1. Medidas y Errores
1.1. Objetivos
1. En el presente laboratorio aprenderemos a usar correctamente y tomar las lecturas con algunos instrumentos de medición tales como el vernier (pie de rey), micrómetro y cronometro, entre otros.
2. Aplicar la teoría de errores en las mediciones de las magnitudes físicas que se llevan a cabo en el laboratorio.
3. Elaborar tablas de datos, construir gráficas e interpretar resultados.
4. Encontrar el error presente en la medida directa e indirecta con base a la teoría de errores. Elaborar un informe considerando las pautas establecidas en clase.
1.2. Marco teórico
La descripción y cuantificación de los fenómenos físicos es la tarea fundamental de la física, por eso es importante medir lo observado. La medida siempre involucra interacción con el sistema a medir, es por ello que se debe tener en cuenta cómo se toma la medida y con qué precisión se hace para tener idea del grado de certidumbre de nuestros resultados. Cuando se realiza una medición es necesario considerar conceptos como, exactitud, resolución y precisión.
Se entiende por exactitud la cercanía del valor experimental obtenido, con el valor exacto de dicha medida. El valor exacto de una magnitud física es un concepto utópico, ya que es imposible conocerlo sin incertidumbre alguna.
La resolución es un concepto relacionado con el dispositivo. Por ejemplo si se quiere medir la longitud de una varilla metálica utilizando una regla graduada en milímetros, se puede asegurar que la mínima fracción que se puede detectar es 1 mm; la resolución se puede definir como la unidad más pequeña que puede detectar un determinado instrumento de medición.
más estrechos posibles), obtenidos al realizar varias veces una misma experiencia dentro de las mismas condiciones.
Uno de los principales objetivos del denominado cálculo de error, consiste en reducir el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Uno de los objetivos de esta práctica de laboratorio consiste en determinar la densidad de diferentes objetos. La densidad de una sustancia homogénea, simbolizada habitualmente por la letra griega
⇢
, es una magnitud referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen.Su unidad en el Sistema Internacional es el [kg/m3 ] aunque frecuentemente se expresa en [g/cm ]. La densidad de un objeto es una magnitud extensiva y se puede determinar a partir de:
⇢
=
m
V
(1)Error, Exactitud y Precisión
Las mediciones Físicas incluyen un error; esto es una falta de exactitud debida a pequeñas perturbaciones aleatorias las cuales no se pueden eliminar por completo. Las medidas no son simples números exactos, sino que consisten en intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentra el valor esperado. La teoría de error se basa en consideraciones estadísticas y de cálculo (derivadas parciales, derivadas logarítmicas y análisis numérico) para obtener “buenas” aproximaciones:
a) Cantidades medidas directamente (Mediciones Directas).
b) Cantidades calculadas a partir de valores medidos (Mediciones Indirectas).
La medición es un proceso para determinar el valor de una cantidad en términos de una unidad patrón establecida por un sistema de medición. Las magnitudes fundamentales son longitud, tiempo, masa, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Como resultado de la medición se obtiene lo siguiente:
1. Una unidad en términos de la cual es establecido el resultado (metros, segundos, kilogramos, etc.).
2. Un número que establece el resultado en términos comparativos con la unidad patrón de medición.
Según lo anterior cuando se hacen mediciones y se informa de sus resultados se debe tener siempre en cuenta este punto clave y fundamental: las medidas no son simples números exactos, sino que consisten en intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza que se encuentra el valor verdadero o valor esperado. El acto de medición requiere que determi-nemos tanto la localización como el ancho de ese intervalo; es decir su “error”. Este ancho del intervalo depende de muchos factores, como por ejemplo el tipo de medición, la figura de la escala, nuestra agudeza visual, las condiciones de iluminación, etc. Para estimar este intervalo se debe recurrir a la teoría de error. El resultado de una medición es un número o valor acompañado de la respectiva unidad de medición. Dicho número obtenido en la medición lo llamaremos el valor de la medida y su índice de confianza comprende dos aspectos:
Precisión: Este término se refiere a dos aspectos, el primero relacionado con el número de cifras significativas que representan una cantidad. El segundo se relaciona con la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.
Es la concordancia entre sí del conjunto de medidas realizadas en igualdad de condiciones experimentales con las mismas técnicas e instrumentos, es decir la precisión se refiere a la dispersión de las medidas unas con relación a las otras. Una gran importancia entre ellas indica alta precisión y, una gran separación significa baja precisión. Además la precisión está estrechamente vinculada con la apreciación del instrumento y con los errores aleatorios. En la medida que sea menor la influencia de los errores aleatorios y más sensibles será el instrumento de medición, mayor será la precisión. Por otra parte en el proceso de medición la precisión está afectada por: a) la calidad del instrumento de medición utilizado; esto en referencia a la cantidad de cifras significativas que pueden apreciar en el instrumento, y b) la experiencia del experimentador en el manejo de instrumentos de alta calidad.
Mediciones directas e indirectas
Se puede diferenciar dos tipos de mediciones a saber: Mediciones Directas y Mediciones Indirectas. Se dice que una medición es Directa cuando el valor de la magnitud se obtiene comparando directamente la magnitud considerada con su correspondiente unidad patrón o por la indicación de un instrumento calibrado previamente con la unidad patrón corres-pondiente. Se dice que una magnitud es Indirecta y, se ha considerado por un proceso de medición indirecto cuando su valor se obtiene empleando una ecuación conocida que rela-ciona a la magnitud considerada con otras magnitudes
x x
· · ·
x
n que se pueden medirdirectamente.
Estimación del error en las mediciones directas
Estimación de Errores Accidentales
Para asegurar la fiabilidad de una medida directa, debemos repetir el mismo experimento un cierto número de veces; siendo el resultado más probable de la medición el valor de la Media Aritmética del conjunto de datos registrados. Supongamos que se han realizado
N
medidas dex x
· · ·
x
n de una determinada magnitudx
. El valor promedio o mediaaritmética es el mejor estimador del valor verdadero y su valor se calcula aplicando la siguiente fórmula:
x
=
NP
i=x
iN
donde NX
i=x
i=
x
+
x
+
· · ·
+
x
N (2)Este resultado representa el “valor más probable de la medida”, pero este valor no dice nada acerca del error. El valor del error viene determinado por el cálculo de la desviación típica o desviación estándar
S
, que es raíz cuadrada positiva de la varianza:S
=
v
u
u
u
t
NP
i=(
x
i-
x
)
N
(3)La dispersión reducida de las medias de las muestras se representa con un parámetro muy importante. La desviación estándar del conjunto de valores medios se conoce con el nombre de “error estándar de la media”. Se ha comprobado estadísticamente que el “error estándar de la media” se determina por la siguiente expresión:
Finalmente para estimar el Error Accidental tomando en cuenta el error estándar de la media:
x
accidental=
⇥
S
(5)Donde 2,77 es el valor obtenido en la tabla de distribución t-student1, para un intervalo de confianza del 95 y un
N
=
, por lo cual este será utilizado el Laboratorio de Física Entonces el resultado numérico definitivo de la medida se puede expresar como:x
m=
x
±
x
dondex
=
x
escala+
x
accidental (6)Aclaración: En dos casos especiales: falta de tiempo y baja precisión del instrumento. Cuando la situación sea la falta de tiempo para efectuar las mediciones, en la mayoría de las prácticas del Laboratorio el “deber ser” es repetir varias veces las medidas para calcular la incertidumbre debida a factores ambientales aleatorios. Sin embargo, hay ocasiones en que no se pueden realizar dichas repeticiones debido a la falta de tiempo. En otros casos puede ser variaciones ocasionadas por los factores ambientales aleatorios. En este último caso, al repetir la medida, siempre se obtendría el mismo resultado y, por tanto, la dispersión accidental sería nula. En ambos casos mencionados, la solución es tomar
x
accidental=
, por lo cual la incertidumbrex
será igual a la apreciaciónA
0 precisión del aparato de medida (x
escala).Propagación del error en las mediciones indirectas
Cuando usted realiza una medición en el transcurso de un experimento, la mayoría de las veces es para determinar otra cantidad que está relacionada con la medida tomada, a través de una fórmula física - matemática conocida; como puede ser la expresión de una ley física. Esta magnitud física a determinar representa una medición indirecta, ya que es función de otras magnitudes que si se pueden determinar experimentalmente, es decir directamente. El error presente en cada magnitud medida directamente se propaga al cálculo final de la medición indirecta. Hay dos maneras distintas de calcular la propagación del error:
1. Método de las Derivadas Parciales: El error de una medición indirecta se puede estimar considerando que los errores de las distintas variables de las que depende son suficientemente pequeños en comparación con sus respectivas variables (
x
x
). De este modo si se tiene una funciónz
=
f
(
x x
x
N)
deN
variablesx
i cuyos1En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad
que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el
errores son
x
i, siempre se puede hacer un desarrollo en serie de Taylor despreciandotérminos superiores al primero, de manera que:
f
(
x
+
x x
+
x
x
N+
x
N) =
f
(
x x
x
N) +
NX
i=
@f
@x
ix
i (7)Tomando en cuenta que el último término
z
esz
=
f
(
x
+
x x
+
x
x
N+
x
N)
-
f
(
x x
x
N)
(8)Visto de otro modo
df
(
x x
x
N) =
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
+
+
f
(
x
N)
dx
N (9)Esta es una función de muchas variables, en donde:
f
(
x
) =
@f
@x
(10)Es decir la derivada parcial de la función
f
con relación a la variablex
, manteniendo fijas las variablesx x
x
N. Pasando los diferencialesdf
a losf
=
x
,obte-nemos un método para calcular el error absoluto cometido sobre
x
. Entonces el error que se propaga a la magnitud derivada será:z
=
NX
i=@f
@x
ix
i=
x
@f
@x
x
+
@f
@x
x
+
· · ·
+
@f
@x
Nx
N (11)Aquí se han añadido los valores absolutos de las derivadas parciales ya que se quiere calcular el valor máximo y no queremos que haya ninguna cancelación entre los errores cometidos, los deltas (
x
i) son por convención; positiva.2. Método de las Derivadas Logarítmicas: Este método es práctico para calcular, rápidamente, los errores relativos de cantidades determinadas indirectamente; se basa en la propiedad del diferencial del logaritmo neperiano de una función
f
,f
:d
(
f
) =
✓
df
f
◆
(12)
Si
f
(
x x
x
N) =
z
y queremos calcular el error relativo propagado enz
igual a zz , se debe calcular el
z
y escribir la diferencial de esta función, es decir, siz
esdada por
El error en z se escribirá:
z
=
x
+
x
+
x
z
z
=
x
x
+
x
x
-x
x
(14)Como siempre se quiere el error máximo, es necesario tomar el valor absoluto del coeficiente de los distintos
x
N, así, la expresión anterior será más confiable.1.3. Temas de consulta
1. Método de mínimos cuadrados.
2. Fórmulas para volúmenes de algunos sólidos (esfera, paralelepípedo, cilindro, cilindro hueco, cono, cuña).
1.4. Procedimiento
1. Utilizando un calibrador Vernier mida las longitudes características de cada uno de los objetos (las longitudes características son aquellas que permiten calcular el volumen) y registre sus datos en las tablas correspondientes. Se deben registrar cuatro datos por cada longitud característica.
2. Utilizando una balanza mida la masa de cada uno de los objetos, registre el valor en la tabla correspondiente.
1.5. Cálculos, Resultados y Análisis
1. Para cada uno de los objetos, complete la tabla 1
2. Utilizando las fórmulas respectivas calcule los volúmenes de los objetos y complete la Tabla 2.
3. Teniendo en cuenta los datos de la Tabla2, realice en una hoja con escala milimétrica la gráfica de V (eje vertical) como función de m (eje horizontal). Encuentre por el método de mínimos cuadrados (regresión lineal) el punto de corte, la pendiente y la correlación de la recta de ajuste.
4. La recta de ajuste del numeral 3 es de la forma,
donde
A
yB
representan el punto de corte y la pendiente calculados en el numeral 3. Teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (15) se puede deducir que,⇢
=
B
(16)Calcule la densidad a partir de la ecuación (16), asuma que este valor corresponde al valor calculado a partir del método de mínimos cuadrados.
5. Complete tabla de datos 3, teniendo en cuenta que
Error
=
|
⇢
-
⇢
teo|
⇢
teoError
=
|
⇢
min-
⇢
teo|
⇢
teo⇢
corresponde a la densidad promedio calculada con los datos de la última columna de la Tabla 2,⇢
min corresponde a la densidad calculada a partir de la ecuación (16),y
⇢
teo a la densidad teórica.objeto:
x
±
x
x
±
x
x
±
x
x
±
x
x
±
x
x/x
Masa:
Longitud característica 1: Longitud característica 2: Longitud característica 3:
Tabla 1
Objeto