MA1101-1 - Introducci´on al ´Algebra. Semestre 2011-01 Profesor: Jaime Ortega.
Auxiliares: Sebasti´an Reyes Riffo, Andrea Vidal Salazar.
Clase auxiliar 10
24/Mayo
P1. Sean (G,∗) y (H,◦) grupos con neutroseG y eH respectivamente. Sedefine G×H la ley de composici´on interna4 por:
(a, b)4(c, d) = (a∗b, b◦d) a) Demuestre que (G×H,4) es grupo.
b) Demuestre que las funciones φ y ϕdefinidas por: ϕ:G×H −→G
(g, h) 7−→ϕ((g, h)) =g y,
ψ :G×H −→H
(g, h) 7−→ψ((g, h)) =h son homomorfismos sobreyectivos.
P2. a) Sean (G,∗) un grupo abeliano yH, K ⊂Gdos subgrupos de G. Probar que el conjunto H∗K ={h∗k |h∈H, k ∈K}
es subgrupo de (G,∗).
b) Sea (G,∗) grupo finito de orden 4, es decir |G|= 4, con neutro e∈G. Pruebe que ∀a∈G\ {a}, a3 6=e (a3 =a∗a∗a)
Indicaci´on: Argumente por contradicci´on y use el Teorema de Lagrange. P3. Se define enR2 la l.c.i ∗ de la siguiente forma:
∀(a, b),(c, d)∈R2 (a, b)∗(c, d) = (ac, bc+d) Se pide:
a) Estudiar la commutatividad de ∗ enR2. b) Estudiar la asociatividad de ∗ en R2.
c) Determine el neutro de R2 para ∗.
Propuestos
P4. Sea G={x∈R|0≤x <1}, demuestre que G dotado de la operaci´on4 es grupo y adem´as que es abeliano. Seanx, y ∈R se define 4 de la siguiente manera:
x4y=x+y−[x+y]
Indicaci´on: [x]: Funci´on parte entera y {x}=x−[x] se llama parte fraccionaria de x. P5. Sea (G,∗) grupo, sean x, y ∈G, se define commutador de x ey como:
[x, y] =x∗y∗x−1∗y−1
Si (L,4) es grupo y f : (G,∗)−→(L,4) es un morfismo de grupos. Pruebe que se cumple lo siguiente:
f([x, y]) = [f(x), f(y)]
P6. Sea G un grupo con neutroe∈G, y una relaci´on de orden sobreG tal que (∀x, y, z ∈G) (xy)⇒(x∗z y∗z)
Sean los conjuntosG+ ={x∈G|ex}, G−={x∈G|xe}. Demuestre que
(a) G+∩G−={e}.
(b) (∀x∈G) (x∈G+ ⇒x−1 ∈G−).
(c) (G+,∗) es una estructura algebraica.
(d) Si la relaci´on de orden es total, entonces G+∪G− =G.
(e) Si G+∪G− =G, entonces la relaci´on de orden es total.
P7. Sea (G,∗) grupo, no necesariamente abeliano con neutro e.
a) Para a∈G, se define la funci´on Ia :G−→Gtal que Ia=a∗x∗a−1. Donde a−1 es el inverso dea en G. Pruebe que Ia es un isomorfismo de (G,∗) en (G,∗).
b) Se definen los conjuntos A={f :G−→G|f es un isomorfismo de G enG} y B ={g :G−→G|g es biyectiva}. Demuestre que (A,◦) es subgrupo de (B,◦) (◦ es la composici´on de funciones).
c) Pruebe que la funci´on
φ: (G,∗) −→(A,◦) a 7−→φ(a) = Ia
MA1101-1 - Introducci´on al ´Algebra. Semestre 2011-01 Profesor: Jaime Ortega.
Auxiliares: Sebasti´an Reyes Riffo, Andrea Vidal Salazar.
Pauta Clase auxiliar 10
24/Mayo
P1. Sean (G,∗) y (H,◦) grupos con neutroseG y eH respectivamente. Sedefine G×H la ley de
composici´on interna4 por:
(a, b)4(c, d) = (a∗c, b◦d)
a) Demuestre que (G×H,4) es grupo.
b) Demuestre que las funciones φ y ϕdefinidas por:
φ:G×H −→G
(g, h) 7−→φ((g, h)) =g y,
ψ :G×H −→H
(g, h) 7−→ψ((g, h)) =h
son homomorfismos sobreyectivos.
Soluci´on:
a) Para demostrar que es grupo tenemos que corroborar tres propiedades: Neutro, Existencia de inverso y Asociatividad.
• Neutro
Sea (a, b)∈G×H y sea nuestro posible neutro (e1, e2)∈G×H
(a, b)4(e1, e2) = (a, b)
(a∗e1, b◦e2) = (a, b)
Por igualdad de pares ordenados, tenemos lo siguiente:
a∗e1 =a b◦e2 =b
Como (G,∗),(H,◦) son grupos, ambos con neutroseG y eH respectivamente.
Adem´asa ∈G y b ∈H, podemos ver que e1 =eG y e2 =eH. Por tanto el neutro
en G×H es (eG, eH). (Se debe hacer lo mismo con (e1, e2)4(a, b) ) • Asociatividad Sea (a, b),(c, d),(e, f)∈G×H. Debemos demostrar
[(a, b)4(c, d)]4(e, f) = (a, b)4[(c, d)4(e, f)]
Para esto desarrollaremos los dos lados por separado.
Ahora el lado derecho:
(a, b)4[(c, d)4(e, f)] (a, b)4[(c∗e, d◦f)] (a∗c∗e, b◦d◦f)
Por tanto la l.c.i. es asociativa.
• Inverso Sean (a, b),(x, y)∈G×H donde (x, y) es nuestro candidato a inverso. Entonces tenemos que se cumple lo siquiente:
(a, b)4(x, y) = (eG, eH)
(a, b)4(x, y) = (eG, eH)
(a∗x, b◦y) = (eG, eH)
Nuevamente por igualdad de pares oredenados
a∗y=eG b◦y=eH
Como G, H son grupos sabemos que los inversos de a−1, b−1 existen. Por tanto si
tomamos la primera expresi´on
a∗x=eG /a−1∗
a−1∗a
| {z }
eG
∗x=a−1∗eG
| {z }
a−1
eG∗x=a−1
x=a−1
De igual manera con la segunda expresi´on.
b◦y =eH /b−1◦
b−1◦b
| {z }
eH
◦y =b−1◦eH
| {z }
b−1
eH ◦y =b−1
y =b−1
Por tanto nuestro inverso existe y es (a−1, b−1) y por tanto (G×H,4) es grupo.
b) Para demostrar que son morfismos(homomorfismos) sobreyectivos vamos a ver si es morfismo y luego sobreyectivo. Lo haremos con la funci´on φ porque el otro caso es an´alogo.
• Morfismo Sean (a, b),(c, d)∈G×H. Entonces comoG×H est´a dotado de la l.c.i 4tenemos:
φ((a, b)4(c, d)) =φ((a∗c, b◦d)) =a∗c
=φ((a, b))∗φ((c, d))
Por lo tanto φ es morfismo.
• Sobreyectividad Por definici´on de epiyectividad tenemos que:
∀g ∈G ∃(a, b)∈G×H φ((a, b)) =g
Para este caso hay que encontrar el buen (a, b), si nos fijamos bien, el par
ordenado indicado es (g, b) dondeb puede ser cualquier elemento de H. Por tanto la funci´on es sobreyectiva y adem´as morfismo, lo que se conoce con el nombre de epimorfismo.
P2. a) Sean (G,∗) un grupo abeliano yH, K ⊂Gdos subgrupos de G. Probar que el conjunto
H∗K ={h∗k |h∈H, k ∈K}
es subgrupo de (G,∗).
b) Sea (G,∗) grupo finito de orden 4, es decir |G|= 4, con neutro e∈G. Pruebe que
∀a∈G\ {e}, a3 6=e (a3 =a∗a∗a)
Indicaci´on: Argumente por contradicci´on y use el Teorema de Lagrange.
Soluci´on:
a) Como son subgrupos, por ende son grupos, basta mostrar queH∗K en subgrupo, para ello ocupamos la propiedad:
(H∗K,∗) es subgrupo de (G,∗)⇐⇒ ∀(h1, k1),(h2, k2) (h1, k1)∗(h2, k2)−1 ∈H∗K
Entonces:
(h1, k1)∗(h2, k2)−1 =h1, k1∗k2−1∗h −1 2
=h1∗h−21
| {z }
∈H
∗k1∗k2−1
| {z }
∈K
Porque H, K son grupos y G abeliano.
b) Ocupemos la indicaci´on, supongamos que a3 =e eso significa quea2∗a=e y
como G es grupo se tiene que a−1 existe.
a2∗a =e/∗a−1 a2∗a∗a−1
| {z }
e
=e∗a−1
a2 =a−1
Lo que significa que a2 es el inverso de a, como ya tenemos un neutro e,
correspondiente a G. Podemos formar un subgrupo, el cual ser´ıa H ={a, a2, e}.
Pero |H|= 3 y como es subgrupo de G deber´ıa dividir al cardinal de G(Por Lagrange) lo cual es una contradicci´on, por tanto a3 6=e.
P3. Se define enR2 la l.c.i ∗ de la siguiente forma:
∀(a, b),(c, d)∈R2 (a, b)∗(c, d) = (ac, bc+d) Se pide:
a) Estudiar la commutatividad de ∗ enR2. b) Estudiar la asociatividad de ∗ en R2.
c) Determine el neutro de R2 para ∗.
d) Determine qu´e elementos son invertibles para ∗ y calcule sus inversos.
e) Determine qu´e elementos son idempotentes para ∗ enR2. Soluci´on:
a) Como ya tenermos el resultado de (a, b)∗(c, d) en el enunciado, veremos que pasa con (c, d)∗(a, b)
(c, d)∗(a, b) = (ca, da+b)
Lo cual es distinto por tanto el grupo no es commutativo.
b) Sean (a, b),(c, d),(e, f)∈R2 Debemos probar que:
[(a, b)∗(c, d)]∗(e, f) = (a, b)∗[(c, d)∗(e, f)]
Partamos por el lado izquierdo:
[(a, b)∗(c, d)]∗(e, f) = (ac, bc+d)∗(e, f) = (ace,(bc+d)e+f)
= (ace, bce+de+f)
Ahora el otro lado:
(a, b)∗[(c, d)∗(e, f)] = (a, b)∗(ce, de+f) = (ace, bce+de+f)
c) Para determinar el neutro se hace lo mismo de siempre: Sea (a, b),(e1, e2)∈R2 donde
(e1, e2) es nuestro candidato a neutro.
(a, b)∗(e1, e2) = (a, b)
(a, b)∗(e1, e2) = (a, b)
(ae1, be1+e2) = (a, b)
Por igualdad de pares oredenado se tiene lo siguiente:
ae1 =a be1+e2 =b
Como estamos trabajando enR2, de la primera expresi´on podemos obtener quee 1 = 1
ya que es el neutro de la multiplicaci´on. Por tanto si ocupamos aquello en la otra expresi´on tendremos queb+e2 =b y el neutro para la suma enR2 es 0, lo que implica
quee2 = 0. Por ende podemos concluir que el neutro el (1,0).(Hay que verificar por el
otro lado tambi´en)
d) Para determinar los inversos, nos damos un candidato. En nuestro caso va a ser (x, y)∈R2. OJO si (a, b)∈R2 es invertible , como (R2,∗) es asociativa su inverso es
´
unico. Entonces lo que tenemos que hacer es lo siguiente:
(a, b)∗(x, y) = (1,0)
(a, b)∗(x, y) = (1,0)
(ax, bx+y) = (1,0)
Por igualdad de pares ordenados tenemos las siguientes expresiones:
ax = 1 y bx+y= 0
De la primera podemos deducir que x= 1a, por tanto y= −ab. Por lo tanto nuestro inverso tiene la forma: (1a,−ab), por lo tanto los elementos son invertibles si y solo si
a6= 0. (Para el otro lado se debe hacer).
e) Debemos encontrar los elementos idempotentes, es decir que:
(a, b)∗(a, b) = (a, b)
(a, b)∗(a, b) = (a, b) (aa, ba+b) = (a, b)
De lo anterior, por igualdad de pares ordenados tenemos:
a2 =a y (ba+b =b)⇐⇒ba= 0
