Rodrigo Henr´ıquez Auba 9 de octubre de 2010

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Texto completo

(1)

Series de Fourier

Rodrigo Henr´ıquez Auba

9 de octubre de 2010

1.

Funciones Peri´

odicas y Series Trigonom´

etricas

Se dice que una funci´on f(x) es peri´odica si est´a definida para toda x real y si existe alg´un n´umero positivoT de manera que:

f(x+T) =f(x) (1.1)

El n´umero T recibe el nombre de periodo de f(x). La gr´afica de una funci´on de este tipo se obtiene mediante una repetici´on peri´odica de la gr´afica correspondiente a un periodo T.

Figura 1: Una funci´on peri´odica de periodo T

De la ecuaci´on (1.1) se sigue que, si n es un n´umero entero cualquiera se cumple que:

f(x+nT) =f(x) (1.2)

de modo quenT tambi´en es periodo de la funci´onf(x). Adem´as sif(x) yg(x) tienen periodo

T entonces la funci´on:

h(x) =f(x) +g(x) (1.3)

tambi´en tiene periodo T.

(2)

Una serie trigonom´etrica es la sumatoria de funciones seno y coseno de la siguiente forma:

a0+a1cos(x) +b1sin(x) +a2cos(2x) +b2sin(2x) +. . . (1.4)

donde a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . son constantes reales que reciben el nombre coeficientes de la

serie. Se puede observar que los t´erminos de la serie (1.4) tienen periodo 2π, por lo tanto, si la serie converge, su suma sera una funci´on peri´odica con periodo 2π. El proceso para hallar los coeficientes de la serie (1.4) para representar funciones de periodo 2π se explicara en la siguiente secci´on, mientras que el procedimiento para representar funciones de periodo arbitrario se presentara en una secci´on posterior.

2.

Ortogonalidad de las Funciones Trigonom´

etricas y

ormulas de Euler

Se dice que dos funciones realesgm(x) ygn(x) son ortogonales en un intervaloa≤x≤b, si la integral del producto gm(x)gn(x) sobre ese intervalo es igual a cero si m6=n es decir:

Z b

a

gm(x)gn(x)dx= 0, m 6=n (2.1)

El conjunto de funciones g0, g1, g2, . . . que satisfacen (2.1) para todos los pares de funciones

distintas en el conjunto, es un conjunto ortogonal de funciones en ese intervalo. La integral

N(gm) =

Z b

a

gm2(x)dx (2.2)

se conoce como la norma de la funci´on gm(x) en el intervalo [a, b].

Las funcionesgm(x) = cos(mx) forman un conjunto ortogonal en el intervalo−π ≤x≤π, puesto que:

Z π

−π

cos(mx) cos(nx)dx= 0, m6=n (2.3)

La norma de este grupo de funciones es:

N(cos(mx)) =

Z π

−π

cos2(mx)dx=

2π, m= 0

π, m= 1,2. . . (2.4)

(3)

De forma similar, si se considera el conjunto de funciones gm(x) = sin(mx) forman un conjunto ortogonal en el intervalo−π ≤x≤π debido a que:

Z π

−π

sin(mx) sin(nx)dx= 0, m6=n (2.5)

y con norma:

N(sin(mx)) =

Z π

−π

sin2(mx)dx=

0, m = 0

π, m= 1,2. . . (2.6)

Por ´ultimo, se considera la siguiente integral:

Z π

−π

cos(mx) sin(nx)dx= 0, ∀m, n= 0,1,2, . . . (2.7)

Otros conjuntos de funciones ortogonales se analizaran mas adelante. Las relaciones (2.3) -(2.7) se utilizaran para hallar los coeficientes de la serie trigonom´etrica o de Fourier.

Si se quiere representar una funci´on peri´odica f(x), con periodo 2π, mediante una serie de Fourier, se tiene que:

f(x) =a0 +

X

n=1

ancos(nx) +bnsin(nx) (2.8)

en donde los coeficientes a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . son constantes reales desconocidas. Si se

integra la ecuaci´on (2.8) con respecto a la variable x desde−π hasta π se tiene que:

Z π

−π

f(x)dx =a0 Z π

−π

dx+ ∞

X

n=1

an

Z π

−π

cos(nx)dx+bn

Z π

−π

sin(nx)dx

(2.9)

Gracias a la ecuaciones (2.3) y (2.5) con m= 0 tenemos entonces:

Z π

−π

f(x)dx=a0 Z π

−π

dx=a0·2π (2.10)

Ahora si la ecuaci´on (2.8) se multiplica por cos(mx) y se integra desde−π hasta π se tiene que:

Z π

−π

f(x) cos(mx)dx=a0 Z π

−π

cos(mx)dx

+ ∞

X

n=1

an

Z π

−π

cos(mx) cos(nx)dx+bn

Z π

−π

cos(mx) sin(nx)dx

(2.11)

(4)

igual a cero si m 6= n y es igual a π para m = n. Por lo tanto, para cada valor m el ´unico termino de la sumatoria que es diferente de cero se obtiene cuando m =n. Por lo tanto de (2.11) se tiene que:

Z π

−π

f(x) cos(mx)dx=amπ (2.12)

De forma similar, si se multiplica la ecuaci´on (2.8) por sin(mx) y se integra desde −π hasta

π se obtiene que:

Z π

−π

f(x) sin(mx)dx=a0 Z π

−π

sin(mx)dx

+ ∞

X

n=1

an

Z π

−π

sin(mx) cos(nx)dx+bn

Z π

−π

sin(mx) sin(nx)dx

(2.13)

Mediante las relaciones (2.5), (2.6) y (2,7) se tiene:

Z π

−π

f(x) sin(mx)dx=bmπ (2.14)

As´ı de las ecuaciones (2.10), (2.12) y (2.14) y haciendo el cambio m → n se obtienen las f´ormulas de Euler que nos sirven para calcular los coeficientes de Fourier.

a0 =

1 2π

Z π

−π

f(x)dx (2.15)

an= 1

π Z π

−π

f(x) cos(nx)dx (2.16)

bn= 1

π Z π

−π

f(x) sin(nx)dx (2.17)

La clase de funciones que pueden representarse mediante series de Fourier es sorprendente-mente grande y general. Las condiciones suficientes se dan en el siguiente teorema:

Teorema: Condiciones de Dirichlet. Si una funci´on peri´odica f(x) es seccionalmente continua y tiene derivada por la izquierda y por la derecha en cada punto del intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es convergente. Su suma es igual af(x), excepto en un punto x0, en el cual f(x) es discontinua, donde la serie converge al promedio de los

l´ımites desde la derecha y desde la izquierda de f(x) en x0.

La demostraci´on de este teorema puede encontrarse en libros especializados.

(5)

Ejemplo 1: Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier para la funci´on:

f(x) = x2 para −π ≤x≤π con f(x+ 2π) = f(x)

Soluci´on:Aplicando las f´ormulas de Euler se tiene:

Figura 2: Gr´afico def(x)

a0 =

1 2π

Z π

−π

x2dx= 1 2π x3 3 π −π = π 2 3

an= 1

π Z π

−π

x2cos(nx)dx

= 1

π (

x2sin(nx) n π −π −2 Z π −π

xsin(nx)

m dx

)

= 1

π (

x2sin(nx) n π −π −2 "

−xcos(nx)

n2 π −π + Z π −π

cos(nx)

n2 dx #)

Luego el primer y tercer termino son 0, y lo anterior se puede reescribir como:

an = 1

π

4πcos(nπ)

n2

= 4(−1) n

n2

Ahora para bn:

bn= 1

π Z π

−π

x2sin(nx)dx= 0

Esto ´ultimo dado a la imparidad de la funci´on. Con lo que tenemos finalmente:

f(x) = π

2 3 + ∞ X n=1 4(−1)n

n2 cos(nx)

(6)

Si consideramos solo 3 t´erminos de la serie de Fourier, podemos notar la aproximaci´on, que se ve en la siguiente figura.

Figura 3: Comparaci´on de la funci´on con su serie de Fourier (3 terminos).

3.

Paridad e Imparidad

En el ejemplo anterior se explico quebn era igual a 0, dado que se estaba calculando una integral de una funci´on impar. Se dice que una funci´on es par cuando:

g(−x) = g(x) (3.1)

es decir es sim´etrica con respecto al eje de las ordenadas.

Una funci´on es impar si:

g(−x) = −g(x) (3.2)

(7)

El producto ϕ(x) = g(x)h(x) donde g es funci´on par y h es impar, nos dice que ϕes impar, en efecto:

ϕ(−x) =g(−x)h(−x) =g(x)(−h(x)) = −ϕ(x) (3.3)

De igual forma es posible mostrar que el producto de 2 funciones pares o 2 funciones impares entrega una funci´on par.

En el caso de tener integrales definidas en l´ımites sim´etricos tenemos en una funci´on par:

Z a

−a

g(x)dx=

Z 0

−a

g(x)dx+

Z a

0

g(x)dx

=

Z a

0

g(−x)dx+

Z a

0

g(x)dx

= 2

Z a

0

g(x)dx (3.4)

An´alogamente para una funci´on impar:

Z a

−a

h(x)dx=

Z 0

−a

h(x)dx+

Z a

0

h(x)dx

=

Z a

0

h(−x)dx+

Z a

0

h(x)dx

= 0 (3.5)

As´ı notando las f´ormulas de Euler y usando que cos(x) es par y sin(x) es impar podemos notar que dependiendo si el tipo de funci´on, se anularan coeficientes.

Por lo tanto sif(x) es par se tendr´abn= 0 y por lo tanto:

f(x) =a0+

X

n=1

ancos(nx) (3.6)

con coeficientes:

a0 =

1

π Z π

0

f(x)dx (3.7)

an = 2

π Z π

0

f(x) cos(nx)dx (3.8)

De la misma forma si f(x) es impar se tendr´a a0 =an= 0 y por lo tanto:

f(x) = ∞

X

n=1

bnsin(nx) (3.9)

con coeficientes:

bn = 2

π Z π

0

(8)

Ejemplo 2: Encontrar la serie de Fourier de la funci´on f(x) = x+π para −π≤x≤π.

Figura 5: Gr´afico def(x)

Soluci´on:Al observar la figura notamos que no es par ni impar, perof(x) =g(x) +π, donde

g(x) =xes una funci´on impar, por lo que simplemente calculamos la serie de Fourier a g y sumamos π. De esta forma, a0 =an = 0 y adem´as:

bn= 2

π Z π

0

xsin(nx)dx

= 2

π (

−xcos(nx)

n

π

0

+

Z π

0

cosnxdx )

= 2

π (

−xcos(nx)

n

π

0

+ sin(nx)

n

π

0 )

= 2(−1) n+1

n

Por lo tanto su representaci´on en serie de Fourier queda:

f(x) =π+ ∞

X

n=1

2(−1)n+1

n sin(nx)

(9)

Figura 6: Comparaci´on de f(x) con su serie de Fourier

4.

Funciones de periodo arbitrario

Hasta el momento se ha trabajado con funciones de periodo 2π. La transici´on a funciones de periodo arbitrario T se realiza mediante un cambio de escala.

Suponga que f(t) tiene periodo T. Entonces puede introducirse una nueva variable x de manera que f(t) se convierta en una funci´on de periodo 2π. Es decir:

t = T

2πx (4.1)

f(t) = f

T

2πx

(4.2)

como la funci´on f(x) tiene periodo 2π podemos utilizar la ecuaci´on (2.8) para determinar su serie de Fourier:

f

T

2πx

=a0+ ∞

X

n=1

(10)

y con coeficientes:

a0 =

1 2π Z π −π f T

2πx

dx (4.4)

an= 1 π Z π −π f T

2πx

cos(nx)dx (4.5)

bn= 1 π Z π −π f T

2πx

sin(nx)dx (4.6)

Ahora mediante el cambio de variable inverso:

x= 2π

T t (4.7)

dx = 2π

T dt (4.8)

tenemos las series de Fourier con periodo arbitrario:

f(t) =a0+

X

n=1 ancos

2πn T t

+bnsin

2πn T t (4.9) con coeficientes:

a0 =

1

T Z T /2

−T /2

f(t)dt (4.10)

an= 2

T Z T /2

−T /2

f(t) cos

2πn T t

dt (4.11)

bn= 2

T Z T /2

−T /2

f(t) sin

2πn T t

dt (4.12)

Es com´un, dada la alta utilidad en an´alisis de se˜nales, utilizar la frecuencia natural de una funci´onf(x) de periodo T dada por:

ω0 =

T (4.13)

y con esto tener representar la serie de Fourier de una forma mas reducida:

f(x) =a0 +

X

n=1

ancos(nω0x) +bnsin(nω0x) (4.14)

con coeficientes:

a0 =

1

T Z

T

f(x)dx (4.15)

an= 2

T Z

T

f(x) cos(nω0x)dx (4.16)

bn = 2

T Z

T

(11)

donde

Z

T

representa integrar en un periodo T cualquiera.

Por otra parte el an´alisis de paridad e imparidad sigue siendo valido, por lo que si f(x) es una funci´on par de periodoT su serie de Fourier es:

f(x) =a0+

X

n=1

ancos(nω0x) (4.18)

y con coeficientes:

a0 = 2

T Z T /2

0

f(x)dx (4.19)

an = 4

T Z T /2

0

f(x) cos(nω0x)dx (4.20)

As´ı mismo si f(x) es funci´on impar con periodo T su serie de Fourier es:

f(x) = ∞

X

n=1

bnsin(nω0x) (4.21)

con coeficientes:

bn = 4

T Z T /2

0

f(x) sin(nω0x)dx (4.22)

Ejemplo 3: Halle la serie de Fourier para la funci´onf(x) =x−x2 para 0x1.

Soluci´on: Como la funci´on anterior solo esta definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 se puede hacer una funci´onf(x) peri´odica repitiendo la funci´on como se ve en la figura:

Figura 7: Gr´afico def(x)

Por lo tanto la funci´on resultante f(x) es par y de periodo T = 2. Por consiguiente, los coeficientesbn ser´an iguales a cero. Los coeficientes a0 yan se hallan mediante las ecuaciones (4.19) y (4.20) de la siguiente manera:

a0 =

Z 1

0

(x−x2)dx=

x2

2 −

x3

3

1

0

(12)

an = 2

Z 1

0

(x−x2) cos(πnx)dx

= 2

cos(πnx)

n2π2 +

xsin(πnx)

2xcos(πnx)

n2π2 −

2 sin(πnx)

n3π3 +

x2sin(nπx)

1

0

= 2

cos(nπ)−1

n2π2 −

2 cos(nπ)

n2π2

=−2(1 + cos(nπ))

n2π2

Por lo que su serie de Fourier corresponde:

f(x) = 1 6−

X

n=1

2(1 + cos(nπ))

n2π2 cosnx

Si se toman 3 t´erminos de la serie de Fourier se puede ver la aproximaci´on en la figura 8:

Figura 8: Comparaci´on de la funci´on con su serie de Fourier (3 terminos).

Los desarrollos en series de Fourier de los ejemplos 2 y 3 muestran un hecho interesante e importante. En el ejemplo 2 la funci´onf(x) no era continua y los coeficientes de la serie de-crecen con una rapidez proporcional a 1/n. Por otra parte, en el ejemplo 3 la funci´onf(x) era continua pero su derivada no y los coeficientes decrecen con una rapidez proporcional a 1/n2.

(13)

5.

Formas alternativas de la Serie de Fourier

5.1.

Forma de Laboratorio

Se conoce la identidad trigonom´etrica:

rcos(Θ +ϕ) =pcos(Θ) +qsin(Θ) (5.1)

donde:

r=pp2 +q2 tan(ϕ) = q

p (5.2)

As´ı utilizando dicha identidad sobre cada par seno-coseno de la serie (4.14) se tiene:

f(x) = A0+

X

n=1

Ancos(nω0x+ϕn) (5.3)

A esta expresi´on se conoce a veces como forma de laboratorio de la serie de Fourier, donde:

A0 =a0 (5.4)

An =

p a 2

n +bn2 (5.5)

tan(ϕn) = −

bn

an

(5.6)

5.2.

Forma Exponencial Compleja

Utilizando las siguientes igualdades:

cos(nω0x) =

einω0x+e−inω0x

2 (5.7)

sin(nω0x) =

einω0xe−inω0x

2i (5.8)

Dondei2 =−1. As´ı la sustituci´on de estas igualdades en la ecuaci´on (4.14) da como resultado:

f(x) =a0 +

X

n=1 an

einω0x+e−inω0x

2 +bn

einω0xe−inω0x

2i (5.9)

teniendo en cuenta que 1/i=−i, se puede organizar la ecuaci´on de la siguiente manera:

f(x) = a0+

X

n=1

an−ibn

2 e

inω0x+an+ibn

2 e

(14)

Si ahora definimos:

C0 =a0 (5.11)

Cn=

an−ibn

2 (5.12)

C−n=

an+ibn

2 (5.13)

y se reemplazan en (5.10) se obtiene:

f(x) =C0+

X

n=1

Cneinω0x+ −∞

X

n=−1

Cneinω0x (5.14)

Si notamos queC0 =C0ei0 entonces podemos agrupar los t´erminos para obtener:

f(x) = ∞

X

n=−∞

Cneinω0x = ∞

X

n=−∞

Cnei2πnx/T (5.15)

Lo anterior se conoce como la forma compleja de la serie de Fourier. Dichos coeficientes est´an dados por:

Cn = 1

T Z

T

f(x)e−inω0xdx= 1

T Z

T

f(x)e−i2πnx/Tdx (5.16)

Ejemplo 4: Encuentre los coeficientesCn de la funci´on: f(x) = cos2(x)

Soluci´on:Aprovechando la identidad trigonom´etrica:

cos2(x) = 1 + cos(2x) 2

Con esto ya tenemos una funci´on peri´odica con periodo π, por lo que su serie de Fourier es:

cos2(x) = 1 2 +

1

2cos(2x)

Es decir:

a0 =

1

2 ∧ a1 = 1 2

y an= 0 para todo n = 2,3. . . y bn = 0 para todo n= 1,2. . ., luego usando (5.11), (5.12) y (5.13) se tiene:

C0 =

1 2

C1 =

1 4

C−1 =

Figure

Figura 1: Una funci´on peri´odica de periodo T

Figura 1.

Una funci on peri odica de periodo T. View in document p.1
Figura 2: Gr´afico de f(x)

Figura 2.

Gr a co de f x . View in document p.5
Figura 4: Funci´on par y funci´on impar.

Figura 4.

Funci on par y funci on impar . View in document p.6
Figura 3: Comparaci´on de la funci´on con su serie de Fourier (3 terminos).

Figura 3.

Comparaci on de la funci on con su serie de Fourier 3 terminos . View in document p.6
Figura 5: Gr´afico de f(x)

Figura 5.

Gr a co de f x . View in document p.8
Figura 6: Comparaci´on de f(x) con su serie de Fourier

Figura 6.

Comparaci on de f x con su serie de Fourier. View in document p.9
Figura 7: Gr´afico de f(x)

Figura 7.

Gr a co de f x . View in document p.11
Figura 8: Comparaci´on de la funci´on con su serie de Fourier (3 terminos).

Figura 8.

Comparaci on de la funci on con su serie de Fourier 3 terminos . View in document p.12

Referencias

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