Correspondencias y una aplicaci on a la teor ia de la producci on

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(1)Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. AS. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN. TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN. IO TE. MATEMÁTICAS. AUTOR:. BI. BL. Br. SANTOS RAUL LEZCANO CHICLAYO. ASESOR: Mg. GUILLERMO RAMÍREZ LARA. Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. AS. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN. TESIS PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN. IO TE. MATEMÁTICAS. AUTOR:. BI. BL. Br. SANTOS RAUL LEZCANO CHICLAYO. ASESOR: Mg. GUILLERMO RAMÍREZ LARA. Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Jurado. Dr. Amado Mendez Cruz Presidente. Vocal. BI. BL. IO TE. Dr. Jose Diaz Leiva. Mg. Guillermo Ramı́rez Lara Asesor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Al dueño de mi vida, Dios, mi Señor. A los seres que más amo en. el mundo, mis padres, Genaro y Balbina. A mis dos grandes apoyos:. BI. BL. IO TE. mis hermanos Paulino y Sara.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Agradecimiento. A DIOS Nuestro señor por hacerme un hombre de bien.. A mis Padres Genaro y Balbina que con su empeño, dedicación y comprensión supieron guiarme a lo largo de mi vida.. A mis Hermanos Paulino y Sara con quienes escribı́ una de las más bellas páginas de mi vida.. Al Profesor Mg. Guillermo Ramı́rez Lara, por su apoyo y orientación en el desarrollo de esta Tésis.. A todos mis Maestros por su ayuda y dedicación que me brindaron en el transcurso. BI. BL. IO TE. de mis estudios.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Presentación Señores miembros del jurado:. Presento ante ustedes el informe final de Tesis intitulado “CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN”, con el propósito de optar el Tı́tulo Profesional de Licenciado en Matemáticas, en cumplimiento del reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de Trujillo para aprobar el informe de Tesis. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación.. BI. BL. IO TE. El Autor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lista de Sı́mbolos Γ:X→Y Γ+ Γ− Rn Rn+ =⇒ ⇐⇒ [x, y]. : Inversa superior de Γ. : Inversa inferior de Γ.. : Espacio vectorial n-dimensional.. : El conjunto de los vectores n-dimensionales con componentes no negativos. : Implica.. : Si y sólo si.. : Intervalo cerrado.. : Inclusión de conjuntos.. BI. BL. IO TE. ⊂. : Correspondencia de X a Y .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Índice general Jurado. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación. Lista de Sı́mbolos Resumen Abstract. Introducción. IO TE. I. Preliminares. III. IV. V. VI. VII. X. XI. XII. 1 1. 1.2. Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Propiedades de los conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. BL. 1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. BI. 1.5. Funciones Cuasiconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. II. Correspondencias. 15. 2.1. Conceptos sobre correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Conceptos de convexidad para correspondencias . . . . . . . . . . . . 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. ix. Y. 2.3. Conceptos de continuidad para correspondencias . . . . . . . . . . . . 19. AS. 2.4. Correspondencias de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Rm +. 2.6. Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P − : P (X) → X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 36. Referencias Bibliográficas. 38. BI. BL. IO TE. Conclusiones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen. Este trabajo es un estudio sobre algunos aspectos de la teorı́a de Correspondencias y una de sus aplicaciones a la teorı́a de la producción económica cuando existe una gama de insumos disponibles y su objetivo es definir las llamadas “correspondencias de producción” e investigar sus propiedades asi como las interpretaciones geométricas. BI. BL. IO TE. y económicas de las correspondencias de producción de entrada y salida.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Abstract. This work is an application of some aspects of the correspondences theory and one of its applications to economic production theory when there exist is a range of inputs available; its subject is define so called “production correspondences”, explore their proprieties and also give the economic and geometric interpretations of the properties of the imput and output correspondences.. KEY WORDS: Production correspondences, imput and output production corres-. BI. BL. IO TE. pondences, convex and quasiconvex correspondences. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. El concepto de correspondencia que es una generalización del concepto usual de función, fue introducido por Hahn en los años de 1920-1930 en su libro “ Reelle funtiones ”. Luego el tema de las correspondencias se perdió por muchos años hasta su descubrimiento por C. Berge quien en [3] presentan varias aplicaciones entre ellas su “Teorema del maximo”. Sin embargo a la fecha existe un gran interés por las correspondencias habiendose logrado un desarrollo sistemático de la teoria de correspondencias debido fundamentalmente a sus aplicaciones en diferentes campos de la matemática: optimización, teorı́a de optimización, teorı́a de juegos, lógica difusa y economı́a matemática, etc.. Las clásicas funciones de producción sólo tienen sentido en un contexto macroeconómico, pero no sirven para planificar la producción en caso que haya toda una gama de insumos; para esto es conveniente trabajar con correspondencias de pro-. IO TE. ducción en lugar de funciones de producción.. En este trabajo estudiamos estructuras de producción en las que hay toda una gama de insumos. Estas estructuras tienen la propiedad de que un vector de insumos x dado es capaz de producir cualquier vector de productos seleccionado de un conjunto. BL. dado P (x). El punto de partida está en considerar estos conjuntos de producción P (x) como lo más importante, es decir, considerar una correspondencia P como la. BI. “función de producción”, aunque ésta no representa, en ningún sentido, el “máximo producto alcanzable” que es como se define una función de producción. En el capitulo I presentamos los fundamentos matemáticos relacionados con las correspondencias, correspondencias continuas, cerradas, convexas y cuasiconvexas.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. xiii. Y. En el capitulo II presentamos las definiciones de las correspondencias de producción. BI. BL. IO TE. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. y geométricas.. AS. de entrada y de salida y establecemos sus propiedades e interpretaciones económicas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capı́tulo I. Preliminares. El espacio vectorial Rn. 1.1.. Revisemos alguna terminologı́a y notación en el espacio Rn donde trabajaremos exclusivamente.. Con R denotaremos el conjunto de los números reales y con Rn , n ∈ N, el conjunto de todas las n-uplas de números reales, es decir,. Rn = R × R × · · · × R = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )/ xi ∈ R, i = 1, . . . , n} El número real xi se llama la i - ésima componente de x = (x1 , x2 , . . . , xn ). En particular, R1 = R es el conjunto de los números reales (recta real), R2 es el. IO TE. conjunto de todo los pares ordenados de números reales (plano Euclideano), R3 es el espacio ordinario tridimensional. En Rn definimos dos operaciones: la suma y la multiplicación escalar, de la siguiente. BL. manera:. Sean x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn y λ ∈ R. La suma de x e y, x+y,. BI. se define por x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),. La multiplicación de x por un escalar λ, λx, se define por λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 El espacio vectorial Rn. 2. Y. Decimos que dos n-uplas x, y ∈ Rn son iguales, x = y, si y sólo sı́, tienen exactamente. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. x = y ⇐⇒ xi = yi para i = 1, 2, . . . , n.. AS. las mismas componentes, es decir. Es fácil ver que las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas anteriormente satisfacen las siguientes propiedades. Sean x, y, z ∈ Rn , y λ, µ ∈ R. Entonces (A1) x + y = y + x. (A2) x + (y + z) = (x + y) + z. (A3) Existe un elemento 0 ∈ Rn tal que x + 0 = x ∀x ∈ Rn .. (A4) ∀x ∈ Rn ,existe un elemento −x ∈ Rn tal que x + (−x) = 0 (M1) λ(x + y) = λx + λy. (M2) (λ + µ)x = λx + µx (M3) λ(µx) = (λµ)x (M4) 1.x = x. IO TE. Definición 1.1.1 La terna (Rn , +, ·), donde las operaciones + y ·, de suma y multiplicación escalar, respectivamente, satisfacen las propiedades (A1)-(A4) y (M1)-(M4) se llama espacio vectorial (lineal) real. Los elementos Rn se llaman entonces. BL. “vectores n-dimensionales” o simplemente vectores o puntos. Las operaciones de suma y multiplicación escalar determinan la estructura vectorial. BI. de Rn , pero no son suficientes para definir los conceptos de distancias y ángulos. Para esto es necesario introducir el concepto de producto interno (o producto escalar) en Rn .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3. Definición 1.1.2 Un producto interno en Rn es una función. (x, y) 7−→ hx, yi. AS. h·, ·i : Rn × Rn −→ R. Y. 1.2 Conjuntos convexos. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. que asigna a cada par de vectores x, y ∈ Rn un escalar (número real) denotado por hx, yi o x · y, que satisface las siguientes propiedades: (PI.1) hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ Rn. (PI.2) hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. (PI.3) hx, yi = hy, xi ∀x, y ∈ Rn. (PI.4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ∀x, y, z ∈ Rn (PI.5) hλx, yi = λhx, yi ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn .. El producto interno “estándar” en Rn , se define por hx, yi =. n X. xi y i. i=1. n. El espacio vectorial R con este producto interno se llama espacio Euclideano n-dimensional.. Conjuntos convexos. IO TE. 1.2.. Definición 1.2.1 Sean x, y ∈ Rn . El segmento de recta que une x e y, denotado por [x, y], es el conjunto de todo los puntos de la forma z = λx + (1 − λ)y donde. BL. λ ∈ [0, 1], es decir,. [x, y] = {z ∈ Rn , z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}. BI. Los puntos del segmento de recta [x, y] se llaman combinaciones convexas de x e y. 1 1 1 Si x = y, el segmento [x, y] se reduce a un solo punto. Si λ = , z = x+ y 2 2 2 1 2 es el punto medio de [x, y]. Para λ = , se obtienen los puntos de trisección del 3 3 segmento [x, y].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 4. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.2 Conjuntos convexos. Figura 1.1: El segmento [x, y]. Ejemplo. Si x = (6, 2), y = (1, 4) son dos puntos del plano, entonces el punto z = λx + (1 − λ)y = λ(6, 2) + (1 − λ)(1, 4) = (6λ + (1 − λ)1, 2λ + (1 − λ)4) = (5λ + 1, −2λ + 4), λ ∈ [0, 1]. Notemos que si λ = 0, entonces el punto z coincide con. IO TE. el extremo y; si λ = 1, el punto z coincide con x. Para 0 < λ < 1 elpunto z describe 1 7 , 3 que es el punto todos los puntos entre x e y. Si λ = obtenemos el punto 2 2 medio del segmento [x, y]. Definición 1.2.2 Un conjunto C ⊂ Rn se llama convexo, si y sólo si, el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de C está contenido en C, es decir, C es. BL. convexo ⇔ [x, y] ⊂ C ∀ x, y ∈ C. El conjunto vacio se supone que es convexo por. BI. definición.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 5. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.2 Conjuntos convexos. BI. BL. IO TE. Figura 1.2: El segmento de extremos x = (6, 2) y y = (1, 4). Figura 1.3: Conjunto convexo y no convexo. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. Y. Propiedades de los conjuntos convexos. AS. 1.3.. 6. Propiedades algebraicas de los conjuntos convexos. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Sean A y B subconjuntos de Rn y α ∈ R. Definimos a) La suma de A y B, A + B, como el conjunto. A + B = {x + y / x ∈ A, y ∈ B}. b) El múltiplo escalar de A, αA, como el conjunto. αA = {αx/ x ∈ A}. Teorema 1.3.1 Si C1 y C2 son conjuntos convexos, entonces su suma. C1 + C2 = {x1 + x2 / x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 }. es también un conjunto convexo. Demostración.. Sean x, y ∈ C1 +C2 . Entonces existen x1 , y1 ∈ C1 , x2 , y2 ∈ C2 tales que x = x1 +x2 , y = y1 + y2 . Si. IO TE. λ ∈ [0, 1] y z = λx + (1 − λ)y,. entonces z = λx + (1 − λ)y = [λx1 + (1 − λ)y1 ] + [λx2 + (1 − λ)y2 ].. Como C1 y C2 son convexos, λx1 + (1 − λ)y1 ∈ C1 , λx2 + (1 − λ)y2 ∈ C2 .. BL. Por tanto, z ∈ C1 + C2 y, asi C1 + C2 es convexo. (ver figura 1.4) Observación 1.3.1 Del teorema anterior, si C es un conjunto convexo en Rn y. BI. a ∈ Rn , entonces la traslación de C por el vector a C + {a} = C + a es un conjunto. convexo (ver figura 1.5). Notemos también que C 1 + C2 =. [ a∈C2. (C1 + a) =. [. (C2 + b). (1.1). b∈C1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 7. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. BI. BL. IO TE. Figura 1.4:. Figura 1.5:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. 8. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. es convexo.. AS. αC = {z ∈ Rn / z = αx, x ∈ C}. Y. Teorema 1.3.2 Si C es un conjunto convexo en Rn y α ∈ R, entonces el conjunto. Demostración. Si x, y ∈ αC, entonces existen x1 , y1 ∈ C tales que x = αx1 , y = αy1 . Luego, si λ ∈ [0, 1], entonces. z = λx + (1 − λ)y = α[λx1 + (1 − λ)y1 ].. Ya que C es convexo, λx1 + (1 − λ)y1 ∈ C. Luego z ∈ αC y por lo tanto αC es . IO TE. convexo. (ver figura 1.6). BL. Figura 1.6: Multiplos del conjunto convexo C. Observación 1.3.2 Del teorema anterior tenemos que: Si C es un conjunto con-. BI. vexo, entonces la reflexión simétrica de C respecto del origen, −C = (−1)C, es. un conjunto convexo. También: Si cada Ci , i = 1, 2, . . . , m es convexo entonces la m X combinación lineal λi Ci también convexa. i=1. Dada una transformación linel T : Rn → Rm , definimos. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 9. Y. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. T −1 (B) = {x/ T x ∈ B} para B ⊂ Rm .. AS. T (A) = {T x/ x ∈ A} para A ⊂ Rn ,. B bajo T .. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. T (A) se llama la imagen de A bajo T y T −1 (B) se llama la imagen inversa de. Teorema 1.3.3 Sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Entonces (i) T (A) es un conjunto convexo en Rm para todo conjunto convexo A en Rn . (ii) T −1 (B) es un conjunto convexo en Rn para todo conjunto convexo B en Rm . Demostración.. (i) Sea y, y 0 ∈ T (A), λ ∈ [0, 1] y z = λy + (1 − λ)y 0 . Entonces existen x, x0 ∈ A tales que y = T (x), y 0 = T (x0 ), y ası́. z = λy + (1 − λ)y 0 = λT (x) + (1 − λ)T (x0 ) = T (λx + (1 − λ)x0 ). Ya que A es convexo, la combinación convexa λx + (1 − λ)x0 ∈ A y entonces, z ∈ T (A). Por tanto T (A) es convexo.. (ii) Sean x, x0 ∈ T −1 (B) y λ ∈ [0, 1] y z = λx + (1 − λ)x0 . Entonces existen y, y 0 ∈ B tales que T (x) = y y T (x0 ) = y 0 . Entonces T (z) = T (λx+(1−λ)x0 ) = λT (x) + (1 − λ)T (x0 ) = λy + (1 − λ)y 0 . Ya que B es convexo, T (z) ∈ B y asi,. IO TE. z ∈ T −1 (B). Por tanto T −1 (B) es convexo.. Propiedades topologicas de los conjuntos convexos. Establecemos a continuación algunas propiedades topológicas importantes de los. BL. conjuntos convexos.. BI. Teorema 1.3.4 (i) Si K es un conjunto convexo, su clausura K es también un conjunto convexo. ◦. (ii) Si a ∈K y b ∈ K, entonces todo punto del segmento [a, b], excepto posiblemente b, es un punto interior de K.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. 10. Y. Demostración.. tales que. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. lı́m xk = x , lı́m y k = y.. AS. (i) Sean x, y ∈ K. Entonces existen dos sucesiones (xk ) y (y k ) de puntos de K. k→∞. k→∞. Para cualquier α ≥ 0, β ≥ 0, con α + β = 1, la continuidad de las operaciones lineales implica que. lı́m (αxk + βy k ) = αx + βy.. k→∞. Ya que K es convexo, αxk + βy k ∈ K, ∀k = 1, 2, . . . , de modo que αx + βy es el lı́mite de la sucesión (αxk + βy k ) de puntos de K. Esto prueba (definición de clausura) que, αx + βy ∈ K. Por tanto K es convexo.. (ii) Ya que a es un punto interior de K, existe una bola B(a, ε) ⊂ K, para un ε > 0 adecuado. Por otra parte, todo punto del segmento [a, b], excepto b, puede escribirse en la forma. ct = (1 − t)a + tb, 0 ≤ t < 1. ◦. Debemos demostrar que ct ∈K .. En efecto, es suficiente demostrar que B(ct , (1 − t)ε) ⊂ K.. IO TE. Sea x ∈ B(ct , (1 − t)ε). Entonces, por definición , kx − ct k < (1 − t)ε. Por otro lado, ya que b ∈ K, existe un punto d ∈ K suficientemente próximo. a b, de modo que tkb − dk < (1 − t)ε − kx − ct k.. BI. BL. Por tanto,. kx − [(1 − t)a + td]k ≤ kx − ct k + tkb − dk < (1 − t)ε.. Dividiendo los extremos por (1 − t) y arreglando términos, obtenemos 1 · (x − td) − a < ε, 1−t. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos. Y. 1 · (x − td) ∈ B(a, ε) ⊂ K. Esto implica que 1−t. x = (1 − t)e + td ∈ [e, d] ⊂ K.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Por tanto, B(ct , (1 − t)) ⊂ K.. AS. de modo que el punto e =. 11. . A partir de este teorema se pueden obtener algunos corolarios importantes. ◦. Corolario 1.3.1 Si K es un conjunto convexo, entonces su interior, K , es también un conjunto convexo.. ◦. ◦. Demostración. Sean a,b ∈K . Ya que K ⊂ K ⊂ K, podemos considerar que b ∈ K. Luego por (ii) del teorema anterio, todos los puntos del segmento [a, b] sin excepción, ◦. ◦. son puntos interiores de K, es decir, [a, b] ⊂K . Por tanto, K es convexo. . Corolario 1.3.2 Si K es un conjunto convexo y a es un punto interior de ◦. K (a ∈K ), entonces todo rayo que parte de a interseca a la frontera en un único punto.. Demostración. Supongamos que un rayo que parte de a corta a la frontera de K en dos puntos, digamos b y c, de los cuales c, es el más cercano al punto a. Entonces ◦. c ∈ [a, b], y c 6= a y c 6= b. Puesto que a ∈K y b ∈ F r(K) = K ∩ K c ⊂ K, por. IO TE. (ii) del teorema anterior, c debe ser un punto interior de K, lo que contradice la hipótesis de que c es un punto frontera de K.. ◦. ◦. Corolario 1.3.3 Si K es un conjunto convexo con K 6= ∅, entonces K = K . ◦. ◦. BL. Demostración. Ya que K ⊂ K, entonces claramente K ⊂ K. Recı́procamente elija-. BI. mos un punto interior fijo a de K. Entonces para cualquier b ∈ K, todo punto del ◦. segmento [a, b], excepto posiblemente b, pertenece a K , de modo que podemos elegir ◦. ◦. ◦. puntos en K arbitrariamente próximos a b. Asi b ∈ K y K ⊂ K .. . Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Funciones convexas. 12. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Ya que C1 y C2 son convexos, C1 + C2 es convexo ( ver figura 1.7). Y. Ejemplo. Sea C1 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ 1} y C2 = {(x, y) ∈ R2 / x ≥ 0, y ≥ 0}.. Figura 1.7:. 1.4.. Funciones convexas. Definición 1.4.1 Sea C ⊂ Rn un conjunto convexo y f : C → R una función. Se dice que f es convexa si verifica la siguiente condición: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y). (1.2). IO TE. Conviene resaltar que en 1.2 aparecen tres variables x, y, λ, y la desigualdad debe de verificarse para todos los valores indicados de dicha variables: x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. Se dice que la función f : C → R es cóncava si −f es convexa, es decir, si se verifica. BL. que. f ((1 − λ)x + λy) ≥ (1 − λ)f (x) + λf (y) ∀x, y ∈ C con , λ ∈ [0, 1].. BI. Observación 1.4.1 Si f es una función definida en un intervalo I de la recta real, entonces geométricamente la definición de función convexa significa que la cuerda que une dos puntos cualesquiera (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 )) de la gráfica de f se encuentra arriba de la gráfica de f . (Ver figura 1.8). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 13. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.5 Funciones Cuasiconvexas. Figura 1.8: Gráfica de una función convexa f. 1.5.. Funciones Cuasiconvexas. Definición 1.5.1 Sea C ∈ Rn , un conjunto convexo. Una función Φ : C → R se llama cuasiconvexa (cuasicóncava) en C si. Φ(x) ≤ máx{Φ(x1 ), Φ(x2 )}, ∀x ∈ [x1 , x2 ], ∀x1 , x2 ∈ C. (Φ(x) ≥ mı́n{Φ(x1 ), Φ(x2 )}, ∀x ∈ [x1 , x2 ], ∀x1 , x2 ∈ C). IO TE. Si Φ es convexa (cóncava) en C, entonces Φ es cuasiconvexa (cuasicóncava) en C. Φ es cuasiconvexa en C ⇔ Nα = {x ∈ C/Φ(x) ≤ α} es convexa, ∀α ∈ R (Nα se. BI. BL. llama conjunto de nivel α de Φ). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Funciones Cuasiconvexas. 14. Y. Definición 1.5.2 Sea C ⊂ Rn , convexo. Una función f : C → R, se llama cuasi-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. convexa en C si f (λx + (1 − λ)y) ≤ máx{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].. BI. BL. IO TE. Figura 1.9: Gráfica de una función cuasiconvexa. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capı́tulo II. Correspondencias 2.1.. Conceptos sobre correspondencias. Nuestro punto de partida es el concepto de correspondencia el cual generaliza el concepto de función.. Sean X e Y conjuntos. Una correspondencia1 Γ de X en Y denotada por Γ : X → Y es una regla (ley) que asigna a cada x ∈ X un subconjunto Γ(x) de Y . Notemos que Γ(x) = ∅ es un valor permitido. Si Γ(x) consiste de un solo punto para todo x ∈ X, Γ es una aplicación (función) en el sentido usual.. El conjunto {x/ Γ(x) 6= ∅} se llama el “Dominio efectivo” de Γ.. IO TE. Definimos la gráfica de la correspondencia Γ : X → Y como el conjunto Graf (Γ) = {(x, y) ∈ X × Y / y ∈ Γ(x)} ⊂ X × Y [. Γ(x).. x∈A. BL. Si A ⊂ X, definimos la Γ-imagen de A, Γ(A), como el conjunto Γ(A) =. Definición 2.1.1 Si Γ : X → Y es una correspondencia, definimos la correspon-. BI. dencia. Γ− : Y → X por Γ− (y) = {x ∈ X/ y ∈ Γ(x)}. La correspondencia Γ− se llama inversa inferior de Γ. 1. Multifunción, aplicación multivoca, aplicación punto a conjunto. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias. 16. Y. Observación 2.1.1 se tiene que. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Γ− (B) = {x ∈ X/ Γ(x) ∩ B 6= ∅}. AS. 1. Si B ⊂ Y , entonces se cumple:. 2. Es claro que se cumple: (Γ− )− = Γ. Definición 2.1.2 La correspondencia Γ+ : P (X) → X, definida por Γ+ (B) = {x ∈ X/ Γ(x) ⊂ B} ∀B ⊂ Y,. se llama inversa superior de Γ.. Notemos que si Γ es una aplicación, se cumple evidentemente que Γ− = Γ+ = Γ−1 Usaremos la siguiente propiedad de Γ− y Γ+ : Para todo B ⊂ Y se cumple:. (i) X − Γ+ (B) = Γ− (Y − B). 2.2.. (ii) X − Γ− (B) = Γ+ (Y − B). Conceptos de convexidad para correspondencias. Sean X, Y espacios lineales, C ⊂ X convexo y Γ : C → Y una correspondencia. IO TE. Definición 2.2.1 La correspondencia Γ se llama convexa si Graf (Γ) es un conjunto convexo.. Es fácil ver que: Γ es convexa si y sólo si. BL. λΓ(x1 ) + (1 − λ)Γ(x2 ) ⊂ Γ(λx1 + (1 − λ)x2 ) ∀x1 , x2 ∈ C ∀λ ∈ [0, 1].. BI. Si Γ : C → Y es convexa, entonces Γ(x) es convexo para todo x ∈ C y Γ(C) es un. conjunto convexo. Definición 2.2.2. a) La correspondencia Γ : C → Y se llama cuasiconvexa si. Γ(x) ∩ Γ(y) ⊂ Γ(λx + (1 − λ)y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias. 17. Y. b) La correspondencia Γ se llama cuasicóncava si. AS. Γ(λx + (1 − λ)y) ⊂ Γ(x) ∪ Γ(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. c) La correspondencia Γc : C → Y se define por Γc (x) = Y − Γ(x),. (Γc se llama correspondencia complemento de Γ). Lema 2.2.1 Γ es cuasiconvexa ⇔ Γc es cuasiconcava. Demostración. Sean x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]. Entonces:. Γ(x) ∩ Γ(y) ⊂ Γ(λx + (1 − λ)y) ⇔ Γc (λx + (1 − λ)y) ⊂ Y − (Γ(x) ∩ Γ(y)) = Γc (x) ∪ Γc (y). . Lema 2.2.2 Si Γ : C → Y es convexa en C, entonces Γ es cuasiconvexa en C. Demostración. Sean x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. Podemos asumir que: Γ(x) ∩ Γ(y) 6= ∅. Como Γ es convexa, Γ(z) es convexo, ∀z ∈ C.. Por consiguiente Γ(x) ∩ Γ(y) es convexo. Luego, por ser Γ convexa se cumple: Γ(x)∩Γ(y) = λ(Γ(x)∩Γ(y))+(1−λ)(Γ(x)∩Γ(y)) ⊂ λΓ(x)+(1−λ)Γ(y) ⊂ Γ(λx+(1−λ)y) ∴ Γ es cuasiconvexa en C.. . IO TE. Lema 2.2.3 Γ : C → Y es cuasiconvexa ⇐⇒ Γ− (u) es convexo ∀u ∈ Y . Demostración.. BL. ⇒] Sean x, y ∈ Γ− (u), λ ∈ [0, 1]. Entonces:. BI. u ∈ Γ(x) ∩ Γ(y) ⊂ Γ(λx + (1 − λ)y) puesto que Γ es cuasiconvexa.. Entonces λx + (1 − λ)y ∈ Γ− (u). Por tanto, Γ− (u) es convexo, ∀u ∈ Y .. ⇐] Sean x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1], u ∈ Γ(x) ∩ Γ(y). Entonces: x, y ∈ Γ− (u), y como Γ− (u) es convexo: λx+(1−λ)y ∈ Γ− (u) o lo que lo mismo u ∈ Γ(λx+(1−λ)y). Por tanto, Γ es cuasiconvexa.. . Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias. 18. Y. Existe una estrecha relación entre las funciones convexas, cuasiconvexas y cua-. AS. sicóncavas y las correspondencias convexas, cuasiconvexas y cuasicóncavas.. Sea F : C → R una función. Asociadas a F existen dos correspondencias ΓF , ∧F :. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. C → R definidas por: ΓF (x) = (−∞, F (x)],. ∧F (x) = [F (x), +∞). Lema 2.2.4. a) La función F es cuasiconvexa (cuasicóncava) ⇐⇒ ∧F es cuasiconvexa (ΓF es cuasiconvexa).. b) F es convexa (cóncava) ⇐⇒ ∧F es convexa (ΓF es convexa) Demostración.. a) Sean x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. Entonces se cumple:. F es cuasiconvexa ⇔ F (λx + (1 − λ)y) ≤ máx{F (x), F (y)} ⇔ ∧F (λx + (1 − λ)y). = [F (λx + (1 − λ)y), +∞) ⊃ [máx{F (x), F (y)}, +∞]. = [F (x), +∞) ∩ [F (y), +∞). IO TE. = ∧F (x) ∩ ∧F (y) ⇔ ∧F es cuasiconvexa.. . BI. BL. Similarmente se prueban las demás afirmaciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. Y. Conceptos de continuidad para correspondencias. AS. 2.3.. 19. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Sean X, Y espacios topológicos, Γ : X → Y una correspondencia y x̄ ∈ X. Definición 2.3.1. a) Γ se llama semicontinua superiormente (s.c.s) en x̄, si para todo abierto. BI. BL. IO TE. G ⊂ Y con Γ(x̄) ⊂ G, existe una vecindad U de x̄, tal que, Γ(x) ⊂ G, ∀x ∈ U .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 20. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. Figura 2.1:. b) Γ se llama semicontinua inferiormente (s.c.i) en x̄, si para todo abierto G ⊂ Y con Γ(x̄) ∩ G 6= ∅, existe una vecindad V de x̄ tal que Γ(x) ∩ G 6=. BI. BL. IO TE. ∅, ∀x ∈ V .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 21. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. Figura 2.2:. c) Γ se llama continua en x̄, si Γ es s.c.s. y s.c.i. en x̄.. Ejemplos de Gráficas de correspondencias Ejemplo 1.. IO TE. Γ(x0 ) es un conjunto unitario. Γ(x00 ) es un intervalo.. BI. BL. Γ es continua en x, ∀x 6= x00 .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 22. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. Figura 2.3:. BI. BL. IO TE. Ejemplo 2.. Figura 2.4: Γ(x00 ) es un conjunto unitario.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. 23. AS. BI. BL. IO TE. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Γ(x000 ) es un conjunto de dos elementos.. Y. Γ no es s.c.s. en x00 ni s.c.i. en x00. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. 24. Y. Ejemplo 3.. AS. Sea Γ : R+ → R la correspondencia definida por Γ(x) = [a, b] ∀x ∈ R+ . Su gráfica. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. es. Figura 2.5:. Γ se llama correspondencia constante.. BI. BL. IO TE. Γ es continua en R+ .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. 25. Y. Ejemplo 4.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Sea Γ la correspondencia cuya gráfica es:. Figura 2.6:. Entonces:. Γ es s.c.s. pero no s.c.i. en x1 .. En x2 Γ no es s.c.s. pero si es s.c.i.. IO TE. Γ es continua en x ∈ [a, b] ∀x 6= x1 , x2 .. Los diferentes conceptos globales de semicontinuidad se definen de manera natural. Los siguientes teoremas proporcionan caracterizaciones de la semicontinuidad. BL. superior e inferior.. BI. Teorema 2.3.1 Las siguientes proposiciones (i),(ii) y (iii) son equivalentes: (i) Γ : X → Y es semicontinua superiormente.. (ii) Γ+ (G) es abierto ∀ G ⊂ Y abierto. (iii) Γ− (F ) es cerrado ∀ F ⊂ Y cerrado.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias. 26. Y. Demostración.. AS. (i)⇒(ii) Sea G ⊂ Y abierto y x ∈ Γ+ (G). Entonces Γ(x) ⊂ G y como por hipótesis, Γ es semicontinua superiormente en x, entonces existe una vecindad U de x tal. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. que Γ(z) ⊂ G ∀z ∈ U . Entonces z ∈ Γ+ (G) ∀z ∈ U , es decir, U ⊂ Γ+ (G). Por tanto, Γ+ (G) es abierto.. (ii)⇒(iii) Sea F ⊂ Y cerrado, entonces Y − F y Γ+ (Y − F ) son abiertos. Ya que Γ+ (Y − F ) = X − Γ− (F ), entonces Γ− (F ) es cerrado.. (iii)⇒(i) Sea x ∈ X y G ⊂ Y abierto con Γ(x) ⊂ G. Entonces x ∈ Γ+ (G) y los conjuntos Y − G y Γ− (Y − G) son cerrados. Como Γ− (Y − G) = X − Γ+ (G), entonces Γ+ (G) es abierto. Ya que x ∈ Γ+ (G), existe una vecindad U de x, tal que, U ⊂ Γ+ (G) o Γ(U ) ⊂ G.. Por tanto, Γ es semicontinua superiormente.. . De manera similar se demuestra el siguiente teorema. Teorema 2.3.2 Las siguientes proposiciones (i*),(ii*) y (iii*) son equivalentes: (i*) Γ : X → Y es semicontinua superiormente. (ii*) Γ− (G) es abierto ∀G ⊂ Y abierto.. IO TE. (iii*) Γ+ (F ) es cerrado ∀F ⊂ Y cerrado.. Necesitamos todavı́a otro concepto más de continuidad para una correspondencia:. BL. el concepto de correspondencia cerrada. Definición 2.3.2. BI. a) La correspondencia Γ : X → Y se llama cerrada si Graf (Γ) es un conjunto cerrado en X × Y .. b) Γ es cerrada en x̄ ∈ X si para todo ȳ ∈ / Γ(x̄), existen vecindades U de x̄ y V de ȳ, tales que Γ(U ) ∩ V = ∅.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Correspondencias de producción. 27. Y. Es fácil comprobar que: Γ es cerrada (en X) ⇐⇒ Γ es cerrada en todo punto x ∈ X.. AS. A continuación enunciamos algunos teoremas sobre correspondencias continua y cerrada.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Teorema 2.3.3 Sea X compacto y Γ : X → Y una correspondencia semicontinua superiormente, tal que, Γ(x) es compacto ∀x ∈ X. Entonces Γ(X) es compacto. Demostración. (Ver. [7]). Teorema 2.3.4 Sea Γ : X → Y semicontinua superiormente en x̄ y Γ(x̄) compacto. Entonces Γ es cerrada en x̄. Demostración. (Ver. [7]). Teorema 2.3.5 Sea Y compacto, Γ : X → Y una correspondencia y sea Γ(x̄) cerrado. Entonces: Γ es cerrada en x̄ ⇐⇒ Γ es semicontinua superiormente en x̄. Demostración. (Ver. [7]). Teorema 2.3.6 Sea Γ : X → Y una correspondencia. Entonces se cumple: a) Γ aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados ⇔ Γ− es semicontinua superiormente.. IO TE. b) Γ aplica conjuntos abiertos en conjuntos abiertos ⇔ Γ− es semicontinua inferiormente.. BL. Demostración. (Ver. [7]). Correspondencias de producción. BI. 2.4.. Las clásicas funciones de producción solamente tienen sentido en un contexto macroeconómico pero no sirven para planificar la producción en el caso en que haya toda una gama de insumos, para esto es conveniente que en lugar de trabajar con funciones se trabaje con correspondencias de producción.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Correspondencias de producción. 28. Y. La tecnologı́a que esté disponible a una empresa se puede representar en una variedad. AS. de formas. Las más generales son aquellas basadas en correspondencias y conjuntos. Consideramos dada una tecnologı́a de producción, que usa ‘‘n” factores de pro-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ducción (insumos) externos y produce “m” productos finales. Sea. xi = cantidad del insumo i usada en la producción por unidad de tiempo. uj = cantidad del producto j producida por unidad de tiempo. Llamamos a. x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn+ un vector de insumos, y. u = (u1 , u2 , . . . , um ) ∈ Rm + un vector de productos.. Sea X ⊂ Rn+ el conjunto de todos los vectores de insumos disponibles a priori para la producción. Supondremos que X es compacto y, con frecuencia que sea convexo. Notación. Para x = (x1 , x2 , . . . , xn ) escribimos: x ≥ 0 ⇐⇒ xi ≥ 0 ∀i = 1, n. x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ (xi > 0 para algún i) Observación 2.4.1. 1. El hecho de suponer que X es cerrado significa que, si un insumo dado x es arbitrariamente cercano a un insumo posible, entonces el insumo x es también. IO TE. posible.. 2. El suponer que X es convexo es un supuesto mucho más restrictivo. Está relacionado a un supuesto más elemental de aditividad y retornos decrecientes. BL. a escala.. BI. Definamos una correspondencia m m P : X → Rm + = {u ∈ R / u ≥ 0} = ortante no negativo de R. que asigna a cada vector de insumos x ∈ X el conjunto de productos P (x) = {u ∈ Rm + / u se deja producir usando el vector de insumos x}.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Correspondencias de producción. 29. Y. La correspondencia P se llama una correspondencia de producción de salida.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. P − : P (X) → Rn+. AS. La correspondencia “inversa inferior” de P ,. se llama una correspondencia de producción de entrada. Ası́, P − (u) = {x ∈ X/ u ∈ P (x)}. es entonces el conjunto de los vectores de insumos x ∈ X que se pueden usar para producir al menos el vector de productos u. P − (u) se llama el conjunto de nivel para. BI. BL. IO TE. el vector de productos u.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.5 Propiedades de la correspondencia de - producción. P :X→. 30. Propiedades de la correspondencia de producción de salida. P : X → Rm +. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. P 1. 0 ∈ X, P (0) = {0}, 0 ∈ P (x), ∀x ∈ X.. AS. Y. 2.5.. de salida. Rm +. Para un u > 0 existe un x ∈ X, tal que, u ∈ P (x). P 2. P (x), es compacto ∀x ∈ X.. P 3. P (x) ⊂ P (λx) ∀x ∈ X y ∀λ ≥ 1 con λx ∈ X.. P 4. Si x ∈ X y existe un ū ∈ Rm + y un λ̄ > 0 tal que ū ∈ P (λ̄x), entonces para todo θ > 0 con θū ∈ P (X), existe un λθ > 0, tal que θū ∈ P (λθ x). P 5. θP (x) ⊂ P (x), ∀x ∈ X, ∀θ ∈ [0, 1]. P 6. P es continua.. En muchos casos se pide además que se cumpla una de las siguientes propiedades de convexidad: P 7.. a) P (x) es convexo, ∀x ∈ X.. b) X es convexo y P : X → Rm + es cuasiconvexa.. IO TE. c) X es convexo y P : X → Rm + es convexa.. Observación 2.5.1 La interpretación económica de P 1, P 2 y P 3 es evidente. P 4 significa: si ū se deja producir adaptando proporcionalmente el vector de insumos x. BL. y si, a priori, es posible producir θū, θ > 0, entonces θū se deja producir también adaptando x proporcionalmente. P 4 se llama axioma de la alcanzabilidad de. BI. los productos. P 5 se llama el axioma débil de la disponibilidad de los productos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.5 Propiedades de la correspondencia de - producción. 31. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. P :X→. de salida. Rm +. BI. BL. IO TE. Figura 2.7: Ilustración de P 4. Figura 2.8: Ilustración de P 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.5 Propiedades de la correspondencia de - producción. 32. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. P :X→. de salida. Rm +. Figura 2.10: Ilustración de P − 4. BI. BL. IO TE. Figura 2.9: Ilustración de P 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.6 Propiedades de la correspondencia de - producción. P. −. de entrada. : P (X) → X. 33. Y. NOTA. En lugar de P 5 se pide a veces el axioma fuerte de la disponibilidad de. P 5∗ . ∀x ∈ X se cumple:. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ū ∈ P (x), 0 ≤ u ≤ ū ⇒ u ∈ P (x).. AS. los productos:. Figura 2.11: Se cumple P 5∗. Figura 2.12: Se cumple P 5 pero no P 5∗. P 5∗ implica evidentemente P 5. P 5 parece económicamente aceptable, mientras que P 5∗ es poco realista.. IO TE. De P 1 a P 7 se deducen las siguientes:. 2.6.. Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P − : P (X) → X. BL. P − 1. P − (0) = X y 0 ∈ / P − (u) ∀u ∈ P (X), u 6= 0.. BI. P − 2. El dominio de definición P (X) de P − es compacto. Si X y P : X → Rn+ son convexos, entonces P (X) es convexo.. P − 3. x ∈ P − (u), implica que λx ∈ P − (u), para todo λ ≥ 1 tal que λx ∈ X. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.6 Propiedades de la correspondencia de - producción. de entrada. : P (X) → X. 34. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. P. −. Figura 2.13: Ilustración de P − 3. P − 4. Si x ∈ X y λ̄x ∈ P − (ū) para un ū ∈ P (X) y un λ̄ > 0, entonces para todo θ > 0 con θū ∈ P (X), existe un λθ > 0 tal que λθ x ∈ P − (θū). P − 5. P − (θu) ⊂ P − (u), ∀θ ≥ 1 con θu ∈ P (X). IO TE. P − 6. P − : P (X) → Rn+ es cerrada y semicontinua superiormente. P − (u) es compacto, ∀u ∈ P (X).. Demostración.. BL. P − 1: 0 ∈ P (x) ∀x ∈ X, implica que x ∈ P − (0), ∀x ∈ X o P − (0) = X. Si. BI. fuese 0 ∈ P − (u) para algún u 6= 0, u ∈ P (X), se tendrı́a P (0) 6= {0} lo que contradice a P 1.. P − 2: Esto es una consecuencia de P 2, P 6 y del teorema 2.3.3 P − 3: Sea x ∈ P − (u). Entonces de acuerdo a P 3 se cumple: u ∈ P (X) ⊂ P (λx), ∀λ ≥ 1 con λx ∈ X. Esto implica: λx ∈ P − (u), ∀λ ≥ 1 con λx ∈ X.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.6 Propiedades de la correspondencia de - producción. P. −. de entrada. : P (X) → X. 35. Y. P − 4: Sean ū ∈ P (X), λ̄ > 0, λ̄x ∈ P − (ū) y θ > 0 tal que θū ∈ P (X). Entonces. AS. λ̄x ∈ X, ū ∈ P (λ̄x) y, de acuerdo a P 4, existe un λθ > 0, tal que θū ∈ P (λθ x) o λθ x ∈ P − (θū).. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. P − 5: Sean u ∈ P (X), θu ∈ P (x), θ ≥ 1, y x ∈ P − (θu). Entonces θu ∈ P (x) y P 5 implica que u ∈ 1θ P (x) ⊂ P (x) o x ∈ P − (u).. P − 6: Como P : X → Rm + es continua y todos los P (x), x ∈ X, son compactos, se deduce del teorema 2.3.5 que P es cerrado. Entonces P − también es cerrada. Como además X es compacto, el teorema 2.3.3 implica que P aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Entonces, de acuerdo al teorema 2.3.1, P − es también semicontinua superiormente (recordar que (P − )− = P ). . Si P tiene una de las propiedades de convexidad P 7, P − también tiene al menos una de estas propiedades. Esto se deduce en vista del lema 2.2.3 y de la siguiente propiedad:. P es convexa ⇐⇒ P − es convexa. La propiedad P − 3 se llama disponibilidad débil de los factores de producción. La propiedad P − 3∗ siguiente se llama disponibilidad fuerte de los factores de producción.. IO TE. P − 3∗ . x ∈ P − (u), x̄ ∈ X, x̄ ≥ x implica que x̄ ∈ P − (u). NOTA. P − 3∗ implica evidentemente P − 3.. Se puede esperar que para la mayor parte de las tecnologı́as de producción la pro-. BL. piedad P − 3 sea aproximadamente satisfecha. Sin embargo, la propiedad P − 3∗ no se cumple para muchas tecnologı́as, como por ejemplo, para la agricultura. Si se au-. BI. menta un factor de producción dejando constante los otros factores, la producción puede disminuir. La propiedad P − 4 significa lo siguiente: si el vector de producción ū se deja producir adaptando proporcionalmente los factores xi , 1 ≤ i ≤ n, entonces todos los. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(49) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación UNT 2.6 Propiedades de la correspondencia de - producción. P. −. de entrada. : P (X) → X. 36. Y. vectores de productos θū ∈ P (X), θ > 0, se dejan también producir adaptando. AS. proporcionalmente los factores xi. No todos los puntos de P (x) y P − (u) interesan desde el punto de vista de la eficiencia.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Por esto definimos las llamadas isocuantas de P (x) y P − (u): IP (x) = {u/ u ∈ P (x), θu ∈ / P (x), ∀θ > 1}, si P (x) 6= {0}. IP (x) = {0}, si P (x) = {0}.. IP − (u) = {x/ x ∈ P − (u), λx ∈ / P − (u), ∀λ ∈ / [0, 1)}, si u 6= 0. IP − (0) = {0}.. IP (x) y IP − (u) son entonces los subconjunto de los puntos de P (x) y P − (u) que, en un sentido bien definido son eficientes. Pedimos adicionalmente que IP (x) y IP − (u). IO TE. sean compactos para todo x ∈ X y todo u ∈ P (X).. Figura 2.15: isocuantas de P − (u). BI. BL. Figura 2.14: isocuantas de P (x). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(50) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Conclusiones. Al término del presente trabajo, se llega a las siguientes conclusiones: 1. Dada una tecnologı́a de producción es posible modelar el proceso de producción económica cuando existe todo una gama de insumos, mediante la teoria de conjuntos y de correspondencias (semi continuas superior e inferior, convexas, cuasiconvexas, cerradas, etc).. 2. Las llamadas correspondencias de producción de entrada y salida, permiten la descripción analı́tica y la interpretación económica del proceso de producción en el que a un vector de insumos le corresponde todo un conjunto de vectores. BI. BL. IO TE. de producctos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(51) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Referencias Bibliográficas. [1] Aubin, Jean-Pierre., Optima and Equilibria. Springer. Verlag.BerlinHeilldelberg, 1993.. [2] Aubin, Jean-Pierre y Frankowska, H., Set-valued Analysis. Birkhauser, Berlin, 1990.. [3] Berge, C., Espaces Topologiques et fonctions multivoques. Dunod - Paris, 1966. [4] Ferguson.C. E., Teorı́a neoclásica de la producción y la distribución . Trillas S. A., 1985. .. [5] Hildebrand, Kirman. Core and Equilibria of a Large Economy. 1976. [6] Ramı́rez Lara, Guillermo. Conceptos básicos sobre convexidad. UNT, 1986.. IO TE. [7] Ramı́rez Lara, Guillermo. Correspondencias. UNT, 1987.. [8] Rockafellar, Tyrrell y Wets, Roger. Variational Analysis. SpringerVerlag, Berlin. Heildelberg, New York, 1998.. BL. [9] Shephard, R, Cost and Production Functions.Princeton University Press,. BI. 1970.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

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