EJERCICIOS DE MATRICES Y DETERMINANTES

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(1)

EJERCICIOS DE MATRICES Y DETERMINANTES

1. Determina la matriz

A

que verifica la ecuación

A

B

+

A

=

2

B

t, donde





=

2

0

1

3

B

, y

B

trepresenta la matriz transpuesta de

B

.

Sol:





=

6

7

2

1

2

1

2

3

A

2. Sean las matrices





+

=

1

1

1

x

x

A

y





=

1

1

1

0

B

a. Encuentre el valor o valores de x de forma que

B

2

=

A

.

b. Igualmente para que

A

Id

=

B

−1.

c. Determine x para que AB= Id . Sol:

x

=

1

x

=

0

x

=

1

3. Se consideran las matrices





=

1

3

1

2

A

y





=

5

16

20

4

B

.

a. Calcule

A

2 y

( )

A

2 −1

b. Despeje

X

de la ecuación matricial

A

2

X

=

B

.

c. Calcule

X

.

Sol: a)





4

3

1

7

;





25

7

25

3

25

1

25

4

b)

X

=

( )

A

2 −1

B

c)





1

4

3

0

4. Despeja la matriz

X

en la ecuación:

A

X

X

=

B

X

+

C

. Halla la matriz X sabiendo que

=

=

=

3

2

1

3

4

2

0

2

2

1

0

0

2

1

1

0

0

2

1

1

1

1

0

1

0

1

1

C

B

A

Sol:

X

=

(

A

Id

B

)

−1

C

=

3

0

0

0

2

0

0

0

1

(2)

5. Dadas las matrices





=

2

1

3

2

A

y





=

6

2

3

1

B

averigua si existe una matriz

C

que

cumpla BC= A, y si es el caso, calcúlala. Sol: no existe la matriz

C

buscada.

6. Determinar la matriz X en la siguiente ecuación matricial

A

X

=

(

A

+

B

C

)

2

1

2

siendo





=

1

0

1

2

A

,





=

1

3

1

2

1

1

B

y

 −

=

2

6

1

1

3

1

C

.

Sol:

 −

2

3

5

0

2

7. Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:

=

a

M

5

2

3

2

1

3

3

1

Sol: a = 6

8. Hallar la matriz X que verifica la ecuación matricial:





=





+





10

11

12

15

12

0

3

1

2

1

1

0

1

1

1

2

X

Sol:





=

5

5

22

5

13

4

5

11

5

3

X

9. Considera la matriz

=

5

0

0

0

5

0

0

0

5

D

, escribe dos matrices de orden 3 diferentes y

multiplica a cada una de ellas por

D

.

¿Cómo actúa

D

al multiplicarla por una matriz cualquiera

A

? Justifica tu respuesta.

(3)

10. Sean las matrices





=

1

0

1

1

1

2

A

y

=

1

2

0

2

1

1

B

:

a. Calcule la matriz

C

=

B

A

A

t

B

t.

b. Halle la matriz

X

que verifique





=

2

4

B

X

A

.

Sol:

0

0

3

0

0

3

3

3

0

 −

0

3

2

11. Calcule la matriz

X

solución de la ecuación





 −

=





+

1

4

4

1

2

3

5

1

2

2

X

.

Sol:





=

12

13

11

13

2

1

X

12. Despeja la matriz

X

en la ecuación: AXA= IdAX .

Halla la matriz

X

sabiendo que

=

1

0

1

2

1

0

0

1

1

A

Sol:

X

=

A

−1

(

Id

+

A

)

2

1

=

4

1

1

2

4

2

2

1

4

6

1

X

13. Calcula dos matrices cuadradas

A

y

B

sabiendo que:





=

+

1

2

5

4

3

2

A

B

y





=

1

0

1

2

B

A

Sol:





=

1

1

1

1

A





=

1

0

1

2

B

14. Sean las matrices





=

0

1

0

1

A

,





=

1

1

1

0

B

y

=





1

1

1

1

C

. Halla la matriz

(

B

C

)

A

X

=

Sol:





1

2

(4)

15. Dada la matriz:

=

2

1

3

3

0

1

2

1

m

A

Se pide:

a. ¿Para qué valor o valores de

m

no existe la matriz inversa de

A

?

b. Determinar la matriz inversa de

A

cuando

m

=

2

.

Sol:

m

=

1

3

1

3

1

3

2

3

1

0

3

2

1

3

1

1

16. Dadas las matrices:





=

1

1

1

2

A

,





=

3

2

0

1

B

y





=

3

2

0

1

C

determinad la

matriz

X

que verifica la ecuación

A

X

=

B

C

.

Sol:





=

4

7

3

6

X

17. Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. El precio de coste de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:

T1 T2 T3

Precio de coste 4€ 6€ 9€ Ingreso 10€ 16€ 24€

El número de ventas anuales es de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3. Sabiendo que la matriz de costes (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila:

a. Determina las matrices C, I y V.

b. Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costes anuales, la matriz de ingresos anuales, y la matriz de beneficios anuales,

correspondientes a los tres tipos de juguetes.

Sol: a)

V

=

(

4500

3500

1500

)

=

9

0

0

0

6

0

0

0

4

C

=

24

0

0

0

16

0

0

0

10

I

b)

(

18000

21000

135000

)

;

(

45000

56000

36000

)

;

(

27000

35000

22500

)

(5)

Se denota por x, y, z las incógnitas que representan respectivamente los precios de un café, de un cortado y de un descafeinado.

a. Dad la matriz A que expresa el nombre de cafés, de cortados y de descafeinados que toma cada una de las familias, de manera que

B

X

A

=

donde

=

z

y

x

X

y

=

9

,

2

1

,

5

5

B

b. Calculad

A

−1.

c. Calculad los precios de un café, de un cortado y de un descafeinado.

Sol: a)

2

0

1

0

2

3

2

1

2

ª

3

ª

2

ª

1

0

familia

familia

familia

D

C

C

b)

2

1

2

1

1

3

1

3

2

1

2

c) Café: 0,90 euros; Cortado: 1,20 euros; Descafeinado: 1 euro.

19. Encontrar una matriz

X

que verifique la igualdad:

A

X

=

B

, con





=

4

2

6

4

A

y





=

2

4

2

2

B

.¿Verifica también la matriz

X

la igualdad

X

A

=

B

?

Sol:





=

3

3

5

4

X

;No.

20. Despeja

X

en la ecuación matricial

X

A

+

A

t

=

X

B

, siendo

A

t la matriz transpuesta de

A

.

Halla la matriz

X

sabiendo que

=

1

0

1

1

1

0

0

0

1

A

y

=

1

1

2

3

1

1

2

1

1

0

2

3

B

Sol:

X

=

A

t

(

A

B

)

−1;

1

0

1

1

1

0

Figure

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