia superior µ∗(x) e inferiorµ∗(x) definida en el intervalo [0, 1], la funci´on mediaµm=µ∗(x) +µ∗(x)/2

i= 1,· · ·, N, se declara un grado para el polinomio de Bernsteinn

y se declaran las constantes A, B, C, D: µ∗₍_x₎_| _x_∈_[0_,_1]_, _µ∗₍_x₎_| _x_∈_[0_, _1]

A=

N

X

i=0

xiµ∗(xi), B= N

X

i=0

µ∗(xi) , C = N

X

i=0

xiµ∗(xi), D= N

X

i=0

µ∗(xi)

(2) se construyeω(z) yϕ(z), para cadaz =k/ntal que k= 0,· · ·, n ϕ∗₍_z_{) =}_zB₋_A₊

1

X

z

(2zµm(xi)−2xiµm(xi))dx

ω∗₍_z_{) =}_zD₋_C₊

1

X

z

(2zµm(xi)−2xiµm(xi))dx

(3) se utiliza el polinomio de Bernstein (17) para (23) y (25)

Bn(ϕ∗(z)) = n

X

k=0

ϕ∗

k

n

k

xk(1−x)n−k, Bn(ω∗(z)) = n

X

k=0

ω∗

k

n

k

xk(1−x)n−k,

dondex∈[0, 1]

(4) Encontrar la ra´ız en el intervalo [0, 1] deBn(ϕ∗(z) yBn(ω∗(z)) y hallarCP BT∗

Cl∗=root(Bn(ϕ∗(z)))∈[0, 1] Cr∗=root(Bn(ω∗(z)))∈[0, 1]

C∗ P BT =

C∗ l +Cr∗

2

(5) retornar la normalizaci´on hecha para el intervalo de trabajo:

CP BT =a+CP BT∗ (b−a)

Cuadro 5: Algoritmo por aproximaciones de Bernstein para hallar Cl, Cr y CP BT

(20)

Algorithm 1 Definici´on de variables para los polinomios de Bernstein

1: function [ϕ, ω, n] BernsteinN(X,Ui,Us,n) 2: base=X[2]−X[1];se halla el Delta del eje X

3: areasS =base∗U s;se calculan las areas de cada uno de los rectangulos en Us

4: A=sum(x∗areasS);se calcula la constante A

5: B =sum(areasS);se calcula la constante B

6: areasI =base∗U i;se calculan las areas de cada uno de los rectangulos en Ui

7: C =sum(x∗areasI);se calcula la constante C

8: D=sum(areasI);se calcula la constante D

9: ω(1) =−A;se declara el extremo inferior de la funci´on ω(0)

10: ω(n+ 1) =D−C;se declara el extremo superior de la funci´on ω(n)

11: ϕ(1) =−C;se declara el extremo inferior de la funci´on ϕ(0)

12: ϕ(n+ 1) =B−A;se declara el extremo superior de la funci´on ϕ(n)

13: for k=1:n-1:

14: ω(k + 1) = (k/n) ∗ B − A − 2 ∗ (k/n)∗ sumariemman(X, U m, k/n) + 2 ∗

sumariemman(X, X.∗U m, k/n)

15: ϕ(k + 1) = (k/n) ∗ D − C + 2 ∗ (k/n)∗ sumariemman(X, U m, k/n)− 2 ∗

sumariemman(X, X.∗U m, k/n)

16: end

17: return ω()

18: return ϕ()

6.4.2. Construcci´on de Bernstein

En esta etapa se construye las aproximaciones por polinomios de Bernstein para

ϕ∗(k/n) y ω∗(k/n) a partir de los vectores construidos en la sección anterior. En este caso, se crea un vector de ceros igual al tamaño del grado de Bernstein seguido de una posición, posteriormente se hacen 2 iteraciones la primera con la variable m con la cual se lleva la posición general de los vectores Bw y Bf iy otro bucle que va desde

k hasta m, el cual en cada ciclo agrega las constantes necesarias de los vectores ω ´oϕ

(21)

Algorithm 2 Reductor de tipo por polinomios de Bernstein

1: function [Bf i, Bw]BernsteinFunction(n,ω,ϕ)

2: Bw(1 :n+ 1) = 0;se construye un vector para almacenar

3: los polinimios de Bernstein

4: Bf i(1 : n+ 1) = 0;igual para ϕ

5: for m=0:n:

6: P =f actorial(n)/(f actorial(m)∗f actorial(m−n));

7: for k=0:m:

8: R =f actorial(m)/(f actorial(k)∗f actorial(m−k));

9: Q(m+ 1) =P ∗R∗W(k+ 1)∗(−1). ˆ(m−k);

10: Bw((n+ 1)−m) = Bw((n+ 1)−m) +Q(m+ 1);

11: U(m+ 1) =P ∗R∗F i(k+ 1)∗(−1). ˆ(m−k);

12: Bf i((n+ 1)−m) =Bf i((n+ 1)−m) +U(m+ 1);

13: end

14: end

6.4.3. Ra´ıces como Cl, Cr y Cm

Por ´ultimo, en esta parte se seleccionan las ra´ıces en el intervalo [0, 1], tanto de

Bϕ como de Bω, para as´ı poder entrar en la etapa de an´alisis del comportamiento del

reductor de tipo:

Algorithm 3 roots

1: function [Cpbtn, Cr Cl]RootsOfBernsteinFunction(n,Bfi, Bw)

2: Zrootsf i=roots(Bf i)

3: Zrootsw=roots(Bw)

4: bf iroot=real(zrootsf i)∈[0,1]

5: bwroot=real(zrootsw)∈[0,1]

6: Cl=max(bf iroot, bwroot)

7: Cr =min(bf iroot, bwroot)

8: Cpbtn =

Cl+Cr

2

6.5. Experimento del m´

etodo por polinomios de Bernstein

versus el m´

etodo de Karnik-Mendel y el de Nie-Tan

(22)

Figura 3: Diagrama en donde se muestra el experimento a realizar, esta compuesto por 3 reductores de tipo ( por polinomios de Bernstein, Nietan y Karnik-Mendel), cada reductor de tipo va a recibir como entradas a u(x), u(x), x y n. Cada reductor de

tipo va obtener como salida variables tales que puedan ser comparables con los otros reductores de tipo, para el caso de polinomio de Bernstein son:CLP BT, CRP BT y

CP BT; para el caso de Nie-Tan es CN T; por ´ultimo, para el caso de Karnik-Mendel:

CLKM E y CRKM E. El bloque final re´une las salidas de cada reductor y eval´ua sus

pares de cada reductor comparando sus diferencias en los resultados.

6.6. Aplicaci´

on y comparaci´

on del m´

etodo por polinomios de

Bernstein sobre los ejemplos num´

ericos de Mendel y Liu

(23)

Funci´on

(1) Mendel y Liu

µ

A1(x) = exp

−1

2 x−5

0.25

2

, x∈X = [0, 10]

µ_A₁(x) = exp

−1

2 x−5

1.75

2

, x∈X = [0, 10]

Normalizado

µ∗

A1(x) = exp

−1

2 40x−20

2

, x∈X = [0, 1]

µ∗_A₁(x) = exp

−1

2

4(10x−5)

7

2

, x∈X = [0, 1]

(2) Mendel y Liu

µ

A2

(x) =

0.6(x+ 5)/19 x <2.6

0.4(14−x)/19 x≥2.6 , x∈X = [−5, 14]

µ_A₂(x) =



  

  

exp

−1

2 x−2

5

2

, x <7.185

exp

−1

2 x−9

1.75

2

, x≥7.185

, x∈X = [−5, 14]

Normalizado

µ∗

A2(x) =

0.6x x <0.4

0.4(1−x) x≥0.4 , x∈X = [0, 1]

µ∗_A₂(x) =



  

  

exp

−1

2

19x−7

5

2

, x <0.64131579

exp

−1

2

19x−14

1.75

2

, x≥0.64131579

(24)

(3) Mendel y Liu

µ

A3(x) = m´ax

0.5 exp

−(x−3)

2 2

, 0.4 exp

−(x−6)

2

2 , x∈X= [0,10]

µA3(x) = m´ax

exp

−(x−3)

2 8

, 0.8 exp

−(x−6)

2

8 , x∈X= [0,10]

Normalizado

µ∗

A3(x) = m´ax

0.5 exp

−(10x−3)

2 2

, 0.4 exp

−(10x−6)

2

2 , x∈X= [0,1]

µ∗A3(x) = m´ax

exp

−(10x−3)

2 8

, 0.8 exp

−(10x−6)

2

8 , x∈X= [0,1]

(4) Mendel y Liu

µ_A

4(x) = m´ax

  

(x−1)/6, 1≤x≤4,

(7−x)/6, 4≤x≤7,

0, otros casos

,

(x−3)/6, 3≤x≤5,

(8−x)/9, 5≤x≤8,

0, otros casos

  

x∈X= [1,8]

µA4(x) = m´ax

  

(x−1)/2, 1≤x≤3,

(7−x)/4, 3≤x≤7,

0, otros casos

,

(x−2)/5, 2≤x≤6,

(16−2x)/5, 6≤x≤8,

0, otros casos

   x∈X= [1,8]

Normalizado

µ∗ A4(x) =

m´ax   

(7x)/6, 0≤x≤0.42857,

(6−7x)/6, 0.42857≤x≤0.85714,

0, otros casos

,

(7x−2)/6, 0.2857≤x≤0.571428,

(7−7x)/9, 0.571428≤x≤1,

0, otros casos

  

x∈X= [0,1]

µ∗A4(x) =

m´ax   

7x/2, 0≤x≤0.2857,

(6−7x)/4, 0.2857≤x≤0.85714,

0, otros casos

,

(7x−1)/5, 0.142857≤x≤0.7142857,

(14−14x)/5, 0.7142857≤x≤1,

0, otros casos

   x∈X= [0,1]

(25)

Figura 4: Gr´aficas de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu normalizados al intervalo [0, 1]

NNN CCCLKM ELKM E∗∗LKM E∗ CCCLP BTLP BT∗LP BT∗∗ CCCLP BTLP BTLP BT∗∗∗ CCCLP BTLP BTLP BT∗∗∗ CCCRKM ERKM E∗∗RKM E∗ CCCRP BTRP BTRP BT∗∗∗ CCCRP BTRP BTRP BT∗∗∗ CCCRP BTRP BT∗∗RP BT∗

n=2 n=2

n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4 n=2n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1 A∗

1 100 0.3594 0.2107 0.2513 0.2701 0.6402 0.7893 0.7487 0.7299 A∗1

A∗

1

A∗1 1000 0.3595 0.2108 0.2514 0.2703 0.6404 0.7892 0.7486 0.7297 A∗

1

AA∗1∗1 10000 0.3596 0.2108 0.2515 0.2703 0.6404 0.7892 0.7485 0.7297

A∗

2 A∗

2 100 0.2848 0.1842 0.2129 0.2284 0.6394 0.7542 0.7192 0.7000 A∗

2

AA∗2∗2 1000 0.2864 0.1851 0.2140 0.2296 0.6395 0.7542 0.7191 0.6999 A∗2

A∗

2

A∗2 10000 0.2866 0.1852 0.2142 0.2298 0.6395 0.7542 0.7191 0.6999

A∗

3 A∗

3 100 0.3142 0.2464 0.2669 0.2779 0.5668 0.6418 0.6179 0.6056 A∗3

A∗

3

A∗3 1000 0.3154 0.2473 0.2679 0.2790 0.5674 0.6414 0.6174 0.6051 A∗

3

AA∗3∗3 10000 0.3156 0.2473 0.2680 0.2791 0.5675 0.6413 0.6174 0.6050

A∗4 A∗

4

A∗4 100 0.3801 0.3195 0.3408 0.3498 0.5702 0.6294 0.6075 0.5985 A∗

4

AA∗4∗4 1000 0.3801 0.3195 0.3408 0.3498 0.5702 0.6295 0.6075 0.5986 A∗4

A∗

4

A∗4 10000 0.3801 0.3195 0.3408 0.3498 0.5702 0.6295 0.6075 0.5986

Cuadro 7: Resultados de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu en el inter-valo [0, 1]. Centroides izquierdo y derecho en Karnik-Mendel y polinomio de Bernstein de grados n= 2, 3, 4, fuente: propia

(26)

N

NN CCCKM EKM EKM E∗∗∗ CCCN T∗N TN T∗∗ CCCP BT∗P BTP BT∗∗ CCCP BTP BTP BT∗∗∗ CCCP BTP BT∗∗P BT∗

n=2 n=2

n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1 A∗

1 100 0,4998 0,4998 0,5 0,5 0,5 A∗

1 A∗

1 1000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A∗₁

A∗

1

A∗₁ 10000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

A∗

2

AA∗2∗2 100 0,4621 0,4575 0,4692 0,4660 0,4642 A∗

2

AA∗2∗2 1000 0,4630 0,4585 0,4696 0,4666 0,4648 A∗

2

AA∗2∗2 10000 0,4631 0,4586 0,4697 0,4666 0,4648

A∗

3 AA∗₃∗

3 100 0,4405 0,4383 0,4441 0,4424 0,4417 A∗

3 AA∗₃∗

3 1000 0,4414 0,4394 0,4443 0,4427 0,4420 A∗

3

AA∗3∗3 10000 0,4415 0,4395 0,4443 0,4427 0,4421

A∗4 A∗

4

A∗4 100 0,4752 0,4654 0,4745 0,4742 0,4742 A∗4

A∗

4

A∗4 1000 0,4752 0,4654 0,4745 0,4742 0,4742 A∗

4 A∗

4 10000 0,4752 0,4654 0,4745 0,4742 0,4742

Cuadro 8: Resultados de los ejemplos num´ericos propuestos por Mendel y Liu en el intervalo [0, 1]. Evaluaci´on de los centroides sobre Nie-Tan, Karnik-Mendel y polinomio de Bernstein de gradosn= 2, 3, 4, fuente: propia

El error absoluto para el método de Nie-Tan se calcula E_{N T}∗ =|C_{N T}∗ −C_{KM E}∗ |, para los métodos hechos por aproximaciones de BernsteinE_{N T}∗ =|C_{P BT}∗ −C_{KM E}∗ |, a continuación los resultados se muestran:

N NN E∗

N T

E∗

N T

E∗

N T EEP BT∗

∗

P BT

E∗

P BT EE∗P BT

∗

P BT

E∗

P BT EEP BT∗

∗ P BT E∗ P BT n=2 n=2

n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1

A∗

1

A∗

1 100 3,19e-05 0,0002 0,0002 0,0002

A∗

1

A∗

1

A∗

1 1000 0 0 0 0

A∗

1

A∗

1

A∗

1 10000 0 0 0 0

A∗

2

A∗

2

A∗

2 100 0,0046 0,0071 0,0039 0,0021

A∗

2

A∗

2

A∗

2 1000 0,0045 0,0067 0,0036 0,0018

A∗

2

A∗

2

A∗

2 10000 0,0044 0,0066 0,0035 0,0018

A∗

3

A∗

3

A∗

3 100 0,0022 0,0037 0,0019 0,0012

A∗

3

A∗

3

A∗

3 1000 0,0020 0,0029 0,0013 0,0006

A∗

3

A∗

3

A∗

3 10000 0,0020 0,0028 0,0012 0,0005

A∗

4

A∗

4

A∗

4 100 0,0098 0,0007 0,0010 0,0010

A∗

4

A∗

4

A∗

4 1000 0,0098 0,0007 0,0010 0,0010

A∗

4

A∗

4

A∗

4 10000 0,0098 0,0007 0,0010 0,0010

(27)

Los errores relativos para Nie-Tan RE_{N T}∗ = (E_{N T}∗ /|C_{KM E}∗ |)×100 % y para cada uno de los casos de Bernstein RE_{P BT}∗ = (E_{P BT}∗ /|C_{KM E}∗ |)×100 %, se pueden observar en el siguiente cuadro:

N N

N REREN T∗

∗

N T

RE∗N T RE

∗

P BT

RE∗

P BT

REP BT∗ RE

∗

P BT

RE∗

P BT

REP BT∗ RE

∗

P BT

RE∗

P BT

REP BT∗

n=2n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1

AA∗1∗1 100 0,0063 % 0,0402 % 0,0402 % 0,0402 %

A∗

1

A∗

1

A∗

1 1000 0 % 0 % 0 % 0 %

A∗1

A∗

1

A∗1 10000 0 % 0 % 0 % 0 %

A∗

2

A∗

2

A∗

2 100 0,9867 % 1,5362 % 0,8485 % 0,4532 %

A∗

2

AA∗2∗2 1000 0,9616 % 1,4371 % 0,7731 % 0,3911 %

A∗

2

A∗

2

A∗

2 10000 0,9591 % 1,4273 % 0,7657 % 0,3850 %

A∗3

A∗

3

A∗3 100 0,4888 % 0,8103 % 0,4348 % 0,2819 %

A∗

3

A∗

3

A∗

3 1000 0,4559 % 0,6539 % 0,2868 % 0,1383 %

A∗

3

A∗

3

A∗

3 10000 0,4527 % 0,6383 % 0,2720 % 0,1239 %

A∗

4

A∗

4

A∗

4 100 2,0573 % 0,1447 % 0,2122 % 0,2079 %

A∗

4

A∗

4

A∗

4 1000 2,0532 % 0,1442 % 0,2118 % 0,2075 %

A∗

4

AA∗4∗4 10000 2,0529 % 0,1442 % 0,2118 % 0,2075 %

Cuadro 10: Resultados de los errores relativos de Nie-Tan y de polinomio de Bernstein

n=2, n=3, n=4. Los resultados son basados en los centroides obtenidos de la tabla8. El valor real es tomado del m´etodo de Karnik-Mendel; fuente: propia

La diferencia de errores absolutos E_{N T}∗ −E_{P BT}∗ para los grados de Bernstein n= 2, 3, 4, los resultados son mostrados en la tabla 12.

N N

N EEEP BTP BTP BT−−−EEEN TN TN T EEEP BTP BTP BT−−−EEEN TN TN T EEEP BTP BTP BT−−−EEEN TN TN T

n=2n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1

A∗1

A∗

1 100 1,69e−04 1,69e−04 1,69e−04

A∗

1

A∗1

A∗

1 1000 0 0 0

A∗

1

A∗

1

A∗

1 10000 0 0 0

A∗

2

A∗2

A∗

2 100 0,002539 −0,000639 −0,002465

A∗

2

A∗

2

A∗

2 1000 0,002202 −0,000873 −0,002641

A∗2

A∗

2

A∗2 10000 0,002168 −0,000895 −0,002658

A∗

3

A∗

3

A∗

3 100 0,001416 −0,000238 −0,000911

A∗3

A∗

3

A∗3 1000 0,000874 −0,000747 −0,001402

A∗

3

A∗

3

A∗

3 10000 0,000820 −0,000798 −0,001452

A∗4

A∗

4

A∗4 100 −0,009088 −0,008767 −0,008787

A∗

4

A∗

4

A∗

4 1000 −0,009071 −0,008750 −0,008770

A∗

4

A∗4

A∗

4 10000 −0,009069 −0,008748 −0,008769

(28)

Por ´ultimo, la raz´on de errores absoluto E_{N T}∗ /E_{P BT}∗ = RE_{N T}∗ /RE_{P BT}∗ en los grados

n=2, n=3, n=4 se pueden observar en el siguiente cuadro:

N N

N EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT

n=2n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

A∗

1

A∗1

A∗

1 100 1,59e−01 1,59e−01 1,59e−01

A∗

1

A∗1

A∗

1 1000 − − −

A∗

1

A∗

1

A∗

1 10000 − − −

A∗

2

A∗2

A∗

2 100 0,642304 1,162894 2,176949

A∗

2

A∗

2

A∗

2 1000 0,669109 1,243774 2,458624

A∗2

A∗

2

A∗2 10000 0,671930 1,252496 2,491317

A∗

3

A∗

3

A∗

3 100 0,603264 1,124260 1,734067

A∗3

A∗

3

A∗3 1000 0,697264 1,589994 3,297861

A∗

3

A∗

3

A∗

3 10000 0,709194 1,664301 3,653092

A∗4

A∗

4

A∗4 100 14,219960 9,693354 9,894491

A∗

4

A∗

4

A∗

4 1000 14,242221 9,694827 9,895129

A∗

4

A∗4

A∗

4 10000 14,240511 9,693505 9,893779

Cuadro 12: Resultados de los ejemplos numéricos propuestos por Mendel y Liu en el intervalo [0, 1] para la razón de errores entre el método de polinomio de Bernstein y el método de Nie-Tan usando como referencia el método mejorado de Karnik-Mendel, fuente: propia

6.7. Aplicaci´

on y comparaci´

on del m´

etodo por polinomios de

Berstein sobre una poblaci´

on escogida seudo

aleatoria-mente

Debido a que el conjunto de funciones de membres´ıa tipo 2 en el intervalo de trabajo [0, 1] es infinita, y dado que cada función difusa va a representar un individuo, se escoge un tamaño de muestra sobre la que realizamos un experimento similar al del ejemplo de Liu y Mendel. El tamaño de la muestra fue escogida a partir de la ecuación (21) con un nivel de confianza del 95 %, un error muestral deseado del 3 % y con la proporción de individuos que poseen una caracter´ıstica de estudio igual a 0.5 dando:

n = 1.96

2₍₀_.₅₎₍₀_.₅₎

(0.03)2 = 1068 (37)

Concluimos que se requieren alrededor de 1068 individuos escogidos aleatoriamente para validar los resultados.

(29)

Algorithm 4 Funciones Aleatoreas

1: function [U inf, U sup]RandomMembershipGeneratorFunction(X) 2: for i=0:length(X):

3: a=rand();

4: b =rand();

5: U inf(i) =min(a, b);

6: U sup(i) =max(a, b);

7: end;

Figura 5:

Gr´afica de una funci´on de membres´ıa µ(x) en [0, 1]. Se construye a partir del algoritmo mostrado en 4.

A causa de que son muchas funciones de membres´ıa en el archivo adjunto llamado CentroidesYErrores de excel sobre la pesta˜na Centroides se puede observar el resultado de todos los centroides generados en cada uno de los casos. En la tabla 13 se muestra los resultados para los centroides m´aximos y los centroides m´ınimos en cada uno de los casos.

CKM E

C_{KM E}

CKM E CCCN TN TN T CCP BT∗ ∗ P BT

C_{P BT}∗ CC_{P BT}∗∗ P BT

C_{P BT}∗

n=2n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

MinMinMin AAA₁₀₆₄10641064 0.487484 0.488225 0,487906 0,487813 0.487783

Max

MaxMax AAA698698698 0.511580 0.511786 0,511989 0,512133 0.512216

(30)

Los errores absolutos se calcularon usando como referencia el m´etodo de KME, para Nie-Tan tenemos EN T =|CN T −CKM E|, para el m´etodo por aproximaciones de Bernstein

tenemosEP BT =|CP BT2−CKM E|, se calculo en cada uno de los respectivos gradosn=2, n=3, n=4. En la tabla 14, se observa los errores absolutos m´aximos y m´ınimos. Todos los errores absolutos se encuentran en el archivo adjunto llamado CentroidesYErrores de excel, en la pesta˜na errores absolutos.

EN T

EEN TN T EEEP BTP BTP BT EEEP BTP BTP BT EEEP BTP BTP BT

n=2

n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

Min Min

Min AAA102910291029 0,000001328 AAA821821821 0,000000181 AAA545545545 0,000000739 AAA821821821 0,000003284

MaxMaxMax AAA₄₆₆466466 0,00222610 AAA955955955 0,001589621 AAA955955955 0,001477980 AAA955955955 0,001438485

Cuadro 14: Error absoluto m´aximo y error absoluto m´ınimo en cada uno de m´etodos.

Igualmente, los errores relativos se calcularon usando como referencia el m´etodo de KME, para Nie-Tan tenemos RN T = (|CN T −CKM E|/CKM E)∗100 %, para el m´etodo

por aproximaciones de Bernstein sobre los grados n= 1, 2, 3, 4 tenemos RP BT =

(|C_{P BT}∗ −CKM E|/CKM E)∗100 %. En la tabla 15, muestran los errores relativos m´aximos

y m´ınimos, todos los resultados se encuentran en el archivo adjunto CentroidesYErrores de excel en la ventana de errores relativos.

RN T

RN T RRRP BTP BTP BT RRRP BTP BTP BT RRRP BTP BTP BT

n=2

n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

Min Min

Min AAA₁₀₂₉10291029 0,0002655 AAA821821821 0,00003648 AAA545545545 0,00014779 AAA821821821 0,00066331

MaxMaxMax AAA466466466 0,44025389 AAA955955955 0,31925011 AAA955955955 0,29682875 AAA955955955 0,28889688

Cuadro 15: Error relativo m´aximo y error relativo m´ınimo en cada uno de los m´etodos.

La diferencia de errores absoluta, es la diferencia de errores de cada uno de los resultados obtenidos en los errores absolutos sobre el método por polinomios de Bernstein con respecto al error absoluto en el método por Nie-Tan. En la tabla 16 se muestran los máximos y las m´ınimas diferencia de errores absolutas, la diferencia de errores absolutas total esta en el archivo adjunto CentroidesYErrores de excel en la pestaña diferencia de errores.

(31)

EP BT −EN T

EEP BTP BT −−EEN TN T EEEP BTP BTP BT−−−EEEN TN TN T EEEP BTP BTP BT −−−EEEN TN TN T

n=2

n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

Min Min

Min AAA466466466 -0,002177564545 AAA466466466 -0,002079102862 AAA466466466 -0,00206866116

Max

MaxMax AAA955955955 0,001351357734 AAA955955955 0,001239716564 AAA853853853 0,001213224018

Cuadro 16: Diferencia de error absoluta m´axima y diferencia de error absoluta m´ınima en cada uno de los m´etodos.

EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT

n=2

n=2n=2 n=3n=3n=3 n=4n=4n=4

Min Min

Min AAA102910291029 0,001115946292 AAA102910291029 0,001260251068 AAA102910291029 0,001274820027

Max

MaxMax AAA821821821 1150,934267 AAA444444 426,6179723 AAA377377377 158,5585795

Cuadro 17: Razón de errores máximos y razón de errores m´ınimos en cada uno de los métodos.

7. An´

alisis de resultados

Los centroides calculados en esta monograf´ıa han sido computados usando el al-goritmo EKM en donde prima sus versión discreta. La cantidad de muestras tomadas sobre cada conjunto difuso es de n = 1000. Los cálculos del desarrollo del problema fueron hechos con MATLAB® 2014a. En el Apéndice A aparece el código usado para EKM y en Apéndice B aparece el código usado para el experimento. A partir de los tablas en el archivo adjunto y de las tablas en la sección anterior se hacen las siguientes observaciones:

7.1. An´

alisis basado en el incremento de la resoluci´

on de una

funci´

on versus el incremento del grado de Bernstein

A partir de los resultados de los centroides en los casos de Mendel y Liu en la tabla (8) se evidencia que sobre cada conjunto hay resultados cada vez más exactos si se aumenta la cantidad de muestras, pero para los casos por el método de aproximaciones de Bernstein se puede apreciar que hay cambios más bruscos cada vez que se aumenta el exponente de Bernstein. Esto se refleja en la tabla del cuadro (10) sobre los conjuntos

(32)

7.2. An´

alisis de los casos de Liu y Mendel de la funci´

on de

membresia

A

∗₄

En los 4 ejemplos numéricos de Liu y Mendel en la figura (4), se destaca que los tres primeros ejemplos tienen componentes Gaussianas y el último ejemplo es una función a trozos compuesta por rectas. En la tabla del Cuadro 12, se ve que sobre la función de membres´ıa A∗₄ entre Nie-Tan y el polinomio de Bernstein con grado n = 2 hay una razón de errores superior a 14, de all´ı que el error absoluto obtenido por el método de Nie-Tan es hasta 14 veces más grande que el error absoluto por el método de Bernstein. En este caso donde la función no tiene componentes Gaussianas.

Ahora si se observa la tabla del cuadro 10, se ve que el error relativo por el método aproximado de Nie-Tan se encuentra superior al 2 % mientras que el método de Berns-tein con exponente de BernsBerns-tein igual a 3 tiene hasta un error relativo un poco superior al 0,21 %, esto lleva a una razón de errores tan alta.

7.3. An´

alisis de los casos de Liu y Mendel de las funciones de

membres´ıa con componentes Gaussianas

A partir de la tabla del cuadro 12 se muestra que sobre las funciones de membres´ıa

A∗₂ y A∗₃, la raz´on de errores crece de manera significativa en la medida que crece el grado de Bernstein, por lo tanto se afirma que para las funciones propuestas por Liu y Mendel con componentes Gaussianas, los valores de C_{P BT}∗ se aproximan cada vez al valorCKM E en la medida que se aumente el grado de Bernstein.

7.4. Error absoluto promedio y raz´

on de errores promedio

pa-ra 1068 conjuntos difusos

Si se suman los errores relativos sobre los 1068 conjuntos difusos y se saca un pro-medio en cada uno de los casos, se obtiene:

RN T

RRN TN T RRRP BTP BTP BT222 RRRP BTP BTP BT333 RRRP BTP BTP BT444

Total Total

Total 114114114,,,2864 %2864 %2864 % 112112112,,,6793 %6793 %6793 % 110110110,,,7379 %7379 %7379 % 110110110,,,67092 %67092 %67092 % PromedioPromedioPromedio 000,,,1070 %1070 %1070 % 000,,,1055 %1055 %1055 % 000,,,1037 %1037 %1037 % 000,,,1036 %1036 %1036 %

Cuadro 18: Total y Promedio de Errores Relativos

Del cuadro 18 observamos que el promedio del error relativo más alto es el de Nie-Tan el cual esta en 0,1070 %. en el cuadro 19, se presentan los cálculos de la razón de errores sobre los promedios.

Del cuadro (19) se muestra que el promedio de la raz´on de errores para EN T/EP BT es

(33)

EN T/EP BT

EEN TN T/E/EP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT EEEN TN TN T/E/E/EP BTP BTP BT n = 2n = 2n = 2 n = 3n = 3n = 3 n = 4n = 4n = 4

1,014263 1,03204 1,03267

Cuadro 19: Raz´on de Errores calculada sobre el promedio

7.5. An´

alisis sobre toda la poblaci´

on seleccionada seudo

alea-toriamente

Figura 6: gr´afica de los errores relativos ordenando la variable del error relativo de Nie-Tan, Azul: error relativo del polinomio

de Bernstein de gradon = 2, Naranja: error relativo del polinomio de Bernstein de grado n = 3, Verde: error relativo del

polinomio de Bernstein de grado n = 4 y Rojo: Error Relativo de Nie-Tan

En la gráfica de la figura (6) se muestran los errores relativos ordenando todos los valores por el parámetro de los errores relativos de Nie-Tan, de all´ı se observa que los casos por polinomios de Bernstein no superan el 0,35 %, mientras que por Nie-Tan hay un caso que llega hasta el 0,44 %, de igual forma se muestra que hay muchos puntos de los errores relativos de los polinomios de Bernstein los cuales superan el error relativo por el método de Nie-Tan. Por último, se destaca que para las funciones de membres´ıa estudiadas hay un buen comportamiento ya que tanto Nie-Tan como polinomios de Bernstein tienen errores relativos inferiores al 0.44 %.

En la gr´afica de la figura 9 se puede observar un histograma de la raz´on de errores contra cada uno de los casos evaluados por medio de Aproximaciones por polinomios de Bernstein.

(34)

Figura 7: Gráfica de la razón de errores donde en la columna 1 esta la razón de errores entre Nie-Tan y polinomios de Bernstein con n = 2, columna 2 esta la razón de errores entre Nie-Tan y polinomios de Bernstein con n= 3 y columna 3 esta la razón de errores entre Nie-Tan y polinomios de Bernstein con

n = 4, por ´ultimo, una linea roja en horizontal en 1

errores con n = 2 y n = 4 la población que es menor a 1 es del 52,06 %, posiblemente por su grado de Bernstein par, mientras que para el caso de n = 3 la población es del 52,52 %. Con el hecho de que la razón de errores sea menor a 1 indica que el error por el método por polinomios de Bernstein es más grande en esta cantidad de la población que el error de por el método de Nie-Tan.

La cantidad de la población en donde en el histograma es mayor 1 también es significativamente grande, cuando el grado de Bernstein es n = 2 y n = 4, la población es del 47,94 %, por otra parte para n = 3 es de 47,47 % del total de la población. Se puede afirmar que hay una población del 23,03 % en donde el error por el método de Nie-Tan es más grande que el doble que el error por el método por polinomios de Bernstein con n = 2, un 22,47 % cuando es n = 3 y un 22,28 % para n = 4.

7.6. An´

alisis de tiempos consumidos por cada funci´

on, entre

las 1068 funciones escogidas seudo-aleatoriamente

En la gráfica de la figura 8 se muestra la diferencia de tiempos entre el método por polinomios de Bernstein y el método por Karnik-Mendel (TP BT −TKM), all´ı se

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Figura 8: Gr´afica de la diferencia de tiempos TP BT −TKM

donde TP BT es el tiempo generado por el m´etodo de polinomios

de Bernstein y TKM es el tiempo por el m´etodo por

Karnik-Mendel. Los resultados est´an ordenados por la diferencia de tiempos cuando n=3. Azul diferencia de tiempos

cuandon = 2, amarillo diferencia de tiempos cuandon = 3 y verde diferencia de tiempos cuando n= 4.

8. Conclusiones

a) En 7.4 y en las tablas 9, 10 y 12, se destaca que las aproximaciones por polinomios de Bernstein tienen un buen comportamiento cuando las funciones de membres´ıa tienen componentes Gaussianas como los casos de las funciones de membres´ıa A∗₁,

A∗₂ y A∗₃ donde a medida que crece el exponente de Bernstein disminuye el error absoluto, el error relativo y aumenta la raz´on de errores.

b) Los análisis obtenidos desde 7.4 donde los resultados están basados sobre los pro-medios obtenidos de toda la población de 1068 individuos se afirma que existe una disminución del error relativo cuando se usa el método por Aproximaciones de Berns-tein.

c) En7.5 se determina que los reductores de tipo usando aproximaciones de Bernstein son una opción valida ya que se indica en las gráficas de las figuras 9 y 6 una aproximación lo suficientemente cercano al valor de CKM E, llegando en la mayor´ıa

de los casos a tener errores relativos lo suficientemente peque˜nos por aproximaciones de Bernstein y el m´etodo aproximado de Nie-Tan. Adicionalmente se puede afirmar que Los reductores de tipo por aproximaciones de Bernstein con grado n = 2 son lo suficientemente buenos y no requieren tanto tiempo realizando las operaciones que un reductor de tipo por aproximaciones de Bernstein con grado n = 3 o superiores si requieren.

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forma se esperaba que cada vez que aumentara el exponente de Bernstein se iba a disminuir el error absoluto y el error relativo para la mayor´ıa de los casos, pero, a diferencia el comportamiento que se obtuvo fue que en la medida que se aumentaba el grado de Bernstein el resultado segu´ıa constante, esto se puede ver a gran escala en el histograma 9.

e) Se concluye que cuando las funciones de membresia superior e inferior son funciones a trozos construidas por funciones de primer orden es recomendable usar aproxima-ciones de Bernstein con grado n=2.

f) Se concluye que se debe mejorar el algoritmo buscando menores ciclos de iteraci´on para garantizar mejores tiempos de desarrollo y as´ı pueda ser una buena opci´on para aplicaciones en tiempo real.

9. Trabajos futuros

Gracias a los an´alisis de resultados obtenido en este trabajo de grado, se proponen los siguientes trabajos futuros:

9.1. An´

alisis del reductor de tipo para funciones trapezoidales,

triangulares, sigmoidales y sus combinaciones

Se busca hacer un estudio en donde se evalúe el reductor de tipo por método de Bernstein sobre funciones más comunes usadas en el campo de la ingenier´ıa entre las cuales se encuentran las sigmoidales, trapezoidales, triangulares, y sus combinaciones.

9.2. Sistema difuso tipo 2 con reductor de tipo usando el m´

eto-do de Bernstein

Se busca dise˜nar e implementar un sistemas difusos tipo 2, donde el reductor de tipo podr´ıa ser el procedimiento hecho por Bernstein y se debe comparar con otros m´etodos.