Unidad Temática XV Ondas

Unidad Temática XV

Ondas

Contenidos:

Características de las ondas.

Pulsos. Tipos de onda. Ondas viajeras.

Velocidad de onda en una cuerda. Ondas

armónicas. Ecuación de onda. Energía y

potencia de una onda. Ondas en tres

dimensiones.

Intensidad

de

onda.

Superposición e interferencia de ondas

armónicas. Ondas estacionarias. Superposición

de ondas estacionarias.

¿Qué es una onda?

Una onda es una

perturbación que se

propaga en un medio.

¿Qué transporta una

onda?

Una onda transporta

energía a través del

medio en el cual se

propaga.

¿Es imprescindible el

medio?

Ondas en la

vida diaria

•Luz

•Sonido

•Radio

•TV

•Celulares

•Olas

•Terremotos

Podemos clasificarlas según diferentes criterios

ONDAS

Viajera

Estacionaria

Mecánica

Electromagnética

Transversal

Longitudinal

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional Ondas

Confinamiento de la energía

Tipo de energía que

transporta

Dirección de vibración partículas o

campo

Ondas viajeras: Propagación de energía sin propagación de materia. La energía no esta confinada e una región limitada del espacio. Onda Viajera Onda Viajera 2

Movimiento de una onda en una cuerda

Onda de sonido (presión)

Ondas estacionarias: Energía confinada en una región del espacio.

VIDEO

POR EL MEDIO DE PROPAGACIÓN Y ENERGÍA QUE TRASPORTAN:

Ondas mecánicas: Necesitan un medio para propagarse. Propagan energía mecánica. Pueden ser descritas aplicando la leyes de Newton. Ej: sonido, olas, cuerdas vibrando, resorte.

El movimiento de las moléculas de agua en la superficie y profundidad cuando viaja una onda es una combinación de vibración transversal + longitudinal  trayectoria

POR EL MEDIO DE PROPAGACIÓN Y ENERGÍA QUE TRASPORTAN:

Ondas electromagnéticas: No necesitan un medio soporte para propagarse. Propagan energía electromagnética. Se propagan a la velocidad de la luz. Se originan por vibración de los campos electromagnéticos E y B. Ej: luz, ondas de radio, de TV, microondas, láser, rayos X.

LONGITUDINAL

DIRECCIÓN DE VIBRACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO DE SOPORTE O CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Ondas transversales: Las partículas o campos vibran en direcciones perpendiculares a la dirección de propagación.

POR EL Nº DE DIRECCIONES DE PROPAGACION

Ondas unidimensionales: La energía que transportan se propaga en una única dirección. Ej.: ondas en una cuerda.

Ondas bidimensionales: La energía que transporta la onda se propaga en dos direcciones. Ej: ondas en el agua.

Ondas tridimensionales: La energía que transporta la onda se propaga en tres direcciones. Ej: ondas sonoras.

Unidimensional Bidimensional Tridimensional

Características de las ondas

Ondas armónicas:

• El movimiento oscilatorio es periódico.

• T es el periodo que tarda en efectuar una oscilación completa. • El nº de oscilaciones por segundo es la frecuencia f (). • T y f están relacionados por T = 1 / f.

• V es la velocidad de propagación de la onda (energía).

• La longitud de onda  es el espacio que la onda recorre en un periodo T.  = v T. Es la distancia entre dos crestas vecinas.

• k es el numero de ondas que entra en una longitud 2 π, o sea k = 2 π / . Para un x = Cte

Término Concepto Símbolo

Amplitud Máxima elongación A, A0

Long. de onda Distancia entre dos puntos en el mismo

estado de vibración 

Período Tiempo que tarda en efectuar un ciclo T Frecuencia Número de ciclos por unidad de tiempo f,  Pulsación o frecuencia

angular

Ángulo de oscilación de cada punto del

medio, en cada segundo  Velocidad Distancia recorrida por la onda en la

unidad de tiempo v

Numero de ondas Número de longitudes de onda

comprendidas en 2π metros k

Características de las ondas

PULSO

Es una onda de extensión corta.

f(x-vt) representa una onda viajera que se propaga sin deformarse con velocidad v hacia la derecha. f(x+vt) se

Onda armónica

Una onda armónica es una onda cuya forma es una función seno (coseno).





2 2

( ) sin ( , ) sin ( )

2 2

y ( , ) sin sin

y x A x y x t A x v t

k T y x t A k x t A k x t

v T        _       _{ }   _  _           _  _   





( , ) sin

y x t A k xt En general si para x = 0

y t = 0 es y  0 =>

Desplazamiento de una onda

Cambio de variable:

Por la regla de la cadena:





( , ) _m

y x t  y sen k xt _{u x t( , )}_{k x}



2 2

2

2 2

y y u y

t u t u

y y y u y

t t u u u t u

     _  _{ }       _  _  _  _   _                 2 2 2 2 2

y y u y

k

x u x u

y y y u y

k k k

x x u u u x u

 _   _       _    _     _               





2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

/

y k y y

x  t  T t

 _  _ 

Ecuación de onda

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 0

1 1

v v

y y y y

x t  x  t 

 _   

   

Ecuación de la cuerda





2 1

2 1

sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

y

F F F

F         



1 1 2 2

sin( ) tan( ) y sin( ) tan( )

tan( ) y x        2 2 y y

F F x

x    



v F 





2 2 2 2

2 2 2 2

1

0 /

y y y y

F F

x t x t

   _  _  _  _     Ecuación de la cuerda

Velocidad de propagación de la onda en la cuerda





2 1

sin( ) sin( )

y

y y

F F F

x x           _{ } _{  }        



y y y

F F F x x F x

x x x

          _{ } __{ }   _          



F m a x

t

 

  





Energía y potencia de una onda

Potencia: rapidez con que se propaga la energía

2 2

2 2 2 2

1 1

y

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

C P M C P E E E W P

t t t

y y

E x E T x

t x

y y x y y

P T T v

t x t t x

                       _{ }    _{ }        _{   } _  _{   }  _ _{ }  _{ } _ _{  }  _{ } _                  Onda

armónica













cos ( , ) sin

cos y

A k k x t

x

y x t A k x t

y

A k x t

t       _{ }    _  _{  }   

























2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 cos cos 2 2 1 1 cos cos 2 2 / /

cos ( )

P A k x t F A k k x t v

P A v k x t F A k v k x t

v F k F k

P A v k x t

                 _     _             2 2 1 2 medio

Ondas en tres dimensiones. Intensidad de onda.

Frente de onda es el lugar geométrico de los puntos en el mismo estado de vibración

• La magnitud que caracteriza el flujo de energía de una onda es la intensidad.

• La intensidad es la potencia que se propaga por unidad de área en una superficie normal a la dirección de

propagación.

 

E P E W

P I I

t S t S m

 

    

 

0 0

2

4

P P

I

S r

 

Si una fuente puntual emite una potencia constante P₀ en todas direcciones, la intensidad a una distancia r será:

Principio de superposición













0 0 0

1 1 1

2 2 2

( , )

... y x t

y sen k x w t

y sen k x w t

y sen k x w t 

        

Cuando dos ondas se encuentran en el espacio, sus perturbaciones individuales, representadas por las funciones de onda, se superponen y se suman algebraicamente originándose así una nueva onda.

Ondas estacionarias.

Superposición de ondas idénticas viajando en direcciones contrarias

Onda de amplitud que oscila armónicamente, pero que no se desplaza.





1 0

sin

y



y

kx





t





2 0

sin

y



y

kx





t

1 2

2

sin (

)cos(

)

ONDAS ESTACIONARIAS

Una onda estacionaria es el resultado de la

superposición de dos movimientos ondulatorios

armónicos de igual amplitud y frecuencia que se

propagan en sentidos opuestos a través de un

medio.

La onda estacionaria NO ES una onda viajera,

puesto que su ecuación no contiene ningún

término de la forma (kx-



t).

Ecuación de la onda incidente, sentido (): y x t1( , )Acos(kxt)

Cuando la onda viajera se refleja en un extremo, su fase cambia en  radianes. Ecuación de la onda reflejada, sentido (): y x t2( , )Acos(kx t )

2( , ) cos( )

cos( ) cos sen( ) sen cos( )

y x t A kx t

A kx t A kx t A kx t

 

    

  

      

1( , ) cos( ) cos( ) sen( )sen( )

y x t A kx t A kx t

2( , ) cos( ) cos( ) sen( )sen( )

y x t  A kx t A kx t

ONDAS ESTACIONARIAS (2)

T f k

  

 

2 2

2

 



Cada punto de la cuerda vibra con un MAS de amplitud igual a 2A

1 2

( , ) ( , ) ( , ) c

( , ) 2 sen ( )sen ( )

os( ) cos( )

y x t y x t y x t A kx t A k

y x t A kx

x t

t

  



      

Los extremos de la cuerda están fijos => la vibración en ellos es nula

Si L es la longitud de la cuerda, en los extremos x = 0 y x = L se verifica para todo t las siguientes condiciones:

¿Se producen ondas estacionarias en una cuerda para cualquier par de ondas incidente y reflejada? NO! 0 0 sen 2

0 

 A y_x 0 sen 2  

 A kL y_{x L}

   n L 2 2  n L ,... 3 , 2 , 1  n  n kL

La condición L = n/2 quiere decir que aparecen ondas estacionarias

sólo en aquellos casos que se verifique que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda.

Esto significa que en una cuerda de longitud L dada, sólo aparecen ondas estacionarias para ciertas frecuencias de vibración f_n, que cumplen la condición n n v f   n L v f n L n n 2 2   

v = velocidad de propagación

n L n 2   n n L  2 1  FUNDAMENTAL

n = 1

SEGUNDO ARMÓNICO

n = 2

TERCER ARMÓNICO

n = 3

CUARTO ARMÓNICO

n = 4

2

L

L

3 2

L 

2

1 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) m m

y x t y sen k x t

y x t y sen k x t

  

 

  

( ) ( )

( ) ( ) 2 cos sin

2 2

k x t k x t

A B A B

sen A sen B

              _{   }     Aplicando:





( , ) 2 cos sin

2 2

m

m

y x t y x t y x t y sen k x t sen k x t

y x t y k x t

    _              _{  }   _     2 cos 2 m

y  _{ }

  Amplitud:

Con la misma frecuencia () y longitud de onda (k)

2 / 2 k f       INTERFERENCIA





( , ) ( , ) 2 _msin

y x t y x t y k x t



 

  

Amplitud doble y misma frecuencia y longitud de onda. Se suman

constructivamente => interferencia constructiva.

1 2

Si

( , ) ( , ) 0

y x t y x t

 

 

Amplitud nula. Se cancelan mutuamente => interferencia