EJERCICIOS DE MATRICES Y DETERMINANTES
1. Determina la matriz
A
que verifica la ecuaciónA
⋅
B
+
A
=
2
B
t, donde
−
=
2
0
1
3
B
, yB
trepresenta la matriz transpuesta deB
.Sol:
−
=
6
7
2
1
2
1
2
3
A
2. Sean las matrices
+
=
1
1
1
x
x
A
y
=
1
1
1
0
B
a. Encuentre el valor o valores de x de forma que
B
2=
A
.b. Igualmente para que
A
−
Id
=
B
−1.c. Determine x para que A⋅B= Id . Sol:
x
=
1
x
=
0
x
=
−
1
3. Se consideran las matrices
−
=
1
3
1
2
A
y
=
5
16
20
4
B
.a. Calcule
A
2 y( )
A
2 −1b. Despeje
X
de la ecuación matricialA
2X
=
B
.c. Calcule
X
.Sol: a)
4
3
1
7
;
−
−
25
7
25
3
25
1
25
4
b)
X
=
( )
A
2 −1B
c)
−
1
4
3
0
4. Despeja la matriz
X
en la ecuación:A
⋅
X
−
X
=
B
⋅
X
+
C
. Halla la matriz X sabiendo que
−
−
−
−
=
−
=
=
3
2
1
3
4
2
0
2
2
1
0
0
2
1
1
0
0
2
1
1
1
1
0
1
0
1
1
C
B
A
Sol:
X
=
(
A
−
Id
−
B
)
−1⋅
C
=
3
0
0
0
2
0
0
0
1
5. Dadas las matrices
=
2
1
3
2
A
y
=
6
2
3
1
B
averigua si existe una matrizC
quecumpla B⋅C= A, y si es el caso, calcúlala. Sol: no existe la matriz
C
buscada.6. Determinar la matriz X en la siguiente ecuación matricial
A
X
=
(
A
+
B
⋅
C
)
2
1
2
siendo
=
1
0
1
2
A
,
−
=
1
3
1
2
1
1
B
y
−
=
2
6
1
1
3
1
C
.Sol:
−
2
3
5
0
2
7. Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:
=
a
M
5
2
3
2
1
3
3
1
Sol: a = 6
8. Hallar la matriz X que verifica la ecuación matricial:
=
⋅
−
−
−
+
−
−
10
11
12
15
12
0
3
1
2
1
1
0
1
1
1
2
X
Sol:
−
−
−
−
−
=
5
5
22
5
13
4
5
11
5
3
X
9. Considera la matriz
=
5
0
0
0
5
0
0
0
5
D
, escribe dos matrices de orden 3 diferentes ymultiplica a cada una de ellas por
D
.¿Cómo actúa
D
al multiplicarla por una matriz cualquieraA
? Justifica tu respuesta.10. Sean las matrices
−
−
−
=
1
0
1
1
1
2
A
y
−
−
=
1
2
0
2
1
1
B
:a. Calcule la matriz
C
=
B
⋅
A
−
A
t⋅
B
t.b. Halle la matriz
X
que verifique
=
⋅
⋅
2
4
B
X
A
.Sol:
−
−
0
0
3
0
0
3
3
3
0
−
0
3
2
11. Calcule la matriz
X
solución de la ecuación
−
=
−
+
1
4
4
1
2
3
5
1
2
2
X
.Sol:
−
=
12
13
11
13
2
1
X
12. Despeja la matriz
X
en la ecuación: A⋅ X − A= Id− A⋅ X .Halla la matriz
X
sabiendo que
=
1
0
1
2
1
0
0
1
1
A
Sol:
X
=
A
−1(
Id
+
A
)
2
1
−
−
−
=
4
1
1
2
4
2
2
1
4
6
1
X
13. Calcula dos matrices cuadradas
A
yB
sabiendo que:
−
−
−
=
+
1
2
5
4
3
2
A
B
y
−
−
=
−
1
0
1
2
B
A
Sol:
−
=
1
1
1
1
A
−
−
=
1
0
1
2
B
14. Sean las matrices
−
=
0
1
0
1
A
,
−
=
1
1
1
0
B
y=
−
−
1
1
1
1
C
. Halla la matriz(
B
C
)
A
X
=
⋅
−
Sol:
−
−
1
2
15. Dada la matriz:
−
−
=
2
1
3
3
0
1
2
1
m
A
Se pide:
a. ¿Para qué valor o valores de
m
no existe la matriz inversa deA
?b. Determinar la matriz inversa de
A
cuandom
=
2
.Sol:
m
=
1
−
−
−
3
1
3
1
3
2
3
1
0
3
2
1
3
1
1
16. Dadas las matrices:
−
−
=
1
1
1
2
A
,
−
=
3
2
0
1
B
y
−
=
3
2
0
1
C
determinad lamatriz
X
que verifica la ecuaciónA
⋅
X
=
B
⋅
C
.Sol:
−
−
=
4
7
3
6
X
17. Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. El precio de coste de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:
T1 T2 T3
Precio de coste 4€ 6€ 9€ Ingreso 10€ 16€ 24€
El número de ventas anuales es de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3. Sabiendo que la matriz de costes (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila:
a. Determina las matrices C, I y V.
b. Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costes anuales, la matriz de ingresos anuales, y la matriz de beneficios anuales,
correspondientes a los tres tipos de juguetes.
Sol: a)
V
=
(
4500
3500
1500
)
=
9
0
0
0
6
0
0
0
4
C
=
24
0
0
0
16
0
0
0
10
I
b)
(
18000
21000
135000
)
;(
45000
56000
36000
)
;(
27000
35000
22500
)
Se denota por x, y, z las incógnitas que representan respectivamente los precios de un café, de un cortado y de un descafeinado.
a. Dad la matriz A que expresa el nombre de cafés, de cortados y de descafeinados que toma cada una de las familias, de manera que
B
X
A
⋅
=
donde
=
z
y
x
X
y
=
9
,
2
1
,
5
5
B
b. Calculad
A
−1.c. Calculad los precios de un café, de un cortado y de un descafeinado.
Sol: a)
2
0
1
0
2
3
2
1
2
ª
3
ª
2
ª
1
0familia
familia
familia
D
C
C
b)
−
−
−
−
−
2
1
2
1
1
3
1
3
2
1
2
c) Café: 0,90 euros; Cortado: 1,20 euros; Descafeinado: 1 euro.
19. Encontrar una matriz
X
que verifique la igualdad:A
⋅
X
=
B
, con
=
4
2
6
4
A
y
−
=
2
4
2
2
B
.¿Verifica también la matrizX
la igualdadX
⋅
A
=
B
?Sol:
−
−
=
3
3
5
4
X
;No.20. Despeja
X
en la ecuación matricialX
⋅
A
+
A
t=
X
⋅
B
, siendoA
t la matriz transpuesta deA
.Halla la matriz
X
sabiendo que
−
−
=
1
0
1
1
1
0
0
0
1
A
y
−
−
−
=
1
1
2
3
1
1
2
1
1
0
2
3
B
Sol:
