OBJ 5 PTA 5 El ingreso semanal (expresado en miles de bolívares) de una farmacia, elegida al azar,

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Universidad Nacional Abierta Introducción a la Probabilidad (Cód. 737) Probabilidad (Cód. 747)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 236 - 280 - 508 Área de Matemática Fecha: 26 – 07 – 2014

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 8.

OBJ 1 PTA 1

a) De un conjunto de 20 billetes de lotería se sacan dos para el primero y segundo premio. Encontrar el número de puntos muéstrales del espacio S

b) De cuántas formas puede programar una asociación a tres oradores en tres conferencias distintas. Si están disponibles en cinco fechas posibles

Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambos literales.

SOLUCIÓN:

a) Se toma n = 20, r = 2, lo cual implica que n-r = 18. Por lo tanto,

380 19 . 20 ! 18

! 20 )! (

!

r n

n

.

b) Se toma n = 5, r = 3, lo cual implica que n-r = 2. Por lo tanto,

60 3 . 4 . 5 ! 2

! 5 )! (

!

r n

n

.

OBJ 2 PTA 2 Si se toma un mazo con 36 barajas y se escogen 3 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un as entre ellas?

Sugerencia: El mazo se descompone en dos: los 4 ases y las 32 cartas restantes.

SOLUCIÓN:

El mazo lo descomponemos en dos: los 4 ases y las 32 cartas restantes, luego podemos escoger un as de

cuatro maneras, esto es       1 4

manearas, y las 2 cartas restantes      

2 32

maneras; en consecuencia la

probabilidad buscada es:

2778 , 0 1785

496

! 33 !. 3

! 36

! 30 !. 2

! 32 . ! 3 !. 1

! 4

3 36

2 32 . 1 4

 

      

(2)

OBJ 3 PTA 3 Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

SOLUCIÓN:

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según los datos suministrados, se tiene:

P(Av/L1)= 0.02 P(Av/L2)= 0.04 P(Av/L3)= 0.01

P(L1)=0,6 P(L2)=0,3 P(L3)=0,1 Así que,

P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01

= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

OBJ 4 PTA 4 Se extraen cinco cartas de una baraja española de 52 cartas en forma sucesiva y sin restricción. Determine la probabilidad de que:

a) no haya ningún as entre las cinco cartas. b) aparezca un as sólo en la quinta extracción.

Nota: Hay cuatro ases en las barajas españolas.

(3)

P( 48 44 . 49 45 . 50 46 . 51 47 . 52 48 ) ( ). ( ). ( ). ( ). (

) 1 2 3 4 5

5 4 3 2

1 A A A AP A P A P A P A P A

A    

205476480 0, 65 311875200

 

b) Designemos por:

P(A)=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas. P(A)=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas.

La probabilidad de que aparezca un as en la quinta extracción es:

48 4 . 49 45 . 50 46 . 51 47 . 52 48 ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( )

(A1 A2 A3 A4 A5P A1 P A2 P A3 P A4 P A5

P    

18679680 0, 059 311875200

 

OBJ 5 PTA 5 El ingreso semanal (expresado en miles de bolívares) de una farmacia, elegida al azar, es una variable X con función de densidad de probabilidad definida por:

         . 0 x si 0 0 x si e 100 1 ) x ( f 100 X

Calcular la probabilidad de que una farmacia tenga un ingreso semanal entre Bs. 20.000 y 45.000

SOLUCIÓN:

La función F de distribución de la variable aleatoria X cuya densidad es f, es:

100 X 100 X X 0 100 u X 0 100 u X e 1 1 e e du e 100 1 du ) u ( f ) X (

F    

       

donde X se expresa en miles de Bs., en consecuencia:

 

 

45 20 100 100 0.45 0.20

20 45 (45) (20) 1 1

1 1

1 0.6376 1 0.8187

0.3624 0.1813 0.1811

P X F F e e

(4)

OBJ 6 PTA 6 Suponga que el la función de densidad conjunta de X e Y es

 

    

punto otro cualquier en

0

1 0

; 1 0

2 ) ,

(x y x si x y

f

Determine si X e Y son independientes.

SOLUCIÓN:

Las densidades marginales son

1

1 0 0

( ) ( , ) 2 2 2 ,donde 0 1

g x f x y dy xdy xy x x



   

De forma similar,

1

1 2

0 0

( ) ( , ) 2 1 ,donde 0 1

h x f x y dx xdx x y



   

Observamos que h x g x

   

2xf x y

 

, Por lo tanto X e Y son variables aleatorias independientes. OBJ 7 PTA 7 Una compañía manufacturera diseño una maquina que suministra una cantidad aleatoria entre 1 y 3 galones de limpiador por minuto, para realizar lavado a presión. Suponga que la cantidad Y de limpiador suministrado es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [1 , 3]. Calcular la media y la varianza de la variable Y.

SOLUCIÓN:

Calculemos el primero y el segundo momento de la variable Y.

 

 

.

6 26 6 1 6 27 6

1 3

1

. 2 4 1 4 9 4 1

3 1 Y

E

3

1 3 3

1 2 2

3

1 2 3

1

     

     

y dy y

Y E

y dy y

Luego, procedemos a calcular la varianza de Y. Esta es:

 

 

3 1 4 6 26 )

var(YEY2 E Y 2   

La media de la variable Y es

 

26

6

E Y  y la variaza es

 

1

3

Var Y  .

(5)

Hallar la probabilidad de que, siguiendo este método indirecto para el recuento del número de cuadernos de los paquetes, un paquete que realmente tienen 25 cuadernos sea considerado como si no lo tuviera.

Sugerencia: Considere T25 la variable aleatoria correspondiente al peso total de 25 cuadernos y calcule la probabilidad: 1P

975T251025

SOLUCIÓN:

Sea T25 la variable aleatoria correspondiente al peso total de 25 cuadernos. La probabilidad pedida es:

25 25 25

25 25 25

25 25

975

1025

1

975

1025

1

T T T

T T T

T

P

T

P

 

Ahora bien, 25 40 1000

25  x

T

y 2 25 10

25  

T

, sustituyendo valores:

1

2

2

,

5

2

2

,

5

2

0

,

00621

0

,

01242

1

5

,

2

5

,

2

1

10

1000

1025

10

1000

975

1

x

Z

P

Z

P

Z

P

Z

P

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