1. Naturaleza eléctrica de la materia. - Tema 2 Campo eléctrico A

22  334  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Tema 2.Campo eléctrico.

1. Naturaleza eléctrica de la materia.

La electricidad es una propiedad intrínseca de la materia. En principio, la materia es eléctricamente neutra, pero puede ocurrir que por frotamiento algunos de los electrones externos pasen de un cuerpo a otro, con lo cual un cuerpo queda cargado negativamente y el otro positivamente.

Se denomina carga eléctrica o cantidad de electricidad, q, al exceso o defecto de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro.

Como unidad de carga en el SI se utiliza el culombio, C. Un culombio es la cantidad de carga que fluye a través del área transversal de un cable conductor en un segundo cuando la intensidad de corriente en el mismo es de un amperio. La carga de un electrón equivale a 1,6 ∙ 10-19 C. También se usan los submúltiplos microculombio (1µC = 10-6 C), nanoculombio (1nC = 10-9 C) y picoculombio (1pC = 10-12 C).

Los materiales en los que las cargas se mueven libremente se denominan

conductores (son los metales) y los materiales en los que las cargas no se mueven con libertad se llaman aislantes o dieléctricos (madera, vidrio y caucho).

Hay dos tipos de carga eléctrica: carga positiva y carga negativa. Las cargas diferentes se atraen entre sí y cargas iguales se repelen entre sí.

1.1.Principio de conservación de la carga en un sistema aislado.

Este principio establece que:

“La carga de un sistema aislado eléctricamente (sistema en el cual no puede salir ni entrar carga) permanece constante con el tiempo,”.

es decir: la suma algebraica de las cargas positivas y negativas no varía.

Cuando frotamos una barra de vidrio con un paño ¿Hemos creado carga? Por supuesto que no, lo que hemos hecho es arrancar cargas negativas de la barra que han quedado atrapadas en el paño, por lo que la barra inicialmente neutra ha quedado con defecto de cargas negativas (cargada positivamente) y el paño con un exceso de cargas negativas, en el sistema total vidrio-paño, la carga eléctrica no se ha modificado, únicamente se ha redistribuido.

1.2.Principio cuantificacional de la carga.

Este principio establece que: “La carga está cuantificada”

(2)

Fig. 1. Balanza de torsión.

Fig. 3. (a) Las cargas iguales se repelen, mientras que (b) las cargas opuestas se atraen Fig. 2. Ley de Coulomb.

2. Ley de Coulomb.

La fuerza ejercida por una carga sobre otra fue estudiada por Charles Augustin de Coulomb mediante una balanza de torsión. Con este aparato midió la fuerza que ejerce una caga fija cargada sobre otra móvil cargada.

La balanza de torsión consiste en dos bolas de metal sujetas por los dos extremos de una barra suspendida por un cable, filamento o chapa delgada. Para medir la fuerza electrostática se puede poner una tercera bola cargada a una cierta distancia. Las dos bolas cargadas se repelen/atraen unas a otras, causando una torsión de un cierto ángulo. De esta forma se puede saber cuánta fuerza, en newtons, es requerida para torsionar la fibra un cierto ángulo. Los resultados de los experimentos de Coulomb, se resumen en 1785 en la ley de Coulomb:

“La fuerza atractiva o repulsiva que actúa entre dos cargas puntuales, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y está dirigida a lo largo de la línea que las une (Fig. 2)”

La atracción es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva si las cargas son de signo contrario.

(3)

Fig. 4. Principio de superposición

Matemáticamente la expresión del módulo de esta ley es:

1 2 1 2

2 2

1 1

4 4

q q q q

F K K

r πε r πε

⋅ ⋅ ⎡ ⎤

= = =

⎣ ⎦

Donde:

• F es la fuerza atractiva o repulsiva, expresada en newtons (N). • q1 y q2 son las cargas, expresados en culombios (C).

• r es la distancia entre las cargas (de centro a centro si son esféricos) expresados en metros (m).

• K es la constante de Coulomb y ε es la constante dieléctrica o permitividad eléctrica, K y por tanto ε, son dependientes del medio y del sistema de unidades, cuando se trata del vacío lo

designamos por εo y su valor es 8,85 · 10-12 C2/N · m2 y, por tanto, K = 9·109 N · m2/C2. Se suele expresar ε de un

medio con relación al vacio. La permitividad relativa de un medio εr es la relación entre su permitividad y la del vacío (ε = εo · εr). Ver tabla al margen de εr a 20 ºC. Si las cargas se sumergen en agua, la fuerza eléctrica es 80 veces más pequeña.

La expresión vectorial de esta ley será:

F !"

=Kq1⋅q2

r2 u

"

r

en donde u!res el vector unitario que señala desde q1 hacia q2.

Si llamamos a F!"12 a la fuerza que q2 ejerce sobre q1 entonces: F

!"

12 =−F !"

21, obedeciendo al tercer principio de Newton.

Principio de superposición.

Cuando en una región del espacio existen varias cargas puntuales q1, q2, … qn en reposo e introducimos en ella otra carga q en reposo, la fuerza que actúa sobre la carga q es igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales sobre ella (Fig. 4).

F !"

= !"Fi

i

= Kq qi

ri2

i

(4)

Fig. 5. Campo eléctrico creado por una carga puntual.

3. Campo eléctrico. Intensidad de campo.

3.1.Campo eléctrico.

El campo eléctrico creado por una carga es el espacio donde se manifiesta su atracción o repulsión sobre otras cargas.

3.2.Intensidad del campo eléctrico.

La intensidad del campo eléctrico E!" en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en el punto (Fig. 5).

E

!"

= F

!"

q =

Kq1⋅q r2

q u

"

rE

!"

=K q1 r2u

"

r

La intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial y será función de las coordenadas del punto. Su unidad en el SI es el N/C.

3.3.Intensidad del campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales.

Sean q1, q2, ..., qnuna serie de cargas puntuales en reposo situadas frente a una carga

q también puntual y en reposo colocada en un punto P (Fig.4); aplicando ley de Coulomb y el principio de superposición se obtiene para valor de la intensidad del campo electrostático en P:

E !"

= !"Ei i

=K qi

ri2 i

u"ri

«El campo creado por un sistema de cargas puntuales es la suma de los campos que producirían cada una de las cargas separadamente».

3.4.Líneas de fuerza.

El campo eléctrico se representa mediante líneas de campo o líneas de fuerza. Estas líneas se relacionan con el campo eléctrico en cualquier región del espacio de la siguiente manera:

(5)

Fig. 7. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual positiva aislada.

Fig. 8. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual negativa aislada.

Fig. 11. Líneas de fuerza atravesando dos superficies A y B. La densidad de líneas, y por tanto, el campo es mayor en A que en B

• La densidad de las líneas (número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a las líneas) en un punto es proporcional al valor del campo en dicho punto. Consideramos dos superficie A y B, en el que el número de líneas de pasan a su través es el mismo (Fig. 11). Por tanto, cuanto más próximas se encuentran las líneas, más intenso es el campo eléctrico.

Las líneas de campo eléctrico para una carga puntual positiva están dirigidas radialmente hacia afuera (Fig. 7). Las líneas de campo eléctrico para una carga puntual negativa están dirigidas radialmente hacia adentro (Fig. 8).

Las reglas para dibujar líneas de campo eléctrico son:

• Las líneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas, fuentes, y terminan en las cargas negativas, sumideros. (Fig. 9).

• El número de líneas que entran o salen de una carga puntual es proporcional a la carga (Fig. 10).

(6)

Fig. 9. Líneas de fuerza producidas por dos cargas iguales y de signos opuestos.

Fig. 10. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual +2q y otra –q.

Fig. 12. Líneas de fuerza creadas por dos cargas puntuales positivas

Fig. 13. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo cargado que pende de un hilo en el interior de un campo eléctrico uniforme.

La figura 12 muestra las líneas de fuerza para dos cargas puntuales positivas iguales, separadas por una distancia. Las flechas se invertirían si ambas cargas fueran negativas.

3.5.Movimientos de cargas puntuales en campos eléctricos.

3.5.1. Cargas suspendidas en campos eléctricos uniformes.

Si un cuerpo cargado que pende de un hilo se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección) (Fig. 13), la fuerza que ejerce el campo hace que la cuerda se desplace un ángulo determinado desde la vertical. Para que el sistema esté en equilibrio:

ΣF!"=0

Σ!"Fy=0→P=Tymg=Tcosα

(7)

Fig. 14. Una carga puntual positiva en un campo eléctrico uniforme experimenta una a constante en la dirección del campo.

3.5.2. Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme.

Cuando una partícula con carga q se coloca en un campo eléctrico E!", experimentará la acción de una fuerza qE!" y la partícula adquiere una aceleración a! en la dirección del vector E!":

F !"

E =qE !"

F !"

=m⋅a"

⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪qE

!"

=ma"→a"= q

mE

!"

siendo m la masa de la partícula. Si el campo eléctrico se conoce, puede determinarse la relación carga a masa de la partícula a partir de la aceleración medida.

Campo E!" paralelo al desplazamiento inicial de la carga.

Si la partícula tiene inicialmente una velocidad v!o en la dirección del campo eléctrico uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección), la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección, es decir, la partícula se moverá con MRUA en la dirección del campo (Fig. 14).

Si carga positiva, la fuerza qE!" que actúa sobre ella posee la misma dirección del campo. Si la carga es negativa, la fuerza −qE!" que actúa sobre ella posee una dirección opuesta a la del campo.

Campo E!" perpendicular al desplazamiento inicial de la carga.

Si la partícula entra en el campo con velocidad v!o perpendicular al campo eléctrico, la aceleración es perpendicular a la velocidad. El movimiento de la partícula viene dado por la composición de dos movimientos: uno rectilíneo uniforme perpendicular al campo y otro rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección del campo. El resultado es que la trayectoria es una parábola.

Eje x (MRU): ax =0; vx =vo; x v t= 0

Eje y (MRUA): ay q E m

= ; vy q Et

m

= ; 2

2 q y Et

m =

Despejando t en la ecuación x, y sustituyendo en la ecuación y, resulta:

2 2 2 o qE

y x

(8)

Fig. 15. Un protón se mueve en un campo eléctrico uniforme con vo perpendicular al

campo.

Fig. 15. Un electrón se mueve en un campo eléctrico uniforme con vo perpendicular al

campo.

Fig. 16. El campo eléctrico es un campo de fuerzas conservativo.

Fig. 17. Diferentes caminos que puede recorrer una carga puntual en su traslado del punto 1 al punto 2.

Si carga es positiva, la fuerza tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico como se ve en la figura 15. Si la carga es negativa, la fuerza eléctrica y el campo tienen la misma dirección pero sentidos opuestos, como en la figura 16.

Una aplicación práctica es el movimiento de los electrones en los tubos de rayos catódicos, que se controla mediante campos eléctricos. Con ello el electrón se hace incidir en el punto de la pantalla que se desee. Este tubo de rayos catódicos es el elemento principal y más voluminoso de la televisión.

3.6.El campo eléctrico es un campo de fuerzas conservativo.

El campo eléctrico al igual que el campo gravitatorio es conservativo.

En un campo eléctrico, el trabajo de la fuerza eléctrica en una trayectoria cerrada es nulo(Fig. 16).

W = !"Fdr" c

(9)

Fig. 18. El trabajo entre los puntos A y B debida a una carga q0 sólo depende de las coordenadas radiales inicial y final rA y rB.

Esta definición implica que el trabajo realizado por la fuerza del campo es independiente de la trayectoria seguida, únicamente depende de la posición inicial y final (Fig. 17).

F !"

dr"+

1M

2

F!"dr"=0

2N

1

W12= !"Fdr"= 1M

2

F!"dr"

1N

2

F !"

dr"+ 1M

2

!"Fdr"=0 2P

1

W12 = !"Fdr"= 1M

2

F!"dr"

1P

2

Podemos por tanto expresar el trabajo como una diferencia de valores entre los dos puntos de una determinada magnitud física que será función de la posición, y que llamaremos energía potencial de la partícula.

W12 = !"Fdr"= 1

2

Ep

1−Ep2 =−(Ep2−Ep1)=−ΔEp→ ΔEp=− F !"

dr"

1 2

La expresión diferencial de la anterior es:

dEp =−!"Fdr"→!"F=−dEp

dr"

4. Energía potencial eléctrica.

El trabajo realizado para desplazar una partícula con carga q0 en el seno de un campo eléctrico debido a una carga q es (Fig. 18):

W = Ep

AEpB = F

!"

dl"= rA

rB

qo!"Edl"= rA

rB

kqqo u

" r

r2 dl

" rA

rB

W =kqqo dlcosθ

r2 =kqqo

dr r2 =

rA

rB

rA

rB

kqqo 1

rA

1 rB ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

El trabajo W no depende del camino seguido por la carga q0 para ir de la posición A a la posición B. Por tanto, la fuerza eléctrica que ejerce q sobre q0 es conservativa.

(10)

Fig. 19.

1 2 3

P P P P E =E +E +E

Para calcular la energía potencial de una carga que se encuentra en un campo eléctrico, convenimos que en un punto del espacio la energía potencial es nula.

Normalmente lo que hacemos es que para r = ∞ → Ep = 0 ó lo que es lo mismo: La energía potencial de una carga q0 en un punto en el infinito eléctrico (punto lo suficientemente alejado para que prácticamente no exista influencia del campo) es nulo. La expresión de ésta, para cualquier r será:

0

P

qq

E K

r

=

que nos mide el trabajo que ha de realizar una fuerza exterior para trasladar la carga q0 desde el infinito al punto en presencia de q o bien el trabajo que haría la fuerza del campo para trasladarla del punto al infinito.

Su unidad en el SI es el julio (J).

Esta energía potencial electrostática es semejante a la energía potencial gravitatoria; sin embargo, mientras que ésta última es siempre negativa (con Ep(∞) = 0), la eléctrica puede tener ambos signos. Así, si qq0 > 0, entonces Ep(r) es positiva. Si qq0 < 0 la energía potencial eléctrica Ep (r) es negativa, luego para separar las cargas es necesario realizar un trabajo contra las fuerzas del campo

4.1.El cambio de energía potencial

Cuando una carga q0 se mueve entro los puntos A y B dentro de un campo eléctrico E!", el cambio en la energía potencial es:

ΔEP =−W =− !"Fdl"

A B

=−q0 !"Edl"

A B

ΔEP =kqqo 1 rB

1

rA ⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎥=−W

4.2.Energía potencial de un sistema de partículas.

Si tenemos un sistema formado por más de dos partículas cargadas, la energía potencial total será la suma de la energía de todas las parejas que podamos formar. Por ejemplo, la energía potencial total de tres cargas mostrada en la figura 19 es:

1 2 3

1 3 2 3 1 2

12 13 23

P P P P

q q q q q q

E E E E K

r r r

⎛ ⎞

= + + = + +

(11)

5. Potencial eléctrico.

5.1.Potencial eléctrico y diferencia de potencial.

El potencial eléctrico (o simplemente potencial) V en un punto es la energía potencial por unidad de carga positiva en ese punto. De este modo, el potencial eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es:

0

0 0

P

Kqq

E r Kq

V

q q r

= = =

La diferencia de potencial ΔV V= BVA entre dos puntos A y B en un campo eléctrico se define como el cambio de energía potencial del sistema dividida por la carga positiva q0:

ΔV = ΔEP

q0 =− E

!"

dr"

A B

Físicamente, la diferencia de potencial VBVA se define como el trabajo por unidad de carga, cambiando de signo, que realiza el campo eléctrico cuando una carga positiva

q0 se desplaza del punto A al punto B.

0

0 0

( )

B

B

P A

A A B

E W

V W q V V

q q

Δ −

Δ = = → = −

Analizando la expresión B 0( )

A A B

W =q VV concluimos que:

a) Si q0es positiva y VA>VB, el trabajo será positivo, por tanto, el trabajo es realizado por las fuerzas del campo y, como consecuencia, la carga se desplaza espontáneamente desde A hasta B.

b) Si q0es positiva y VA<VB, el trabajo será negativo, por tanto, para trasladar la carga desde A hasta B es necesario realizar un trabajo exterior en contra de las fuerzas del campo.

c) Si q0es negativa y VA>VB, el trabajo será negativo, por tanto, para trasladar la carga desde A hasta B es necesario realizar un trabajo exterior en contra de las fuerzas del campo

(12)

Fig. 20. Diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 en un campo eléctrico uniforme.

En general, en un campo eléctrico:

• Las cargas positivas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales decrecientes.

• Las cargas negativas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales crecientes.

Para determinar el potencial en un punto hay tomar como potencial cero el de un punto infinitamente alejado. Así, si se considera el punto A en el infinito, entonces el potencial en cualquier punto es:

VP =− !"Edr"

A B

Físicamente interpretamos el potencial en un punto como el trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga positiva desde el infinito hasta ese punto.

La unidad en el SI de potencial es el voltio (V) 1V = 1J /1C o lo que es lo mismo: El voltio es la diferencia de potencia entre dos puntos tales que para trasladar de uno a otro la carga de 1 culombio, hay que realizar el trabajo de 1 julio.

5.2.Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme.

La diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 en un campo eléctrico uniforme E!"(Fig. 20) es:

VBVAV =− E!"dr"

A B

=− Ecos0ºdr

A B

=− E dr

A B

Puesto que E es constante:

VBVA =ΔV =−E dr A

B

=−Ed

donde d es la magnitud del desplazamiento en la dirección paralela a E!".

5.3.Potencial eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas puntuales.

El potencial eléctrico de dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición. Es decir, el potencial eléctrico en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. Para un grupo de cargas puntuales se escribe el potencial eléctrico total en el punto como:

i

i i

q

V K

(13)

Fig. 21. Superficies equipotencial.

Fig. 22.a) Superficies equipotenciales creadas por una carga puntual positiva. Las líneas representan esferas concéntricas. b) Superficies equipotenciales creadas por una carga puntual negativa. Las líneas representan esferas concéntricas. c) Superficies equipotenciales creadas por dos cargas puntuales iguales de igual signo. c) Superficies equipotenciales creadas por dos cargas puntuales iguales pero de distinto signo.

5.4.Superficies equipotenciales.

Una superficie equipotencial en un campo eléctrico es el lugar geométrico de los puntos que están al mismo potencial.

Supongamos que dos puntos P1 y P2 (Fig. 21) infinitamente próximos se encuentran al mismo potencial (pertenecerán a una misma superficie equipotencial). Se verificará que: dV =−!"Edr" pero si dV es la diferencia de

potencial entre P1 y P2, será nula, luego: E!"⋅dr"=0; para que este producto escalar sea nulo es preciso que o bien uno o ambos vectores sean nulos o bien que sean perpendiculares. El campo no tiene por qué ser nulo, ni tampoco dr ya que tomamos puntos diferentes. La única posibilidad que queda es que sean perpendiculares. Como dr! está contenido en la superficie equipotencial deducimos que:

«Las superficies equipotenciales se cortan normalmente con las líneas del campo». Son propiedades inmediatas de las superficies equipotenciales: 1) Las superficies equipotenciales no se cortan (el potencial en un punto tiene un único valor). 2) En el interior de una superficie equipotencial cerrada de potencial no nulo existe necesariamente carga neta no nula.

(14)

a) b)

Fig. 23. a) Superficie perpendicular al campo. b) Superficie no perpendicular al campo.

6. Teorema de Gauss.

6.1.Flujo de campo eléctrico.

El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie.

Si el campo eléctrico es uniforme y forma un ángulo θ con la normal a la superficie de área A, el flujo eléctrico a través de la superficie es:

φ=!"E⋅!"A=EA⋅cosϕ

donde el vector superficie, A!", es un vector perpendicular a la superficie. Su unidad en el SI es el weber (Wb).

Si la superficie es perpendicular al campo eléctrico (Fig. 23a): φ=E A

Si la superficie no es perpendicular al campo eléctrico (Fig. 23b): φ=E A⋅ ⋅cosϕ

Si el campo y la superficie son paralelos (el campo es normal al vector superficie) el flujo es cero pues el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Es fácil imaginar que si las líneas de campo son paralelas a la superficie ninguna la atravesará, por lo que el flujo es cero. El flujo es máximo cuando el campo es perpendicular a la superficie (paralelo al vector superficie). En esta situación atravesarán la superficie el mayor número posible de líneas de campo.

En general, el flujo eléctrico a través de una superficie es:

φ = !"Ed A!"

A

= EdA⋅cosϕ

(15)

Fig. 24. Flujo de campo eléctrico a través de una esfera de radio r cuyo centro coincide con el punto en que está situada una carga q que produce el campo.

6.2.Teorema de Gauss.

El teorema de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida por la constante dieléctrica en el vacío.

La expresión matemática de este teorema será:

0

q φ

ε

=

Para demostrar este teorema consideramos una superficie esférica de radio r rodeando a una carga puntual positiva q (Fig. 24). Cuando la carga está en el centro de la esfera, el campo eléctrico es normal a la superficie y constante en magnitud en todas partes. El flujo a través de esta superficie será:

φ= EdA⋅cosϕ

A(esfera)

!

= EdA

A(esfera)

!

φ= E dA= EA

A(esfera)

!

= 1 4πε0

q r2 4πr

2

( )

= q

ε0

(16)

Fig. 25. Superficie gaussiana para el cálculo del campo eléctrico debido a una carga puntual positiva.

Fig. 26. Cálculo de en un punto

exterior de una esfera

homogéneamente cargada

Fig. 27. Cálculo de en un punto

interior de una esfera

homogéneamente cargada

6.3.Campo eléctrico creado por una carga puntual.

Para una superficie gaussiana esférica de radio r y centrada una carga puntual (Fig. 25), el campo eléctrico debido a una carga puntual positiva apunta radialmente hacia afuera por simetría y, es por tanto, normal a

la superficie e cada punto. Por consiguiente E!" es paralelo al d A!" y el teorema de Gauss produce:

φ= !"Ed A!" A

#

= EdA

A

#

= q

ε0

Por simetría, E es constante en todos los puntos sobre la superficie. Por tanto,

φ= E dA

A

!

=E

( )

r2 = q

ε0E= 1 4πε0

q r2

6.4.Campo eléctrico creado por una esfera maciza.

Una esfera maciza de radio a uniformemente cargada en todo su interior. • En el exterior de la esfera. Consideramos

una superficie gaussiana de radio r > a, concéntrica con la esfera y aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

φ = E!"⋅d A!" A

#

= EdA

A

#

= E dA

A

#

φ =E

( )

r2 = q

ε0E=

1 4πε0

q r2

En el interior de la esfera. Consideramos una superficie gaussiana de radio r < a, concéntrica con la esfera. Sea q´ la carga contenida en su interior y aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

φ = E!"⋅d A!"

A´

#

= EdA

A´

#

= E dA

A´

#

φ =E

( )

r2 = q´

ε0E= 1 4πε0

q´

r2

(17)

Fig. 28. a) El campo eléctrico dentro de una corteza esférica cargada de manera uniforme es cero. El campo afuera es el mismo que el debido a una carga puntual Q ubicada en el centro de la corteza. b) La superficie gaussiana para r > a. c) superficie gaussiana para r < a.

volumétrica de carga será constante y de valor:

3

3 3

3 3 0 0

´ 1

´

4 4 4 3

3 3

q q r q

q q E r E r

a a

a r

ρ ρ

πε ε

π π

= = → = → = → =

En la superficie de la esfera. Para los puntos de la superficie de la esfera (r = a) las dos expresiones anteriores conducen al mismo resultado:

2

0 0

1

4 3

q

E r

r

ρ

πε ε

= =

6.5.Campo eléctrico creado por una corteza esférica.

Una corteza esférica de radio a tienen una carga Q distribuida uniformemente sobre su superficie (Fig. 28a).

En el exterior de la corteza. Si se construye una superficie gaussiana esférica de radio r > a, concéntrica con la corteza (Fig. 28b), la carga dentro de esta superficie es Q. Aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

φ = E!"⋅d A!" A

#

= EdA A

#

= E dA A

#

=E

( )

4πr2 = Q

ε0E= 1 4πε0

Q r2

(18)

Fig. 29. Superficie gaussiana para el campo eléctrico debido a un plano infinito de cargas.

Fig. 30. Superficie gaussiana para el campo debido a una carga lineal infinita.

6.6.Campo eléctrico creado por un plano infinito de carga.

Para calcular el campo eléctrico que crea un plano infinito de carga (Fig. 29) de densidad de carga superficial uniforme q

A

σ

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠, se toma una

superficie cilíndrica con el eje perpendicular al plano y cuyo centro está en el plano de la misma. Por simetría E!" debe ser perpendicular al plano y debe tener la misma magnitud en todos los puntos equidistantes del plano. De acuerdo con el teorema de Gauss:

φ= !"Ed A!" A

#

=2 E!"⋅d A!"+

SBase

!"Ed A!" SLateral

En las bases, el vector A!" es paralelo al vector campo E!", mientras que la superficie lateral, el vector A!" es perpendicular al vector campo E!". Así:

0 0 0

2 2 2 2 Base Base Base S q q

E d A EA E

A

σ φ

ε ε ε

=

ur= = → = =

6.7.Campo creado por un una carga lineal infinita.

Para calcular el campo creado por una carga lineal uniforme muy larga (Fig. 30) de densidad de carga lineal

uniforme q

L λ

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ se toma una superficie cilíndrica de longitud L y radio r, coaxial con la línea de carga, que incluye parte de la línea de carga. Por simetría Eur es perpendicular al plano y posee en el mismo valor en

cualquier punto de la superficie. De acuerdo con el teorema de Gauss:

φ= !"Ed A!"

A

#

=2 E!"⋅d A!"+

SBase

!"Ed A!"

SLateral

En las bases, el vector A!" es perpendicular al vector campo E!", mientras que la superficie lateral, el vector A!" es paralelo al vector campo E!". Así:

φ= E d A!"= SLateral

EALateral = q

ε0E=

q

ε0ALateral = q

ε0rL= 1 2πε0

λ

(19)

7. Analogías y diferencias entre los campos eléctrico y gravitatorio.

Analogías

• Ambos campos son centrales, ya que están dirigidos hacia un punto donde se encuentra la masa o la carga que los crea.

• Ambos campos son conservativos, ya que en trabajo que realiza la fuerza central sólo depende de la distancia, no de la trayectoria.

• Ambos campos son newtonianos, es decir, la fuerza central es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

• En ambos campos se puede definir la energía potencial y el potencial escalar.

Diferencias

• El campo gravitatorio es universal: existe para todos los cuerpos. El campo eléctrico sólo existe cuando los cuerpos están cargados de electricidad.

• Las fuerzas del campo gravitatorio son siempre de atracción, mientras que las del campo eléctrico pueden ser de atracción o de repulsión.

• La constante de gravitación universal (G) tiene el mismo valor para todos los cuerpos, mientras que la constante de Coulomb (K) depende del medio y del sistema de unidades elegidos. K viene a ser unas 1020 veces mayor que G; esto hace que en el estudio de los fenómenos eléctricos los efectos gravitacionales sean despreciables.

(20)

Actividades

1. El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados (en promedio) por una distancia de aproximadamente 5,3 ∙ 10-11 m. Encuentre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas. Compáralas entre sí. Datos: q(p+) = q(e−) = 1,60 ∙ 10-19 C; m(e) = 9,11 ∙ 10-31 kg; m(p+) = 1,67 ∙ 10-27 kg;

G = 6,67∙ 10-11 N ∙ m2/kg2; K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

2. Tres cargas puntuales se encuentran sobre el eje x; q1 = 25 nC está en el origen,

q2 = −10 nC está en x = 2 m, y q0 = 20 nC está en x = 3,5 m. Determinar la fuerza neta ejercida por q1 y q2 sobre q0. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

3. La carga q1 = +25 nC está en el origen, la carga q2 = −15 nC está sobre el eje x en x = 2 m, y la carga q0 = +20 nC está en el punto x = 2 m, y = 2 m. Determinar la fuerza sobre q0. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

4. Dos esferas idénticas, cada una con 0,02 kg de masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la figura. La longitud de cada cuerda es de 15 cm y el ángulo es de 5,0º. Calcule la magnitud de la carga sobre cada esfera. Datos: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2; g = 9,80 m/s2.

5. Una carga positiva q1 = +8 nC se encuentra en el origen y una segunda carga positiva

q2 = +12 nC está en sobre el eje x en x = 4 m. Determinar el campo eléctrico resultante (a) en el punto P1 sobre el eje x en x = 7 m y (b) en el punto P2 sobre el eje x en x = 3 m. Determinar el punto del eje donde el campo eléctrico es nulo. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

6. Una carga q1 = 7.0 µC se ubica en el origen y una segunda carga q2 = −5.0 µC se ubica en el eje x a 0,30 m del origen. Encuentre el campo eléctrico en el punto P (0, 0.40) m. Determine la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de 2,0 ∙ 10-8 C. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

7. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme Eur = (1000 N/C) ri con una velocidad inicial v0

r

= (2 ∙ 106 m/s) ri en la dirección del campo. ¿Qué distancia

recorrerá el electrón antes de detenerse? Datos: q(e−) = 1,60 ∙ 10-19 C;

m(e−) = 9,11 ∙ 10-31 kg.

8. Un electrón que entra en un campo eléctrico uniforme con vo = 3,00 ∙ 106 m/s

perpendicular al campo, E = 200 N/C. La longitud horizontal de la placa es

(21)

9. Un protón se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme que tiene una magnitud de 8,0 ∙ 104 V/m y está dirigido a lo largo del eje x positivo. El protón se desplaza 0,5 m en la dirección de campo eléctrico. a) Encuentre el cambio en potencial eléctrico para este desplazamiento. b) Determine el cambio de energía potencial del protón para este desplazamiento. c) ¿Qué velocidad posee después de recorrer 0,5 m? Datos: q(p+) = 1,60 ∙ 10-19 C; m(p+) = 1,67 ∙ 10-27 kg.

10. Una partícula de masa despreciable y carga: Q = 2 ·10-8 C, se sujeta del extremo de un muelle que a su vez se cuelga del techo. A continuación se crea un campo eléctrico uniforme, de intensidad E = 2,5 · 108 V/m y cuyas líneas de campo son verticales, bajo cuya acción se observa que el muelle se alarga 1 cm. Calcular la constante elástica del muelle.

11. El potencial y el campo eléctrico a cierta distancia de una carga puntual valen 600 V y 200 N/C, respectivamente. ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? ¿Cuál es el valor de la carga? Dato: K = 9·109 Nm2/C2.

12. ¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia r = 0,529 ∙ 10-10 m de un protón? (Esta es la distancia media entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno. ¿Cuál es la energía potencial del electrón y el protón a esta separación? Datos: q(p+) = q(e−) = 1,60 ∙ 10-19 C, K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

13. Una carga q1 = 2,00 µC se localiza en el origen, y una carga q2 = −6,00 µC se encuentra en (0, 3) m. a) Calcule el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (4, 0) m. b) Determine el cambio de energía potencial de una carga de 3,00 µC que se mueve desde el infinito hasta el punto P. c) Determine la energía potencial total del sistema formado por las tres cargas. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

14. Dos cargas eléctricas puntuales, de –20 y 90 µC se encuentran en el aire, separadas 15 cm: a) Calcula el potencial en el punto medio de la recta que une ambas cargas. b) Calcula, si existe, el punto entre ambas cargas en que el potencial eléctrico se anula. Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

15. Comente la siguiente frase: “El trabajo necesario para transportar una carga eléctrica de un punto a otro que se encuentran a distinto potencial eléctrico, es nulo”.

(22)

17. Una partícula con carga q1 = 10−6 C se fija en el origen de coordenadas. 1) ¿Qué trabajo será necesario realizar para colocar una segunda partícula, con carga q2 = 10−8 C, que está inicialmente en el infinito, en un punto P situado en la parte positiva del eje Y a una distancia de 30 cm del origen de coordenadas? 2) La partícula de carga q2 tiene 2 mg de masa. Esta partícula se deja libre en el punto P, ¿qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 1,5 m de distancia de q1? (suponer despreciables los efectos gravitatorios). Dato: K = 9·109 Nm2/C2.

18. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una esfera que tiene un radio de 1,00 m y porta una carga de +1,00 µC en su centro? Dato: K = 9 ∙ 109 N ∙ m2/C2.

Figure

Fig. 1. Balanza de torsión.
Fig. 1. Balanza de torsión. p.2
Fig. 3. (a) Las cargas iguales se repelen, mientras que (b) las cargas opuestas se atraen Fig
Fig. 3. (a) Las cargas iguales se repelen, mientras que (b) las cargas opuestas se atraen Fig p.2
Fig. 4. Principio de superposición
Fig. 4. Principio de superposición p.3
Fig. 5. Campo eléctrico creado por una   carga puntual.
Fig. 5. Campo eléctrico creado por una carga puntual. p.4
Fig.  7.  Líneas  de  fuerza  producidas  por  una  carga  puntual  positiva  aislada
Fig. 7. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual positiva aislada p.5
Fig.  8.  Líneas  de  fuerza  producidas  por  una  carga  puntual  negativa  aislada
Fig. 8. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual negativa aislada p.5
Fig.  9.  Líneas  de  fuerza  producidas  por  dos  cargas  iguales  y  de  signos  opuestos
Fig. 9. Líneas de fuerza producidas por dos cargas iguales y de signos opuestos p.6
Fig. 12. Líneas de fuerza creadas por  dos cargas puntuales positivas
Fig. 12. Líneas de fuerza creadas por dos cargas puntuales positivas p.6
Fig.  10.  Líneas  de  fuerza  producidas  por una carga puntual +2q y otra –q.
Fig. 10. Líneas de fuerza producidas por una carga puntual +2q y otra –q. p.6
Fig. 15. Un electrón se mueve en un campo  eléctrico uniforme con v o  perpendicular al
Fig. 15. Un electrón se mueve en un campo eléctrico uniforme con v o perpendicular al p.8
Fig. 15. Un protón se mueve en un campo  eléctrico uniforme con v o  perpendicular al
Fig. 15. Un protón se mueve en un campo eléctrico uniforme con v o perpendicular al p.8
Fig.  17.  Diferentes  caminos  que  puede  recorrer una carga puntual en su traslado del  punto 1 al punto 2
Fig. 17. Diferentes caminos que puede recorrer una carga puntual en su traslado del punto 1 al punto 2 p.8
Fig.  16.  El  campo  eléctrico  es  un  campo  de  fuerzas conservativo.
Fig. 16. El campo eléctrico es un campo de fuerzas conservativo. p.8
Fig. 18. El trabajo entre los puntos A   y B debida a una carga q 0  sólo depende
Fig. 18. El trabajo entre los puntos A y B debida a una carga q 0 sólo depende p.9
Fig.  20.  Diferencia  de  potencial  entre  los  puntos  1  y  2  en  un  campo eléctrico uniforme
Fig. 20. Diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 en un campo eléctrico uniforme p.12
Fig. 21. Superficies equipotencial.
Fig. 21. Superficies equipotencial. p.13
Fig. 23. a) Superficie perpendicular al campo. b) Superficie no perpendicular al campo
Fig. 23. a) Superficie perpendicular al campo. b) Superficie no perpendicular al campo p.14
Fig.  24.  Flujo  de  campo  eléctrico  a  través  de  una  esfera  de  radio  r  cuyo  centro  coincide  con  el  punto  en  que  está  situada  una  carga  q  que  produce  el campo
Fig. 24. Flujo de campo eléctrico a través de una esfera de radio r cuyo centro coincide con el punto en que está situada una carga q que produce el campo p.15
Fig. 25. Superficie gaussiana para el   cálculo del campo eléctrico debido a  una carga puntual positiva
Fig. 25. Superficie gaussiana para el cálculo del campo eléctrico debido a una carga puntual positiva p.16
Fig. 28. a) El campo eléctrico dentro de una corteza esférica cargada de manera uniforme es cero
Fig. 28. a) El campo eléctrico dentro de una corteza esférica cargada de manera uniforme es cero p.17
Fig. 30. Superficie gaussiana para el campo debido   a una carga lineal infinita.
Fig. 30. Superficie gaussiana para el campo debido a una carga lineal infinita. p.18
Fig.  29.  Superficie  gaussiana  para  el  campo  eléctrico  debido  a  un  plano  infinito de cargas
Fig. 29. Superficie gaussiana para el campo eléctrico debido a un plano infinito de cargas p.18

Referencias

Actualización...