EL TRIÁNGULO: UN POLÍGONO CON PROPIEDADES ESPECIALES Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos en la resolución de problemas
Introducción
1. En la papelería de doña Cecilia se sacan fotocopias. Observa la última fotocopia que sacó y luego responde.
¿Cuáles son los cambios que se producen en la fotocopia del cuadro?
_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
¿Qué cosas no cambian cuando se realiza la fotocopia del cuadro?
[image:1.612.60.272.261.662.2]_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
Figura 1. Pintura abstracta
Original
Realiza aquí tus cálculos
[image:2.612.62.241.93.267.2]2. A doña Cecilia le piden que saque una fotocopia ampliada al 150% de la siguiente obra. Utilizando la técnica de la cuadrícula, realiza un dibujo de la fotocopia que le solicitan a doña Cecilia.
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
Original
7,5 cm
7,5 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Fotocopia
El estudiante interpreta los criterios de semejanza en la solución de problemas.
Objetivos de aprendizaje
Actividad 1
1. Observa la imagen original y su fotocopia, halla la medida de sus lados utilizando una regla. Luego, completa.
Comparando fotocopias
• El estudiante distingue la semejanza entre figuras geométricas.
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
Original
7,5 cm
7,5 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Fotocopia
Escribe la razón entre las medidas de dos pares de lados correspondientes cualquiera. Luego, contesta.
Compara las razones, ¿qué puedes concluir ?____________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
[image:4.612.127.492.64.524.2]2. Halla las medidas de los lados de cada pareja de figuras. Luego, escribe la razón entre tres lados correspondientes en cada una.
a.
b.
c.
Razón:
Razón:
[image:5.612.50.564.104.708.2]Razón:
Figura 4Figura 5
Como las _____________ entre las ____________de los lados ______________ son iguales, los _________ son semejantes.
Los segmentos de las figuras semejantes cumplen una relación de _________________________. 3. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa.
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
Original
7,5 cm
7,5 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Fotocopia
Razón:
4
6 =
=
7,5
5
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
Original
7,5 cm
7,5 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Fotocopia
Razón:
4
[image:6.612.43.563.92.688.2]6 =
=
7,5
5
b. 8 40
__________________
3 15
c. 15 3
__________________
3 15
e. 21 63
__________________
3 9
f. 9 27
__________________
6 18
d. 5 10
__________________
10 15
4. A continuación encontrarás varias parejas de fracciones, que representan razones entre las medidas de lados correspondientes de dos figuras. Determina cuáles de ellas representan lados semejantes y enciérralas con color azul.
a. 3 15
__________________
6 30
5. Observa nuevamente la imagen original y su fotocopia, usando un transportador, halla la medida de sus ángulos. Luego, completa.
145°
70°
145°
90°
90°
Original
145°
145°
90°
90°
70°
¿Qué puedes concluir al comparar los ángulos correspondientes en la imagen original y su fotocopia? ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
145°
70°
145°
90°
90°
Original
145°
145°
90°
90°
70°
[image:8.612.119.499.69.527.2]Fotocopia
6. Halla las medidas de los ángulos utilizando un transportador, de cada pareja de figuras.
a.
b.
c.
Razón:
Razón:
7. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa.
8. Determina cuáles de las parejas de imágenes son figuras semejantes hallando y comparando la medida de sus lados y ángulos.
En dos _______________ semejantes, los _________________ correspondientes son __________________.
145°
70°
145°
90° 90°
Original
145° 145°
90° 90°
70°
Fotocopia
a.
b.
c.
Razón:
Razón:
Actividad 2
TelarañasLas arañas tienen glándulas que se encuentra en su abdomen, las cuales proveen el material para hacer las telarañas, utilizando el viento, especialmente cuando están entre dos árboles, para darle dirección durante la construcción, creando así un patrón para elaborarla.
[image:11.612.313.573.221.413.2]Observa las siguientes telarañas y traza los triángulos que veas en ellas.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1. Usando un transportador, halla la medida dos ángulos correspondientes en los triángulos resaltados, luego compáralos y completa.
[image:12.612.39.550.110.693.2]Comprueba si los triángulos resaltados son semejantes, hallando la medida de sus ángulos y lados, y encontrando la razón entre los lados correspondientes.
2. Observa los siguientes triángulos y sus medidas. Luego, halla la razón entre los tres pares de lados correspondientes, y completa.
¿Los lados son proporcionales? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos son semejantes? ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Comparando los ángulos medidos, ¿qué conclusión puedes obtener? _______________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos resaltados son semejantes?_________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
21 cm
35 cm
30 cm
7 cm
6 cm
4,2 cm
[image:13.612.44.576.322.691.2]Razones:
Comprueba si los triángulos son semejantes, hallando la medida de sus ángulos.
3. Observa los siguientes triángulos y sus medidas. Luego, halla la razón entre los dos pares de lados correspondientes.
¿Los lados son proporcionales _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Cómo se relacionan los ángulos? _________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos son semejantes? ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
Comprueba si los triángulos son semejantes, hallando la medida de los ángulos y el lado restante. Para saber si dos triángulos son semejantes, tenemos tres criterios.
32 cm
40°
18 cm
48 cm
27 cm
40°
[image:14.612.43.573.141.510.2]Razones:
4. Completa la siguiente tabla con los criterios de semejanza de triángulos de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo. Luego, dibuja un ejemplo que represente cada criterio.
Criterio __________________ Criterio __________________ Criterio __________________
1. El criterio conocido como AA (ángulo – _____________), significa que si dos _____________ tienen _____________medida en dos de sus ángulos correspondientes, entonces son triángulos _____________.
2. El criterio conocido como LLL (lado – lado – lado), significa que si _____________ triángulos tienen _____________ proporcionales entre sus _____________ pares de lados correspondientes, entonces los _____________son semejantes.
3. El criterio conocido como LAL (lado – ángulo – lado), significa que si dos _____________tienen medidas proporcionales en dos de sus lados correspondientes y los ángulos que se _____________ con estos dos _____________ tienen la misma medida, entonces los triángulos son _____________.
5. Recorta cada pareja de triángulos y pégalos en el recuadro del criterio que podría demostrar que son semejantes de acuerdo con los datos dados.
48 cm
41°
48 cm
41° 67° 67° 72° 72°
57 cm
57 cm
52 km
52 km
52 km 55 km 69 km55 km
69 km
48 cm
41°
48 cm
41° 67° 67° 72° 72°
57 cm
57 cm
52 km
52 km
52 km 55 km 69 km55 km
69 km
48 cm
41°
48 cm
41° 67° 67° 72° 72°
57 cm
57 cm
52 km
52 km
52 km 55 km 69 km55 km
69 km
AA
LLL
LAL
AA
LLL
LAL
[image:16.612.40.564.98.742.2]6. Completa el teorema de Tales y su representación gráfica, de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo.
Si dos __________________ cualesquiera se _____________________ por varias rectas ______________, los segmentos determinados en una de las rectas son ___________________ a los segmentos correspondientes en la otra.
Observa la telaraña y los triángulos que se resaltan en ella. Luego, responde.
A
B
C
[image:17.612.28.589.96.332.2]D
Figura 14
[image:17.612.142.499.383.737.2]Los triángulos ABE y CDE, ¿son triángulos semejantes? Explica tu respuesta aplicando el teorema de Tales. _____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Qué criterio de semejanza de triángulos aplica para demostrar que los triángulos ABE y CDE son semejantes? Explica tu respuesta. _________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
7. Completa las tres características de la semejanza de acuerdo con los visto en el recurso interactivo. Reflexiva:
¿El triángulo ABE es semejante al triángulo ABE? Explica tu respuesta.
A
E
Un _________________________ cualquiera es semejante a sí ____________.
Simétrica:
Si el triángulo ABE es semejante al triángulo CDE, entonces, ¿El triángulo CDE es semejante al triángulo ABE? Explica tu respuesta.
Si el _______________ 1 es semejante al triángulo _______________, entonces el triángulo 2 es ________________al triángulo ____________________.
A
B
C
D
E
[image:20.612.40.570.99.737.2]Transitiva:
Si el triángulo ABE es semejante al triángulo CDE, y el triángulo CDE es semejante al triángulo FGE, entonces, ¿cómo se relacionan los triángulos ABE y FGE? Explica tu respuesta.
________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
Si el triángulo ____________ es semejante al _________ 2, y el triángulo 2 es ____________ al triángulo 3, entonces los triángulos _____________ y _____________ son semejantes.
A
B
C
D
F
G
E
[image:21.612.41.568.125.746.2]Actividad 3
Triángulos semejantes en diferentes lugares
¿Puedes identificar triángulos semejantes en la siguiente imagen? Descríbelos.
Triángulos semejantes: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿El triángulo más grande es semejante al más pequeño? ¿Qué criterio podría demostrarlo?
____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿Se puede decir que todos los triángulos equiláteros son semejantes? ¿Por qué?
[image:22.612.204.393.140.398.2]____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
Realiza aquí tus cálculos
1. Observa cada imagen. Luego, escribe un problema que involucre los triángulos semejantes que se identifican en las imágenes y utiliza como contexto lo que muestra la figura.
Realiza aquí tus cálculos
[image:24.612.40.575.104.720.2]Realiza aquí tus cálculos Figura 20
A B C D G
30 m
50 m 75 m 100 m
α
F
E
Realiza aquí tus cálculos
[image:25.612.40.575.69.732.2]Realiza aquí tus cálculos Figura 22
2. Recorta las fichas del rompecabezas que se encuentran en el anexo XX, luego ármalo y pégalo en el siguiente espacio.
Figura 24
Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
A
AC
1C
1B
BC
1C
1A
AB
1B
1Tercer criterio de semejanza de triángulos:
Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean
ΔABC
y
ΔA
1B
1C
1tales que
Si
𝜆𝜆 = 1
entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia
(LLL)
los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora
AB
>
A
1B
1y construimos
ΔAB’C’
en posición de Thales con
ΔABC,
con
AB’ = A
1B
1como en la demostración del primer criterio. Entonces
de donde se deduce que
B
1C
1= B’C’
y
A
1C
1= AC’.
Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ =
ΔA
1B
1C
1Entonces
ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA
1B
1C
1𝜆𝜆
=
=
=
A
AB
1B
1A
AC
1C
1B
BC
1C
1=
=
AB’
AB
AC’
AC
B’C’
BC
=
=
=
3. Toma como guía la demostración del criterio LLL, para demostrar los criterios AA y LAL.
Realiza aquí tus cálculos
1. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa el siguiente mapa conceptual sobre los criterios de semejanza en triángulos. Luego, dibuja un ejemplo que represente cada criterio.
Criterios de ________________________________ en triángulos
A.A. _______________________ L.L.L
Dos _______________________ tienen igual medida en
_________________ de sus ángulos correspondientes.
Dos triángulos tienen medidas
______________________
en dos de sus lados correspondientes y el
_____________________
que se forma entre ellos.
Dos triángulos tienen
______________________
proporcionales en sus
1. Determina cuáles de las siguientes figuras son semejantes. Justifica tu respuesta.
a.
b.
________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
A
B
C
D
E
F
[image:29.612.48.575.133.763.2]G
H
Figura 25
c.
________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
d.
________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
L
K = 12
L
2
P
P’
Q
Q’
R
R’
S
S’
T
T’
U
[image:30.612.37.566.43.733.2]U’
[image:30.612.88.564.58.367.2]Figura 27
2. Determina si los siguientes triángulos son semejantes. Justifica tu respuesta aplicando algún criterio visto y menciónalo.
a.
b.
c.
d.
5 cm
80°80°
4 cm
5 cm
6 cm
65°
65°
11 cm
9,1 cm
9 cm
7 cm
7 cm
8 cm
12,8 cm
11,2 cm
7 cm
5 cm
O
A
B A’
[image:31.612.35.591.92.753.2]B’
Figura 29
Figura 30
Figura 31
e.
f.
g.
3. Encierra las imágenes donde hay triángulos semejantes. Justifica tus respuestas. a.
80°
n o
m
60° 40°
O
M N P p
q r 30 mm
27 mm 20 mm
Q R
54 mm
60 mm 40 mm
2 cm
2.7 cm
2.7 cm
1.9 cm
1.9 cm
1.9 cm
10 m 26 m
52 m b’
c’ 24 m
[image:32.612.41.583.46.550.2]_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
Figura 33
[image:32.612.38.268.596.727.2]Figura 34
[image:32.612.289.556.606.711.2]b.
c.
d.
_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
[image:33.612.49.579.47.733.2]_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Figura 37
Lista de figuras
Figura 1. Pintura abstracta.
Figura 2. Obra de arte abstracto.
Figura 3. Figura con medidas.
Figura 4. Figura semejantes.
Figura 5. Figuras no semejantes.
Figura 6. Figuras con semejanza.
Figura 7. Pintura abstracta.
Figura 8. Figura con puntas.
Figura 9. Telaraña sin angulos marcados.
Telaraña 1, Eukalyptus (2014) telaraña-red-el-otoño-redes-197666. Recuperado el 15 de julio del 2015, de https://pixabay.com/es/telara%C3%B1a-red-el-oto%C3%B1o-redes-197666/. Telaraña 2. OpenClipartVectors (2014) spiderweb-telaraña-tela-de-araña-152117. Recuperado el 15 de julio del 2015, de https://pixabay.com/es/spiderweb-telara%C3%B1a-tela-de-ara%C3%B1a-152117/. Telaraña 3. Eukalyptus (2014) telaraña-red-rocío-goteo-sparkle-210186. Recuperado el 15 de julio del 2015, de https://pixabay.com/es/telara%C3%B1a-red-roc%C3%ADo-goteo-sparkle-210186/ Figura 10. Telaraña con angulos.
Figura 11. Triángulos.
Figura 12. Triángulos con ángulos marcados.
Figura 13. Triángulos para recortar.
Figura 14. Flechas.
Figura 15. Telaraña con flechas.
Figura 16. Telaraña con semejanza reflexiva.
Figura 17. Telaraña con semejanza simétrica.
Figura 18. Telaraña con semejanza transitiva.
Figura 19. Castillo de naipes.
Figura 20. Triángulo con puerta.
Figura 21. Triángulo con niño
Figura 22. Triángulo con escalador.
Figura 23. Triángulo con escalador.
Figura 24. Rompecabezas.
Figura 25. Estrella de cuatro puntas.
Figura 26. Triapecios.
Figura 27. Figuras sesgadas.
Figura 28. Figura de seis puntas.
Figura 29. Triángulos a.
Figura 30. Triángulos b.
Figura 31. Triangulos c.
Figura 32. Triángulos d.
Figura 33. Triángulos e.
Figura 34. Triángulos f.
Figura 35. Triángulos g.
Figura 36. Escultura triangular.
Gobeirne (24 de octubre, 2006) Triángulo imposible. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https:// commons.wikimedia.org/wiki/File:ImpossibleTriangleEastPerth_edit_gobeirne.jpg
Figura 37. Escuadra.
Luigi Chiesa (4 de septiembre, 2006) Esquadra. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https:// commons.wikimedia.org/wiki/File:Squadra_45.jpg
Figura 38. Exclamación.
ClkerFreeVectorImages (2014) Signo de exclamación. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https:// pixabay.com/es/atenci%C3%B3n-signo-de-exclamaci%C3%B3n-signo-307030/
Figura 39. Cancha de fútbol.
