SOLUCIONES ESPACIO EUCLÍDEO Enunciado 1 Se considera el sistema de ecuaciones lineales

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(1)

1

SOLUCIONES ESPACIO EUCLÍDEO Enunciado 1

Se considera el sistema de ecuaciones lineales 3

: 1

1 x y z A w b x y z x y z

   

    

     

a) Expresión matricial. Discusión del sistema. Resolución e interpretación geométrica

b) Considerar la matriz

A

del sistema como matriz de una aplicación lineal:  Expresión matricial

 Calcular la Imagen y el Núcleo

 Interpretar las soluciones al considerar el vector

b

de los términos independientes: b

3,1, 1

t

c) Obtener una nueva matriz

A

'

si se considera la nueva base formada por los vectores de la Imagen y del núcleo.

Solución

a) Expresión matricial, discusión y resolución del sistema

Expresión matricial:

1 1 1 3

1 1 1 1

1 1 1 1

x y z

     

    

     

    

     

2 1 3 2

3 1

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2

1 1 1 1 0 2 0 2 0 0 0 0

1 1 1 3 2

0 2 0 2 1

0 0 0 0

F F F F

F F x y z

x x

y y

z z

 

 

       

 

      

     

       

 

      

      

     

    

      

Como el rango de la matriz del sistema es 2 y coincide con el rango de la matriz ampliada, el sistema es Compatible pero como el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas el sistema resulta Indeterminado.

Se trata por tanto de una recta que pasa por el punto P(2,1, 0) y tiene la dirección del vector wr  ( 1, 0,1)t. La recta se puede expresar:

Punto Vector

2 1

2

2 1

ó bien ó bien 1 0 1

1 0 1

0 1

x x z

x y z

y y

z

     

  

       

        

     

     

b) Estudiar dicha matriz en el caso de aplicación lineal.

3

1 2 3

3 3

1 2 3

( ) ( ) ( )

1 1 1 '

, , : ; 1 1 1 '

1 1 1 '

f e f e f e

x x

B e e e f y y

z z

    

    

 

      

    

    

(2)

2

Como C3C1, una base del subespacio Imagen estará formada por las dos primeras columnas. dim(Im )f  r rg A( )2. Como

Im

f

3 la aplicación no es sobreyectiva

Im 1 2

1

1

3

1

1

( )

1

( )

1

;

Im

1

2 1

1

1

1

1

1

1

f

B

f e

f e

b

f

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

   

Al pertenecer

b

Im

f

tiene antecedente/s. Por tanto el sistema es compatible

En cuanto al núcleo coincide con el sistema de ecuaciones lineales homogéneo

1 2 2 3

1 1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 0 0 2 0 0 0 ; 0

1 1 1 0 0 0 0 0 1

Kerf r F F

F F

x x x

y y y B w

z z z

  

    

              

  

         

           

          

               

La dimensión del núcleo será: dim(Kerf)    n r 3 2 1 Volviendo a las ecuaciones paramétricas de la recta

ker

1 ker

2 1 1

1 0 ; ker 0 0

0 1 1

g P r

f r

w w w f

x x

y f y B w

z z

 

 

     

        

  

       

       

        

         

Las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio afín constan : Solución general (vector genérico de la recta)

: Solución particular (vector posición del punto P. Para 0) Base del núcleo o también

: ker

: Vector director de la recta o ta

r

g

P

g P r r

r w w w

w w w w f

w S

 

   

 

 Base del subespacio engendrado por mbién

: Parámetro que sirve para obtener todos los puntos de la recta r

w

  

 

 

  

c) Obtener una nueva matriz

A

'

si se considera la nueva base formada por los vectores de la Imagen y del núcleo.

 

 

1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 1 2 3

1

1

1

1

1

1

,

,

, ,

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1 / 2

1 1 / 2

1 / 2

1 1 / 2

, ,

,

,

1 / 2

0 1 / 2

1 / 2

0 1 / 2

0

1

1

0

1

1

u u u

e e e

P

e e e

u u u

P

1

1 / 2

1 1 / 2

1

1

1

1

1

1

0

2

0

1 / 2

0 1 / 2

1

1

1

1

1

0

1

1 0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

P

A P





 





 

  





 





 

(3)

3

1 1 2 3 2

1

1

1

1

1

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

f u

e

e

e

u

   

   

   

     

   

   

2 1 2 3 1 2

1

1

1

1

1

( )

1

1

1

1

3

3

3

2

1

1

1

1

3

f u

e

e

e

u

u

   

   

   

 

 

   

   

3 3

( )

0 ya que

ker

f u

u

f

d) Calcular los autovalores y autovectores de la expresión anterior. La ecuación característica es: AI 0.

1 1 1

1 1 1 0 (1 )(2 ) 0

1 1 1

   

      

  

.

Los autovalores son por tanto

0 ,1 ,  2

todos ellos de multiplicidad algebraica 1. Por tanto coincidirá la multiplicidad algebraica con la geométrica y la matriz será diagonalizable.

2 1

0 1 1 0 3 3

0

1: 1 2 1 0 1

2 0

1 1 2 0 1

dim( ) 3 2 1

x x

y z

y y B u

x y z

z z

MG S n r

 

 

    

       

 

   

       

            

  

     

        

     

3 2

1 1 1 0 0 0

0

2 : 1 1 1 0 1

0

1 1 1 0 1

dim( ) 3 2 1

x x

x y z

y y B u

x y z

z z

MG S n r

 

 

    

       

  

   

       

                  

     

        

     

Tomando como nueva base la formada por los autovectores, tras el cambio de base, se obtiene una matriz semejante a la inicial que resulta diagonal, estando situados en la diagonal los autovalores.

1 2 3

 

1 2 3

1 3 0

0 1 1

1 1 1

u u u e e e

 

 

 

 

 

 

1

1 3 0 0 0 0

0 1 1 ; 0 1 0

1 1 1 0 0 2

P PA P

 

   

   

    

   

(4)

4 Enunciado 2

1. En 2 referido a la base canónica

B

 

i j

,

se da otra base

B

'

u u

1

,

2

definida

u

1

  

i

j

;

u

2

 

2

i

j

. 1.1) Comprobar que B' es una base de 2. 1.2) Obtener la matriz de cambio de base.

1.3) Se dan los vectores:

v

 

i

2

j

y

w

2

u

1

u

2. Obtener de forma matricial las coordenadas de cada vector en las bases B y B’ respectivamente.

2. Dada la aplicación Lineal

1 2 1 2 3

2 3

1 1 2 3 2 1 2

, * , ,

: ; ( ) , ( ) 2

B e e B u u u

f f e u u u f e u u

       

2.1) Expresión matricial.

2.2) Se cambia la base del espacio inicial: B'

e1'  e1 e2 ,e2'  e1 2e2

Obtener la matriz de la aplicación lineal.

SOLUCIÓN

1.1 Comprobar que B' es una base de 2.

'

B

es una base de 2 porque los vectores son linealmente independientes ya que

1 2 0 ; ( 1,1) (2, 1) (0,0) 0; 0

u u

            . Además generan 2: ( , )x y  2: ( 1,1)  (2, 1) ( , )x y

1.2 Obtener la matriz de cambio de base.

Matriz de cambio de base:

1 2

 

1

2

1

1

u

u

i

j

1

2

1

1

P

 

1

1

2

1 2

1 ;

1

1

1 1

P

P

 

P

1.3 Se dan los vectores:

v

 

i

2

j

y

w

2

u

1

u

2. Obtener de forma matricial las coordenadas de cada vector en las bases B y B’ respectivamente.

Expresar el vector

w

en la base

B

:

nuevas antiguas

1

2

2

0

1

1

1

1

P

  

 

  

 

  

 

;

2

v

i

j

w

j

 

 

Expresar el vector

v

en la base

B

'

:

1 antiguas Nuevas

1 2

1

3

1 1

2

1

P

   

   

   

;

1 2 1 2

3

2

v

u

u

w

u

u

 

  

2 1 2

; También 1 0

2 1 1

x x y

y x y

  

  

     

 

  

    

(5)

5

También puede hacerse directamente:

1 2

2

2(

) (2

)

w

u

u

   

i

j

i

j

j

1

;

2

2

u

  

i

j

u

  

i

j

i

 

u

1

u

2

,

j

2

u

1

u

2

1 2

 

1 2

1 2

2

2 2

3

v

 

i

j

u

u

u

u

 

u

u

2. Dada la aplicación Lineal

1 2 1 2 3

2 3

1 1 2 3 2 1 2

, * , ,

: ; ( ) , ( ) 2

B e e B u u u

f f e u u u f e u u

       

2.1) Expresión matricial.

2.2) Se cambia la base del espacio inicial: B'

e1'  e1 e2 ,e2'  e1 2e2

Obtener la matriz de la aplicación lineal.

SOLUCIÓN

2.1 Expresión matricial

1 2

1

1 2

2 3

( ) ( )

1 1

1 2 ;

1 0

f e f e y

x

y y A x

x y

 

     

      

     

   

   

2.2 Se cambia la base del espacio inicial: B'

e1'  e1 e2,e2'  e1 2e2

Obtener la matriz de la aplicación lineal.

Fórmula de Cambio de Base: A'Q1  A P A' A P

Como en 3 la base no cambia QI .

1', 2'

1, 2

1 1

1 2

P e ee e

 

Por tanto

1 1 2 1

1 1

' 1 2 1 5

1 2

1 0 1 1

A A P

   

 

   

    

 

   

   

2 1

' 1 5

1 1

A

 

 

 

 

 

También puede hacerse

 

 

'

1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

'

2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

( ) ( ) ( ) 2 2

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 5

f e f e e f e f e u u u u u u u u

f e f e e f e f e u u u u u u u u

           

            

' ' 1 2

'

1 '

' 1

2 '

' 2

3

( ) ( )

2 1

1 5 ; ' ' '

1 1

f e f e y

x

y y A x

x y

 

    

     

     

   

   

Enunciado 3

Se considera el espacio vectorial 3 referido a la base B

e e e1, ,2 3

. Hallar las

coordenadas en la base dual B*

f f1, 2,f3

de la forma lineal que hace corresponder a los vectores de 3

1 2 3

, (2,1,0) ,t (1,1,1) ,t (1,1,0)t

vv v los

(6)

6

Sea

1

1 2 3 2

3

( )

x

f x a a a x

x

   

 

   

Las coordenadas de f en la base dual B* serán

1 1 2 2 3 3

( ) , ( ) , ( )

f ea f ea f ea . Por tanto

1 1 2 1 2 1 2

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 1 2 1 2 1 2

( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) 0

f v f e e f e f e a a

f v f e e e f e f e f e a a a

f v f e e f e f e a a

      

         

      

Resolviendo el sistema resulta: a1 1 ,a2  1 ,a32

Por tanto

1

2 1 2 3

3

1 2 3

( ) 1 1 2 2

2 x

f x x x x x

x

f f f f

  

  

 

 

  

    

Enunciado 4

Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una forma bilineal sea alternada es que sea antisimétrica.

Demostración

a) Si f es alternada se deduce que es antisimétrica

(

,

)

( , )

( , )

( , )

( , )

0

f x

y x

y

f x x

f x y

f y x

f y y

Al ser f alternada

f x x

( , )

0

;

f y y

( , )

0

. Por tanto

( , )

( , )

0

( , )

( , )

f x y

f y x

 

f x y

 

f y x

Luego resulta antisimétrica. b) Si f es antisimétrica se deduce que es alternada

( , )

( , )

f x y

 

f y x

. Haciendo yx resulta

( , )

( , )

2 ( , )

0

f x x

 

f x x

f x x

 

f x x

( , )

0

. Luego es alternada.

Enunciado 5

Sea E un espacio vectorial sobre referido a la base B

e e1, 2

. Demostrar que

existe una forma bilineal alternada D que se denomina función determinante. Solución

Hay que probar que la aplicación D E E:   es una forma bilineal alternada.

1 1 2 2 1 1 2 2

, : ,

x y x x e x e y y e y e

     

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

D x y D x e x e y e y e x y D e e x y D e e x y D e e x y D e e

      

Por ser forma bilineal alternada:

1 1 2 2 1 2 2 1

( , ) ( , ) 0 , ( , ) 1 , ( , ) 1 D e eD e eD e eD e e  

1 1

1 2 2 1

2 2

( , ) x y

D x y x y x y

x y

  

Enunciado 6

En el espacio vectorial 3 referido a la base B

e e e1, ,2 3

se consideran las

(7)

7

1 1 2 3 1 2 3

3

2 1 2 3 1 2 1 2 3

3 1 2 3 1 3

, ,

, , , ,

, ,

g x x x x x x

g x x x x x x x x

g x x x x x

   

   

  

1. Demostrar que son linealmente independientes

2. Hallar la base B de 3 respecto a la cual B*

g g g1, 2, 3

es su base dual.

Solución

1 2 3

1 1 1

1 1 1 , 1 1 0 , 1 0 1 1 1 0 1 0

1 0 1

ggg     

Luego son linealmente independientes.

1 2 3

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 2 1 ' 1 2 1

1 0 1 1 1 0 1 1 0

u u u

R P RB

 

   

         

 

         

           

 

       

         

 

También se puede hacer usando la delta de Kronecker: ( ) , 1 si 0 si i j i j

i j g u

i j

  

 

1

1 1 2

3

1 2 3 1

1

2 1 2 1 2 2 1

3 1 3 3

1

3 1 2

3

( ) 1 1 1 1

1 1 1

( ) 1 1 0 0 0 1 1

1

0 1

( ) 1 0 1 0

x

g u x

x

x x x x

x

g u x x x x u

x x x x

x

g u x

x

  

 

  

   

   

  

   

       

      

       

 

   

 

  

Y así sucesivamente. Enunciado 7

Se consideran 2 bases de 3

1 1 2 3 2 1 2 3

, Ba a a, , , Bb b b, , de modo que

1 1 2

2 1 3

3 1 3

2

a b b

a b b a b b

 

   

   

Se considera la forma bilineal 3 3

:

f  

cuya matriz asociada a la base B1 es

1 0 2

1 1 0 0 1 0 A

 

 

 

 

Hallar la matriz asociada a la base B2

(8)

8

2 3

1

1 1 2

2 1 3 2 1 2 3

3 1 3 3 2

3

0 1 0

2 2

1 1

1

2 2

1 1

1 2

2 2

a a b

a b b

a b b b a a a P

a b b a a

b

 

 

 

   

 

 

 

 

1 1 1 1 1

0 1 0

0

1 0 2

2 2 2 2 2

1 1

' 1 1 1 1 1 0 1 2 4 0

2 2

1 1 0 1 0 1

1 1

0 0 0

1

2 2 2

2 2

t A P A P

 

   

     

    

         

 

   

   

Enunciado 8

Dadas las formas bilineales siguientes sobre 3

. Hallar los valores del parámetro  para los que las formas cuadráticas asociadas sean definidas positivas.

1. f x y( , )5x y1 12x y1 2x y1 32x y2 1x y2 2x y2 3x y3 1x y3 2x y3 3 2. f x y( , )x y1 1x y1 3x y2 22x y2 3x y3 12x y3 2

Solución

1. La matriz de la forma bilineal será

5 2 1

2 1 1

1 1

A

 

 

 

Se verifica que

1 2 3

5 2 1

5 2

5 5 0 , 1 0 , 2 1 1 2 0 2

2 1

1 1

M M M  

            

 

Por tanto si 2 es definida positiva la forma cuadrática asociada. 2. La matriz de la forma bilineal será

1 0 1

0 2

1 2 0

A  

 

 

 

Se verifica que

2

1 2 3

1 0 1

1 0

1 1 0 , 0 , 0 2 4 0

0

1 2 0

M MM    

           

(9)

9 Enunciado 9

Se considera la forma bilineal 3 3

1 2 3 1 2 3

: , ( , , ) , ( , , )

f   xx x x yy y y

1 1 1 3 2 2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 2 3

( , ) 2 ; , ,

f x yx yx yx yx yx yx yx y Be e e 1. Expresión matricial de f.

2. Rango y núcleo de la forma bilineal.

3. En 3

se considera el cambio de base:

1 2 3

1 3 2 3

' 2 2 3

' '

x x x x

y x x

z x x

  

    

    

siendo (x’,y’,z’)

las coordenadas de un vector en una cierta base B’ de 3

. Hallar la expresión matricial de la forma bilineal f en la base B’.

Solución

1.

1

1 2 3 2

3

1 0 1

( , ) 0 1 1

1 1 2 y

f x y x x x y

y

   

   

  

 

   

2. rg A( )2. Por tanto es una forma bilineal degenerada.

El núcleo:

1 1

2 2 ker

3 3

1 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 1 2 0 1

y y

y y B

y y

  

   

       

  

          

       

    

        

3.

1 1

1

2 2

3 3

' 2 2 3 2 2 3 1 1 2

' 1 0 1 1 0 1 1 2 1

' 0 1 1 0 1 1 1 2 2

x x

x x P P

x x

         

     

         

     

   

      

   

         

1 1 1 1 0 1 1 1 2 4 6 8

' 1 2 2 0 1 1 1 2 1 6 9 12

2 1 2 1 1 2 1 2 2 8 12 17

t A P A P

 

     

     

      

    

     

1 2 3

12

3

4 6 8 '

( , ) ' ' ' 6 9 12 '

8 12 17 ' y

f x y x x x y

y

   

   

 

  

   

Enunciado 10

Sea S2 el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden 2 referido a la base 1 0 , 0 1 , 0 0

0 0 1 0 0 1

B       

     

 . Sea una forma bilineal simétrica cuya

expresión matricial en la base B es

1 2 3

12 2

3

1 1 0

( , ) 1 2 1 ,

0 1 1

y

f M N x x x y M N S

y

   

   

    

 

   

1. Rango de f y base del núcleo. De f.

2. Hallar el subespacio conjugado de la matriz 1 2 2 0

 

 

 

(10)

10 Solución

1. Dado que F1F2F3rg A( )2. Por tanto es degenerada. En cuanto al núcleo:

1 2 1

1

2 1 2 3 2

3 2 3 3

0

1 1 0 0 1

1 2 1 0 2 0 1

0 1 1 0 0 1

y y y

y

y y y y y B

y y y y

  

      

 

       

   

        

       

      

         

Este vector corresponde a la matriz 1 1 1 1 

 

 

 

2. Subespacio conjugado:

12

12 1 2 3

3 3

1 1 0

1 2 0 1 2 1 3 5 2 0 3 5 2 0

0 1 1

y y

y y y y y

y y

     

     

     

   

     

Que puede manifestarse mediante la matriz 2 2 2 8

 

 

 

1 2 3

1 1 0

1 1

1 1 0 , 1 0 , 1 2 1 0

1 2

0 1 1

M    M    M   

. Semidefinida positiva.

Enunciado 11

En 4 con el producto escalar habitual, obtener un vector unitario que sea ortogonal a los vectores u

1, 2,1,0 ,

t v

0, 1,1,0 ,

t w

1,1, 2,1

t.

Solución

1 0 1

2 0

2 1 1

0 0 0 0

1 1 2

2 0

0 0 1

x y z

x y z t y z

x y z t

 

   

     

       

  

 

2 2 2 2

3 3

; 9 16 27

4 4

x a a

y a a

v v a a a a a

z a a

t a a

  

  

 

 

   

 

  

unitario

3 1 1 4

27 27 27 27

t

v    

 

Enunciado 12 En 4

con el producto escalar habitual, obtener el subespacio ortogonal de V cuyas ecuaciones implícitas son:

x   y z t 0 , 2x   y z 3t 0

Solución

Los coeficientes de las ecuaciones implícitas del subespacio son las coordenadas de un vector, respectivamente ortogonal.

1 1 1 1 1 ; 2 2 1 1 3

t t

(11)

11

Por tanto un vector ortogonal al subespacio debe ser ortogonal a ambos por tanto a una combinación lineal de ambos. Esto engendra un subespacio que se denomina suplementario ortogonal.

1,1, 1,1 , (2,1, 1,3)

t t

V L   cuya

dimensión es 4

dim( )V dim(V)dim( )dim(V)  4 2 2

, , ,

:

, , ,

1

1 1

1 1

2

2 1

1 3

V

x y z t

V

x y z t

Enunciado 13 En 2

referido a la base canónica B

 

i j, se da otra base

1 2

' ; 2

Bu   i j u  i j .

1. Obtener la matriz de cambio de base.

2. Obtener la matriz de Gram respecto a la base B'.

3. Se dan los vectores: v  i 2j y w2u1u2. Obtener las coordenadas de los vectores v y w en la base B y en la base B'.

4. Obtener el producto escalar

v w

en la base B y en la base B'. 5. Hallar, en la base B’, la proyección ortogonal de v sobre w 6. Obtener la distancia entre ambos vectores en la base B’.

Solución

1.

 

1

1 2

Matriz de cambio de base

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

u ui j   P  P  

 

     

2.

1 1 1 2

Matriz de Gram 2 2

2

2 3

3

3 5 5

u u

u u G

u u

  

 

     

 

 

   

3.

1

1 2 Antiguas Nuevas

1 2 1 3

2 3

1 1 2 1

P

v i j v u u

      

           

 

     

1 2

Nuevas Antiguas

1 2 2 0

2

1 1 1 1

P

wuu           w j

     

4. En la base B:

1 2

0 2 1 v w      

 

En la base B’:

3 1

2 3 2

3 1

1 2

3 5 1 1

v w                

 

     

El Producto Escalar es invariante.

5. 1 2

1 2

Ort. P.O.

3 2

v wz   uu  uuz

Para hallar el valor de  se multiplica la ecuación escalarmente por w

1 2 1 2

0 2 P.O. 2 4 2 ; Ort. 2

w z        w  uu  v w u u

La proyección ortogonal es un invariante.

(12)

12

 

 

5 2

2 3 5 10

3 5 2

vwvw           

 

   

( , ) 10 d v w

En la base canónica: 2 2

3 1 ( 3) 10

v   w i j v w    

La distancia es un invariante. Enunciado 14

Se considera el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1 y el producto escalar

1

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) p x p x

p x p x dx

1. Matriz de Gram del producto escalar referida a la base B

 

1,x . 2. Ángulo que forman los polinomios: p1(x)2+6x y ( )p x2  4 6x.

3. Proyección ortogonal de 2 6 sobre 4-6x x . 4. Hallar la distancia de p x1( ) a ( )p x2

5. Calcular una base ortonormal a partir de la base B

 

1,x . Solución

1. Matriz de Gram: formada por los productos escalares de los vectores de la base:

 

 

 

1 1

11 0 0

1 2 1

12

0

0 1 3 1

22 0

0

( ) ( ) 1 1 1

1 1

1 2

( ) ( ) 1

1 1

2 2

2 3 1

( ) ( )

3 3

g p x p x dx x

x

g p x q x x dx G

x g q x p x x x dx

 

     

 

  

          

   

  

 

     

  

2. Ángulo de 2 polinomios

1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

( ) ( ) 2 1

cos

( ) ( ) 28 4 2 7 1 1 / 2 4

( ) ( ) 2 6 2

1 / 2 1 / 3 6 1 1 / 2 2

( ) ( ) 2 6 28

1 / 2 1 / 3 6 1 1 / 2 4

( ) ( ) 4 6 4

1 / 2 1 / 3 6 p x p x

p x p x p x p x

p x p x

p x p x

   

   

    

   

   

    

   

   

     

   

3. Proyección ortogonal

(2 6 ) xa(4 6 ) xp x( ) Se multiplica escalarmente por (4 6 ) x

1 1

2 4 ; P.O. (4 6 ) ; Ort. 9

2 2

a a x x

     

(13)

13

1( ) 2( ) (4 6 ) (2 6 ) 2 12

1 1 / 2 2

2 12 28 28 2 7

1 / 2 1 / 3 12

p x p x x x x

d

      

   

     

   

5. Base Ortonormal

Paso 1: Elegir v1p x( )1 Paso 2:

 

1

2 1

1 1

1 2 1

1 0 1 1

0

( ) 1 / 2

( ) 1 1 / 2

1 1

( ) 1 ; 1

2 2

1 1 / 2 1 / 2 1 1 / 2 1

1 / 2 1 / 3 1 12 v q x

v q x v x x

v v

x

v q x x dx v v

      

 

       

  

   

 

   

Al dividir por el módulo resulta la nueva base ortonormal:

2

1 2

2 3 2 3

1 2 3

x

v x

 

   

' 1 , 3 2 3

B    x

Enunciado 15

En el espacio geométrico ordinario los ejes son unitarios siendo e1 ortogonal a

2 y 3

e e éstos forman entre si un ángulo de 120º.

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,0,1) y es ortogonal al plano x  y 1 0.

2. Obtener una base ORTONORMAL del espacio vectorial euclídeo.

1 1

vu  

1 2

2 2 1

1 1

v u

v u v

v v

  

  

 

 

1 3  2 3

3 3 1 2

1 1 2 2

v u v u

v u v v

v v v v

     

  

    ;

1 1

1

v e

v

 , 2 2

2

v e

v

 , 3 3

3

v e

v

Solución

Se obtiene en primer lugar la matriz de Gram:

2 2 2

11 1 22 2 33 3

12 13 23 2 3

1; 1; 1

2 1

0 ; cos

3 2

g e g e g e

g g g e e

     

 

      

 

;

1 0 0

1 0 1

2 1

0 1

2 G

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Ecuaciones paramétricas del plano: 1 x y z

  

        

(14)

14 Con vectorial asociado:

1 2

1 0

1 ; 0

0 1

u u V

 

   

 

   

          

 

 

El vector característico del plano (ortogonal), es el vector director de la recta.

3 1

1 0 0 1 0 0 4

2

0 1 1/ 2 1 0

1

0

0 1/ 2 1 0 1 1

2

2 x

x y z

x y z y

y z

z  

 

     

 

 

 

   

 

      

; 3 4 2 v

          

Recta que pasa por P(1,0,1) y tiene por vector director v:

1

1

3

4

2

x

 

y

z

Base ortonormal mediante Gram-Schmidt: 1 v1e1

2

1 2

2 2 1 2

1 1

; v e

v e v e

v v

  

 

 

2 2

ve

3

1 3

2 3

3 3 1 2 3 2

1 1 2 2

1 2

v e v e

v e v v e e

v v v v

     

      

 

    ;

2

3 3

2 e v  e

1 3 2 3

0 1/ 2

  

    

e e

e e

Falta calcular los módulos de los vectores obtenidos:

1 1 1 ; 2 2 1

veve

2

3 3

1 0 0 0

1 1 1 3 3

0 1 0 1 ;

2 2 2 4 2

1 1

0 1

2

 

   

   

   

   

  

 

    

  

 

v v

1 e1

2 e2

2 3

3

2

3

e

e

Enunciado 16

Sea

B

u u

1

,

2

,

u

3

una base de un espacio vectorial EUCLÍDEO de dimensión 3. Se sabe que: 1 2 1 ; 3 2 ; 1 3 2 3; 1 2 .

3 2

uuuu u  u u u u  1. Obtener la Matriz de Gram:

G

en la base B

u u1, 2,u3

2. Comprobar que

G

es definida positiva.

(15)

15 1 1

vu  

1 2

2 2 1

1 1

v u

v u v

v v           

1 3  2 3

3 3 1 2

1 1 2 2

v u v u

v u v v

v v v v

               ; 1 1 1 v e v

 , 2 2

2

v e

v

 , 3 3 3 v e vSolución

La matriz de Gram está formada por los productos escalares de los vectores de la base

B

u u

1

,

2

,

u

3

. g11g221;g334;g13g23  1 2 cos(60)1;g120

1 0 1 0 1 1 1 1 4 G           

Utilizando el criterio de Sylvester se observa que todos los menores principales son positivos: M1  1 0 ;M2  1 0 ;M3 2 0 .

Siguiendo el proceso de Gram-Schmidt: 1 v1u1

2

1 2

2 2 1 2 1

1 1 0 ; 1           v u

v u v u u

v v v2 u2

3

1 3

2 3

3 3 1 2 3

1 1 2 2

     

 

 

   

v u v u

v u v v u

v v v v ;

1 3 2 3 1 1 u u u u      

v3   u1 u2u3 Falta calcular los módulos de los vectores obtenidos:

1  1 1 ; 2  2 1

v u v u

2 3

1 0 1 1

1 1 1 0 1 1 1 2

1 1 4 1

                        v

1  1

e u

e2 u2

1 2 3

2

2 u u u e    

Enunciado 17

En un espacio vectorial EUCLÍDEO E de dimensión 3 referido a la base

1

,

2

,

3

B

u u

u

. La matriz de Gram en dicha base es

1

2

0

2

5

1

0

1

2

G

1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores u1 y u2

2. Comprobar que

G

es definida positiva.

3. Obtener una base ORTONORMAL

B

'

e e

1

,

2

,

e

3

del espacio vectorial euclídeo E.

1 1

vu  

1 2

2 2 1

1 1

v u

v u v

v v           

1 3  2 3

3 3 1 2

1 1 2 2

v u v u

v u v v

v v v v

               ; 1 1 1 v e v

 , 2 2

2

v e

v

 , 3 3 3 v e vSolución

El coseno del ángulo de los vectores u1 y u2:

1 2 1 2

2 2

cos

1 5 5

u u

u u

    

1 2 0

2 5 1

0 1 2

(16)

16

Utilizando el criterio de Sylvester se observa que todos los menores principales son positivos: M1  1 0 ;M2  1 0 ;M3 1 0 .

Siguiendo el proceso de Gram-Schmidt: 1 v1u1

v1 1;

2

1 2

2 2 1 2 1

1 1

2 ; 1

  

   

 

v u

v u v u u

v v v2  2u1u2

3

1 3

2 3

3 3 1 2

1 1 2 2

     

 

 

   

v u v u

v u v v

v v v v ;

1 3

1 2 3

0

2 2(0) ( 1) 1

u u

u u u

 

         

2 2

 

1 2 0 2 2

2 1 0 2 5 1 1 0 1 1 1 1

0 1 2 0 0

v v

 

     

     

        

   

     

2 1

v

3 3 1 2 1 2 3

1

( 2 ) 2

1

 

       

 

v u u u u u u ; v3  2u1u2u3

Se calculan los módulos de los vectores ortogonales

v v v1, 2, 3

obtenidos y se divide por dichos módulos para que resulten vectores unitarios

1 1;

v

v2 1    

2 3

1 2 0 2 2

2 1 1 2 5 1 1 0 0 1 1 1

0 1 2 1 1

v

 

     

     

      

    

     

3 1

v

1 1

e u

e2  2u1u2 e3 2u1u2u3

Este ejercicio podría realizarse mediante el método de Gauss:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 0

2 5 1 4 5 2 2

0 1 2

4 5 2 2 ( 2 ) 2 2 ( )

Z

X Y

x

x y z y x xy y yz z

z

x xy y yz z x y y yz z X y z z X Y Z

   

  

   

 

   

               

2 2 2 1 2 2

0 1 1

0 0 1

antiguas Matriz de Paso nuevas

X x y x X Y Z x X

Y y z y Y Z y Y

Z z z Z z Z

      

       

        

     

 

   

       

1 0 0 1 2 0 1 2 2 1 0 0

2 1 0 2 5 1 0 1 1 0 1 0

2 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1

t

P A P

 

     

     

      

    

     

1 2 3

 

1 2 3

1 2 2

0 1 1

0 0 1

Base ortonormal Base inicial

Matriz de Paso

e e e u u u

 

 

 

 

 

1

1

e

u

Figure

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Referencias

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